intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình Toán học phần 8

Chia sẻ: Phuoc Hau Phuoc Hau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
83
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đưa về dạng chính tắc của phương trình parabole ∂2u ∂u ∂u , ) = F2(ξ, η, u, 2 ∂ξ ∂η ∂η (7.1.6) 3. Nếu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) thì phương trình (7.1.4) có nghiệm phức y(x) = Đổi biến ξ=y-

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán học phần 8

  1. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng b(x, y) ∫ a(x, y) dx + C y(x) = §æi biÕn b(x, y) ∫ a(x, y) dx v ξ=y- η = η(x, y) sao cho J(x, y) ≠ 0 §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh parabole ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, , ) (7.1.6) ∂ξ ∂η ∂η 2 3. NÕu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm phøc b(x, y) ± i − ∆(x, y) ∫ dx + C = α(x, y) ± iβ(x, y) + C y(x) = a(x, y) §æi biÕn − ∆(x, y) b(x, y) ∫ a(x, y) dx v η = ∫ ξ=y- dx a(x, y) §−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh ellipse ∂2u ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, + , ) (7.1.7) ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 2 VÝ dô §−a vÒ chÝnh t¾c ph−¬ng tr×nh sau ®©y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2 +3 + +3 -3 - 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 1 2 y ′ 2 − 3y ′ + 1 = 0 , y = x + C, y = x +C 2 §æi biÕn 1 3 1 ξ+η=y- x, ξ - η = y - x Suy ra ξ = y - x, η = x 2 4 4 3 ∂ξ ∂ξ ∂η 1 ∂η ∂u 3 ∂u 1 ∂u ∂u ∂u =− , =− = 1, =, = 0, + , = 4 ∂y ∂x ∂x 4 ∂y ∂x 4 ∂ξ 4 ∂η ∂x ∂ξ 9 ∂2u 3 ∂ 2u 1 ∂2u ∂ 2 u 3 ∂2u 1 ∂ 2u ∂ 2 u ∂2u ∂2u − + =− + = , , = 16 ∂ξ2 8 ∂ξ∂η 16 ∂η2 ∂x∂y 4 ∂ξ2 4 ∂ξ∂η ∂y 2 ∂x 2 ∂ξ 2 D¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh l ∂2u ∂2u ∂u ∂u − 2 =2 +2 - 8u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 115
  2. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng §2. Ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸n Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng • Cho sîi d©y rÊt m¶nh, cã ®é d i l, hai mót cè ®Þnh, dao ®éng bÐ trong mÆt ph¼ng Oxu theo P3 u(x, t) ph−¬ng trôc Ou. Lóc kh«ng dao ®éng d©y n»m T trªn ®o¹n [0, l] v ®é d i cña d©y kh«ng thay ®æi P P M2 M1 1 2 trong suèt qu¸ tr×nh dao ®éng. B i to¸n ®ßi hái x1 x x2 x¸c ®Þnh ®é lÖch u(x, t) t¹i ®iÓm ho nh ®é x v o 0 l thêi ®iÓm t. • Gi¶ sö d©y rÊt dÎo, ® n håi víi lùc c¨ng T(x, t) h−íng theo ph−¬ng tiÕp tuyÕn cña sîi d©y v do ®ã cã hÖ sè gãc l u ′ . Do ®é d i cña sîi d©y kh«ng thay ®æi trong lóc dao x ®éng nªn lùc c¨ng T(x, t) kh«ng phô thuéc v o thêi gian. Gäi P1 l h×nh chiÕu cña lùc c¨ng trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P1 = ∫ T (x) 2 dx ∂x x1 Gäi F(x, t) l mËt ®é cña ngo¹i lùc t¸c ®éng v P2 l h×nh chiÕu cña ngo¹i lùc trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∫ F(x, t )dx P2 = x1 Gäi ρ(x) l mËt ®é vËt chÊt cña sîi d©y, u ′t′t l gia tèc cña chuyÓn ®éng v P3 l h×nh chiÕu cña lùc qu¸n tÝnh trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P3 = - ∫ ρ(x) dx ∂t 2 x1 Theo nguyªn lý c©n b»ng lùc P1 + P2 + P3 = 0 suy ra x2 ∂2u ∂2u   ∫  T(x) ∂x 2 + F(x, t ) − ρ(x) ∂t 2 dx = 0   x1   Do x1, x2 l tuú ý nªn ∀ (x, t) ∈ [0, l] × [0, +∞) ta cã ∂2u ∂2u ρ(x) = T(x) 2 + F(x, t) ∂t 2 ∂x NÕu sîi d©y ®ång chÊt th× ρ(x) v T(x) l c¸c h»ng sè. §Æt a2 = T / ρ > 0 gäi l vËn tèc truyÒn sãng v f(x, t) = F(x, t)/ρ l ngo¹i lùc t¸c ®éng. Khi ®ã ®é lÖch u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) (7.2.1) ∂t 2 ∂x gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng trong kh«ng gian mét chiÒu. Trong tr−êng hîp dao ®éng tù do kh«ng cã ngo¹i lùc t¸c ®éng : f(x, t) = 0, ph−¬ng tr×nh Trang 116 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng (7.2.1) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp dao ®éng c−ìng bøc : f(x, t) ≠ 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.1) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt • XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n, thÓ tÝch D, truyÒn nhiÖt S F ®¼ng h−íng trong kh«ng gian Oxyz. B i to¸n ®ßi hái x¸c ρ ®Þnh nhiÖt ®é u(M, t) t¹i ®iÓm M(x, y, z) v o thêi ®iÓm t. M n ρ • Gäi k(M) l hÖ sè truyÒn nhiÖt, n l h−íng truyÒn nhiÖt v D Q1 nhiÖt l−îng ®i qua mÆt kÝn S = ∂D tõ thêi ®iÓm t1 ®Õn t2 t2 t2 ∂u Q1 = ∫ dt ∫ k (M ) ρ dS = ∫ dt ∫ div( kgradu)dV ∂n t1 S t1 D Gäi Q2 l nhiÖt l−îng sinh bëi nguån nhiÖt trong cã mËt ®é F(M, t) tõ thêi ®iÓm t1 ®Õn t2 t2 ∫ dt ∫ F(M, t )dV Q2 = t1 D Gäi ρ(M) l mËt ®é vËt chÊt, c(M) l nhiÖt dung v Q3 l nhiÖt l−îng cÇn ®Ó vËt r¾n D thay ®æi tõ nhiÖt ®é u(M, t1) ®Õn u(M, t2) t2 ∂u ∫ c(M)ρ(M)(u(M, t ) − u(M, t 2 ))dV = ∫ dt ∫ c(M)ρ(M) ∂t dV Q3 = 2 D t1 D Theo nguyªn lý c©n b»ng nhiÖt Q1 + Q2 - Q3 = 0 suy ra t2 ∂u   ∫ dt ∫  div (kgradu) + F(M, t ) − c(M)ρ(M) ∂t dV = 0   t1 D Do t1, t2 tuú ý nªn ∀ (M, t) ∈ D × [0, +∞) chóng ta cã ∂u c(M)ρ(M) = div(k(M)gradu) + F(M, t) ∂t NÕu vËt r¾n l ®ång chÊt th× c(M), ρ(M) v k(M) l c¸c h»ng sè. §Æt a2 = k / cρ > 0 gäi l vËn tèc truyÒn nhiÖt v f(M, t) = F(M, t) / cρ l nguån nhiÖt trong. Khi ®ã nhiÖt ®é u(M, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ∂2u ∂2u ∂u ∂2u = a2( 2 + + ) + f(x, y, z, t) (7.2.2) ∂t ∂x ∂z 2 ∂y 2 gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt trong kh«ng gian ba chiÒu. Trong tr−êng hîp kh«ng cã nguån nhiÖt trong : f(M, t) = 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.2) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp cã nguån nhiÖt trong : f(M, t) ≠ 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.2) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt. Ph−¬ng tr×nh Laplace • XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n truyÒn nhiÖt ®¼ng h−íng, nhiÖt ®é u(x, y, z, t) t¹i ®iÓm M(x, y, z) v o thêi ®iÓm t tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (7.2.2). NÕu ph©n bè nhiÖt kh«ng phô Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 117
  4. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng thuéc thêi gian th× u ′t = 0 v khi ®ã ph−¬ng tr×nh (7.2.2) trë th nh ∂2u ∂2u ∂2u + + = g(x, y, z, t) (7.2.3) ∂z 2 ∂x 2 ∂y 2 gäi l ph−¬ng tr×nh Laplace. Trong tr−êng hîp kh«ng cã nguån nhiÖt trong : g(x, y, z, t) = 0, ph−¬ng tr×nh (7.2.3) l ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. Tr−êng hîp cã nguån nhiÖt trong : g(x, y, z, t) ≠ 0 ph−¬ng tr×nh (7.2.3) l ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt cßn gäi l ph−¬ng tr×nh Poisson. §3. C¸c b i to¸n c¬ b¶n B i to¸n tæng qu¸t • Cho c¸c miÒn D ⊂ 3n, H = D × 3+ v c¸c h m u ∈ C2(H, 3), f ∈ C(H, 3). KÝ hiÖu ∂2u n ∑ ∂x 2 ∆u = i =1 i gäi l to¸n tö Laplace. C¸c b i to¸n VËt lý - Kü thuËt th−êng dÉn ®Õn viÖc gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 cã d¹ng tæng qu¸t nh− sau. ∂2u = a2∆u + f(x, t) (x, t) ∈ H0 (7.3.1) ∂t 2 ∂u = a2∆u + f(x, t) (x, t) ∈ H0 (7.3.2) ∂t ∆u = f(x) x ∈ D0 (7.3.3) V× vËy c¸c ph−¬ng tr×nh trªn ®−îc gäi l c¸c ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n. Ph−¬ng tr×nh Hyperbole (7.3.1) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n dao ®éng, truyÒn sãng gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. Ph−¬ng tr×nh Parabole (7.3.2) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n truyÒn nhiÖt, ph©n bè nhiÖt gäi l ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt. Ph−¬ng tr×nh Ellipse (7.3.3) xuÊt hiÖn trong c¸c b i to¸n vÒ qu¸ tr×nh dõng gäi l ph−¬ng tr×nh Laplace. C¸c ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n th−êng cã v« sè nghiÖm, ®Ó x¸c ®Þnh ®óng nghiÖm cÇn t×m cÇn ph¶i cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô. - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt tr¹ng th¸i cña hÖ thèng v o thêi ®iÓm t = 0. ∂u ut=0 = g, t=0 = h (7.3.4) ∂t - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt tr¹ng th¸i cña hÖ thèng trªn biªn ∂D. ∂u ∂u + λu)∂D = q u∂D = h, ∂D = p, ( (7.3.5) ∂n ∂n Trong thùc tiÔn c¸c ®iÒu kiÖn phô ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm v do ®ã cã sai sè. V× vËy khi thiÕt lËp c¸c b i to¸n vÒ ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n chóng ta yªu cÇu Trang 118 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng - B i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt : Ph−¬ng tr×nh cã ®óng mét nghiÖm tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn phô cho tr−íc. - B i to¸n cã nghiÖm æn ®Þnh : Sai sè nhá cña c¸c ®iÒu kiÖn phô dÉn ®Õn sai sè nhá cña nghiÖm. B i to¸n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n ph¸t biÓu nh− sau : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn phô cho tr−íc. • Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta xem xÐt c¸c b i to¸n sau ®©y - B i to¸n Cauchy : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (truyÒn nhiÖt) tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu - B i to¸n hçn hîp : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng (truyÒn nhiÖt) tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu v ®iÒu kiÖn biªn - B i to¸n Diriclet : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace tho¶ m n ®iÒu kiÖn biªn u∂D = g - B i to¸n Neuman : T×m nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh Laplace tho¶ ∂u m n ®iÒu kiÖn biªn u∂D = g v ∂D = h ∂n C¸c b i to¸n víi ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt gäi t¾t l b i to¸n thuÇn nhÊt, víi ph−¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt gäi l b i to¸n kh«ng thuÇn nhÊt. §Ó ®¬n gi¶n trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ giíi h¹n c¸c b i to¸n trong ph¹m vi kh«ng gian mét hoÆc hai chiÒu. Tuy nhiªn c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i v c«ng thøc nghiÖm cã thÓ më réng tù nhiªn cho tr−êng hîp kh«ng gian n chiÒu. Cô thÓ chóng ta sÏ lÇn l−ît nghiªn cøu c¸c b i to¸n sau ®©y. B i to¸n Cauchy (CH) B i to¸n hçn hîp (HH) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u 2∂ u ∂2u 2∂ u 2 2 =a + f(x, t) =a + f(x, t) ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 ∂t 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu v c¸c ®iÒu kiÖn phô ∂u ∂u ut=0 = g(x), t=0 = h(x) ut=0 = g(x), t=0 = h(x), u∂D = p(t) ∂t ∂t B i to¸n Cauchy (CP) B i to¸n hçn hîp (HP) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂u 2∂ u ∂u 2∂ u 2 2 =a + f(x, t) =a + f(x, t) ∂t ∂t ∂x 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu v c¸c ®iÒu kiÖn phô ∂u + λu)∂D = h(t) ut=0 = g(x) ut=0 = g(x), ( ∂n Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 119
  6. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng B i to¸n Diriclet (DE) B i to¸n Neumann (NE) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ph−¬ng tr×nh Laplace ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u + = f(x, y) + = f(x, y) ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 v ®iÒu kiÖn biªn v c¸c ®iÒu kiÖn biªn ∂u ρ ∂D = h(x, y) u∂D = g(x, y) u∂D = g(x, y), ∂n §4. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CH1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (7.4.1) ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) (7.4.2) ∂t • §æi biÕn ξ = x + at, η = x - at TÝnh c¸c ®¹o h m riªng b»ng c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂u ∂u ∂u  ∂u ∂u  = + = a −  ,  ∂ξ ∂η  ∂x ∂ξ ∂η ∂t   ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u + 2 , 2 = a2 2 −2 + = 2 +2   ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2  ∂ξ∂η ∂η ∂t ∂x 2 ∂ξ   ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (7.4.1), nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ∂2u =0 ∂ξ∂η TÝch ph©n hai lÇn u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η) Trë vÒ biÕn cò u(x, t) = ϕ(x + at) + ψ(x - at) ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (7.4.2) u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x) = g(x) v u ′t (x, 0) = a[ϕ’(x) - ψ’(x)] = h(x) Trang 120 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh thø hai, ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh x 1 a∫ ϕ(x) + ψ(x) = 0, ϕ(x) - ψ(x) = h(ξ)dξ 0 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn t×m ϕ(x) v ψ(x) v suy ra nghiÖm cña b i to¸n x + at 1 ∫ h(ξ)dξ u(x, t) = (7.4.3) 2a x − at §Þnh lý Cho h m h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.4.3) Chøng minh • Do h m h ∈ C1(D, 3) nªn h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂u 1 ∀ (x, t) ∈ H, = a[h(x + at) + h(x - at)] ∂t 2 2∂ u ∂2u 2 1 = a[h’(x + at) + h’(x - at)] = a ∂t 2 ∂x 2 2 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) ∂t ∂2u ∂2u ∂u • NÕu ui l nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = 0, (x, 0) = hi ∂t ∂t ∂x 2 2∂ u ∂2u ∂u 2 th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n =a , u(x, 0) = 0, (x, 0) = h1 - h2 = h ∂t ∂t ∂x 2 2 Víi mçi T > 0 cè ®Þnh, kÝ hiÖu B = [x - aT, x + aT] v HT = B × [0, T]. Tõ c«ng thøc (7.4.3) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y ∀ (x, t) ∈ HT , | u(x, t) | ≤ T supB | h(ξ) | Tõ ®ã suy ra h = h1 - h2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0. || h || = || h 1 - h 2 || < δ ⇒ | | u || = || u 1 - u 2 || < ε = T δ VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn HT víi mçi T cè ®Þnh. Do tÝnh liªn tôc cña nghiÖm suy ra b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. B i to¸n CH1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = 0 ∂t Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 121
  8. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng ∂v §Þnh lý Cho g ∈ C2(D, 3) v v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a víi (x, 0) = g(x) ∂t B i to¸n CH1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y x + at ∂v 1∂ ∫ g(ξ)dξ u(x, t) = (x, t) = (7.4.4) ∂t 2a ∂t x − at Chøng minh • Do h m g ∈ C2(D, 3) nªn h m v ∈ C3(H, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂ 2 ∂v ∂ ∂2v ∂ 2 ∂v ∂2u ∀ (x, t) ∈ H, = a2 = a2 2 =2 ∂t ∂t ∂t ∂x 2 ∂x ∂t ∂t 2 ∂2v ∂v ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = (x, 0) = a2 2 (x, 0) (x, 0) = g(x), ∂t ∂t ∂x • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. §5. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CH1c Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t §inh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) v v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a trªn H × 3+ víi ∂v v(x, τ, 0) = 0 v (x, τ, 0) = f(x, τ) ∂t B i to¸n CH1c cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y. t ∫ v(x, τ, t − τ)dτ u(x, t) = (7.5.1) 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) nªn h m v ∈ C1(H × 3+, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3) KiÓm tra trùc tiÕp Trang 122 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng ∂v ∂v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ ∀ (x, t) ∈ H, = v(x, t, 0) + ∂t 0 0 ∂v ∂v ∂u ∂v t t 2 2 2 ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = a2 ∫ (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = (x, t, 0) + ∂t ∂x 2 ∂t 2 2 0 0 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. B i to¸n CH1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+, c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng 2∂ u ∂2u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n CH1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) + uc(x, t) víi uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1α. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (7.4.3), (7.4.4) v (7.5.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. x + at x + at x + aτ 1 ∂  t  f (ξ, t − τ)dξ  ∫ g(ξ)dξ + ∫ h(ξ)dξ + ∫ dτ ∫ u(x, t) = (7.5.2) 2a  ∂t    x − at x − at x − aτ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C2(D, 3) v h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.5.2). ∂2u ∂2u = a2 2 + 2xe-t víi (x, t) ∈ 3 × 3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = cosx, (x, 0) = 2x ∂t Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + at x + at t x + aτ 1 ∂   cos ξdξ + ∫ 2ξdξ + ∫ ∫ 2ξe τ − t dξdτ  ∫at u(x, t) = 2a  ∂t x −    x − at 0 x − aτ = cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e-t) NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c«ng thøc (7.5.2) vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f, g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 123
  10. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng §6. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SH1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SH l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CH t−¬ng ®−¬ng. Gäi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3, cßn v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. ∂2v ∂2v ∂v (x, 0) = h1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ = a2 2 + f(x, t), v(x, 0) = g1(x), ∂t ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + aτ x + at t 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτx −∫aτf1 (ξ, t − τ)dξ v(x, t) = [g1(x + at) + g1(x - at)] + 2 2a x − 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn aτ t at 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτ−∫aτf1(ξ, t − τ)dξ = 0 v(0, t) = [g1(at) + g1(-at)] + 2 2a − 0 Suy ra c¸c h m f1, g1 v h1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0  h(x) x ≥ 0 f1(x, t) =  - f(-x, t) x < 0 , g1(x) = - g(-x) x < 0 v h1(x) = - h(-x) x < 0    §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3), h m g ∈ C2(D, 3) v h m h ∈ C1(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0, g(0) = 0 v h(0) = 0 B i to¸n SH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x + at x + at x + aτ 1 ∂  t    ∂t ∫ g 1 (ξ)dξ + ∫ h 1 (ξ)dξ + ∫ dτ ∫ f 1(ξ, t − τ)dξ  (7.6.1) u(x, t) = 2a  x − at  x − at x − aτ 0 víi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i lÎ cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3. Trang 124 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  11. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng B i to¸n SH1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m p ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t) • KiÓm tra trùc tiÕp h m x x u(x, t) = η(t - )p(t - ) (7.6.2) a a l nghiÖm cña b i to¸n SH1b. B i to¸n SH1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g, h ∈ C(D, 3), p ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SH1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SH1α. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (7.6.1) v (7.6.2) suy ra c«ng thøc sau ®©y. x + at x + at x + aτ 1 ∂  t  g 1 (ξ)dξ + ∫ h 1 (ξ)dξ + ∫ dτ ∫ f 1(ξ, t − τ)dξ   ∂t ∫ u(x, t) =  2a  x − at  x − at x − aτ 0 x x + η(t - )p(t - ) (7.6.3) a a §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v p ∈ C2(3+, 3) tho¶ g(0) = 0, h(0) = 0 v f(0, t) = 0 B i to¸n SH1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.6.3) víi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i lÎ cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 125
  12. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng ∂2u ∂2u = 4 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = sinx, (x, 0) = 2x ∂t u(0, t) = sint Do c¸c h m f, g v h l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f, g1 = g v h1 = h. Thay v o c«ng thøc (7.6.3) chóng ta cã x+2t x +2t x+2 τ 1 ∂  t x x  sin ξdξ + ∫ 2ξdξ + ∫ dτ ∫ 2(t − τ)ξdξ  + η(t - )sin(t - ) ∫2 t u(x, t) = 4  ∂t x −  2 2   x −2 t x −2 τ 0 x x 13 xt + η(t - )sin(t - ) víi (x, t) ∈ 3+× 3+ = sinxcos2t + 2xt + 6 2 2 NhËn xÐt Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n gi¶ Cauchy kh¸c. §7. B i to¸n hçn hîp thuÇn nhÊt B i to¸n HH1a Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T] v c¸c h m g, h ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (7.7.1) ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) (7.7.2) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (7.7.3) • B i to¸n HH1a ®−îc gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn m néi dung cña nã nh− sau T×m nghiÖm cña b i to¸n HH1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) §¹o h m u(x, t) hai lÇn theo x, theo t sau ®ã thÕ v o ph−¬ng tr×nh (7.7.1) X ′′(x) T ′′(t ) ≡λ∈3 X(x)T”(t) = a2X”(x)T(t) suy ra =2 X(x ) a T (t ) ThÕ h m u(x, t) v o ®iÒu kiÖn biªn (7.7.3) u(0, t) = X(0)T(t) = 0 v u(l, t) = X(l)T(t) = 0 víi T(t) ≠ 0 Trang 126 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  13. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng Chóng ta nhËn ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng sau ®©y X”(x) + λX(x) = 0 (7.7.4) T”(t) + λa2T(t) = 0 (7.7.5) X(0) = X(l) = 0 víi λ ∈ 3 (7.7.6) • Ph−¬ng tr×nh vi ph©n (7.7.4) cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng k2 + λ = 0 NÕu λ = - α2 th× ph−¬ng tr×nh (7.7.4) cã nghiÖm tæng qu¸t X(x) = C1e-αx + C2eαx ThÕ v o ®iÒu kiÖn (7.7.6) gi¶i ra ®−îc C1 = C2 = 0. HÖ chØ cã nghiÖm tÇm th−êng. NÕu λ = 0 th× ph−¬ng tr×nh (7.7.4) cã nghiÖm tæng qu¸t X(x) = C1 + C2x Tr−êng hîp n y hÖ còng chØ cã nghiÖm tÇm th−êng. NÕu λ = α2 th× ph−¬ng tr×nh (7.7.4) cã nghiÖm tæng qu¸t X(x) = C1cosαx + C2sinαx kπ ThÕ v o ®iÒu kiÖn (7.7.6) gi¶i ra ®−îc C1 = 0, C2 tuú ý v α = . l Suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh (7.7.4) v (7.7.6) cã hä nghiÖm riªng trùc giao trªn [0, l] 2 kπ  kπ  x víi Ak ∈ 3 v λk =   , k ∈ ∠* Xk(x) = Aksin l l ThÕ c¸c λk v o ph−¬ng tr×nh (7.7.5) gi¶i ra ®−îc kπa kπa t víi (Bk, Ck) ∈ 32, k ∈ ∠* Tk(t) = Bkcos t + Cksin l l Suy ra hä nghiÖm riªng ®éc lËp cña b i to¸n HH1a kπa kπa kπ t )sin x víi ak = AkBk , bk = AkCk , k ∈ ∠* uk(x, t) = (akcos t + bksin l l l • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n HH1a d¹ng chuçi h m kπa kπa  kπ +∞ +∞  ∑ u k (x, t) = ∑ a t + b k sin t  sin u(x, t) = (7.7.7) cos x k l l l  k =1 k =1 ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (7.7.3) kπ ∂u kπa kπ +∞ +∞ u(x, 0) = ∑ a k sin (x, 0) = ∑ x = g(x) v x = h(x) b k sin ∂t l l l k =1 k =1 NÕu c¸c h m g v h cã thÓ khai triÓn th nh chuçi Fourier trªn ®o¹n [0, l] th× kπ kπ l l 2 2 ∫ g(x) sin l xdx v bk = kπa ∫ h(x) sin l xdx ak = (7.7.8) l0 0 §Þnh lý Cho c¸c h m g ∈ C2(D, 3) v h ∈ C1(D, 3) tho¶ m n g(0) = g(l) = 0 v h(0) = h(l) = 0 Chuçi h m (7.7.7) víi hÖ sè ak v bk tÝnh theo c«ng thøc (7.7.8) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1a. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 127
  14. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng Chøng minh • C¸c h m g v h theo gi¶ thiÕt tho¶ m n ®iÒu kiÖn Dirichlet do ®ã khai triÓn ®−îc th nh chuçi Fourier héi tô ®Òu v cã c¸c chuçi ®¹o h m héi tô ®Òu trªn ®o¹n [0, l]. Suy ra chuçi h m (7.7.7) víi c¸c hÖ sè ak v bk tÝnh theo c«ng thøc (7.7.8) l héi tô ®Òu v c¸c chuçi ®¹o h m riªng ®Õn cÊp hai cña nã còng héi tô ®Òu trªn miÒn H. Do vËy cã thÓ ®¹o h m tõng tõ hai lÇn theo x, theo t trªn miÒn H. KiÓm tra trùc tiÕp thÊy r»ng chuçi (7.7.7) v c¸c chuçi ®¹o h m riªng cña nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh (7.7.1) v c¸c ®iÒu kiÖn phô (7.7.2), (7.7.3) • LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n CH1 suy ra tÝnh æn ®Þnh v duy nhÊt nghiÖm. VÝ dô X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y cã hai ®Çu mót x = 0, x = l cè ®Þnh, ®é lÖch ban ∂u ®Çu u(x, 0) = x(l - x) v vËn tèc ban ®Çu (x, 0) = 0. ∂t Thay v o c«ng thøc (7.7.8) nhËn ®−îc k = 2n 0 kπ 1  8l 2 ak = ∫ x(l − x) sin k = 2n + 1 v bk = 0 víi k ∈ ∠ * xdx =  l  π 2 (2n + 1) 2  0 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n (2 n + 1)πa (2 n + 1)π +∞ 8l 2 1 ∑ (2n + 1) u(x, t) = cos t sin x π3 3 l l n =0 §8. B i to¸n hçn hîp kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n HH1b Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 • T×m nghiÖm b i to¸n HH1b d−íi d¹ng chuçi h m kπ +∞ ∑ T (t ) sin u(x, t) = (7.8.1) x k l k =1 Khai triÓn Fourier h m f(x, t) trªn ®o¹n [0, l] Trang 128 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  15. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng kπ kπx l +∞ 2 ∑ f k (t ) sin x víi fk(t) = ∫ f (x, t ) sin f(x, t) = dx l l0 l k =1 Sau ®ã thÕ v o b i to¸n HH1b   2  Tk′(t ) +  kπa  Tk (t )  sin kπ x = kπ +∞ +∞ ∑ ∑f ′   (t ) sin x  k l l l k =1   k =1 kπ kπ +∞ +∞ ∑T x = 0 v ∑ T k (0) sin ′ x =0 k (0) sin l l k =1 k =1 Chóng ta nhËn ®−îc hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2  kπa  Tk′(t) +  ′  Tk(t) = fk(t) l ′ Tk(0) = 0, T k (0) = 0 víi k ∈ ∠* (7.8.2) • Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng (7.8.2) t×m c¸c h m Tk(t) sau ®ã thÕ v o c«ng thøc (7.8.1) suy ra nghiÖm cña b i to¸n HH1b. Hä ph−¬ng tr×nh (7.8.2) cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p to¸n tö Laplace nãi ë ch−¬ng 5 hoÆc b»ng mét trong c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh hÖ sè h»ng ® biÕt n o ®ã. LËp luËn t−¬ng tù nh− b i to¸n HH1a chóng ta cã kÕt qu¶ sau ®©y. §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3). Chuçi h m (7.8.1) víi c¸c h m Tk(t) x¸c ®Þnh tõ hä ph−¬ng tr×nh (7.8.2) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1b. B i to¸n HH1 Cho c¸c miÒn D = [0, l], H = D × [0, T], c¸c h m f ∈ C(H, 3), g, h ∈ C(D,3) v c¸c h m p, q ∈ C([0, T], 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng 2∂ u ∂2u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t 2 ∂x 2 ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t) • T×m nghiÖm b i to¸n HH1 d−íi d¹ng x u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + p(t) + (q(t) - p(t)) (7.8.3) l Trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1a Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 129
  16. Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng ∂2v ∂2v = a2 2 ∂t 2 ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l ∂v x (x, 0) = h(x) - p’(0) - (q’(0) - p’(0)) = h1(x) ∂t l v(0, t) = v(l, t) = 0 (7.8.4) víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) h1(0) = h1(l) = 0 ⇔ h(0) = p’(0), h(l) = q’(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b ∂2w ∂2w ∂2w x = a2 2 + f(x, t) - p”(t) - (q”(t) - p”(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t 2 ∂x ∂x l ∂w w(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t w(0, t) = w(l, t) = 0 (7.8.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) t×m c¸c h m v(x, t) v w(x, t) sau ®ã thÕ v o c«ng thøc (7.8.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n HH1. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C2([0,T], 3) tho¶ m n g(0) = p(0), g(l) = q(0) v h(0) = p’(0), h(l) = q’(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.8.3) víi c¸c h m v(x, t) v w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1. ∂2u ∂2u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = 4 2 + xt ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = sinπx, (x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = t ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xt trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1a víi g1(x) = sinπx v h1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b víi f1(x, t) = xt. Gi¶i b i to¸n HH1 1 ak = 2 ∫ sin πx sin kπxdx =  1 k = 1 v bk = 0 víi k ∈ ∠*  0 k >1  0 Suy ra v(x, t) = cos2πtsinπx Trang 130 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2