Luận văn: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

§„i h(cid:228)c Th‚i Nguy“n Tr›Œng §„i h(cid:228)c s› ph„m ------------------------------

B(cid:239)i Thanh §o(cid:181)n

MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor

Lu¸n v¤n th„c s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Th‚i nguy“n - 2010

§„i h(cid:228)c Th‚i Nguy“n Tr›Œng §„i h(cid:228)c s› ph„m ------------------------------

B(cid:239)i Thanh §o(cid:181)n

MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor

Chuy“n ng(cid:181)nh: §„i sŁ v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t sŁ. M• sŁ: 60.46.05

Lu¸n v¤n th„c s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

Ng›Œi h›(cid:237)ng d(cid:201)n khoa h(cid:228)c: TS. Nguy(cid:212)n Th(cid:222) Dung

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Th‚i nguy“n - 2010

M(cid:244)c l(cid:244)c

Trang

M(cid:244)c l(cid:244)c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

LŒi c¶m ‹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mº ﬁ˙u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Ch›‹ng 1. Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. M«ﬁun Artin v(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Chi(cid:210)u Noether cæa m«ﬁun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. H(cid:181)m t(cid:246) mº rØng v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) xo(cid:190)n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.5. D•y ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ s'u cæa m«ﬁun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ch›‹ng 2. D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1. D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ch›‹ng 3. MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa

m«ﬁun Tor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.1. §Ø rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. K(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

K(cid:213)t lu¸n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

LŒi c¶m ‹n

Lu¸n v¤n n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh sau 2 n¤m h(cid:228)c t¸p t„i Tr›Œng §„i h(cid:228)c

s› ph„m - §„i h(cid:228)c Th‚i Nguy“n v(cid:181) d›(cid:237)i sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n t¸n t(cid:215)nh s'u s(cid:190)c cæa

TS. Nguy(cid:212)n Th(cid:222) Dung. Nh'n d(cid:222)p n(cid:181)y t«i xin ch'n th(cid:181)nh b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n

s'u s(cid:190)c ﬁ(cid:213)n C« v(cid:181) gia ﬁ(cid:215)nh.

T«i xin b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n t(cid:237)i Tr›Œng §„i h(cid:228)c s› ph„m, Vi(cid:214)n to‚n h(cid:228)c Vi(cid:214)t

nam, GS.TSKH Nguy(cid:212)n Tø C›Œng, PGS.TS Nguy(cid:212)n QuŁc Th(cid:190)ng, PGS. TS

L“ Th(cid:222) Thanh Nh(cid:181)n v(cid:181) c‚c th˙y c« gi‚o cæa tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m Th‚i

Nguy“n ﬁ• tham gia gi¶ng d„y v(cid:181) t„o ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tŁt nh˚t cho t«i trong qu‚

tr(cid:215)nh thøc hi(cid:214)n b¶n lu¸n v¤n n(cid:181)y.

CuŁi c(cid:239)ng t«i xin b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n t(cid:237)i ng›Œi th'n, b„n b(cid:204) v(cid:181) t˚t c¶ nh(cid:247)ng

ng›Œi ﬁ• gi(cid:243)p ﬁ(cid:236), ﬁØng vi“n t«i trong suŁt qu‚ tr(cid:215)nh h(cid:228)c t¸p.

Th‚i Nguy“n, th‚ng 8 n¤m 2010

H(cid:228)c vi“n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

B(cid:239)i Thanh §o(cid:181)n

Mº ﬁ˙u

Cho (R, m) l(cid:181) v(cid:181)nh giao ho‚n, ﬁ(cid:222)a ph›‹ng, Noether v(cid:237)i iﬁ“an cøc ﬁ„i duy

nh˚t m, I l(cid:181) iﬁ“an cæa R, M l(cid:181) R-m«ﬁun h(cid:247)u h„n sinh v(cid:181) A l(cid:181) R-m«ﬁun

Artin. §(cid:211) nghi“n cłu c˚u tr(cid:243)c cæa c‚c m«ﬁun Noether v(cid:181) m«ﬁun Artin, ng›Œi

1 . . . pαk

ta th›Œng quan t'm ﬁ(cid:213)n c‚c t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ li“n k(cid:213)t v(cid:181) iﬁ“an nguy“n tŁ

g(cid:190)n k(cid:213)t t›‹ng łng cæa ch(cid:243)ng. Xu˚t ph‚t tı mØt k(cid:213)t qu¶ trong v(cid:181)nh c‚c sŁ nguy“n Z: n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i iﬁ“an I = mZ, trong ﬁª m = pα1 l(cid:181) sø ph'n t(cid:221)ch ti“u chu¨n cæa sŁ nguy“n m th(cid:215) t¸p AssZ Z/I nZ = {p1Z, . . . , pkZ} l(cid:181) (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh v(cid:237)i m(cid:228)i n, mØt c‚ch tø nhi“n ng›Œi ta ﬁ• ﬁ˘t ra c'u hÆi r»ng li(cid:214)u t(cid:221)nh ch˚t n(cid:181)y c(cid:223)n ﬁ(cid:243)ng khi thay Z bºi mØt v(cid:181)nh giao ho‚n Noether tuœ (cid:253) hay

kh«ng. §• cª nhi(cid:210)u nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c nghi“n cłu v(cid:210) v˚n ﬁ(cid:210) n(cid:181)y m(cid:181) ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh l(cid:181)

M/I nM ∼= TorR

0 (R/I n, M ) v(cid:181) (0 :A I n) ∼= Ext0

R(R/I n, A).

R(R/I n, A) v(cid:181) TorR

k(cid:213)t qu¶ cæa M. Brodmann v(cid:181)o n¤m 1979, trong ﬁª «ng ﬁ• chłng minh r»ng c‚c t¸p AssR(M/I nM ) v(cid:181) AssR(I nM/I n+1M ) kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o n khi n (cid:29) 0. Ti(cid:213)p theo, v(cid:181)o n¤m 1986, R. Y. Sharp ﬁ• chłng minh k(cid:213)t qu¶ ﬁŁi ng(cid:201)u cho m«ﬁun Artin, ﬁª l(cid:181) c‚c t¸p AttR(0 :A I n) v(cid:181) AttR(0 :A I n+1/0 :A I n) l(cid:181) ﬁØc l¸p v(cid:237)i n khi n (cid:29) 0. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ta lu«n cª c‚c ﬁ…ng c˚u

V(cid:215) th(cid:213), mØt c‚ch tø nhi“n khi hÆi r»ng li(cid:214)u c‚c k(cid:213)t qu¶ tr“n cª th(cid:211) mº rØng cho c‚c m«ﬁun Exti i (R/I n, M ), v(cid:237)i i b˚t kœ hay kh«ng. C'u tr¶ lŒi kh…ng ﬁ(cid:222)nh cho c'u hÆi tr“n ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi L. Melkersson v(cid:181)

P. Schenzel v(cid:181)o n¤m 1993. H(cid:228) ﬁ• chłng minh ﬁ›(cid:238)c c‚c t¸p

AssR

i (R/I n, M )(cid:1) v(cid:181) AttR

R(R/I n, A)(cid:1), n = 1, 2, . . .

(cid:0)TorR (cid:0)Exti

l(cid:181) (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh khi n ﬁæ l(cid:237)n. §(cid:229)ng thŒi, h(cid:228) c(cid:242)ng ﬁ˘t ra c'u hÆi khi n(cid:181)o th(cid:215) hai t¸p

AttR

i (R/I n, A)(cid:1) v(cid:181) AssR

R(R/I n, M )(cid:1), n = 1, 2, . . .

(cid:0)TorR (cid:0)Exti

l(cid:181) kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o n khi n ﬁæ l(cid:237)n. Tuy nhi“n, c'u tr¶ lŒi cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

c'u hÆi tr“n l„i nh(cid:215)n chung l(cid:181) phæ ﬁ(cid:222)nh, th¸m ch(cid:221) c(cid:223)n t(cid:229)n t„i c‚c t¸p

AttR

AssR

i (R/I n, A)(cid:1) v(cid:181) (cid:83)

R(R/I n, M )(cid:1) l(cid:181) v« h„n (V(cid:221) d(cid:244) cæa (cid:83) n M. Katzman [6, H(cid:214) qu¶ 1.3]). V(cid:215) v¸y, c'u hÆi ti(cid:213)p theo ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘t ra l(cid:181) t(cid:215)m

(cid:0)TorR (cid:0)Exti

ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) c‚c t¸p

AttR

AssR

i (R/I n, A)(cid:1) v(cid:181)

R(R/I n, M )(cid:1)

n(cid:62)0

(cid:91) (cid:91) (cid:0)TorR (cid:0)Exti

h(cid:247)u h„n.

I(M ) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i (cid:54) r th(cid:215) t¸p

MØt ph˙n c'u tr¶ lŒi cho c'u hÆi tr“n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi M. Brodmann v(cid:181) L.T. Nhan n¤m 2008. º ﬁª, b»ng vi(cid:214)c ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m M -d•y ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) ﬁØ s'u v(cid:237)i chi(cid:210)u > s cæa M trong I depth>s(I, M ), h(cid:228) ﬁ• chłng minh r»ng n(cid:213)u dim Supp H i

{p ∈

AssR

R(R/I n, M )(cid:1)| dim(R/p) ≥ s}

n(cid:62)0

(cid:91) (cid:0)Extt

l(cid:181) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i t (cid:54) r, trong ﬁª r = depth>s(I, M ).

Ti(cid:213)p theo ﬁª, v(cid:181)o n¤m 2010, ph˙n c(cid:223)n l„i cæa c'u hÆi tr“n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c tr¶ lŒi

bºi L. T. Nhan v(cid:181) N. T. Dung [13]. Th«ng qua kh‚i ni(cid:214)m d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy

(AttR A)≥s = {p ∈ AttR A | dim(R/p) ≥ s}

v(cid:237)i chi(cid:210)u > s, n(cid:213)u k(cid:253) hi(cid:214)u

th(cid:215) h(cid:228) ﬁ• chłng minh r»ng c‚c t¸p

AttR(TorR

(cid:62)s

n∈N

(cid:16) (cid:91) (cid:17) t (R/I n, A))

AttR(TorR

t (R/(xn1

1 , . . . , xnk

≥s

n1,...,nk∈N

(cid:16) (cid:91) (cid:17) k )R, A

l(cid:181) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i t (cid:54) r, v(cid:237)i n ﬁæ l(cid:237)n v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:228)i bØ sŁ tø nhi“n n1, . . . , nk, trong ﬁª r = Width>s(I, A) l(cid:181) ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s cæa A trong I v(cid:181) (x1, . . . , xk) l(cid:181) h(cid:214) sinh cæa I.

M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch cæa lu¸n v¤n n(cid:181)y l(cid:181) chłng minh mØt c‚ch chi ti(cid:213)t c‚c k(cid:213)t qu¶

v(cid:210) t(cid:221)nh h(cid:247)u h„n cæa t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor trong [13]:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

’’A finitenees result for attached primes of certain Tor-modules’’.

Lu¸n v¤n g(cid:229)m 3 ch›‹ng. Ch›‹ng 1 l(cid:181) c‚c ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222) trong ﬁª

tr(cid:215)nh b(cid:181)y l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis, bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p, chi(cid:210)u Noether cæa

m«ﬁun Artin c(cid:239)ng v(cid:237)i mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa h(cid:181)m t(cid:246) mº rØng, h(cid:181)m t(cid:246) xo(cid:190)n,

d•y ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ s'u cæa m«ﬁun th›Œng ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng trong c‚c ch›‹ng

ti(cid:213)p theo. Ch›‹ng 2 tr(cid:215)nh b(cid:181)y chi ti(cid:213)t v(cid:210) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, t(cid:221)nh ch˚t cæa M -d•y ﬁŁi

ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) ﬁ˘c tr›ng ﬁØ d(cid:181)i tŁi ﬁ„i cæa d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i

chi(cid:210)u > s cæa mØt m«ﬁun Artin th«ng qua chi(cid:210)u Krull cæa m«ﬁun con xo(cid:190)n

cæa nª. Kh‚i ni(cid:214)m ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) t(cid:221)nh ch˚t h(cid:247)u h„n cæa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong ch›‹ng 3.

Ch›‹ng 1

Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Trong to(cid:181)n bØ ch›‹ng n(cid:181)y, ta lu«n k(cid:253) hi(cid:214)u R l(cid:181) v(cid:181)nh giao ho‚n, Noether, A

l(cid:181) R-m«ﬁun Arrtin v(cid:181) M l(cid:181) R-m«ﬁun Noether. Ch›‹ng n(cid:181)y d(cid:181)nh ﬁ(cid:211) nh(cid:190)c l„i

mØt sŁ ki(cid:213)n thłc ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng trong c‚c ch›‹ng ti(cid:213)p theo: C˚u tr(cid:243)c cæa m«ﬁun

Artin, ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis, bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p, chi(cid:210)u Noether, m«ﬁun mº rØng v(cid:181)

m«ﬁun xo(cid:190)n, d•y ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ s'u,. . .

1.1 M«ﬁun Artin v(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis

Γm(A) cæa A ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi

Cho m l(cid:181) mØt iﬁ“an cøc ﬁ„i cæa v(cid:181)nh R. Nh(cid:190)c l„i r»ng m«ﬁun con m-xo(cid:190)n

Γm(A) =

(0 :A mn).

n≥0

(cid:91)

Ta nh(cid:190)c l„i mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa m«ﬁun Artin ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi R. Y. Sharp

th›Œng ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng trong c‚c chłng minh v(cid:210) sau.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1.1. [18, M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4, B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.6]

(i) Gi¶ s(cid:246) A l(cid:181) mØt R-m«ﬁun Artin kh‚c kh«ng. Khi ﬁª ch(cid:216) cª h(cid:247)u h„n iﬁ“an

A = Γm1(A) ⊕ . . . ⊕ Γmr(A) v(cid:181) Supp A = {m1, . . . , mr}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

cøc ﬁ„i m cæa R sao cho Γm(A) (cid:54)= 0. N(cid:213)u c‚c iﬁ“an cøc ﬁ„i ph'n bi(cid:214)t ﬁª l(cid:181) m1, . . . , mr th(cid:215)

Amj

∼= Γmj(A), v(cid:237)i m(cid:228)i j = 1, . . . , r.

(ii) V(cid:237)i m(cid:231)i j ∈ {1, . . . , r}, n(cid:213)u s ∈ R \ mj, th(cid:215) ph—p nh'n bºi s cho ta mØt tø ﬁ…ng c˚u cæa Γmj(A). Do ﬁª Γmj(A) cª c˚u tr(cid:243)c tø nhi“n cæa mØt Rmj -m«ﬁun v(cid:181) v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c n(cid:181)y, mØt t¸p con cæa Γmj(A) l(cid:181) mØt R-m«ﬁun con n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u nª l(cid:181) Rmj -m«ﬁun con. §˘c bi(cid:214)t

Cho (R, m) l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. Nh(cid:190)c l„i r»ng ﬁ˙y ﬁæ theo t« p« m-adic

cæa R, k(cid:253) hi(cid:214)u bºi (cid:98)R, l(cid:181) t¸p c‚c l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa c‚c d•y Cauchy theo quan h(cid:214) t›‹ng ﬁ›‹ng x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi c‹ sº l'n c¸n cæa ph˙n t(cid:246) 0 l(cid:181) c‚c iﬁ“an mt, t = 0, 1, 2, . . . (cid:98)R ﬁ›(cid:238)c trang b(cid:222) hai ph—p to‚n hai ng«i: ph—p cØng, ph—p nh'n c‚c d•y Cauchy v(cid:181) c(cid:239)ng v(cid:237)i hai ph—p to‚n n(cid:181)y, (cid:98)R l(cid:181)m th(cid:181)nh mØt v(cid:181)nh. M(cid:231)i ph˙n t(cid:246) r ∈ R cª th(cid:211) ﬁ(cid:229)ng nh˚t v(cid:237)i l(cid:237)p t›‹ng ﬁ›‹ng cæa d•y Cauchy

m(cid:181) t˚t c¶ c‚c ph˙n t(cid:246) trong d•y ﬁ(cid:210)u l(cid:181) r.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1.2. [18, B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.11, H(cid:214) qu¶ 1.12] Cho A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin kh‚c

kh«ng tr“n v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng (R, m). Khi ﬁª, A cª c˚u tr(cid:243)c tø nhi“n cæa

(cid:98)R-m«ﬁun, trong ﬁª (cid:98)R l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ˙y ﬁæ theo t«p« m-adic cæa R v(cid:181) m(cid:228)i t¸p con cæa A l(cid:181) R-m«ﬁun con cæa A n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u nª l(cid:181) (cid:98)R-m«ﬁun con cæa A. Do ﬁª, A cª c˚u tr(cid:243)c tø nhi“n cæa (cid:98)R-m«ﬁun Artin.

Do cª c˚u tr(cid:243)c ﬁ˘c bi(cid:214)t nh› v¸y n“n ng›Œi ta cª th(cid:211) chuy(cid:211)n vi(cid:214)c nghi“n

cłu m«ﬁun Artin tr“n mØt v(cid:181)nh giao ho‚n b˚t k(cid:215) v(cid:210) vi(cid:214)c nghi“n cłu tr“n v(cid:181)nh

ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. H‹n n(cid:247)a, vi(cid:214)c nghi“n c˚u tr(cid:243)c cæa m«ﬁun Artin trong mØt sŁ

tr›Œng h(cid:238)p cª th(cid:211) chuy(cid:211)n v(cid:210) nghi“n cłu tr“n m«ﬁun Noether nhŒ l(cid:253) thuy(cid:213)t

ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis. D›(cid:237)i ﬁ'y l(cid:181) mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis hay ﬁ›(cid:238)c s(cid:246)

d(cid:244)ng trong lu¸n v¤n.

µM : M −→ DD(M ) = HomR(HomR(M, E), E)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Cho (R, m) l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng, ﬁ˙y ﬁæ. §˘t E = E(R/m) l(cid:181) bao nØi x„ cæa tr›Œng th˘ng d› R/m. K(cid:221) hi(cid:214)u D((cid:3)) = HomR((cid:3), E) tı ph„m tr(cid:239) CR c‚c R-m«ﬁun v(cid:181) R-ﬁ(cid:229)ng c˚u v(cid:181)o ch(cid:221)nh nª. V(cid:237)i m(cid:231)i R-m«ﬁun M , ﬁ˘t

l(cid:181) R-ﬁ(cid:229)ng c˚u tø nhi“n cho bºi µM (x)(f ) = f (x), v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ M, v(cid:181) f ∈ Hom(M, E). Khi ﬁª ta cª k(cid:213)t qu¶ sau (xem [18, §(cid:222)nh l(cid:253) 2.1]).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1.3. (i) R-m«ﬁun E l(cid:181) Artin. V(cid:237)i m(cid:231)i f ∈ HomR(E, E), t(cid:229)n t„i duy nh˚t af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E.

(ii) N(cid:213)u N l(cid:181) R-m«ﬁun Noether, th(cid:215) D(N ) l(cid:181) Artin.

(iii) N(cid:213)u A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin, th(cid:215) D(A) l(cid:181) Noether.

(iv) Ann M = Ann D(M ), v(cid:181) n(cid:213)u M l(cid:181) R-m«ﬁun sao cho (cid:96)R(M ) < ∞, th(cid:215) (cid:96)R(D(M )) = (cid:96)R(M ).

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.1.4. Cho N l(cid:181) R-m«ﬁun Noether, A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin v(cid:181) j ∈ N.

Khi ﬁª

D(I j−1N/I jN ) ∼= (0 :D(N ) I j)/(0 :D(N ) I j−1);

(i) D(N/I jN ) ∼= (0 :D(N ) I j) v(cid:181)

D((0 :A I j)/(0 :A I j−1)) ∼= I j−1D(A)/I jD(A).

(ii) D(0 :A I j) ∼= D(A)/I jD(A) v(cid:181)

1.2 Bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p

L(cid:253) thuy(cid:213)t bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi I. G. Macdonald [9] ﬁ›(cid:238)c xem

nh› l(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u v(cid:237)i l(cid:253) thuy(cid:213)t ph'n t(cid:221)ch nguy“n s‹ quen bi(cid:213)t cho c‚c m«ﬁun

Noether.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.1. (i) MØt R-m«ﬁun M ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) thł c˚p n(cid:213)u M (cid:54)= 0 v(cid:181)

n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ R, ph—p nh'n bºi x tr“n M l(cid:181) to(cid:181)n c˚u ho˘c lu(cid:252) linh. Trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y Rad(AnnR M ) l(cid:181) iﬁ“an nguy“n tŁ, ch…ng h„n l(cid:181) p, v(cid:181) ta g(cid:228)i M l(cid:181) p-thł c˚p.

M = N1 + . . . + Nn th(cid:181)nh t(cid:230)ng h(cid:247)u h„n c‚c m«ﬁun con pi-thł c˚p Ni. N(cid:213)u M = 0 ho˘c M cª mØt bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p th(cid:215) ta nªi M l(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n ﬁ›(cid:238)c. Bi(cid:211)u

(ii) Cho M l(cid:181) R-m«ﬁun. MØt bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p cæa M l(cid:181) mØt ph'n t(cid:221)ch

di(cid:212)n thł c˚p n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) tŁi thi(cid:211)u n(cid:213)u c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ pi l(cid:181) ﬁ«i mØt kh‚c nhau v(cid:181) kh«ng cª h„ng t(cid:246) Ni n(cid:181)o l(cid:181) thıa, v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , n.

D(cid:212) th˚y r»ng m(cid:228)i bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p cæa M ﬁ(cid:210)u cª th(cid:211) ﬁ›a ﬁ›(cid:238)c v(cid:210) d„ng

tŁi thi(cid:211)u. Khi ﬁª t¸p h(cid:238)p {p1, . . . , pn} l(cid:181) ﬁØc l¸p v(cid:237)i vi(cid:214)c ch(cid:228)n bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p tŁi thi(cid:211)u cæa M v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t¸p c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa M , k(cid:221)

hi(cid:214)u bºi AttR M . C‚c h„ng t(cid:246) Ni, i = 1, . . . , n, ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) c‚c th(cid:181)nh ph˙n thł c˚p cæa M .

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.2. T¸p AttR A ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o A m(cid:181) kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p tŁi thi(cid:211)u cæa A. H‹n n(cid:247)a ta cª c‚c kh…ng ﬁ(cid:222)nh sau l(cid:181) t›‹ng

ﬁ›‹ng v(cid:237)i p l(cid:181) iﬁ“an nguy“n tŁ.

(i) p ∈ AttR A.

(ii) A cª m«ﬁun th›‹ng l(cid:181) p-thł c˚p.

(iii) A cª m«ﬁun th›‹ng Q sao cho Rad(Q) = p.

(iv) A cª m«ﬁun th›‹ng Q sao cho p l(cid:181) ph˙n t(cid:246) tŁi thi(cid:211)u trong t¸p c‚c iﬁ“an

nguy“n tŁ chła AnnR Q.

(v) A cª m«ﬁun th›‹ng Q sao cho AnnR Q = p.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.3. i) Cho M l(cid:181) mØt R-m«ﬁun bi(cid:211)u di(cid:212)n ﬁ›(cid:238)c. Khi ﬁª M (cid:54)= 0

khi v(cid:181) ch(cid:216) khi AttR M (cid:54)= ∅. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y t¸p c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ tŁi thi(cid:211)u cæa R chła Ann(M ) ch(cid:221)nh l(cid:181) t¸p c‚c ph˙n t(cid:246) tŁi thi(cid:211)u cæa AttR M.

(ii) Cho 0 −→ M (cid:48) −→ M −→ M (cid:48)(cid:48) −→ 0 l(cid:181) d•y kh(cid:237)p c‚c R-m«ﬁun bi(cid:211)u

AttR M (cid:48)(cid:48) ⊆ AttR M ⊆ AttR M (cid:48) ∪ AttR M (cid:48)(cid:48).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

di(cid:212)n ﬁ›(cid:238)c. Khi ﬁª ta cª

Cho A l(cid:181) mØt R-m«ﬁun Artin. Khi ﬁª, A l(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n ﬁ›(cid:238)c v(cid:181) t¸p AttR A l(cid:181) h(cid:247)u h„n (xem [9, §(cid:222)nh l(cid:253) 5.3]). H‹n n(cid:247)a, theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1.2, A cª c˚u

tr(cid:243)c tø nhi“n cæa (cid:98)R-m«ﬁun v(cid:181) v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c n(cid:181)y m(cid:231)i t¸p con cæa A l(cid:181) R-m«ﬁun con n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u nª l(cid:181) (cid:98)R-m«ﬁun con. §i(cid:210)u n(cid:181)y cho th˚y c‚c d(cid:181)n m«ﬁun con cæa A x—t nh› R-m«ﬁun v(cid:181) (cid:98)R-m«ﬁun l(cid:181) nh› nhau. Tı ﬁª ta cª c‚c k(cid:213)t qu¶ sau (xem [18, H(cid:214) qu¶ 1.12, H(cid:214) qu¶ 2.7]).

(cid:98)R A}.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4. C‚c m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau l(cid:181) ﬁ(cid:243)ng.

(i) AttR A = {(cid:98)p ∩ R : (cid:98)p ∈ Att (ii) N(cid:213)u R l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng, ﬁ˙y ﬁæ, th(cid:215) ta cª

a) N(cid:213)u N l(cid:181) R-m«ﬁun Noether, th(cid:215) AttR(D(N )) = AssR(N ). b) N(cid:213)u A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin, th(cid:215) AssR(D(A)) = AttR(A).

1.3 Chi(cid:210)u Noether cæa m«ﬁun Artin

Nh(cid:190)c l„i r»ng mØt d•y c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn, trong ﬁª pi (cid:54)= pi+1 ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) d•y nguy“n tŁ cª ﬁØ d(cid:181)i n. Khi ﬁª chi(cid:210)u Krull cæa v(cid:181)nh R, k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) dim R l(cid:181) c¸n tr“n cæa ﬁØ d(cid:181)i cæa c‚c d•y iﬁ“an nguy“n tŁ

n sao cho cª mØt d•y nguy“n tŁ cª ﬁØ d(cid:181)i n trong Supp M . V(cid:215) M l(cid:181) m«ﬁun

trong R. Chi(cid:210)u Krull cæa m«ﬁun M , k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) dim M l(cid:181) c¸n tr“n cæa c‚c sŁ

dim(R/p).

dim M = dim R/ AnnR M = sup

p∈Ass M

h(cid:247)u h„n sinh n“n ta cª Supp M = V (AnnR M ), do ﬁª

Kh‚i ni(cid:214)m ﬁŁi ng(cid:201)u v(cid:237)i chi(cid:210)u Krull cho mØt m«ﬁun Artin ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi

R. N. Roberts [16] v(cid:181) sau ﬁª D. Kirby [8] ﬁ(cid:230)i t“n th(cid:181)nh chi(cid:210)u Noether ﬁ(cid:211)

tr‚nh nh˙m l(cid:201)n v(cid:237)i chi(cid:210)u Krull ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cho c‚c m«ﬁun Noether.

C‚c thu¸t ng(cid:247) v(cid:210) chi(cid:210)u Noether ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng trong lu¸n v¤n l(cid:181) theo [8].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.1. Chi(cid:210)u Noether cæa m«ﬁun Artin A, k(cid:253) hi(cid:214)u bºi N-dimR A, ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a b»ng quy n„p nh› sau:

Khi A = 0, ﬁ˘t N-dimR A = −1. V(cid:237)i A (cid:54)= 0, cho mØt sŁ nguy“n d ≥ 0, ta ﬁ˘t N-dimR A = d n(cid:213)u N-dimR A < d l(cid:181) sai v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i d•y t¤ng A0 ⊆ A1 ⊆ . . . c‚c m«ﬁun con cæa A, t(cid:229)n t„i sŁ nguy“n n0 sao cho N-dimR(An+1/An) < d, v(cid:237)i m(cid:228)i n > n0.

Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n, ta th˚y r»ng m(cid:228)i R-m«ﬁun kh‚c kh«ng M l(cid:181) Noether

khi v(cid:181) ch(cid:216) khi N-dimR M = 0. Ta ﬁ• bi(cid:213)t r»ng ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:231)i m«ﬁun h(cid:247)u h„n sinh M th(cid:215) dim M = 0 n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u M (cid:54)= 0 v(cid:181) (cid:96)R(M ) < ∞. Tı §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3.1 ta cª mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t sau v(cid:210) chi(cid:210)u Noether.

0 −→ A(cid:48) −→ A −→ A(cid:48)(cid:48) −→ 0

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2. (i) N-dimR A = 0 n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u A (cid:54)= 0 v(cid:181) (cid:96)R(A) < ∞. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y AttR A = {m}. H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u

N-dimR A = max{N-dimR A(cid:48), N-dimR A(cid:48)(cid:48)}.

l(cid:181) d•y kh(cid:237)p c‚c R-m«ﬁun Artin th(cid:215)

(ii) N-dimR A (cid:54) dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A} v(cid:181) t(cid:229)n t„i m«ﬁun Artin A sao cho N-dimR A < dim R/ AnnR A.

(cid:98)R A = dim (cid:98)R/ Ann

(cid:98)R A = max{dim (cid:98)R/(cid:98)p : (cid:98)p ∈ Att

(cid:98)R A}.

(iii) N-dim

(iv) Cho (R, m) l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:181) A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin. Khi ﬁª A cª

N-dimR A = N-dim

(cid:98)R A.

c˚u tr(cid:243)c tø nhi“n cæa (cid:98)R-m«ﬁun Artin v(cid:181) ta cª

(cid:98)R A.

Ch(cid:221)nh v(cid:215) v¸y, ta cª th(cid:211) vi(cid:213)t N-dim A thay cho N-dimR A ho˘c N-dim

§• cª nhi(cid:210)u t‚c gi¶ nghi“n cłu c˚u tr(cid:243)c cæa c‚c m«ﬁun Artin A th«ng qua

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

chi(cid:210)u Noether cæa ch(cid:243)ng v(cid:181) mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa chi(cid:210)u Noether cho m«ﬁun

Artin ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u v(cid:237)i mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa chi(cid:210)u Krull cho m«ﬁun

h(cid:247)u h„n sinh ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra (xem [4], [8], [16],...). §˘c bi(cid:214)t l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ sau

ﬁ›(cid:238)c R. N. Roberts [16, §(cid:222)nh l(cid:253) 6] chłng minh cho tr›Œng h(cid:238)p v(cid:181)nh tøa ﬁ(cid:222)a

ph›‹ng v(cid:181) sau ﬁª ﬁ›(cid:238)c Nguy(cid:212)n Tø C›Œng v(cid:181) L“ Thanh Nh(cid:181)n [4, §(cid:222)nh l(cid:253) 2.6]

chłng minh cho tr›Œng h(cid:238)p v(cid:181)nh giao ho‚n b˚t kœ.

A) l(cid:181) mØt ﬁa thłc v(cid:237)i h(cid:214) sŁ h(cid:247)u tß khi n (cid:29) 0 v(cid:181)

N-dim A = deg((cid:96)(0 :A J n

A))

= inf{t : ∃x1, . . . , xt ∈ JA sao cho (cid:96)(0 :A (x1, . . . , xt)R) < ∞},

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.3.3. (cid:96)R(0 :A J n

m∈Supp A

m. trong ﬁª JA = (cid:84)

1.4 H(cid:181)m t(cid:246) mº rØng v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) xo(cid:190)n

Tor th›Œng ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng trong lu¸n v¤n (xem [10]).

M(cid:244)c n(cid:181)y d(cid:181)nh ﬁ(cid:211) nh(cid:190)c l„i kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t cæa m«ﬁun Ext v(cid:181)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.4.1. Cho M, N l(cid:181) c‚c R-m«ﬁun v(cid:181) n ≥ 0 l(cid:181) mØt sŁ tø nhi“n.

R ta l˚y mØt gi¶i x„ ¶nh cæa M

(cid:15)−→ M −→ 0.

. . . −→ P2

u2−→ P1

u1−→ P0

M«ﬁun d(cid:201)n xu˚t ph¶i thł n cæa h(cid:181)m t(cid:246) Hom(−, N ) łng v(cid:237)i M ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) m«ﬁun mº rØng thł n cæa M v(cid:181) N v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) Extn R(M, N ). C(cid:244) th(cid:211), ﬁ(cid:211) x'y døng Extn

u∗ 2−→ Hom(P2, N ) −→ . . .

u∗ 1−→ Hom(P1, N )

0 −→ Hom(P0, N )

T‚c ﬁØng h(cid:181)m t(cid:246) Hom(−, N ) v(cid:181)o d•y kh(cid:237)p tr“n ta cª ﬁŁi phłc

R(M, N ) = Ker u∗

n+1/ Im u∗

n l(cid:181) m«ﬁun ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u thł n cæa ﬁŁi phłc tr“n (m«ﬁun n(cid:181)y kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o vi(cid:214)c ch(cid:228)n gi¶i x„ ¶nh cæa

M ).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Khi ﬁª Extn

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.4.2. Cho M, N l(cid:181) c‚c R-m«ﬁun v(cid:181) n ≥ 0 l(cid:181) mØt sŁ tø nhi“n.

n ta l˚y mØt d¶i x„ ¶nh cæa M

(cid:15)−→ M −→ 0.

. . . −→ P2

v2−→ P1

v1−→ P0

M«ﬁun d(cid:201)n xu˚t tr‚i thł n cæa h(cid:181)m t(cid:246) − ⊗ N łng v(cid:237)i M ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) m«ﬁun xo(cid:190)n thł n cæa M v(cid:181) N v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) TorR n (M, N ). C(cid:244) th(cid:211), ﬁ(cid:211) x'y døng TorR

. . . −→ P2 ⊗ N

v∗ 2−→ P1 ⊗ N

v∗ 1−→ P0 ⊗ N −→ 0.

n+1 l(cid:181) m«ﬁun ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u thł n cæa

n/ Im v∗

n (M, N ) = Ker v∗

T‚c ﬁØng h(cid:181)m t(cid:246) − ⊗ N v(cid:181)o d•y kh(cid:237)p tr“n ta cª phłc

Khi ﬁª TorR phłc tr“n (m«ﬁun n(cid:181)y kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o vi(cid:214)c ch(cid:228)n gi¶i x„ ¶nh cæa M ).

Sau ﬁ'y l(cid:181) mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t c‹ sº cæa c‚c m«ﬁun Ext v(cid:181) Tor th›Œng ﬁ›(cid:238)c

0 (M, N ) ∼= M ⊗N .

R(M, N ) ∼= Hom(M, N ) v(cid:181) TorR

n (M, N ) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i n ≥ 1.

R(M, N (cid:48)(cid:48)) −→ Extn+1

d(cid:239)ng trong lu¸n v¤n n(cid:181)y.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4.3. (a) Ext0 (b) N(cid:213)u M ho˘c N l(cid:181) x„ ¶nh th(cid:215) TorR (c) N(cid:213)u M l(cid:181) x„ ¶nh ho˘c N l(cid:181) nØi x„ th(cid:215) Extn R(M, N ) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i n ≥ 1. (d) N(cid:213)u 0 −→ N (cid:48) −→ N −→ N (cid:48)(cid:48) −→ 0 l(cid:181) d•y kh(cid:237)p ng(cid:190)n th(cid:215) t(cid:229)n t„i c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nŁi Extn R (M, N (cid:48)) v(cid:237)i m(cid:231)i n ≥ 0 sao cho ta

0 −→ Hom(M, N (cid:48)) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N (cid:48)(cid:48)) −→ Ext1

R(M, N (cid:48))

−→ Ext1

R(M, N ) −→ Ext1

R(M, N (cid:48)(cid:48)) −→ Ext2

R(M, N (cid:48)) −→ . . .

R(M (cid:48), N ) −→ Extn+1

cª d•y kh(cid:237)p d(cid:181)i

(e) N(cid:213)u 0 −→ M (cid:48) −→ M −→ M (cid:48)(cid:48) −→ 0 l(cid:181) d•y kh(cid:237)p ng(cid:190)n th(cid:215) t(cid:229)n t„i c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nŁi Extn R (M (cid:48)(cid:48), N ) v(cid:237)i m(cid:231)i n ≥ 0 sao cho ta

0 −→ Hom(M (cid:48)(cid:48), N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M (cid:48), N ) −→ Ext1

R(M (cid:48)(cid:48), N )

−→ Ext1

R(M, N ) −→ Ext1

R(M (cid:48), N ) −→ Ext2

R(M (cid:48)(cid:48), N ) −→ . . .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

cª d•y kh(cid:237)p d(cid:181)i

n (M, N (cid:48)(cid:48)) −→ TorR

(g) N(cid:213)u 0 −→ N (cid:48) −→ N −→ N (cid:48)(cid:48) −→ 0 l(cid:181) d•y kh(cid:237)p ng(cid:190)n th(cid:215) t(cid:229)n t„i c‚c ﬁ(cid:229)ng c˚u nŁi TorR n−1(M, N (cid:48)) v(cid:237)i m(cid:231)i n ≥ 0 sao cho ta

. . . −→ TorR

n (M, N ) −→ TorR

n (M, N (cid:48)(cid:48))

−→ TorR

n−1(M, N (cid:48)(cid:48))

. . . −→ TorR

n (M, N (cid:48)) −→ TorR n−1(M, N ) −→ TorR n−1(M, N (cid:48)) −→ TorR 1 (M, N (cid:48)(cid:48)) −→ (M ⊗ N (cid:48)) −→ (M ⊗ N ) −→ (M ⊗ N (cid:48)(cid:48)) −→ 0.

R(M, N ) v(cid:181) TorR

n (M, N ) l(cid:181)

cª d•y kh(cid:237)p d(cid:181)i

H(cid:214) qu¶ 1.4.4. N(cid:213)u M, N h(cid:247)u h„n sinh th(cid:215) Extn h(cid:247)u h„n sinh v(cid:237)i m(cid:228)i n.

K(cid:213)t qu¶ d›(cid:237)i ﬁ'y cho ta t(cid:221)nh ch˚t giao ho‚n gi(cid:247)a m«ﬁun Ext, Tor v(cid:237)i h(cid:181)m

t(cid:246) ﬁ(cid:222)a ph›‹ng hªa v(cid:181) sø t›‹ng ﬁ›‹ng gi(cid:247)a hai h(cid:181)m t(cid:246) Ext v(cid:181) Tor tr“n v(cid:181)nh

ﬁ(cid:222)a ph›‹ng ﬁ˙y ﬁæ.

S−1(Extn

R(M, N )) ∼= Extn

S−1R(S−1M, S−1N ),

S−1(TorR

(S−1M, S−1N ),

n (M, N )) ∼= TorS−1R

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4.5. (i) N(cid:213)u S l(cid:181) t¸p ﬁªng nh'n cæa R th(cid:215) ta cª c‚c ﬁ…ng c˚u

(Extn

(Mp, Np),

R(M, N ))p

∼= Extn Rp

(TorR

∼= TorRp

n (M, N ))p

n (Mp, Np)

trong ﬁª S−1 l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:222)a ph›‹ng hªa. §˘c bi(cid:214)t,

v(cid:237)i m(cid:228)i iﬁ“an nguy“n tŁ p cæa R.

( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A)) ∼= Tor (cid:98)R

i ( (cid:98)R/I (cid:98)R, A),

Exti (cid:98)R

(ii) Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R. Khi ﬁª

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

v(cid:237)i m(cid:228)i sŁ nguy“n i ≥ 0.

1.5 D•y ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ s'u cæa m«ﬁun

D•y ch(cid:221)nh quy l(cid:181) mØt trong nh(cid:247)ng d•y c‹ b¶n cæa ﬁ„i sŁ giao ho‚n m(cid:181)

th«ng qua ﬁª ng›Œi ta cª th(cid:211) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a kh‚i ni(cid:214)m ﬁØ s'u - mØt b˚t bi(cid:213)n r˚t

quan tr(cid:228)ng ﬁ(cid:211) nghi“n cłu c˚u tr(cid:243)c cæa m«ﬁun (xem [10]).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.5.1. Cho R l(cid:181) v(cid:181)nh giao ho‚n Noether v(cid:181) M l(cid:181) R-m«ﬁun kh‚c

0. MØt ph˙n t(cid:246) 0 (cid:54)= a ∈ R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ph˙n t(cid:246) M - ch(cid:221)nh quy n(cid:213)u M (cid:54)= aM

v(cid:181) a kh«ng l(cid:181) ›(cid:237)c cæa 0 trong M . D•y c‚c ph˙n t(cid:246) (a1, . . . , an) ∈ R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) M - d•y ch(cid:221)nh quy n(cid:213)u

(a) M/(a1, . . . , an)M (cid:54)= 0. (b) ai l(cid:181) ph˙n t(cid:246) M/(a1, . . . , ai−1)M -ch(cid:221)nh quy, v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , n. D•y c‚c ph˙n t(cid:246) (a1, . . . , an) ∈ R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) M - d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o

n(cid:213)u nª ch(cid:216) thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (b) trong ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n.

M trong I ﬁ(cid:210)u cª th(cid:211) mº rØng th(cid:181)nh d•y ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i trong I, v(cid:181) c‚c

Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R sao cho M (cid:54)= IM . Khi ﬁª m(cid:231)i d•y ch(cid:221)nh quy cæa

d•y ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i cæa M trong I cª chung ﬁØ d(cid:181)i. §Ø d(cid:181)i chung n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c

g(cid:228)i l(cid:181) ﬁØ s'u cæa M trong I v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) depth(I, M ). N(cid:213)u M = IM

th(cid:215) ta quy ›(cid:237)c depth(I, M ) = ∞.

Ch(cid:243) (cid:253) 1.5.2. (i) Gi¶ s(cid:246) M l(cid:181) h(cid:247)u h„n sinh. Khi ﬁª (a1, . . . , an) ∈ R l(cid:181) M -d•y ch(cid:221)nh quy khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ai /∈ p, ∀p ∈ AssR M/(a1, . . . , ai−1)M.

(ii) N(cid:213)u R l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:237)i iﬁ“an cøc ﬁ„i m th(cid:215) theo b(cid:230) ﬁ(cid:210) Nakayama

m(cid:228)i d•y (a1, . . . , an) ∈ m ﬁ(cid:210)u thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n M/(a1, . . . , an)M (cid:54)= 0, do ﬁª nª l(cid:181) M -d•y ch(cid:221)nh quy khi v(cid:181) ch(cid:216) khi nª thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (b) trong

ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y, ﬁØ s'u cæa M trong m g(cid:228)i l(cid:181) ﬁØ s'u

n ) c(cid:242)ng l(cid:181)

1 , . . . , atn

cæa M v(cid:181) k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) depth M.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(iii) N(cid:213)u (a1, . . . , an) l(cid:181) M -d•y ch(cid:221)nh quy trong I th(cid:215) (at1 M -d•y ch(cid:221)nh quy trong I v(cid:237)i m(cid:228)i sŁ nguy“n d›‹ng t1, . . . , tn.

Ti(cid:213)p theo ta ﬁ›a ra mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa depth(I, M ) hay ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng trong

lu¸n v¤n. §(cid:222)nh l(cid:221) sau ch(cid:216) ra quan h(cid:214) gi(cid:247)a ﬁØ s'u cæa m«ﬁun v(cid:181) chi(cid:210)u cæa nª.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.5.3. Cho (R, m) l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng Noether v(cid:181) M l(cid:181) R-m«ﬁun h(cid:247)u h„n sinh. Khi ﬁª ta cª depth(M ) (cid:54) dim(M ).

Ta ﬁ• bi(cid:213)t r»ng v(cid:237)i I l(cid:181) iﬁ“an cæa R th(cid:215) m«ﬁun ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng

I(M ) cæa M łng v(cid:237)i iﬁ“an I ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi

H i

I(M ) = Ri(ΓI(M )),

thł i H i

trong ﬁª ΓI(M ) l(cid:181) m«ﬁun con I-xo(cid:190)n cæa M . M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y cho ta ﬁ˘c tr›ng cæa ﬁØ s'u qua t(cid:221)nh kh«ng tri(cid:214)t ti“u cæa m«ﬁun Ext v(cid:181) m«ﬁun ﬁŁi ﬁ(cid:229)ng

ﬁi(cid:210)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5.4. Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R.

depth(I, M ) = inf{i | Exti

R(R/I, M ) (cid:54)= 0} = inf{i | H i

I(R/I, M ) (cid:54)= 0}.

(i) Ta cª c‚c ﬁ…ng thłc sau

AssR(Extt

R(R/I, M )) = AssR(H t

I(M )).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(ii) Gi¶ s(cid:246) depth(I, M ) = t. Khi ﬁª

Ch›‹ng 2

D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

Trong to(cid:181)n bØ ch›‹ng n(cid:181)y, ta v(cid:201)n gi¶ thi(cid:213)t (R, m) l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng, I l(cid:181)

iﬁ“an cæa R v(cid:181) A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin v(cid:237)i chi(cid:210)u Noether N-dimR A = d. Kh‚i ni(cid:214)m A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi L. T. Nhan v(cid:181)

N. V. Hoang trong [14] nh› l(cid:181) mØt sø mº rØng cæa kh‚i ni(cid:214)m d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh

quy ﬁ›a ra bºi A. Ooishi [15] v(cid:181) th«ng qua kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y h(cid:228) ﬁ• chłng minh

mØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Artin.

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, kh‚i ni(cid:214)m A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s c(cid:242)ng ﬁ›(cid:238)c ti(cid:213)p t(cid:244)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) ﬁ˘c tr›ng cho chi(cid:210)u Krull cæa c‚c m«ﬁun TorR i (R/I, A) cæa A.

2.1 D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy

Kh‚i ni(cid:214)m d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy cho mØt m«ﬁun tuœ (cid:253) ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi

A. Ooishi [15], º ﬁª «ng ﬁ• ﬁ›a ra mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n cæa d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh

quy khi m«ﬁun l(cid:181) Artin. C‚c kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t n(cid:181)y theo mØt ngh(cid:220)a n(cid:181)o

ﬁª ﬁŁi ng(cid:201)u v(cid:237)i c‚c kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t cæa d•y ch(cid:221)nh quy cho m«ﬁun h(cid:247)u

h„n sinh tr“n v(cid:181)nh Noether.

x1, . . . , xr trong R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy cæa M (hay M -d•y ﬁŁi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.1. Cho M l(cid:181) mØt R-m«ﬁun tuœ (cid:253). MØt d•y c‚c ph˙n t(cid:246)

ch(cid:221)nh quy) n(cid:213)u tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau.

(i) (0 :M (x1, . . . , xr)R) (cid:54)= 0.

(ii) xi(0 :M (x1, . . . , xi−1)R) = (0 :M (x1, . . . , xi−1)R), v(cid:237)i 1 (cid:54) i (cid:54) r. §˘c bi(cid:214)t, ph˙n t(cid:246) x ∈ R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ph˙n t(cid:246) M -ﬁŁi ch(cid:221)nh quy n(cid:213)u 0 :M x (cid:54)= 0 v(cid:181) xM = M.

Cho A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin v(cid:181) I l(cid:181) mØt iﬁ“an cæa R sao cho (0 :A I) (cid:54)= 0. Khi ﬁª ﬁØ d(cid:181)i cæa m(cid:231)i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy trong I l(cid:181) h(cid:247)u h„n v(cid:181) hai d•y

ﬁŁi ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i trong I cª chung ﬁØ d(cid:181)i. V(cid:215) th(cid:213) ta cª ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a sau.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.2. §Ø rØng cæa A trong I, k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) WidthI A (ho˘c Width(I, A) ), l(cid:181) ﬁØ d(cid:181)i cæa mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i trong I. §˘c

bi(cid:214)t, n(cid:213)u I = m th(cid:215) ta g(cid:228)i Widthm A l(cid:181) ﬁØ rØng cæa A trong m v(cid:181) k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) Width A.

Ch(cid:243) (cid:253) 2.1.3. (i) §Łi v(cid:237)i m«ﬁun Artin A kh‚c kh«ng tr“n v(cid:181)nh giao ho‚n R,

n(cid:213)u c‚c ph˙n t(cid:246) x1, . . . , xr ∈ m, th(cid:215) theo t(cid:221)nh ch˚t cæa m«ﬁun Artin ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (0 :A (x1, . . . , xr)R) (cid:54)= 0 trong §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.1 lu«n ﬁ›(cid:238)c tho¶ m•n.

(ii) N(cid:213)u x ∈ m l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy th(cid:215) ta cª c«ng thłc v(cid:210) chi(cid:210)u

Width(A) (cid:54) N-dim A.

Noether N-dim(0 :A xR) = N-dim A − 1. Do ﬁª, m(cid:231)i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy l(cid:181) mØt ph˙n h(cid:214) tham sŁ cæa A v(cid:181) v(cid:215) th(cid:213)

(iii) MØt d•y c‚c ph˙n t(cid:246) (x1, . . . , xr) ∈ R l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u xi /∈ p, ∀p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , r.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1.4. Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R. Khi ﬁª c‚c m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau l(cid:181) t›‹ng

ﬁ›‹ng:

(1) T(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy trong I.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(2) A ⊗R R/I = 0.

C‚c k(cid:213)t qu¶ sau ﬁ'y cho th˚y ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:231)i m«ﬁun Artin A, sø t(cid:229)n t„i cæa

mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy cª li“n quan ch˘t chˇ ﬁ(cid:213)n c‚c m«ﬁun con xo(cid:190)n cæa

ch(cid:243)ng.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1.5. Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R v(cid:181) (x1, . . . , xn) l(cid:181) mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy trong I. Khi ﬁª

i (R/I, A) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i i < n. n (R/I, A) ∼= 0 :A (x1, . . . , xn) ⊗R R/I.

(1) TorR (2) TorR

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.6. Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R v(cid:181) A l(cid:181) R-m«ﬁun Artin. C‚c m(cid:214)nh ﬁ(cid:210)

sau l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng:

i (R/I, A) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i i < n.

(1) TorR

(2) T(cid:229)n t„i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy (x1, . . . , xn) trong I.

Gi¶ s(cid:246) I l(cid:181) iﬁ“an cæa R sao cho (0 :A I) (cid:54)= 0. Tı c‚c k(cid:213)t qu¶ tr“n ta cª ngay t(cid:221)nh ch˚t l(cid:181) ﬁØ rØng cæa A trong I lu«n h(cid:247)u h„n v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh b»ng c«ng

WidthI(A) = inf{n ≥ 0 | TorR

n (R/I, A) (cid:54)= 0}.

thłc

2.2 D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

Cho I l(cid:181) iﬁ“an cæa R v(cid:181) s ≥ −1 l(cid:181) mØt sŁ nguy“n. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta nh(cid:190)c l„i

kh‚i ni(cid:214)m A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra trong [14].

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.2.1. [14, §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.4], mØt d•y c‚c ph˙n t(cid:246) (x1, . . . , xk) trong m ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s n(cid:213)u xi /∈ p v(cid:237)i m(cid:228)i iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m•n dim(R/p) > s, v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , k.

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > −1 ch(cid:221)nh l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

quy ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi A. Ooishi [15].

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.2. Gi¶ s(cid:246) x l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. Khi ﬁª dim(A/xA) (cid:54) s.

A/xA = (A1 + · · · + At)/xA1 + · · · + xAt

∼= (A1 + · · · + Ai−1)/(xA1 + · · · + xAi−1) ∩ (Ai + · · · + At).

Chłng minh. Cho A = A1 + · · · + At l(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p tŁi thi(cid:211)u cæa A, trong ﬁª Ai l(cid:181) pi-thł c˚p. Theo gi¶ thi(cid:213)t x l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s n“n x /∈ pi v(cid:237)i m(cid:228)i i tho¶ m•n dim(R/pi) > s. Kh«ng m˚t t(cid:221)nh t(cid:230)ng qu‚t, ta cª th(cid:211) ﬁ‚nh sŁ l„i sao cho c‚c m«ﬁun con thł c˚p A1, . . . , Ai−1 thÆa m•n dim(R/pk) (cid:54) s v(cid:181) Ai, . . . , At thÆa m•n dim(R/pj) > s, v(cid:237)i m(cid:228)i k = 1, . . . , i − 1 v(cid:181) j = i, . . . , t. Khi ﬁª xAj = Aj v(cid:237)i m(cid:228)i j = i, . . . , t. V(cid:215) th(cid:213) ta cª ﬁ…ng c˚u sau

Suy ra dim(A/xA) (cid:54) s.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.3. Gi¶ s(cid:246) r»ng dim(A/IA) (cid:54) s. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I.

I(I(A/B)) = I(A/B) = A/B, do ﬁª

I 2(A/B) = A/B, . . . , I n(A/B) = A/B (cid:54)= 0,

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) t(cid:229)n t„i p ∈ AttR A sao cho I ⊆ p v(cid:181) dim(R/p) > s. V(cid:215) p ∈ AttR A, n“n theo §(cid:222)nh l(cid:221) 1.2.2 t(cid:229)n t„i m«ﬁun th›‹ng A/B (cid:54)= 0 cæa A l(cid:181) p-thł c˚p. Do A/B l(cid:181) p-thł c˚p v(cid:181) p l(cid:181) iﬁ“an h(cid:247)u h„n sinh n“n theo §(cid:222)nh l(cid:221) 1.2.2 ph¶i t(cid:229)n t„i sŁ nguy“n n sao cho pn(A/B) = 0. V(cid:215) I ⊆ p, n“n suy ra I n(A/B) = 0. Nh›ng l„i do A/B (cid:54)= 0 v(cid:181) I n(A/B) = 0, n“n ta ph¶i cª I(A/B) (cid:54)= A/B, v(cid:215) n(cid:213)u ng›(cid:238)c l„i I(A/B) = A/B th(cid:215)

v« l(cid:253). V¸y suy ra A (cid:54)= IA + B. Do ﬁª m«ﬁun th›‹ng A/(B + IA)

dim(A/(B + IA)) = dim(R/p) > s. §i(cid:210)u n(cid:181)y d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n

dim(A/IA) ≥ dim(A/(B + IA) > s,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

cæa A/B c(cid:242)ng kh‚c 0, n“n c(cid:242)ng l(cid:181) p-thł c˚p. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2 ta cª

m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t. V(cid:215) v¸y I (cid:54)⊆ p v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR A tho¶ m•n dim(R/p) > s. Do ﬁª t(cid:229)n t„i x ∈ I sao cho x /∈ p v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR A thÆa m•n dim(R/p) > s. Suy ra x l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

trong I.

(cid:98)R D(A), N-dim A = dim

(cid:98)R A = Ass

Noether. Ch…ng h„n, Att

Nh› ﬁ• bi(cid:213)t, n(cid:213)u (cid:98)R l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng ﬁ˙y ﬁæ th(cid:215) ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis cho ta mØt t›‹ng ﬁ›‹ng gi(cid:247)a ph„m tr(cid:239) c‚c m«ﬁun Artin v(cid:181) ph„m tr(cid:239) c‚c m«ﬁun (cid:98)R D(A) v(cid:181) (cid:98)R D(A). Tuy nhi“n, n(cid:213)u R kh«ng l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ˙y ﬁæ th(cid:215) vi(cid:214)c WidthR A = depth chłng minh ﬁ(cid:223)i hÆi ph¶i h(cid:213)t słc c¨n th¸n. K(cid:213)t qu¶ sau ﬁ'y, ﬁ• ﬁ›(cid:238)c chłng

minh trong [14, B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.5] m(cid:181) k(cid:252) thu¸t ch(cid:221)nh l(cid:181) chuy(cid:211)n l“n v(cid:181)nh ﬁ˙y ﬁæ, sau

ﬁª s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis v(cid:181) ﬁ(cid:222)a ph›‹ng ho‚ l(cid:181) b(cid:230) ﬁ(cid:210) cª t(cid:221)nh ch˚t k(cid:252) thu¸t

cho vi(cid:214)c chłng minh c‚c k(cid:213)t qu¶ ti(cid:213)p theo cæa ch›‹ng.

(cid:98)p v(cid:237)i i = 1, . . . , k.

(D(A))

(cid:98)p ∈ Ass

(cid:98)p/(x1, . . . , xj−1)(D(A))

(cid:98)R (cid:98)p

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.4. MØt d•y (x1, . . . , xk) c‚c ph˙n t(cid:246) cæa m l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u (x1, . . . , xk) l(cid:181) D(A) (cid:98)p-d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:98)p ∈ Var(Ann (cid:98)R A) tho¶ m•n dim(R/(cid:98)p ∩ R) > s, trong ﬁª xi l(cid:181) ¶nh cæa xi trong (cid:98)R

Chłng minh. Cho (x1, . . . , xk) l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. Gi¶ (cid:98)R A) tho¶ m•n dim(R/(cid:98)p ∩ R) > s sao s(cid:246) r»ng t(cid:229)n t„i (cid:98)p ∈ Var(Ann (cid:98)p. Khi ﬁª, cho (x1, . . . , xk) kh«ng l(cid:181) d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o cæa (D(A)) theo §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.5.1 t(cid:229)n t„i j ∈ {1, . . . , k} sao cho xj ∈ (cid:98)q (cid:98)R (cid:98)p v(cid:237)i (cid:98)q (cid:98)R (cid:98)p). Ch(cid:243) (cid:253) r»ng theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.1.4, ta cª

(D(A))

∼=

(cid:98)p/((x1, . . . , xj−1)D(A)) (cid:98)p

(cid:16) (cid:17)

D(A)/(x1, . . . , xj−1)D(A) (cid:17)

(cid:98)p (∗)

∼=

D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R)

(cid:98)p

(cid:16)

(cid:98)p-m«ﬁun h(cid:247)u h„n sinh. V(cid:215) th(cid:213) (cid:98)q ∈ Ass

(cid:98)R

(cid:16) (cid:17)

D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) (cid:98)R(0 :A (x1, . . . , xj−1)R). Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4 ta cª

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

l(cid:181) (cid:98)R v(cid:181) v(cid:215) v¸y xj ∈ (cid:98)q ∈ Att

xj ∈ (cid:98)q ∩ R ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) . Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ˆq ⊆ ˆp cho n“n dim(R/(cid:98)q ∩ R) ≥ dim(R/(cid:98)p ∩ R) > s. §i(cid:210)u n(cid:181)y m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t (x1, . . . , xk) l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s.

(cid:98)p, v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:98)p ∈ Var(Ann (cid:98)R A) tho¶ m•n dim(R/(cid:98)p ∩ R) > s. Gi¶ s(cid:246) r»ng (x1, . . . , xk) kh«ng l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. Theo §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.1 ph¶i t(cid:229)n

Ng›(cid:238)c l„i, cho (x1, . . . , xk) l(cid:181) d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o cæa (D(A))

D(0 :A (x1, . . . , xj−1)R)

(cid:98)R

(cid:16)

t„i ch(cid:216) sŁ j sao cho xj ∈ p v(cid:237)i p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) thÆa m•n (cid:98)R(0 :A (x1, . . . , xj−1)R) dim(R/p) > s. Tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4, t(cid:229)n t„i (cid:98)q ∈ Att (cid:17) sao cho (cid:98)q ∩ R = p. Suy ra (cid:98)q ∈ Ass (theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4). L„i theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.1.4 ta cª ﬁ…ng c˚u (*) nh› º tr“n, ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y d(cid:201)n

ﬁ(cid:213)n

(D(A))

xj ∈ (cid:98)q (cid:98)R

(cid:98)q ∈ Ass

(cid:98)q/(x1, . . . , xj−1)(D(A)) (cid:98)q

(cid:98)R (cid:98)q

(cid:16) (cid:17)

Do ﬁª theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a th(cid:215) x1, . . . , xk kh«ng l(cid:181) d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o cæa (cid:98)q v(cid:237)i dim(R/(cid:98)q ∩ R) = dim(R/p) > s, ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m'u thu(cid:201)n, (D(A))

v(cid:215) v¸y ta cª ﬁi(cid:210)u ph¶i chłng minh.

K(cid:213)t qu¶ ti(cid:213)p theo l(cid:181) sø mº rØng cæa [15, M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.6], [15, §(cid:222)nh l(cid:253) 3.9]

v(cid:237)i k(cid:252) thu¸t ch(cid:221)nh ﬁ(cid:211) chłng minh l(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng k(cid:213)t qu¶ cæa B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.4 v(cid:181) t(cid:221)nh

ch˚t δ-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u cæa h(cid:181)m t(cid:246) xo(cid:190)n Tor, t(cid:221)nh ch˚t chi(cid:210)u Krull cæa d•y

kh(cid:237)p c‚c m«ﬁun cØng v(cid:237)i mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ li“n k(cid:213)t cæa

m«ﬁun mº rØng Ext v(cid:181) t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun xo(cid:190)n Tor

tr“n v(cid:181)nh ﬁ(cid:222)a ph›‹ng ﬁ˙y ﬁæ.

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.5. Cho n ≥ 0 l(cid:181) mØt sŁ nguy“n. C‚c m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng:

i (R/I, A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < n.

(i) dim(TorR

(ii) T(cid:229)n t„i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª ﬁØ d(cid:181)i n.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chłng minh. (i)⇒(ii). Ta chłng minh b»ng quy n„p theo n.

0 (R/I, A)) (cid:54) s.

TorR ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I.

Cho n = 1. Khi ﬁª dim(TorR Tı ﬁ…ng c˚u 0 (R/I, A) ∼= A/IA n“n dim(A/IA) (cid:54) s. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.3 t(cid:229)n t„i

Cho n > 1 v(cid:181) gi¶ s(cid:246) r»ng k(cid:213)t qu¶ ﬁ• ﬁ(cid:243)ng cho tr›Œng h(cid:238)p n − 1. Khi ﬁª

0 −→ 0 :A x1 −→ A x1−→ x1A −→ 0 0 −→ x1A −→ A −→ A/x1A −→ 0,

t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) x1 ∈ I l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.3. Tı hai d•y kh(cid:237)p

TorR

i (R/I, A);

TorR

i (R/I, 0 :A x1) −→ TorR i (R/I, x1A) −→ TorR

i (R/I, A)

−→ TorR

i+1(R/I, x1A) −→ TorR i+1(R/I, A/x1A) −→ TorR i (R/I, A/x1A).

‚p d(cid:244)ng t(cid:221)nh ch˚t δ-h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:229)ng ﬁi(cid:210)u cæa h(cid:181)m t(cid:246) Tor ta cª c‚c d•y kh(cid:237)p sau

(cid:98)R(TorR

k (R/I, A)), ta cª p ⊇ AnnR(TorR

V(cid:215) x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s n“n theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.2 ta cª dim(A/x1A) (cid:54) s. Do ﬁª dim(TorR i (R/I, A/x1A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i. V(cid:215) th(cid:213) tı d•y kh(cid:237)p thł hai ta cª dim(TorR i (R/I, x1A)) (cid:54) s, ‚p d(cid:244)ng k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y v(cid:181)o d•y kh(cid:237)p thł nh˚t v(cid:181) tı gi¶ thi(cid:213)t (i) ta cª dim(TorR i (R/I, 0 :A x1)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < n−1. Theo gi¶ thi(cid:213)t quy n„p, ph¶i t(cid:229)n t„i d•y c‚c ph˙n t(cid:246) x2, . . . , xn l(cid:181) 0 :A x1-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª ﬁØ d(cid:181)i n − 1. V(cid:215) v¸y x1, . . . , xn l(cid:181) mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª ﬁØ d(cid:181)i n.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(ii) ⇒(i). Cho x1, . . . , xn l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I. Ta c˙n chłng minh r»ng dim(TorR i (R/I, A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < n. Gi¶ s(cid:246) t(cid:229)n t„i k < n sao cho dim(TorR k (R/I, A)) > s. Khi ﬁª, theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2, t(cid:229)n t„i c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t p ∈ AttR(TorR k (R/I, A)) sao cho dim(R/p) > s. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4, t(cid:229)n t„i (cid:98)p ∈ Att k (R/I, A)) sao cho (cid:98)p ∩ R = p. V(cid:215) p ∈ AttR(TorR k (R/I, A)) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.3. Do ﬁª I (cid:98)R ⊆ (cid:98)p. V(cid:215) dim(R/((cid:98)p ∩ R)) = dim(R/p) > s v(cid:181) x1, . . . , xn l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I, n“n theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.4 ta cª

(cid:98)p-d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o, trong ﬁª xi l(cid:181) ¶nh cæa xi trong

x1, . . . , xn l(cid:181) D(A) (cid:98)R

(cid:98)p. V(cid:215) v¸y, theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5.4, ta cª

( (cid:98)R

(cid:98)p/I (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p) = 0

Exti (cid:98)R (cid:98)p

( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A)) = Var(Ann

( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A)))

v(cid:237)i m(cid:228)i i < n. Do ﬁª, theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4.5

(cid:98)R Exti (cid:98)R

= Var(Ann

i (R/I, A)))

(cid:98)R(Exti (cid:98)R (cid:98)R(Tor (cid:98)R i ( (cid:98)R/I (cid:98)R, A))) (cid:98)R(TorR

k (R/I, A)), ﬁi(cid:210)u

(cid:98)p /∈ Supp

(cid:98)R(TorR i (R/IR, A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < n.

v(cid:237)i m(cid:228)i i < n. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.3 ta cª (cid:98)p /∈ Att n(cid:181)y v« l(cid:253). V(cid:215) v¸y, dim(TorR

Nh(cid:190)c l„i r»ng ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:231)i R-m«ﬁun h(cid:247)u h„n sinh M ta x—t mØt t(cid:221)nh

(M/pM )p = Mp/pMp (cid:54)= 0.

ch˚t c‹ b¶n sau: Gi¶ s(cid:246) p l(cid:181) iﬁ“an nguy“n tŁ cæa R chła AnnR M . Khi ﬁª p ∈ SuppR M v(cid:181) do ﬁª Mp (cid:54)= 0. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) Nakyama ta suy ra

Do ﬁª p ∈ Supp(M/pM ), ngh(cid:220)a l(cid:181) p ⊇ AnnR(M/pM ). V(cid:215) v¸y ta lu«n cª t(cid:221)nh ch˚t AnnR(M/pM ) = p, v(cid:237)i m(cid:228)i iﬁ“an nguy“n tŁ chła AnnR M . MØt c'u hÆi tø nhi“n ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘t ra l(cid:181) li(cid:214)u cª mØt t(cid:221)nh ch˚t t›‹ng tø nh› v¸y cho

V (AnnR A) l(cid:181) t¸p c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ cæa R chła AnnR A th(cid:215) li(cid:214)u r»ng cª ﬁ…ng thłc AnnR(0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A) hay kh«ng. C'u tr¶ lŒi cho c'u hÆi n(cid:181)y nh(cid:215)n chung kh«ng ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ Var(AnnR A), (xem [4, V(cid:221) d(cid:244) 4.3]), v(cid:181) l(cid:237)p m«ﬁun tho¶ m•n t(cid:221)nh ch˚t tr“n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t (∗) hay

m(cid:228)i m«ﬁun Artin tr“n v(cid:181)nh giao ho‚n b˚t kœ hay kh«ng, ngh(cid:220)a l(cid:181) n(cid:213)u k(cid:253) hi(cid:214)u

t(cid:221)nh ch˚t linh ho‚ t(cid:246). B(cid:230) ﬁ(cid:210) sau cho ta t(cid:221)nh ch˚t linh ho‚ t(cid:246) cæa c‚c iﬁ“an

nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Artin.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.6. Cho p ∈ AttR A. Khi ﬁª AnnR(0 :A p) = p.

(cid:98)R A = Ann

(cid:98)R A sao (cid:98)R A. M(cid:181) (cid:98)R D(A). (cid:0)D(A)/(cid:98)pD(A)(cid:1) = (cid:98)p. Theo B(cid:230)

(cid:98)R D(A)) suy ra Ann (cid:98)R

(cid:98)R(0 :A (cid:98)p) = (cid:98)p. Do ﬁª

Chłng minh. V(cid:215) p ∈ AttR A n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4, t(cid:229)n t„i (cid:98)p ∈ Att cho (cid:98)p ∩ R = p. H‹n n(cid:247)a, tı (cid:98)p ∈ Var(Ann (cid:98)R A), ta suy ra (cid:98)p ⊇ Ann ta l„i cª Ann (cid:98)R D(A) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.1.3 n“n (cid:98)p ⊇ Ann Do ﬁª (cid:98)p ⊇ Var(Ann ﬁ(cid:210) 1.1.4 ta cª Ann

(cid:98)R(0 :A (cid:98)p) ∩ R = (cid:98)p ∩ R = p.

p ⊆ AnnR(0 :A p) ⊆ Ann

V(cid:215) v¸y, Ann(0 :A p) = p

§(cid:222)nh l(cid:253) sau l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh cæa ch›‹ng cho ta mØt t(cid:221)nh ch˚t th(cid:243) v(cid:222) v(cid:210) sø

lu«n t(cid:229)n t„i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) sø mº rØng ch(cid:243)ng th(cid:181)nh

d•y cª ﬁØ d(cid:181)i tŁi ﬁ„i, ﬁ˘c bi(cid:214)t ﬁ˘c tr›ng ﬁ›(cid:238)c ﬁØ d(cid:181)i tŁi ﬁ„i cæa A-d•y ﬁŁi

A. §(cid:211) chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) n(cid:181)y, ngo(cid:181)i vi(cid:214)c ‚p d(cid:244)ng c‚c t(cid:221)nh ch˚t cæa d•y ﬁŁi

ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s th«ng qua chi(cid:210)u Krull cæa m«ﬁun xo(cid:190)n Tor cæa

ch(cid:221)nh quy v(cid:181) chi(cid:210)u Krull th(cid:215) t(cid:221)nh ch˚t linh ho‚ t(cid:246) trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.6 c(cid:242)ng ﬁªng

mØt vai tr(cid:223) r˚t quan tr(cid:228)ng.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7. Cho I l(cid:181) mØt iﬁ“an cæa R.

(i) N(cid:213)u dimR(0 :A I) (cid:54) s th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i sŁ nguy“n n > 0 lu«n t(cid:229)n t„i mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª ﬁØ d(cid:181)i n.

(ii) N(cid:213)u dimR(0 :A I) > s th(cid:215) m(cid:231)i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª th(cid:211) mº rØng ﬁ›(cid:238)c th(cid:181)nh d•y cª ﬁØ d(cid:181)i tŁi ﬁ„i v(cid:181) t˚t c¶ c‚c A-d•y ﬁŁi

ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I ﬁ(cid:210)u cª chung ﬁØ d(cid:181)i, h‹n n(cid:247)a ﬁØ d(cid:181)i chung ﬁª ch(cid:221)nh l(cid:181) sŁ nguy“n i nhÆ nh˚t sao cho dimR(TorR i (R/I, A)) > s.

Chłng minh.

(i). Cho n > 0 l(cid:181) mØt sŁ nguy“n. Ta sˇ chłng minh b»ng quy n„p theo n

r»ng t(cid:229)n t„i mØt d•y c‚c ph˙n t(cid:246) trong iﬁ“an I l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

chi(cid:210)u > s cª ﬁØ d(cid:181)i n.

dimR(0 :A I) ≥ dimR(0 :A p) = dim(R/ AnnR(0 :A p)) = dim(R/p) > s,

Cho n = 1 v(cid:181) p ∈ AttR A sao cho dim(R/p) > s. Khi ﬁª theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.6 ta cª AnnR(0 :A p) = p. V(cid:215) th(cid:213) n(cid:213)u I ⊆ p th(cid:215) (0 :A I) ⊇ (0 :A p) v(cid:181) do ﬁª

(theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2) m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t dimR(0 :A I) (cid:54) s. V¸y suy ra I (cid:54)⊆ p v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR A tho¶ m•n dim(R/p) > s. Do ﬁª t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) x1 ∈ I sao cho x1 /∈ p v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR A tho¶ m•n dim(R/p) > s hay nªi c‚ch kh‚c x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I.

Cho n > 1 v(cid:181) gi¶ s(cid:246) r»ng t(cid:229)n t„i d•y x1, . . . , xn−1 c‚c ph˙n t(cid:246) trong I l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. Cho iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t

dimR(0 :A I) = dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R I)

≥ dimR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)

= dim(R/ AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p)) = dim(R/p) > s,

p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) sao cho dim(R/p) > s. Khi ﬁª theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.6 ta cª AnnR(0 :0:A(x1,...,xn−1)R p) = p. V(cid:215) v¸y n(cid:213)u I ⊆ p th(cid:215)

m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t. Do ﬁª t(cid:229)n t„i xn ∈ I sao cho xn /∈ p v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) tho¶ m•n dim(R/p) > s, v(cid:181) d•y x1, . . . , xn l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª ﬁØ d(cid:181)i n.

k. Th¸t v¸y, gi¶ s(cid:246) ﬁi(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i d•y x1, . . . , xk+1 c‚c ph˙n t(cid:246) trong I l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. Tr›(cid:237)c h(cid:213)t, ta chłng minh b»ng quy n„p theo n = 1, . . . , k + 1 r»ng dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) (cid:54) d − n. Cho n = 1 v(cid:181) p ∈ Var(AnnR A) sao cho dim(R/p) = d. Khi ﬁª p ∈ AttR A theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.3. V(cid:215) d ≥ d − k > s v(cid:181) x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(ii). §˘t dimR A = dim(R/ AnnR A) = d. V(cid:215) (0 :A I) ⊆ A n“n ta cª th(cid:211) gi¶ s(cid:246) r»ng dimR(0 :A I) = d−k > s, trong ﬁª k ≥ 0 l(cid:181) mØt sŁ nguy“n. Ta sˇ ch(cid:216) ra r»ng m(cid:231)i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I cª ﬁØ d(cid:181)i nhi(cid:210)u nh˚t l(cid:181)

dimR(0 :A x1) = dim(R/ Ann(0 :A x1)) (cid:54) dim(R/(x1R+AnnR A)) = d−1,

chi(cid:210)u > s, n“n suy ra x1 /∈ p theo §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.2.1. Do ﬁª theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2

v(cid:215) th(cid:213) kh…ng ﬁ(cid:222)nh ﬁ(cid:243)ng cho tr›Œng h(cid:238)p n = 1. Cho n > 1 v(cid:181) gi¶ s(cid:246) r»ng

dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) = t (cid:54) d − n + 1.

kh…ng ﬁ(cid:222)nh ﬁ• ﬁ(cid:243)ng cho tr›Œng h(cid:238)p n − 1, ngh(cid:220)a l(cid:181)

dimR(0 :A (x1, . . . , xn)R) = dim (cid:0)R/ Ann(0 :A (x1, . . . , xn)R)(cid:1)

V(cid:215) dimR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R) ≥ dimR(0 :A I) n“n ta cª t ≥ d − k > s. V(cid:215) xn l(cid:181) ph˙n t(cid:246) 0 :A (x1, . . . , xn−1)R-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s, n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.3 suy ra xn /∈ p v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ Var(AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R)) tho¶ m•n dim(R/p) = t. V(cid:215) th(cid:213)

(cid:54) dim (cid:0)R/(xnR + AnnR(0 :A (x1, . . . , xn−1)R))(cid:1) = t − 1 (cid:54) d − n,

v(cid:181) kh…ng ﬁ(cid:222)nh ﬁ›(cid:238)c chłng minh. B'y giŒ, d(cid:239)ng kh…ng ﬁ(cid:222)nh tr“n cho tr›Œng

d − k = dimR(0 :A I) (cid:54) dimR(0 :A (x1, . . . , xk+1)R) (cid:54) d − k − 1.

h(cid:238)p n = k + 1 ta cª

§i(cid:210)u n(cid:181)y v« l(cid:253). V(cid:215) v¸y, ﬁØ d(cid:181)i cæa mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

trong I nhi(cid:210)u nh˚t l(cid:181) k. Do ﬁª, m(cid:231)i mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

trong I cª th(cid:211) mº rØng ﬁ›(cid:238)c th(cid:181)nh d•y tŁi ﬁ„i.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Cho x1, . . . , xm v(cid:181) y1, . . . , ym(cid:48) l(cid:181) hai A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I. Gi¶ s(cid:246) r»ng m (cid:54)= m(cid:48) v(cid:181) m < m(cid:48). Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.5 ta cª dimR(TorR i (R/I, A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < m(cid:48). Ta sˇ chłng minh b»ng quy n„p theo n = 1, . . . , m r»ng dimR(TorR i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < m(cid:48) − n. Cho n = 1. Nh› chłng minh trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.5, ta cª c‚c

TorR

i (R/I, A);

TorR

i (R/I, 0 :A x1) −→ TorR i (R/I, x1A) −→ TorR

i (R/I, A)

−→ TorR

i+1(R/I, x1A) −→ TorR i+1(R/I, A/x1A) −→ TorR i (R/I, A/x1A).

d•y kh(cid:237)p

Do x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s, ta cª dimR(A/x1A) (cid:54) s theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.2. V(cid:215) th(cid:213) dimR(TorR i (R/I, A/x1A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i. Do ﬁª tı c‚c d•y kh(cid:237)p tr“n ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c dimR(TorR i (R/I, 0 :A x1)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < m(cid:48) − 1. V(cid:215) v¸y kh…ng ﬁ(cid:222)nh ﬁ(cid:243)ng cho tr›Œng h(cid:238)p n = 1. Cho n > 1 v(cid:181) gi¶ s(cid:246) r»ng m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) ﬁ• ﬁ(cid:243)ng cho tr›Œng h(cid:238)p n − 1, ngh(cid:220)a l(cid:181) dimR(TorR i (R/I, A(cid:48))) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < m(cid:48) − n + 1, trong ﬁª A(cid:48) = 0 :A (x1, . . . , xn−1)R. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng xn l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A(cid:48)-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. V(cid:215) v¸y b»ng l(cid:253) lu¸n t›‹ng tø nh› chłng minh º tr“n, ta cª dimR(TorR i (R/I, 0 :A(cid:48) xn)) (cid:54) s, ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i dimR(TorR i (R/I, 0 :A (x1, . . . , xn)R)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < m(cid:48) − n, hay kh…ng ﬁ(cid:222)nh ﬁ›(cid:238)c chłng minh.

i (R/I, A)) > s.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Do m(cid:48) > m, n“n ‚p d(cid:244)ng kh…ng ﬁ(cid:222)nh tr“n cho tr›Œng h(cid:238)p n = m th(cid:215) dimR(TorR 0 (R/I, 0 :A (x1, . . . , xm)R)) (cid:54) s. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.3, t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) trong I l(cid:181) ph˙n t(cid:246) 0 :A (x1, . . . , xm)R-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s. §i(cid:210)u n(cid:181)y m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i t(cid:221)nh tŁi ﬁ„i cæa d•y (x1, . . . , xm). V(cid:215) th(cid:213), t˚t c¶ c‚c A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I ﬁ(cid:210)u cª chung ﬁØ d(cid:181)i, ﬁª ch(cid:221)nh l(cid:181) sŁ nguy“n nhÆ nh˚t i sao cho dimR(TorR

Ch›‹ng 3

MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an

nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor

V(cid:201)n k(cid:253) hi(cid:214)u nh› c‚c ch›‹ng tr›(cid:237)c, ch›‹ng n(cid:181)y d(cid:181)nh ﬁ(cid:211) tr¶ lŒi mØt ph˙n

v˚n ﬁ(cid:210) ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘t ra bºi L. Melkerson v(cid:181) P. Schenzel [11], ﬁª l(cid:181) t(cid:215)m ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

ﬁ(cid:211) c‚c t¸p

AssR

AttR

R(R/I n, M )(cid:1)

i (R/I n, A)(cid:1) v(cid:181)

n(cid:62)0

(cid:91) (cid:91) (cid:0)Exti (cid:0)TorR

l(cid:181) h(cid:247)u h„n. MØt ph˙n cæa v˚n ﬁ(cid:210) tr“n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c tr¶ lŒi bºi M. Brodmann v(cid:181)

AttR

(cid:0)TorR L. T. Nhan n¤m 2008. B»ng vi(cid:214)c ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s, k(cid:213)t i (R/I n, A)(cid:1) qu¶ ch(cid:221)nh cæa ch›‹ng n(cid:181)y l(cid:181) chłng minh ﬁ›(cid:238)c t¸p (cid:83) n(cid:62)0 l(cid:181) h(cid:247)u h„n khi n ﬁæ l(cid:237)n.

3.1 §Ø rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

N(cid:213)u nh› kh‚i ni(cid:214)m d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy d(cid:201)n t(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m ﬁØ rØng cæa m«ﬁun

Artin th(cid:215) tı kh‚i ni(cid:214)m A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) §(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7

cho ph—p ta ﬁ›a ra kh‚i ni(cid:214)m ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s nh› sau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 3.1.1. N(cid:213)u dimR(0 :A I) > s th(cid:215) ﬁØ d(cid:181)i cæa mØt A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy tŁi ﬁ„i v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

trong I łng v(cid:237)i A v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u bºi Width>s(I, A). Trong tr›Œng h(cid:238)p dimR(0 :A I) (cid:54) s ta ﬁ˘t Width>s(I, A) = ∞.

Ch(cid:243) (cid:253) 3.1.2. N(cid:213)u s = −1 th(cid:215) Width>−1(I, A) = Width(I, A), ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁØ rØng cæa A trong I theo ngh(cid:220)a cæa A. Ooshi [15].

1 , . . . , xnk

Sau ﬁ'y ta nh(cid:190)c l„i mØt k(cid:213)t qu¶ ﬁ• ﬁ›(cid:238)c chłng minh trong [14].

1 , . . . , xnk

k ) l(cid:181) (D(A))

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.1.3. [14, H(cid:214) qu¶ 2.6] N(cid:213)u x1, . . . , xk l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s th(cid:215) xn1 k c(cid:242)ng l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:237)i m(cid:228)i sŁ nguy“n d›‹ng n1, . . . , nk.

k l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.4.

Chłng minh. Cho (x1, . . . , xk) l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) n1, . . . , nk l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 2.2.4 ta cª (x1, . . . , xk) l(cid:181) (D(A)) (cid:98)p- (cid:98)R A) tho¶ m•n t(cid:221)nh ch˚t d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o v(cid:237)i m(cid:228)i iﬁ“an (cid:98)p ∈ Var(Ann dim(R/(cid:98)p ∩ R)) > s. Do ﬁª (xn1 (cid:98)p-d•y ch(cid:221)nh quy ngh(cid:204)o (cid:98)R A) tho¶ m•n dim(R/(cid:98)p∩R)) > s theo Ch(cid:243) (cid:253) 1.5.2. V(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:98)p ∈ Var(Ann v¸y xn1 1 , . . . , xnk

Tı k(cid:213)t qu¶ tr“n, n(cid:213)u (a1, . . . , ak) l(cid:181) c‚c ph˙n t(cid:246) sinh cæa I th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i bØ

Width>s(I, A) = Width>s(I n, A) = Width>s((an1

1 , . . . , ank

k )R, A).

i (R/I, A) = 0 i (R/I, A)) > 0

c‚c sŁ nguy“n d›‹ng n, n1, . . . , nk ta cª

i (R/I, A)) > 0. Do ﬁª ta cª h(cid:214) qu¶ sau.

(cid:98)R(TorR

Ta cª nh¸n x—t r»ng v(cid:237)i m(cid:231)i sŁ nguy“n i, R-m«ﬁun TorR n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u nª c(cid:242)ng l(cid:181) (cid:98)R-m«ﬁun 0. H‹n n(cid:247)a, dimR(TorR n(cid:213)u v(cid:181) ch(cid:216) n(cid:213)u dim

H(cid:214) qu¶ 3.1.4. V(cid:237)i m(cid:231)i iﬁ“an I cæa R ta cª

(i) Width(I, A) = Width(I (cid:98)R, A).

(ii) Width>0(I, A) = Width>0(I (cid:98)R, A).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(iii) Width>s(I, A) (cid:54) Width>s(I (cid:98)R, A).

i (R/I, A)) > s.

Chłng minh. Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7, Width>s(I, A) ch(cid:221)nh l(cid:181) sŁ nguy“n i nhÆ nh˚t ﬁ(cid:211) dim(TorR

(i) Gi¶ s(cid:246) Width(I, A) = n. Khi ﬁª n ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁØ d(cid:181)i cæa A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh

quy tŁi ﬁ„i trong I theo ngh(cid:220)a cæa A. Ooishi [15] trong tr›Œng h(cid:238)p s = −1. V(cid:215) th(cid:213), theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.6, ta cª TorR i (R/I, A) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i i < n. Theo nh¸n x—t tr“n, ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y x¶y ra khi v(cid:181) ch(cid:216) khi Tor (cid:98)R i ( (cid:98)R/I (cid:98)R, A) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i i < n, khi v(cid:181) ch(cid:216) khi Width(I (cid:98)R, A) = n.

(ii) Cho x1, . . . , xn l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > 0 trong I, theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ta cª xi /∈ p, v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) tho¶ m•n dim R/p > 0, ngh(cid:220)a l(cid:181) xi tr‚nh t˚t c¶ c‚c iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t p trong t¸p AttR(0 :A (x1, . . . , xi−1)R) trı iﬁ“an cøc ﬁ„i m. Do ﬁª n ch(cid:221)nh l(cid:181) sŁ nguy“n d›‹ng nhÆ nh˚t ﬁ(cid:211) dim(TorR n (R/I, A)) > 0. Theo nh¸n x—t tr“n, khi v(cid:181) ch(cid:216) khi n c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) sŁ nguy“n d›‹ng nhÆ nh˚t sao cho dim(Tor (cid:98)R n ( (cid:98)R/I (cid:98)R, A)) > 0, khi v(cid:181) ch(cid:216) khi n = Width>0(I (cid:98)R, A).

s < dim( (cid:98)R/(cid:98)q) (cid:54) dim( (cid:98)R/q (cid:98)R) = dim R/(cid:98)q ∩ R = dim R/q.

(iii) Gi¶ s(cid:246) x1, . . . , xn l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I. Ta c˙n chłng minh r»ng x1, . . . , xn c(cid:242)ng l(cid:181) A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I (cid:98)R. B»ng quy n„p ta ch(cid:216) c˙n chłng minh cho tr›Œng h(cid:238)p n = 1. V(cid:215) x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I n“n theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, x1 /∈ p, v(cid:237)i m(cid:228)i p ∈ AttR A tho¶ m•n dim R/p > s. Gi¶ s(cid:246) x1 kh«ng l(cid:181) ph˙n t(cid:246) (cid:98)R A sao cho A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I (cid:98)R. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i (cid:98)q ∈ Att x1 ∈ (cid:98)q v(cid:181) dim( (cid:98)R/(cid:98)q) > s. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4, ta cª (cid:98)q ∩ R = q ∈ AttR A. Suy ra x1 ∈ q v(cid:181)

§i(cid:210)u n(cid:181)y m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I. Do ﬁª x1 l(cid:181) ph˙n t(cid:246) A-ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s trong I (cid:98)R.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Theo h(cid:214) qu¶ tr“n, ta cª b˚t ﬁ…ng thłc Width>s(I, A) (cid:54) Width>s(I (cid:98)R, A)

{p ∈ AttR A | dim(R/p) (cid:62) s} (cid:54)⊆ {(cid:98)p ∩ R | (cid:98)p ∈ AttR A, dim( (cid:98)R/(cid:98)p) (cid:62) s}.

v(cid:181) d˚u ﬁ…ng thłc ch(cid:216) x¶y ra trong tr›Œng h(cid:238)p s (cid:54) 0. Tuy nhi“n, trong tr›Œng h(cid:238)p s > 0, d˚u ﬁ…ng thłc kh«ng c(cid:223)n ﬁ(cid:243)ng n(cid:247)a. L(cid:253) do l(cid:181) nh(cid:215)n chung ta cª

V(cid:215) th(cid:213), cª th(cid:211) cª nh(cid:247)ng d•y (x1, . . . , xk) c‚c ph˙n t(cid:246) trong I l(cid:181) d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s cæa (cid:98)R-m«ﬁun A nh›ng kh«ng l(cid:181) d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s cæa R-m«ﬁun A, d(cid:201)n t(cid:237)i Width>s(I, A) < Width>s(I (cid:98)R, A). V(cid:215) v¸y, c˙n ph¶i c¨n th¸n khi chuy(cid:211)n qua ﬁ˙y ﬁæ v(cid:181) d(cid:239)ng ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis. V(cid:221)

d(cid:244) sau minh h(cid:228)a cho ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y.

S-m«ﬁun Artin A sao cho dimS A = 3, dim

(cid:98)S A = 2 v(cid:181)

Width>1(I, A) < Width>1(I (cid:98)S, A),

V(cid:221) d(cid:244) 3.1.5. T(cid:229)n t„i mØt v(cid:181)nh Noether ﬁ(cid:222)a ph›‹ng (S, n), iﬁ“an I cæa S v(cid:181)

trong ﬁª (cid:98)S l(cid:181) n-adic ﬁ˙y ﬁæ cæa S.

( (cid:98)R) nh›

m(R) ∼= H 1 m (cid:98)R

Chłng minh. Cho (R, m) l(cid:181) mi(cid:210)n ﬁ(cid:222)a ph›‹ng Noether chi(cid:210)u 2 ﬁ›(cid:238)c x'y døng

( (cid:98)R)

{(cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R | dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = i} = Att

(cid:98)R H i m (cid:98)R

m(R). V(cid:215) th(cid:213)

dim

(cid:98)R H 1 m(R)) = dim (cid:98)R/ Ann

bºi D. Ferrand v(cid:181) M. Raynaud [5] sao cho t(cid:229)n t„i nh(cid:247)ng iﬁ“an nguy“n tŁ nh(cid:243)ng (cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R thÆa m•n dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = 1. V(cid:215) H 1 (cid:98)R-m«ﬁun, theo [1, §(cid:222)nh l(cid:253) 11.3.3] ta cª

(cid:98)R(H 1

(cid:98)R(H 1 (cid:98)R(H 1

m(R)) = max{dim (cid:98)R/(cid:98)p, (cid:98)p ∈ Att theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2. M˘t kh‚c, ta lu«n cª dim (cid:98)R(H 1

m(R)), n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4 ta cª (cid:98)p∩R = 0 ∈ AttR(H 1

(cid:98)R(H 1

m(R))} ≥ dim( (cid:98)R/(cid:98)p) = 1 m(R)) (cid:54) 1 theo [17, M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.8]. V(cid:215) th(cid:213) dim m(R)) = 1. V(cid:215) (cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R, n“n (cid:98)p ∩ R ∈ Ass R. Do R l(cid:181) mi(cid:210)n nguy“n n“n Ann R = 0, d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n Ass R = 0. Suy ra (cid:98)p ∩ R = 0. V(cid:215) m(R)). (cid:98)p ∈ Att Do ﬁª, theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2, dimR(H 1

m(R)) = 2.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

n“n suy ra (cid:98)p ∈ Att (cid:98)R(H 1

B'y giŒ, cho R[[x]] l(cid:181) v(cid:181)nh c‚c chu(cid:231)i l(cid:242)y thıa h(cid:215)nh thłc mØt bi(cid:213)n x v(cid:237)i h(cid:214)

sŁ trong R. Khi ﬁª theo §(cid:222)nh l(cid:253) c‹ sº Hilbert, R[[x]] l(cid:181) mi(cid:210)n nguy“n Noether

chi(cid:210)u 3, depth R[[x]] = 2 v(cid:215) R l(cid:181) mi(cid:210)n nguy“n v(cid:181) m /∈ Ass R, iﬁ“an cøc

ﬁ„i duy nh˚t cæa R[[x]] l(cid:181) (m, x)R[[x]] v(cid:181) (cid:98)R[[x]] l(cid:181) v(cid:181)nh ﬁ˙y ﬁæ theo t« p« (m, x)R[[x]]-adic cæa R[[x]]. V(cid:215) (cid:98)p ∈ Ass (cid:98)R, n“n theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a t(cid:229)n t„i ph˙n t(cid:246) a ∈ (cid:98)R sao cho (cid:98)p = Ann

(cid:98)R a. §˘t (cid:110) ∞ (cid:88)

aixi ∈ (cid:98)R[[x]] | ai ∈ (cid:98)p, ∀i

i=0

(cid:111) (cid:98)p[[x]] =

Khi ﬁª ta cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c r»ng (cid:98)p[[x]] l(cid:181) iﬁ“an nguy“n tŁ cæa (cid:98)R[[x]] v(cid:181)

∞ (cid:88)

Ann

(aai)xi = 0

aixi ∈ (cid:98)R[[x]] |

= (cid:98)p[[x]].

(cid:98)R[[x]] a =

i=0

(cid:111) (cid:110) ∞ (cid:88)

dim( (cid:98)R[[x]]/(cid:98)p[[x]]) = dim( (cid:98)R/(cid:98)p)[[x]]) = 2.

Do ﬁª (cid:98)p[[x]] ∈ Ass( (cid:98)R[[x]]) v(cid:181)

Theo [1, §(cid:222)nh l(cid:253) 11.3.3] suy ra

( (cid:98)R[[x]])(cid:1) = Att

(m,x)R[[x]](R[[x]])(cid:1).

(cid:98)R[[x]]

(m,x) (cid:98)R[[x]]

(cid:0)H 2 (cid:0)H 2 (cid:98)p[[x]] ∈ Att

dim

V¸y, l„i theo [17, M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.8] v(cid:181) B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2 ta cª

(m,x)R[[x]](R[[x]])(cid:1) = 2.

(cid:98)R[[x]]

(cid:0)H 2

(m,x)R[[x]](R[[x]])(cid:1), n“n ta cª

(cid:98)R[[x]]

(cid:0)H 2 V(cid:215) (cid:98)p[[x]] ∈ Ass( (cid:98)R[[x]]) ∩ Att

(cid:0)H 2 (cid:98)p[[x]] ∩ R[[x]] ∈ Ass(R[[x]]) ∩ AttR[[x]]

(m,x)R[[x]](R[[x]])(cid:1). (m,x)R[[x]](R[[x]])(cid:1) = 3 theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) (m,x)R[[x]](R[[x]]) = 0

(cid:0)H 2

0 −→ R[[x]]

x−→ R[[x]] −→ R[[x]]/xR[[x]] −→ 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

V(cid:215) th(cid:213) (cid:98)p[[x]] ∩ R[[x]] = 0 v(cid:181) dimR[[x]] 1.3.2. V(cid:215) depth R[[x]] = 2 v(cid:181) dim R[[x]] = 3 n“n H i v(cid:237)i i < 2 v(cid:181) i > 3. Do ﬁª, tı d•y kh(cid:237)p ng(cid:190)n

(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) −→ H 2

(m,x)R[[x]](R[[x]])

. . . −→ 0 −→ H 1 x−→ H 2

(m,x)R[[x]](R[[x]]) −→ H 2

(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]])

−→ 0 . . .

ta cª d•y kh(cid:237)p d(cid:181)i

H 1

(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) ∼= (0 :H 2

(m,x)R[[x]](R[[x]]) x).

V(cid:215) th(cid:213) ta cª ﬁ…ng c˚u gi(cid:247)a c‚c R[[x]]-m«ﬁun

m(R). Do ﬁª dimR[[x]]

(cid:0)0 :H 2

(cid:98)R[[x]]

(m,x)R[[x]](R[[x]]/xR[[x]]) cª c˚u tr(cid:243)c tø nhi“n l(cid:181) R-m«ﬁun (m,x)R[[x]](R[[x]]) x(cid:1) = 2 (m,x)R[[x]](R[[x]]) x(cid:1) = 1. B'y giŒ, ta ch(cid:228)n S = R[[x]], (m,x)R[[x]](R[[x]]). Khi ﬁª A l(cid:181) S-m«ﬁun Artin, (cid:98)S(0 :A I) = 1. Theo

(cid:98)S A = 2, dimS(0 :A I) = 2, dim

(cid:0)0 :H 2

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng H 1 v(cid:181) nª ﬁ…ng c˚u v(cid:237)i H 1 v(cid:181) dim I = xR[[x]] v(cid:181) A = H 2 dimS A = 3, dim §(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7 ta cª:

(cid:98)S(0 :A I) = 1 n“n v(cid:237)i m(cid:231)i sŁ nguy“n n, ﬁ(cid:210)u t(cid:229)n t„i A-d•y ﬁŁi

1. V(cid:215) dim

ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > 1 trong I (cid:98)R n“n Width>1(I (cid:98)S, A) = ∞.

2. V(cid:215) dimS(0 :A I) = 2 > 1, n“n lu«n t(cid:229)n t„i A-d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i

(cid:98)S A = 2 = N-dimR A n“n theo [15] ta cª

0 < Width>1(I, A) < N-dim A = 2

chi(cid:210)u > 1 trong I. Do dim

n“n suy ra Width>1(I, A) = 1.

V¸y ta cª Width>1(I, A) < Width>1(I (cid:98)R, A).

3.2 K(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n

Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta chłng minh b(cid:230) ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y b»ng k(cid:252) thu¸t t›‹ng tø nh› chłng

minh c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa ch›‹ng 2. §ª l(cid:181) chuy(cid:211)n l“n v(cid:181)nh ﬁ˙y ﬁæ, s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁŁi

ng(cid:201)u Matlis, ﬁ…ng c˚u gi(cid:247)a c‚c m«ﬁun Ext, Tor tr“n v(cid:181)nh ﬁ˙y ﬁæ v(cid:181) t(cid:221)nh

ch˚t giao ho‚n cæa h(cid:181)m t(cid:246) ﬁ(cid:222)a ph›‹ng hªa v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m t(cid:246) Ext, Tor. K(cid:213)t qu¶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

n(cid:181)y ﬁªng vai tr(cid:223) then chŁt trong vi(cid:214)c chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ch(cid:221)nh.

t−1 (cid:91)

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2.1. Cho t l(cid:181) mØt sŁ nguy“n. §˘t

Pt =

Var(AnnR

i (R/I, A)(cid:1).

i=0

(cid:0) TorR

Khi ﬁª

AttR

k ), A)(cid:1) ∪ Pt

(cid:0) TorR

t (R/I n, A)(cid:1) ∪ Pt = AttR = AttR

1 , . . . , ank t (R/(an1 t (R/I, A)(cid:1) ∪ Pt

(cid:0) TorR (cid:0) TorR

v(cid:237)i m(cid:231)i h(cid:214) sinh (a1, . . . , ak) cæa I v(cid:181) m(cid:228)i sŁ nguy“n d›‹ng n, n1, . . . , nk.

t (R/I n, A)(cid:1) ∪ Pt sao cho p /∈ Pt. Khi ﬁª t (R/I n, A)(cid:1) sao

(cid:0) TorR

Chłng minh. Cho p ∈ AttR (cid:0) TorR theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.4, t(cid:229)n t„i iﬁ“an nguy“n tŁ (cid:98)p ∈ Att (cid:98)R cho (cid:98)p ∩ R = p. V(cid:215) p /∈ Pt, n“n theo c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh Pt ta cª

i ( (cid:98)R/I (cid:98)R, A))(cid:1)

i (R/I, A))(cid:1) = Var (cid:0) Ann (cid:98)R

(cid:98)R

( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A))(cid:1)

(cid:0) TorR (cid:0) Tor (cid:98)R (cid:98)p /∈ Var (cid:0) Ann

(cid:0) Exti (cid:98)R

v(cid:237)i m(cid:228)i i < t. Do ﬁª theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4.5 ta cª (cid:98)p /∈ Supp (cid:98)R v(cid:237)i m(cid:228)i i < t. V(cid:215) th(cid:213) M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.4.5

( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A))(cid:1)

(cid:98)p/I (cid:98)R

(cid:98)p, D(A) (cid:98)p

(cid:98)p = 0

Exti (cid:98)R (cid:98)p

(cid:98)p, D(A)

( (cid:98)R

(cid:98)p) ≥ t theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5.4. (cid:98)p) ≥ t theo Ch(cid:243) (cid:253) 1.5.2. N(cid:213)u (cid:98)p) > t th(cid:215) l„i ‚p d(cid:244)ng M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5.4 ta suy ra ﬁ›(cid:238)c ( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A))(cid:1). V(cid:215)

(cid:98)p/I n (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p) = 0 hay (cid:98)p /∈ Supp (cid:98)R

(cid:0) (cid:98)R (cid:1) ∼= (cid:0) Exti (cid:98)R

(cid:0) Extt (cid:98)R v(cid:237)i m(cid:228)i i < t. Do ﬁª depth(I (cid:98)R §i(cid:210)u n(cid:181)y suy ra depth(I n (cid:98)R depth(I n (cid:98)R (cid:98)p, D(A) Extt (cid:98)R (cid:98)p v¸y,

t ( (cid:98)R/I n (cid:98)R, A))(cid:1).

( (cid:98)R/I n (cid:98)R, D(A)))(cid:1) = Var (cid:0) Ann (cid:98)R

(cid:98)R(Extt (cid:98)R t (R/I n, A)(cid:1) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.2.3, ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y m'u thu(cid:201)n (cid:0) TorR V(cid:215) th(cid:213) (cid:98)p /∈ Att (cid:98)R v(cid:237)i c‚ch ch(cid:228)n (cid:98)p. Do ﬁª,

depth(I n (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p) = t = depth(I (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(cid:0) Tor (cid:98)R (cid:98)p /∈ Var (cid:0) Ann

Ass

( (cid:98)R

(cid:98)p/I n (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)R (cid:98)p

V(cid:215) v¸y, tı rad(I) = rad(I n) v(cid:181) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 1.5.4 ta cª

(cid:98)p)(cid:1) = Ass = Ass

I n (cid:98)R (cid:98)p (D(A)

(cid:98)R (cid:98)p

= Ass

( (cid:98)R

(cid:98)p)(cid:1) (D(A) (cid:98)p)(cid:1) (cid:98)p/I (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p)(cid:1).

(cid:98)R (cid:98)p

t (R/I n, A)(cid:1), n“n suy ra (cid:98)p ∈ Ass

(cid:98)R

(cid:0) Extt (cid:98)R (cid:98)p

(cid:0)H t (cid:0)H t I (cid:98)R (cid:98)p (cid:0) Extt (cid:98)R (cid:98)p (cid:0) Extt (cid:98)R

( (cid:98)R/I n (cid:98)R, D(A))(cid:1), (cid:98)p)(cid:1). Theo k(cid:213)t qu¶ tr“n ta suy

( (cid:98)R

(cid:0) TorR (cid:98)p ∈ Ass

(cid:98)p, D(A) (cid:98)p)(cid:1). V(cid:215) v¸y

(cid:98)R (cid:98)p

V(cid:215) (cid:98)p ∈ Att (cid:98)R v(cid:181) v(cid:215) v¸y (cid:98)p (cid:98)R (cid:98)p ∈ Ass ra (cid:98)p (cid:98)R (cid:0) Extt (cid:98)p/I n (cid:98)R ( (cid:98)R (cid:98)R (cid:98)p (cid:98)p, D(A) (cid:98)p/I (cid:98)R

t (R/I, A)(cid:1).

(cid:98)R

( (cid:98)R/I (cid:98)R, D(A))(cid:1) = Att (cid:98)R

(cid:98)R (cid:98)p (cid:0) Extt (cid:98)R (cid:98)p (cid:0) Extt (cid:98)R

(cid:0) TorR (cid:98)p ∈ Ass

Suy ra ta cª

AttR

t (R/I, A)(cid:1) ∪ Pt.

t (R/I n, A)(cid:1) ∪ Pt ⊆ AttR

(cid:0) TorR (cid:0) TorR

depth(I (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p) = depth(I n (cid:98)R = depth((an1

(cid:98)p) (cid:98)p, D(A) 1 , . . . , ank k ) (cid:98)R

(cid:98)p, D(A)

(cid:98)p).

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ta lu«n cª c‚c ﬁ…ng thłc

n“n c‚c bao h(cid:181)m thłc c(cid:223)n l„i cæa b(cid:230) ﬁ(cid:210) c(cid:242)ng ﬁ›(cid:238)c chłng minh t›‹ng tø.

V(cid:237)i vi(cid:214)c ﬁ›a ra ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) chłng minh ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh

ch˚t (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh cæa h(cid:238)p c‚c t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun xo(cid:190)n Tor

trong B(cid:230) ﬁ(cid:210) tr“n ﬁ• gi(cid:243)p ta chłng minh ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ quan tr(cid:228)ng v(cid:181) c(cid:242)ng l(cid:181)

k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh cæa lu¸n v¤n, ﬁª l(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t h(cid:247)u h„n cæa t¸p c‚c iﬁ“an nguy“n

tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun xo(cid:190)n Tor khi n ﬁæ l(cid:237)n. §(cid:211) ti(cid:214)n cho vi(cid:214)c theo d(cid:226)i ta k(cid:221)

(AttR A)≥s = {p ∈ AttR A | dim(R/p) ≥ s}.

hi(cid:214)u

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.2.2. Cho Width>s(I, A) = r. Khi ﬁª

AttR(TorR

(cid:62)s

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

l(cid:181) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i t (cid:54) r. (i) T¸p (cid:17) t (R/I n, A)) (cid:16) (cid:83) n∈N

AttR(TorR

t (R/(an1

≥s

1 , . . . , ank t (cid:54) r, trong ﬁª (a1, . . . , ak) l(cid:181) h(cid:214) sinh cæa I.

(ii) T¸p l(cid:181) h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:228)i (cid:17) k )R, A (cid:16) (cid:83) n1,...,nk∈N

t−1 (cid:91)

Pt =

Var (cid:0) AnnR(TorR

i (R/I, A))(cid:1)

i=0

Chłng minh. §˘t

t (R/I n, A))(cid:1) §(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7 suy ra dimR(TorR

(cid:0) AttR(TorR

v(cid:237)i m(cid:231)i sŁ nguy“n t sao cho t (cid:54) r. Cho n ≥ 0 l(cid:181) mØt sŁ nguy“n v(cid:181) p ∈ (cid:83) ≥s. V(cid:215) t (cid:54) r = Width>s(I, A), n“n theo n i (R/I n, A)) (cid:54) s v(cid:237)i m(cid:228)i i < t.

N(cid:213)u dim(R/p) > s th(cid:215) ‚p d(cid:244)ng B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.3.2 ta cª p /∈ Pt. Do ﬁª,

t (R/I, A)) theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.2.1.

p ∈ AttR(TorR

t (R/I, A)) ∪ Pt theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) t (R/I, A)). Khi ﬁª p ∈ Pt. V(cid:215) v¸y h (R/I, A))) v(cid:237)i h < t. V(cid:215) h < Width>s(I, A), n“n ta h (R/I n, A)) (cid:54) s theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.7. Do ﬁª p l(cid:181) ph˙n t(cid:246) tŁi thi(cid:211)u h (R/I, A))), v(cid:181) v(cid:215) v¸y p ∈ AttR(TorR h (R/I, A))

N(cid:213)u dim(R/p) = s th(cid:215) p ∈ AttR(TorR

3.2.1. Gi¶ s(cid:246) r»ng p /∈ AttR(TorR p ∈ Var(AnnR(TorR cª dim(TorR cæa t¸p Var(AnnR(TorR theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) 1.2.3. V(cid:215) v¸y, ta ﬁ• chłng minh ﬁ›(cid:238)c

t (cid:91)

AttR

t (R/I n, A)(cid:1)

i (R/I, A)(cid:1),

≥s ⊆

i=0

≥s l(cid:181) t¸p h(cid:247)u h„n. MØt c‚ch ho(cid:181)n to(cid:181)n

t (R/I n, A)(cid:1) (cid:0) AttR TorR v(cid:181) v(cid:215) th(cid:213) (cid:83) n t›‹ng tø ta c(cid:242)ng chłng minh ﬁ›(cid:238)c

(cid:91) (cid:0) TorR (cid:0) AttR TorR

t (cid:91)

(AttR TorR

AttR(TorR

t (R/(an1

i (R/I, A)),

1 , . . . , ank

k )R, A)(cid:1)

≥s ⊆

i=0

n1,...,nk

(cid:91)

v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c chłng minh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

K(cid:213)t qu¶ sau ﬁ'y l(cid:181) h(cid:214) qu¶ trøc ti(cid:213)p cæa §(cid:222)nh l(cid:253) ch(cid:221)nh.

t (R/I n, A)(cid:1) v(cid:181) t¸p (cid:83)

t (R/(an1

1 , . . . , ank

(cid:0) AttR TorR (cid:0) AttR TorR

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

H(cid:214) qu¶ 3.2.3. Gi¶ s(cid:246) r»ng s (cid:54) 1. Cho Width>s(I, A) = r. Khi ﬁª t¸p k )R, A)(cid:1) (cid:83) n n1,...,nk l(cid:181) t¸p h(cid:247)u h„n v(cid:237)i m(cid:231)i sŁ nguy“n t (cid:54) r v(cid:181) m(cid:231)i h(cid:214) sinh (a1, . . . , ak) cæa I.

K(cid:213)t lu¸n

Tªm l„i, trong lu¸n v¤n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y v(cid:181) chłng minh chi ti(cid:213)t

c‚c k(cid:213)t qu¶ trong b(cid:181)i b‚o: "A finiteness result for attached primes of certain

Tor-modules" cæa L. T. Nhan v(cid:181) N. T. Dung (2010). K(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh cæa lu¸n

v¤n g(cid:229)m c‚c nØi dung sau.

1. H(cid:214) thŁng mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa m«ﬁun Artin cª li“n quan ﬁ(cid:213)n nØi dung

cæa lu¸n v¤n: c˚u tr(cid:243)c cæa m«ﬁun Artin, bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p, chi(cid:210)u Noether,

d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ rØng cæa m«ﬁun Artin. Tr(cid:215)nh b(cid:181)y kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) mØt

sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa h(cid:181)m t(cid:246) mº rØng v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) xo(cid:190)n, kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) mØt sŁ t(cid:221)nh

ch˚t cæa d•y ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ s'u cæa m«ﬁun.

2. Nghi“n cłu v(cid:210) d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s: ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, t(cid:221)nh ch˚t,

ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n lu«n t(cid:229)n t„i cæa d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) ﬁ˘c tr›ng ﬁØ

d(cid:181)i tŁi ﬁ„i cæa d•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s th«ng qua chi(cid:210)u Krull cæa

m«ﬁun con xo(cid:190)n Tor.

3. §›a ra kh‚i ni(cid:214)m ﬁØ rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s v(cid:181) tı ﬁª chłng minh k(cid:213)t qu¶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

h(cid:247)u h„n cæa t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor.

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

[1] M. Brodmann, and R. Y. Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic

Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press,

Cambridge.

[2] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass(M/I nM ), Proc., America

Math. Soc., (1) 74 (1979), 16-18.

[3] M. Brodmann and L.T. Nhan, A finiteness result for associated primes,

J. Al., (4) 87 (2008), 596-600.

[4] N. T. Cuong and L. T. Nhan (2002), "On Noetherian dimension of

Artinian modules", Vietnam J. Math., 30, pp. 121-130.

[5] Ferrand D. and M. Raynaud (1970), "Fibres formelles d’un anneau local

Noetherian," Ann. Sci. E’cole Norm. Sup., 3 (4), pp. 295-311.

[6] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of local

cohomology module, J. Alg., 252 (2002), 161-166.

[7] Kirby D. (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J.

Math. Oxford (Ser. 2) 24 (2), pp. 47-57.

[8] Kirby, D. (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart.

J. Math. Oxford, (Ser. 2) 41 (2), pp. 419-429.

[9] Macdonald, I. G. (1973), "Secondary representation of modules over a

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

commutative ring", Symposia Mathematica. 11, pp. 23-43.

[10] Matsumura, H. (1986), "Commutative ring theory", Cambridge Univer-

sity press.

[11] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to drived

funtors Proc. Ame. Math. Soc. 4 117 (1993), 935-938.

[12] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York.

[13] L. T. Nhan and N. T. Dung, "A finiteness property for attached primes

of certain Tor-modules", Algebra Colloquium, to appear, (2010).

[14] L. T. Nhan and N. V. Hoang, A finiteness result for attached primes of

local cohomology, Submit in Commutative Algebra, (2008).

[15] A. Ooishi, Matlis duallity and the width of a module, Hiroshima Math.

J. 6 (1976), 573-587.

[16] Roberts, R. N. (1975), "Krull dimension for Artinian modules over

quasi-local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (Ser. 2) 26,

pp. 269-273.

[17] R. Y. Sharp, Asymptotic behaviour of certain sets of attached prime

ideals, J. London Math. Soc., (2) 34 (1986), 212-218.

[18] Sharp, R. Y. (1989) "A method for the study of Artinian modules with an

application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra, Math.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Sci. Res. Inst. Publ. No. 15, Spinger-Verlag, New York, pp. 443-465.

Luận văn: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

§„i h(cid:228)c Th‚i Nguy“n Tr›Œng §„i h(cid:228)c s› ph„m ------------------------------

B(cid:239)i Thanh §o(cid:181)n

MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor

Lu¸n v¤n th„c s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

§„i h(cid:228)c Th‚i Nguy“n Tr›Œng §„i h(cid:228)c s› ph„m ------------------------------

B(cid:239)i Thanh §o(cid:181)n

MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor

Chuy“n ng(cid:181)nh: §„i sŁ v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t sŁ. M• sŁ: 60.46.05

Lu¸n v¤n th„c s(cid:220) to‚n h(cid:228)c

Ng›Œi h›(cid:237)ng d(cid:201)n khoa h(cid:228)c: TS. Nguy(cid:212)n Th(cid:222) Dung

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi c¶m ‹n

Mº ﬁ˙u

Ch›‹ng 1

Ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

1.1 M«ﬁun Artin v(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u Matlis

1.2 Bi(cid:211)u di(cid:212)n thł c˚p

1.3 Chi(cid:210)u Noether cæa m«ﬁun Artin

1.4 H(cid:181)m t(cid:246) mº rØng v(cid:181) h(cid:181)m t(cid:246) xo(cid:190)n

1.5 D•y ch(cid:221)nh quy v(cid:181) ﬁØ s'u cæa m«ﬁun

Ch›‹ng 2

D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

2.1 D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy

2.2 D•y ﬁŁi ch(cid:221)nh quy v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

Ch›‹ng 3

MØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n cho t¸p iﬁ“an

nguy“n tŁ g(cid:190)n k(cid:213)t cæa m«ﬁun Tor

3.1 §Ø rØng v(cid:237)i chi(cid:210)u > s

3.2 K(cid:213)t qu¶ h(cid:247)u h„n

K(cid:213)t lu¸n

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về điều kiện đầu tư kinh doanh trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Sự nghiệp nghiên cứu phê bình văn học của Hoài Thanh

Luận văn Thạc sĩ: Tiểu thuyết của Đỗ Phấn từ góc nhìn sinh thái

Luận văn Thạc sĩ: Giải pháp ứng phó với nhập cư ở Liên minh Châu Âu

Luận văn Thạc sĩ: Diễn ngôn về giới nữ trong văn xuôi nữ Việt Nam đương đại (khảo sát sáng tác của Dạ Ngân, Y Ban, Lý Lan, Nguyễn Thị Thu Huệ)

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mức phát thải tham chiếu rừng khu vực huyện Bảo Lâm tỉnh Lâm Đồng

Luận văn Thạc sĩ: Đặc điểm nhân vật chính trong ba tác phẩm của Franz Kafka: Lâu đài, Vụ án, Hóa thân

Kháo luận tốt nghiệp: Vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào dạy học Thống kê - Xác suất ở lớp Hai

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng hệ thống điều khiển và thu nhận dữ liệu cho Robot dịch vụ

Luận văn Thạc sĩ: Thế giới nhân vật trong truyện ngắn Lê Minh Khuê sau năm 1975

Luận văn Thạc sĩ: Tác động của cấu trúc vốn đến hiệu quả hoạt động của các ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Kiểm soát rủi ro tín dụng bán lẻ tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Đầu tư và Phát triển Việt Nam chi nhánh Thủ Thiêm

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả kinh doanh của ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hành vi sử dụng dịch vụ ngân hàng điện tử tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Ngoại thương Việt Nam – Chi nhánh Thủ Đức

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố tác đồng đến nợ xấu tại Ngân hàng Nông nghiệp và Phát triển Nông thôn - Chi nhánh Tiền Giang

Luận văn Thạc sĩ: Yếu tố ảnh hưởng đến quyết định sử dụng dịch vụ thanh toán không dùng tiền mặt tại Ngân hàng TMCP Công thương Việt Nam (Vietinbank)

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về du lịch biển, thực tiễn tại tỉnh Bình Định

Luận văn Thạc sĩ: Ảnh hưởng của các yếu tố thương hiệu với vai trò trung gian của Marketing truyền miệng đến quyết định chọn việc làm của nhân viên GenZ tại chuỗi nhà hàng gà rán Popeyes khu vực Thành Phố Hồ Chí Minh

Luận văn Thạc sĩ: Ảnh hưởng của Marketing mix đến ý định học cao học của sinh viên khối ngành kinh tế thuộc Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách