Giáo trình Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu) - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Chia sẻ: Dương Hàn Thiên Băng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu)" cung cấp cho học viên những nội dung về: bình sai điều kiện lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh; bình sai gián tiếp lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh; bình sai lưới tự do;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Trắc địa cơ sở (Chuyên sâu) - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH ------------------- Chủ biên: ThS. Nguyễn Thị Mai Anh Th.S Ngô Thị Hài GIÁO TRÌNH TRẮC ĐỊA CƠ SỞ (CHUYÊN SÂU) (LƯU HÀNH NỘI BỘ) Quảng Ninh – 2019 1
BÀI 1: GIỚI THIỆU NỘI DUNG MÔN HỌC Đây là học phần chuyên sâu học thay thế làm đồ án môn học. Học phần bao gồm 3 nội dung cơ bản: + Bình sai điều kiện lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh + Bình sai gián tiếp + Bình sai lưới tự do Khi xây dựng lưới trắc địa, ngoài các trị đo cần thiết bao giờ người ta cũng đo thừa một số trị đo nhằm kiểm tra, đánh giá chất lượng kết quả đo và nâng cao độ chính xác các yếu tố của mạng lưới sau bình sai. Lưới tam giác là mạng lưới có kết cấu hình học chặt chẽ, có nhiều trị đo thừa. Giữa các trị đo cần thiết và các trị đo thừa, các số liệu gốc luôn tồn tại các quan hệ toán học ràng buộc lẫn nhau. Biểu diễn các quan hệ ràng buộc đó dưới dạng các công thức toán học ta được các phương trình điều kiện. Trong các kết quả đo luôn tồn tại các sai số đo vì vậy chúng không thỏa mãn các điều kiện hình học của mạng lưới và xuất hiện các sai số khép. Viêc bình sai mạng lưới nhằm mục đích loại trừ các sai số khép, tìm ra trị số đáng tin cậy nhất của các trị đo và các yếu tố cần xác định trong mạng lưới tam giác Bài 2: Bình sai lưới đo cạnh và lưới đo góc cạnh 2.1 Thành lập phương trình điều kiện số hiệu chỉnh phương trình chuẩn số liên hệ 2.1.1 Cơ sở lý thuyết Giả sử có n dãy trị đo: L1, L2, …, giá trị sau bình sai là L1’, L2’, …, Ln’, trong đó số tương ứng là P1, P2, …, Pn. Giữa các đại lượng đo ta lập được r phương trình toán học gọi là các phương trình điều kiện r < n, dạng ban đầu của chúng là: Fj (L1’,L2’, …, Ln’) = 0 (j=1, 2,…, n) (2.1) Trong phương trình (2.1) thì Li’ chưa biết. Bài toán bình sai cần tìm n các số hiệu chỉnh vi của các giá trị đo Li sao cho: L’i = Li + vi (2.2) Thay (2.2) vào (2.1) t có phương trình: Fj(L1 + V1, L2 + V2,, …, Ln + Vn) = 0 Ứng dụng phương pháp khai triển chuỗi Taylor biến đổi các phương trình trên về dạng tuyến tính bỏ qua các số hạng bậc cao ta có hệ phương trình điều kiện số hiệu chỉnh như sau: a1v1 + a2 v2 + ... + an vn + wa = 0 b v + b v + ... + b v + w = 0 11 2 2 n n b  (2.3) ... r1v1 + r2 v2 + ... + rn vn + wr = 0 Trong đó các hệ số là đạo hàm riêng phần của các hàm Fj theo các đại lượng đo Li . F1 F2 F ai = ; bi = , …, ri = r Li Li Li 2
Các số hạng tự do wj chính là sai số khép phương trình điều kiện, giá trị của nó được xác định bằng cách thay các trị đo vào phương trình (2.1). w j = Fj (L1, L2 ,..., L n ) Hệ phương trình (2.3) có r phương trình, n ẩn số, vì n > r nên không giải trực tiếp được mà phải ứng dụng nguyên lý số bình phương nhỏ nhất [pw] = min để giải theo phương pháp cực trị có điều kiện của Lagrange. Để giải hệ (2.3) ta phải lập hệ phương trình chuẩn số liên hệ dạng: [qaa]K a + [qab]K b + ... + [qar]K r + w a = 0  [qab]K a + [qbb]K b + ... + [qbr]K r + w b = 0  (3.3) ... [qar]K a + [qab]K r + ... + [qrr]K r + w r = 0 1 Trong đó : q i = ; pi là trọng số trị đo thứ i Pi Hệ (3.3) là hệ phương trình tuyến tính đối xứng gồm r phương trình, r ẩn số. Giải hệ theo sơ đồ Gauss ta được các số liên hệ Ka, Kb, …, Kr. Các số hiệu chỉnh của trị đo được tính theo công thức: Vi = q i (a i K a + bi K b + ... + ri K r ) Để đánh giá độ chính xác kết quả do sau bình sai, ta tính sai số trung phương trọng số đơn vị theo công thức: [qvv] = r Để đánh giá độ chính xác các yếu tố đặc trưng của mạng lưới ta viết chúng dưới dạng hàm số của các trị đo sau bình sai, thường gọi là hàm trong số: F = f(L1 ', L 2 ',..., L n ') Biến đổi về dạng tuyến tính ta có: F = f 0 + f1v1 + f 2 v2 + ... + f n vn Trong quá trình lập và giải hệ phương trình chuẩn số liên hệ ta kết hợp tính được nghịch đảo trọng số của hàm F: 1 [qaf]2 [qbf.1]2 [qrf.(r -1)]2 = [qff.r] = [qff] - - - ... - PF [qaa] [qbb.1] [qrr(r -1)] Sai số trung phương của hàm các giá trị đo sau bình sai sẽ tính theo công thức: 1 MF=  . PF Nếu dùng ngôn ngữ thuật toán ma trận, ta ký hiệu ma trận hệ số trong phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là B, vectơ số hiệu chỉnh là V và vectơ số hạng tự do phương trình điều kiện là W, vectơ số liên hệ là K ta có: 3
; ; ; Từ các công thức cơ bản ta có thể viết phương trình số hiệu chỉnh dưới dạng ma trận như sau: BV+W = 0 Phương trình chuẩn số liên hệ: B. P-1. BT. K + W = 0 Đặt N= B. P-1. BT, ta có: NK + W = 0 Vậy K = -N-1. W Lúc đó V= P-1. BT.K 2.1.2. Các dạng phương trình điều kiện, phương trình điều kiện số hiệu chỉnh 1. Số lượng phương trình điều kiện Một yêu cầu rất chặt chẽ của phương pháp bình sai điều kiện là phải xác định đúng số lượng phương trình điều kiện trong lưới tam giác và phải lựa chọn để thành lập các phương trình điều kiện hoàn toàn độc lập nhau. Nếu không thực hiện đúng các yêu cầu trên thì việc bình sai không đạt hiệu quả, sau bình sai vẫn nhận được tập hợp nghiệm duy nhất nhưng có thể đó không phải là kết quả đáng tin cậy nhất. Nguyên tắc chung để tính tổng số phương trình điều kiện trong lưới là tính số lượng trị đo thừa trong mạng lưới . Để tính trị đo thừa, ta sẽ tính tổng trị đo và tổng số trị đo cần thiết. Tổng trị đo thừa cũng chính là tổng số phương trình điều kiện trong lưới được tính bằng công thức: r=n-t Trong đó: n là số trị đo, t là trị đo cần thiết và r là số trị đo thừa Tuỳ thuộc vào mạng lưới tự do hay phụ thuộc mà ta sẽ tính được số lượng các phương trình điều kiện. - Lưới tự do: Là lưới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ hoặc thiếu để xác định vị trí và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định. - Lưới phụ thuộc: Là lưới có số liệu gốc nhiều hơn số lượng gốc tối thiểu để xác định vị trí và kích thước của mạng lưới trong một hệ tọa độ nhất định. h1 A P1 h2 h4 B h5 P2 D P3 h6 h3 Với lưới độ cao ta có tổng số trị đo n = 6, tổng số điểm trong lưới p = 5, số điểm đã biết k = 2, trị đo cần thiết t = 5 - 3 = 3. Do đó, số lượng phương trình có trong lưới là: 4
r = 6 - 3 = 3 phương trình Với lưới mặt bằng ta có tổng số trị đo là n = 20, tổng số điểm trong lưới p = 7, số điểm đã biết k = 4, trị đo cần thiết t = 2(7 - 4) = 6. Do đó, số lượng phương trình có trong lưới là: r = 20 - 6 = 14 phương trình (gồm 7 phương trình điều kiện hình, 1 phương trình điều kiện vòng, 2 phương trình điều kiện cực, 2 phương trình điều kiện góc cố định, 2 phương trình điều kiện cạnh cố định) 2. Lưới mặt bằng tự do: + Lưới mặt bằng đo góc, đo góc - cạnh. Các lưới tự do mà chúng ta có thể gặp có nhiều dạng đồ hình khác nhau. Ở lưới mặt bằng tự do ta thường gặp các phương trình điều kiện sau: a. Phương trình điều kiện hình: + Đối với mạng lưới tam giác đo góc, góc - cạnh Phương trình điều kiện hình được lập cho các hình đa giác đo góc khép kín, có thể là hình tam giác, tứ giác trong lưới tam giác đo góc, cũng có thể là hình đa giác khép kín trong lưới đường chuyền. Nội dung của phương trình điều kiện hình là : Tổng giá trị bình sai của các góc trong những hình đa giác khép kín phải đúng bằng trị lý thuyết đã biết của nó. Chẳng hạn tổng ba góc đã B bình sai trong hình tam giác phẳng phải đúng bằng 3 C 0 180 . 2 4 ’ ’ ’ 5 Nếu kí hiệu β1 , β2 ,…, βn là các giá trị sau bình sai của n góc trong hình đa giác khép kín, β1, 12 11 13 β2,…, βn là các góc đo, vi là số hiệu chỉnh cho các A 1 10 15 14 6 góc đo, h là sai số khép hình thì phương trình điều 7 D kiện hình sẽ được viết: β1’ + β2’ +…+ βn’ - (n-2).1800 = 0 9 8 Ta có quan hệ: βi’ = βi + vi E Từ phương trình trên ta dễ dàng viết được phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng: Hình 2-5:Xác định điều kiện V1 + V2+…+ Vn + h = 0 hình trong đa giác trung tâm h= β1+ β2+…+ βn -(n-2).1800 Công thức tính số lượng phương trình điều kiện hình như sau: rhình = (n1-n’) - q+1 Trong đó: n1- Tổng số trị đo góc trong tam giác n’- Tổng số cạnh của lưới q- Là số điểm trung tâm tại đó ta đo tổng các hướng Ví dụ 1: Cho lưới mặt bằng đa giác trung tâm như hình vẽ. Biết A, B là hai điểm gốc, tiến hành đo 15 góc. Ta sẽ tính và viết được phương trình điều kiện hình như sau: n1=15 n’=10 q=1 Vậy rhình=(15-10) – 1+1 =5 phương trình 5
Phương trình điều kiện hình: 1’+2’+3’-1800 =0 4’+5’+6’-1800 =0 7’+8’+9’-1800 =0 10’+11’+12’-1800 =0 13’+14’+15’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+1= 0 ; 1=1+2+3-1800 V4+V5+V6+2= 0 ; 2=4+5+6-1800 V7+V8+V9+3= 0 ; 3=7+8+9-1800 V10+V11+V12+4= 0 ; 4=10+11+12-1800 V13+V14+V15+5= 0 ; 5=13+14+15-1800 Ví dụ 2: Cho mạng lưới tứ giác trắc địa như hình vẽ, có 8 góc đo. Ta sẽ tính được số lượng phương trình điều kiện hình là: n1=8 n’=6 q=0 rhình = (n1-n’) - q+1 Vậy rhình = 8 - 6 - 0 +1 =3 phương trình Phương trình điều kiện hình: 1’+ 2’+3’+4’-1800 =0 3’+4’+5’+6’-1800 =0 5’+ 6’+7’+8’-1800 =0 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+ V4 +1= 0 ; 1=1+2+3+4-1800 V3+ V4+V5+V6 +2= 0 ; 2=3+4+5+6-1800 V5+ V6 +V7+V8 +3= 0 ; 3=5+6+7+8-1800 b. Phương trình điều kiện vòng: Ý nghĩa của phương trình điều kiện vòng là tổng trị bình sai của các góc tại trung tâm của các hình đa giác trung tâm phải đúng bằng 3600. B rvòng= q với q là số điểm trung tâm, 3 C Dễ dàng nhận thấy rằng phương trình điều 2 4 kiện vòng chỉ xuất hiện trong đa giác trung tâm có 5 đo tất cả các góc ở điểm trung tâm. 12 Ví dụ: Cho lưới đa giác trung tâm đo góc ta 1 11 O 13 có rvòng= 1 A 15 14 10 6 Ta sẽ lập được phương trình điều kiện vòng 7 D dạng: 11’+ 12’+13’+14’+15’-1800 = 0 9 8 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: E V11+ V12 +V13+V14 + V15+ v = 0; v=11+12+13+14+15-1800 Hình 2-5:Xác định điều kiện c. Phương trình điều kiện cực: hình trong đa giác trung tâm Nội dung của phương trình điều kiện cực: Xuất phát từ một cạnh nào đó trong lưới tam giác, 6
dùng các góc đã bình sai để tính chuyền sang các cạnh khác, khi quay trở lại cạnh ban đầu thì trị số tính được phải bằng trị số đã biết. Phương trình điều kiện cực là phương trình chỉ ràng buộc các góc với nhau, các cạnh tính chuyền chiều dài luôn luôn chung nhau 1 đỉnh gọi là cực. Số lượng phương trình điều kiện cực được tính như sau: rcực= n’-2p+3 Trong đó: n’-S ố cạnh của lưới p - Số điểm của lưới Ví dụ: Với hình vẽ trên ta có: n’=10, p=6 Vậy rcực= 10 - 2x6 + 3 = 1 phương trình Nếu xuất phát từ cạnh OA, dùng trị bình sai của các góc tính chuyền chiều dài theo một vòng khép kín theo chiều thuận kim đồng hồ trở về cạnh OA ta được phương trình điều kiện cực như sau: Điều kiện đặt ra là cạnh OA tính phải đúng bằng cạnh OA ban đầu, nghĩa là Ta thấy, phương trình các phương trình điều kiện hình, vòng là các phương trình dạng tuyến tính còn phương trình điều kiện cực là phương trình phi tuyến tính, ta phải chuyển chúng về phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính như sau: Gọi các góc 1’, 2’, …., 10’ là các góc sau bình sai, các góc 1, 2, …,10 là các góc đo, v1, v2, …, v10 là các số hiệu chỉnh tương ứng, ta có thể viết: Đưa phương trình điều kiện trên về dạng tuyến tính ta phải tính đạo hàm riêng phần theo các góc ở tử và mẫu số theo công thức: Đạo hàm góc ở tử số: với i = 1, 3, 5, 7, 9. Đạo hàm góc ở mẫu số: với i = 2, 4, 6, 8, 10. Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sẽ là: Trong đó ρ’’= 206265 Nhìn vào phương trình ta thấy hệ số của các số hiệu chỉnh và sai số khép là những giá trị rất nhỏ, để tiện cho tính toán có thể sử dụng phương trình điều kiện dạng: 7
Trong đó được tính: Cách khai triển phương trình điều kiện cực như đã trình bày ở trên không phải sử dụng logarit và phù hợp với kỹ thuật tính toán trên các máy tính hiện nay. Trước đây khi tính toán bình sai người ta thường phải dùng bảng tra logarit, trong trường hợp này người ta thành lập phương trình số hiệu chỉnh như sau: Từ phương trình điều kiện ta tiến hành logarit (cơ số 10) hai vế rồi khai triển tuyến tính ta sẽ được phương trình điều kiện dạng: Trong đó là giá trị biến thiên của logarit sin góc βi khi góc thay đổi 1’’, thường được tính ở đơn vị số lẻ thứ 6 của logarit (để hệ số và sai số khép ωc không quá nhỏ). Trong đó µ là modul chuyển đổi cơ số logarit: µ = lge ≈ 0.4343 Sai số khép ωc lúc này được tính theo logarit sin của các góc và cũng được lấy đơn vị theo số lẻ như Với i(tử) = 1, 3, 5, 7, 9; i(mẫu) =2, 4, 6, 8, 10. Đối với lưới tứ giác trắc địa như hình vẽ cũng có một phương trình điều kiện cực. Ta có thể chọn một trong bốn điỉnh của tứ giác làm cực hoặc có thể chọn giao của hai đường chéo làm cực. Cụ thể nếu chọn giao của hai đường chéo làm cực ta có: Vậy phương trình số hiệu chỉnh dạng tuyến tính sẽ là: Nếu ta chọn điểm A làm cực ta được: Hay 8
Với Chú ý khi phương trình điều kiện cực có một số góc vừa xuất hiện ở tử số vừa xuất hiện ở mẫu số, sau khi triển khai thành dạng tuyến tính ta cần tập hợp các hệ số của chúng lại và lấy các số hiệu chỉnh của các góc I II đó ra làm thừa số chung. 8 7 6 5 Trong hình rẻ quạt (Hình 2-7) cũng có một phương trình điều kiện cực, trong trường hợp này cực tại điểm C là đỉnh chung của các đỉnh tam giác . A 9 4 B 10 11 Phương trình điều kiện cực sẽ là: 2 1 3 C Phương trình số hiệu chỉnh là: Hình 2-7: Lưới rẻ quạt Chú ý: Trong chuỗi tam giác khép vòng tồn tại một phương trình điều kiện có ý nghĩa hình học giống như phương trình điều kiện cực, tức là xuất phát từ bất kỳ một cạnh nào đó dùng trị bình sai là các góc tính chuyền chiều dài theo một vòng khép kín rồi trở về cạnh xuất phát, phải nhận được chiều dài đùng bằng chiều dài ban đầu. Nhưng ở đây không tồn tại một cực cụ thể như trong các hình đa giác trung tâm hoặc tứ giác trắc địa, hình quạt trường hợp này có thể xem như một phương trình điều kiện cực đặc biệt. 3. Lưới mặt bằng đo cạnh. Ta biết rằng trong hình tam giác đo ba cạnh không có trị đo thừa. Các góc trong mạng lưới tam giác đo cạnh sẽ được tính ra từ giá trị chiều dài các cạnh đo. Các góc tính dùng để tính sai số khép các phương trình điều kiện trong các hình tứ giác trắc địa hoặc đa giác trung tâm đo cạnh, tính phương vị cạnh,…Để tính góc theo cạnh, ta dựa vào các công thức lượng giác phẳng trong hình tam giác. Có nhiều công thức để tính góc: 1. Tính góc theo định lý cosin: Giả sử có hình tam giác ABC đo 3 cạnh a, b, c hình 3.11. Ta cần tính ra giá trị của 3 góc là A, B, C. Các công thức tính góc theo định lý cosin như sau: B a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB (3.21) 2 2 2 c = a + b - 2ac.cosA c a 2. Tính góc theo diện tích tam giác Giá trị sin của các góc được tính qua diện tích tam C giác như sau: A b Hình 3.11 1 1 1 S = bc sin A = ab sin C = ac sin B 2 2 2 S = p( p − a)( p − b)( p − c) (3.22) 9
a+b+c P= 2 3. Tính góc theo công thức tang. A ( p − b)( p − c) tg = 2 p( p − a) B ( p − a)( p − c) tg = (3.23) 2 p ( p − b) C ( p − a)( p − b) tg = 2 p( p − c) + Quan hệ vi phân giữa góc và cạnh Khi bình sai lưới tam giác đo cạnh theo phương pháp điều kiện, người ta có thể lập các phương trình điều kiện đó ở dạng góc. Như vậy, cần phải biểu diễn số hiệu chỉnh của các góc qua số hiệu chỉnh của các cạnh đo trực tiếp. Để có được quan hệ đó ta phải xuất phát từ công thức: a2 = b2 +c2 - 2bccosA Vi phân 2 vế: 2ada = 2bdb + 2cdc - 2ccosAdb + 2bcsinAdA-2bcosAdc ada = (b - ccosA)db + (c - bcosA)dc + bcsinAdA ada − (b − c cos A )db − (c − b cos A )dc dA' ' = ' ' (3.24) bc sin A Lại có: bcsinA =a.ha a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A (3.25) c = a cos B + b cos A Thay vào ta có: ada − a cos Cdb − a cos Bdc d A ''= ' ' ah A ' ' d A ''= (da − cos Cdb − cos Bdc) hA ' ' d B ''= (db − cos Cda − cos Adc ) (3.26) hB ' ' dC ''= (dc − cos Cda − cos Bdb) hC Chuyển sang quan hệ số hiệu chỉnh ta có: ' ' vA '' = (v a − cos Cv b − cos Bv c ); hA 10
' ' vB ''= (v b − cos Cv a − cos Av c ) ; (3.27) hB ' ' vc '' = (v c − cos Bva − cos Av b ). hc Như vậy các công thức trên cho phép chúng ta biểu diễn số hiệu chỉnh của góc qua 3 số hiệu chỉnh chiều dài trong hình tam giác đo cạnh. + Phương trình điều kiện trong lưới tam giác đo cạnh. a. Phương trình điều kiện trong hình đa giác trung tâm. Giả sử ta có hình đa giác trung tâm đo cạnh tạo bởi 5 tam giác hình 3.12, đo 10 cạnh, 5 cạnh bên từ S1 đến S5 và 5 cạnh hướng tâm r1 đến r5. Trong 1 hình đa giác trung tâm đo cạnh chỉ có 1 trị đo thừa nên sẽ lập được 1 phương trình điều kiện. Phương trình điều kiện này có thể viết ở nhiều dạng khác nhau nhưng đơn giản nhất vẫn là dạng góc. Viết ở dạng góc thì điều kiện cần lập chính là điều kiện trung tâm. A C1 A B 1 B1 B5 A2 r1 r2 C5 C C2 C5 1 C2 A5 r5 C4 C3 r3 E B4 B2 r4 A3 C4 C A4 B3 C3 D Hình 3.12 Cũng có thể viết phương trình điều kiện ở dạng chiều dài, hoặc dạng diện tích song các dạng này đều phức tạp hơn. Viết phương trình điều kiện dưới dạng góc: C1’ + C2’ + C3’ + C4’ + C5’ - 360 = 0 Từ phương trình điều kiện dạng góc ta chuyển về phương trình số hiệu chỉnh góc như sau: vc1 + vc2 + vc3 + vc4 + vc5 + w = 0 (3.28) w = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 − 360 ; Ci được tính ra từ các cạnh đo. Vì lưới đo không có góc mà chỉ có cạnh , do đó phải thay thế các số hiệu chỉnh của góc đo qua các số hiệu chỉnh của cạnh đo. sử dụng các công thức tính chuyển ta có được phương trình số hiệu chỉnh của cạnh đo như sau:  '' v c1 = (v S1 − cos A1Vr1 − cos B1Vr 2 ) h1 11
 '' vc2 = (v S2 − cos A 2 Vr 2 − cos B 2 Vr 3 ) (3.29) h2 ………………………………………  '' v c 5 = (v S5 − cos A 5 Vr 5 − cos B5 Vr1 ) h5 Sau khi thay vào và qua biến đổi ta được phương trình điều kiện hình trong hình đa giác trung tâm đo cạnh như sau: b. Phương trình điều kiện trong hình tứ giác trắc địa: B S2 C 2 1 1 2 3 3 S5 S6 S1 S3 3 31 1 2 2 C A S4 Hình 3.13 Giả sử só hình tứ giác trắc địa đo cạnh như hình vẽ 3.13 . Trong tứ giác đó có đo 6 cạnh từ S1 đến S6. Trong tứ giác trắc địa đo cạnh cũng chỉ có một trị đo thừa, do đó cũng chỉ có một phương trình điều kiện. Phương trình này có thể lập ở dạng chiều dài hay diện tích song đơn giản nhất vẫn là dạng góc. Nếu chọn các góc tại đỉnh A để lập phương trình điều kiện thì phương trình sẽ có dạng như sau: A1' + A '2 − A3' = 0 Từ phương trình điều kiện ta viết được phương trình số hiệu chỉnh như sau: VA1 + VA2 + VA3 + w = 0 (3.30) Chuyển từ phương trình số hiệu chỉnh của góc sang số hiệu chỉnh cạnh ta được ' ' VA1 = (VS2 − cos B3 VS1 − cos C1VS6 ) h A1 ' ' VA 2 = (VS3 − cos C 2 VS6 − cos D 3 VS4 ) (3.31) h A2 12
' ' VA 3 = (VS5 − cos B1VS1 − cos D 2 VS4 ) h A3 Trong đó hA1 , hA2 , hA3 hạ từ trên đỉnh A xuống cạnh S2, S3, S6. Nhóm lại và biến đổi ta sẽ có dạng: a1VS1 + a2VS2 + a3VS3 + a4VS4 + a5VS5 + a6VS6 + w = 0 (3.32) Khi sử dụng mối quan hệ để thay số hiệu chỉnh của góc qua số hiệu chỉnh của cạnh cần lưu ý nếu cạnh tam giác là cạnh gốc (coi là không có sai số) thì số hiệu chỉnh cho cạnh đó bằng 0 và nó sẽ không có mặt trong phương trình điều kiện. 4. Lưới mặt bằng phụ thuộc: Trong lưới phụ thuộc, ngoài các phương trình điều kiện của lưới tự do chúng ta còn gặp các dạng phương trình điều kiện phụ thuộc sau a. Phương trình điều kiện góc phương vị (góc định hướng): Trong hệ tọa độ vuông góc phẳng, góc phương vị chính là góc định hướng, nó có quan hệ với tọa độ các điểm đầu mút như sau: Trong mạng lưới tam giác hay đa giác khi có thừa phương vị khởi tính (phương vị gốc) sẽ xuất hiện các phương trình điều kiện phương vị. Phương vị gốc ở đây được quan niệm là các phương vị Laplace trong lưới tam giác hạng I, II Nhà nước hoặc là phương vị cố định được tính từ toạ độ các điểm cấp cao hơn. Ý nghĩa của phương trình điều kiện góc phương vị: Xuất phát từ phương vị đã biết đ của cạnh đầu dùng các góc đã bình sai tính chuyền phương vị về cạnh cuối phải nhận được giá trị phương vị đúng bằng giá trị đã biết c của cạnh đó. Ta thấy rằng phương trình điều kiện phương vị không chỉ ràng buộc các góc với nhau mà còn liên quan đến số liệu gốc là các phương vị đã biết trước. Ví dụ: Có lưới tam giác như hình. Biết phương vị đ và phương vị c, đo tất cả các góc Ai, Bi, Ci, B C B2 A4 C1 A 2 C3 B4 C5 C2 A C4 A1 B1 3 B3 A5 B5 A D Ta có phương trình điều kiện góc phương vị như sau: αAB - C’1 + C’2 - C’3 + C’4 - C’5 ± 1800 = αCD Thay trị đo vào phương trình trên ta có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là: - VC1 + VC2 - VC3 +VC4 - VC5 +ωα = 0 trong đó ωα = - C1 + C2 - C3 + C4 - C5 + αAB - αCD ± 1800 Trong phương trình điều kiện phương vị, dấu của các số hiệu chỉnh được xác định theo nguyên tắc tính chuyền phương vị, nếu góc nằm bên trái đường tính chuyền sẽ mang dấu dương, bên phải mang dấu âm. 13
Trong lưới đường chuyền đa giác, khi có thừa phương vị gốc cũng sẽ xuất hiện phương trình điều kiện phương vị. Dạng phương trình của chúng cũng viết tương tự như trong chuỗi tam giác đo góc. Ví dụ có đường chuyền phù hợp như hình , hai đầu tuyến có hai phương vị đã biết là: αAB và αCD. A 2 D 1 3 n B C Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh của tuyến đường chuyền này như sau: Vβ1 + Vβ2 + Vβ3 +….+ Vβn + ωα = 0 Trong đó Vβi là số hiệu chỉnh cho các góc ngoặt trái của đường chuyền, sai số khép phương vị ωα được tính: Số lượng phương trình điều kiện góc phương vị được tính như sau: rα=Nα-1 Trong đó: Nα là tổng số phương vị đã biết gồm phương vị gốc (tính từ toạ độ điểm gốc) và phương vị đo (phương vị Laplace). Vậy phương trình điều kiện phương vị chỉ xuất hiện trong mạng lưới phụ thuộc trong đó có từ 2 phương vị khởi tính trở lên. Chú ý: Đối với trường hợp hai phương vị đã A biết ở liền kề tạo thành 1 góc cố định (đã biết) thì 4 phương trình điều kiện phương vị trong trường hợp này còn gọi là phương trình điều kiện góc cố định. Ví dụ: Cho đồ hình lưới đo góc như hình, số 5 P lượng phương trình điều kiện là: 6 1 rα=Nα-1 = 2 - 1 = 1 phương trình B 2 Phương trình điều kiện góc cố định sẽ là: 3 1’+2’+3’- =0 7 8 Q Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh: V1+V2+V3+ α =0 9 α = 1+2+3 - C Đối với mạng lưới đo toàn cạnh phương trình điều kiện góc phương vị sẽ được viết như sau: Giả sử ta có chuỗi tam giác đo cạnh như hình vẽ 3.14 B II C S3 S7 C1 C3 C5 S2 S4 S8 S6 C2 C4 S5 S9 A S1 D I III Hình 3.14 14
Từ hình vẽ ta lập được 1 phương trình điều kiện góc phương vị như sau:  o − C1 + C2 − C3 + ...  Cn + 180 −  c = 0 Từ phương trình điều kiện ta viết được phương trình số hiệu chỉnh cạnh: −VC1 + VC2 − VC3 + ...  VCn + w = 0 (3.33) Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh để thay số hiệu chỉnh của góc qua số hiệu chỉnh của cạnh ta sẽ được phương trình điều kiện góc phương vị của lưới đo cạnh. b Phương trình điều kiện chiều dài Phương trình điều kiện chiều dài sẽ xuất hiện trong các mạng lưới tam giác đo góc có thừa chiều dài khởi tính (có từ 2 chiều dài khởi tính trở lên). Chiều dài khởi tính là chiều dài được đo trực tiếp với độ chính xác cao để có thể bỏ qua sai số của chúng khi bình sai lưới (đo bằng thước dây inva hoặc máy đo dài điện tử). Chiều dài khởi tính cũng có thể là chiều dài được tính ra từ toạ độ của các điểm cấp cao hơn. Ý nghĩa hình học của phương trình điều kiện chiều dài là: Xuất phát từ một chiều dài cạnh cố định dùng các góc sau bình sai tính chuyền chiều dài về một cạnh cố định khác phải nhận được giá trị đúng bằng giá trị đã biết của cạnh đó. Xét một chuỗi tam giác như hình vẽ , trong đó cạnh đầu AB và cạnh cuối chuỗi CD là các cạnh đã biết chiều dài. Nếu ký hiệu các góc sau bình sai trong các tam giác trong chuỗi là Ai’ , Bi’, Ci’, ta sẽ viết được phương trình điều kiện chiều dài cạnh như sau: Trong phương trình trên các chiều dài cạnh AB và CD là các chiều dài được coi là không có sai số. Sau khi thay trị bình sai của các góc bằng trị đo cộng số hiệu chỉnh và khai triển Taylor ta sẽ có phương trình điều kiện số hiệu chỉnh dạng tuyến tính như sau: Trong đó là sai số khép của phương trình được tính: Nếu từ phương trình điều kiện ta logarit cơ số 10 hai vế rồi khai triển tuyến tính ta sẽ nhận được phương trình điều kiện dạng: Trong đó sai số khép hình được tính: Khi tính toán các hệ số , và sai số khép phải cùng lấy số lẻ thứ 6 của logarit làm đơn vị. Số lượng phương trình điều kiện chiều dài dược tính theo công thức: rs = Ns-1 Trong đó: 15
Ns – là tổng số cạnh đã biết chiều dài gồm chiều dài cố định và chiều dài đo Đối với trường hợp mạng lưới tam giác như hình A thì phương trình điều kiện chiều dài còn được gọi là phương trình điều kiện cạnh cố định. Lúc đó phương 4 trình điều kiện sẽ có dạng: Sin 4 ' Sin 6 '.Sin 8' 5 AB. − BC = 0 6 P Sin 5' Sin 7 ' Sin 9 ' 1 Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh là: B 2 3 7 Chú ý: 8 Q + Trong mạng lưới tam giác đo góc có N cạnh cố định nối với nhau tạo thành 1 nhóm điểm gốc như hình 9 thì bao giờ cũng có (N-1) phương trình góc cố định và (N-1) phương trình điều kiện cạnh cố định. Với hình có C 3 cạnh cố định nối với nhau tạo thành 1 nhóm điểm gốc thì số lượng phương trình điều kiện góc cố định và cạnh cố định trong mạng lưới là: rα= Nα-1 = 3 - 1 = 2 phương trình rs = Ns-1 = 3 - 1 = 2 phương trình Vậy lưới có 2 phương trình điều kiện góc cố định và 2 phương trình điều kiện cạnh cố định Nếu trong mạng lưới có N cạnh cố định khép kín thì sẽ có (N-1) phương trình góc cố định và (N-3) phương trình điều kiện cạnh cố định. Ví dụ cho mạng lưới như hình có 5 cạnh cố định khép kín, khi đó số lượng phương trình điều kiện góc cố định và cạnh cố định sẽ là: rα= Nα-1 = 5 - 1 = 4 phương trình rs = Ns-3 = 5 - 3 = 2 phương trình Vậy lưới có 4 phương trình điều kiện góc cố định và 2 phương trình điều kiện cạnh cố định B 2 A 4 7 1 21 3 5 20 18 8 C 6 10 9 16 12 19 15 17 14 E 11 13 c. Phương trình điều kiện toạ độ D Công thức tính số lượng phương trình điều kiện tọa độ như sau: rxy = 2(Nxy-1) Trong đó: Nxy - số nhóm điểm gốc trong lưới + Đối với mạng lưới tam giác đo góc: Khi phát triển các mạng lưới tam giác cấp thấp dựa vào các điểm tam giác cấp cao nếu có thừa số lượng điểm cấp cao sẽ xuất hiện phương trình điều kiện toạ độ. 16
Nếu các điểm cấp cao trong lưới ở liền kề thì tuy có thừa điểm cấp cao song sẽ không có phương trình điều kiện toạ độ. Trong trường hợp này ta gọi chúng là một nhóm điểm gốc. Như vậy phương trình điều kiện toạ độ chỉ xuất hiện khi trong mạng lưới có từ 2 điểm gốc trở lên và một trong các nhóm đó phải có từ 2 điểm gốc trở lên hoặc có xác định chiều dài và phương vị khởi tính của một cạnh trong lưới. Ý nghĩa hình học của phương trình điều kiện toạ độ: Xuất phát từ toạ độ đã biết của điểm khởi tính, dùng các góc, cạnh đã bình sai tính chuyền toạ độ về 1 điểm đã biết khác (thuộc nhóm khác) thì phải nhận được giá trị toạ độ đúng bằng toạ độ đã biết của điểm đó. Xét chuỗi tam giác hình, biết tọa độ các điểm A, B, C tạo thành 2 nhóm điểm khởi tính. B A2 B2 A4 B4 A1 B1 A3 B3 A5 B5 A C Vì toạ độ của các điểm A, B, C đã biết; nếu xuất phát từ toạ độ X, Y của điểm B tính chuyền toạ độ về C thì phải nhận được giá trị toạ độ đã biết của điểm C, vậy sẽ lập được phương trình điều kiện hoành độ và tung độ như sau: Phương trình điều kiện: 5 X B +  X i − X C = 0 i =1 5 YB +  Yi − YC = 0 i =1 Số gia toạ độ X, Y trên được tính chuyền theo đường nét đứt nối giữa điểm B và C, các cạnh trên đường đó gọi là cạnh tính chuyền toạ độ, giá trị chiều dài và phương vị của các cạnh được tính: SinA 1' SinA '2 ...SinA i' S i = AB SinB 1' SinB '2 ...SinB i'  i =  AB − C1' + C'2 ...  Ci'  1800 Trong đó Ai’, Bi’, Ci’ là các giá trị sau bình sai của các góc trong tam giác, các góc Ai’, Bi’ được gọi là góc tính chuyền chiều dài, Ci’gọi là góc tính chuyền phương vị. Các góc Ai, Bi, Ci là các góc đo, các số hiệu chỉnh tương ứng là VAi, VBi, VCi. Từ phương trình điều kiện ta có thể viết: Gọi Si và αi là giá trị gần đúng của chiều dài và phương vị cạnh thứ i, ta có thể viết: 17
Số hiệu chỉnh Vαi và VSi khá nhỏ, có thể triển khai thành dạng mới: Các số hiệu chỉnh Vαi và VSi không phải là số hiệu chỉnh của trị đo trực tiếp vì thế phải biến đổi để tìm ra quan hệ của chúng với số hiệu chỉnh của các góc đo trong lưới tam giác. Từ các phương trình ta tiến hành triển khai tuyến tính đối với Vαi và VSi ta được: Trong đó , là sai số khép tọa độ, theo các gia số tọa độ tính từ giá trị các góc đo ta có: Từ các phương trình trên ta sẽ biểu diễn Vαi và VSi qua số hiệu chỉnh của các góc VAi, VBi, VCi như sau: Trong đó góc Ci nằm bên trái đường tính chuyền thì hệ số mang dấu dương, nếu góc Ci nằm bên phải đường tính chuyền thì hệ số mang dấu âm (tuân theo công thức tính chuyền phương vị) Sau khi thay Vαi và VSi vào phương trình và qua biến đổi ta sẽ nhận được hai phương trình điệu kiện số hiệu chỉnh tọa độ dạng: Trong đó: X iC = X C − X i YiC = YC − Yi Để viết phương trình điều kiện toạ độ ta cần phải thực hiện các bước sau: 18
1. Vạch đường tính chuyền toạ độ nối giữa 2 điểm đã biết toạ độ. Đường tính chuyền cần vạch sao cho trong mỗi tam giác góc Ci chỉ làm nhiệm vụ tính chuyền phương vị, không tham gia tính chuyền dài, còn các góc Ai, Bi chỉ tham gia tính chuyền chiều dài mà không tham gia tính chuyền phương vị 2. Tính toạ độ gần đúng của các điểm trên đường tính chuyền để phục vụ cho tính các hệ số, việc tính này được kết hợp khi tính sai số khép x, y. 3. Viết phương trình điều kiện toạ độ dạng tuyến tính, khi viết cần phân biệt các góc tính chuyền chiều dài Ai, Bi và các góc tính chuyền phương vị. Cần lưu ý xét dấu hệ số của góc tính chuyền phương vị Ci cũng như xét dấu của hệ số góc tính chuyền chiều dài Ai, Bi. Ví dụ có mạng lưới như hình vẽ, A, B, C, D là 4 điểm đã biết tọa độ. Ta tính được số lượng phương trình điều kiện tọa độ trong mạng lưới là: rxy = 2(Nxy-1) với Nxy = 2 Vậy rxy = 2(2 - 1)= 2 phương trình Phương trình điều kiện toạ độ là: Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh đối với x là: X BD YBD X IID YIID ( cotg16.V16 − cotg15.V15 ) − .V14 + ( cotg12.V12 − cotg11.V11 ) + .V13 +  ''  ''  ''  '' X IIID YIIID + ( cotg 9.V9 − cotg19.V19 ) − . (V10 + V20 ) +  x = 0  ''  '' Phương trình điều kiện số hiệu chỉnh đối với x là: YBD X BD YIID X IID ( cotg16.V16 − cotg15.V15 ) + .V14 + ( cotg12.V12 − cotg11.V11 ) − .V13 +  ''  ''  ''  '' YIIID X IIID + ( cotg 9.V9 − cotg19.V19 ) + . (V10 + V20 ) +  y = 0  ''  '' + Đối với mạng lưới đo cạnh và lưới đo góc - cạnh: Lưới góc cạnh bao gồm cả lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa giác. Tuy kết cấu lưới tam giác đo góc - cạnh và lưới đường chuyền đa giác có khác 19
nhau song phương trình điều kiện tọa độ của chúng lại tương tự nhau. Chúng ta xét một đường chuyền phù hợp có dạng như hình vẽ: A β2 βn +1 C S1 β1 S2 Sn β3 βn B D Trong đường chuyền có các điểm khởi tính đã biết tọa độ là A, B, C và D. Đường chuyền có n cạnh đo là S1, S2,… Sn và n+1 góc đo là β1, β2, βn+1. Nếu kí hiệu giá trị bình sai của các cạnh là S’1, S’2,… S’n và của các góc là β’1, β’2, β’n+1 ta sẽ lập được hai phương trình điều kiện tọa độ là: trong đó các góc đo là các góc ngoặt trái nên giá trị phương vị được tính: (2.1) Từ các phương trình điều kiện trên ta khai triển tuyến tính về dạng trung gian ta được: (2.2) Trong đó , là sai số khép tọa độ được tính theo công thức: Từ quan hệ (2.1) ta rút ra: Thay biểu thức trên vào (2.2) và qua biến đổi sẽ nhận được phương trình điều kiện dạng: (2.4) 20