Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này trình bày chi tiết kết quả cải tỉến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa với mục đích tăng tốc độ hội tụ của phương pháp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kết quả cải tiến sơ đồ chia miền đối với bài toán song điều hòa

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 KÕt qu¶ c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hßa Vò Vinh Quang – Tr−¬ng Hµ H¶i (Khoa C«ng nghÖ Th«ng tin - §H Th¸i Nguyªn) Më ®Çu Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ® ®−îc mét sè t¸c gi¶ trªn thÕ giíi vµ trong n−íc quan t©m. Trªn c¬ së c¸c kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®Ò xuÊt s¬ ®å chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ, c¸c kÕt qu¶ nµy ® ®−îc chøng minh chÆt chÏ b»ng lý thuyÕt vµ kiÓm tra b»ng thùc nghiÖm tÝnh to¸n. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy kÕt qu¶ khi c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña ph−¬ng ph¸p. 1. Ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ ∆2u −c∆u + du  XÐt bµi to¸n  u    ∆u  n trong ®ã Ω ∈ R , ∂Ω lµ biªn Lipschitz, = f , c ≥ 0, x ∈ Ω, = g 0, x ∈ ∂Ω, = g1, x ∈ ∂Ω (1) f ⊂ L2 (Ω) , g 0 , g1 lµ c¸c hµm sè cho tr−íc. Bµi to¸n (1) ®−îc gäi lµ bµi to¸n song ®iÒu hoµ tæng qu¸t. Tuú thuéc vµo c¸c hÖ sè c, d chóng ta xÐt hai d¹ng bµi to¸n c¬ b¶n: Bµi to¸n biªn thø nhÊt: ∆2u −c∆u = f , c ≥ 0, x ∈Ω,   = g0, u x ∈∂Ω,    ∆u x ∈∂Ω. = g1,  (2) ∆2u −c∆u +du = f , c ≥ 0, d ≠ 0,x ∈Ω,   u = g0, x ∈∂Ω,    ∆u = g1, x ∈∂Ω.  Bµi to¸n biªn thø hai: (3) Trªn c¬ së cña ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i ph−¬ng tr×nh elliptic cÊp hai víi t− t−ëng x¸c ®Þnh gi¸ trÞ ®¹o hµm trªn biªn ph©n chia kÕt hîp víi ph−¬ng ph¸p ph©n r bµi to¸n song ®iÒu hoµ vÒ hai bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai, trong [1, 2] ® ®−a ra ph−¬ng ph¸p chia miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ nh− sau: XÐt bµi to¸n (1), chia miÒn Ω = Ω1 ∪ Ω 2 , Ω1 ∩ Ω 2 = ∅ , kÝ hiÖu Γ = ∂Ω1 ∩ ∂Ω 2 , Γ1 = ∂Ω1 \ Γ, Γ 2 = ∂Ω 2 \ Γ , ui lµ nghiÖm trong miÒn Ωi , ϕi = − dui , vi = ∆ui (i = 1, 2) , ξ = ∂v1 ∂u1 Γ, η = ∂ν1 ∂ν1 Γ trong ®ã ν i lµ vect¬ ph¸p tuyÕn ngoµi cña miÒn Ωi, (H×nh 1) Ω1 38 Γ Ω2 Ω1 Γ Ω2 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 NghiÖm ui cña hai bµi to¸n cÇn ph¶i tho¶ mn c¸c ®iÒu kiÖn chuyÓn dÞch qua biªn Γ nh− sau:  u1   ∂u1  ∂ν 1   ∆u1  ∂∆  u1  ∂ν1 = = = = − u2, x ∈ Γ, ∂u2 , x ∈ Γ, ∂ν 2 ∆u2, x ∈ Γ, − ∂∆u2 , x ∈ Γ. ∂∆ν2 (4) NÕu x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gi¸ trÞ ξ , η trªn ®−êng biªn ph©n chia th× hiÓn nhiªn viÖc gi¶i bµi to¸n trong miÒn Ω ®−îc ®−a vÒ viÖc gi¶i hai bµi to¸n trong hai miÒn Ωi (i = 1, 2) . XuÊt ph¸t tõ môc ®Ých x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ ξ , η , viÖc t×m nghiÖm bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ thø hai ®−îc thùc hiÖn b»ng c¸c thuËt to¸n chia miÒn nh− sau: 1.1 Bµi to¸n biªn thø nhÊt (0) B−íc 1: XuÊt ph¸t tõ ξ = 0, ∀k = 0,1, 2,... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n (k ) 1.1 Gi¶i bµi to¸n víi v1  ∆v (k ) −cv (k ) = f , x ∈ Ω1, 1  1  v1(k ) = g1, x ∈ Γ1,    ∂v1(k ) = ξ (k ), x ∈ Γ.  ∂ν1  (5) (k ) 1.2 Gi¶i bµi to¸n víi v2 ∆v2(k ) −cv2(k ) = f , x ∈ Ω2,   v2(k ) = g1, x ∈ Γ2,    v2(k ) = v1(k ), x ∈ Γ.  (6) 1.3 HiÖu chØnh ξ (k +1) = θ1ξ (k ) − (1 − θ1) KÝ hiÖu nghiÖm thu ®−îc sau b−íc lÆp 1 lµ B−íc 2: XuÊt ph¸t tõ η (0) ∂v2(k ) , x ∈ Γ. ∂ν2 v1, v2 (7) . = 0, ∀l = 0,1, 2,... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n 39 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 (ℓ) 2.1 Gi¶i bµi to¸n víi u1  ∆u (ℓ) = v , x ∈ Ω , 1 1  1  (ℓ) = g 0, x ∈ Γ1,  u1  ∂u (ℓ) = η (ℓ), x ∈ Γ.  1  ∂ν1 (8) (ℓ) 2.2 Gi¶i bµi to¸n víi u2 ∆u2(ℓ) = v2, x ∈ Ω2,   (ℓ) = g 0, x ∈ Γ2,  u2   u (ℓ) = u (ℓ), x ∈ Γ. 1  2 (9) 2.3 HiÖu chØnh η(ℓ+1) = θ2η(ℓ) −(1 − θ2) ∂u2(ℓ) , x ∈ Γ. ∂ν2 (10) XÐt s¬ ®å chia miÒn (5)-(10) chóng ta dÔ thÊy r»ng ®iÒu kiÖn liªn tôc cña hµm trong (4) lu«n lu«n tho¶ mn cßn ®iÒu kiÖn liªn tôc cña ®¹o hµm trong (4) sÏ tho¶ mn nÕu c¸c s¬ då lÆp (7) vµ (10) héi tô. Sö dông c¸c kÕt qu¶ khi nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p chia miÒn ®èi víi bµi to¸n elliptic cÊp hai, trong [1,2] ® chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp (7) vµ (10) héi tô. 1.2. Bµi to¸n biªn thø hai (0) (0) B−íc 1: XuÊt ph¸t tõ ϕ1 = ϕ2 = 0, ∀k = 0,1, 2,... thùc hiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n (0) B−íc 1.1: XuÊt ph¸t tõ ξ = 0, ∀l = 0,1, 2,... (ℓ) 1.1.1 Gi¶i bµi to¸n víi v1  ∆ v ℓ − cv (ℓ ) 1  1  v 1( ℓ )    ∂ v ( ℓ) 1  ∂ ν  1 = f + ϕ1(k ), x ∈ Ω 1, = g 1, x ∈ Γ 1, = ξ (ℓ ), x ∈ Γ. (11) (ℓ) 1.1.2 Gi¶i bµi to¸n víi v2 ∆ v 2(ℓ) − cv 2(ℓ)   v 2(ℓ)    v 2(ℓ)  40 = f + ϕ 2(k ), x ∈ Ω 2, = g 1, x ∈ Γ 2, = v 1(ℓ), x ∈ Γ. (12) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 1.1.3 HiÖu chØnh ξ (ℓ+1) = θ1ξ (ℓ) −(1 − θ1) (ℓ) ∂v2(ℓ) , x ∈Γ ∂ν2 . (13) (ℓ) KÝ hiÖu v1 , v2 lµ nghiÖm sau b−íc lÆp 1.1 B−íc 1.2: §Æt η (0) = 0, ∀m = 0,1, 2,... (m ) 1.2.1 Gi¶i bµi to¸n víi u1  ∆ u (m )  1  (m )  u1   ∂ u (m )  1  ∂ ν 1 = v 1(k ), x ∈ Ω 1, = g 0, x ∈ Γ 1, = η (m ), x ∈ Γ. = v 2(k ), x ∈ Ω 2, = g 0, x ∈ Γ 2, = u 1(m ), x ∈ Γ. (14) (m ) 1.2.2 Gi¶i bµi to¸n víi u2 ∆ u 2(m )   (m )  u2   u (m )  2 1.2.3 HiÖu chØnh η(m +1) = θ2η(m) −(1 − θ2) (15) (m ) 2 ∂u , x ∈ Γ. ∂ν2 (16) (k ) (k ) KÝ hiÖu u1 , u2 lµ nghiÖm sau b−íc lÆp 1.2 B−íc 2: HiÖu chØnh ϕ1(k +1) = ϕ1(k ) − τ1(ϕ1(k ) + du1(k )), x ∈ Ω1, ϕ2(k +1) = ϕ2(k ) − τ2(ϕ2(k ) + du2(k )), x ∈ Ω2. (17) XÐt s¬ ®å lÆp (11)-(13) vµ (14)-(16), ®©y chÝnh lµ c¸c s¬ ®å lÆp ®éc lËp gi¶i c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai víi ®iÒu kiÖn biªn Dirichlet b»ng ph−¬ng ph¸p chia miÒn, sù héi tô vµ tham sè lÆp tèi −u ® ®−îc kh¼ng ®Þnh trong [1,2]. c¸c s¬ ®å lÆp (17) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng ϕi(k +1) − ϕi(k ) + (ϕi(k ) + dui(k)) = 0, x ∈ Ωi, (i = 1,2) τi . (18) Trong [3] ® chøng minh c¸c s¬ ®å lÆp héi tô. NhËn xÐt: Khi nghiªn cøu c¸c s¬ ®å lÆp (5)-(10) gi¶i bµi to¸n biªn thø nhÊt vµ s¬ ®å (11)-(17) gi¶i bµi to¸n biªn thø hai, chóng ta nhËn thÊy viÖc thiÕt kÕ c¸c s¬ ®å lÆp trong thuËt to¸n chia 41 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 1(45) Tập 2/N¨m 2008 miÒn gi¶i bµi to¸n song ®iÒu hoµ thùc chÊt lµ viÖc thùc hiÖn thuËt to¸n chia miÒn gi¶i lÇn l−ît c¸c bµi to¸n biªn elliptic cÊp hai trong c¸c miÒn. §iÒu nµy sÏ tËn dông ®−îc c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt cña thuËt to¸n chia miÒn ®èi víi bµi to¸n elliptic cÊp hai ®Ó chøng minh sù héi tô cho thuËt to¸n chia miÒn ®Ò xuÊt ®èi víi bµi to¸n song ®iÒu hoµ. Tuy nhiªn khi thùc hiÖn gi¶i tuÇn tù c¸c bµi to¸n cÊp hai th× khèi l−îng tÝnh to¸n cã thÓ sÏ t¨ng lªn. V× vËy, chóng t«i sÏ ®Ò xuÊt viÖc c¶i tiÕn hai s¬ ®å lÆp trªn víi môc ®Ých t¨ng tèc ®é héi tô cña hai s¬ ®å chia miÒn ® tr×nh bµy. 2. §Ò xuÊt viÖc c¶i tiÕn s¬ ®å chia miÒn 2.1 Bµi to¸n biªn thø nhÊt Φ= §Æt Φ XuÊt ph¸t tõ (0) ∂  ∆u  η    =  ∂ν 1  u Γ  ξ  . (19) η (0)   0  =  (0)  =   , ∀k = 0,1, 2,... ξ   0  tiÕn hµnh gi¶i c¸c bµi to¸n B−íc 1: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω1  ∆v (k ) −cv (k ) = f , x ∈ Ω1, 1  1  v1(k ) = g1, x ∈ Γ1,    ∂v1(k ) = η(k ), x ∈ Γ.  ∂ν1  (20)  ∆u (k ) = v (k ) , x ∈ Ω1, 1  1  u1(k ) = g 0, x ∈ Γ1,    ∂u (k ) 1 = ξ (k ), x ∈ Γ.   ∂ν1 (21) B−íc 2: Gi¶i c¸c bµi to¸n trong miÒn Ω 2 42 ∆v2(k ) −cv2(k ) = f , x ∈ Ω2,   v2(k ) = g1, x ∈ Γ2,    v2(k ) = v1(k ), x ∈ Γ.  (22) ∆u2(k ) = v2(k ) , x ∈ Ω2,   u2(k ) = g 0, x ∈ Γ2,    u2(k ) = u1(k ), x ∈ Γ.  (23)