intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p5

Chia sẻ: Ewtw Tert | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
77
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giải các b i toán (7.8.4) v (7.8.5) tìm các h m v(x, t) v w(x, t) sau đó thế v o công thức (7.8.3) suy ra nghiệm của b i toán HH1. Định lý Cho các h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v.Định lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) thoả m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i toán SP1 có nghiệm duy nhất v ổn định xác định theo...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p5

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k B i to¸n SH1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m p ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t) • KiÓm tra trùc tiÕp h m x x u(x, t) = η(t - )p(t - ) (7.6.2) a a l nghiÖm cña b i to¸n SH1b. B i to¸n SH1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g, h ∈ C(D, 3), p ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SH1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SH1α. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (7.6.1) v (7.6.2) suy ra c«ng thøc sau ®©y. x + at x + at x + aτ 1 ∂  t  g 1 (ξ)dξ + ∫ h 1 (ξ)dξ + ∫ dτ ∫ f 1(ξ, t − τ)dξ   ∂t ∫ u(x, t) =  2a  x − at  x − at x − aτ 0 x x + η(t - )p(t - ) (7.6.3) a a §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v p ∈ C2(3+, 3) tho¶ g(0) = 0, h(0) = 0 v f(0, t) = 0 B i to¸n SH1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.6.3) víi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i lÎ cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 125
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂2u ∂2u = 4 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = sinx, (x, 0) = 2x ∂t u(0, t) = sint Do c¸c h m f, g v h l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f, g1 = g v h1 = h. Thay v o c«ng thøc (7.6.3) chóng ta cã x+2t x +2t x+2 τ 1 ∂  t x x  sin ξdξ + ∫ 2ξdξ + ∫ dτ ∫ 2(t − τ)ξdξ  + η(t - )sin(t - ) ∫2 t u(x, t) = 4  ∂t x −  2 2   x −2 t x −2 τ 0 x x 13 xt + η(t - )sin(t - ) víi (x, t) ∈ 3+× 3+ = sinxcos2t + 2xt + 6 2 2 NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §7. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HH1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v c¸c h m g, h ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (7.7.1) ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) (7.7.2) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (7.7.3) • B i to¸n HH1a ®−îc gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn m néi dung cña nã nh− sau T×m nghiÖm cña b i to¸n HH1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) §¹o h m u(x, t) hai lÇn theo x, theo t sau ®ã thÕ v o ph−¬ng tr×nh (7.7.1) X ′′(x) T ′′(t ) ≡λ∈3 X(x)T”(t) = a2X”(x)T(t) suy ra =2 X(x ) a T (t ) ThÕ h m u(x, t) v o ®iÒu kiÖn biªn (7.7.3) u(0, t) = X(0)T(t) = 0 v u(l, t) = X(l)T(t) = 0 víi T(t) ≠ 0 . Trang 126 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chóng ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng sau ®©y X”(x) + λX(x) = 0 (7.7.4) T”(t) + λa2T(t) = 0 (7.7.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (7.7.6) • Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (7.7.4) cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng k2 + λ = 0 NÕu λ = - α2 th× ph−¬ng tr×nh (7.7.4) cã nghiÖm tæng qu¸t X(x) = C1e-αx + C2eαx ThÕ v o ®iÒu kiÖn (7.7.6) gi¶i ra ®−îc C1 = C2 = 0. HÖ chØ cã nghiÖm tÇm th−êng. NÕu λ = 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.7.4) cã nghiÖm tæng qu¸t X(x) = C1 + C2x Tr−êng hîp n y hÖ còng chØ cã nghiÖm tÇm th−êng. NÕu λ = α2 th× ph−¬ng tr×nh (7.7.4) cã nghiÖm tæng qu¸t X(x) = C1cosαx + C2sinαx kπ ThÕ v o ®iÒu kiÖn (7.7.6) gi¶i ra ®−îc C1 = 0, C2 tuú ý v α = . l Suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh (7.7.4) v (7.7.6) cã hä nghiÖm riªng trùc giao trªn [0, l] 2 kπ  kπ  x víi Ak ∈ 3 v λk =   , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l ThÕ c¸c λk v o ph−¬ng tr×nh (7.7.5) gi¶i ra ®−îc kπa kπa t víi (Bk, Ck) ∈ 32, k ∈ ∠* Tk(t) = Bkcos t + Cksin l l Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HH1a kπa kπa kπ t )sin x víi ak = AkBk , bk = AkCk , k ∈ ∠* uk(x, t) = (akcos t + bksin l l l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HH1a d¹ng chuçi h m kπa kπa  kπ +∞ +∞  ∑ u k (x, t) = ∑ a t + b k sin t  sin u(x, t) = (7.7.7) cos x k l l l  k =1 k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (7.7.3) kπ ∂u kπa kπ +∞ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin (x, 0) = ∑ x = g(x) v x = h(x) b k sin ∂t l l l k =1 k =1 NÕu c¸c h m g v h cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier trªn ®o¹n [0, l] th× kπ kπ l l 2 2 ∫ g(x) sin l xdx v bk = kπa ∫ h(x) sin l xdx ak = (7.7.8) l0 0 §Þnh lý Cho c¸c h m g ∈ C2(D, 3) v h ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0 v h(0) = h(l) = 0 Chuçi h m (7.7.7) víi hÖ sè ak v bk tÝnh theo c«ng thøc (7.7.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1a. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 127
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chøng minh • C¸c h m g v h theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Dirichlet do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu v cã c¸c chuçi ®¹o h m héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Suy ra chuçi h m (7.7.7) víi c¸c hÖ sè ak v bk tÝnh theo c«ng thøc (7.7.8) l héi tô ®Òu v c¸c chuçi ®¹o h m riªng ®Õn cÊp hai cña nã còng héi tô ®Òu trªn miÒn H. Do vËy cã thÓ ®¹o h m tõng tõ hai lÇn theo x, theo t trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi (7.7.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (7.7.1) v c¸c ®iÒu kiÖn phô (7.7.2), (7.7.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CH1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. VÝ dô X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y cã hai ®Çu mót x = 0, x = l cè ®Þnh, ®é lÖch ban ∂u ®Çu u(x, 0) = x(l - x) v vËn tèc ban ®Çu (x, 0) = 0. ∂t Thay v o c«ng thøc (7.7.8) nhËn ®−îc k = 2n 0 kπ 1  8l 2 ak = ∫ x(l − x) sin k = 2n + 1 v bk = 0 víi k ∈ ∠ * xdx =  l  π 2 (2n + 1) 2  0 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n (2 n + 1)πa (2 n + 1)π +∞ 8l 2 1 ∑ (2n + 1) u(x, t) = cos t sin x π3 3 l l n =0 §8. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HH1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HH1b d−íi d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (7.8.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) trªn ®o¹n [0, l] . Trang 128 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k kπ kπx l +∞ 2 ∑ f k (t ) sin x víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin f(x, t) = dx l l0 l k =1 Sau ®ã thÕ v o b i to¸n HH1b   2  Tk′(t ) +  kπa  Tk (t )  sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ∑f ′   (t ) sin x  k l l l k =1   k =1 kπ kπ +∞ +∞ ∑T x = 0 v ∑ T k (0) sin ′ x =0 k (0) sin l l k =1 k =1 Chóng ta nhËn ®−îc hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2  kπa  Tk′(t) +  ′  Tk(t) = fk(t) l ′ Tk(0) = 0, T k (0) = 0 víi k ∈ ∠* (7.8.2) • Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (7.8.2) t×m c¸c h m Tk(t) sau ®ã thÕ v o c«ng thøc (7.8.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n HH1b. Hä ph−¬ng tr×nh (7.8.2) cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace nãi ë ch−¬ng 5 hoÆc b»ng mét trong c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng ® biÕt n o ®ã. LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a chóng ta cã kÕt qu¶ sau ®©y. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (7.8.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh tõ hä ph−¬ng tr×nh (7.8.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1b. B i to¸n HH1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g, h ∈ C(D,3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng 2∂ u ∂2u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t 2 ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) • T×m nghiÖm b i to¸n HH1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (7.8.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1a . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 129
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
92=>2