Giáo trình Lý thuyết thống kê và phân tích dự báo: Phần 2 - Chu Văn Tuấn

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:188

Thêm vào BST

Báo xấu

279
lượt xem 84
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Lý thuyết thống kê và phân tích dự báo: Phần 2 gồm nội dung chương 4 đến chương 9 tài liệu. Nội dung phần 2 trình bày các nội dung về hồi quy và tương quan, dãy số biến động theo thời gian, chỉ số, dự báo thống kê. Mời bạn đọc tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết thống kê và phân tích dự báo: Phần 2 - Chu Văn Tuấn

Chương 6 HỔI QUI VÀ TƯƠNG QUAN 1. MỐI LIÊN HỆ GIỬA CÁC HIỆN TƯƠNG KINH • • • TẾ - XÃ HỘI VỚI PHƯƠNG PHÁP H ồi QUI VÀ TƯƠNG QUAN 1.1. Môi liên hệ giữa các hiện tượng kinh tế- xã hôi Theo quan điểm duy vật biện chứng coi thê giới vật chất là một thể thống nhất, trong đó các sự vật và hiện tượng có mối liên hệ hữu cơ với nhau, tác động và ràng buộc lẫn nhau. Không có sự vật và hiện tượng nào phát sinh và phát triển một cách cô lập, tách rời với các sự vật và hiện tượng khác. Các hiện tượng kinh tế - xã hội cũng phát sinh và phát triển theo nguyên lý đó. Do tính chất phức tạp của hiện tượng kinh tế - xã hội, mối liên hệ nội tại cũng rất phong phú và muôn hình muôn vẻ, tính chất và hình thức của các môi liên hệ cũng rất khác nhau. Có thể nghiên cứu mối liên hệ cùng một lúc giữa nhiều hiện tượng. Chẳng hạn như, nhà quản trị doanh nghiệp nghiên cứu mối liên hệ giữa năng suất lao động, mức tiêu hao nguyên, nhiên, vật 195
liệu... vối giá thành sản xuất sản phẩm. Nhà môi giới đầu tư thì quan tâm đến môi quan hệ giữa giá cả thị trường chứng khoán và cổ tức của nó. Các hãng sản xuất thì quan tâm tới mức thu nhập của người tiêu dùng và khối lượng hàng hoá mà người tiêu dùng có thể mua được. Người làm công tác định giá bất động sản như nhà cửa thì quan tâm đến giá bán gần đây của những ngôi nhà tương tự, kích thước và tình trạng của ngôi nhà. Tương quan và hồi quy là những phương pháp mà nhà quản trị doanh nghiệp, hàng sản xuất, nhà đầu tư... sẽ cần trong phân tích, đánh giá, đưa ra quyết định thông qua việc xác định mốì liên hệ giữa các tiêu thức. 1.2. Các loại môi quan hệ Môi quan hệ giữa các hiện tượng kinh tế - xã hội có thể diễn ra trong không gian và thời gian. Liên hệ trong không gian là sự tác động qua lại, sự phụ thuộc vào nhau khi chúng ở trong cùng một thòi gian. Liên hệ trong thời gian là sự tác động qua lại, phụ thuộc vào nhau khi chúng ở các quá trình các giai đoạn phát triển khác nhau. Nếu xét theo mức độ liên hệ phụ thuộc giữa các hiện tượng với nhau, có thể phân biệt: liên hệ hàm sô" và liên hệ tương quan. Liên hệ hàm sô" là môi liên hệ hết sức chặt chẽ giữa 2 hiện tượng nghiên cứu: khi hiện tượng này thay đối thì nó hoàn toàn quyết định sự thay đổi của hiện tượng có liên quan theo một tỉ lệ tương ứng 196
hoàn toàn chặt chẽ. Mối liên hệ này có thế thấy được không những ở toàn bộ tổng thể, mà cả trên từng đơn vị riêng biệt. Các mối quan hệ hàm sô' thường biểu hiện nhiều trong toán học, vật lý học..., nhưng ít thấy trong các hiện tượng kinh tế - xã hội. Liên hệ tương quan là mối liên hệ không hoàn toàn chặt chẽ giữa các hiện tượng nghiên cứu: khi hiện tượng này thay đổi thì có thể làm cho hiện tượng có liên quan thay đổi theo, nhưng không có ảnh hưởng hoàn toàn quyết định. Mối liên hệ này không biểu hiện được rõ trên từng đơn vị sản phẩm có liên hệ với nhau; khi năng suất lao động tăng thì giá thành giảm và ngược lại, nhưng mức độ tăng giảm này không giông nhau ở các doanh nghiệp. Đó là vì giá thành tăng hay giảm còn phụ thuộc vào nhiều nguyên nhân khác chứ không hoàn toàn do năng suất lao động quyết định. Hoặc mức thu nhập của người tiêu dùng và mức cầu về hàng hoá mà người tiêu dùng có thể mua được. Như vậy, có thể nói giữa năng suất lao động và giá thành sản phẩm hoặc giữa thu nhập và mức cầu về sản phẩm, hàng hoá có mối liên hệ tương quan. Xét theo chiều hướng của mối liên hệ người ta phân thành 2 loại: liên hệ tướng quan thuận và liên hệ tương quan nghịch. Liên hệ tương quan thuận biểu hiện ở chỗ: trị sô" của tiêu thức nguyên nhân (x) và trị số của tiêu thức kết quả (y) cùng phát triển theo một chiều hướng. Khi (x) tăng (giảm) thì (y) củng tăng (giảm). Ví 197
dụ mối quan hệ giữa thu nhập khả dụng và mức cầu về sản phẩm, hoặc mổì quan hệ giữa năng suất lao động và tổng sản phẩm (vì khi thu nhập và năng suất lao động tăng làm cho mức cầu sản phẩm và tổng sản phẩm cũng tăng theo). Ngược lại, liên hệ tương quan nghịch là loại liên hệ tương quan mà trị s ố của tiêu thức nguyên nhân (x) biến đổi theo chiều hướng nào thì trị sô" của tiêu thức kết quả (y) biến đổi theo chiều hưống ngược lại. Ví dụ: giữa giá thành sản phẩm với năng suất lao động, giữa lãi suất vay vốn và lượng vốn đầu tư, khi lãi suất vốn vay tăng, chi phí cho đầu tư tăng các hàng sẽ thu hẹp quy mô đầu tư làm giảm khối lượng đầu tư của nền kinh tế. Như vậy, để nhận biết mối liên hệ tương quan người ta chỉ cần so sánh chiều hưống của tổng của tích các độ lệch giữa các lượng biến với sô" bình quân sô" học của chúng £(x - x).(y - y). Nếu tổng này luôn luôn mang dấu dương (+) ta có mối liên hệ tương quan thuận, nếu tổng này mang dấu âm (-) ta có mối liên hệ tương quan nghịch. 1.3. Phương pháp hồi qui và tương quan (phương pháp tương quan) Hồi qui và tương quan là các phương pháp của toán học, được vận dụng trong thống kê học để biểu hiện và phân tích mối liên hệ tương quan giữa các hiện tượng kinh tế và xã hội. Vì 2 phương pháp này có liên quan chặt chẽ với nhau và xuất phát từ cùng mục đích nghiên 198
cứu, cho nên để tiện ta có thể gọi tắt là phương pháp tương quan. Phương pháp tương quan được vận dụng để nghiên cứu mổì liên hệ giữa các hiện tượng hoặc giữa các tiêu thức. Cụ thể là trị sô' của một tiêu thức nào đó biến thiên do ảnh hưởng của một loạt các tiêu thức khác, trong đó một sô" tiêu thức có ảnh hưởng đáng kể mà ta cần quan tâm nghiên cứu. Tuỳ theo mục đích nghiên cứu, ta có thể chọn riêng hai (hoặc 3, 4...) tiêu thức có ý nghĩa nhất để xác định môi liên hệ giữa chúng với nhau, còn các tiêu thức khác tạm coi như không thay đổi. Nhiệm vụ chủ yếu của phương pháp tương quan gồm: a. Xác định tính chất và hình thức của môi liên hệ, có nghĩa là xem xét mối liên hệ giữa các tiêu thức nghiên cứu ở dạng mô hình nào (liên hệ tuyến tính, hoặc phi tuyến tính), liên hệ thuận hoặc liên hệ nghịch... Muôn vậy phải dựa trên cơ sở phân tích lý luận để giải thích sự tồn tại thực tế và bản chất của mối liên hệ giữa các hiện tượng nghiên cứu. Kết hơp với việc thăm dò mối liên hệ đó bằng phương pháp thông kê như: phương pháp đồ thị, phương pháp phân tổ, phương pháp sô'bình quân; hoặc dựa vào kết quả nghiên cứu từ trước về các hiện tượng này. 199
b. Lập phương trình hồi qui đế biểu hiện mối liên hệ - căn cứ để lập phương trình là hình thức và chiều hướng mốì liên hệ và sô" tiêu thức được chọn để nghiên cứu. c. Giải phương trình để tính giá trị của các tham số và nêu ý nghĩa của tham sô" vừa tính được. d. Đánh giá trình độ chặt chẽ của mối liên hệ bằng các chỉ tiêu như: hệ s ố tương quan, tỷ s ố tương quan. Thông qua các chỉ tiêu đó ta có thể kết luận về tầm quan trọng của mối liên hệ, đánh giá đúng đắn vai trò của từng nguyên nhân, xây dựng các mô hình sản xuất và tiêu dùng, xây dựng các định mức, dự báo tình hình trong thòi gian tới. Trong phân tích tương quan, sô" tiêu thức được chọn ra nghiên cứu càng nhiều thì quá trình tính toán càng phức tạp. Sau đây trình bày cách vận dụng cụ thê phương pháp tương quan trong một sô" trường hợp tiêu biểu nhất. 2. LIÊN HỆ TƯƠNG QUAN TUYÊN TÍNH GIỬA HAI TIÊU THỨC 2.1. Phương trình hồi qui tuyến tính giản đơn Các môi liên hệ tương quan giữa các hiện tượng kinh tê - xã hội thường được biêu hiện dưới dạng phương 200
trình tuyến tính. Trong nhiều trường hợp phân tích thực tế cho thấy môi liên hệ là phi tuyến tính, nhưng người ta cho rằng nếu không có sai sô" lớn lắm thì có thể dùng phương trình tuyến tính đê mô tả một cách xấp xỉ, gần đúng, mà quá trình tính toán lại đơn giản hơn. Cũng có khi hình thức của mối liên hệ này chưa rõ, ngưòi ta cũng giả thiết là mối liên hệ tuyến tính. Ta hãy xét ví dụ sau đây về mốì liên hệ giữa thu nhập bình quân 1 tháng (thu nhập được phép sử dụng) và mức cầu về hàng hoá, dịch vụ mà người tiêu dùng có thể mua được, (bảng 6.1) Khảo sát ngẫu nhiên 10 khách hàng ta thu được các dữ liệu sau đây: Thu nhập Lượng hàng (khả dụng) hoá có nhu STT Tuổi tác bình quân 1 cầu mua sắm tháng (x) (y) 1 1,0 1 20 2 2,5 2 24 3 3 2 25 4 3,5 2 28 5 4,0 3 26 6 5,0 3 30 201
7 6,5 4 34 8 7,0 6 45 9 9,0 6 48 10 10,0 7 50 Hồi qui được dùng để xem xét mối liên hệ tuyến tính giữa 2 tiêu thức X và y. Mục tiêu của phân tích hồi qui là mô hình hoá môi liên hệ, nghĩa là từ tài liệu thực tê thu nhập được ta cô" gắng xây dựng một mô hình toán học nhằm thể hiện một cách tốt nhất mối liên hệ giữa 2 tiêu thức X và y. Dùng đồ thị để quan sát mối liên hệ giữa thu nhập bình quân 1 tháng vói khối lượng hàng hoá có thể mua được từ thu nhập đó, có thể sơ bộ thấy giữa 2 tiêu thức nói trên có mối liên hệ không hoàn toàn chặt chẽ. Tuy nhiên, nếu quan sát toàn bộ, ta thấy đưồng gấp khúc trên đồ thị vươn theo 1 hướng rõ rệt: từ bên trái phía dưới sang bên phải phía trên. Đồ thị 6.1: Mối quan hệ giữa thu nhập khả dụng và nhu cầu về hàng hóa 202
Mỏi quan hệ giữa thu nhập khả dụng và cầu về hàng hoá 8 7 ... Ị t — o 7. Đường hồi quy thực tế • Yx 0 0 5 10 15 Thu nhập khả dụng Trên đồ thị, đường gấp khúc được gọi là đường hồi qui thực nghiệm, hình thành bởi các tài liệu điều tra thực thế. Đường này chưa phản ánh rõ được mối liên hệ giữa 2 tiêu thức. Tuy vậy, đưòng hồi qui thực nghiệm này vươn theo một hướng rõ rệt. Điều đó cho phép ta có t hể điều chỉnh để vạch ra một đường thẳng đi theo cùng hưống, thay thế cho đường hồi qui thực nghiệm. Đưòng này được gọi là đường hồi qui lý thuyết. Trong vô số các đường thẳng vẽ được, vấn đề là chỉ chọn 1 đưòng thẳng mô tả sát nhất xu hướng này. Phương pháp dùng để xác định đường này là phương pháp bình phương bé nhất. Phương pháp này sẽ tìm ra 1 đường thẳng cực tiểu hoá được tổng các độ lệch bình 203
phương các chênh lệch giữa giá trị thực tê yt với giá trị ỹx, tức là: S = Z(yt - ỹx =>min )2 Trong đó: y x = a + bx yx: Trị số' điều chỉnh của tiêu thức kết quả (y) theo quan hệ phụ thuộc với tiêu thức (x) x: Trị sô" của tiêu thức nguyên nhân a, b: Các tham sô" qui định vị trí đường hồi qui lý thuyết. yt: Đường hồi qui thực nghiệm Bằng cách lấy đạo hàm theo a và b ta rút ra được hệ phương trình chuẩn của a, b: (1) (2) Giải hệ ta được: a = ỹ - b. X Nếu nhân cả tử sô" và mẫu số của công thức (6.1) vối 1/n rồi biến đổi ta có: 204
b = (6.2) - r n Hoặc công thức (6.2) có thể viết thành: b - L s ụ illỉip l (6.3> X (x - x) Nếu chia cả tử sô và mẫu số của (6.3) cho (n) ta có: u _ x -y - y-x b = ----- r ĩ ------ (6.4) , y ( x , - x ) 2 Trong đó: ĩ> \ -----------1-------- - n Như vậy, tham số b có thể tính bằng nhiều công thức khác nhau, tuỳ theo nguồn tài liệu. Theo số bảng 6.1 ta lập bảng tính toán sau. (bảng 6.2) 205
STT X y x.y X2 (x- x) (y* ỹ) (x- x)2 (y- y)2 (x,- x).(y, - y) 1 1 1 1 1 -4,15 -2,6 17,2225 6,76 10,79 2 2,5 2 5 6,25 -2,65 •1,6 7,0225 2,56 4,24 3 3,0 2 6 9 »2,15 •1,6 4,6225 2,56 3,44 4 3,5 2 7,0 12,25 -1,65 •1,6 2,7225 2,56 2,64 5 4,0 3 12,0 16,0 -1,15 -0,6 1,3225 0,36 0,69 6 5,0 3 15,0 25 -0,15 -0,6 0,0225 0,36 0,09 7 6,5 4 26 42,25 + 1,35 +0,4 1,8225 0,16 0,54 8 7,0 6 42 49 + 1,85 2,4 3,4225 5,76 4,44 9 9,0 6 54 81 +3,85 2,4 14,8225 5,76 9,24 10 10 7 70 100 +4,85 3,4 23,5225 11,56 16,49 Ix l y X xy Ix * I(x- X) X(y- ỹ) I(x-x)2 I ( y ~y)'2 (x,- x).(y, - Cộng =51,5 =36 =238 =341,75 =0 = 0 =76,525 = 38,4 ỹ) =52,6 Ta có: 10 10 - _ Z y _ 3 6 _ , /: *■ w To 3 -6 - =Ị ^ ạ s 10 10 Thay sô" vào tính các tham sô" a, b u _ xy - y.x _ 23,8-5,15.3,6 _ 5,26 _ , ^ ' Ề V r = H p i- 5.15)’ = 7 -6525 = n 10 206
Hoặc tính theo công thức (6.3): b= I ^ > - ( y , - ỹ > = ^ £ (x -x )2 7,6525 Vậy a = 3,6 - 0,687.(5,15) = 0,06195 Do đó, phương trình hồi qui có dạng: ỹx= 0,06195+ 0.687.X Trong phương trình này, tham sô" a = 0,06195 là mức độ xuất phát đầu tiên của đường hồi qui lý thuyết, đây là tham sô" tự do không phụ thuộc vào (x), nói lên ảnh hưởng của các nhân tô" khác tới lượng hàng hoá, dịch vụ mua được. Tham số b = 0,687 là mức độ quy định độ dốc của đường hồi quy lý thuyết, người ta thường gọi là hệ s ố hồi quy, nói lên ảnh hưởng của tiêu thức nguyên nhân (x) đối với tiêu thức kết quả (y), cụ thể, nếu thu nhập bình quân 1 tháng tăng thêm 1 triệu đồng thì nhu cầu mua sắm hàng hoá, dịch vụ của người tiêu dùng tăng thêm 0,687. 2.2. Hệ sô tương quan Trong các phần trên đã giải quyết vấn đề xác định mối liên hệ tương quan và biểu hiện cụ thể môi liên hệ này bằng phương trình hồi quy. Một yêu cầu quan trọng của phân tích tương quan là xác định một cách cụ thể trình độ chặt chẽ của mốì liên hệ. 207
Trong trường hợp 2 tiêu thức X và y có môi liên hệ tương quan tuyến tính, chỉ tiêu đánh giá trình độ và chiêu hướng của m ổì liên hệ tuyến tính giữa X và y được gọi là hệ sô" tương quan. Hệ số tương quan giúp ta xác định được trình độ và chiều hướng của mối liên hệ, xem xét giữa tiêu thức nguyên nhân và tiêu thức kết quả có mối liên hệ vói nhau đến chừng mực nào. Trong những điều kiện thời gian và không gian khác nhau, mốì liên hệ tương quan giữa cùng một sô" hiện tượng cũng có thể có trình độ chặt chẽ khác nhau. Qua việc đánh giá này có thể chọn ra được tiêu thức nguyên nhân có tác dụng chủ yếu hay thứ yếu đối vối hiện tượng nghiên cứu. Hệ số tương quan cũng giúp ta xác định phương hướng cụ thể của mốì liên hệ nếu chỉ tiêu này tính ra giá trị dương đó là mối tương quan thuận, và giá trị âm đó là mối tương quan nghịch. Hệ sô" tương quan còn được dùng trong nhiều trường hợp dự báo thông kê và sai số dự báo. Trong toán học có nhiều phương pháp và nhiều công thức tính hệ số’ tương quan. Thông kê chỉ vận dụng một số công thức đơn giản và thích hợp nhất. Sau đây là một sô" công thức thường dùng. Với (Xj, yj), (x2, y2),... (xn, yn là mẫu n cặp giá trị ) quan sát thu nhập ngẫu nhiên từ X và y. Công thức tính 208
hệ số tương quan mẫu (rx ) (còn gọi là hệ sô" tương quan v Pearson) có dạng: r xy = — z(=' i - X)(y i - y) ^ V N ~ ; ; / V ' , J } = (6.5) a I (*. - * ĩ ỵ ( y, - ỹf / Từ công thức (6.5) có thể chia cả tử sô" và mẫu số cho n, ta có công thức: i I(* ,-x ).(y i-ỹ) r.xy = Ị n n ìT Ã ** -y x )2- Z ( y . - y ) - Z (x' " - y) Hay r = -D-----------——------------ (6.6) 0 v0 „ X V Trong đó: và .. ô. = Z( y . - y > ! n (ỗx;ôy: Độ lệch chuẩn của tiêu thức X và y) Hoặc từ công thức (6.6), hệ sô tương quan còn được viết dưới dạng: r xv = XV r / - y ( 6 ' 7 ) Ô x ỗ V 209
Cũng tương tự, khi ta nhân cả tử sô" và mẫu sô" của công thức (6.5) với ( —) ta có: n Ị > iy i-n(x)(y) r xy I __ J — y w *o ) VCE> ?-nx ) ( 2 y 2i - n y ) Hoặc từ công thức (6.7) ta còn có thể biến đổi = xy - X .ỹ = xy - X .ỹ ^ 5x xy M y " Ô2 X ôy ™' u - xy = “— -y mà b x 52 Do đó: rx = b .— y (6.9) y Như vậy, hệ sô" tương quan có thể tính bằng nhiều công thức khác nhau, tuỳ theo nguồn tài liệu cụ thể ta có thể sử dụng một trong các công thức trên để tính toán.
Hệ sô" tương quan có các tính chất sau: a. Hệ sô" tương quan có trị s ố - l < rx < 1 y b. Khi rx > 0 giữa X và Y có mối tương quan y thuận: Khi biến X tăng lên (giảm đi) thì biến Y cũng tăng lên (giảm đi). c. Khi rxy= ± 1, giữa X và Y có liên hệ hàm sô" d. Khi rx = 0, giữa X và Y không có mối liên hệ y não e. Trị sô" rx càng gần với ± 1, môi liên hệ giữa X y và Y càng chặt chẽ. * Tiếp theo ví dụ bảng 6.1, ta tính được rx như sau: y Theo công thức 6.6 ta có: X 52,6 _ 52,6 52,6 0 97 xy -y/76,525 X 38,4 ^2938 ,56 54,2 Hoặc tính theo công thức (5.7) ta có: _ xy - x.y _ 23 ,8 - 5,15 X 3,6 _ 5,26 _ 97 r‘y _ ồ x.ôy “ 2,766 X 1,959 - 5,42 ’ Trong đó: 211
Các công thức hệ sô tương quan trên đây cũng còn có thể biến đổi ra nhiều công thức khác, nhưng kết quả tính toán không thay đổi. Việc vận dụng công thức nào phải căn cứ vào điều kiện tài liệu đã có. 2.3. Phương trình hồi quy tuyến tính phức tạp Trong thực tê việc phân tổ tài liệu điều tra thường gặp những trường hợp các đơn vị trong tổng thể quá nhiều và được phân chia vào các tổ theo các tần sô" tương ứng, trong các tổ lượng biến lại có khoảng cách tổ. Gặp trường hợp này, trước tiên cần phải phân tổ tài liệu theo những tiêu thức kết hợp và tính ra trị sô" giữa của mỗi tổ, sau đó mới xây dựng phương trình hồi quy và tính các tham sô" có liên quan. Ví dụ: có tài liệu điều tra thu thập được ỏ 50 doanh nghiệp công nghiệp về giá trị thiết bị chủ yếu và kết quả sản xuất. Để nghiên cứu môi quan hệ giữa quy mô sản xuất và kết quả sản xuất, ta tiến hành phân tổ tài liệu điều tra và giả dụ đã phân tổ được như sau: 212
Bảng 6.3 \ Giá tr ị Cộng \ th iế t bị sỗ \ chủ yếu doanh \ (triệu nghiệp \ đồng) 2,5-5,7 7,5-12,5 12,5-17,5 17,5-2,5 G iá trị\ sản xuât\ b ìn h q u â n 1 ngày \ (triệ u đồng)\ SỐ DOANH NGHIỆP 45-55 2 1 3 35 - 45 3 6 6 15 25-35 3 8 6 3 20 15-25 5 4 1 10 5-15 2 2 Cộng số 10 15 15 10 50 doanh nghiệp Căn cứ tài liệu trên chúng ta nhận thấy tình hình phân phôi các đơn vị trong bảng như sau: đại bộ phận số doanh nghiệp được tập trung theo một hướng từ trái, phía dưới sang phải, phía trên của bảng (bảng này có 213
tên là bảng tương quan, có câ'u tạo giông như một đồ thị). Biểu hiện này cho phép ta kết luận rằng giữa hai tiêu thức giá trị thiết bị chủ yếu (quy mô của doanh nghiệp) và giá trị sản xuất bình quân một ngày (kết quả sản xuất) có mốì liên hệ tương quan thuận. Xuất phát từ phương trình cơ bản yx= a + bx cho hai tiêu thức tương q u a n , t r o n g đ ó m ỗ i t r ị sô" c ủ a c h ú n g ( c ủ a X, y ) c h ỉ x u ấ t hiện một lần, ta suy ra cho trường hợp tài liệu phân tổ (mỗi trị sô của X, y xuất hiện nhiều lần). Chỉ cần chú ý là các phần tử Xy, Xx, Zxy, Zx2 trong các phương trình chuẩn đều có tần sô" của nó. Vì vậy, hệ phương trình chuẩn sẽ là: X yny = Na + b z xnx (1) (6.10) £ xynxy = a z xn x+ b z X2n x (2) Trong đó: N: E số" đơn vị tổng thể chung. - x,y: Trị sô giữa khoảng cách tổ của tiêu thức: nguyên nhân (x) và kết quả (y). - nx: Tần sô" của các tổ được phân tổ theo tiêu thức x: (X nx = N) - nv: Tần sô" của các tổ được phân chia ra theo tiêu thức y(X ny= N) - nxy: Tần sô" chung của tổ được phân chia theo hai tiêu thức kết hợp X và y (Z nxy= N). 214