Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Chia sẻ: Minh Quan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất; Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất; Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp; Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Bùi Đình Thắng GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỒNG KÊ TOÁN Lƣu hành nội bộ Nghệ An, tháng 5 năm 2015 1
LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành toán học ra đời khoảng thế kỷ XVII, đối tƣợng nghiên cứu của nó là các hiện tƣợng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên thƣờng gặp trong thực tế. Lý thuyết xác suất và thống kê phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XX, xác suất thống kê đƣợc áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, trong đó có kinh tế, xã hội, điều khiển học, y học .... Do đó, ngày nay lý thuyết Xác suất và thống kê toán đã đƣợc đƣa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trƣờng Đại học và Cao đẳng trong nƣớc và trên thế giới. Để kịp thời phục vụ việc học tập của sinh viên, Khoa cơ sở - Trƣờng Đại học Kinh tế Nghệ An đã tổ chức biên soạn cuốn giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán. Đây là giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng và hệ Đại học, dựa vào chƣơng trình giảng dạy bộ môn Khoa học tự nhiên – Khoa cơ sở có thể lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ của mỗi hệ đào tạo. Trong giáo trình này chúng tôi không đi sâu vào việc chứng minh những lý thuyết toán học phức tạp mà trình bày các kiến thức cơ bản về xác suất và thống kê toán nhằm đảm bảo phần cơ sở toán học cho quá trình thu thập và xử lý thông tin kinh tế - xã hội sẽ đƣợc tiếp tục nghiên cứu trong các môn học khác. Giáo trình đƣợc trình bày gồm 8 chƣơng: Chương 1. Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Chương 3. Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Chương 5. Các định lý giới hạn Chương 6. Lý thuyết mẫu Chương 7. Bài toán ước lượng tham số Chương 8. Bài toán kiểm định giả thuyết 2
Giáo trình "Lý thuyết xác suất và thống kê toán" đƣợc biên soạn lần đầu và trong thời gian ngắn nên chắc chắn giáo trình không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của bạn đọc để giáo trình ngày càng đƣợc hoàn thiện. Tác giả 3
Chƣơng 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 1.1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một thuật ngữ để chỉ một phép thử hay một thực nghiệm hay một quan sát ... mà kết quả là ngẫu nhiên, không biết trƣớc một cách chắc chắn. Các kết quả có thể (ký hiệu là ) của phép thử ngẫu nhiên gọi là các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp (biến cố sơ cấp). 1.1.1.1. Định nghĩa. Tập hợp tất cả các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp  gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là: Ω. Số các biến cố sơ cấp của Ω ta ký hiệu là Card(Ω). Ví dụ 1. 1) Gieo một đồng xu là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Các kết quả S = "Xuất hiện mặt sấp", N = "Xuất hiện mặt ngửa" là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu là  = {S, N}. Card() = 2. 2) Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Các kết quả Mi: “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm” (i = 1, 2, ..., 6) là các biến cố sơ cấp. Không gian mẫu là Ω = {M1, M2, M3, M4, M5, M6}. Card(Ω) = 6. 3) Từ một hộp có 13 viên bi khác nhau ta lấy ra ngẫu nhiên 4 bi, thì hành động đó là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Mỗi kết quả lấy ra đƣợc 4 viên bi trong 13 viên bi là một biến cố sơ cấp. Do đó không gian mẫu Ω là tập hợp các tổ hợp chập 4 của 13 phần tử. Card(Ω) = C134 = 715. 1.1.1.2. Định nghĩa Một tập hợp con A   đƣợc gọi là một biến cố ngẫu nhiên (biến cố). Các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp   A đƣợc gọi là biến cố ngẫu nhiên sơ cấp thuận lợi cho A. Biến cố A đƣợc gọi là xảy ra khi và chỉ khi xảy ra một biến cố ngẫu nhiên sơ cấp   A. Nhƣ vậy A có thể có, có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là biến cố không thể, ký hiệu là . 4
Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là biến cố chắc chắn. Ví dụ 2. 1) Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt. Các kết quả: Ac: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn”; Al: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lẻ”; Ant: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”; B: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4"; C: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm bé thua 5" là các biến cố ngẫu nhiên. Biến cố "Xúc xắc xuất hiện có số chấm lớn hơn 0" là biến cố chắc chắn. Biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể. 2) Một hộp có 13 viên bi trong đó có 5 viên bi xanh, 8 viên viên đỏ. Xét phép thử lấy 5 viên bi. Các kết quả: A = "Lấy ra đƣợc 3 bi xanh, 2 bi đỏ"; B = "Lấy ra đƣợc 4 bi xanh, 1 bi đỏ"; C = "Lấy ra đƣợc ít nhất một bi đỏ"; D = "Lấy ra đƣợc nhiều nhất 3 bi xanh" ... là các biến cố ngẫu nhiên. Biến cố "Lấy ra đƣợc 4 viên bi màu vàng" là biến cố không thể. 1.1.2. Quan hệ giữa các biến cố Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử. 1.1.2.1. Quan hệ kéo theo. Ta nói rằng biến cố A kéo theo (hay thuận lợi) biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra. Ký hiệu là A ⊂ B. Ví dụ 3. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M1⊂ Al, M4 ⊂ Ac. 2) Chọn ngẫu nhiên một con bài trong bộ bài tú-lơ-khơ gồm 52 quân bài. Gọi A là biến cố chọn đƣợc con bài chất rô; B là biến cố chọn đƣợc con bài màu đỏ. Khi đó A ⊂ B. 3) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong một kho hàng có hai loại sản phẩm loại 1 và loại 2. Gọi A là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm cùng loại; B là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm loại 1. Khi đó B ⊂ A. 5
1.1.2.2. Quan hệ đồng nhất. Ta nói rằng biến cố A đồng nhất (hay tương đương) với biến cố B nếu trong phép thử đó biến cố A xảy ra khi và chỉ khi biến cố B xảy ra. Ký hiệu: A = B. Ví dụ 4. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc. Gọi B là biến cố "con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là bội của 2 và 3”, thì khi đó B = M6. 2) Thầy giáo chấm bài của 1 sinh viên và cho điểm theo thang điểm 10. Gọi A là biến cố sinh viên đó đạt điểm nhỏ thua 5; B là biến cố sinh viên đó không đạt yêu cầu. Khi đó ta có: A = B. 1.1.2.3. Quan hệ xung khắc. Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử đó. Trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu hai biến cố có thể cùng xảy ra trong một phép thử thì đƣợc gọi là không xung khắc. Dãy các biến cố A1, A2, …, An là dãy các biến cố xung khắc từng đôi nếu Ai, Aj (i  j, i, j) xung khắc. Ví dụ 5. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc. Các cặp biến cố Mi và Mj (i ≠ j), M1 và Ant, Ac và Al là xung khắc với nhau. 2) Hai ngƣời cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố "ngƣời thứ nhất bắn trúng"; B là biến cố "ngƣời thứ hai bắn trúng". Khi đó A, B là hai biến cố không xung khắc, vì khi thực hiện phép thử là cho hai ngƣời cùng bắn vào mục tiêu thì ngƣời thứ nhất và ngƣời thứ hai có thể cùng bắn trúng nên A, B có thể đồng thời xảy ra. 3) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp có 3 bi xanh, 4 bi vàng, 5 bi đỏ. Gọi A1 là biến cố chọn đƣợc 2 bi xanh; A2 là biến cố chọn đƣợc 2 bi vàng; A3 là biến cố chọn đƣợc 2 bi khác màu. Khi đó A1; A2; A3 xung khắc từng đôi một. 1.1.2.4. Quan hệ đối lập. Hai biến cố A, B đƣợc gọi là đối lập với nhau nếu trong phép thử đó A xảy ra khi và chỉ khi B không xảy ra. Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A . Ví dụ 6. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc. Al = A c . 6
2) Bắn một viên đạn vào mục tiêu. Gọi A là biến cố: "bắn trúng mục tiêu", A là biến cố "bắn trƣợt mục tiêu". A và A là hai biến cố đối lập với nhau. 3) Chọn ngẫu nhiên hai viên bi trong một hộp có 3 viên bi xanh, 4 viên bi vàng và 5 viên bi đỏ. Gọi A là biến cố 2 viên bi đƣợc chọn ra có ít nhất 1 viên bi màu xanh. Gọi A là biến cố 2 viên bi chọn ra không có viên bi màu xanh. 1.1.3. Các phép toán về biến cố Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử. 1.1.3.1. Tổng, tích của hai biến cố Tổng (Hợp) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A + B (hoặc A  B ), biến cố A + B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. Tích (Giao) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là AB (hoặc A  B ), biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra. Ví dụ 7. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M2 = AcAnt;  = Ac + Al;  = MiMj (i  j; 1  i, j  6) 2) Bắn hai viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố "viên thứ nhất trúng mục tiêu", B là biến cố "viên thứ hai trúng mục tiêu". Khi đó A + B là biến cố "mục tiêu trúng đạn". AB là biến cố "cả 2 viên đạn trúng mục tiêu". 3) Một sinh viên chọn ngẫu nhiên một câu hỏi. Gọi A là biến cố "đƣợc câu lý thuyết", B là biến cố "đƣợc câu khó". Khi đó AB là biến cố "đƣợc câu lý thuyết khó". 1.1.3.2. Hiệu của 2 biến cố. Hiệu của biến cố A với biến cố B là một biến cố, ký hiệu là A\B, biến cố A\B xảy ra khi và chỉ khi biến cố A xảy ra nhƣng biến cố B không xảy ra. Ví dụ 8. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M2 = Ant\Al, Ant\Ac = M5 + M3, Ac\Ant = M4 + M6. 2) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp có 3 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng, 5 viên bi màu đỏ. Gọi A là biến cố chọn đƣợc ít nhất 1 viên màu xanh; B là biến cố chọn đƣợc 2 viên bi khác 7
màu. A\B là biến cố chọn đƣợc 2 viên bi màu xanh. B\A là biến cố không thể. 1.1.3.3. Hệ đầy đủ. Các biến cố A1 , A2 ,..., An đƣợc gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn: i) A1  A2  ...  An  ; ii) A1 , A2 ,..., An đôi một xung khắc. Ví dụ 9. 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: Hệ {Ac, Al}, {M1, M2, …, M6} và {Al, Ant, M4, M6} là các hệ đầy đủ. 2) Cho A là một biến cố bất kỳ. Khi đó {A, Ā} là hệ đầy đủ. 3) Gieo 2 hạt giống, gọi Ai là biến cố có số i hạt nảy mầm (i = 0, 1, 2). Ta có {A0, A1, A2} là một hệ đầy đủ. 1.1.4. Các tính chất phép toán về biến cố Các phép toán biến cố A + B, AB, A tƣơng ứng với các phép toán tập hợp nên chúng có tính chất tƣơng tự. i) Giao hoán: A + B = B + A; AB = BA; ii) Kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C; A(BC) = (AB)C = ABC; iii) Phân phối: A(B + C) = AB + AC; iv) Lũy đẳng: A + A = A, AA = A; v) A    ; A  A; A    A;A  ; vi) A = A ; vii) Luật đối ngẫu De Morgan: A  B = A.B; AB = A  B; viii) A\B = AB. Đặc biệt nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì A\B = A và B\A = B. 8
1.2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Xác suất của biến cố là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất, là đại lƣợng xác định (về số lƣợng) đƣợc dùng để biểu thị cho khả năng xảy ra của một biến cố trong một phép thử. Biến cố nào có khả năng xảy ra nhiều hơn thì gán cho giá trị lớn hơn, khả năng xảy ra nhƣ nhau thì gán cho giá trị bằng nhau. Qua quá trình phát triển của lý thuyết xác suất và tùy theo đặc điểm của từng phép thử, chúng ta có những định nghĩa về xác suất nhƣ sau: 1.2.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất 1.2.1.1. Định nghĩa. Xét một phép thử, không gian mẫu   1 , 2 ,...n  là hữu hạn (gồm một số hữu hạn các biến cố sơ cấp). Giả sử các biến cố sơ cấp 1, 2, ..., n có đồng khả năng xảy ra (khả năng xảy ra của các biến cố đó khi thực hiện phép thử là nhƣ nhau). A là một biến cố ngẫu nhiên bất kỳ, m = Card(A) là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xảy ra. m Card(A) Khi đó xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A) =  . n Card() 1.2.1.2. Tính chất của xác suất Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có thể suy ra các tính chất sau đây: i) 0  P(A)  1; ii) P() = 0; P() = 1. Chứng minh: Card(A) i) Vì 0  Card(A)  n  0   1  0  P(A)  1.  n ii) Vì Card() = 0 và Card() = n  P()  0, P() = 1. Ví dụ 1. 1) Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố: A là biến cố "xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn"; B là biến cố "xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ thua 3". Giải. Gọi Mi là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là i (i = 1, 2, …, 6). 9
Khi đó không gian các biến cố sơ cấp đồng khả năng có 6 phần tử:  = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là 3 gồm {A2, A4, A6}. 3 1 Do đó xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A)    0,5. 6 2 Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B là 2 gồm {A1, A2}. Do đó xác suất để biến cố B xảy ra là P(B) = 2/6 = 1/3  0,333. 2) Một lô hàng gồm 15 sản phẩm trong đó có 12 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất trong các trƣờng hợp sau: a) Một sản phẩm tốt và một sản phẩm xấu; b) Cả hai sản phẩm xấu. Giải. Số biến cố sơ cấp đồng khả năng là : C15 2  105. a) Gọi A là biến cố hai sản phẩm lấy ra có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu. Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là : C113C12  36. 36 Vậy xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A)   0,343. 105 b) Gọi B là biến cố có hai sản phẩm tốt đƣợc lấy ra. Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B là C12 2  66. 66 Vậy xác suất để biến cố B xảy ra là: P(B)   0,629 . 105 1.2.1.3. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất Ƣu điểm: Khi tìm xác suất của biến cố ta không cần phải tiến hành thực nghiệm (phép thử chỉ tiến hành một cách giả định); kết quả xác suất tìm ra chính xác khi đáp ứng đƣợc các yêu cầu của định nghĩa. Nhƣợc điểm: Chỉ áp dụng đƣợc cho các phép thử có số biến cố sơ cấp hữu hạn và các biến cố đó đồng khả năng xảy ra; trong thực tế nhiều khi không biểu diễn đƣợc các kết quả của phép thử dƣới dạng các biến cố sơ cấp đồng khả năng (Ví dụ: Khi tung con xúc xắc ta giả 10
thiết rằng nó cân đối và đồng chất, tuy nhiên trong thực tế hiếm khi có một con xúc xắc cân đối, đồng chất). 1.2.2. Định nghĩa thống kê về xác suất 1.2.2.1. Tần suất. Xét một phép thử và A là một biến cố nào đó liên quan đến phép thử. Ta thực hiện phép thử đó n lần (một cách độc lập) trong những điều kiện giống nhau, nếu trong n lần đó có m (0  m  n) lần biến cố A xảy ra thì tỷ số f n (A)  m đƣợc gọi là tần n suất xảy ra biến cố A trong n phép thử. Ví dụ 2. 1) Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào mục tiêu và có 800 lần bắn trúng mục tiêu. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Khi đó tần suất xảy ra biến cố A là f1000(A) = 800/1000 = 0,8. 2) Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi thực hiện phép thử tung một đồng xu. Ngƣời ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần và thu đƣợc kết quả sau đây: Ngƣời làm Số lần mặt sấp Số lần tung Tần suất thí nghiệm xuất hiện Buffon 4040 2048 0,5069 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Qua ví dụ trên nhận thấy, khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ giao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi 0,5. Điều đó cho phép hy vọng rằng khi số phép thử tăng lên vô hạn thì tần suất hội tụ về giá trị 0,5. 1.2.2.2. Định nghĩa. Khi số phép thử n càng lớn thì tần suất f n (A) sẽ dao động xung quanh một hằng số p với biên độ giảm dần tới 0. Hằng số p đó đƣợc gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A) = p. Nhƣ vậy f n (A)  P(A) khi n  . 1.2.2.3. Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa thống kê về xác suất Ƣu điểm: Khi xác định xác suất bằng thống kê ngƣời ta không đòi hỏi điều kiện áp dụng nhƣ đối với định nghĩa cổ điển, nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận. 11
Nhƣợc điểm: Theo định nghĩa thống kê của xác suất, ta không thể xác định chính xác xác suất của một biến cố vì không thực hiện phép thử vô hạn lần đƣợc. 1.3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT 1.3.1. Định lý cộng 1.3.1.1. Định lý. i) Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau thì: P(A + B) = P(A) + P(B); ii) Nếu A1, A2, …, An là dãy các biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì: P(A1  A2  ...  An )  P(A1 )  P(A2 )  ...  P(An ). Chứng minh: i) Vì A, B là hai biến cố xung khắc nên không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho cả A và B. Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A + B là m = mA + mB, trong đó mA là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và mB là biến cố sơ cấp thuận lợi cho B. Từ đó suy ra: m  mB mA mB P(A  B)  A    P(A)  P(B).  n n n ii) Ta chứng minh theo phƣơng pháp quy nạp toán học: + Với n = 2: Theo i) ta có P(A1  A2 )  P(A1 )  P(A2 ) nên ii) đúng với n = 2. + Giả sử ii) đúng với n = k, tức là: P(A1  A2  ...  Ak )  P(A1 )  P(A2 )  ...  P(A k ). + Với n = k + 1, ta có: P(A1  A2  ...  Ak  Ak 1 )  P(A1  A2  ...  Ak )  P(Ak 1 ) (theo i))  (P(A1 )  P(A2 )  ...  P(Ak ))  P(A k 1 ). (theo giả thiết quy nạp)  ii) đúng với n = k + 1. Vậy theo phƣơng pháp chứng minh quy nạp toán học ta có: Nếu A1, A2, …, An là dãy các biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì: P(A1  A2  ...  An )  P(A1 )  P(A2 )  ...  P(An ), n  , n  2.  Ví dụ 1. Một hộp 6 bi đỏ và 4 bi xanh hoàn toàn giống nhau về kích thƣớc và trọng lƣợng. Ta lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu. Giải. Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra đều màu xanh. B là biến cố 2 bi lấy ra đều màu đỏ. 12
C là biến cố 2 bi lấy ra đều cùng màu. Khi đó: C = A + B và A, B xung khắc nên: P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) C24 2 C62 5 Ta có: P(A)  2   0,133 ; P(B)  2   0,333. C10 15 C10 15 Vậy xác suất để lấy ra 2 bi cùng màu là: 2 5 7 P(C)     0, 467. 15 15 15 1.3.1.2. Hệ quả. i) Nếu A là biến cố đối lập của biến cố A thì xác suất của biến cố A là P(A)  1  P(A); ii) Nếu A1, A2, …, An là hệ đầy đủ các biến cố thì: P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1. Chứng minh: i) Vì A và A đối lập nên A và A xung khắc do đó theo Định lý 1.3.1.1 ta có: P()  P(A  A)  P(A)  P(A)  1  P(A)  P(A)  P(A)  1  P(A).  ii) Nếu A1, A2, …, An là hệ đầy đủ các biến cố thì A1, A2, …, An dãy các biến cố đôi một xung khắc và A1 + A2 + …+ An = . Do đó: 1  P()  P(A1  A2  ...  An )  P(A1 )  P(A 2 )  ...  P(A n ).  Ví dụ 2. Một hộp có 50 sản phẩm loại I và 15 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra. Giải. Gọi A là biến cố "có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra". Khi đó A là biến cố không có sản phẩm loại II nào trong 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra. C10 C10 Ta có: P(A)  1050  P(A)  1  10 50  0,943. C65 C65 1.3.1.3. Định lý cộng mở rộng i) Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB); 13
ii) Nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC); iii) Nếu A1, A2, …, An là dãy các biến cố bất kỳ thì  n  n P   Ai    P(Ai )   P(Ai A j )   P(Ai A jA k )  ...   i 1  i 1 1i  j n 1i  j k  n (1)n 1 P(A1A2 ...An ). Chứng minh: i) Ta có A  B  A  BA ; A và BA xung khắc với nhau. Khi đó, P(A  B)  P(A)  P(BA) . Mặt khác, B  B(A  A)  BA  BA nên P(B)  P(BA)  P(BA)  P(BA) = P(B) – P(AB). Từ đó, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB). ii) P(A + B + C) = P(A) + P(B + C) – P(A(B+C)) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) – {P(AB) + P(AC) – P(ABC)}.  P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) – {P(AB) + P(AC) – P(ABC)}. iii) Chứng minh tƣơng tự ii. Ví dụ 3. Một lớp có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên biết tiếng Pháp, 7 sinh viên biết cả 2 thứ tiếng. Gọi ngẫu nhiên 1 sinh viên. Tìm xác suất để: a) Sinh viên đó biết ít nhất 1 ngoại ngữ; b) Sinh viên đó không biết ngoại ngữ. Giải: a) Gọi A là biến cố sinh viên đƣợc gọi biết tiếng Anh: 10 P(A)   0,5. 20 12 B là biến cố sinh viên đƣợc gọi biết tiếng Pháp: P(B)   0,6. 20 7 AB là biến cố sinh viên biết cả 2 thứ tiếng  P(AB)   0,35. 20 C là biến cố sinh viên đƣợc gọi biết ít nhất 1 ngoại ngữ: C = A + B Khi đó: P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B)  P(AB) 14
10 12 7 15 P(C)      0,75. 20 20 20 20 b) C là biến cố sinh viên đƣợc gọi biết ít nhất 1 ngoại ngữ, nên C là biến cố sinh viên đƣợc gọi không biết ngoại ngữ: P(C) = 1 P(C)  0, 25. 1.3.2. Định lý nhân 1.3.2.1. Xác suất có điều kiện. Giả sử A, B là 2 biến cố, P(B) > 0. Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là một số không âm, ký hiệu là P(A/B) , nó đặc trƣng cho khả năng xảy ra của biến cố A trong tình huống biến cố B đã xảy ra. Ví dụ 4. Một hộp có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra lần lƣợt 2 viên bi, mỗi lần 1 viên (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để: a) Bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, biết rằng bi lấy ra lần 1 là bi đỏ. b) Bi lấy ra lần 2 là bi xanh, biết rằng bi lấy ra lần 1 là bi xanh. Giải. Gọi Ai là biến cố bi lấy ra lần thứ i là bi đỏ (i = 1, 2). a) Khi bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh, trong hộp lúc này chỉ còn lại 6 viên bi gồm 3 đỏ và 3 xanh. Do đó xác suất lấy ra lần 2 là bi đỏ 3 khi biết bi lấy ra lần 1 là bi đỏ là: P(A 2 /A1 )   0,5. 6 b) Khi bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh, trong hộp lúc này chỉ còn lại 6 viên bi gồm 4 đỏ và 2 xanh. Do đó xác suất lấy ra lần 2 là bi xanh 2 khi biết bi lấy ra lần 1 là bi xanh là: P(A 2 /A1 )   0,333. 6 1.3.2.2. Định lý nhân. Giả sử A, B là 2 biến cố. Khi đó ta có: P(AB) = P(B).P(A/B) nếu P(B) > 0 hoặc P(AB) = P(A).P(B/A) nếu P(A) > 0. Chứng minh: Giả sử n là biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra của phép thử. mA, mB là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, B; k là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và B. k m Khi đó: P(AB)  ;P(A)  A . n n Với điều kiện biến cố B đã xảy ra thì tổng số biến cố sơ cấp đồng khả năng lúc này là mB trong đó có k biến cố thuận lợi cho A. Do đó: 15
k P(A / B)  và P(B) > 0 (vì B đã xảy ra) mB Nhƣ vậy: k k P(AB) P(A / B)   n   P(AB)  P(B).P(A / B). mB mB P(B) n Vì vai trò của A, B nhƣ nhau nên nếu P(A) > 0 thì P(AB) = P(A).P(B/A). Ví dụ 5. Trong một hộp có 5 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt hai sản phẩm. Tìm xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm. Giải. Gọi Ai là biến cố "sản phẩm lấy ra lần thứ i là chính phẩm" (i = 1, 2). A là biến cố "cả hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm". Khi đó A = A1A2 5 4  P(A) = P(A1A2 ) = P(A1).P(A2/A1) = .  0,357. 8 7 1.3.2.3. Định lý nhân mở rộng. Giả sử A1, A2, …, An là các biến cố của cùng 1 phép thử. Khi đó: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1) với điều kiện: P(A1A2…An-1) > 0. Chứng minh: Ta chứng minh theo phƣơng pháp quy nạp toán học: + Với n = 2: Theo Định lý 1.3.2.2, ta có: P(A1A2) = P(A1).P(A2/A1)  Định lý đúng với n = 2. + Giả sử định lý đúng với n = k, tức là: P(A1A2…Ak) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2…Ak-1) + Ta chứng minh định lý đúng với n = k + 1. Theo Định lý 1.3.2.2, ta có: P(A1A2…Ak+1) = P(A1A2...Ak).P(Ak+1/A1A2…Ak Theo giả thiết quy nạp, ta có: P(A1A2…Ak+1) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2…Ak-1). P(Ak+1/A1A2…Ak)  với n = k + 1 định lý đúng. 16
Vậy theo phƣơng pháp quy nạp toán học ta suy ra Định lý 1.3.3.3 đúng với mọi n  . Ví dụ 6. Một hộp có 4 chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt từng sản phẩm một (không hoàn lại) để kiểm tra cho tới khi lấy ra đƣợc 2 phế phẩm thì thôi. Tìm xác suất các biến cố sau: a) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra tới sản phẩm thứ 2. b) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra tới sản phẩm thứ 3. c) Giả sử việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 3. Tìm xác suất để sản phẩm kiểm tra ở lần 1 là chính phẩm. Giải. a) Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra kiểm tra lần thứ i là phế phẩm (i = 1, 2, 3). A i là biến cố đối lập với biến cố Ai (i = 1, 2). A là biến cố việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 2. Khi đó: A = A1A2 2 1  P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) = .  0,067. 6 5 b) Gọi B là biến cố việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra tới sản phẩm thứ 3. Khi đó: B = A1 A 2 A3 + A1 A2A3. Ta có 2 biến cố A1 A 2 A3, A1 A2A3 xung khắc nên: P(B) = P(A1 A 2 A3) + P( A1 A2A3). Mà P( A1 A2A3) = P(A1).P( A 2 /A1).P(A3/A1 A 2 ). 2 4 1 trong đó: P(A1) = ; P( A 2 /A1) = ; P(A3/A1 A 2 ) = . 6 5 4 2 4 1  P(A1 A 2 A3) = . .  0,067. 6 5 4 Lại có: P( A1 A2A3) = P( A1 ).P(A2/ A1 ).P(A3/ A1 A2) 4 2 1 1 = . .   0,067. 6 5 4 15 17
2 Vậy P(B) =  0,133. 15 c) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 3. Xác suất để kiểm tra sản phẩm kiểm tra ở lần 1 là chính phẩm là: P(A1B) P( A1 /B) = . P(B) 1 Mà P(A1B) = P(A1A 2A3 )   0,067. 15 1 1 do đó: P( A1 /B) = 15   0,5. 2 2 15 1.3.2.4. Tính chất của xác suất có điều kiện i) P(/B) = 0; P(/B) = 1; ii) P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B) – P(AC/B); Nếu A, C xung khắc thì P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B) iii) P(A/B) = 1  P(A/B). 1.3.3. Tính độc lập của các biến cố 1.3.3.1. Định nghĩa. Hai biến cố A và B của cùng một phép thử đƣợc gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hƣởng đến xác suất của biến cố kia, tức là P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B). Trong lý thuyết và tính toán, ngƣời ta nhận biết tính độc lập bởi công thức, còn trong thực tế ngƣời ta nhận biết tính độc lập của các biến cố bằng trực giác. Ví dụ 7. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi A, B lần lƣợt là biến cố ngƣời thứ nhất, ngƣời thứ hai bắn trúng mục tiêu. Vì việc hai ngƣời bắn trúng hay trƣợt mục tiêu không ảnh hƣởng đến kết quả của nhau nên A, B là hai biến cố độc lập. Ví dụ 8. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Gọi A là biến cố con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt chấm chẵn, B là biến cố con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt chấm lẻ. Vì việc xuất hiện mặt có số chấm chẵn hay 18
lẻ của mỗi con xúc xắc không làm ảnh hƣởng đến nhau nên A, B là hai biến cố độc lập. 1.3.3.2. Định lý. Nếu A với B độc lập thì A với B , A với B, A với B cũng độc lập. Chứng minh: Vì A, B độc lập với nhau nên P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B). Ta có: P(B / A)  1  P(B / A)  1  P(B)  P(B) do đó B, A độc lập với nhau. Vì vai trò của A, B nhƣ nhau nên A, B độc lập với nhau. Lại có: P(B / A)  1  P(B / A)  1  P(B)  P(B) do đó A với B độc lập. 1.3.3.3. Hệ quả. Hai biến cố A và B với P(B) > 0 là độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B). Chứng minh: +) Giả sử A, B độc lập với nhau. Khi đó P(B/A) = P(B), do đó P(AB) = P(A).P(B). +) Ngƣợc lại, giả sử P(AB) = P(A).P(B), mà P(AB) = P(A).P(B/A) nên P(B/A) = P(B). Tƣơng tự P(A/B) = P(A). Vậy A và B độc lập với nhau. Ví dụ 9. Hai công ty hoạt động độc lập với nhau đƣợc mời tham gia đấu thầu một dự án gồm nhiều gói thầu. Khả năng trúng thầu của các công ty tƣơng ứng là 0,8 và 0,9. Tính xác suất để có ít nhất một công ty trúng thầu. Giải. Gọi A1, A2 lần lƣợt là biến cố công ty thứ nhất, thứ hai trúng thầu. A là biến cố có ít nhất một công ty trúng thầu. Khi đó: A = A1 + A2 và A1, A2 độc lập nhƣng không xung khắc. P(A1  A2 )  P(A1 )  P(A2 )  P(A1A2 )  P(A1 )  P(A2 )  P(A1 ).P(A2 )  0,8  0,9  0,8.0,9  0,98 . 1.3.3.4. Định nghĩa. Các biến cố A1, A2, …, An đƣợc gọi là độc lập từng đôi một nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố độc lập với nhau. Khi đó ta có: P(AiAj) = P(Ai).P(Aj) với i ≠ j. 19
Ví dụ 10. Tung một đồng xu 3 lần, gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố "mặt sấp xuất hiện ở lần tung thứ i". Khi đó A1, A2, A3 độc lập từng đôi một. 1.3.3.5. Định nghĩa. Các biến cố A1, A2, …, An đƣợc gọi là độc lập toàn phần nếu chúng độc lập từng đôi một và mỗi biến cố độc lập với tích của một số tùy ý các biến cố còn lại. Khi đó ta có: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2)…P(An). Chú ý. Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập với nhau từng đôi một, điều ngƣợc lại không đúng. Ví dụ 11. Hộp 1 có 3 bi đỏ và 4 bi xanh; Hộp 2 có 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất các biến cố sau: a) 2 bi lấy ra đều màu đỏ; b) 2 bi lấy ra cùng màu. Giải. a) Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra đều màu đỏ. Ai là biến cố bi lấy ra từ hộp i là bi đỏ (i = 1, 2). Khi đó A = A1A2. Ta có 2 biến cố A1, A2 là độc lập nên P(A) = P(A1).P(A2) = 3 2 .  0,123. 7 7 b) A i là biến cố đối lập của Ai (i = 1, 2). Gọi B là biến cố 2 bi lấy ra đều màu xanh. Khi đó: B = A1.A 2 ; A1 , A 2 độc lập.       4 5  P  B = P A1.A 2  P A1 .P A 2  .  0, 408. 7 7 Gọi C là biến cố 2 bi lấy ra đều cùng màu; C = A + B; A, B xung khắc. 26  P  C  = P  A + B = P(A) + P(B)   0,531. 49 1.4. CÁC HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ CỘNG, ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT 1.4.1. Công thức xác suất từng phần (đầy đủ) 20