Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non): Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

230
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) trình bày nội dung chương II và chương III. Chương II - Số tự nhiên, chương này đưa ra các khái niệm và các tính chất liên quan đến số tự nhiên như: bản số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên,... Sau khi đưa ra các khái niệm đó, chương này còn giới thiệu về quan hệ thứ tự và các phép toán trên tập hợp số tự nhiên. Chương III - Các hình hình học, chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về hình hình học, các hình hình học trong mặt phẳng và trong không gian cùng một số tính chất cơ bản của chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non): Phần 2

Chương II : SỐ TỰ NHIÊN A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG Lý thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học, vì vậy những hiểu biết tối thiểu về số tự nhiên là rất cần thiết. Tập hợp số tự nhiên có thể xây dựng bằng phương pháp tiên đề, tuy nhiên trong giáo trình này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc theo hướng số tự nhiên được xác định như là bản số của tập hợp hữu hạn. Điều đó vừa phù hợp với quá trình xuất hiện và hình thành khái niệm số tự nhiên trong hoạt động thực tiễn của xã hội loài người, vừa phù hợp với việc hình thành khái niệm số cho học sinh. Từ xa xưa, khi còn chưa biết khái niệm về số lượng, con người nguyên thủy do các nhu cầu của cuộc sống, đã biết so sánh số lượng giữa các tập hợp, đã dần dần dần nhận thức được khái niệm ít nhiều. Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát cho mỗi chiến binh một vũ khí. Nếu chiến binh nào cũng được phát mà số vũ khí vẫn còn thì số vũ khí nhiều hơn số chiến binh. Ngược lại, nếu còn có chiến binh chưa được phát mà vũ khí đẫ hết thì số vũ khí ít hơn số chiến binh. Trường hợp thứ ba là mọi chiến binh đều đã được phát một vũ khí mà trong kho không còn vũ khí nào. Theo cách hiểu của chúng ta hiện nay thì ở trường hợp thứ ba, người tù trưởng đã thiết lập một tương ứng một – một giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến binh (tất nhiên họ chỉ thực hiện một cách trực giác). Ở trường hợp này đã có một song ánh giữa tập hợp các vũ khí và tập hợp các chiến binh. Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối số các cho mọi người trong bộ lạc, số ngựa với các kỵ sĩ, ...) và sự tiếp xúc với các hiện tượng tự nhiên như: mỗi người có hai mắt, hai tai, một bàn tay có năm ngón, ... đã làm cho con người cổ xưa đi đến khái niệm về số lượng, về số. Đầu tiên chỉ mới hình thành các con số nhỏ, đơn giản để phục vụ nhu cầu đánh dấu các tập hợp như: đếm hai con mắt, hai cái tai, năm ngón chân, ... Đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên : 1, 2, ... Dưới đây ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theo sự hình thành của chúng trong lịch sử. 35
§1. TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1. Tập hợp tương đương. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B, ký hiệu là A  B, khi và và chỉ khi tồn tại một song ánh từ A đến B. Ví dụ: 1) Cho A ={1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}. Ta thấy A  B vì có thể thiết lập một song ánh từ A đến B, chẳng hạn song ánh f cho bởi bảng 1 2 3 4  f :  a b c d  .   2) Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Gọi [AB], [AC] lần lượt là tập hợp điểm trên đoạn AB và AC. Khi đó ta sẽ có [AB]  [AC] . A Thật vậy, ta thiết lập được ánh xạ f : [AB]  [AC] M  M’ sao cho MM’//BC. M M’ Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh. 1.2. Một số tính chất B C Tính chất 1. Quan hệ  nói ở định nghĩa 1.1 có các tính chất của một quan hệ tương đương, nghĩa là với các tập A, B, C bất kỳ, ta có: a) Tính phản xạ: A  A, b) Tính đối xứng: nếu A  thì B  A, c) Tính bắc cầu: nếu A  B và B  C thì A  C. Chứng minh. a) A  A nhờ có ánh xạ đồng nhất 1A : A  A a  a. b) Nếu A  B thì sẽ tồn tại song ánh f : A  B. Khi đó có ánh xạ ngược f-1 : B  A cũng là song ánh, do đó B  A. 36
c) Giả sử có A  B và B  C. Khi đó sẽ tồn tại các song ánh f : A  B và g : B  C. Suy ra ánh xạ tích h = g◦f : A  C cũng là song ánh, vậy A  C. Nhận xét: Quan hệ  xác định ở trên có các tính chất của một quan hệ tương đương, vì vậy ta có thể gọi nó là quan hệ tương đương giữa các tập hợp. Khi có A  B thì ta cũng có B  A và ta nói hai tập A và B tương đương với nhau. Tính chất 2. Với các tập A, B, A1, B1 ta có: a) Nếu A  A1, B  B1 thì A  B  A1  B1. b) Nếu A  A1, B  B1 và A  B = A1  B1 =  thì A  B  A1  B 1. Chứng minh. Vì A  A1, B  B1 nên sẽ có các song ánh: f : A  A1 và g : B  B 1. Dễ thấy rằng các ánh xạ  và  xác định như sau:  : A  B  A1  B1 (a, b)  (a, b) = (f(a), g(b))  : A  B  A1  B1 f ( x ), x  A  x  (x) =  g( x ), xminh. là những song ánh. Từ đó ta suy ra điều cầnchứng B 1.3. Định lý Cantor. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý. Xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp sau: a) A tương đương với một tập con của B, b) B tương đương với một tập con của A. Nếu đồng thời xảy ra cả hai trường hợp a) và b) thì A và B tương đương với nhau. Chúng ta không chứng minh định lý này. Ta chú ý thêm rằng nói A tương đương với một tập con của B đồng nghĩa với việc nói rằng có một đơn ánh từ A đến B. Vì vậy khi cần chứng minh A tương đương với một tập con của B ta chỉ cần chỉ ra rằng có một đơn ánh từ A đến B. §2. TẬP HỢP HỮU HẠN – TẬP HỢP VÔ HẠN 2.1. Định nghĩa và ví dụ 37
Định nghĩa. - Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó không tương đương với bất kỳ tập con thực sự nào của nó. - Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu nó không hữu hạn (Hay một tập hợp là vô hạn nếu nó tương đương với một tập con thực sự nào đó của nó). Ví dụ: 1)  là tập hợp hữu hạn. Thật vậy, do  không có tập con thực sự nên nó không thể tương đương với tập con thực sự nào. Theo định nghĩa suy ra  là tập hợp hữu hạn. 2) Tập đơn tử {a} là hữu hạn. Thật vậy, vì {a} chỉ có một tập con thực sự là  mà rõ ràng  không tương đương với {a}, nên {a} không tương đương với tập con thực sự nào của nó. 3) Tập hợp điểm nằm trên một đoạn thẳng bất kỳ là vô hạn. Thật vậy, giả sử AB là đoạn thẳng bất kỳ, ký hiệu [AB] là tập hợp điểm trên AB. Lấy điểm C bất kỳ không thuộc đường thẳng AB, trên đoạn thẳng AB lấy điểm I với I  A, I  B. C Ta có [AB]  [AC] và [AI]  [AC] (Theo ví dụ 2) của §1). Do tính chất bắc cầu của quan hệ  nên suy ra [AB]  [AI]. Mặt khác, rõ ràng [AI] là tập con thực sự của [AB]. Theo định nghĩa suy ra [AB] là tập A I B hợp vô hạn. 2.2. Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn). a) Tính chất 1. Mọi tập hợp tương đương với một tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B ~ A, cần chứng minh B là tập hợp hữu hạn. Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn, khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B sao cho B’  B. Do B ~ A nên tồn tại song ánh f : B  A. Ta thấy B’  f(B’) vì f là song ánh. Khi đó ta có: A  B, B  B’, B’  f(B’). Áp dụng hai lần tính chất bắc cầu của quan hệ , suy ra A  f(B’) (1). 38
Vì f : B  A là song ánh mà B’ là tập con thực sự của B nên f(B’) cũng là tập con thực sự của A (2). Từ (1) và (2) suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy giả thiết B là tập hợp vô hạn là sai, hay B hữu hạn (đpcm). Hệ quả 1: Tập hợp tương đương với tập hợp vô hạn là tập hợp vô hạn. b) Tính chất 2. Mọi tập con của tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A là tập hợp hữu hạn và B  A, cần chứng minh B là tập hợp hữu hạn. Giả sử ngược lại, B là tập hợp vô hạn. Khi đó tồn tại tập con thực sự B’ của B sao cho B’  B, do đó tồn tại song ánh g : B  B’. Xét tập A’ = (A\ B)  B’, rõ ràng A’ là tập con thực sự của A. Lập ánh xạ f : A  A’  x, x  A \ B x  f(x) =  g ( x ), x  B Ta thấy f là song ánh, do đó A  A’, tức là A tương đương với một tập con thực sự của nó là A’. Suy ra A là tập hợp vô hạn, điều này mâu thuẫn với giả thiết A hữu hạn, nghĩa là B là tập hợp vô hạn là sai. Vậy B là tập hợp hữu hạn (đpcm). Hệ quả 2: Tập hợp chứa tập hợp vô hạn là tập hợp vô hạn. c) Tính chất 3. Nếu A, B là hai tập hữu hạn tương đương thì A\ B ~ B\ A. Chứng minh. Giả sử ngược lại, A\ B và B\ A không tương đương với nhau. Khi đó theo định lý Cantor, một trong hai tập hợp đó sẽ tương đương với một tập con của tập hợp kia. Không mất tính tổng quát, giả sử A\ B tương đương với một tập con của B\ A. Nghĩa là sẽ tồn tại một đơn ánh f : A\ B  B\ A, hiển nhiên f(A\ B)  (B\ A). Lập ánh xạ g : A  B  x, x  B x  g(x) =  f ( x), x  B Ta thấy g là một đơn ánh và g(A)  B, A  g(A). Vì B  A nên B  g(A), mà g(A) là một tập con thực sự của B, do đó B là tập vô hạn, điều này trí với giả thiết B hữu hạn Vậy A\ B  B\ A (đpcm). 39
d) Tính chất 4. Nếu A là tập hợp hữu hạn, A1 và A2 là những tập con của A mà A1  A2, thì A\ A1  A\ A2. Chứng minh. Ta có A\ A1 = (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) với (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) = và A\ A2 = (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) với (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) = Mặt khác, do A1  A2 nên A1\ A2  A2\ A1 (theo tính chất 3). Sử dụng tính chất 2 trong §1 ta suy ra A\ A1  A\ A2 (đpcm). e) Tính chất 5. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh A  B là tập hợp hữu hạn. Xét hai trường hợp có thể xảy ra: - Trường hợp 1: A  B = . Giả sử ngược lại, A  B là tập hợp vô hạn, khi đó sẽ có một đơn ánh f : A  B  A  B sao cho f(A  B)  A  B. Như vậy sẽ có a  A  B mà a  f(A  B). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết a  A. Đặt f(A) = A’, f(B) = B’. Vì A  B =  và f là đơn ánh nên A’  B’ = . Ta có B  B’ nên B\ B’  B’\ B = B’  A (theo tính chất 3), nghĩa là có một song ánh g : B\ B’  B’  A. Lập ánh xạ h : A  A  f ( x), x  A x  h(x) = g ( f ( x)), f ( x)  A Ta thấy h là một đơn ánh và h(A)  A’  B’ nên a  h(A). Như vậy có một đơn ánh h : A  A mà h(a)  A, tức là A tương đương với một tập con thực sự của nó, hay A là tập hợp vô hạn, điều này trái với giả thiết A hữu hạn Vậy A  B là tập hợp hữu hạn. - Trường hợp 2: A  B  . Khi đó ba tập hợp A\ B, A  B, B\ A đều là những tập hợp hữu hạn và rời nhau. Ta có A  B = (A\ B)  (A  B)  (B\ A). 40
Áp dụng kết quả ở trường hợp 1, trước tiên ta có C = A\ B)  (A  B) là tập hợp hữu hạn, và ta cũng có A  B = C  (B\ A) là tập hữu hạn. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả. Hợp hữu hạn các tập hữu hạn là một tập hữu hạn. f) Tính chất 6: Tích Đề các hai tập hữu hạn là tập hữu hạn. Chứng minh. Giả sử A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu một trong hai tập này là  thì hiển nhiên AB =  là một tập hữu hạn. Ta xét cả 2 tập đều khác . - Nếu A là tập đơn tử bất kỳ: A={x}, xét tập {x}B. Thiết lập ánh xạ f : {x}B  B (x, b)  b , bB. Ta thấy f là một song ánh, do đó {x}B  B, mà B là tập hợp hữu hạn, suy ra {x}B là tập hợp hữu hạn. - Nếu A là tập hợp hữu hạn khác  tuỳ ý: A = {x1, x2, …, x n}, ta có: AB = {x1, x2, …, xn}B = {x1}B  {x2}B …  {xn}B. Các tập {x1}B, {x2}B, …, {xn}B đều là tập hữu hạn, vì vậy AB là hợp một họ hữu hạn các tập hữu hạn nên AB hữu hạn. Vậy ta có điều phải chứng minh. §3. SỐ TỰ NHIÊN QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 3.1. Bản số – Số tự nhiên. a) Bản số: Ta đã biết quan hệ  giữa các tập hợp là một quan hệ tương đương. Như vậy, ta có thể phân lớp các tập hợp như sau: những tập hợp tương đương với nhau thuộc cùng một lớp. Những tập thuộc cùng một lớp theo quan hệ tương đương này còn được gọi là cùng bản số. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa. Nếu A  B ta nói A và B có cùng bản số hay cùng lực lượng. Bản số (lực lượng) của tập A được ký hiệu là card(A). 41
Ta thường ký hiệu bản số bởi các chữ cái thường như: a, b, c, ... Chẳng hạn khi a là bản số của tập hợp A ta viết a=card(A). Nhận xét: Card(A) = Card(B) khi và chỉ khi A  B. b) Số tự nhiên. Định nghĩa. Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên. Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N. Vậy: a  N khi và chỉ khi có một tập hợp hữu hạn A sao cho a = Card(A). Ví dụ: 1)  là một tập hợp hữu hạn nên Card() là một số tự nhiên. Ta ký hiệu Card() = 0 (đọc là “số không”). 2) Tập đơn tử A = {a} là một tập hợp hữu hạn nên Card({a}) là một số tự nhiên, ký hiệu Card({a}) = 1 (đọc là “số một”). 3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên. a) Định nghĩa. Cho hai số a, b  N và gọi A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a  b, khi và chỉ khi A tương đương với một tập con của B. Nếu a  b và a  b, ta viết a < b (đọc là a thực sự nhỏ hơn b). Nhận xét. - Trong định nghĩa trên có mặt hai tập hợp A, B sao cho a = Card(A), b= Card(B). Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn A, B. Nghĩa là nếu A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 và A tương đương với một tập con của B thì A1 cũng tương đương với một tập con của B1. Thật vậy, theo giả thiết suy ra tồn tại các song ánh f : A1  A và g : B B1 và đơn ánh h : A  B. Khi đó ánh xạ tích g◦h◦f : A1  B1 là một đơn ánh, chứng tỏ A1 tương đương với một tập con của B1. - Khi A tương đương với tập con B’ của B mà Card(A) = a thì ta cũng có Card(B’) = a, do đó theo nhận xét trên, có thể coi ab khi và chỉ khi A  B. Ví dụ: Vì  là tập con của mọi tập hợp nên 0  a, a  N. b) Định lý. Quan hệ  nói trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập hợp các số tự nhiên N. Chứng minh. 42
Trước tiên ta chứng minh quan hệ  này là một quan hệ thứ tự trên N. Thật vậy, quan hệ  có các tính chất sau: a) Tính phản xạ: a  N, giả sử a = Card(A). Vì A luôn tương đương với một tập con của nó chính là A, A nên a  a. b) Tính phản đối xứng: giả sử a  b và b  a với a, b  N. Gọi A, B là các tập hợp sao cho Card(A) = a, Card(B) = b. Theo giả thiết suy ra A tương đương với một tập con của B và B tương đương với một tập con của A, áp dụng định lý Cantor ta có A  B, suy ra Card(A) = Card(B) hay a = b. c) Tính chất bắc cầu: giả sử a  b và b  c với a, b, c  N. Gọi A, B, C là các tập sao cho Card(A) = a, Card(B) = b, Card(C) = c. Từ giả thiết suy ra tồn tại các đơn ánh f : A  B và g : B  C. Do đó tồn tại ánh xạ h = g◦f : A  C là đơn ánh, vậy a  c. Vậy quan hệ  là một quan hệ thứ tự trên N. Ta sẽ chứng tỏ quan hệ thứ tự này là toàn phần trong N. Giả sử a, b là hai phần tử bất kỳ thuộc N và a = Card(A), b = Card(B). Theo định lý Cantor thì hoặc A tương đương với một tập con của B, hoặc B tương đương với một tập con của A, nghĩa là a  b hoặc b  a. Vậy quan hệ  là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N (đpcm). 3.3. Số liền sau. a) Định nghĩa. Cho a và b là hai số tự nhiên với a  b. Gọi B là tập hợp hữu hạn mà Card(B) = b, ta biết rằng khi đó vì a  b nên sẽ có A  B mà Card(A) = a. b được gọi là số liền sau của a khi và chỉ khi Card(B\A) = 1. Khi đó ta cũng nói a là số liền trước của b hay a và b là các số liền nhau. Số liền sau của a được ký hiệu là a’. Ví dụ: Số 1 là số liền sau của số 0. b) Một số tính chất. 1) Số 0 không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào. Điều này là hiển nhiên vì 0 = Card() mà  không chứa tập con nào. 2) Mỗi số tự nhiên có duy nhất một số liền sau. Chứng minh. 43
- Tồn tại. Giả sử a   và a = Card(A). Xét tập {A} là tập đơn tử mà phần tử là tập hợp A. Rõ ràng {A} không phải là phần tử của A. Khi đó B = A{A} là một tập hữu hạn và Card(B\A) = Card({A}) = 1. Vậy tồn tại số tự nhiên b = Card(B) là số liền sau của a. - Duy nhất. Giả sử a   có hai số liền sau là b 1 và b2. Gọi B1, B2 là những tập hợp mà Card(B1) = b1, Card(B2) = b2. Theo định nghĩa phải có các tập A1 B1, A2 B2 sao cho Card(A1) = Card(A2) = a và Card(B1\A1) = Card(B2\A2) = 1 Các hệ thức trên cho ta A1  A2, B1\A1  B2\A2. Mà B1 = (B1\A1)  A1, B2 = (B2\A2)  A2 nên ta suy ra B1  B2, do đó Card(B1) = Card(B2) hay b1 = b2, nghĩa là phần tử liền sau là duy nhất. Tính chất đã được chứng minh. 3) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của một số tự nhiên. Giả sử b  N, b  0 và Card(B) = b. Thế thì B  , do đó tồn tại phần tử x  B. Đặt A = B\{x}. Dễ thấy B  A và Card(B\A) = Card({x}) = 1. Vậy b là số liền sau của a = CardA. 4) Mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số liền sau của duy nhất một số tự nhiên. Chứng minh. Giả sử b  N, b  0, b = Card(B) là số liền sau của các số tự nhiên a1 và a2. Theo định nghĩa sẽ có các tập A1 B, A2 B sao cho: Card(A1) = a1, Card(B\A1) = 1, Card(A2) = a2, Card(B\A2) = 1. Từ đó ta có B\A1  B\A2, do đó A1 = B\(B\A1) và A2 = B\(B\A2) là những tập hợp tương đương với nhau. Vì vậy Card(A1) = Card(A2) hay a1 = a2 (đpcm). 5) Cho a, b   mà a < b, thế thì a’ b. Chứng minh. Gọi B là tập hợp mà Card(B) = b. Vì a< b nên tồn tại A  B, A  B sao cho Card(A) = a và tồn tại phần tử x  B\ A. Khi đó ta có a’ = Card(A{x}) và A{x} B, do đó a’ b (đpcm). Tính chất này có hệ quả là: Giữa hai số tự nhiên liền nhau không có một số tự nhiên nào khác. 3.4. Dãy các số tự nhiên. Ký hiệu: card() = 0  N 44
0’ = 1 1’ = 2 2’ = 3 … ta được dãy các số tự nhiên quen thuộc: 0, 1, 2, 3, 4, ... BÀI TẬP 1. Cho A, B, A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1. Bằng cách chỉ ra các song ánh thích hợp hãy chứng minh rằng: a) A  B  B  A b) A  B  A1  B1 . 2. Chứng minh rằng tập hợp tất cả các số tự nhiên là tập vô hạn. 3. Cho a, b  N và a < b. Hãy so sánh a’ với b’ . HD chương II 1. a) Tồn tại song ánh f: A  B  B  A (a,b)  (b,a) nên A  B  B  A. Dễ dàng chứng minh được f là song ánh. b) do A  A1, B  B1 nên có các song ánh f: A  A1 và g: B  B1 a  a’ b  b’ Do đó tồn tại song ánh h: A  B  A1  B1 (a,b)  (a’ , b’) nên A  B  A1  B1. Dễ dàng chứng minh được h là song ánh. 2. Ký hiệu N là tập hợp tất cả các số tự nhiên và 2N là tập hợp tất cả các số tự nhiên chia hết cho 2. Xét ánh xạ f: N  2N n  2n Dễ dàng chứng minh được f là một song ánh nên ta có N  2N. Ta thấy 2N là một tập con thực sự của N. Vậy ta suy ra N tương đương với một tập con thực sự của nó nên N là tập vô hạn. 3. 45
§4. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên. Cho a, b  N và A, B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Ta có các định nghĩa sau: a) Định nghĩa phép cộng. Giả sử A  B = . Khi đó ta gọi tổng của a và b, ký hiệu là a + b, là phần tử được xác định như sau: a + b = Card(A) + Card(B) = Card (A  B). Chú ý: - Do A  B cũng là tập hợp hữu hạn nên Card(A  B)  N hay a+bN. Vậy tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng a + b = card(A  B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 thì ta cũng có: a + b = Card(A1  B1) (Vì A  B  A1  B1). Ví dụ: Tính 0 + 1. Ta có 0 = Card(), 1 = Card({a}) và   {a} = . Do đó: 0 + 1 = Card(  {a}) = Card({a}) = 1. Tương tự ta cũng tính được 1 + 0 = 1. b) Định nghĩa phép nhân. Định nghĩa. Ta gọi tích của hai số a và b, ký hiệu là a.b (hoặc ab), là phần tử được xác định như sau: a.b = CardA.CardB = Card (A B). Chú ý: - Do AB cũng là tập hữu hạn nên Card(AB)  N hay a.b  N. Vậy tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên. - Ta thấy rằng a.b = Card(AB) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và B nói trên. Tức là nếu lấy A1, B1 là các tập hợp mà A  A1, B  B1 thì ta cũng có: a.b = Card(A1B1) (Vì AB  A1B1). 4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân. a) Tính chất của phép cộng. a, b, c  N ta có: (i) Tính chất giao hoán: a + b = b + a. (ii) Tính chất kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c. (iii) Số 0 là phần tử trung lập: a + 0 = 0 + a = a. Chứng minh. 46
Với mọi a, b, c  N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). (i) Do A  B = B  A nên Card(A  B) = Card(B  A) hay a + b = b + a. (ii) Do A  (B  C) = (A  B)  C (Phép hợp các tập hợp có tính chất kết hợp) nên Card(A  (B  C)) = Card((A  B)  C). Vì vậy Card(A) + Card(B  C) = Card(A  B) + Card(C) hay a + ( b+ c ) = ( a + b ) + c. (iii) Vì 0 = Card(), A   =  và A   =   A = A nên ta có: Card(A  ) = Card(  A) = Card(A) nên a + 0 = 0 + a = a, a  N. Các tính chất của phép cộng đã được chứng minh. b) Tính chất của phép nhân. a, b, c  N ta có: (i) Tính chất giao hoán: ab = ba. (ii) Tính chất kết hợp: a(bc) = (ab)c. (iii) Số 1 là phần tử trung lập: a.1 = 1.a = a. Chứng minh. Với mọi a, b, c  N, giả sử A, B, C là các tập hợp sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). (i) Xét ánh xạ f : AB  BA (x,y)  (y,x). Dễ dàng kiểm tra được f là một song ánh, suy ra AB  BA. Do đó Card(AB) = Card(BA) hay ab = ba. (ii) Xét ánh xạ f : A(BC)  (AB)C (x,(y,z))  ((x,y),z). Ta thấy f là một song ánh, do đó A(BC)  (AB)C. Nên ta có: card(A(BC)) = card((AB)C), suy ra CardA  Card(BC) = Card(AB)  Card(C), hay a(bc) = (ab)c. (iii) Lấy tập đơn tử {x} bất kỳ, ta thiết lập ánh xạ f : {x}A  A (x,y)  y , y  A. Dễ thấy f là song ánh, do đó {x}A ~ A, suy ra 47
Card({x}A) = Card(A), do 1 = card({x}) nên từ đó ta được 1.a = a. Các tính chất của phép cộng đẫ được chứng minh. c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. a, b, c  N ta có: a( b+c) = ab + ac. Chứng minh. Với mọi a, b, c  N, giả sử A, B, C là các tập hợp đôi một rời nhau sao cho a = Card(A), b = Card(B), c = Card(C). Trước tiên ta chứng minh A  (B  C) = (AB)  (AC). Thật vậy, lấy bất kỳ phần tử (x,y)  A(BC), suy ra x  A và y  BC. Khi đó: Nếu x  A và y  B thì (x,y)  AB nên ta có (x,y)  (AB)  (AC). Nếu x  A và y  C thì (x,y)  AC nên ta có (x,y)  (AB)  (AC). Vậy luôn có (x,y) ( AB )  ( AC ). Suy ra A ( B  C )  ( AB )  ( AC ) (1). Ngược lại, lấy bất kỳ (x,y)  (AB)  (AC), suy ra (x,y)  AB hoặc (x,y)  AC. Do đó xA và yB hoặc yC, nên ta có (x,y)  A(BC). Suy ra (AB  (AC)  A (B  C) (2). Từ (1) và (2) ta được: A  ( BC ) = ( AB )  ( AC ), suy ra Card(A(BC)) = Card((AB)  (AC)),  Card(A)  Card(B  C) = Card(AB) + Card(AC) ,  Card(A)  (Card(B) + Card(C)) = Card(A)  Card(B) + Card(A)  Card(C)  Card(A)  Card(B  C) = Card(AB) + Card(AC)  a(b+c) = ab + ac (đpcm) Chú ý: - Do tính chất kết hợp của phép cộng và phép nhân nên ta viết: 48
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c và gọi đây là tổng của ba số a, b, c; (ab)c = a(bc) = abc và gọi đây là tích của ba số a, b, c. - Ta cũng có thể mở rộng một cách tự nhiên cho tổng và tích của nhiều số: a1 + a2 + … + an ; a1.a2…an. Trong trường hợp đặc biệt a1 = a2 = … =an = a, ta có tích a.a…a (n lần) và gọi đây là lũy thừa bậc n của a, ký hiệu là an. 4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân. a, b, c  N ta có: (i) a  a + b. (ii) a  ab. (iii) a  b khi và chỉ khi a + c  b + c. (iv) Nếu c  0 thì a  b khi và chỉ khi ac  bc. Các tính chất trên có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa phép toán . 4.4. Phép trừ và phép chia. a) Phép trừ. Định nghĩa. Cho a, b  N. Nếu tồn tại x N sao cho x + b = a thì x được gọi là hiệu của a trừ đi b, ký hiệu là x = a – b. Phép tìm hiệu của hai số tự nhiên được gọi là phép trừ. Điều kiện có hiệu. Cho a, b  N. Điều kiện cần và đủ để có hiệu a – b là b  a. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử có a – b, theo định nghĩa ta có b  b + (a – b) =a. Điều kiện đủ. Giả sử b  a. Suy ra sẽ có các tập A, B sao cho Card(A) = a, Card(B) = b và B  A. Khi đó tồn tại hiệu a – b là số tự nhiên: a- b = Card(A\B). b) Phép chia hết. Định nghĩa. Cho a, b  N và b  0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = bq thì ta nói có phép chia a cho b, a chia hết cho b, ký hiệu là a  b. Khi đó ta cũng nói b chia hết a, ký hiệu là ba. c) Phép chia có dư. 49
Định lý. a, b và b  0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số q, r sao cho a = bq + r , trong đó 0  r < b. Chứng minh. - Tồn tại. Xét tập M các bội số của b mà nhỏ hơn hoặc bằng a: M = {x  N x = bx  a}. M   vì 0  M. Mặt khác ta thấy M bị chặn trên bởi a, như vậy M có phần tử lớn nhất, chẳng hạn phần tử lớn nhất là x0 = bq. Vì b  0 nên bq < bq + b = b(q + 1). b(q + 1) là một bội số của b lớn hơn bq nên b(q + 1)  M và a < b(q + 1) = bq + b. Như vậy ta có bq  a < bq + b. Nếu lấy r = a – bq thì ta được a = bq + r và 0  r < b. Như vậy ta đã chứng minh được sự tồn tại của b và q. - Duy nhất. Giả sử ta còn có cặp số q1, r1   sao cho a = bq1 + r1 và 0  r1 < b. Như vậy: a = bq + r = bq1 + r1 , 0  r < b, 0  r1 < b. Giả sử r1  r, ta có thể viết: bq + (r – r1) = bq1. Đẳng thức này cho ta thấy r – r1  b , nhưng 0  r – r1 < b nên bắt buộc r– r1 = 0 hay r = r1. Từ đó suy ra q = q1. Tính duy nhất đã đươc chứng minh. b) Định nghĩa. Đẳng thức a = bq + r ( 0 r < b ) gọi là phép chia có dư của a cho b, q gọi là thương hụt, r gọi là số dư. Chú ý: Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư khi số dư r = 0. BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng: a) a.b = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. b) a + b = 0 khi và chỉ khi a = 0 và b = 0. 2. Cho A và B là hai tập tuỳ ý khác rỗng. a) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A  B. Từ đó suy ra tính chất: a  ab, a, b  N, b  0. b) Hãy chỉ ra một song ánh để chứng tỏ A tương đương với một tập con của A  B. Từ đó suy ra tính chất: a  a + b, a, b  N. 3. Chứng minh các đẳng thức sau đây (với giả thiết các phép tính đều thực hiện được): 50
a) a – b = (a + c) – (b + c). b) a – b = (a – c) – (b – c). c) a – (b + c) = (a – b) – c. d) a + (b – c) = (a + b) – c. e) a – (b – c) = (a + c) – b. HD chương II 1. Giả sử A, B là các tập sao cho CardA=a và CardB=b. a) Do a.b = 0 tức là CardA.CardB = 0  Card(AB) = 0  AB =   A =  hoặc B =   a = CardA = Card = 0 hoặc b = CardB = Card = 0 (đpcm). b)Do a+b = 0 tức là CardA+CardB = 0  Card(AB) = 0  AB =   A =  và B =   a = CardA = Card = 0 và b = CardB = Card = 0 (đpcm). 2. a) A tương đương với một tập con của A  B là tập hợp A  {x} (với x là một phần tử thuộc tập hợp B). Thật vậy, tồn tại song ánh: f : A  A  {x} a  (a, x) * Với hai số a, b  N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Khi đó ab=Card(A  B) Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B khác rỗng ta luôn có A tương đương với một tập con của A  B, ta suy ra a  ab , a, b  N, b  0. b) A luôn tương đương với chính tập hợp A là một tập con của AB. Thật vậy, tồn tại song ánh là ánh xạ đồng nhất: 1A : A  A a a * Với hai số a, b  N, giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a = Card(A), b = Card(B). Khi đó a+b=Card(AB) Từ kết luận: Với hai tập hợp A, B bất kỳ khác rỗng ta luôn có A tương đương với một tập con của AB, ta suy ra a  a+b , a, b  N. 3. 51
52
B. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG II I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương II đề cập đến một số vấn đề về số tự nhiên nhằm những mục đích sau : 1. Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản của số tự nhiên như: khái niệm hai tập hợp tương đương, tập hữu hạn, tập vô hạn, số tự nhiên, các phép toán của số tự nhiên; bên cạnh các khái niệm còn có một số tính chất của chúng. Từ đó giúp người học hiểu rõ hơn về số tự nhiên, có cái nhìn rộng hơn và sâu hơn về nội dung và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán cho trẻ. 2. Rèn luyện cho người học sử dụng chính xác và thành thạo các ký hiệu và ngôn ngữ của số tự nhiên. II. NHỨNG KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ - Các vấn đề liên quan đến tập hợp: khái niệm, quan hệ bao hàm, hai tập bằng nhau, các phép toán, tích Đề các của hai tập hợp. - Khái niệm và các tính chất của: ánh xạ, ánh xạ là song ánh, tích các ánh xạ, ánh xạ ngược. III. YÊU CẦU VỀ LÝ THUYẾT 3.1. Về khái niệm, học viên cần nắm được - Khái niệm về hai tập hợp tương đương - Khái niệm tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn - Khái niệm bản số, số tự nhiên, quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên, số tự nhiên liền sau - Định nghĩa về các phép toán trên số tự nhiên: phép cộng, phép nhân, phép trừ, phép chia hết và phép chia có dư. 3.2. Về các tính chất, học viên cần nắm được : - Các tính chất của quan hệ tương đương giữa hai tập hợp - Một số tính chất của tập hợp hữu hạn - Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân số tự nhiên. IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 4.1. Chứng minh hai tập hợp đã cho là tương đương với nhau Với dạng bài tập này, ta cần phải chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ một trong hai tập đến tập còn lại (Chỉ ra ánh xạ và chứng minh được nó là một song ánh). 53
4.2. Chứng minh một tập hợp đã cho là tập hợp vô hạn Để chứng minh một tập hợp nào đó là tập hợp vô hạn, có hai cách: Cách 1: Ta cần chứng minh tập hợp đó tương đương với một tập con thực sự của nó. Muốn vậy ta cần thực hiện theo các bước: - Xác định được tập con thực sự mà ta dự đoán tập đã cho sẽ tương đương với tập con này - Chỉ ra được một ánh xạ là song ánh từ tập hợp đã cho đến tập con nói trên (hoặc ngược lại) Cách 2: Chứng minh tập hợp đã cho tương đương với một tập vô hạn. Cần thực hiện các bước: - Xác định được tập hợp vô hạn mà theo dự đoán tập này sẽ tương đương với tập hợp đã cho - Chỉ ra một ánh xạ là song ánh từ tập vừa xác định đến tập đã cho (hoặc ngược lại) 4.3. Chứng minh một đẳng thức về các phép toán cộng, trừ và nhân các số tự nhiên. Với dạng toán này chúng ta cần sử dụng các định nghĩa về các phép toán cộng, trừ, nhân (định nghĩa thông qua bản số của tập hợp). Đồng thời cần nắm được các tính chất về các phép toán của tập hợp (phép giao, phép hợp và phép trừ). V. CÂU HỎI ÔN TẬP 5.1. Nêu định nghĩa hai tập hợp tương đương với nhau. Cho ví dụ minh họa 5.2. Để chứng minh hai tập hợp tương đương với nhau ta cần thực hiện như thế nào ? 5.3. Nêu định nghĩa tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 5.4. Nêu và chứng minh các tính chất của tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 5.5. Định nghĩa số tự nhiên, số tự nhiên liền sau 5.6. Nêu các định nghĩa về các phép toán cộng, từ, nhân, chia trên số tự nhiên 5.7. Nêu và chứng minh các tính chất về phép toán cộng, phép toán nhân các số tự nhiên. 54