Giáo trình xử lý ảnh y tế Tập 1b P13

Chia sẻ: Cinny Cinny | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một TV có màn ảnh lớn hơn 28 inch được coi là một TV có màn ảnh rộng. Một điều cần chú ý là một chiếc TV thì có khả năng hiện một số dòng như nhau cho dù nó là 5 inch hay là 50 inch. Màn ảnh lớn nhất của loại TV dòng quét xen kẽ này mà mắt người có khả năng phân biệt được từ khoảng cách thông thường vào khoảng 3 mét.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình xử lý ảnh y tế Tập 1b P13

N 1   f (k ) ¦ W N nk (6.6) F (n)  n 0 ở đây f(k) = f(kT) và WN = e- j2 /N . WN được gọi là hạt nhân của phép biến đổi. Tổng quát, F(n) có dạng F (n)  A(n)e j ( n) (6.7) Ký hiệu A(n),  (n) gọi là phổ khuyếch đại và phổ pha của F(n). 6.2.1 Biến đổi ngược DFT Hàm f(k) là biến đổi ngược DFT của F(n) cho bởi theo biểu thức 2 N 1 j nk 1  F ( n )e N (6.8) f (k )  N n 0 Chứng minh: Từ định nghĩa của DFT N 1 N 1 N 1   kn 1 1  nm  F (n)WNnk    f (m)W WN N N N   n 0 n 0 m 0 (6.9) N 1 N 1 1 n(k m)  f ( m ) W  N N m 0 n 0 N 1  W N (k m ) n Đặt S n0 Nếu (k = m) thì S = N. Nếu (k  m), chúng ta có thể viết: (k -m ) 2(k -m ) (N-1)(k -m ) S = 1 + WN + WN + ... + WN hoặc 1 - WN -m) N(k S 1 - WN -m) (k 1  e j ( 2 ( k  m ))  2 j ( k  m ) N 1 e Khi e j2(k-m) = 1 và e j2/N. (k-m)  1 với (k  m), vì vậy S = 0 với (k  m ). Vì vậy, biểu thức (6. 9) có thể rút gọn thành 76
1 N 1 1   F (n)WNnk  f(k).N N n 0 N Kết quả này giống như biểu thức (6.8). Khi f(k) có thể rút ra từ F(n) và ngược lại, chúng gọi là cặp biến đổi. Cặp biến đổi này có dạng f ( k )  F ( n) Chú ý từ biểu thức (6.8) ta có thể dễ dàng chứng minh: 2 N 1 1 j n ( k  N )  F ( n )e N f (k  N )  N n 0 2 N 1 1 j .nk  F ( n )e N (6.10)  N n 0  f (k ) Mặc dù f(k) được xác định trên miền k  [0,N], nó vẫn là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ NT. (T được bao hàm và rút ra từ biểu thức 6.5). 6.2.2 Một vài tính chất của DFT Tuyến tính. Nếu ta có hai dãy tuần hoàn cùng f1(n) và f2(n), và cả hai dãy này tuần hoàn với chu kỳ N, được dùng để tính f3(k) = af1(k) + bf2(k) (6.11) là kết quả của biến đổi DFT f3(n) cho bởi F3(n) = aF1(n) + bF2(n) (6.12) ở đây a, b là hằng số và F1(n) = DFT của f1(k) F2(n) = DFT của f2(k) Tính đối xứng. Tính đối xứng của DFT rất hay được dùng. N 1 F ( N  n)   f (k )WN k ( N  n )  k 0 2 2 N 1 j N j nk   f ( k )e N N e k 0 2 N 1 nk j   f ( k )e e N k 0 77
Nếu f(k) là thực thì  2  N 1  j .nk  F ( N  n )    f ( k )e N   F ( n )  (6.13)  k 0    Dấu * có nghĩa là liên hợp phức. Tích chập tuần hoàn. Coi f1(k) và f2(k) là hai dãy tuần hoàn có chu kỳ N, với biến đổi Fourier rời rạc là F1(n) và F2(n). Xem xét tích F(n1).F(n2) N 1   f1 (k1 )W N n k khi 11 F1 (n1 )  k1 0 N 1   f 2 (k 2 )WN n k 22 F2 (n 2 )  k2 0 N 1 N 1 F1 (n1 ).F1 (n1 ) =  f 1 (k1 )W N n1k1 .  f 2 (k1 )W N n2 k 2  k1  0 k 2 0 N 1 N 1 =   f 1 (k1 ) f 2 (k 2 )W N n1k1 WNn 2 k 2 - k1  0 n1  0 và tại các vị trí n1 = n2 = n Đặt f3(k) = IDFT của F1(n).F2(n) N 1 1  F1 (n).F2 (n)W nk hay f3 (k )  N n0 vì vậy N 1 N 1 N 1  1     f1 (k1 ) f 2 (k 2 )W N n(k  k ) W N  nk 1 2 f 3 (k)  N   n  0  k1 0k2 0  N 1 N 1 N 1 1   f1 (k1 )  f 2 (k 2 ) N W N n(k  k k )   1 2      k1  0 k2 0 n 0 78
Chú ý là cho k = k1 + k2 + lN N 1 1 1  W  n ( k  k  k )  0 1 2 các trường hợp còn lại. N  n 0 ở đây l là số nguyên. Vì vậy mà N 1  f1 (k1 ) f 2 (k  k1  lN ) (6.14) f 3 (k )  k10 ở đây k = 0 đến 2N - 1. Biểu thức trên biểu diễn tích chập của hai tín hiệu tuần hoàn. Chú ý rằng biêủ thức này chỉ áp dụng cho hai dãy có chung một chu kỳ, và chiều dài của dãy tính theo biểu thức trên là 2N - 1. Kết quả này chứng minh rằng trong DFT, tín hiệu có số mẫu lớn hơn N sẽ được biến đổi thành dãy tuần hoàn có chu kỳ N. Khi dùng DFT cho một tín hiệu không có chu kỳ, mà kết quả thu được từ tích hai dãy, ta sẽ phạm một sai lầm gọi là lỗi wraparound. Đó là lý do ta phải làm cho cả hai dãy có chu kỳ bằng nhau. Để sửa lỗi này, một số số 0 cần phải thêm vào cả hai dãy để chiều dài hai dãy bằng nhau. Ví dụ, nếu một dãy có chiều dài A, một dãy có chiều dài B, kết quả ta phải thêm các số 0 cho cả hai dãy có chiều dài ít nhất là A + B - 1. Bài tập 6.1 Cho hai dãy sau 1 0  k1 4 f1 ( k )   0 các trường hợp còn lại. 10  k1  5 f 2 (k )   0các trường hợp còn lại. 1. Tính bằng tay tích chập của hai dãy trên. Vẽ một lưu đồ biểu diễn thuật toán. 2. Làm lại phần 1, nhưng lần này sử dụng tích chập tuần hoàn. 3. Lập một chương trình C rút ra f3(k) từ biểu thức f3(k) = IDFT DFT[f1(k)]. DFT[f1(k)] . So sánh kết quả của phần 1 và phần hai. 4. Bây giờ thêm các số không vào f1(k) và f2(k) để chu kỳ của chúng = 5 + 6 - 1. Làm lại phần 3 và so sánh kết quả. 79
Thuật toán biến đổi nhanh Fourier 6.3 Tính trực tiếp giá trị của DFT bao gồm N phép nhân phức và N - 1 phép cộng phức cho mỗi giá trị của F(n). Khi N giá trị được tính toán thì N2 phép nhân và N(N - 1) phép cộng được tính toán. Cũng nh ư vậy, cho N có giá trị rất lớn, tính trực tiếp giá trị của DFT sẽ đòi hỏi một số phép tính lớn đến mức không thể chấp nhận được. Để ví dụ, cho N = 1024 = 210 ta sẽ phải tính 220 = 1,048,576 phép nhân số phức và một số gần bằng như vậy các phép cộng. Hoàn thiện có nghĩa là phải giảm số phép tính trong biến đổi Fourier xuống. Dưới đây chúng ta sẽ giới thiệu hai thuật toán hay d ùng là thuật toán phân chia thời gian và thuật toán phân chia tần số. DFT dùng các thuật toán trên gọi là Fast Fourier transform (FFT). 6.3.1 Thuật toán phân chia thời gian Xem xét tính toán của DFT cho bởi (5.6) với N= 2r (r là một số nguyên bất kỳ). Cơ sở của thuật toán phân chia thời gian thì rõ ràng. Tuy nhiên, việc thiết kế phần mềm cũng đòi hỏi một số phân tích chi tiết. Để làm rõ các bước của thuật toán này chúng ta sẽ bắt đầu phân tích với N = 16 và sau đó mở rộng ra áp dụng cho N bất kỳ. Cơ sở của thuật toán phân chia thời gian dựa trên cơ sở chiến lược chia và chiếm. Các bước sau sẽ làm sáng tỏ thuật toán. Vì trong trường hợp này N =16; nên, 15   f (k )W16nk F (n)  k 0 Chia dãy f(k) thành hai dãy, một dãy được rút ra từ phần tử chẵn và một dãy từ những phần tử lẻ. Đó là, 15 15   f (k )W16nk   f (k )W16nk  F (n)  k 0 k 0 k chẵn k lẻ Chúng có thể viết thành 7 7 f (2k )W16n ( 2k )   f (2k  1)W16n( 2k 1)    (6.15) F (n)  k 0 k 0 Chú ý là 80
2 2 j j .n ( 2 k ) .nk  W16n ( 2k ) 16 8 e e  W8nk 7 7 (2k )W8nk   f (2k  1)W8nk  W16n f vì thế F (n)  k 0 k 0 đặt f 10 (k)  f(2k) f 11 (k)  f(2k  1) Ta được 7 7  f10 (k )W8nk  W16n  f11 (k )W8nk  (6. 16) F (n)  k 0 k 0 7  f10 (k )W8nk Đặt (6.17) F10 (n)  k 0 7  f11 (k )W8nk (6.18) F11 (n)  k 0 Viết lại biểu thức (6.16) chúng ta được -n (6.19) F(n)  F10 (n)  W16 F11 (n) Cũng như vậy, phát triển cho một biểu thức -n (6.20) F(n  8)  F10 (n) - W16 F11 (n) Biểu thức (6.19) và (6.20) định dạng những đơn vị tính toán gọi là bướm. Hình 6.1 là biểu đồ của phần tử bướm. Ký hiệu W16-n thường gọi là trọng lượng hay hệ số xoay. Hai biểu thức này biểu diễn bước cuối cùng trong lưu đồ tính toán của hình 6.2. Bây giờ xem xét biểu thức 7  f10 (k )W8nk F10 (n)  k 0 Xử lý như trên chúng ta có 3 7 f10 (2k )W4nk  W8n  f10 (2k  1)W4nk  F10 (n)  k 0 k 0 81
Dễ thấy -n -2n W8  W16 đặt f 20 (k)  f 10 (2k) f 21 (k)  f 10 (2k  1) F10(n) F(n) F10(n) F(n) 1 W16 -n n F11(n)Hình 6.1 (a) Bướm; (b) Biểu diễn rút gọn. F(n+8) F (n) F(n+8) 11 82
X(k) X(k) 0 0 1 1 2 2 F10(n) 3 3 4 4 5 5 6 6 F(n) 7 7 0 8 1 9 F11(n) 2 10 3 11 4 12 5 13 6 14 7 15 Hình 6.2 Bước cuối cùng của thuật toán biến đổi FFT phân chia miền thời gian. X(k) ký hiệu vector chứa giá trị được tính qua phép biến đổi FFT. 3 3 F10 (n)   f 20 (k )W4 nk  W16 2 n  f 21 (k )W4 nk  Vì vậy, k 0 k 0 -2n (6.21) F10 (n)  F20 (n)  W16 F21 (n) -2n (6.22) F10 (n  4)  F20 (n) - W16 F21 (n) 3 F20 (n)   f 20 (k )W4 nk ở đây (6.23) k 0 3 F21 (n)   f 21 (k )W4 nk (6.24) k 0 Tương tự -2n F11 (n)  F22 (n)  W16 F23 (n) (6.25) -2n (6.26) F11 (n  4)  F22 (n) - W F23 (n) 16 3 F22 (n)   f 22 (k )W4 nk ở đây (6.27) k 0 83