zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p4

Chia sẻ: Dfsdf Fdsgds | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

59
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tìm nghiệm của b i toán DE1a dạng tách biến u(r, ϕ) = V(r)Φ(ϕ) Thế v o phương trình (8.6.1) nhận được hệ phương trình vi phân Φ”(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0 (8.6.3) 2 r V”(r) + rV’(r) - λV(r) = 0, với λ ∈ 3 (8.6.4) Phương trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần ho n chu kỳ T = 2π Φk(x) = Akcoskϕ + Bksinkϕ

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử hamilton p4

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k B i to¸n Diriclet (DE) B i to¸n Neumann (NE) T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n T×m h m u ∈ C(D, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace ph−¬ng tr×nh Laplace ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u + = f(x, y) + = f(x, y) ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 v ®iÒu kiÖn biªn v c¸c ®iÒu kiÖn biªn ∂u ρ ∂D = h(x, y) u∂D = g(x, y) u∂D = g(x, y), ∂n §4. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CH1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (7.4.1) ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) (7.4.2) ∂t • §æi biÕn ξ = x + at, η = x - at TÝnh c¸c ®¹o h m riªng b»ng c«ng thøc ®¹o h m h m hîp ∂u ∂u ∂u ∂u  ∂u ∂u  = + = a −  ,  ∂ξ ∂η  ∂x ∂ξ ∂η ∂t   ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u ∂2u  ∂2u ∂2u + 2 , 2 = a2 2 −2 + = 2 +2   ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2  ∂ξ∂η ∂η ∂t ∂x 2 ∂ξ   ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (7.4.1), nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh ∂2u =0 ∂ξ∂η TÝch ph©n hai lÇn u(ξ, η) = ϕ(ξ) + ψ(η) Trë vÒ biÕn cò u(x, t) = ϕ(x + at) + ψ(x - at) ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (7.4.2) u(x, 0) = ϕ(x) + ψ(x) = g(x) v u ′t (x, 0) = a[ϕ’(x) - ψ’(x)] = h(x) Trang 120 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k TÝch ph©n ph−¬ng tr×nh thø hai, ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh x 1 a∫ ϕ(x) + ψ(x) = 0, ϕ(x) - ψ(x) = h(ξ)dξ 0 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn t×m ϕ(x) v ψ(x) v suy ra nghiÖm cña b i to¸n x + at 1 ∫ h(ξ)dξ u(x, t) = (7.4.3) 2a x − at §Þnh lý Cho h m h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.4.3) Chøng minh • Do h m h ∈ C1(D, 3) nªn h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂u 1 ∀ (x, t) ∈ H, = a[h(x + at) + h(x - at)] ∂t 2 2∂ u ∂2u 2 1 = a[h’(x + at) + h’(x - at)] = a ∂t 2 ∂x 2 2 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = h(x) ∂t ∂2u ∂2u ∂u • NÕu ui l nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = 0, (x, 0) = hi ∂t ∂t ∂x 2 2∂ u ∂2u ∂u 2 th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n =a , u(x, 0) = 0, (x, 0) = h1 - h2 = h ∂t ∂t ∂x 2 2 Víi mçi T > 0 cè ®Þnh, kÝ hiÖu B = [x - aT, x + aT] v HT = B × [0, T]. Tõ c«ng thøc (7.4.3) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y ∀ (x, t) ∈ HT , | u(x, t) | ≤ T supB | h(ξ) | Tõ ®ã suy ra h = h1 - h2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0. || h || = || h 1 - h 2 || < δ ⇒ | | u || = || u 1 - u 2 || < ε = T δ VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn HT víi mçi T cè ®Þnh. Do tÝnh liªn tôc cña nghiÖm suy ra b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. B i to¸n CH1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = 0 ∂t Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 121
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v §Þnh lý Cho g ∈ C2(D, 3) v v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a víi (x, 0) = g(x) ∂t B i to¸n CH1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y x + at ∂v 1∂ ∫ g(ξ)dξ u(x, t) = (x, t) = (7.4.4) ∂t 2a ∂t x − at Chøng minh • Do h m g ∈ C2(D, 3) nªn h m v ∈ C3(H, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3). KiÓm tra trùc tiÕp ∂ 2 ∂v ∂ ∂2v ∂ 2 ∂v ∂2u ∀ (x, t) ∈ H, = a2 = a2 2 =2 ∂t ∂t ∂t ∂x 2 ∂x ∂t ∂t 2 ∂2v ∂v ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = (x, 0) = a2 2 (x, 0) (x, 0) = g(x), ∂t ∂t ∂x • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. §5. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CH1c Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t §inh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) v v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1a trªn H × 3+ víi ∂v v(x, τ, 0) = 0 v (x, τ, 0) = f(x, τ) ∂t B i to¸n CH1c cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y. t ∫ v(x, τ, t − τ)dτ u(x, t) = (7.5.1) 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) nªn h m v ∈ C1(H × 3+, 3) suy ra h m u ∈ C2(H, 3) KiÓm tra trùc tiÕp Trang 122 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ ∀ (x, t) ∈ H, = v(x, t, 0) + ∂t 0 0 ∂v ∂v ∂u ∂v t t 2 2 2 ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ = a2 ∫ (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = (x, t, 0) + ∂t ∂x 2 ∂t 2 2 0 0 ∂u ∀ x ∈ D, u(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh cña nghiÖm suy ra tõ b i to¸n CH1a. B i to¸n CH1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+, c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng 2∂ u ∂2u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t 2 ∂x 2 v ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n CH1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) + uc(x, t) víi uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CH1α. KÕt hîp c¸c c«ng thøc (7.4.3), (7.4.4) v (7.5.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. x + at x + at x + aτ 1 ∂  t  f (ξ, t − τ)dξ  ∫ g(ξ)dξ + ∫ h(ξ)dξ + ∫ dτ ∫ u(x, t) = (7.5.2) 2a  ∂t    x − at x − at x − aτ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C2(D, 3) v h ∈ C1(D, 3). B i to¸n CH1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.5.2). ∂2u ∂2u = a2 2 + 2xe-t víi (x, t) ∈ 3 × 3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = cosx, (x, 0) = 2x ∂t Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + at x + at t x + aτ 1 ∂   cos ξdξ + ∫ 2ξdξ + ∫ ∫ 2ξe τ − t dξdτ  ∫at u(x, t) = 2a  ∂t x −    x − at 0 x − aτ = cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e-t) NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c«ng thøc (7.5.2) vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f, g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 123
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §6. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SH1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g, h ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng ∂2u ∂2u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t 2 ∂x ®iÒu kiÖn ban ®Çu ∂u u(x, 0) = g(x), (x, 0) = h(x) ∂t v ®iÒu kiÖn biªn u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SH l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CH t−¬ng ®−¬ng. Gäi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3, cßn v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. ∂2v ∂2v ∂v (x, 0) = h1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ = a2 2 + f(x, t), v(x, 0) = g1(x), ∂t ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (7.5.2) chóng ta cã x + aτ x + at t 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτx −∫aτf1 (ξ, t − τ)dξ v(x, t) = [g1(x + at) + g1(x - at)] + 2 2a x − 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn aτ t at 1 1 1 ∫ath 1 (ξ)dξ + 2a ∫ dτ−∫aτf1(ξ, t − τ)dξ = 0 v(0, t) = [g1(at) + g1(-at)] + 2 2a − 0 Suy ra c¸c h m f1, g1 v h1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0  h(x) x ≥ 0 f1(x, t) =  - f(-x, t) x < 0 , g1(x) = - g(-x) x < 0 v h1(x) = - h(-x) x < 0    §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3), h m g ∈ C2(D, 3) v h m h ∈ C1(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0, g(0) = 0 v h(0) = 0 B i to¸n SH1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x + at x + at x + aτ 1 ∂  t    ∂t ∫ g 1 (ξ)dξ + ∫ h 1 (ξ)dξ + ∫ dτ ∫ f 1(ξ, t − τ)dξ  (7.6.1) u(x, t) = 2a  x − at  x − at x − aτ 0 víi f1, g1 v h1 t−¬ng øng l kÐo d i lÎ cña c¸c h m f, g v h lªn to n 3. Trang 124 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.