Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2): Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:239

Thêm vào BST

Báo xấu

393
lượt xem 69
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2) này dành cho việc khảo sát bằng phương pháp biến phân một lớp các bài toán biên của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai. Việc khảo sát nói trên đòi hỏi một số kiến thức về giải tích hàm. Giáo trình gồm 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo phần 1 sau đây với 14 chương đầu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2): Phần 1

UYÊN T H Ừ A HỢP GIAO TRINH l i m TRÌNH DAO HẰM RIÊNG TẬP li NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI H Ọ C VÀ T R U N G H Ọ C C H U Y Ê N N G H I Ệ P
NGUYỄN THỪA Hợp GIAO TRĨNH P H Ư Ơ N G TRINH BẠO HAM RIÍNl TẬP l i mầ, X U Ấ T BẲN Đ Ạ I H Ọ C VÀ T R U N G HỌC CHUYỀN NGHIỆI HẢ NỘI - 1976
LỞI NỔI M U Ghâto trinu này đ ư ợ c biên soạn che học sinh năm t h ứ ba %tón l o à n t r ư ờ n g Đ ạ i học T ô n g b ợ p . Gijftf* trinh đ ư ợ c chia làm hai tập : TĩịỆ$ ĩ d à n h cìio việc khẵo s á t cốc bài t o á n b i ê n của các .-jpittrtwng t r i n h cồ d i ễ n : p h ư ơ n g t r i n h Laplảt, p h ư ơ n g t r i n h .•truy/èta sóng, p h ư ơ n g t r i n h t r u y ề n n h i ệ t . Tệập l i này d à n h cho- việc khảo sát bằng p h ư ơ n g p h á p b i ộ n ỹìxầm một lỏ-p các bài toán biên cùa các p h ư ơ n g t r i n h đạo h à m r i ề n g l u y ế n t í n h cấp bai. Việc k h á o sát nói t r ê n đòi h ỏ i một số k i ộ m thóc v ề giỗi t í c h h à m . VI vậy c h ư ơ n g đ ầ u tiên của t ậ p ồ&y "(Bành cho việc nêu một số định nghĩa, định lý liên quan p&i CZ&C khái niệm v ề giải tích h à m cần d ù n g vè sau, n h ư n g ììhônỊ&Úi vào chứng minh chi t i ế t . "** BâSi'fiiợng c h ù yộu đ ư ợ c khảo sát là l ớ p c á c bài t o á n đ ư a ềựợcc v ề p h ư ơ n g t r i n h toán t ử xác định d ư ơ n g trong m ộ t ị k ô n Ị g gian Hin-be xác định. L ớ p các bài toán này đ ư ợ c gặp ỊfỊơnjịpHRỈi rộng rãi trong thực t ẽ : c á c bài toán Điriclê, Nôiman cpa ipỊtỊttơriá t r ì n h . l o ạ i elip t ự liên h ọ p . một số bài t o á n biên cốa {pỉbtrơQg t r i n h l o ạ i elip suy b i ế n , bài t o á n Stuốc-Liuvin (Stxinns Liouville) của p h ư ơ n g t r i n h v i p h â n t h ư ờ n g . ViCệe khảo sát các bài loàn biên của các p h ư ơ n g t r i n h không dừng; © o ạ i h y p e c b ô n và p a r a b ô n ) k h ô n g chiộrtr một v ị t r í l ử n tronég (giảo t r i n h , v i nghiệm của c á c bài toán này đ ư ợ c coi là lãột H ứ a * trừu t ư ợ n g thỏa m ã n m ộ t p h ư o ng t r i n h v i p h â n t h ư ờ n g 3
chứa một toán tử loại elip đS được kháo sát ỏ- c á c chúc trước. P h à n p h ụ l ụ c g i ú p cốc đ ộ c g i ẵ c ó đưọ-c m ộ t n é t nhẫn chi v ề c á c b à i t o à n b i ê n oủa c á c p h ư ơ n g t r i n h đ ạ o h à m r i ê n g tru khi 8i sâu vào các chuyên đ ề t r o n g n h ữ n g Hăm h ọ c sau. Cuổi cùng, đ ố i v ớ i tập l i này, cũng n h ư tập ì, tác già me đ ợ i s Ợ g ó p ý c ủ a c á c đ ộ c g i ả về mọi phương diện. NGUYỄN T H Ừ A H Ợ I
PHẦN T H Ứ HAI PHƯƠNG PHẤP BIẾN PHẪN CHƯƠNG IX 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH HÀM ! rong c á c c h ư ơ n g sau đ â y , ta sẽ n g h i ê n c ứ u các bài Ì biên của m ộ t số p h ư ơ n g t r ì n h t ồ n g q u á t h ơ n các •ơng t r ìn h L a p l á t , t r u y ề n s ó n g , t r u y ề n n h i ệ t là n h ữ n g ang t r ì n h cỗ đ i ê n m à ta đ ã đ ề cập (V n h ữ n g c h ư ơ n g re. hxrơng p h á p n g h i ê n c ử u đ ỏ i h ỏ i c h ú n g ta sử dụng số khái n i ệ m v ề g i ả i tích h à m . Các k h á i n i ệ m n à y l ư ợ c d ấ n d ấ n đ ề cập t ớ i k h i c ấ n t h i ế t t r o n g c á c ơ n g sau. uy n h i ê n , m ộ t số v ã n đ ề t h ò n g t h ư ờ n g n h ấ t sẽ đ ư ợ c ?ập l ớ i t r o n g c h u ô n g n à y : đ ó là c á c k h ả i n i ệ m v ề ng gian m e t r i c , k h ô n g gian B a n ă c v à k h ô n g gian fee. Rõ r à n g t r o n g k h u ô n k h ố của g i á o t r ì n h n à y , ta ng thế t r ì n h b à y chi t i ế t t á t cả c á c v ấ n đ ề Mên quan Độc giã nào khá quen biết với các khái niệm vè không mêtric, Banăc, Hinbe cỏ thề bỏ qua c h u ô n g này đễ đọc rg Các chương sau. 5
ới c á c khải n i ệ m ấy. Sự trinh bày d ư ớ i đây chỉ cỏ ra tích giúp các đ ộ c giả ô n lại c á c khải n i ệ m cần thiết c ý luận ở các c h ơ a n g sau m à k h ô n g cần trỏ' lại các l ê u c h u y ê n khảo về giải tích hàm. Vì vậy BÓ không;] Ịồm tát cả các chứng minh của các mệnh đề, các? I iểt trongtừng lý luận. C h ủ y ể u n ỏ chỉ bao gồm các dị Ìghĩa, khái niệm, giởi thiệu yà giải thích bản chất ( :ác vấn đề. S ự trình bày chi tiết c á c khải niệm nói tre ỉhương này c ỏ trong n ộ i dìing giáo trinh h à m thực ịiải tích hàm của n ă m thử ba đại h ọ c . § 1 . T í c h p h á n Lơbegơ 1. Độ đo Lơbegơ. V i ệ c xảy dựng tích phân Lơbegơ (Lebesgue) dựa ti thái niệm độ đo của một tập điềm. T r ê n trục số, ta đ ã biết tập những đ i ế m X sao c 3 • < X ^ ố được gọi là một khoảng nửa mở. Trong khe ịian Ưclit E , ta cũng gọi khoảng n ử a m ở là tập nhe n K i m x(xi, x ) sao cho « i < X j < bi (ì = Ì, 2, a ííói khác đi đ ỏ là những hình hộp n ử a mở c ó các C í ìẹng s ò n g với các trục tọa đ ộ . Sau n à y , ta sẽ gọi ti ỊỈkn đ ổ là những khoảng và ký hiệu là A. ... Thê tích c ủ a những khoảng A đ ó đ ư ợ c gọi là độ ị ậ a c h ú n g và đ ư ợ c ký hiệu là I Ạ ị . Một tập £ n à o đấy trong khổng g i à n ơ c l i t E được A àr bị phủ bởi một hè thống M các khoảng ị A j nếu Ì: bất kỳ một điềm n à o của E cũng thuộc Ít nhắt một i n c á c khoảng ỊAỊ của M. T a cũng n ó i hệ thống M I tập E. Giả sử cho một tập E bất kỳ và một hệ thống Ì hạn h a y - đ ê m đ ư ợ c các khoảng A (» = í , 2,...) ị n 6
"Ẽ. Ta g ọ i độ đo ngoài của tập E và t ý hiệu bẵng Ẹ là cận d ư ớ i đ ủ n g : m £ = i n f £ e IA Ị n n ỉ- : * l ậ r ê a tất cả các hệ thống cỏ thè có được của các pỉắng ị A ị phủ tập E, Nếu cho irựờc một số e > 0 n gjf ý, bao giơ ta cưng tim được một tập mữ Q phủ ịỂ c Í2) sao cho me (Q \ E) < e ì-tập E được gọi là tập đo được. Khi ấy, độ đo ngoài la E được gọi đ ơ n giản là độ đo của E (độ đo Lơbegơ) í kỷ hiệu là mE (hay là mesE). Khái n i ệ m độ đo là mữ rộng của khái niệm thế tích, ệ n tích, hay độ dài nếu không giàu là nhiều chiều, hai- liều hay một chiều. Không phải một tập bất kỳ nào íng đo được. Tuy nhiên, những tập mữ và những tập n đều là những tập đo được. Độ đo của những tập họp có một loạt tính chất quen ết của thế tích, chẳng hạn độ đo của hai tập không ào nhau bằng tòng độ đo của chúng. Độ đo của hai p giao nhau bằng tống độ đo của chúng trừ đi độ đo ỉa phần chung của chúng, v.v... Cỏ những tập có độ đo bằng không, chẳng hạn các p gồm một sổ h ữ u hạn hay một sổ vò hạn đếm. được IC diêm. Nếu một tính chất gì đủng cho một tập diêm , chỉ trự. ra một tập con của E có độ đo bằng không, Ì ta quy ước gọi tính chất đó là đúng hầu khắp đ ố i ri E. 7
Hờm đo đười. H à m / ( P ) cho t r ê n một tập đ o đ ư ợ c E đ ư ợ c gọi l à mi hàm đo được, n ế u n h ư đ ố i v ó i bất kỳ sổ thực ta nả< tập: ổ (P :f(P) > a) hoặc é (P.: f(P) > à) là tập đ o được. D ấ u > , > c ỏ thê thay bằng < , H ổ m f(P) cho t r ê n một tập £ n à o đỏ đ ư ợ c gọi là Hô tục theo tập E tại đ i ế m P £ E n ế u "đối với bát kỳ s 0 e ;> 0 n à o tà cụng t ì m đ ư ợ c một l â n c ậ n co ( P ) củ 0 d i ê m p , sao cho đ ố i v ớ i bất k ỳ đ i ề m p n à o thuộc E V 0 lân cận ấ y : p € E, P ( ù ) (P ) 0 ta đ ề u c ó \ f ( P ) - f ( P 0 ) \ < s R ổ ràng, theo định nghĩa này, ta suy ra rằng tại n h ũ n diêm cô lập của E thì bất kỳ h à m số n à o cho t r ê n J cũng liên tục. H à m l i ê n tục tại tất cả m ọ i điềm c ủ a mộ tập được coi là l i ê n tục trên tập á y . Giả s ử f (P) là h à m cho t r ê n một tập E đ o đ ư ợ c , có đi đo h ữ u hạn và c ỏ hầu khắp trên E những giá trị hữ Ì hạn. K h i đ ỏ , định nghĩa của hàm đ o được n ó i ở t r ê n c< thế thay n h ư sau : Hàm f (P) cho t r ê n E được gọi l à h à m đo đ ư ợ c nếi cho trước số e > 0 tùy ý , t ồ n tại l ậ p kin F trên đ ỏ hàn **(P) liên tục và sao cho /7ỉ(/ì\F)
Ị Tích phân Lơbegơ. s&iả s ử Ẻ ìầ m ộ t t ậ p đ o đ ư ợ c vàf(P) l à m ộ t hàn* t h ự c ỉ đ ư ợ c t r ê n E v à k h ô n g â m . Ta p h â n chia E t h à n h m ộ t ì h ữ u h ạ n các t ậ p Eị đo đ i r ọ c k h ô n g giao n h a u E = Ũ E, E i f ) Eị = ệ í * j ả sử |il= illf f(P) t h i ế t l ậ p tồng li 5 n = £ HịtnEi i=l Cận t r ê n đ ú n g của l á t cả n h ữ n g t ố n g â y ứ n g v ờ i t ấ t í n h ữ n g p h é p p h â n chia có thề cụ đ ư ợ c , đ ư ợ c coi là ch phân Lơbegơ của h à m f(P) t r ê n tập 2? v à k ý h i ệ u là : n / = ỳ(P)dP = sup £ n,m£i (1.1) E i=l T í c h p h à n t r ê n cụ thế xem là : J /=sup J7(P)d2 (1.2) F ong đ ụ F chạy trong l ớ p các tập k i n m à t r ê n đ ụ h à m P) l i ê n tục.
H à m f (P) m à i í c h p h â n L ơ b e g ơ của n ó t ồ n t ạ i v à c< g i á trị h ữ u h ạ n , . . đ ư ợ c . g ọ i là m ộ t h à m k h i t í c h L ơ b e g í hay g ọ i t ắ t là m ộ t hám khả tích. N ế u h à m /" (P) t r ê n E c ó d ấ u thay đ ỗ i , t h ì ta p h â n tác! thành f(P) =f + ( P ) - f - ( P ) với .- + f (P) = ~ [ \ f \ + n f-(P)= ~ [ \ f \ - n là n h ữ n g h à m k h ô n g â m t r ê n E. N ế u f (P) l à h à m đ< đ ư ợ c t r ê n E t h ì /*+(P) v à f~(P) c ũ n g là h à m đ o đ ư ợ t r ê n 'É, v à ta đ ị n h nghĩa t í c h p h â n của n ỏ n h ư sau: p d P j7(P) d P = ị f + ( P ) dP - jv~( ) E E E T í c h p h â n L ơ b e g ơ là k h ả i n i ệ m m ở r ộ n g của t í c h phá: R i m a n m à ta v ẫ n t h ư ờ n g đ ề c ậ p tới... N ế u m ộ t h à m ĩ (ĩ t r ê n E c ó tích p h à n R i m a n , t h ì chắc c h ắ n l à n ó c ó tic] p h â n L ơ b e g ơ v à hai t í c h p h â n ấ y b ằ n g n h a n , n h í m n g ư ợ c l ạ i thì k h ô n g đ ú n g . D ờ g i ả t h i ế t đ o d ư ợ c của h à m d ư ớ i d ấ u t í c h p h â n nô: đ ố i v ớ i t í c h p h â n L ơ b e g ơ , ta cũng c ó m ộ t l o ạ t t í n h c h i c ơ b ả n giống n h ư t í c h p h ầ n R i m a n . C h ẳ n g h ạ n , n ế u j t à / 2 l à n h ữ n g h à m k h ả t í c h , a, b là n h ữ n g h ằ n g s ố , t h ì jWi..+ bf )dP 2 = a ỳidP + b ịhdP (1.2 Ế Ế E to
hí Ẽí và #2 là hai tậ|K.đo được không giao nhau và: É = Ki KJ E z j f ( P ) d P = J7(P)dP + J7(P) rfP (1.4) Ngoài rạ, đôi v ờ i tích phân Lơbegơ, ta thường dùng c tính chất sau : a) Giá trí của tích phần không thay đ ồ i nếu ta thay đ ồ i á trị của hàm d ư ớ i dấu tích p h â n t r ê n một tập cỏ độ ) bẵng không. Ngoải ra, tích p h â n v ẫ n có thê cỏ nghĩa ỉu trên một tập có độ đo bằng không h à m không đưốc L C định. b) Nếu hàm d ư ớ i dâu tích phân triệt tiêu hàu khắp én E thi tích phân trôn E của n ó bằng khống. Ngưốc ì, nếu tích phân t r ê n E của một hàm bằng không vả im đó không âm, thì hàm đó triệt,tiêu hàu khắp trên E. c) Nếu f(P]I khả tích, thì \f(P)ị khả tích và ngưốc l ạ i . d) Nếu \f(P)\
G i ả sử f(P) là m ộ t h à m k h ả tích t r ê n E. K h i đ ó , v ớ i m ọ i e > 0 cho t r ư ớ c , t ồ n t ạ i m ộ t số ô > 0 t ư ơ n g ứng sao cho v ớ i b á t k ỳ t ậ p con đ o đ ư ợ c (ứ n à o c ủ a E thỏa mãn: /nu) < ô ta đ ề u c ó i co /•(P)dP|
• JNmr Vậy, n ê u Jf ỰC) là Hâm Hen lục tuyệt dõi trên ụ, b] thì t ò n tại một hảm khả tíeh f (x) trên [a, b] sao àbo: F(x)= ị f(t)dt + const (1.6) |bng đó ta c ỏ hầu khắp trên [a, b]: ị . -F - ( x ) = f ( x ) Bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ điều I i g ư ọ - C l ạ i : cho h à m Xoe) khả tích trên [a, b] thì n g u y ê n h à m của n ó xác định; tòi (Lữ) là một h à m l i ê n tục tuyệt đ ố i trên [a, b]. Giả sử E là một tờp trong mặt phàng (x, ý). Ta gọi thiết diện » của E với đường thẳng X — x v à ký hiệu ữ à E ( x ) là tờp 0 E(x )0 = ịy:(x , 0 y) e Bị, :& CÓ định l ý : Định lý 2. (Fubini). Giả sử E là một tập giới nội đo lược trong mặt phẳng, f (x, y) là một hàm khả tích trên ĩ và tỉ là tập những diem x sao cho E (x) không trống. IM đó đối với hấu khắp X £ H hàm f (x, y) coi là hàm ầa biến y là hàm khả lích trên E(x). Hơn nữa, tích phân ị ĩ (*, y) dụ ÊỈx) ĩác định đỗi với hầu khắp X € ỉ ỉ , là một hàm khả tích im vơi X trẽn H và ta có : ị ị f { x , y ) d x d y = ị dx ị f(x,ỵ)dy (1.7) E H E(X) 13
Như vậy : đ ố i v ớ i một hàm / (x, ỵ) khả tích t r ê n ỉ thì la cỏ thê thay đ ố i thử t ự lẫy tích phàn. Ngược l ạ i , nế u / (x, y) là hàm đo được, k h ô n g đồ dấu, (chẳng hạn không âm) và fậ phải (1.7) tòn t ạ i th khi đỏ vế trái cửa (1.7) cũng t ồ n t ạ i và bằng vế phẵi nghĩa là f (x, y) là h à m khả tích t r ê n E. Các kế t luận này cũng m ờ rộng được cho trường hự] hàm n biế n (n > 2). § 2, K h ố n g gian m ê t r i c í. Không gian mệtric và sự bỗ sung không gian ấy. Tập X của nhirag phần t ử X, y, được gọi là mộ khổng gian mệtríc nế u n h ư y ở i bất kỳ hai phần t ử ($, Ị) nào trong X cũng tương ứng một số không âm ọ ịx, ụ thỏa mãn các điều k i ệ n sau : (1) p(x,y)>0; ọ (ít-, y) = 0 khi và chỉ k h i X = y. (2) p (x, y) = p (y, .r) (3) ọ (x, a ) < p {X, y) + ọ (y, z) (bốt đẳag thức tam giáe) SỐ ọ (x, y) thường được gọi là khoảng cách giữa ha phần t ử X và y, hay thường được gọi tắt l à ' m ộ t metric Các điều k i ệ n B ổ i trên thường đ ư ợ c gọi là những tiê] >ẳặ cậa một mêtric. Già sử Xì, X i , £ „ , ... là một dãy vô hạn các phần t i của không gian mêtric X. Nếu x 0 là một phần t ử n à o đi cửa X sao cho lim Ọ (x , D Xo) = 0 lĩ-* 09 Ù
gọi là phầid tử giới hạn của dãy ịx^ị. Ta ể#g n ộ i x h ộ i tụ t ớ i X, và v i ế t : n Xo = lim * n hay ;r n ^ .r 0 /ỉ -*• 0» rùng bắt đẳng thức tam giác dễ thấy rằng nếu x , x > n 0 ỵ là 4 phần tử bắt kỳ, ta c ợ : a -Ọ *n) p (ỉ/n> yo) < p (*n, y ) a — ọ (Xo, y„) < < ọ (*n> Xo) . + p (y„> y.n) lã p(*„, y n )— p(x„ y ) 0 I< ọ (x*> * „ ) + p ( y , So) n (2.1) Htèu này chửng tợ nếu => #0, y n 00 thi lim p (x , n y D ) = ọ (Xo, y ) 0 0 0 /ỉ — * • là khoảng cách ọ (x, y) là một hàm liên tục cùa X y. lẩy ịx \ trong không gian mêtric X được gọi là dãy a bản nếu như cho trước một số e > 0, tòn t ạ i một sổ ao cho khi m > N, n > N ta có [ếu |a? j là một dẩy cợ giới hạn là một phàn t ử n x t ( đó của X, thì từ bất đẳng thức ọ Om, x) a < Ọ Om, x ) ữ + p (x , a X)D uy ra ọgay được Ịa! ị là một dãy cơ bản. n/ [hưng ngược l ạ i , nếu cho một dẩy cơ bản ịx Ị trong n t không gian mêtric X thì không phải bao giờ cổng tại phần t ử x £ X là giới hạn của dẫy đó. 0 ỉểu bất-kỳ một dãy cơ bản nào trong X cũng đều cồ in t ử giời hạn trong X, thì X được gọi là một không ũ đủ. 5
Đổi v ớ i một không gian mêtric X không đủ, bao g ta cũng cỏ t h ế bồ sung thêm ' những < phần t ử lý tưởi đề cỏ được một không gian đủ. Ta hãy xét chi tiết hí v ấ n đè này. P h ư ơ n g pháp l à m đủ một không gian ni trie X cỏ thế t i ế n hành như sau : Ta p h â n tát cả các dãy cơ bản trong X ra từng l ớ hái dẫy Ịa; ị và \x\\ thuộc về cùng một lớp nếu ni n ọ (x , x\) D - » 0 k h i li — oo Từ bát đẳng thức : p(*». < ) < p(*n. .*•••„) + p (*'«.
i f n í ì ư ( l i ) , ta cổ flp(*m. ym) - p(x„, y) n I ^ p{x , m x„) + p {g , m ụ) a l ế u n à y c h ử n g tỏ dãy số ọ (x , R y ) h ộ i t ụ . Theo định n Sa ta gọi khoảng c á c h của hai p h ầ n t ử X v à y trong lí g i ớ i hạn: p(x,Ị]) - lim p(x ,n y) D (2.2) li —> oo fp t h ử l ạ i đ ư ợ c l ang khoảng c á c h p ( X , Ị/) t r o n g X |t nghĩa nhu' t r ê n k h ô n g p h ụ thuộc v à o c á c h c h ọ n ' d ã y cơ bản | x ị , ị y Ị và thỏa m ã n đ ủ c á c t i ê n đ ề của n r Ỷ metric. p u X thuộc l o ạ i t h ứ nhất t h i c á c d ã y c ơ b ả n ịx ị ^ X n í c ó c ù n g m ộ t giới h ạ n là p h à n t ử x n à o đ ỏ của k h ô n g ĩ X . Đặc biệt X chứa dãy d ừ n g (x, X, X,...). Ngược n ế u lấy m ộ t phau t ử bất kỳ X £E X t h i t ò n t ạ i l ớ p X pho m ọ i d ã y cơ b ả n Ị x Ị Ễ X c ó giời h ạ n n là X: dỏ ớp chứa d ã y d ừ n g (x, X,..., .V,...). ihư vậy cỏ sự t ư ơ n g ừng m ộ t đ ố i một g i ữ a c á c phan ỵủa X và các phần t ử thuộc l o ạ i t h ứ n h ấ t của X . ếu . r v à y đ e n thuộc l o ạ i t h ứ n h ấ t , l ầ n l ư ợ t t ư ơ n g f\ớix,y í5 X và t r o n g (2.2) ta c h ọ n Ị . ỉ j , ị {/ni là các. r Ị d ừ n g (x, * , . . . ) , (y, ỉ/,...) thì ^ d M y q f f g a r ^ f v ^ k p (*.ỹ) — ọ (a I các lỹ do ti ên, la có thề dổi\jẾ^hàt..
ta nói % đẳng cự với một bộ phận của X (hai cặp p t ử t ư ơ n g ứ n g cỏ c ù n g m ộ t k h o ả n g c á c h ) . B à y g i ờ h ã y xét m ộ t p h ầ n t ử b ấ t k ỳ X Gz X , v à \xr m ộ t dãy c ơ b ả n bất kỳ của X. Ta c ó v ớ i n, m đ ủ Ích ọ (.T„, Xạ) < e voi e > 0 t ù y ý. Theo p h é p t u ô n g ứ n g đ ẳ n g c ự n ó i t r ê n , p h ầ n t ử x„ t u ô n g ứng v ớ i .r n 6 X . T ừ (2.4), cho m - V o e , do C nghĩa (2.2), ta c ỏ p (x\, ã) = lim p (x , x ) n m < E m— Ta k h ô n g p h à n biệt X v à x , n é n la v i ế t : D n Ọ (•*••„, * ) < 8 tức là lim p(.T ,a') = 0 n 7Ị->00 I N h ư v ậ y : b á t kỳ m ộ t p h ầ n t ử n à o X é; X đ ề u có coi là g i ớ i h ạ n t r o n g X của m ọ i dãy cơ h ã n ịx ị n I xác đ ị n h n ó . Vì Ịv ỷLQ đ ỏ , X đ ư ợ c g ọ i là k h ô n g g i a n bô sung củ ,Nểu !?tbuộ