Hư ớ ng dẫn giải câu 6 –Bấ t đẳ ng thức và Giá trịlớn nhất,nhỏnhất
Lộ c Phú Đa – Việt Trì –Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:1
1.1./ Cho các sốthự c dư ơ ng x,y,z . Chứng minh rằng:
0
222
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
HD: Ta có:
22)(2
)(22)( 22 yxyx
x
yx
yx
x
yx
xy
x
yx
xyyxx
yx
xyx
(1)( vì x,y>0)
Tư ơ ng tự :
2
2zy
zy
yzy
(2),
2
2xz
xz
zxz
(3). Cộng từng vế(1),(2),(3) suy ra:
0
222
222
xzzyyx
xz
zxz
zy
yzy
yx
xyx
.Đẳ ng thức xảy ra khi x = y = z
1. 2/. Tìm các giá trịcủa tham số
m
để phư ơ ng trình sau có nghiệm duy nhất thuộ c đoạ n
1;
2
1
:
(
Rm
).
HD:Đặ t
2 3 2
3 1 2 2 1f x x x x
, suy ra
f x
xác đị nh và liên tụ c trênđoạ n
;
11
2
.
'
2
2 3 2 2 3 2
3 3 4 3 3 4
1 2 1 1 2 1
x x x x
f x x
x x x x x x
.
;
11
2
x
ta có
2 3 2
4 3 3 4
3 4 0 0
31 2 1
x
x x
x x x
.
Vậy:
' 0 0f x x
.
Bảng biến thiên:
' || ||
10 1
2
0
1
CÑ
3 3 22
2
4
x
f x
f x
Dựa vào bảng biế n thiên, ta có: Phư ơ ng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc
;
11
2
3 3 22
42
m
hoặc
1m
.
2.1/.
HD:
Hư ớ ng dẫn giải câu 6 –Bấ t đẳ ng thức và Giá trịlớn nhất,nhỏnhất
Lộ c Phú Đa – Việt Trì –Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:2
2. 2/.
HD:
3. 1/ .Cho a,b, c dư ơ ng và a2+b2+c2=3. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức
Hư ớ ng dẫn giải câu 6 –Bấ t đẳ ng thức và Giá trịlớn nhất,nhỏnhất
Lộ c Phú Đa – Việt Trì –Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:3
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
HD: Ta có:
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
a a b a a
b b
(1)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
b b c c c
c c
(2)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
c c a c c
a a
(3)
Lấy(1)+(2)+(3) ta đư ợ c:
2 2 2 2 2 2
9 3
16 4
abc
P a b c
(4)
Vì a2+b2+c2=3
Từ(4)
3
2
P
vậy giá trịnhỏnhất
3
2
P
khi a=b=c=1.
3. 2/ . Cho x, y, z
0
thoảmãn x+y+z > 0. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức
3 3 3
3
16x y z
P
x y z
HD:Trư ớ c hết ta có:
3
3 3
4
x y
x y
(biế n đổ i tư ơ ng đư ơ ng)
2
... 0x y x y
Đặ t x + y + z = a. Khi
đó
3 3
3 3 33
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
với t =
z
a
,
0 1t
); Xét hàm sốf(t) = (1 –t)3+ 64t3với t
0;1
.
Có
2
21
'() 3 64 1 , '() 0 0;1
9
f t t t f t t
Lập bảng biến thiên,
0;1
64
inf 81
t
M t
GTNN của P là
16
81
đạ t đư ợ c khi x = y = 4z > 0
4.1/. Cho 3 số thự c a, b, c dư ơ ng thỏ a mãn a + b + c = 3. Chứ ng minh rằ ng:
2 2 2
3 3 3 1
2 2 2
a b c
a b b c c a
HD:
2 3 3 32
3 3 3 36
2 2 2 2 2 4
( 1)
3 9 9 9
23
a ab ab
a a a b a a b a a a b ab
a b a b b ab
Tư ơ ng tự :
ca
9
4
a
9
2
c
a2c
c
;bc
9
4
c
9
2
b
c2b
b
3
2
3
2
Do đó
2 2 2 2
3 3 3
2 4 7 4 ( )
( ) ( ) ( ) 1
9 9 3 9 3
2 2 2
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
a b b c c a
4. 2/.
Hư ớ ng dẫn giải câu 6 –Bấ t đẳ ng thức và Giá trịlớn nhất,nhỏnhất
Lộ c Phú Đa – Việt Trì –Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:4
HD:
5.1/ Cho ba sốthự c dư ơ ng
, ,abc
thoảmãn:
1abc
. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức:
3 3 3 2 2 2
2( 3 ) 3( 2 )T a b c abc a b c abc
HD:
3 3 3 2 2 2
2 3 3 2T a b c abc a b c abc
Ta có:
3
3 3 3 3a b c a b c a b b c c a
1 3 1 1 1
1 3
c a b
ab bc ca abc
2
2 2 2 2 1 2a b c a b c ab bc ca ab bc ca
Do đó:
5 6 2 3T ab bc ca abc
Hư ớ ng dẫn giải câu 6 –Bấ t đẳ ng thức và Giá trịlớn nhất,nhỏnhất
Lộ c Phú Đa – Việt Trì –Phú Thọ. 2013-05-16 Tr:5
Đặ t:
2 3S ab bc ca abc
. Ta tìm GTLN của
S
.Ta có:
2 3 2S ab c c a b
Nếu
2
2 3 0 3
c c
thì
2S c a b
Nếu
2
2 3 0 3
c c
thì
2 3 2 2S ab c c a b c a b
;Suy ra: Chỉcần xét:
2
03
c
Ta có:
2
2 1 2 3 2 1 2 3 2
a b
S c c c ab c c c
;
1a b c
3
3 2
4
c c
S
Xét hàm số:
3
3 2f c c c
trên
2
0; 3
;Ta đư ợ c :
1 20
3 9
f c f
5
9
S
. Dấ u “=” xả y ra khi
1
3
abc
;Vậy:
5
min 3
T
xảy ra khi
1
3
abc
.
5.2/. Biế t tam giác ABC có mộ t góc không nhọ n. Đặ t AB=c, AC=b; BC=a, tìm giá trị nhỏ nhấ t
củ a biể u thứ c:
abc
accbba
P
HD: Không mấ t tính tổ ng quát, giả sử :
cba
khi đó, do tam giác không nhọ n nên
bccba 2
222
hay:
bca 2
Ta lạ i có P=
)1)(1)(1(.. c
a
b
c
a
b
c
ac
b
cb
a
ba
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
P 2
c
a
b
a
a
cb
a
c
c
a
a
b
b
a
P
422
Dùng cosi cho ba số dư ơ ng
b
a
c
a
a
cb ;;
và cho hai số
dư ơ ng b và c ta có:
3
322
34
)(
34 bc
bcbc
bc
cba
P
Vậ y
234 P
Dấ u bằ ng xả y ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tạ i A
…
6.1/ Cho
, ,abc
là các sốthự c dư ơ ng thỏ a mãn
2 2 2 5 2a b c a b c ab
. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức
3
3 1
48 10
Q a b c a b c
.
HD: Ta có
2 2
21
5 0 10
2
abc ab c abc abc
.
10 1
2 22
3 6
aa
;
31
3 16
4
b c c b
3
1 1 12 12
48 48 22 16
10
3
Q a b c a b c a b c
a b c
4 2304
576 38 38
a b c a b c
a b c a b c
Xét
2304
( ) 38
f t t t
với
0;10t
.
2
2304
'( ) 1 0
38
f t
t
với
0;10t