Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán: Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán "Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông" trình bày các nội dung: Cơ sở lý thuyết; Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán: Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- TRẦN THỊ PHƯƠNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 6 năm 2021
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Sinh viên thực hiện TRẦN THỊ PHƯƠNG MSSV: 2117010122 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA: 2017 – 2021 Cán bộ hướng dẫn T.S PHẠM NGUYỄN HỒNG NGỰ MSCB: Quảng Nam, tháng 6 năm 2021
LỜI CẢM ƠN Quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp là giai đoạn quan trọng trong quãng đời mỗi sinh viên. Khóa luận tốt nghiệp là tiền đề nhằm trang bị cho sinh viên những kỹ năng nghiên cứu, những kiến thức quý báu trước khi tốt nghiệp. Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô Phạm Nguyễn Hồng Ngự - Tiến Sĩ Toán học - Giảng viên khoa Toán trường Đại học Quảng Nam, đã tận tình giúp đỡ, định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học. Khóa luận được hoàn thành cũng chính nhờ vào những ý tưởng, hướng dẫn cũng như góp ý tận tình của cô. Đó là những góp ý hết sức quý báu không chỉ trong quá trình thực hiện khóa luận này mà còn là hành trang tiếp bước cho tôi trong quá trình học tập và lập nghiệp sau này. Tiếp theo tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong ban lãnh đạo trường Đại học Quảng Nam, quý thầy cô trong khoa Toán,… đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành các thủ tục của khóa luận. Đặc biệt là các Thầy, Cô trong Nhà trường đã tận tình chỉ dạy và trang bị cho tôi những kiến thức cần thiết trong suốt thời gian ngồi trên ghế giảng đường, làm nền tảng cho tôi có thể hoàn thành được bài khóa luận này. Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, tập thể lớp DT17STH01, những người luôn sẵn sàng chia sẻ và giúp đỡ tôi trong học tập và cuộc sống. Mong rằng, chúng ta sẽ mãi mãi gắn bó với nhau. Xin chúc những điều tốt đẹp nhất sẽ luôn đồng hành cùng mọi người. Xin chân thành cảm ơn!
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông” là quá trình nghiên cứu của cá nhân tôi không sao chép của bất kì ai. Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về công trình nghiên cứu của mình! Quảng Nam, tháng 6 năm 2021 Người cam đoan Trần Thị Phương
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 7 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 7 2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 8 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................... 8 3.1. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 8 3.2. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 8 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 8 5. Đóng góp của đề tài ........................................................................................ 9 6. Cấu trúc của đề tài .......................................................................................... 9 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................ 10 1.1. Quy nạp và quy nạp toán học..................................................................... 10 1.1.1. Khái niệm ............................................................................................... 10 1.1.1.1. Quy nạp ............................................................................................... 10 1.1.1.2. Quy nạp toán học ................................................................................. 10 1.1.2. Phân loại quy nạp toán học ..................................................................... 11 1.1.2.1. Quy nạp hoàn toàn ............................................................................... 11 1.1.2.2. Quy nạp không hoàn toàn .................................................................... 12 1.1.3. Nguyên lý quy nạp toán học ................................................................... 16 1.1.3.1. Tiên đề Peano ...................................................................................... 16 1.1.3.2. Tiên đề thứ tự ...................................................................................... 17 1.1.3.3. Nguyên lí quy nạp toán học ................................................................. 17 1.2. Một số kỹ thuật của phương pháp quy nạp ................................................ 18 1.2.1. Bước quy nạp xây dựng trên P(k) ........................................................... 18 1.2.2. Bước quy nạp xây dựng trên P( k+1) ...................................................... 19 1.2.3. Kỹ thuật quy nạp nhảy bước ................................................................... 21 1.2.4. Kỹ thuật tổng quát hóa ............................................................................ 24 1.2.5. Một số sai lầm thường gặp khi sử dụng phương pháp quy nạp ............... 25 1.3. Kết luận chương 1 ..................................................................................... 26
CHƯƠNG 2: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .......................... 28 2.1. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học .......... 28 2.2. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán đại số ........... 34 2.3. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán giải tích ....... 42 2.4. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học ....... 52 2.5. Kết luận chương 2 ..................................................................................... 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................... 65 1. Kết luận ........................................................................................................ 65 2. Kiến nghị ...................................................................................................... 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 66
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học suy diễn. Các kết luận toán học đều được chứng minh một cách chặt chẽ. Nhưng trong quá trình hình thành, trước khi có những kết luận mang tính tổng quát, toán học cũng đã phải tiến hành xét các trường hợp cụ thể, riêng biệt. Ta phải đối chiếu các quan sát, suy ra từ điều tương tự, phải thử đi thử lại,... để từ đó kết luận về một định lý toán học, trước khi chứng minh chúng. Và một trong những phương pháp quan trọng giúp chúng ta đi từ cái cụ thể đến cái tổng quát đó chính là phương pháp quy nạp toán học. Quy nạp là khái niệm cực kì quan trọng, nó được coi là một tuyệt chiêu trong toán học và được sử dụng rộng rãi trong số học, đại số, lí thuyết số. Vì vậy nắm rõ được bản chất về mặt kiến thức, về mặt phương pháp cũng như tư duy là điều bất cứ ai trong chúng ta đều mong muốn hướng tới. Thêm vào đó, quy nạp là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Nó có một sức mạnh tuyệt vời khi giải quyết những bài toán chứng minh cả ở hình học. Phép quy nạp không chỉ có ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn thuần mà nó còn được ứng dụng trong việc chứng minh định lí hình học, trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích, cả trong mặt phẳng, trong không gian; ở hình học sơ cấp và hình học cao cấp. Trong toán học có nhiều bài toán nếu chúng ta giải bằng phương pháp thông thường thì rất khó khăn và phức tạp, khi đó phương pháp quy nạp toán học chính là công cụ đắc lực giúp chúng ta giải quyết được bài toán đó. Do đó việc đưa phương pháp này vào dạy - học trong chương trình toán THPT là tất yếu. Tuy nhiên đối với học sinh lớp 11 thì đây là nội dung mới được đề cập trong một phạm vi hạn chế, chưa mô tả được một cách hệ thống, chưa nêu rõ được ứng dụng của phương pháp này trong số học, đại số và đặc biệt là hình học chưa được sử dụng nhiều nên đối với học sinh còn khá xa lạ. Ngoài ra, việc nghiên cứu phương pháp quy nạp giúp ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy cần thiết, phát triển năng lực, trí tuệ 7
cũng như giúp học sinh tiếp thu các kiến thức toán học một cách chủ động hơn. Thấy được vai trò và ứng dụng quan trọng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán và nhằm giúp cho học sinh, giáo viên cũng như những ai quan tâm về phương pháp quy nạp, hiểu hơn về nguyên lí quy nạp cũng như những kĩ thuật áp dụng vào việc giải các bài toán khác nhau. Hơn nữa, là một sinh viên sư phạm toán với mong muốn nghiên cứu phương pháp này một cách sâu hơn và hệ thống, mong muốn tích lũy kiến thức toán học nhiều hơn, có chuyên môn vững vàng cho việc giảng dạy sau này nên tôi đã chọn đề tài: “Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Tổng hợp, hệ thống hóa khái niệm về nguyên lí quy nạp toán học và các kỹ thuật dùng trong phương pháp quy nạp. - Ứng dụng của phương pháp quy nạp vào giải một số dạng toán ở phổ thông. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp chứng minh quy nạp toán học. - Một số dạng Toán trong chương trình THPT. 3.2. Phạm vi nghiên cứu - Ứng dụng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học trong giải một số dạng toán ở trường THPT. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, những chuyên đề có liên quan đến phép quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp toán học. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ đó rút ra những kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn, các giảng viên trong khoa để hoàn hiện về mặt nội dung và hình thức của khóa luận. 8
5. Đóng góp của đề tài - Hệ thống lý thuyết về phương pháp quy nạp, giúp người đọc có cái nhìn chính xác hơn về vấn đề này. - Phân loại, vận dụng phương pháp quy nạp vào giải một số dạng toán cụ thể. - Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong dạy học nguyên lí quy nạp ở phổ thông và là tài liệu tham khảo cho những bạn đọc quan tâm đến vấn đề này. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, thì khóa luận gồm có 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết. Chương 2:Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông. 9
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Quy nạp và quy nạp toán học 1.1.1. Khái niệm 1.1.1.1. Quy nạp Hiện nay có rất nhiều khái niệm về quy nạp được đưa ra nhưng về bản chất nó đều phản ánh chung về dấu hiệu, sau đây là một số định nghĩa về quy nạp: Theo từ điển toán học thông dụng thì “ Quy nạp” có nghĩa là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát ([8], trang 494). Hay dựa vào tác phẩm bộ sách mới của Fransic Bacon mà tác giả Phan Hoàng Hoàng đã đưa ra khái niệm quy nạp như sau: “ Quy nạp có nghĩa là quy về, dẫn về,…được hiểu là phương pháp tư duy mà mục đích của nó là phân tích sự vận động của tri thức từ các phán đoán đơn nhất, riêng lẻ đến các phán đoán chung. Nó phản ánh bước chuyển tư tưởng từ những mệnh đề ít chung đến những mệnh đề có tính chung cao hơn. Có thể coi quy nạp là một dạng suy luận trong đó có sự thực hiện bước chuyển tri thức về những đối tượng riêng biệt của một lớp tri thức về toàn bộ lớp đó ([5], trang 13) . Trích từ câu trả lời của “24 câu phương pháp nghiên cứu khoa học (cao học)” đã đưa ra khái niệm: “Quy nạp là phương pháp đi từ những hiện tượng riêng lẻ, rời rạc, độc lập ngẫu nhiên rồi liên kết các hiện tượng ấy với nhau để tìm ra bản chất của một đối tượng nào đó ([11], trang 3). Dựa vào những quan niệm trên, ta có thể hiểu quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ rồi mở rộng các tính chất có quy luật cho trường hợp tổng quát. Phép quy nạp có khi đưa ra những khẳng định đúng, có khi đưa ra khẳng định sai. 1.1.1.2. Quy nạp toán học Theo sách giáo khoa môn Toán 11, phương pháp quy nạp toán học là: “Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau: 10
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n  1. - Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n  k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1 ([6], trang 80)”. Trong khóa luận “ Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường THPT” đã đưa ra khái niệm: Quy nạp toán học là phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất nó là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n  0 (hoặc n  p ). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lý quy nạp toán học ([12], trang 6). 1.1.2. Phân loại quy nạp toán học 1.1.2.1. Quy nạp hoàn toàn Quy nạp hoàn toàn là một suy luận mà trong đó kết luận, khái quát chung về một tập hợp dựa trên cơ sở nghiên cứu tất cả các trường hợp riêng, rồi nhận xét để nêu ra kết luận chung cho tất cả các trường hợp đó và chỉ cho các trường hợp ấy mà thôi ([1]). Như vậy, sử dụng quy nạp hoàn toàn để kết luận tính chất  đúng đối với tập A , người ta xét tất cả các trường hợp riêng của tập A . Nếu các trường hợp đó thỏa mãn tính chất  , ta nói rằng A có tính chất  . Trong đó A   là một phỏng đoán quy nạp. Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng: “Mỗi số chẵn k đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau” với k  8,100 . Bài giải Ta lần lượt kiểm tra từng giá trị của k  8,100 thỏa yêu cầu bài toán hay không? Đặt   : “Mỗi số chẵn k đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau”. Trong đó A  8,100 . Với k  8  5  3  8    . Với k  10  7  3  10    . 11
Ta kiểm tra tương tự, lần lượt cho các giá trị k  12 tới giá trị k  100 ta thấy tất cả các số chẵn đó đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau. Suy ra “ Mỗi số chẵn nằm trong 8,100 đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố khác nhau, nên A   đúng (quy nạp hoàn toàn). Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng “ a3  a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a ”. Bài giải Đặt   : “ a3  a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a ”. Trong đó A  * Khi đó a  A ta có: a3  a  a  a 2  1  a  a  1 a  1 . Hơn nữa a  A,   q, r  sao cho a  3 q  r với r  0,1, 2 . Xét ba khả năng có thể xảy ra: Nếu r  0 nghĩa là a  3 q  a  3  a  a  1 a  13. Nếu r  1 nghĩa là a  3 q  1   a  1 3  a  a  1 a  1 3. Nếu r  2 nghĩa là a  3 q  2   a  13  a  a  1 a  1 3. Suy ra a  a  1 a  1 3 với mọi số nguyên dương a . Nên A   đúng. 1.1.2.2. Quy nạp không hoàn toàn Đối với phương pháp quy nạp hoàn toàn ở 1.1.2.1 để kiểm tra một suy luận đúng trên tập hợp, ta phải kiểm tra suy luận đó đúng với mọi phần tử thuộc tập đó. Tuy nhiên trong toán học, đôi khi người ta chỉ kiểm tra với một số hữu hạn phần tử. Khi đó ta có khái niệm quy nạp không hoàn toàn sau: Quy nạp không hoàn toàn : là một suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về một tập hợp dựa trên cơ sở nghiên cứu một số phần tử của tập hợp đó (với k là một số hữu hạn, A   là một phỏng đoán quy nạp). Nghĩa là, để kết luận tính chất  đối với tập A , người ta xét một số phần tử hữu hạn k của tập A . Nếu các phần tử k đó thỏa mãn tính chất  , ta dự đoán A có tính chất  . 12
a1    a2   .  a1 , a2 ,..., ak  A, k  ,   A   . .   ak     (với k là một số hữu hạn, A   là một phỏng đoán quy nạp) ([1], trang 5). Ví dụ 1.3. Sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn giáo viên có thể hướng dẫn, giúp học sinh tiếp cận kiến thức toán: n “  a  b   Cn0 a n  Cn a n1b  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn 1ab n1  Cnnb n ” như sau: 1 2 3 Giáo viên yêu cầu học sinh triển khai các công thức  a  b  ,  a  b  . 2 a  b  a 2  2ab  b 2 3 a  b  a3  3a 2b  3ab 2  b3 Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh viết lại công thức trên bằng tổ hợp chập k của n phần tử như sau: 2 a  b  a 2  2ab  b 2  C2 a 2  C2 ab  C22b 2 0 1 3 a  b  a3  3a 2b  3ab 2  b3  C30 a 3  C3a 2b  C32 ab 2  C3 b3 1 3 Sau khi học sinh quan sát hai ví dụ trên thì yêu cầu học sinh khai triển tương tự 4 5 đối với  a  b  ,  a  b  . Khi đó với sự hướng dẫn giáo viên học sinh đưa ra kết quả: 4 a  b  a 4  4a 3b  6a 2b 2  4ab3  b 4  C4 a 4  C4 a 3b  C42 a 2b 2  C4 ab3  C44b 4 0 1 3 5 a  b  C50 a 5  C5 a 4b  C52a 3b 2  C53a 2b3  C54 ab 4  C55b5 1  a5  5a 4b  10a 3b 2  10a 2b3  5ab 4  b 5 n Sau đó giáo viên cho học sinh dự đoán  a  b   ? Khi đó, sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn học sinh có thể đề xuất n công thức  : “  a  b   Cn0 a n  Cn a n1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnn1ab n1  Cnnb n ”. 1 Nhận xét: Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về tập hợp, được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối 13
tượng của tập hợp ấy. Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của tập hợp, song kết luận rút ra chung cho cả tập hợp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi. Ví dụ 1.4. Để dự đoán tổng số giao điểm S  n  của n đường thẳng đôi một cắt nhau (không có ba đường thẳng đồng quy), ta có thể sử dụng suy luận quy nạp không hoàn toàn như sau: - Số giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau là 1 hay S  2   1 . - Số giao điểm của ba đường thẳng đôi một cắt nhau là 3 hay S  3  3 . - Số giao điểm của bốn đường thẳng đôi một cắt nhau, không có ba đường thẳng đồng quy là 6 hay S  4   6 . - Số giao điểm của năm đường thẳng đôi một cắt nhau, không có ba đường thẳng đồng quy là 10 hay S  5   10 . 14
Tổng hợp lại ta có bảng sau: n 1 2 3 4 5 … n S  n  1 3 6 10 ? Từ bảng trên ta thấy với n  2,3, 4,5 ta có một quy luật   : “Tích hai số liên tiếp hàng trên bằng hai lần số thứ hai hàng dưới”. Cụ thể: 1.2  2.1  2    2.3  2.3  3    3.4  2.6  4    4.5  2.10  5    n(n  1) Như vậy ta có thể dự đoán S  n   , n  2 . 2 Nhận xét: Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn, người ta có thể dự đoán, phát hiện một tính chất toán học nào đó. Tuy nhiên trong toán học, đây lại là phương pháp chứng minh không chặt chẽ vì vậy cần phải thận trọng khi sử dụng phương pháp này. Đôi khi quy nạp không hoàn toàn sẽ dẫn đến những kết luận không chính xác. Ví dụ 1.5. Có thể khẳng định rằng: “Những số có dạng n 2  n  41, với n  1, 2, 3,... là những số nguyên tố” hay không? Bài giải Ta sẽ xét lần lượt với n  1 thì ta có 12  1  41  41 là số nguyên tố. Với n  2 thì ta có 22  2  41  43 là số nguyên tố. Với n  3 thì ta có 32  3  41  47 là số nguyên tố. Cụ thể xét thêm n  4 , n  5 , ta thấy tất cả đều là số nguyên tố. Khi đó nếu sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn ta có thể kết luận mệnh đề trên là đúng. Tuy nhiên với n  41 thì ta có 412  41  41  412 không phải là số nguyên tố. Vậy mệnh đề trên không đúng. Ví dụ 1.6. D.A. Grave nhà toán học Xô Viết, ông giả định rằng: Với mọi số nguyên tố p thì 2 p1  1 không chia hết cho p 2 . Bằng kết quả kiểm tra trực tiếp với mọi số nguyên tố p  1000 càng củng cố thêm giả định này của ông. Nhưng 15
chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng 21092  1 chia hết cho 10932 ( 1093 là số nguyên tố). Như vậy phỏng đoán của Grave là sai lầm. n Ví dụ 1.7. Nhà toán học Pháp P. Fermat cho rằng các số có dạng 22  1 là số nguyên tố. Ông đã xét 5 số đầu tiên: 0 Với n  0 thì 22  1  2  1  3 là số nguyên tố. 1 Với n  1 thì 22  1  4  1  5 là số nguyên tố. 2 Với n  2 thì 22  1  16  1  17 là số nguyên tố. 3 Với n  3 thì 22  1  256  1  257 là số nguyên tố. 4 Với n  4 thì 22  1  65536  1  65537 là số nguyên tố. Nhưng đến thế kỉ 18 Euler đã phát hiện ra với n  5 không đúng vì 5 22  1  4294967296  1  4294967297  641.6700417 là hợp số. Nhận xét: Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán về một tính chất toán học nào đó và đó là một cơ sở để đi tới các phát minh. Vì vậy, trong toán học, dù phương pháp quy nạp không hoàn toàn là phép chứng minh không chặt chẽ, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới. 1.1.3. Nguyên lý quy nạp toán học 1.1.3.1. Tiên đề Peano Cơ sở của nguyên lý quy nạp toán học (còn gọi là tiên đề quy nạp) nằm trong hệ tiên đề PEANO về tập hợp số tự nhiên. Các tiên đề của PEANO có thể được phát biểu như sau: Cho M   và M thỏa các điều kiện: Tiên đề 1. 0  M . Tiên đề 2. n  M , n  1  M . Tiên đề 3. n  M , n  0, n  1  M . Tiên đề 4. (nguyên lí quy nạp): Giữa hai phần tử liên tiếp trong M không có phần tử nào khác khi đó M   . 16
1.1.3.2. Tiên đề thứ tự Tiên đề thứ tự: Trong mỗi tập hợp khác rỗng của số tự nhiên có một phần tử nhỏ nhất. Chứng minh: Cho A   . Vì  bị chặn dưới bởi 0 nên A cũng bị chặn dưới. Giả sử A bị chặn dưới bởi n0 tức là n  A : n0  n . Nếu n0  A  n0 là số bé nhất trong A . Nếu n0  A  n0  1 A vì giữa n0 và n0  1 không có số nào khác nên n0  1 là số bé nhất trong A . Vậy tiên đề thứ tự được chứng minh. 1.1.3.3. Nguyên lí quy nạp toán học Định lý 1.1. Cho n0 là một số nguyên dương và P n là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên n  n0 . Nếu mệnh đề P n thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) P  n0  là đúng; (2) Giả sử P  k  đúng suy ra P  k  1 đúng. Thì mệnh đề P  n  đúng với mọi số tự nhiên n  n0 . Chứng minh: Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng: Giả sử ngược lại P  n  không đúng. Khi đó m  n0 ,  m    : P  m  không đúng. Chọn m là số tự nhiên bé nhất mà P  m  không đúng ( điều này thực hiện được do tiên đề thứ tự). Khi đó P  m  1 đúng. Tức là P  m  1 đúng mà P   m  1  1  P  m  không đúng ( mâu thuẫn với (2)). Vậy P  n  đúng n  n0 (đpcm). Dựa vào nguyên lí quy nạp toán học này, người ta đưa ra phương pháp quy nạp toán học để kiểm tra một tính chất, mệnh đề đúng thì ta thực hiện hai bước như sau: 17
Bước cơ sở: Ta kiểm tra khẳng định một tính chất đúng với n  n0 . Bước quy nạp: Ta chứng minh rằng nếu với mỗi k  n0 , P  k  thỏa mãn tính chất đã biết thì suy ra P  k  1 cũng có tính chất ấy. Kết luận P  n  có tính chất đã cho n  n0 . Cách chứng minh theo phương pháp quy nạp là tránh cho ta phải đi kiểm tra vô hạn bước các khẳng định của mệnh đề. Vì mệnh đề của bài toán có thể phụ thuộc vào nhiều đối số, nên người ta phải nói rõ chứng minh quy nạp theo n đối với mệnh đề phụ thuộc vào n . 1.2. Một số kỹ thuật của phương pháp quy nạp Trong toán học khi sử dụng phương pháp quy nạp toán học, ở bước cơ sở là bước mà dễ dàng kiểm tra được, thường thì người ta chỉ gặp khó khăn ở bước quy nạp. Dưới đây là một số kỹ thuật để khắc phục những khó khăn này. 1.2.1. Bước quy nạp xây dựng trên P(k) Là kỹ thuật dùng để kiểm tra tính đúng của P  k  1 người ta biến đổi trực tiếp từ khẳng định đúng của P  k  . n  n  1 n  2  Ví dụ 1.8. Chứng minh 1.2  2.3  3.4  ...  n  n  1  , n  * 1.8  . 3 Bài giải 11  11  2  Bước cơ sở: Khi n  1 , ta có VT  1.2  2; VP   2 nên đẳng thức 1.8 3 đúng. Bước quy nạp: Giả sử đẳng thức 1.8 đúng với n  k ,  k  1 . k  k  1 k  2  Khi đó ta có: P  k   1.2  2.3  3.4  ...  k  k  1  3 Suy ra: P  k  1  1.2  2.3  3.4  ...  k  k  1   k  1 k  2   P  k    k  1 k  2  k  k  1 k  2     k  1 k  2  3 18
k  k  1 k  2   3  k  1 k  2   3   k  1 k  2  k  3 . 3 Do đó đẳng thức 1.8 đúng với n  k  1 . Vậy đẳng thức 1.8 đúng n  * . a1  2 Ví dụ 1.9. Cho dãy số xác định bởi:  an 1  an  2n, n   * Chứng minh: an  n 2  n  2 . 1.9  Bài giải Bước cơ sở: Với n  1 , ta có VT 1.9  : a1  2 , VP 1.9  : n 2  n  2  12  1  2  2 Suy ra đẳng thức 1.9  đúng với n  1 . Bước quy nạp: Giả sử đẳng thức 1.9  đúng với n  k ,  k  1 . Khi đó ta có: ak  k 2  k  2. Cần chứng minh đẳng thức 1.9  đúng với n  k  1 , nghĩa là chứng minh: 2 ak 1   k  1   k  1  2. 2 Thật vậy, ta có: ak 1  ak  2k  k 2  k  2  2k   k  1   k  1  2. Do đó đẳng thức 1.9  đúng với n  k  1 . Vậy đẳng thức được chứng minh. 1.2.2. Bước quy nạp xây dựng trên P( k+1) Là kỹ thuật mà để khẳng định mệnh đề đúng với P  k  1 suy từ P  k  , người ta biễu diễn P  k  1 ra mệnh đề của P  k  . Ví dụ 1.10. (Bất đẳng thức Bernoulli) Chứng minh rằng với mọi x  1 , x  0 và n với mọi số tự nhiên n  2 , ta có 1  x   1  nx 1.10  Bài giải 2 Bước cơ sở: Với n  2 , bất đẳng thức 1.10  trở thành 1  x   1  2 x hay x 2  0 , điều này đúng do x  0 . Bước quy nạp: Giả sử bất đẳng thức 1.10  đúng với n  k  k  2  . 19
k Khi đó ta có: P  k   1  x   1  kx. k 1 Suy ra: P  k  1  1  x  k  1  x  1  x   P  k  . 1  x   1  kx 1  x   1  1  k  x  kx 2  1  1  k  x. Do đó bất đẳng thức 1.10  đúng với n  k  1 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có P  n   n3  5n chia hết cho 6 . Bài giải Bước cơ sở: Với n  1 ta có P 1  6 chia hết cho 6 nên bài toán đúng với n  1 . Bước quy nạp: Giả sử bài toán đúng với n  k nghĩa là P  k  6 với P  k   k 3  5k . 3 Khi đó: P  k  1   k  1  5  k  1  k 3  3k 2  8k  6  k 3  5k  3k  k  1  6  P  k   3k  k  1  6. Ta có P  k  6 (theo giả thiết quy nạp), 3k  k  1 6 (vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 ) suy ra P  k  1 6 . Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.12. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  2 và x  1 thì bất đẳng n n thức sau luôn đúng: 1  x   1  x   2n . Bài giải Bước cơ sở: Với n  2 bất phương trình trở thành: 2 2 1  x   1  x   4  x 2  1  2 (bđt luôn đúng). Nên bài toán đúng với n  2 . Bước quy nạp: Giả sử bài toán đúng với n  k , nghĩa là: k k P  k   1  x   1  x   2k . 20