Giáo trình Toán cao cấp C1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chia sẻ: Lôi Vô Kiệt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán cao cấp C1 nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Giáo trình kết cấu gồm 4 chương: chương 1 - Hàm nhiều biến; chương 2 - Ứng dụng hàm nhiều biến; chương 3 - Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính; chương 4 - Một số ứng dụng đại số trong kinh doanh;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung giáo trình!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp C1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN ThS. PHẠM THANH DƯỢC TOÁN CAO CẤP C1 Dùng cho sinh viên các ngành kinh tế Hậu Giang - 2015
2
Mục lục Lời nói đầu 5 1 Hàm nhiều biến 7 1.1 Định nghĩa hàm số hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Giới hạn hàm số và tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 Tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Ứng dụng hàm nhiều biến 21 2.1 Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa . . . . . . . . . 24 2.3 Mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh doanh . . . . . . . . . . . . . 27 3 Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính 29 3.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1 Định nghĩa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Các ma trận thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.3 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.4 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.5 Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3
4 Mục lục 3.1.6 Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Các khái niệm cơ bản về định thức . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 Các tính chất của định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . 41 3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Một số ứng dụng đại số trong kinh doanh 45 4.1 Mô hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Cân bằng thị trường – Mô hình tuyến tính . . . . . . . . . . . 45 4.1.2 Cân bằng thị trường – Mô hình không tuyến tính . . . . . . . . 47 4.1.3 Cân bằng thị trường tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.4 Phân tích điểm cân bằng về thu nhập quốc gia . . . . . . . . . . 50 4.2 Mô hình cân đối liên ngành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo 57
Lời nói đầu Toán cao cấp C1 là môn học công cụ nhằm cung cấp cho sinh viên các ngành Kinh tế những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Giáo trình gồm 4 chương Chương 1: Hàm nhiều biến Chương 2: Ứng dụng hàm nhiều biến Chương 3: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính Chương 4: Một số ứng dụng đại số trong kinh doanh Xuất phát từ yêu cầu cụ thể của các ngành Kinh tế là sinh viên cần hiểu rõ các khái niệm và vận dụng được các công thức, kết quả vào bài tập. Do đó, tác giả không trình bày các chứng minh quá phức tạp trong giáo trình này. Thay vào đó, tác giả đã đưa vào nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng trong kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong lĩnh vực kinh tế. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Cơ bản đã nhiệt tình quan tâm giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình biên soạn, cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Võ Trường Toản đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình được hoàn thành. Dù đã cố gắng nhưng chắc chắn giáo trình không tránh khỏi sai sót. Tác giả rất mong nhận được và chân thành biết ơn những ý kiến đóng góp của người đọc cả về nội dung lẫn hình thức. Tác giả 5
6 Lời nói đầu
Chương 1 Hàm nhiều biến 1.1 Định nghĩa hàm số hai biến Định nghĩa 1.1. Cho ∅ = D ⊂ R2 . Mỗi ánh xạ f: D −→ R kh x = (x1 , x2 ) → y = f (x) = f (x1 , x2 ) gọi là hàm của 2 biến độc lập x1 , x2 ; D được gọi là miền xác định của hàm số. Ngoài các ký hiệu chung của ánh xạ , ta còn thường dùng một trong các ký hiệu sau để chỉ hàm số: y = f (x1 , x2 ), f (x1 , x2 ) hay chỉ đơn giản là f . Chú ý. Ta gọi z là giá trị của f tại (x, y) thì z = f (x, y). Khi đó, tập xác định là tập các biến (x, y), tập giá trị là tập các giá trị tương ứng z. Ví dụ 1.2. Cho f (x, y) = 2x + x2 y 3 . Tính f (1, 0), f (0, 1), f (−2, 3). Giải. f (1, 0) = 2 f (0, 1) = 0 f (−2, 3) = 104 Ví dụ 1.3. Cho hàm số f (x, y) = x + 2y. Tính f (0, 1), f (2, −1), f (a, a). Ví dụ 1.4. Cho hàm số f (x, y) = xy 2 . Tính f (2, 1), f (−1, 2). Ví dụ 1.5. Tìm miền xác định của các hàm số sau √ √ (a) f (x, y) = 1 − x + y. 2 (b) f (x, y) = + 9 − (x2 + y 2 ). x 2 + y2 − 4 7
8 Chương 1. Hàm nhiều biến 1.2 Giới hạn hàm số và tính liên tục Định nghĩa 1.6. Cho hàm số f (x, y) xác định tại lân cận của M0 (x0 , y0 ) . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) (ta viết là M (x, y) → M0 (x0 , y0 )) nếu mệnh đề sau được thỏa: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < d(M, M0 ) < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε (1.1) Chú ý (a) d(M, M0 ) = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 . (b) M → M0 ⇔ d(M, M0 ) → 0. Ví dụ 1.7. Cho f (x, y) = 3x − y + 1. Tính giới hạn lim f (x, y). (x,y)→(1,2) Giải. Ta có: lim f (x, y) = lim (3x − y + 1) = 2. (x,y)→(1,2) (x,y)→(1,2) sin xy Ví dụ 1.8. Cho f (x, y) = . Tính giới hạn lim f (x, y). x (x,y)→(0,a) Giải. Đặt t = xy. Ta có: t → 0 khi (x, y) → (0, a), sin t lim f (x, y) = lim y = a. (x,y)→(0,a) (x,y)→(0,a) t Định nghĩa 1.9. (a) Nếu lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) thì f được gọi là là liên tục tại điểm (x0 , y0 ). (x,y)→(x0 ,y0 ) (b) Nếu f liên tục tại mọi điểm của D ⊂ R2 thì f được gọi là liên tục trên D. Chú ý (a) Nếu f (x, y) là các đa thức theo các biến x, y thì f liên tục trên R2 . (b) Tổng, hiệu, tích, thương, của các hàm liên tục là liên tục. Ví dụ 1.10. (a) Ta có: f (x, y) = 2x3 + 3xy + y 2 − 3 là hàm liên tục trên R2 . x3 y 2 − 3x − y (b) Ta kiểm tra được f (x, y) = 2 + 3y 2 là hàm liên tục trên R2 . x
1.3. Đạo hàm riêng 9 1.3 Đạo hàm riêng 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.11. Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên D, M (x0 , y0 ) ∈ D. Xét hàm số g(x) = f (x, y0 ). Nếu g khả vi tại x0 thì g (x0 ) được gọi là đạo hàm riêng của f theo biến x tại (x0 , y0 ) và được kí hiệu: ∂f ∂z fx (x0 , y0 ); hoặc (x0 , y0 ); zx (x0 , y0 ); (x0 , y0 ) ∂x ∂x Ví dụ 1.12. Cho z = x3 + 2y 2 . Ta có: ∂z • = 3x2 . ∂x ∂z • = 4y. ∂y Ví dụ 1.13. Cho f (x, y) = x2 + y 2 . Ta có ∂z x • = . ∂x x2 + y 2 ∂z y • = . ∂y x2 + y 2 xy Ví dụ 1.14. Cho z = . x2 + y2 Ta có: ∂z y 3 − x2 y • = 2 . ∂x (x + y 2 )2 ∂z x2 − y 2 • = 2 . ∂y (x + y 2 )2 Ví dụ 1.15. Hàm số f (x, y) = Kxα y β (K, α, β > 0 và α + β = 1) được gọi lừ hàm cobbdouglas và được dùng để đặc trưng cho năng lực sản xuất của một xí nghiệp. Trong một số trường hợp thì f (x, y) có giá trị là số sản phẩm sản xuất tại mức đầu tư (x, y), x là số đơn vị nhân công, y là số đơn vị vốn. 1 3 Cụ thể, nếu f (x, y) = 4x 4 y 4 thì fy (2, 1) > fx (2, 1), nghĩa là f có giá trị tăng nhanh hơn theo “hướng” gia tăng y so với theo “hướng” gia tăng x tại cùng mức đầu tư, nghĩa là tại mức đầu tư đang xét, thì việc tăng thêm giá trị của y là có lợi hơn.
10 Chương 1. Hàm nhiều biến 1.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần đúng Định lý 1.16. Giả sử f (x, y) có fx , fy trong lân cận ∆ của (x0 , y0 ) và fx , fy liên tục tại (x0 , y0 ). Khi đó, ta có công thức tính gần đúng f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y, trong đó (|∆x|, |∆y| khá nhỏ). 2 Ví dụ 1.17. Tính gần đúng số A = (2, 05)e−3,92+(2,05) . Giải. 2 Xét f (x, y) = xey+x ; (x0 , y0 ) = (2; −4)), (∆x; ∆y) = (0, 05; 0, 08). Ta có: f (x0 , y0 ) = 2 và 2 2 fx (x, y) = ey+x + 2x2 ey+x ⇒ fx (x0 , y0 ) = 9, 2 fy (x, y) = xey+x ⇒ fy (x0 , y0 ) = 2. Vậy A = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) ≈ 2 + 9.(0, 05) + 2.(0, 08) = 2, 61. Ví dụ 1.18. Cho f (x, y) = xy 3 − 2x3 , f (2, 3) = 38. Tính gần đúng f (2.01; 2.98). 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao ∂f ∂f Định nghĩa 1.19. Nếu z = f (x, y) thì và được gọi là đạo hàm cấp 1. Giả sử ∂x ∂y ∂f ∂f các hàm số và tồn tại đạo hàm theo, x, y thì các đạo hàm riêng này được gọi ∂x ∂y là đạo hàm riêng cấp 2 của f (x, y). Kí hiệu là: ∂ ∂f ∂ 2f = = fxx . ∂x ∂x ∂x2 ∂ ∂f ∂ 2f = = fxy . ∂x ∂y ∂x∂y ∂ ∂f ∂ 2f = = fyx . ∂y ∂x ∂y∂x ∂ ∂f ∂ 2f = = fyy . ∂y ∂y ∂y 2
1.3. Đạo hàm riêng 11 2 Ví dụ 1.20. Nếu f (x, y) = x3 ey . Tìm đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 tại (x, y) = (1, 0). Giải. Ta có: 2 fx = 3x2 ey ⇒ fx (1, 0) = 3. 2 fy = 2x3 yey ⇒ fy (1, 0) = 0. 2 fxx = 6xey ⇒ fxx (1, 0) = 6e. 2 fxy = fyx = 6x2 yey ⇒ fxy (1, 0) = fyx (1, 0) = 0. 2 2 fyy = fyx = 2x3 (ey + 2y 2 ey ⇒ fyy (1, 0) = 2. Ví dụ 1.21. Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số f (x, y) = x3 y + x2 y 2 + x + y 2 . Hướng dẫn. Ta có : ∂ 2f = 6xy + 2y 2 . ∂x2 ∂ 2f ∂ 2f = = 3x2 + 4xy. ∂x∂y ∂x∂y ∂ 2f = 2x2 + 2. ∂y 2 1.3.4 Vi phân Định nghĩa 1.22. Cho hàm số z = f (x, y). (a) Vi phân của các biến độc lập x và y là các số tùy ý lần lượt kí hiệu là dx và dy. (b) Vi phân của biến phụ thuộc z (hay của hàm f ) tại (x0 , y0 ) được kí hiệu là dz(x0 , y0 ) hay df (x0 , y0 ) và được định nghĩa bởi df (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy. Định nghĩa 1.23. Giả sử z = f (x, y) có vi phân cấp 1 là df trong một tập mở D. Nếu df có vi phân tại điểm (x0 , y0 ) thì vi phân này được kí hiệu là d2 f (x0 , y0 ) và được định nghĩa bởi d2 f (x0 , y0 ) = fxx (x0 , y0 )dx2 + 2fxy (x0 , y0 )dxdy + fyy (x0 , y0 )dy 2 .
12 Chương 1. Hàm nhiều biến 1.4 Cực trị 1.4.1 Cực trị tự do Định nghĩa 1.24. Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại (x0 , y0 ) nếu tồn tại một lân cận ∆ của (x0 , y0 ) sao cho với mọi x ∈ ∆, f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) (f (x, y) ≥ f (x0 , y0 )∀x ∈ ∆). Giá trị (x0 , y0 ) được gọi là cực đại (cực tiểu) của f . Cực đại hay cực tiểu được gọi chung là cực trị. Định lý 1.25 (Điều kiện cần để có cực trị). Hàm khả vi z = f (x, y) đạt cực trị tại điểm (x0 , y0 ) nếu fx (x0 , y0 ) = 0. fy (x0 , y0 ) = 0. (∗) Chú ý. Nếu điểm (x0 , y0 ) thỏa điều kiện (∗) được gọi là điểm dừng của f. Ví dụ 1.26. Tìm các điểm dừng của hàm số f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy. Giải. Gọi (x, y) là điểm dừng của f , ta có fx (x, y) = 0 4x3 − 4y = 0 (1), fy (x, y) = 0 ⇔ 4y 3 − 4x = 0 (2). Từ (1) và (2) ta có: x = 0 ⇒y = 0 x9 − x = 0 ⇔ x = 1 ⇒y = 1 x = 1 ⇒ y = −1 Vậy các điểm dừng: A(0;0), B(1;1), C(-1;1). Ví dụ 1.27. Tìm các điểm dừng của hàm số f (x, y) = x2 + y 2 − xy − 4x. Giải. Gọi (x, y) là điểm dừng của f , ta có   x = 8  fx (x, y) = 0 2x − y − 4 = 0 ⇔ 3  fy (x, y) = 0 ⇔ 2y − x = 0  y = 4   3 8 4 Vậy A( ; ) là điểm dừng. 3 3
1.4. Cực trị 13 Định lý 1.28 (Điều kiện đủ để có cực trị). Cho hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 trong một lân cận của điểm dừng (x0 , y0 ). Gọi A = fxx (x0 ; y0 ) , B = fxy (x0 ; y0 ), C = fyy (x0 ; y0 ) và δ = AC − B 2 . Khi đó ∗ δ > 0 và A > 0 ( hoặc C > 0) thì f (x0 ; y0 ) là điểm cực tiểu. ∗ δ > 0 và A < 0 ( hoặc C < 0) thì f (x0 ; y0 ) là điểm cực đại ∗ δ < 0 hàm không có cực trị tại (x0 ; y0 ). Ví dụ 1.29. Tìm cực trị của hàm số y = −2x2 − 2xy − y 2 + 36x + 42y − 158. Giải. fx (x, y) = 0 −4x − 2y + 36 = 0 ⇔ x = 5 fy (x, y) = 0 ⇔ −4y − 2x + 42 = 0 y = 8 Mặt khác, fxx = −4; fxy = −2; fyy = −4 A = −4 ⇒ B = −2 C = −4 δ = AC − B 2 = 12 > 0; A = -4 0 và A = −6 < 0 ⇒ f (x, y) đạt cực đại tại M1 . ∗ Tại M2 (−1, 1), A = -6, B = 0, C = 12, δ = AC − B 2 = −72 < 0 ⇒ f (x, y) không đạt cực trị tại M2 . ∗ Tại M3 (1, −1), A = 6, B = 0, C = -12, δ = AC − B 2 = −72 < 0 ⇒ f (x, y) không đạt cực trị tại M3 .
14 Chương 1. Hàm nhiều biến ∗ Tại M4 (1, 1), A = 6, B = 0, C = 12, δ = AC − B 2 = 72 > 0 và A = 6 > 0 ⇒ f (x, y) đạt cực tiểu tại M4 . Ví dụ 1.31. Tìm cực trị của hàm số y = 3xy − x3 − y 3 . Giải. Ta có các điểm dừng M1 (0, 0), M2 (1, 1). Tại M1 , δ = −9 < 0, f không đạt cực trị; Tại M2 , δ = 27 > 0, và A = −6 nên f đạt cực đại tại M2 . 1.4.2 Cực trị có điều kiện Những cực trị của hàm f (x, y) trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện g(x, y) = 0 (3.2), được gọi là những cực trị có điều kiện (hay cực trị ràng buộc). Định lý 1.32 (Điều kiện cần của cực trị có điều kiện). Giả sử M(x; y) là điểm cực trị có điều kiện của hàm f với điều kiện (3.2) và nếu 1. Ở lân cận M các hàm f, g có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục; 2. Các đạo hàm riêng gx , gy không đồng thời bằng 0 tại M. Khi đó tại M, ta có [0.5cm] fx (x, y) + λgx (x, y) = 0 fy (x, y) + λgy (x, y) = 0 g(x, y) = 0 Số λ gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số L(x, y) = f (x, y) + λg(x, y) gọi là hàm Lagrange. Định lý 1.33 (Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện). Xét hàm Lagrange với các giả thiết f (x, y), g(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 và vi phân cấp 2 của nó d2 L(x0 , y0 ) = Lxx (x0 , y0 )dx2 + 2Lxy (x0 , y0 )dxdy + Lyy (x0 , y0 )dy 2 với ràng buộc dg(x0 , y0 ) = gx (x0 , y0 )dx + gy (x0 , y0 )dy = 0. ∗ Nếu d2 L > 0 thì hàm đạt cực tiểu có điều kiện. ∗ Nếu d2 L < 0 thì hàm đạt cực đại có điều kiện.
1.4. Cực trị 15 Ví dụ 1.34. Cho f (x, y) = xy + 2x (1). Tìm cực trị với điều kiện 8x + 4y = 120 (2) Trong trường hợp này ta giải như sau: (2) ⇒ y = −2x + 30 (1) ⇒ f (x, y) = −2x2 + 32x. fx = −4x + 32 fx = 0 ⇔ x = 8; y = 14. Hàm số đạt cực đại tại (8; 14). Ví dụ 1.35. Tìm cực trị của f (x, y) = x + 2y với điều kiện x2 + y 2 = 5. Giải. Xét hàm Lagrange L(x, y) = x + 2y + λ(x2 + y 2 − 5). Ta có hệ fx (x, y) + λgx (x, y) = 0 1 + 2xλ = 0 fy (x, y) + λgy (x, y) = 0 ⇔ 2 + 2yλ = 0 g(x, y) = 0 x2 + y 2 = 5 1 1 ta có điểm dừng M1 (1, 2) ứng với λ = − và M2 (−1, −2) ứng với λ = 2 2 1 Tại M1 (1, 2), ta có L(x, y) = x + 2y − (x2 + y 2 − 5) và 2 d2 L(1, 2) = −dx2 − dy 2 < 0 do đó tại M1 hàm f đạt cực đại; 1 Tại M2 (−1, −2), ta có L(x, y) = x + 2y + (x2 + y 2 − 5) và 2 d2 L(1, 2) = dx2 + dy 2 < 0 do đó tại M2 hàm f đạt cực tiểu. 1.4.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm trên tập đóng và bị chặn S ta làm các bước sau: 1. Tìm các điểm tới hạn trong miền mở S; 2. Tìm các điểm nghi ngờ hàm có giá tri lớn nhất và nhỏ nhất trên biên của miền (cực trị có điều kiện); 3. So sánh các giá trị tại những điểm trên để tìm GTLN và GTNN.
16 Chương 1. Hàm nhiều biến Ví dụ 1.36. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x, y) = 1 + x + 2y trên miền x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 1. • Vì fx (x, y) = 1; fy (x, y) = 2 nên f không có điểm dừng trong miền mở x > 0; y > 0; x + y < 1 • Xét trên biên x = 0 và 0 ≤ y ≤ 1 Ta có f (0, y) = 1 + 2y, có các điểm nghi ngờ là y = 0, y = 1, f (0, 0) = 1, f (0, 1) = 3. • Xét trên biên y = 0 và 0 ≤ x ≤ 1 Ta có f (0, y) = 1 + x, có các điểm nghi ngờ là x = 0, x = 1, f (0, 0) = 1, f (1, 0) = 2. • Xét trên biên x + y = 1 và 0 ≤ x ≤ 1 Trên đoạn này y = 1 − x nên f trở thành f (x, 1 − x) = 3 − x, có các điểm nghi ngờ là x = 0, x = 1, f (0, 1) = 3, f (1, 0) = 2. So sánh các giá trị nghi ngờ trên ta được giá trị lớn nhất là 3 đạt tại điểm (0, 1), giá trị nhỏ nhất là 1 đạt tại điểm (0, 0). 1.4.4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất Trước hết ta xét một bài toán thực tế sau: " Một em bé được theo dõi sự tăng trọng từ lúc mới được sinh ra trong một vài tháng đầu. Trong lượng của bé được ghi lại trong bảng số liệu sau t (tháng) 1 2 3 4 P (kg) 4,1 5,2 6 6,7 Hãy dự đoán đến thôi nôi (t = 12) thì trọng lượng của bé là bao nhiêu? Giải. Do P tăng khá đều nên có thể xem tốc độ biến thiên của P là hằng số, nghĩa là ta có thể chọn P = at + b và gọi đây là công thức thực nghiệm để xác định P . Nếu gọi Ptn , Ptt lần lượt là các giá trị nhận được từ công thức thực nghiệm và giá trị nhận được qua các phép đo thực tế, ta có bảng so sánh sau:
1.5. Bài tập 17 t Ptn Ptt sai số 1 a+b 4,1 ∆1 = a + b − 4, 1 2 2a + b 5,2 ∆2 = 2a + b − 5, 2 3 3a + b 6 ∆3 = 3a + b − 6 4 4a + b 6,7 ∆4 = 4a + b − 6, 7 Vấn đề dặt ra ở đây là tìm điểm (a, b) sao cho các Ptn đều gần với Ptt tương ứng. Một trong các giải pháp được chọn là tìm (a, b) sao cho "tổng bình phương các sai số " đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là hàm F (a, b) = ∆2 + ∆2 + ∆2 + ∆2 1 2 3 4 = (a + b − 4, 1)2 + (2a + b − 5, 2)2 + (3a + b − 6)2 + (4a + b − 6, 7)2 đạt giá trị nhỏ nhất. Hiển nhiên nếu có điểm (a, b) như vậy thì nó cũng là điểm cực trị F (a, b) = 0 (tự do) của F , ta có Fa(a, b) = 0 b 2(a + b − 4, 1) + 4(2a + b − 5, 2) + 6(3a + b − 6) + 8(4a + b − 6, 7) = 0 ⇔ 2(a + b − 4, 1) + 2(2a + b − 5, 2) + 2(3a + b − 6) + 2(4a + b − 6, 7) = 0 ⇔ 30a + 10b = 59, 3 ⇔ a = 0, 86 10a + 4b = 22 b = 3, 35 Khi đó P = (0, 86)t + 3, 35 và P (12) = 13, 67kg. Với công thức thực nghiệm tìm được ta thấy các giá trị Ptn và Ptt rất "gần nhau" t Ptn Ptt 1 4,21 4,1 2 5,07 5,2 3 5,93 6 4 6,79 6,7 1.5 Bài tập 1.5.1 Tự luận Bài tập 1.5.2. Tìm miền xác định của hàm số: x2 + y 2 1) f (x, y) = 2 x − y2 2) f (x, y) = 9 − (x2 + y 2 ) 1 3) f (x, y) = x+y e −3 1 1 Bài tập 1.5.3. Cho f (x, y) = 3x2 − 2xy + y 3 . Tìm f (1; 1), f (−2; 3), f ( ; ). x y Bài tập 1.5.4. Cho f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 . a) Tìm f (−1; 2), f (a; a); b) Chứng minh rằng f (2x, 2y) = 22 f (x, y) và f (tx, ty) = t2 f (x, y), ∀t.
18 Chương 1. Hàm nhiều biến 1 1 Bài tập 1.5.5. Cho F (K, L) = 10K 2 L 3 , K ≥ 0, L ≥ 0. 1 √ Tìm F (1; 1), F (4; 27), F (9, ), F (3; )2. 27 Bài tập 1.5.6. Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số: a) f (x, y) = 2x + 3y. b) f (x, y) = x2 + y 3 . c) f (x, y) = x3 y 4 . d) f (x, y) = (x + y)2 . ∂z ∂z Bài tập 1.5.7. Tìm và cho các hàm số sau: ∂x ∂y a) z = x2 + 3y 2 . b) z = xy. c) z = 5x4 y2 − 2xy 5 . d) z = exy . e) z = ln(x + y). f) z = ln(xy). Bài tập 1.5.8. Tìm đạo hàm riêng cấp 1 và 2 của các hàm số: a) f (x, y) = 3x + 4y. b) f (x, y) = x3 y 2 . c) f (x, y) = 5x4 y 2 − 2xy 5 . d) f (x, y) = x2 + y 2 . x e) f (x, y) = . y Bài tập 1.5.9. Chứng minh f (x, y) = ex siny thỏa phương trình Laplace ∂ 2f ∂ 2f + 2. ∂x2 ∂y Bài tập 1.5.10. Tìm các điểm dừng của hàm số sau: a) f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy. b) f (x, y) = (2x − x2 )(2y − y 2 ). c) f (x, y) = x3 + y 2 − 6xy − 39x + 18y + 20. d) f (x, y) = −2x2 − y 2 + 4x − 4y − 3.
1.5. Bài tập 19 Bài tập 1.5.11. Tìm các điểm cực trị của f (x, y) trong các trường hợp: a) f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 . b) f (x, y) = −2x2 − y 2 + 4x − 4y − 3. c) f (x, y) = 2x2 − 4xy + 4y 2 − 40x + 20y + 14. d) f (x, y) = x2 + y 2 − 2xy + 2x − 2y. e) f (x, y) = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 . Bài tập 1.5.12. a.f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y 2 = 13. b.f (x, y) = x2 y; x2 + 2y 2 = 6. c.f (x, y) = 6 − 5x − 4y; x2 − y 2 = 9. d.f (x, y) = 5 − 3x − 4y; x2 + y 2 = 25. e.f (x, y) = 1 − 4x − 8y; x2 − 8y 2 = 8. f.f (x, y) = x2 + y 2 + xy; x2 + y 2 = 1. g.f (x, y) = 2x2 + y 2 + 12xy; x2 + 4y 2 = 25. Bài tập 1.5.13. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: a.f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y trong miền D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3. b.f (x, y) = 1 + 4x − 5y, D là tam giác với các đỉnh (0, 0), (2, 0), (0, 3). c.f (x, y) = 3 + xy − x − 2y, D là tam giác với các đỉnh (1, 0), (5, 0), (1, 4). d.f (x, y) = x2 + y 2 + x2 y + 4, D = {(x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1}. e.f (x, y) = 4x + 6y − x2 − y 2 , D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5}. f.f (x, y) = x2 − y 2 , D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 25}.
20 Chương 1. Hàm nhiều biến