intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Hướng dẫn giải bài tập bất đẳng thức Max Min

Chia sẻ: NGUYỄN BÁ CƯỜNG | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST
Báo xấu
654
lượt xem 70
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học môn toán - Giúp bạn củng cố và nâng cao kiến thức cũng như khả năng làm toán cách nhanh và chính xác nhất, giúp các em học sinh nắm bắt được phương pháp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn giải bài tập bất đẳng thức Max Min

  1. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 1.1./ Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng: x2 xy y2 yz z2 zx 0 x y y z z x x2 xy x( x y ) 2 xy 2 xy ( x y) 2 x y x y HD: Ta có: x x x (1)( vì x,y>0) x y x y x y 2( x y ) 2 2 y2 yz y z z2 zx z x Tương tự: (2), (3). Cộng từng vế (1),(2),(3) suy ra: y z 2 z x 2 x2 xy y2 yz z2 zx x y y z z x 0 .Đẳng thức xảy ra khi x = y = z x y y z z x 2 2 2 1 1. 2/. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn ;1 : 2 3 1 x2 2 x3 2x 2 1 m (m R ). 1 HD: Đặt f x 3 1 x2 2 x 3 2x 2 1 , suy ra f x xác định và liên tục trênđoạn ;1 . 2 3x 3x 2 4 x 3 3x 4 f' x x . 1 x2 x3 2 x 2 1 1 x2 x3 2 x 2 1 1 4 3 3x 4 x ;1 ta có x 3x 4 0 0. 2 3 1 x 2 x 3 2 x2 1 Vậy: f' x 0 x 0. Bảng biến thiên: 1 x 0 1 2 f' x || 0 || 1 CÑ 3 3 22 f x 2 4 1 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc ;1 2 3 3 22 4 m hoặc m 1 . 2 2.1/. HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:1
  2. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 2. 2/. HD: 3. 1/ .Cho a,b, c dương và a2+b2+c2=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:2
  3. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất a3 b3 c3 P b2 3 c2 3 a2 3 HD: Ta có: a3 a3 b2 3 a6 3a 2 33 (1) 2 b2 3 2 b2 3 16 64 4 b3 b3 c2 3 c6 3c 2 33 (2) 2 c2 3 2 c2 3 16 64 4 c3 c3 a2 3 c6 3c 2 33 (3) 2 a2 3 2 a2 3 16 64 4 Lấy (1)+(2)+(3) ta được: a 2 b2 c2 9 3 2 P a b 2 c 2 (4) 16 4 Vì a2+b2+c2=3 3 3 Từ (4) P vậy giá trị nhỏ nhất P khi a=b=c=1. 2 2 x3 y 3 16 z 3 3. 2/ . Cho x, y, z 0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 x y z 3 3 3 x y 2 HD: Trước hết ta có: x y (biến đổi tương đương) ... x y x y 0 Đặt x + y + z = a. Khi 4 3 3 x y 64 z 3 a z 64 z 3 3 đó 4 P 3 3 1 t 64t 3 a a z với t = , 0 t 1 ); Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1 . a 2 1 Có f '() 3 64 2 1 f, t'() 0t t t t 0;1 9 64 16 Lập bảng biến thiên, Minf t GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0 t 0;1 81 81 4.1/. ố thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 1 a 2b3 b 2c 3 c 2a 3 HD: a2 2 ab 3 2 ab 3 2 3 2 2 2 4 a a a b a a b( a a 1) a b ab a 2 b3 a b3 b3 3 3 ab 6 3 9 9 9 b2 2 4 c2 2 4 Tương tự: b c bc; c a ca b 2c 3 9 9 c 2a 3 9 9 a2 b2 c2 2 4 7 4 (a b c)2 Do đó (a b c) (a b c ) (ab bc ca) 1 a 2b3 b 2c 3 c 2 a 3 9 9 3 9 3 4. 2/. Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:3
  4. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất HD: 5.1/ Cho ba số thực dương a , b, c thoả mãn: a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 2(a 3 b3 c 3 3abc) 3(a 2 b 2 c 2 2abc) HD: T 2 a3 b3 c3 3abc 3 a2 b2 c2 2abc 3 Ta có: a 3 b3 c3 a b c 3 a b b c c a 1 31 c 1 a 1 b 1 3 ab bc ca abc 2 a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 1 2 ab bc ca Do đó: T 5 6 2 ab bc ca 3abc Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:4
  5. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Đặt: S 2 ab bc ca 3abc . Ta tìm GTLN của S .Ta có: S ab 2 3c 2c a b 2 Nếu 2 3c 0 c thì S 2c a b 3 2 2 Nếu 2 3c 0 c thì S ab 2 3c 2c a b 2c a b ;Suy ra: Chỉ cần xét: 0 c 3 3 2 a b Ta có: S 2c 1 c 2 3c ab 2c 1 c 2 3c ; a b 1 c 2 3c3 c 2 S 4 2 1 20 5 Xét hàm số: f c 3c 3 c 2 trên 0; ;Ta được : f c f S . Dấu “=” xảy ra khi 3 3 9 9 1 5 1 a b c ;Vậy: min T xảy ra khi a b c . 3 3 3 5.2/. Biết tam giác có một góc không nhọn. Đặt , tìm giá trị nhỏ nhất a b b c c a của biểu thức: P abc HD: Không mất tính tổng quát, giả sử: a b c khi đó, do tam giác không nhọn nên a2 b2 c2 2bc hay: a 2bc a b b c c a b c a a b a c b c Ta lại có P= . . (1 )(1 )(1 ) P 2 a b c a b c b a c a c b a b a c b c a a b c a a P 2 2 4 Dùng cosi cho ba số dương ; ; và cho hai số b a c a a b c a c b a (b c ) 2bc 2 bc dương b và c ta có: P 4 33 4 33 Vậy P 4 3 2 bc bc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A … 2 6.1/ Cho a , b, c là các số thực dương thỏa mãn a b2 c 2 5a b c 2ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1 Q a b c 48 3 . a 10 b c 2 1 2 HD: Ta có 5 a b c a b c2 a b c 0 a b c 10. 2 a 10 1 1 2 a 22 ; 33 b c c b 16 3 6 4 1 1 12 12 Q a b c 48 3 a b c 48 a 10 b c a 22 b c 16 3 4 2304 a b c 576 a b c a b c 38 a b c 38 2304 2304 Xét f (t ) t với t 0;10 . f '(t ) 1 2 0 với t 0;10 t 38 t 38 Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:5
  6. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất Do đó hàm số nghịch biến trên nữa khoảng 0;10 , suy ra f ( x ) f (10) 58 . Suy ra giá trị nhỏ nhất của Q bằng 58. khi a=2, b=3, c=5 6.2/. HD: 7. HD: 1 1 1 8. 1/ Chứng minh: x y z 12 với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn 1;3 . x y z Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:6
  7. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 2/ 3 HD:1/ Ta có: 1 t 3 t 1 t 3 0 t2 4t 3 0 t 4. t 3 3 3 1 1 1 Suy ra : x 4; y 4; z 4; Q x y z 3 12 x y z x y z 1 1 1 Q 1 1 1 3 x y z 6 x y z 12 x y z 2 x y z 2/ 9. HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:7
  8. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 10. HD: 11. HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:8
  9. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 12. HD: 13. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 P . x3 y3 z3 x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3 HD: Ta có 1 ; 3 1 ; 1 . x3 y3 xy y z3 yz z 3 x3 zx 2 2 2 3 3 3 Suy ra 3 . x3 y3 z3 xy yz zx Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:9
  10. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 3 3 31 1 1 Suy ra P 3 2 2 2 2 . xy yz zx x xy y y yz z z zx x 2 2 1 1 4 Mặt khác, áp dụng BĐT , với a, b 0 ta có a b a b 2 2 2 1 1 1 1 1 1 P 3 2 2 2 2 2 xy yz zx xy x xy y yz y yz z zx z zx x2 2 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 4 4 4 xy yz zx x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 2 xy x 2 y 2 2 yz y 2 z 2 2 zx z 2 x2 16 16 16 3 3.9 3.9 16. 16. 16. 12. ( x y )2 ( y z)2 ( z x )2 3 ( x y )2 ( y z)2 ( z x )2 (2 x 2 y 2 z)2 4.32 Do đó P 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x y z 1. 36x 2y z 14. Cho ba số thực x, y, z 1;3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P yz xz xy HD: 36x 2y z f (x) ,x 1;3 , y, z là tham sô yz zx xy 36 2y z 36x 2 2y2 z2 36 2.9 9 f '(x) 0 yz zx 2 x y 2 x 2 yz x 2 yz 36 2y z f (x) f (1) g(y), y 1;3 , z là tham sô yz z y Suy ra f (x) đồng biến trên 1;3 nên 36 2 z 36 2y 2 z 2 36 2.9 12 g '(y) 0 y2z z y2 y2z y2z 12 6 z 18 1 18 1 Suy ra g(y) nghịch biến trên 1; 3 g(y) g(3) h(z),z 1;3;h'(z) 0. z z 3 3z2 9 3 18 h(z) nghịch biến trên 1; 3 h(z) h(3) 1 7 ; Vậy P 7 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=1 và y = z 3 = 3; Do đó Min P = 7 15. ; HD: 16. Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:10
  11. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất HD: 17. HD: 18. HD: 19. . Cho x, y , z lµ c¸c sè thùc d- ¬ng tháa m·n x y z 3 . Chøng minh r»ng: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:11
  12. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất x y z y z x z x y 2 xyz (1) 4 yz 4 zx 4 xy 2 2 HD: Ta cã yz zx xy x y z 9 yz zx xy 3 y z z x x y 1 2 (2) yz 4 yz zx 4 zx xy 4 xy y z 2 yz 2 2 Ta cã yz 4 yz yz 2 yz 2 yz yz 2 yz 2 yz 2 yz y z z x x y 1 1 1 18 Do ®ã 2 yz 4 yz zx 4 zx xy 4 xy 2 yz 2 zx 2 xy 6 yz zx xy 18 2 . VËy (2) ®óng (®pcm). 6 3 20. HD: 21. HD:C1: C2: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:12
  13. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất C3: 22. HD: 23. HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:13
  14. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 24. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng 52 a 2 b 2 c 2 2 abc 2 27 a b c HD: Ta có p p a; p b; p c là các số dương 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 1 a ; 1 b ; 1 c ta có 3 3 a b c 1 28 0 1 a 1 b 1 c 1 ab bc ca abc 3 27 27 28 2 2 ab bc ca 2abc 27 2 56 2 a b c a 2 b2 c2 2abc 27 2 Đẳng thức bên trái xảy ra khi a b c 52 3 a 2 b 2 c 2 2 abc 2 27 25. HD: 61. Tìm với x,y dương HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:14
  15. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 26. HD: 27. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 b2 c2 1 . a5 2a3 a b 5 2b 3 b c 5 2c 3 c 2 3 Chứng minh rằng b2 c2 c2 a2 a2 b2 3 HD: Do a, b, c > 0 và a 2 b2 c2 1 nên a, b, c 0;1 2 2 5 3 a a 1 a 2a a 3 3 3 3 2 3 Ta có 2 2 2 a a ;Bất đẳng thức trở thành a a b b c c b c 1 a 3 2 3 Xét hàm số f x x3 x x 0;1 . Ta có: Max f x 0;1 9 2 3 1 f a f b f c ;Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 3 3 28. HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:15
  16. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 29. HD: 30. HD: 3 3 1 1 31. Cho a , b , a, b 0 CMR: a 2 b a b2 2a 2b 4 4 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 HD: Ta có a b a a a b a a b a b 4 4 2 2 2 2 3 1 Tương tự b 2 a a b 4 2 2 1 1 1 Ta sẽ CM: a b 2a 2b (*) ; 2 2 2 1 1 Thật vậy: (*) a2 b2 2ab a b 4ab a b ( a b) 2 0 4 4 1 Dấu “=” xảy ra a b 2 32. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 2 y2 z2 3 y. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 4 8 P . ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 HD: Ta có 2 x 4 y 2z ( x 2 1) ( y 2 4) ( z 2 1) x2 y2 z2 6 3y 6 . Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:16
  17. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất y Suy ra 2 x y 2z 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi x z 1. 2 1 1 8 Chú ý rằng, với hai số dương a, b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có , (*) a2 b2 ( a b) 2 dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b. 1 1 8 8 8 Áp dụng (*) ta được P 2 2 ( x 1) ( y 1) 2 ( z 3) (x 1 y 1) 2 ( z 3) 2 2 2 64 64.4 64.4 1. y 2 ( 2 x y 2 z 10) 2 (6 10) 2 (x 2 z 3) 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 1, y 2, z 1 .Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt khi x 1, y 2, z 1 3 1 1 1 15 33. Cho 3 số a , b, c 0 thỏa a b c . Chứng minh : a b c 2 a b c 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 côsi 9 1 côsi 9 3 15 HD: Ta có: a b c a b c 3 .3 3 . a b c 4a 4b 4c 4 a b c 4 abc 4a b c 2 1 Dấu xãy ra khi a b c 2 2a 2b 2c 34. Cho ba số thực dương a , b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T a b b c c a 2a 2b 2c HD: a , b, c 0, T a b b c c a 2 2 2 Có: T b c a 1 1 1 a b c b c a Đặt : x ;y ;z . Ta có: x, y , z 0 và xyz 1 . a b c 2 2 2 T 1 x2 1 y2 1 z2 G/s: x y z . Từ xyz 1 x 1, và yz 1 . 2 2 2 2 2 4 2 y2 z2 2 1 y2 1 z2 1 y2 1 z2 1 y2 z2 y2 z2 Ta có: 1 y2 z2 1 y2 z2 4 1 4 1 1 y2 z2 y2 z2 1 2 yz y 2 z 2 2 2 2 8 8x 1 y2 1 z2 1 yz x 1 2 2 4 Lại có: 1 x 2 1 x2 2 1 x2 1 x Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:17
  18. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 2 2 2x 2x 2 2x 2x Suy ra: T 2 Ta có: 2 T 2 2 1 x x 1 x 1 1 x x 1 x 1 ; 2 2x T 3 1 3 .Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 hay a b c . x 1 Vậy max T 3 khi a b c . 35. HD: 36. HD: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:18
  19. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất 37. HD: 38. HD:C1: C2: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:19
  20. Hướng dẫn giải câu 6 – Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất,nhỏ nhất C3: 39. HD:C1: C2: Lộc Phú Đa – Việt Trì – Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2