(6.6)

nF )(

ở đây f(k) = f(kT) và WN = e- j2 /N

. WN được gọi là hạt nhân của phép biến đổi.

Tổng quát, F(n) có dạng

n )(

nF )(

 jenA )(

(6.7)

Ký hiệu A(n),  (n) gọi là phổ khuyếch đại và phổ pha của F(n).

N 1  nk  NWkf ¦)( n  0

6.2.1 Biến đổi ngược DFT

Hàm f(k) là biến đổi ngược DFT của F(n) cho bởi theo biểu thức

j

nk

 2 N

kf )(

(6.8)

1 N

1 N   enF )( n 0 

Chứng minh: Từ định nghĩa của DFT

N

1 

N

N

1 

1 

nm

WnF )(

Wmf ) (

nk N

 N

kn N

1 N

1 N

n

0

m

0

0

n

    

 W  

(6.9)

N

1 

1 

)

(

(

mkn  N

1 N

m

0

N  Wmf ) n

0

S

Đặt 

N mkn  ( )

Nếu (k = m) thì S = N. Nếu (k  m), chúng ta có thể viết:

S = 1 + WN (k -m ) + WN 2(k -m ) + ... + WN (N-1)(k -m ) hoặc

m)

S

m)

-N(k W-1 N -(k W-1 N

j

 (2(

 mk

))

1

e

j

 (

mk

)

 2 N

1

e

Khi e j2(k-m) = 1 và e j2/N. (k-m)  1 với (k  m), vì vậy S = 0 với (k  m ). Vì vậy, biểu thức (6. 9) có thể rút gọn thành

76

1  NW 0 n 

N

 1

WnF )(

f(k).N

nk N 

 

1 N

1 N

n

0

Kết quả này giống như biểu thức (6.8). Khi f(k) có thể rút ra từ F(n) và ngược lại, chúng gọi là cặp biến đổi. Cặp biến

đổi này có dạng

kf  )(

nF )(

Chú ý từ biểu thức (6.8) ta có thể dễ dàng chứng minh:

N

 1

j

 Nkn

(

)

 2 N

enF )(

 Nkf

(

)

1 N

n

0

 1

N

j

.

nk

 2 N

enF )(

(6.10)

1 N  n 0 kf )(

Mặc dù f(k) được xác định trên miền k  [0,N], nó vẫn là tín hiệu tuần hoàn

với chu kỳ NT. (T được bao hàm và rút ra từ biểu thức 6.5).

6.2.2 Một vài tính chất của DFT

Tuyến tính. Nếu ta có hai dãy tuần hoàn cùng f1(n) và f2(n), và cả hai dãy này

tuần hoàn với chu kỳ N, được dùng để tính

(6.11)

f3(k) = af1(k) + bf2(k)

là kết quả của biến đổi DFT f3(n) cho bởi

F3(n) = aF1(n) + bF2(n)

(6.12)

ở đây a, b là hằng số và

F1(n) = DFT của f1(k)

F2(n) = DFT của f2(k)

Tính đối xứng. Tính đối xứng của DFT rất hay được dùng.

N

1 

nNk

(

)

nNF

(

)

)( Wkf

 N

k

0

N

1 

j

N

j

nk

2   N

2   N

e

)( ekf

k

0

N

1 

j

 nk

2  N

)( eekf

k

0

77

Nếu f(k) là thực thì

N

1 

j

 2 nk . N

nNF

(

)

ekf )(

nF )(

(6.13)

k

0

   

   

Dấu * có nghĩa là liên hợp phức. Tích chập tuần hoàn. Coi f1(k) và f2(k) là hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N, với

biến đổi Fourier rời rạc là F1(n) và F2(n). Xem xét tích F(n1).F(n2)

kn 11

)

(

khi

nF ( 1 1

 NWkf ) 1 1

N  1 

0

k 1

N

 1

kn 22

)

f

(

nF ( 2

2

2

 NWk ) 2

k

0

2

N

 1

N

 1

kn 11

kn 22

(

(

)

(

f

(

) =

nFnF ). 1 1

1

1

Wkf 1 1

 N

Wk ) 1

2

 N

k

0

0

. k

1

2

N

 1

N

 1

k

kn 11

2

)

f

(

=

kf ( 1

1

2

Wk ) 2

 N

2n- W N

 

0

0

1

n 1

k và tại các vị trí n1 = n2 = n Đặt f3(k) = IDFT của F1(n).F2(n)

hay

)(

).

(

)( kf 3

 WnFnF 1 2

1 N

vì vậy

1 

N

N

N

1 

k

)

kn ( 1

2

f

(k)

)

f

(

3

kf ( 1 1

2

Wk ) 2

nk N

 N

1 N

k 0

0

n

0

k 1

2

 W   

 1        1 

N

N

1 

N

k

)

kn ( 1

k  2

)

f

(

k

)

kf ( 1 1

2

2

 N

1 N

k

0

0

1  W 0

n

   

   

2

k 1

78

N nk 1   n  0

Chú

ý

là

cho k = k1 + k2 + lN

1

các trường hợp còn lại.

0

1 N

1   

N k ) k  2

ở đây l là số nguyên. Vì vậy mà

1  knW  ( 0  n

(6.14)

f

k )(

)

f

(

k

lN

)

N  1

kf ( 1 1

k 1

 

3 2 k  01

ở đây k = 0 đến 2N - 1. Biểu thức trên biểu diễn tích chập của hai tín hiệu tuần hoàn. Chú ý rằng biêủ thức này chỉ áp dụng cho hai dãy có chung một chu kỳ, và chiều dài của dãy tính theo biểu thức trên là 2N - 1. Kết quả này chứng minh rằng trong DFT, tín hiệu có số mẫu lớn hơn N sẽ được biến đổi thành dãy tuần hoàn có chu kỳ N. Khi dùng DFT cho một tín hiệu không có chu kỳ, mà kết quả thu được từ tích hai dãy, ta sẽ phạm một sai lầm gọi là lỗi wraparound. Đó là lý do ta phải làm cho cả hai dãy có chu kỳ bằng nhau. Để sửa lỗi này, một số số 0 cần phải thêm vào cả hai dãy để chiều dài hai dãy bằng nhau. Ví dụ, nếu một dãy có chiều dài A, một dãy có chiều dài B, kết quả ta phải thêm các số 0 cho cả hai dãy có chiều dài ít nhất là A + B - 1. Bài tập 6.1 Cho hai dãy sau

)(1 kf

1   0 

0  k1 4 các trường hợp còn lại.

f

)(2 k

0  k1  5 1   0 các trường hợp còn lại. 

1. Tính bằng tay tích chập của hai dãy trên. Vẽ một lưu đồ biểu diễn thuật toán. 2. Làm lại phần 1, nhưng lần này sử dụng tích chập tuần hoàn. 3. Lập một chương trình C rút ra f3(k) từ biểu thức f3(k) = IDFTDFT[f1(k)].

DFT[f1(k)]. So sánh kết quả của phần 1 và phần hai.

4. Bây giờ thêm các số không vào f1(k) và f2(k) để chu kỳ của chúng = 5 + 6 -

1. Làm lại phần 3 và so sánh kết quả.

79

6.3

Thuật toán biến đổi nhanh Fourier

Tính trực tiếp giá trị của DFT bao gồm N phép nhân phức và N - 1 phép cộng phức cho mỗi giá trị của F(n). Khi N giá trị được tính toán thì N2 phép nhân và N(N - 1) phép cộng được tính toán. Cũng như vậy, cho N có giá trị rất lớn, tính trực tiếp giá trị của DFT sẽ đòi hỏi một số phép tính lớn đến mức không thể chấp nhận được. Để ví dụ, cho N = 1024 = 210 ta sẽ phải tính 220 = 1,048,576 phép nhân số phức và một số gần bằng như vậy các phép cộng.

Hoàn thiện có nghĩa là phải giảm số phép tính trong biến đổi Fourier xuống. Dưới đây chúng ta sẽ giới thiệu hai thuật toán hay dùng là thuật toán phân chia thời gian và thuật toán phân chia tần số. DFT dùng các thuật toán trên gọi là Fast Fourier transform (FFT).

6.3.1 Thuật toán phân chia thời gian

Xem xét tính toán của DFT cho bởi (5.6) với N= 2r (r là một số nguyên bất kỳ). Cơ sở của thuật toán phân chia thời gian thì rõ ràng. Tuy nhiên, việc thiết kế phần mềm cũng đòi hỏi một số phân tích chi tiết. Để làm rõ các bước của thuật toán này chúng ta sẽ bắt đầu phân tích với N = 16 và sau đó mở rộng ra áp dụng cho N bất kỳ.

Cơ sở của thuật toán phân chia thời gian dựa trên cơ sở chiến lược chia và chiếm. Các bước sau sẽ làm sáng tỏ thuật toán. Vì trong trường hợp này N =16; nên,

nF )(

Chia dãy f(k) thành hai dãy, một dãy được rút ra từ phần tử chẵn và một dãy từ

những phần tử lẻ. Đó là,

15 nkWkf )(  16 k  0

nF )(

Wkf )(

Wkf )(

k chẵn k lẻ Chúng có thể viết thành

15 15 nk nk  16  16 k  0 k  0

(6.15)

nF )(

f

)2(

Wk

f

2(

Wk )1 

Chú ý là

80

7 7 kn )2( kn 2( )1   16  16 k  0 k  0

j

)2(. kn

j

nk

)2( kn

 2 16

 2 . 8

e

W

e

 16

nk

 W 8

vì thế

nF )(

f

)2(

W

f

2(

đặt

(k)

f(2k)

f 10

(k)

f(2k

1)

f11

Ta được

7 7 nk nk  Wk 8 n  16  Wk  )1 8 k  0 k  0

(6. 16)

nF )(

f

W

f

7 7 nk nk 10  Wk )( 8 n  16 11  Wk )( 8 k  0 k  0

Đặt

(6.17)

f

nF )( 10

7

10 nkWk  )( 8 k  0

(6.18)

f

nF )( 11

7

Viết lại biểu thức (6.16) chúng ta được

F F(n)

(n)

(n)

(6.19)

10

-n FW 16

11

Cũng như vậy, phát triển cho một biểu thức

F(n

8)

F

(n)

(n)

(6.20)

10

-n FW - 16

11

Biểu thức (6.19) và (6.20) định dạng những đơn vị tính toán gọi là bướm. Hình -n thường gọi là trọng lượng hay hệ 6.1 là biểu đồ của phần tử bướm. Ký hiệu W16 số xoay. Hai biểu thức này biểu diễn bước cuối cùng trong lưu đồ tính toán của hình 6.2.

Bây giờ xem xét biểu thức

11 nkWk  )( 8 k  0

f

nF )( 10

7

Xử lý như trên chúng ta có

10 nkWk  )( 8 k  0

f

)2(

Wk

f

2(

Wk  )1

nF )( 10

81

3 7 nk n nk 10  4  W 8 10  4 k  0 k  0

Dễ thấy

W

-n W  8

-2n 16

đặt

(2k)

f

(k)

f

20

10

f

(k)

f

(2k

1)

21

10

1

-n

W16

n

F10(n) F(n) F11(n) F(n+8)

Hình 6.1 (a) Bướm; (b) Biểu diễn rút gọn.

F10(n) F(n) F11(n) F(n+8)

82

X(k)

X(k)

F10(n)

F(n)

F11(n)

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hình 6.2 Bước cuối cùng của thuật toán biến đổi FFT phân chia miền thời gian.

X(k) ký hiệu vector chứa giá trị được tính qua phép biến đổi FFT.

3

3

2

n

nk

f

f

Vì vậy,

nF )( 10

20

nk   Wk )( 4

 W 16

21

 Wk )( 4

k

0

k

0

F

 (n)

F

(n)

(n)

(6.21)

10

20

-2n FW 16

21

 F 4)

(n)

(n)

(6.22)

(nF 10

-2n FW - 16

21

20

3

f

ở đây

(6.23)

nF )( 20

20

nkWk  )( 4

k

0

3

f

(6.24)

nF )( 21

21

nkWk  )( 4

k

0

Tương tự

F

 (n)

F

(n)

(n)

11

22

-2n FW 16

23

 F 4)

(n)

(n)

(6.25) (6.26)

(nF 11

-2n FW - 16

23

22

3

f

ở đây

(6.27)

nF )( 22

22

nkWk  )( 4

k

0

83