Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2): Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:171

Thêm vào BST

Báo xấu

197
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2) có kết cấu gồm 18 chương và phụ lục. Tiếp nối phần 1, phần 2 gồm nội dung chương 15 trở đi, trình bày về bài toán Điriclê, bài toán nôi man, một vài bài toán xác định dương khác, các bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt và truyền sóng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2): Phần 2

CHƯƠNG XV BÀI TOÁN PIRICLÊ T ừ c h ư ơ n g n à y t r ở đi ta sẽ ứ n g dụng n h ữ n g k ế t q u ả của lý t h u y ế t p h ư ơ n g t r ì n h t o á n t ử x á c đ ị n h d ư ơ n g đ ề g i ả i m ộ t sổ b à i t o á n biên của p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m § 1. B i ê u thức vi phân l i ê n hợp hình thức T r o n g k h ô n g gian 0'clit E n ta xét biêu thức v i phản cấp hai *—' OXj ÒXỵ 1—1 dxy j,k=l k=l trong đ ỏ c á c h ệ số Aịí, Áy, c là các h à m thọc đ ủ tran của b i ế n X. Song song v ớ i (1.1) ta xét b i ế u thức v i p h â n Vu - Ỳ X ^ - - y ^ ^ + C v (1.2) j, k=l k=l B i ê u t h ứ c L* V đ ư ợ c g ọ i là biêu thức vi phán liên hợp hỉnh thức của Lu. D ễ thấy được rằng 2 tfjAfrV) _ A dv dAịỵ dv • i k d X j d x k dXịdXỵ dxỵ dXị dÃỊ* do , ạiẠ i k v dXj dxỵ d X ị õ X í - 288'
và b i ê u t h ứ c liên h ợ p của n ỏ là a.i-j3.r k 3.Tj3.T k Cũn^ t ư ơ n g t ự n h ư vậy đ ố i v ớ i các hạng t h ứ c k h á c trong (1.2) và lu dễ thấy (íưọ-c r ằ n g biêu thức l i ê n h ợ p của L*v c h í n h l ạ i bằng Lu : ' (L*)* = /. N ế u L là một b i ề n t h ú c sao cho L* — L thì L được g ọ i là biền thức vi phàn tự Mèn hợp. Chẳng hạn biêu thức n LlU = y - Ẽ - Ỉ A K - l p ị + Cu (1.3) *—> dXị \ OXỵ Ị j.k=1 là m ộ t b i ê u thức v i p h â n tự liên hợp. Đ i ề u n à y có t h ê thấy ngay đ ư ợ c bằng c á c h k h a i I r i ê n cụ thê p h n d ư ó i dấu t ô n g v à xét biêu t h ứ c Jièn 4iợp của t ừ n g h ạ n g t h ứ c . Cũng v ì lý do đ ó , sau n à y ta t h ư ờ n g b i ế n đ ô i b i ê u thibc t ô n g q u á t (1.1) v à v i ế t n ỏ đ ư ờ i d ạ n g : Lu = ỳ -°- ịA ìk ỳ B k JH_ + Ca (1.4) j,k=l k=l trong đó n Bỵ = Aỵ - £ 239-
B i ê u thức l i ê n hự]) h ì n h t h ứ c của (1.4) sẽ là D li a a / vv ••''-ĩ. i ^ ( ^ ) - x : ^ - j,k=l dv \ k=l (B+ v)& ( k '- 5 ) T ừ đ ó d ễ t h ấ y r ằ n g (1.4) l ự l i ê n hợp k h i và chỉ k h i #v = 0, /c = 1, 2, /ì T r o n g c h ư ơ n g n à y ta sẽ đ ề cập t ớ i bài t o á n Biriclô của p h ư ơ n g t r ì n h l o ạ i elip m à vố t r á i có d ạ n g (1.1) T r ư ớ c hết ta xét t r ư ờ n g hợp t o á n t ử L cỏ dạng t ự liên h p (1.3) sau đ ó xét d ạ n g t ô n g q u á t (1.4). T r ư ớ c hết, ta c h ứ n g m i n h m ộ t hất đ ẳ n g thức : § 2. Bát đẳng t h ứ c Fridrich Đ ị n h l ý 1. Giã sử Q là miền giới nội irong khàng gian ơcỉit En với biên s trơn từng mãnh. Đỗi ười mọi hùm 1 u (x) €E c (Q) ta có bất đồng thức: + ds í "•''*
R õ r à n g ta c h í c à n c h ứ n g m i n h b ấ t đ ẳ n g t h ứ c ( 2 . 1 ) và t ừ đ ỏ sè s u y r a đ i r ự c (2.3) m ộ t c á c h h i ề n n h i ê n . Ta xót m ộ t hình hộp cliữ nhật = n ) x '• < r k < «k ( v ó i (tị, c h ọ n (tủ l ỏ n sao cho miền Q nằm gọn trong n. Ta đ ạ t li fv (2.4) trong do n í Y[ sin (x ỵ + a ) k (2.5) k=l R ò rìinịị Ị =f= 0 tròng m i ề n kill Q, v ù í' £ c 1 (Q). T ừ hệ t li ứ c 2 - í 2 í— ì + ò ;r (" n - 2 \ d.r k ì a.r k \ a.r k / axỉ Ta suV ra. 11 n 9 au \ 2 „0 2 v-^ I dư \ 2 ỉ + Lilt k-1 9-l'k / = >' E *~* k=l \ o í le ->^ TI k = l 6PT 24Ỉ
B ỏ h ạ n g t h ứ c , t h ứ nhất ở v ế p h ả i r ò i l ấ y t i c h p h â n t r o n g m i ề n í ! sau đ ó d ù n g c ô n g t h ứ c ô x t r ô g r a t x k i , ta được: n ì k=í Ù _ Ị v2f *L ds J an S v ớ i n là p h á p t u y ế n trong của s. T ừ đ ó Ũ Ú k=i f v*f ds (2.6) J 9/7 Do (2.5) ta c ó ri ,2 Ạ/-.= _ * L y> .L.f L 1 * a i k=l Vá n ị v ' f A f d x = £ - L J H 2 ^ (2.7) G k=l Q 242
l ạ n g thức t h ứ hai của v ế p h ả i (2.6) thỏa m ã n đ á n h giá : Ị f „2f J L d S I < Ị *\±.JL\ U d5< J an I J ị f m ị s s > c jVdS (2.8) s ì — -^ỉ— là đ a i l u ô n g giói n ổ i t r ê n m á t s. H ằ n g số Ị dn ' ở b ấ t đẳní* t h ú c c u ố i c ù n g cũng chỉ phụ t h u ộ c v à o Q. Do (2.6), (2.7), (2.8) ta đ ư ợ c n 2 2 2 J u dx < Ai J £ (~) ^ + *2 J u ítf ổ Qk=l s L à m già bất đẵng thức bằng c á c h t h ê m v à o v ế p h ả i h ử n g đ ạ i l ư ợ n g ( l u ô n g , ta có ngay (2.1). § 3 . Toán tử cửa bài toán Đ i r i c ỉ ê của một lớp p h ư ơ n g t r ì n h tự l i ê n hợp T r o n g k h ô n g gian ơ c l i l E , xét m ộ t m i ề n Q g i ớ i n ộ i n ới b i ê n s trơn l ừ n g m ả n h . Trong Q, g i ả s ử cho b i ê u lức v i p h à n t ự liên hợp ỈM = _ • y JL / A ( í c ) _ẼiL Ị + C(x)u (3.1) j,k=l 'ri l A€ ìk C (Q), Aịỵ=A j, k c
Ta.giả thiết biêu t h ứ c (3.1) ỉ à . ế f ò t b i ê u thức vi phân l o ạ i elip đ ố i vói m i ề n k i n Q. K i ề u đ ỏ c ó n g h ĩ a là nếu c ố đ ị n h d i ê m X b á t kỵ t r o n g Q t l ì d ạ n g I h ứ c t o í i n phương n £ A j ( . T ) ij/k k một dạng xác định, m à ta c ó t h ế g i ả I h i ể t là x á c dinh d ư ơ n g t ứ c lí! t ồ n t ạ i số / ì i ( . r ) > . 0 si\o c h o với mọi (ti, h, .... /n) n £ ^jk(.r)/j/k > »>(;V) t (X2) j,k=t j=i N ế u ta d u a v à o ma Irận n li j ' k = 4ji
r ị s ố / ỉ i ( x ) l ớ n n h á t t r ò n g (3.2) c h í n h h ằ n g g i á t r ị r i ê n g t h ỏ n h ấ t c ủ a m a t r à n A(x), n g h ĩ a lì) n g h i ệ m n h ỏ n h á t ủa p h u o n g t r i n h d e l li Ả(x) - XE li = 0 (3.4) Gọi giá trị nòng n i l " nlùít của Aịx) kì Ằi(.v),. t ừ (3.2) a có li n £ A- {X)t;i >rHx) lk k £ ì] (3.5) j,k=l j=l Khai Ilien cụ (hề dinh thức (3.-1) t h ì l a sẽ ( t ư ợ c một n b u ô n g f rì li l i đ ạ i sẦ b ậ c lì ( l o i v ớ i Ả m à h ệ số c ủ a Ầ là --ỉ)", cỏn các hệ sẦ k h á c t h i l à n h ữ n g h ù m số l i ê n tục ont( lì (do
V ớ i c á c g i ả t h i ế t đ ã n ê u , ta xét bài t o á n Biriclê vói đ i ề u k i ệ n h i ê n t h u ầ n n h á t sau đ â y : Lu = —• > - — ;ljk(.r) + C{x)u=t\x) (3.8) L-I 3.fj \ 3Xk j.k=l "Is = 0 (3.9) trong đỏ C(.1')>0, y.r € Tì (3.10) v ế phải/Ỵ.r) của (:i.S) cfii'Ọ'c giả thiết là Ihuộc L (Q) vù 2 n g h i ệ m u(.r) cũng đu ọ c lìm trong Lì(ữ). Ta h ã y x á c định m ộ i t o á n t ử >A trong /,2(^) nhu' sau : 1. M i ề n xác dinh /J(~/) là l ạ p c á c h à m ỉí(.r) 6 2 C (Q) t h ỏ a m ã n đ i ề u k i ệ n b i ê n (3.9). 2. V ớ i li (SE - ừ ( ^ ) thì t o á n lử A tác dụng theo b i ê u thợc n J U = _ / A ( ) JiL_Ị >T + C(.r)u (3.11) ,j,k=l N h ư v ậ y v i ệ c g i ả i b à i t o á n Đ i r i c l ẻ (3.8), (3.9) t u ô n g ; đ ư ơ n g v ớ i việc giải phượng trình c4u = f trong L (Q). 2 T a hãy chợng m i n h toán t ử ìk m ộ t t o à n tử xác đ ị n h d ư ơ n g . M u ố n v ậ y , chỉ cần c h ú n g m i n h : 1. D ^ ) trù mặt trong L (Q) 2 2. ^4 l à t o á n tiì- đ ố i x ợ n g (Jịu, v) = {li, Jịv) \/ti, V e D(J) 2 3. T ò n t ạ i hằng số Ỵ > 0 sao cho 2 ' (Jỉu, u ) > r | | li li 2 - 246
Thực vậy, rổ ràng ta cỏ hao hàm thức C"(Q)cĐ(4CÌí(íỉ) và nhu ta dã biết C °°.(Q) trù mật h ong / , (Í2), do đó 3 2 D{cậ) cũng (rù mật trong /^2(Sỉ)- l í n h chất Ì đã được chứng minh. Ta chứng minh tính chất 2. Giả sử li, Ỉ; £ /)(CTÍ). Dùng công thức Ôxtrôgratxki, ta được (-"•">--/ ỉ ' - S T - ẵ r ) - + Q j, k=i J'••" • • Q Sỉ .ị, k = l li + j* ư Aị k — COS ( / Ì , .I'j) ( t ô + J Cui; d.x\ s j,k = i £ỉ với n là pháị) luyến (rong của m ạ i s. Chú ý V ! = 0 (vì ỉ> £ /)(-/)), đẳng thức trên cho ta : s ri M«, ý) = Jí í [ y i-J A j k 3.r k 3Xj + C « J dx (3.12) Sỉ j.k=l Chú ừ giả thiết A (.r) = jk A (.r) kj ta thấy ngay được vế phải của (3.12) là một biêu thức đ ố i xứng đ ố i v ớ i li, V. Từ đó {ÂU, lì) = (c4v, li) 247
hay { M l , V) = (»> cAv) T í n h đ ố i x ứ n g c ủ a c4 đ ã đ ư ợ c c h ứ n g minh. C u ố i c ù n g ta c h ử n g m i n h lính c h ấ t 3). Từ (3.12) ta c ó n g a y w«.") = J Ị- Q liu - — ĩt.Vị — dxỵ + Cà 2 d.r (:u."ỉ) T ù (3.13) l ầ n l ư ợ t c h ú ỷ (3.10), ( 3 . / ) , bai đẳng thức F r i d r i c h (2.3), l a đ ư ợ c li Sa du , ^ (*4u. li) > Ì,i ũ Ì, k = l J ị k — a.Vj — d.ì\ dx > (3.14) Như vậy (^u, li) > ĩ 2 lu IP VƠI Ỵ2 Tính xác dinh đ i n m g của crỉ được chứng minh hoàn toàn. Chú thích. T h e o c h ứ n g m i n h ở l i ê n t h ì l o à n t ử Jị- v ã n là t o á n t ử x á c đ ị n h đ ư ơ n g k h i c (.»•) 0 2AB
C h ú - ý đ i ê u n à y la cỏ t h ê l à m giầm bót đ i ê u k i ệ n (3.10). Thực v ậ y , ký h i ệ u t o á n l ử Jị t r o n g t r u ò n g h ọ p C(x) — 0 là 4 . K h i (tó la cỏ c a ( t j j i , u) > ĩ ị ị u ẹ (:uõ) Ta se chúng minh rtìĩ\ịf k h ố n g ca li c (x) phải thoa mãn (.'ỉ. l o ) , m à c h ỉ cììn C(X) —ĩ* + E ạ. 16) v ó i e là số ( l ư ơ n g tùy ý n h ủ t h ì t o á n t ử *4 v ầ n còn là l o à n l ủ xác đ ị n h duo'iii*. Thực v ậ y (Ju, li) = (^„11, li) + (Cu, li) (3.17) Nhmiị>' 2 2 2 (Cu, lì) - J C(.r) í i ( . r ) dx > (-Ỵ + e) J u (/.c (3.18) T ừ (.'ì. 17), chỈ ý (.'3.15), (;}.1(S) la đ ư ọ e ( w » , ỉ') " - e lị » lì 2 Biêu k h ẳ n g (tinh d i r ọ c chỈiiị) minh. 4. K h ô n g gian năng l ư ợ n g c ủ a t o á n t ử ..rị Trong l i ế t n à y , ta xót cấn t r ú c C Ỉ K I k h ô n g gian n ă n ị í Itnnif* tỉ của (oán l ử Jị nói ỏ' § .'ỉ. Ta có Đ ị n h I ỹ 2. Khủng gian H gôm và chỉ qầm những err hàm li (x) : í) bình phương khả lích 1X1 có đạo hàm suy rộng cắp mội d" ) ]• — /ỉ cùng bình phưưìUỊ khả lích troiKj íì ; 2) lun lại mội dày Kỉ € D{«4)
xao cho lim li I ĩ — u li = r 0 Ị* V oo diu da lim = 0 ĩ*—V o o k = Ì 2,..., lì (1.1) Thực vậy, giả thiếl u £ # ^ . N ế n li £ i)( DO lim ịịj ỉ / r — íỉ l i s — I) (4.3) r, s—* ° ° V ì » , I / o o . C h ú ỷ (3.14) ta c ó li da; (c^(u r - ụ ), s u r - i / ) :- s Hụ J £ ~ Q k=i (4.5) Tù ( 4 . 4 ) , (4.5), ta suy r a v ó i m ọ i k = í , 2, ..., lì J(- 2 \ ., 3.1\ 3.T k 3.1-K khi Ì ; S
Đ i ề u n à y chứng t ỏ d" r là m ộ t dãy cơ bản trong L 2 (Q), do đ ó tồn t ạ i Vỵ L (Q) 2 đẽ du lim = 0 (4.6) Ì — Đ O li T ừ (4.2), (4.(i), c h ú ý đ ị n h l ỹ 8 c h ư ơ n g X I , ta suy ra í^k là đ ạ o h à m SUY r ộ n g của í t : du ưk — - - - - Vậy p h ầ n thuận của đ ị n h lý đ ư ợ c c h ử n g m i n h . Bây giò' la chửng m i n h p h ầ n đ ả o . G i ả t h i ế t ti (x) là h à m t h ỏ a m ã n (tiều k i ệ n (1) v à (2) của đ ị n h lý. Ta h ã y c h ứ n g m i n h ị(í Ị là dãy c ư b ả n t r o n g / í : r lim IU u — £/ li! r s 2 —0 (4.7) r, s—>°° Thực vậy, vì u , lis £ r Đ('c4) n ê n l ừ (3.13) la có !• u r — i/s! ! ! 2 = M(u r — 1 Ỉ ) , í/ S r — u ) s = du du dx 3.J-1C d.Vỵ I Q j, k=i + COI, - Us)' (4.8) Do ễj (.i:) và k GỴai) Hòn tục t r o n g Q n é n t ò n l ạ i h ằ n g iố M đ ễ cho _ I C(x) ị < Ai y.v^Q li li £ A ik (.r)/j/ k < M £ tị j>k=l _ k=l v . t 6 Í2> V'j> *k.
1'ìr d ỏ (4.8) c h o la Hi n r (ỉ.ĩ (Lí)) Q k = l D o ( J . l ) IH'11 v ế p h i u của (i.í)) ( l i m vì' k l i ò n o v à (4.7) được chứng minh. Vì k h ô n g g i a n / / đ ủ , n ệ n , l ò n l a i ít' €z / / . sao cho lim HI ỉ/,. — 1« Ị 0 Ị V oo Nhung điêu này kéo theo lim li li,. — ID li = 0 Kết họp v ó i h ệ t h í n ; ( l ầ u c ủ a (1.1) t u c ỏ Iiị>ay Ì; = X IU l ứ c là " € / / ^ . CVỉỉ/ //ỉ/c/ỉ. N h ữ n g hiiiìi i i ^ 1)(
ti ì " = f( Ế ^ Ẫ ^ " ! ) ™ > o j, ì; Ì n du dv lí. " = A + Ciw)dx (4.11) y j.k=i t h i Thực v ạ y , n ố i ! (í £ 2 IU uựị = ( * í / í , í/) v à d o (.'ỉ.lo) U t ' c ó n g í i y (1.1(1) Nếu (Ì oo D o (ló đ e c h ứ n g m i n h (4.10) c h ỉ c ằ n chứng minh dại lượng : 8íỉ du H í t EMS; 3.1-1 d.X ị 3.1'k ý 2 2 + C(u T - (í ) ị rf.r (Hin t ỏ i k h ô n g khi r - * o o . Vì 4 j ( x ) , C(.r) là n h ũ ng h à m k Hòn t ụ c t r o n g Q n ê u c h x í n g là n h ữ n g đ ạ i l ư ợ n g g i ó i n ộ i . ' l ừ d ỏ t ồ n t ạ i h ằ n g số M > 0 Síto c h o ta c ỏ đ á n h g i á 9», 3«,. au au ./,. < M + ữ j,k=l -f I u 2 — ú 2 I Ị đ.r (4.12) 253
Dùng b;ít đẳng thúc Bunhiacôpxki, do (4.1), ta íirợc J Ị li? - li 2 ị dx = J" I H r + n I I u r - lí I ŨV < Q Q < li u + u li . li l i , - x u i ! — 0 khi / — co (4.13) Tương tự ta có 9u 3u du du , j\ r r dx : ị Ị M r d u r 3u r du dut du 3a-j dxỵ 3.1'j ax : Q 3« du t/a- < 9.Tj 3.Tk 3ii,. au đ.T + J I 3*ỉ dXỵ dx k du da + f Ị a " dXị r dx J I 9:*k Q au. 3u. du dXị 9x k + du 3u + 3.Tk 3xj 3xj khi r—* oe (4.14) Do (4.13), (4.14), t ừ (4.12) ta cỏ lim J r = 0 r — • Oo và (4.10) đước chứng minh. 254
B ễ c h ứ n g m i n h (4.11) c h ỉ cần chú ý liên hệ giữa c h u ằ n và t í c h v ồ h ư ớ n g : 2 L 2 lí/, y| = - L Ị Ịị|u + V ! - íli» - l> ị T a v i ế t c h u ẫ n ỏ- v ế p h ả i theo (4.10), k h a i t r i ể n c ụ thê r a ta c ó ngay (4.11). § 5. Nghiệm suy rộng của bài toán Đ i r i c l ê a) T r ư ớ c hết, ta h ã y x é t b à i t o á n Đ i r i c l ê c ủ a p h ư ơ n g trinh k h ô n g t h u ầ n n h á t v ớ i đ i ề u k i ệ n h i ê n t h u ầ n n h ẻ t c :ì 8 - ỉ £ í ( - w - £ ) + w-«*> j.k=l " I s = 0 (3.9) v á i c á c gia í h i ế l ve m i ề n Q v à v è c á c h ệ s ố c ủ a p h ư ơ n g I r ì n h nhu- d ã n ó i ỏ' § 3 . B à i t o á n (3.8), (3.9) t ư ơ n g ứ n g với p h ư ơ n g trình t o á n tử c4u = f trong k h ô n g g i a n H — L ( Q ) . 2 T r o n g D{A) p h ư ơ n g trình này c ó thẻ k h ô n g cỏ nghiệm, nhưng trong H J thì như ta đã hiổt, ỏ- c h ư ơ n g X I U , p h ư ơ n g t r ì n h n à y bao g i ờ c ũ n g c ỏ n g h i ệ m v à nghiệm duy nhẻt, l à m c ự c t i ễ u p h i ế m h à m n ă n g l ư ợ n g 2 Fựi) = Ịlịulll - 2(u, ĩ ) (5.1) 255
N h ư v ậ y n g h i ệ m suy rộng «o(.r) của h à i l o à n Điriclò (3.8), (3.9) là n g h i ệ m của bài t o á n t i m cực tiêu của phiếm hàm d.v n j.k=i t r o n g lớ]) c á c h à m u(x) b ì n h phiro'iiw k h ả lích, có đ ạ o h à m suy r ộ n g c ũ n g b ì n h p h ư ơ n g k h ả lích trong Q, t r i ệ t t i ê u t r ê n h i ê n s theo nghĩa (1.1). N g h i ệ m n à y thro'c cho h ỏ i cõng thức Iioịx) = J~y, 0> )n w (.v) n (5.2) 11=1 trong đó ịa) (.L )ị n - là ( l ã y h à m t r ự c chua l i đ ầ y (lu t r o l l " H Ạ H o n n ữ a , la chủ Ý rằng theo đ ị n h ÌỶ 12, c h ư ơ n g X I U , thì h à i t o á n (3.8), (3.9) là hái t o á n đ i r ọ c đ ặ t đ ú n g đ Ị n t r o n g cặp (Hjị, Ui.Q))- 1)) Bẫy g i ờ la xét hủi t o á n Điriclò củii phưmiịỊ trình Hiu an n h ấ t vói đ i ề u k i ê n hiên k h ù n g t h u ầ n nhất n L-I dXị \ a.i k / ; j,k=i lị = ẹ(.v) (.->. 1) Ta v ẫ n g i ữ c á c "lít thiết ve m i ề n Q vá vi? các hộ số n h ư đ ã n ó i ỏ- §3. Ta đ ạ i v ấ n dồ xét hi'li t o á n cực tiêu của p h i ổ m hìim t o à n p h ư ơ n g n = A j k 0 r ) JỊE a J TT- + c ^ v 2 ] d x 5 R j , k = i * 256
t r ê n tập P($) c á c h à m xác đ ị n h h à u k h ắ p t r ê n Q, t h ỏ a m ã n đ i ê u k i ệ n (5.4) hao cho tích p h à n (5.5) c ó g i á trị h ữ u hạn. T ừ đ i ê u cuối c ù n g , ta suy ra V £E Lz(Q) và t ò n * òv t ạ i các dạo h à m suy r ộ n g ——— ^ Lz{Q). 3.Vk G i ả sử r ằ n g t ồ n t ạ i h à m yị)(x) sao cho 1>(*)| = ?(•*•) s (5.6) v à tích p h à n 4>(ij)) có g i ả trị h ữ u h ạ n . T r o n g t r ư ờ n g h ọ p h à m ^ ( . t ) v à b i ê n iS' đ Ễ t r a n , ta c ó t h ề l ấ y I|}(;r) c h ẳ n g hạn ]à h à m đ i ề u h ò a t r o n g Ễ2, t h ừ a n h ậ n t r ê n h i ê n 5 g i ả trị cpía,) '. Đ ề đ a n g i ả n , t a g i ả t h i ế t lịix) 1 e c ( ã ) . Ta sẽ l coi v(x) t h ỏ a m ã n đ i ề u k i ệ n b i ê n (5.1) n ế u n h ư : v(x) = u(x) + yftx) (5.7) v ớ i u(.f) $ (theo đ ị n h lý 2, lỉ(.x) t r i ệ t tiêu t r ê n biên s theo nghĩa (4.1)). T ừ (").7), ta đirọ-c G>(u) = 4>(u + ự ) + 24»(u, Tị)) + ) quy về b à i t o á n lìm cựe t i ê u cỄa p h i ế m h à m F(u) = 0 1) Nếu k h ô n g t ò n t ạ i một h à m Iị)(ar) n h ư v ậ y thi tập z>(0) là r ố n g và b à i t o á n Um c ự c t i ề u c ủ a ®{v) mất ý n g h ĩ a . 7 PT 257