Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

148
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 Tài liệu gồm bài tập các chương: Đại số tổ hợp, xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, các quy luật phân phối, lý thuyết mẫu, lý thuyết ước lượng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của Tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê: Phần 1

LEÂ THÒ THIEÂN HÖÔNG BAØI TAÄP XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC DAÂN LAÄP KYÕ THUAÄT COÂNG NGHEÄ 2005
MUÏC LUÏC Trang CAÙC KYÙ HIEÄU ....................................................................................... 3 LÔØI NOÙI ÑAÀU ....................................................................................... 5 CHÖÔNG I. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP A.Toùm taét lyù thuyeát ....................................................................................... 6 B. Caùc baøi giaûi maãu ....................................................................................... 7 C. Baøi taäp ...................................................................................... 10 CHÖÔNG II. XAÙC SUAÁT A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 11 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 15 C. Baøi taäp ...................................................................................... 26 CHÖÔNG III. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 29 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 32 C. Baøi taäp ...................................................................................... 41 CHÖÔNG IV. CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 44 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 48 C. Baøi taäp ...................................................................................... 53 CHÖÔNG V. LYÙ THUYEÁT MAÃU A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 55 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 56 C. Baøi taäp ...................................................................................... 59 CHÖÔNG V. LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 61 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 62 C. Baøi taäp ...................................................................................... 69 CHÖÔNG VII. KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT THOÁNG KEÂ A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 72 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 74 C. Baøi taäp ...................................................................................... 77 CHÖÔNG VIII. TÖÔNG QUAN VAØ HOÀI QUY A. Toùm taét lí thuyeát ...................................................................................... 80 B. Caùc baøi giaûi maãu ...................................................................................... 82 C. Baøi taäp ...................................................................................... 89 MOÄT SOÁ ÑEÀ THI THAM KHAÛO ................................................................. 93 Ñaùp aùn vaø thang ñieåm ..................................................................................... 99 CAÙC BAÛNG SOÁ ..................................................................................... 114 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO ............................................................................ 120
CAÙC KÍ HIEÄU i = 1, k i nhaän caùc giaù trò 1, 2, …, k A kn Soá caùc chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû k An Soá caùc chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû C nk Soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû Pn Soá caùc hoaùn vò cuûa n phaàn töû P(A) Xaùc suaát cuûa bieán coá A A Bieán coá ñoái laäp cuûa bieán coá A P(A/B) Xaùc suaát cuûa bieán coá A vôùi ñieàu kieän B Pn(k) = Pn(k ; p) Xaùc suaát ñeå moät bieán coá xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû (p laø xaùc suaát thaønh coâng) X, Y Caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân f(x) Haøm maät ñoä xaùc suaát F(x) Haøm phaân phoái xaùc suaát E(X) Kì voïng cuûa X D(X) Phöông sai cuûa X (X) Ñoä leäch cuûa X X  B(n ,p) X coù phaân phoái nhò thöùc 3
X  H (N, M, n) X coù phaân phoái sieâu boäi X  P(a) X coù phaân phoái Poisson X  N(, 2) X coù phaân phoái chuaån X  N(0 ; 1) X coù phaân phoái chuaån chuaån taéc X2  (n) X coù phaân phoái khi bình phöông n baäc töï do X  T(n) X coù phaân phoái Student f Tæ leä maãu X Trung bình maãu  S 2 Phöông sai maãu S2 Phöông sai maãu hieäu chænh S Ñoä leäch maãu hieäu chænh  Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng =1- Ñoä tin caäy cuûa öôùc löôïng  Möùc yù nghóa cuûa kieåm ñònh RXY Heä soá töông quan giöõa X, Y rXY Heä soá töông quan tuyeán tính maãu 4
LÔØI NOÙI ÑAÀU Caùc baïn sinh vieân thaân meán, Lôùi noùi ñaàu xin daønh rieâng cho caùc baïn – ñoái töôïng phuïc vuï cuûa quyeån Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ maø caùc baïn ñang coù trong tay. Trong quyeån saùch naøy caùc baïn seõ tìm thaáy nhöõng noäi dung sau ñaây: Phaàn ñaàu cuoán saùch trình baøy caùch giaûi baøi taäp theo töøng chöông thuoäc lónh vöïc xaùc suaát vaø thoáng keâ toaùn hoïc. Moãi chöông goàm 3 muïc chính. Muïc A chæ neâu toùm taét caùc khaùi nieäm, ñònh lyù vaø coâng thöùc cô baûn seõ ñöôïc söû duïng ñeå giaûi baøi taäp. Muoán hieåu vaø naém vöõng lyù thuyeát, caùc baïn caàn tham khaûo theâm caùc saùch lí thuyeát xaùc suaát thoáng keâ khaùc. Muïc B, “Caùc baøi giaûi maãu”, laø troïng taâm cuûa saù ch. Trong muïc naøy, caùc baøi taäp ñöôïc phaân loaïi theo töøng daïng, phuø hôïp vôùi thöù töï trình baøy lí thuyeát. Moät soá daïng baøi taäp coù toång keát thaønh phöông phaùp giaûi chung. Ñeå giuùp sinh vieân coù theå töï ñoïc vaø laøm ñöôïc baøi taäp, saùch Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ ñaõ coá gaéng trình baøy caùc lôøi giaûi khaù tæ mæ, ñaëc bieät laø caùc baøi taäp ôû chöông II. Moãi lôøi giaûi ñeàu chuù troïng ñeán vieäc phaân tích yeâu caàu cuûa ñeà baøi vaø muïc ñích cuûa töøng lôøi giaûi. Caùc keát quaû cuûa baøi taäp xaùc suaát thöôøng ñöôïc vieát ôû daïng phaân soá (töùc laø soá ñuùng). Coøn caùc baøi taäp thoáng keâ coù keát quaû laø soá gaàn ñuùng vôùi boán chöõ soá thaäp phaân. Do ñoù, sai soá khaù beù neân coù theå boû qua. Muïc C giôùi thieäu nhöõng baøi taäp töông töï ñeå caùc baïn töï giaûi. Trong saùch Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ coøn coù 6 ñeà thi hoïc kyø moân xaùc suaát thoáng keâ trong caùc naêm hoïc gaàn ñaây. Moãi ñeà thi coù thôøi gian laøm baøi 90 phuùt. Caùc baïn haõy töï giaûi caùc ñeà thi ñoù trong thôøi gian qui ñònh. Sau ñoù thöû chaám ñieåm theo ñaùp aùn vaø thang ñieåm keøm theo ñeå töï ñaùnh giaù naêng löïc cuûa mình. Ñeà thi hoïc kyø thöôøng coù tính chaát toång hôïp, trong ñoù coù moät caâu khoù daønh cho sinh vieân khaù gioûi. Caùc baïn coù theå xem caùch phaân tích vaø laäp luaän moät caùch chi tieát trong ñaùp aùn ñeå hieåu lôøi giaûi. Phaàn phuï luïc cuoái saùch laø caùc baûn g thoáng keâ, daønh cho vieäc tra cöùu caùc soá lieäu vaø giaù trò cuûa caùc haøm phaân phoái xaùc suaát, raát caàn cho vieäc giaûi baøi taäp . Sau cuøng, taùc giaû chaân thaønh caûm ôn TS. Leâ Anh Vuõ vaø Th.S Nguyeãn Duy Thanh ñaõ ñoïc goùp yù vaø söûa chöõa baûn thaûo. Xin caûm ôn Ban laõnh ñaïo Tröôøng Ñaïi hoïc Daân laäp Kyõ thuaät Coâng ngheä TP. Hoà Chí Minh, Phoøng Quaûn lyù khoa hoïc, Phoøng Keá hoaïch – Taøi chính, Ban Khoa hoïc cô baûn vaø taäp theå giaûng vieân Boä moân Toaùn ñaõ ñoäng vieân, giuùp ñôõ ñeå quyeån saùch naøy ñeán tay baïn ñoïc. Hi voïng Baøi taäp Xaùc suaát – Thoáng keâ seõ giuùp caùc baïn sinh vieân hieåu roõ moân hoïc vöøa thuù vò, vöøa coù raát nhieàu öùng duïng thöïc teá naøy. Chuùc caùc baïn thaønh coâng. TP. Hoà Chí Minh, ngaøy 18 thaùng 3 naêm 2005 Taùc giaû 5
CHÖÔNG I ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT 1. Quy taéc ñeám a) Quy taéc coäng Giaû söû moät coâng vieäc V coù theå tieán haønh theo moät trong hai phöông aùn A hoaëc B. Phöông aùn A coù theå thöïc hieän bôûi m caùch, phöông aùn B coù theå thöïc hieän bôûi n caùch. Moãi caùch thöïc hieän A khoâng truøng vôùi baát kyø caùch thöïc hieän B naøo . Khi ñoù coâng vieäc V coù theå thöïc hieän bôûi m + n caùch. b) Quy taéc nhaân Giaû söû moät coân g vieäc V bao goàm hai coâng ñoaïn A vaø B. Coâng ñoaïn A coù theå laøm theo m caùch, coâng ñoaïn B coù theå laøm theo n caùch. Moãi caùch thöïc hieän A ñeàu coù n caùch thöïc hieän B. Khi ñoù coâng vieäc V coù theå thöïc hieän theo m.n caùch. 2. Chænh hôïp, hoaùn vò, toå hôïp a) Chænh hôïp Giaû söû A laø taäp hôïp goàm n phaàn töû vaø k laø soá töï nhieân (1  k  n). Keát quaû cuûa vieäc laáy k phaàn töû khaùc nhau thuoäc A vaø saép xeáp chuùng theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø A Kn . Ta coù : n! A kn  (1  k  n) (n  k )! vôùi quy öôùc : 0 ! = 1, n ! = 1.2.3.... n (n  N*). b) Chænh hôïp laëp Keát quaû cuûa vieäc laáy k phaàn töû, khoâng caàn khaùc nhau, töø n phaàn töû ñaõ cho vaø saép xeáp chuùng theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû. k Soá chænh hôïp laëp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø A n . Ta coù : k A n = nk (n  N* , k  N) c) Hoaùn vò Keát quaû cuûa söï saép xeáp n phaàn töû khaùc nhau theo moät thöù töï naøo ñoù ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù. Soá caùc hoaùn vò cuûa n phaàn töû kí hieäu laø Pn. Ta coù Pn  A nn  n! (n  N*) d) Toå hôïp Moãi taäp con goàm k phaàn töû khaùc nhau cuûa taäp hôïp A coù n phaàn töû ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. 6
Soá caùc toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû kí hieäu laø C Kn . Ta coù : A Kn n! C Kn   (n  N *, 0  k  n) k! k!(n  k)! B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. Quy taéc coäng Baøi 1. Töø tænh X ñeán tænh Y coù theå ñi baèng oâtoâ hoaëc taøu hoûa. Moãi ngaøy coù 10 chuyeán oâtoâ, 5 chuyeán taøu hoûa ñi töø X ñeán Y. Hoûi coù bao nhieâu söï löïa choïn ñeå ñi töø X ñeán Y ? Giaûi Ta xem coâng vieäc V laø ñi töø X ñeán Y. Coù hai phöông aùn thöïc hieän : - A laø ñi oâtoâ, coù 10 caùch choïn. - B laø ñi taøu hoûa, coù 5 caùch choïn. Moãi caùch choïn A khoâng truøng vôùi baát kì caùch choïn B naøo. Theo quy taéc coäng, soá caùch löïa choïn ñeå ñi töø X ñeán Y laø : 10 + 5 = 15. Baøi 2. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá khaùc nhau coù chöõ soá khaùc nhau ? Giaûi Ta coù ba phöông aùn laäp soá : - A : Laäp soá coù moät chöõ soá, coù 3 soá, ñoù laø caùc soá 1, 2, 3. - B : Laäp soá coù hai chöõ soá, coù 6 soá, ñoù laø caùc soá : 12, 13, 21, 23, 31, 32. - C : Laäp soá coù ba chöõ soá, coù 6 soá, ñoù laø caùc soá : 123, 132, 213, 231, 312, 321. Caùc caùch laäp treân ñoâi moät khoâng truøng nhau. Vaäy, theo quy taéc coäng, ta seõ laäp ñöôïc : 3 + 6 + 6 = 15 soá coù caùc chöõ soá khaùc nhau töø ba chöõ soá ñaõ cho. 2. Quy taéc nhaân Baøi 3. Moät thieát bò ñöôïc laép raùp töø hai loaïi linh kieän. Linh kieän loaïi moät coù 10 chieác, linh kieän loaïi hai coù 8 chieác. Hoûi coù bao nhieâu caùch laép thieát bò ñoù ? Giaûi Ta xem coâng vieäc V laø laép thieát bò, bao goàm hai coâng ñoaïn : - A : Laép linh kieän loaïi moät, coù 10 caùch choïn ; - B : laép linh kieän loaïi hai, coù 8 caùch choïn . Moãi caùch choïn linh kieän loaïi moät ñeàu coù 8 caùch choïn linh kieän loaïi hai. Theo quy taéc nhaân, soá caùch laép thieát bò laø : 10 . 8 = 80 Baøi 4. Neáu khoâng keå maõ soá vuøng thì moät bieån soá xe maùy coù 6 kí töï. Kí töï ôû vò trí ñaàu tieân laø moät chöõ caùi trong baûng 24 chöõ caùi, ôû vò trí thöù hai laø moät chöõ soá thuoäc taäp hôïp 1, 2, ...., 9. Boán vò trí tieáp theo laø boán chöõ soá thuoäc taäp hôïp 0, 1, 2,..., 9. Hoûi coù theå laøm ñöôïc bao nhieâu bieån soá xe maùy khaùc nhau, neáu khoâng keå maõ soá vuøng ? Giaûi Ta coù 24 caùch choïn chöõ caùi ñeå xeáp ôû vò trí ñaàu tieân. Töông töï coù 9 caùch choïn chöõ soá cho vò trí thöù hai vaø coù 10 caùch choïn chöõ soá cho moãi vò trí trong boán vò trí coøn laïi. Theo quy taéc nhaân, soá bieån soá xe maùy coù theå laøm ñöôïc laø 24 . 9 . 10 . 10 . 10 . 10 = 2 160 000. 7
3. Chænh hôïp, hoaùn vò, toå hôïp Baøi 5. Moät lôùp hoïc coù 60 sinh vieân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät Ban caùn söï goàm moät lôùp tröôûng, moät lôùp phoù hoïc taäp, moät lôùp phoù ñôøi soáng ? Giaûi Caùch thöù nhaát. Moãi caùch choïn laø moät chænh hôïp chaäp 3 cuûa 60 phaàn töû. Do ñoù, soá caùch choïn laø A 330 = 60 . 59 . 58 = 205 320. Caùch thöù hai . Ta xem V laø coâng vieäc choïn Ban caùn söï lôùp, bao goàm ba coâng ñoaïn : - Thöù nhaát, choïn lôùp tröôûng töø 60 sinh vieân, coù 60 caùch. - Thöù hai, choïn lôùp phoù hoïc taäp töø 59 sinh vieân coøn laïi, coù 59 caùch. - Thöù ba, choïn lôùp phoù ñôøi soáng, töông töï coù 58 caùch. Theo quy taéc nhaân, soá caùch choïn Ban caùn söï lôùp laø 60 . 59 . 58 = 205 320. Baøi 6. Trong traän chung keát boùng ñaù phaûi phaân ñònh thaéng thua baèng ñaù luaân löu 11 meùt. Huaán luyeän vieân cuûa moãi ñoäi caàn trình vôùi troïng taøi moät danh saùch saép thöù töï 5 caàu thuû trong soá 11 caàu thuû ñeå ñaù luaân löu. Hoûi huaán luyeän vieân cuûa moãi ñoäi coù bao nhieâu caùch choïn? Giaûi Moãi danh saùch laø moät chænh hôïp chaäp 5 cuûa 11 phaàn töû. Vaäy, soá caùch choïn cuûa huaán luyeän vieân moãi ñoäi laø : 5 A11 = 55 440. Baøi 7. Coù 8 ngöôøi leân moät ñoaøn taøu goàm 5 toa. Hoûi coù bao nhieâu caùch leân taøu moät caùch tuøy yù? Giaûi Caùch thöù nhaát . Moãi caùch leân taøu laø moät chænh hôïp laëp chaäp 8 cuûa 5 phaàn töû. Vaäy , soá caùch leân taøu laø 8 A 5 = 58 = 390 625. Caùch thöù hai . ta xem coâng vieäc V laø 8 ngöôøi leân taøu, bao goàm 8 coâng ñoaïn : - Ngöôøi thöù nhaát leân taøu, coù 5 caùch choïn toa. - Ngöôøi thöù hai leân taøu, cuõng coù 5 caùch choïn toa. - v.v..... Töông töï, ngöôøi thöù taùm vaãn coù 5 caùch choïn toa. Theo quy taéc nhaân, soá caùch leân taøu cuûa 8 ngöôøi ñoù laø : 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 390 625. Baøi 8. Trong giôø hoïc moân Giaùo duïc quoác phoøng, moät tieåu ñoäi 10 sinh vieân ñöôïc xeáp thaønh haøng ngang. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp ? Giaûi Moãi caùch xeáp laø moät hoaùn vò cuûa 10 ngöôøi. Vaäy soá caùch laø : P10 = 10 ! = 3 628 800. Baøi 9. Moät lôùp hoïc coù 50 sinh vieân, moãi buoåi hoïc caàn choïn 3 sinh vieân laøm tröïc nhaät lôùp. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Giaûi Moãi caùch choïn sinh vieân laøm tröïc nhaät lôùp laø moät toå hôïp chaäp 3 cuûa 50 phaàn töû. Vaäy soá caùch choïn laø C 350 = 19 600. 8
4. Baøi taäp toång hôïp Baøi 10. Moät chi ñoaøn coù 30 sinh vieân nam vaø 15 sinh vieân nöõ. Caàn choïn moät nhoùm goàm 8 sinh vieân ñeå tham gia chieán dòch “Muøa heø xanh” cuûa Thaønh Ñoaøn. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn sao cho nhoùm ñoù coù a) 8 sinh vieân baát kì cuûa chi ñoaøn ? b) 3 sinh vieân nöõ ? c) nhieàu nhaát 1 sinh vieân nöõ ? d) ít nhaát 1 sinh vieân nöõ ? Giaûi a) Moãi caùch choïn laø moät toå hôïp chaäp 8 cuûa 45 ñoaøn vieân, do ñoù soá caùch laø C845 = 215 553 195. b) Vieäc choïn 8 sinh vieân theo yeâu caàu ñeà baøi bao goàm hai coâng ñoaïn : 3 - Choïn 3 sinh vieân nöõ trong soá 15 sinh vieân nöõ, coù C15 caùch. - Choïn 5 sinh vieân nam trong soá 30 sinh vieân nam, coù C 530 caùch. Theo quy taéc nhaân , soá caùch choïn nhoùm laø 3 C15 . C 530 = 64 840 230. c) Vieäc thaønh laäp nhoùm theo yeâu caàu ñeà baøi coù hai phöông aùn thöïc hieän : - Nhoùm coù 1 sinh vieân nöõ vaø 7 sinh vieân nam, töông töï caâu b), soá caùch laø 1 7 C15 C 30 ; - Nhoùm coù 8 sinh vieân nam, soá caùch laø C 830 . Theo quy taéc coäng, soá caùch thaønh laäp nhoùm ñeå coù nhieàu nhaát 1 sinh vieân nöõ laø C115 C 730 + C 830 = 36 389 925. d) Caùch thöù nhaát. Vieäc laäp nhoùm goàm 8 sinh vieân baát kì cuûa chi ñoaøn coù theå thöïc hieän theo hai phöông aùn : - Nhoùm goàm 8 sinh vieân nam (khoâng coù sinh vieân nöõ), soá caùch laø C 830 , - Nhoùm coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ, soá caùch laø n. Theo caâu a), soá caùch laäp nhoùm goàm 8 sinh vieân baát kì laø C 845 . Theo quy taéc coäng, ta coù : C 830 + n = C 845 . Suy ra, soá caùch laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ laø : n = C 845 - C 830 = 209 700 270. Caùch thöù hai. Vieäc laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ coù 8 phöông aùn thöïc hieän : - Nhoùm coù 1 sinh vieân nöõ vaø 7 sinh vieân nam, theo caâu c), soá caùch laø C115 C 30 7 ; 2 6 - Nhoùm coù 2 sinh vieân nöõ vaø 6 sinh vieân nam, töông töï, coù C15 C 30 caùch ; 7 - v.v...., nhoùm coù 7 nöõ vaø 1 nam, soá caùch laäp laø C15 C130 ; 8 - Nhoùm coù 8 sinh vieân nöõ, soá caùch laäp laø C15 . Theo quy taéc coäng, soá caùch laäp nhoùm ñeå coù ít nhaát 1 sinh vieân nöõ laø : C115 C 30 7 2 + C15 C 630 + …… + C15 7 C130 + C158 = 209 700 270. 9
C. BAØI TAÄP 1. Moät toøa nhaø coù 10 taàng, 7 ngöôøi vaøo thang maùy xuaát phaùt töø taàng 1. Hoûi coù bao nhieâu caùch sao cho a) moãi ngöôøi ra ôû moät taàng khaùc nhau ? b) moãi ngöôøi ra ôû moät taàng tuøy yù ? c) coù hai ngöôøi cuøng ra ôû moät taàng, nhöõng ngöôøi coøn laïi ra ôû caùc taàng khaùc ? 2. Moät ñoäi coâng nhaân coù 15 ngöôøi, goàm 9 nam vaø 6 nöõ. Coù bao nhieâu caùch thaønh laäp moät toå coâng taùc goàm a) 5 ngöôøi ? b) 3 nam vaø 2 nöõ ? c) 3 nam vaø 2 nöõ nhöng anh A vaø chò B khoâng ñi cuøng nhau ? 3. Moät loâ haøng coù 100 saûn phaåm, trong ñoù coù 5 pheá phaåm. Choïn ra 12 saûn phaåm ñeå kieåm tra. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn a) caùc saûn phaåm baát kì ? b) sao cho trong soá caùc saûn phaåm ñoù coù khoâng quaù 2 pheá phaåm ? c) sao cho choïn ñöôïc ít nhaát 1 pheá phaåm ? 4. Ngöôøi ta laáy ra 3 vieân bi töø moät caùi hoäp ñöïng 6 vieân vi ñoû, 4 vieân bi xanh, 5 vieân bi vaøng. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ra a) caùc vieân bi tuøy yù ? b) 2 vieân bi ñoû, 1 vieân bi xanh ? c) caùc vieân bi coù maàu khaùc nhau ? d) moät vieân maøu ñoû ? e) nhieàu nhaát moät vieân maøu ñoû ? f) ít nhaát moät vieân maøu ñoû ? 5. Moät boä baøi coù 52 laù vôùi 4 chaát khaùc nhau, trong ñoù chaát roâ vaø cô coù maøu ñoû, chaát pic vaø chuoàn coù maøu ñen. Choïn 8 laù baøi töø boä baøi ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch laáy ñöôïc a) 3 laù maøu ñoû ? b) 2 laù cô ? c) 1 laù aùt vaø 2 laù K ? d) 2 laù roâ vaø 4 laù maøu ñen ? e) khoâng quaù moät laù maøu ñoû ? f) ít nhaát moät laù maøu ñen ? g) ít nhaát 2 laù aùt ? 10
CHÖÔNG II XAÙC SUAÁT A. TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT 1. Pheùp thöû ngaãu nhieân, khoâng gian maãu, bieán coá Moät trong nhöõng khaùi nieäm cô baûn cuûa lí thuyeát xaùc suaát laø pheùp thöû. Moät thí nghieäm, moät haønh ñoäng, moät pheùp ño,… ñöôïc hieåu laø pheùp thöû. Pheùp thöû ngaãu nhieân laø pheùp thöû maø ta khoâng ñoaùn tröôùc ñöôïc keát quaû cuûa noù, maëc duø ñaõ bieát taäp hôïp taát caû caùc keát quaû coù theå coù cuûa pheùp thöû ñoù. Taäp hôïp moïi keát quaû cuûa moät pheùp thöû ñöôïc goïi laø khoâng gian maãu (cuûa pheùp thöû) vaø kí hieäu laø . Bieán coá laø moät taäp con cuûa khoâng gian maãu . Moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû laø moät taäp hôïp bao goàm caùc keát quaû naøo ñoù cuûa pheùp thöû. Taäp hôïp Þ ñöôïc goïi laø bieán coá khoâng theå, taäp hôïp  ñöôïc goïi laø bieán coá chaéc chaén. Ta noùi raèng bieán coá A xaûy ra khi vaø chæ khi keát quaû cuûa pheùp thöû laø moät phaàn töû cuûa A. Nhö vaäy, bieán coá khoâng theå Þ khoâng bao giôø xaûy ra, bieán coá chaéc chaén  luoân luoân xaûy ra. Bieán coá coù theå xaûy ra hoaëc khoâng xaûy ra ñöôïc goïi laø bieán coá ngaãu nhieân . 2. Quan heä giöõa bieán coá a) Bieán coá baèng nhau Bieán coá A ñöôïc goïi laø keùo theo bieán coá B neáu A xaûy ra thì B xaûy ra, kí hieäu A  B. Neáu A  B vaø B  A thì caùc bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø baèng nhau, kí hieäu laø A = B. Vôùi moïi bieán coá A, ta coù Þ  A, A  . b) Toång, tích caùc bieán coá Giaû söû A vaø B laø caùc bieán coá lieân quan vôùi moät pheùp thöû. Khi ñoù : - A coäng B laø bieán coá xaûy ra neáu A hoaëc B xaûy ra, kí hieäu laø A + B (hoaëc A  B) ; - A nhaân B laø bieán coá xaûy ra neáu A vaø B ñoàng thôøi xaûy ra, kí hieäu laø AB (hoaëc A  B) Vôùi moïi bieán coá A, B, C, ta coù  A+B =B+A; AB = BA  (A + B) + C = A + (B + C) ; (AB)C = A(BC)  A(B + C) = AB + AC ; A + (BC) = (A + B)(A + C)  Neáu A  B thì A + B = B ; AB = A  A + A = A ; AA = A  A + Þ = A ; AÞ = Þ  A +  =  ; A = A c) Bieán coá xung khaéc, bieán coá ñoái laäp - Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu chuùng khoâng ñoàng thôøi xaûy ra, töùc laø AB = Þ. - Bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoái laäp neáu chuùng khoâng ñoàng thôøi xaûy ra nhöng coù ít nhaát moät trong chuùng chaéc chaén xaûy ra, töùc laø AB = Þ vaø A + B = . Neáu A vaø B ñoái laäp thì ta kí hieäu B = A vaø goïi B laø bieán coá ñoái laäp cuûa A. Nhö vaäy, ta coù 11
 A+ A =; AA = Þ  A =A  A  B = A . B ; AB  A + B d) Nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá Caùc bieán coá A1, A2, … , An ñöôïc goïi laø ñoâi moät xung khaéc, neáu hai bieán coá khaùc nhau baát kì trong ñoù ñeàu xung khaéc, töùc laø AiAj = Þ vôùi i  j. Caùc bieán coá A1, A2, … , An ñöôïc goïi laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá, neáu chuùng ñoâi moät xung khaéc vaø ít nhaát moät trong chuùng chaéc chaén xaûy ra, töùc laø AiAj = Þ vôùi i  j vaø A1 + A2 + … + An = . Nhö vaäy, vôùi moïi bieán coá A thì A, A laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá. 3. Ñònh nghóa xaùc suaát a) Ñònh nghóa coå ñieån Cho pheùp thöû T coù khoâng gian maãu  laø moät taäp hôïp höõu haïn vaø caùc keát quaû cuûa T laø ñoàng khaû naêng (töùc laø coù cuøng khaû naêng xuaát hieän). Giaû söû A laø moät bieán coá lieân quan vôùi pheùp thöû T vaø  A laø taäp hôïp caùc keát quaû moâ taû A (coøn goïi laø caùc keát quaû thuaän lôïi cho A). Khi ñoù, xaùc suaát cuûa A laø moät soá, kí hieäu laø P(A), ñöôïc xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : Soá phaàn töû cuûa A P(A) = Soá phaàn töû cuûa  Hay Soá keát quaû thuaän lôïi cho A P(A) = Soá keát quaû coù theå cuûa pheùp thöû T b) Ñònh nghóa hình hoïc Giaû söû caùc keát quaû ñoàng khaû naêng cuûa pheùp thöû T ñöôïc ñaët töông öùng vôùi caùc ñieåm cuûa moät taäp hôïp coù ñoä ño M, caùc keát quaû thuaän lôïi cho bieán coá A töông öùng vôùi caùc ñieåm cuûa moät taäp hôïp coù ñoä ño m. Khi ñoù ta goïi xaùc suaát cuûa bieán coá A laø soá m P(A) = M ÔÛ ñaây ñoä ño coù theå laø ñoä daøi, dieän tích hay theå tích, tuøy theo taäp hôïp ñang xeùt thuoäc R, R2 hay R3. c) Ñònh nghóa thoáng keâ Giaû söû trong n pheùp thöû vôùi ñieàu kieän gioáng nhau, bieán coá A xuaát hieän k laàn. Ta goïi k fn(A) = n laø taàn suaát xuaát hieän bieán coá A trong n pheùp thöû vaø goïi giôùi haïn lim f n (A) laø xaùc suaát P(A) n   cuûa bieán coá A. Xaùc suaát cuûa moät bieán coá luoân coù ba tính chaát sau ñaây 12
0  P(A)  1, vôùi moïi bieán coá A. P(Þ) = 0, P() = 1 Neáu A, B xung khaéc thì P(A + B) = P(A) + P(B) d) Ñònh nghóa theo tieân ñeà Kí hieäu @ laø taäp hôïp taát caû caùc bieán coá trong moät pheùp thöû. Ta goïi xaùc suaát laø moät quy taéc ñaët moãi A  @ vôùi moät soá P(A) thoûa maõn ba ñieàu kieän sau (1)  A  @ : 0  P(A)  1; (2) P(Þ) = 0 ; P() = 1 ; (3) AB = Þ => P(A + B) = P(A) + P(B). Töø ñònh nghóa, ta coù P( A ) = 1 – P(A) 4. Coâng thöùc coäng xaùc suaát a) Tröôøng hôïp toång cuûa hai bieán coá - Neáu caùc bieán coá A, B xung khaéc thì P(A + B) = P(A) + P(B) - Neáu A, B baát kì thì P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) b) Tröôøng hôïp toång cuûa n bieán coá - Neáu A1, A2, … ,An laø caùc bieán coá ñoâi moät xung khaéc thì P(A1 + A2 +… + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An). - Neáu A1, A2, … ,An baát kì thì n P(A1 + A2 + … + An) =  P(Ai )   P(Ai A j )   P(A A A i j k )  ...  i 1 i j i  j k (-1)n – 1P(A1A2…An) 5. Xaùc suaát coù ñieàu kieän. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát a) Xaùc suaát coù ñieàu kieän Ta goïi xaùc suaát cuûa bieán coá A khi bieán coá B ñaõ xaûy ra laø xaùc suaát cuûa bieán coá A vôùi ñieàu kieän B, kí hieäu laø P(A/B). P(AB) Ta coù P(A/B) = P(B) b) Bieán coá ñoäc laäp Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø ñoäc laäp, neáu xaùc suaát cuûa bieán coá naøy khoâng phuï thuoäc vaøo söï xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa bieán coá kia, töùc laø : P(A/B) = P(A) hoaëc P(B/A) = P(B). 13
Caùc bieán coá A1, A2,…,An ñöôïc goïi laø ñoäc laäp toaøn theå, neáu xaùc suaát cuûa moät bieán coá trong ñoù khoâng phuï thuoäc vaøo söï xaûy ra hay khoâng xaûy ra cuûa moät toå hôïp baát kì caùc bieán coá khaùc. Neáu A, B ñoäc laäp thì caùc caëp A, B ; A , B ; A , B cuõng ñoäc laäp. Tính ñoäc laäp toaøn theå cuûa nhieàu bieán coá cuõng coù tính chaát töông töï. c) Coâng thöùc nhaân xaùc suaát Tröôøng hôïp tích cuûa hai bieán coá - Neáu A, B baát kyø thì P (AB) = P (A) P (B/A) = P (B) P (A/B) - Neáu A, B ñoäc laäp thì P (AB) = P (A) P (B) . Tröôøng hôïp tích cuûa n bieán coá - Neáu A1, A2, … , An baát kyø thì P (A1 A2 … An) = P (A1) P(A2/A1) … P(An/A1A2…An-1) - Neáu A1, A2, … , An ñoäc laäp toaøn theå thì P (A1 A2 … An) = P (A1) P(A2) … P(An) 6. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû. Coâng thöùc Bayes Cho A1, A2 , … , An laø moät nhoùm ñaày ñuû caùc bieán coá vaø B laø moät bieán coá baát kyø. Ta coù n P(B) =  P(A )P(B/A ) i 1 i i (Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû) P(A K )P(B/A K ) P(AK / B) = P(B) (Coâng thöùc Bayes, coøn goïi laø coâng thöùc xaùc suaát giaû thieát). 7. Coâng thöùc Bernoulli a) Daõy pheùp thöû Bernoulli Moät daõy n pheùp thöû (n  N*) ñöôïc goïi laø moät daõy n pheùp thöû Bernoulli, neáu : - caùc pheùp thöû laø ñoäc laäp vôùi nhau. - trong moãi pheùp thöû bieán coá A maø ta quan taâm coù xaùc suaát P(A) = p khoâng ñoåi. b) Coâng thöùc Bernoulli Kí hieäu Pn(k, p) laø xaùc suaát ñeå bieán coá A xuaát hieän k laàn trong n pheùp thöû Bernoulli, q = 1 – p = P( A ). Ta coù Pn(k, p) = C Kn p K q n K (0  k  n) (Coâng thöùc Bernoulli) c) Soá coù khaû naêng nhaát Soá K0 sao cho Pn(K0, p) lôùn nhaát ñöôïc goïi laø soá coù khaû naêng nhaát. Ta coù K0 = np - q hoaëc K0 = np - q + 1. 14
B. CAÙC BAØI GIAÛI MAÃU 1. Bieåu dieãn moät bieán coá thaønh pheùp toaùn ñoái vôùi caùc bieán coá khaùc Baøi 1. Moät sinh vieân phaûi thi hai moân : Toaùn vaø Lyù. Goïi T, L laàn löôït laø caùc bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu Toaùn, Lyù. Haõy bieåu dieãn caùc bieán coá sau ñaây qua T vaø L. a) Sinh vieân ñoù rôùt Toaùn. b) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn. c) Sinh vieân ñoù ñaäu caû hai moân. d) Sinh vieân ñoù rôùt caû hai moân. e) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu moät moân. f) Sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù moät moân. g) Sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát moät moân. h) Sinh vieân ñoù rôùt ít nhaát moät moân. i) Sinh vieân ñoù rôùt nhieàu nhaát moät moân. Giaûi a) Ta coù bieán coá rôùt Toaùn ñoái laäp vôùi bieán coá ñaäu Toaùn neân, neáu goïi A laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt Toaùn, thì A = T . b) Goïi B laø bieán coá sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn, thì B xaûy ra khi T xaûy ra vaø L khoâng xaûy ra. Vaäy B = T L . c) Goïi C laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu caû 2 moân. Ta coù C xaûy ra khi T vaø L cuøng xaûy ra. Vaäy C = TL. d) Töông töï, bieán coá sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân laø D = T L . e) Goïi E laø bieán coá sinh vieân ñoù chæ ñaäu 1 moân. Ta coù E xaûy ra khi sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn (bieán coá B) hoaëc sinh vieân ñoù chæ ñaäu Lyù (bieán coá B’ = T L). Vaäy E = B + B’ hay E = T L + T L. f) Goïi F laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù moät moân. - Caùch thöù nhaát. Ta coù F xaûy ra khi sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân (bieán coá D) hoaëc chæ ñaäu moät moân (bieán coá E). Do ñoù F = D + E hay F = T L + T L + T L. - Caùch thöù hai. Ta coù bieán coá ñoái laäp cuûa F laø sinh vieân ñoù ñaäu quaù 1 moân, töùc laø ñaäu caû hai moân (bieán coá C). Vaäy F = C hay F = TL . - Caùch thöù ba . Bieán coá F xaûy ra khi sinh vieân ñoù rôùt Toaùn hoaëc rôùt Lyù. Vaäy F = T + L . g) Goïi G laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát 1 moân. Töông töï, ta coù ba caùch bieåu dieãn G. - Caùch thöù nhaát. G = E + C = T L + T L + TL - Caùch thöù hai. G = D = ( T L ). - Caùch thöù ba. G = T + L h) Goïi H laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt ít nhaát 1 moân. Ta coù H = F. Vaäy : 15
H = T + L, H = C = TL , H = T L + TL + T L i) Goïi I laø bieán coá sinh vieân ñoù rôùt nhieàu nhaát 1 moân. Ta coù I = G. Vaäy I = T L + T L + TL, I = ( T L ), I = T + L. 2. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá theo ñònh nghóa coå ñieån . Neâu pheùp thöû, tính soá keát quaû coù theå coù cuûa pheùp thöû. . Neáu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, tính soá keát quaû (cuûa pheùp thöû) thuaän lôïi cho bieán coá ñoù. . AÙp duïng ñònh nghóa ñeå tìm xaùc suaát cuûa bieán coá. Baøi 2. Ñeà cöông thi moân Trieát coù 70 caâu hoûi. Moät sinh vieân chæ oân 40 caâu. Cho bieát ñeà thi töï luaän goàm 3 caâu thuoäc ñeà cöông vaø neáu sinh vieân traû lôøi ít nhaát 2 caâu thì ñaäu. Tìm xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù ñaäu moân Trieát. Giaûi Pheùp thöû laø vieäc traû lôøi 3 caâu töø 70 caâu hoûi cuûa ñeà cöông (khoâng caàn saép thöù töï), do ñoù soá caùc keát quaû coù theå laø C 370 . Goïi Ñ laø bieán coá sinh vieân ñoù ñaäu moân Trieát. Muoán Ñ xaûy ra ta coù hai phöông aùn : - Caû ba caâu hoûi cuûa ñeà thi ñeàu naèm trong soá 40 caâu maø sinh vieân ñaõ oân , coù C 340 caùch ; - Coù hai caâu naèm trong soá 40 caâu ñaõ oân vaø moät caâu coøn laïi naèm trong soá 30 caâu anh ta khoâng oân, coù C 240 C 130 caùch. Theo quy taéc coäng, soá keát quaû thuaän lôïi cho Ñ laø C 340 + C 240 C 130 Vaäy , theo ñònh nghóa, xaùc suaát sinh vieân ñaäu moân Trieát laø C 3  C 2 .C1 33280 1664 P(Ñ) = 40 3 40 30    0,6 . C 70 54740 2737 3. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá theo ñònh nghóa hình hoïc . Neâu pheùp thöû, tìm taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû vaø ñoä ño cuûa taäp hôïp naøy. . Neâu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, tìm taäp hôïp bieåu dieãn bieán coá vaø ñoä ño cuûa taäp hôïp ñoù. . AÙp duïng ñònh nghóa ñeå tìm xaùc suaát cuûa bieán coá. Baøi 3. 16 30cm
a) Cho moät taám bia coù hình daïng vaø kích thöôùc nhö hình veõ. Moät sinh vieân baén moät vieân ñaïn vaøo taám bia ñoù. Neáu baén truùng hình troøn ôû taâm coù baùn kính 5cm thì ñaït yeâu caàu. Tìm xaùc suaát ñeå sinh vieân ñoù baén ñaït yeâu caàu. b) Hai ngöôøi heïn gaëp nhau taïi moät ñòa ñieåm trong khoaûng thôøi gian töø 17h ñeán 18h. Hoï giao heïn : ai ñeán tröôùc seõ ñôïi ngöôøi kia 15 phuùt, neáu khoâng thaáy thì huûy cuoäc heïn. Tìm xaùc suaát ñeå hoï gaëp nhau. Giaûi a) Pheùp thöû laø baén moät vieân ñaïn vaøo taám bia. Taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû laø hình chöõ nhaät (coù chieàu daøi 40cm, chieàu roäng 30cm) vaø nöûa hình troøn (ñöôøng kính 30cm). Ñoä ño cuûa taäp hôïp naøy (hay dieän tích) laø : 1 S = 40 . 30 + 152 = 1200 + 112,5  (cm2). 2 Goïi D laø bieán coá sinh vieân ñoù baén ñaït yeâu caàu. Taäp hôïp bieåu dieãn A laø hình troøn ôû taâm (coù baùn kính 5cm) neân coù ñoä ño laø s = 52 = 25 (cm2). Vaäy, theo ñònh nghóa, s 25 P(D)    0,05 . S 1200  112,5 b) Goïi x, y laàn löôït laø thôøi ñieåm ñeán choã heïn cuûa ngöôøi thöù nhaát, thöù hai. Töø 17h ñeán 18h ta coù 60 phuùt neân coù theå xem taäp hôïp bieåu dieãn pheùp thöû thoûa maõn ñieàu kieän 0  x  60,  0  y  60. Goïi G laø bieán coá hai ngöôøi ñoù gaëp nhau thì ñieàu kieän ñeå G xaûy ra laø y  x  15 C P B  60  15  y  x  15. 45 N Nhö vaäy, pheùp thöû ñöôïc bieåu dieãn bôûi hình vuoâng OABC coù caïnh 60 (xem hình veõ beân ). Coøn bieán coá G ñöôïc bieåu dieãn bôûi luïc giaùc OMNBPQ. Q 15 M Ta coù dieän tích hình vuoâng laø A 15 45 60 S = 602 = 3600, dieän tích luïc giaùc laø 17
s = dtOABC – (dtAMN + dtCPQ) = 3600 – 452 = 1575. Vaäy xaùc suaát hai ngöôøi gaëp nhau laø : s 1575 P(G )    0,4375. S 3600 4. Tính xaùc suaát cuûa bieán coá baèng caùc coâng thöùc . Neâu bieán coá caàn tìm xaùc suaát, bieåu dieãn bieán coá naøy thaønh pheùp toaùn ñoái vôùi caùc bieán coá khaùc maø ta xem laø caùc bieán coá “ñôn giaûn” hôn bieán coá ban ñaàu. . Phaân tích moái quan heä giöõa caùc bieán coá tham gia vaøo pheùp toaùn : xung khaéc hay khoâng, ñoäc laäp hay khoâng, coù taïo thaønh nhoùm ñaày ñuû khoâng … . Choïn coâng thöùc tính xaùc suaát cuûa bieán coá ban ñaàu thoâng qua xaùc suaát cuûa caùc bieán coá “ñôn giaûn”. . Tính xaùc suaát cuûa caùc bieán coá “ñôn giaûn” (neáu caàn). . Tính xaùc suaát cuûa bieán coá ban ñaàu. Baøi 4. Moät sinh vieân phaûi thi Toaùn vaø Lyù. Cho bieát xaùc suaát ñaäu hai moân ñoù laàn löôït laø 0,7 ; 0,6. Haõy tính caùc xaùc suaát sau ñaây. a) Sinh vieân ñoù rôùt Toaùn. b) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu Toaùn. c) Sinh vieân ñoù ñaäu caû 2 moân. d) Sinh vieân ñoù rôùt caû 2 moân. e) Sinh vieân ñoù chæ ñaäu 1 moân. f) Sinh vieân ñoù ñaäu khoâng quaù 1 moân. g) Sinh vieân ñoù ñaäu ít nhaát 1 moân. Giaûi Giöõ nguyeân caùch kyù hieäu vaø bieåu dieãn caùc bieán coá nhö ôû Baøi 1, ta coù caùc keát quaû sau ñaây. a) P(A) = P( T ) = 1 – P(T) = 1 – 0,7 = 0,3. b) Vì T vaø L ñoäc laäp neân P(B) = P(T L ) = P(T) P( L ) = 0,7.0,4 = 0,28. c) Töông töï, P(C) = P(TL) = P(T) P(L) = 0,42. d) P(D) = P( T L ) = P( T ) P( L ) = 0,12. e) Vì B, B’ xung khaéc neân P(E) = P(B) + P(B’) = P(T L ) + P( T L) = 0,28 + 0,18 = 0,46 f) Caùch thöù nhaát F = D + E vaø DE = Þ neân P(F) = P(D) + P(E) = 0,58. Caùch thöù hai F = C neân P(F) = 1 – P(C) = 0,58. 18
Caùch thöù ba F = T + L vaø T L  Þ neân P(F) = P( T ) + P( L ) – P( T L ) = 0,3 +0,4 – 0,12 = 0,58. g) Caùch thöù nhaát G = E + C vaø EC = Þ neân P(G) = P(E) + P(C) = 0,46 + 0,42 = 0,88. Caùch thöù hai G = D neân P(G) = 1 – P(D) = 1 – 0,12 = 0,88. Caùch thöù ba G = T + L vaø TL  Þ neân P(G) = P(T) + P(L) – P(TL) = 0,7 + 0,6 – 0,42 = 0,88. Baøi 5. Moät loâ haøng coù 50 saûn phaåm, trong ñoù coù 8 pheá phaåm. Minh laáy ra 3 saûn phaåm, sau ñoù Huy laáy ra 2 saûn phaåm. Tính caùc xaùc suaát sau ñaây. a) Huy laáy truùng 1 pheá phaåm khi Minh ñaõ laáy ñi 1 pheá phaåm. b) Hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát. c) Hai baïn laáy ra ñuùng 1 pheá phaåm. d) Hai baïn laáy ra ít nhaát 1 pheá phaåm. Giaûi Goïi Mi laø bieán coá Minh laáy ra i pheá phaåm (vaø 3 – i saûn phaåm toát), i = 0,3 ; HK laø bieán coá Huy laáy ra k pheá phaåm (vaø 2 – k saûn phaåm toát), k = 0,2 . a) Goïi A laø bieán coá caàn tìm xaùc suaát. Ta coù P(A) = P(H1/M1). Ta aùp duïng ñònh nghóa ñeå tính xaùc suaát treân. Khi Minh ñaõ laáy ñi 1 pheá phaåm (vaø 2 saûn phaåm toát) thì pheùp thöû laø vieäc Huy choïn 2 saûn phaåm töø 47 saûn phaåm coøn laïi, coù C 247 caùch. Ñeå H1 xaûy ra thì caàn choïn 1 pheá phaåm trong soá 7 pheá phaåm coøn laïi vaø choïn 1 saûn phaåm toát trong soá 40 saûn phaåm toát coøn laïi, do ñoù soá caùch laø C17 C140 . C17 C140 280 Vaäy P(H1/M1) = 2 =  0,259. C 47 1081 b) Goïi B laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ñöôïc 5 saûn phaåm toát. Caùch thöù nhaát. Ta coù bieåu dieãn B = M0 H0 , trong ñoù MO, HO khoâng ñoäc laäp neân P(B) = P(M0) P(H0/ M0). Caùc xaùc suaát ôû veá phaûi ñöôïc tính baèng ñònh nghóa. C 342 C 239 P(M0) = ; P (H0 / M0 ) = C 350 C 247 C 342 2 C 39 11480 741 Vaäy P(B) =3 . 2 = .  0,4. C 50 C 47 19600 1081 Caùch thöù hai. Khoâng quan taâm ñeán thöù töï thôøi gian maø Minh vaø Huy laáy caùc saûn phaåm, ta coù theå xem pheùp thöû laø vieäc hai baïn cuøng laáy 5 saûn phaåm töø 50 saûn phaåm ñaõ 19
cho. Ñeå B xaûy ra thì phaûi laáy ñöôïc 5 saûn phaåm toát trong soá 42 saûn phaåm toát. Vaäy, theo ñònh nghóa, xaùc suaát hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát laø C5 850668 P(B) = 425 =  0,4. C 50 2118760 c) Goïi C laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ra ñuùng 1 pheá phaåm. Caùch thöù nhaát. Ta coù bieåu dieãn C = M1H0 + M0H1. Caùc bieán coá tham gia vaøo toång laø M1H0 vaø M0H1 xung khaéc, caùc bieán coá tham gia vaøo tích laø M1, H0 vaø M0, H1 khoâng ñoäc laäp. Do ñoù P(C) = P(M1) P(H0/M1) + P(M0) P(H1/M0) Töông töï caâu b), ta tính ñöôïc C18 C 242 C 240 3 C 42 C18 C139 8954400 P(C) = 3 . 2 + 3 . 2 =  0,42. C 50 C 47 C 50 C 47 21187600 Caùch thöù hai. AÙp duïng ñònh nghóa, ta coù C1 C 4 8954400 P(C) = 8 5 42 =  0,42. C 50 21187600 d) Goïi D laø bieán coá Minh vaø Huy laáy ra ít nhaát 1 pheá phaåm. Ta coù D laø bieán coá hai baïn laáy ñöôïc toaøn saûn phaåm toát, do ñoù D = B . 801 Vaäy P(D) = 1 – P(B) =  0,741. 1081 Baøi 6. Coù hai hoäp phaán. Hoäp thöù nhaát coù 6 vieân phaán traéng, 4 vieân phaán maøu. Hoäp thöù hai coù 7 vieân phaán traéng, 3 vieân phaán maøu. Töø hoäp thöù nhaát laáy ra 2 vieân phaán, töø hoäp thöù hai laáy ra 1 vieân. Tìm xaùc suaát laáy ñöôïc a) 2 vieân phaán traéng. b) ít nhaát 1 vieân phaán maøu. Giaûi Theo ñeà baøi, töø hai hoäp ta seõ laáy ñöôïc 3 vieân phaán. Caùc bieán coá caàn tìm xaùc suaát lieân quan ñeán soá löôïng caùc vieân phaán traéng laáy töø moãi hoäp. Do ñoù ta seõ bieåu dieãn caùc bieán coá qua caùc pheùp toaùn töông öùng. Goïi AK laø bieán coá laáy ñöôïc k vieân phaán traén g töø hoäp thöù nhaát, k = 0,2 , Bi laø bieán coá laáy ñöôïc i vieân phaán traén g töø hoäp thöù hai, i = 0,1 . a) Goïi A laø bieán coá trong 3 vieân phaán laáy töø hai hoäp coù 2 vieân maøu traéng. Ta coù A = A1B1 + A2B0. Roõ raøng caùc bieán coá tham gia vaøo toång laø A1B1 vaø A2B0 xung khaéc, coøn caùc bieán coá tham gia vaøo tích laø A1 vaø B1, A2 vaø B0 ñoäc laäp . Do ñoù P(A) = P(A1) P(B1) + P(A2) P(B0). Caùc xaùc suaát ôû veá phaûi ñöôïc tính baèng ñònh nghóa. 20