Khóa luận tốt nghiệp: Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong đề tài này, tác giả khảo sát những hàm toán đặc biệt thường được sử dụng, như hàm Bessel, tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức liên hợp Legendre, là cơ sở để tạo ra hàm cầu và những ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các vấn đề trong vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa bài toán biên đối với phương trình Helmholts. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN VŨ HOÀNG THANH TRANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN Tổ bộ môn: Toán lý Người hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải Sinh viên thực hiện: Vũ Hoàng Thanh Trang MSSV: 42.01.102.119 Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
LỜI MỞ ĐẦU Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn thiện em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia đình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình làm khóa luận. Thầy luôn đồng hành giúp đỡ, động viên, chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học. Thứ hai, các thầy, cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy, truyền cho em những kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bước vào nghề trong tương lai. Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong thời gian qua. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020 gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang
Mục lục Mục lục 2 Mở đầu 3 1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt 5 1.1 Hàm Bessel và các hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel . . . . . 6 1.1.2 Các hàm trụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu . . . . . . . 19 1.3.2 Hàm riêng của quả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên 25 2.1 Bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn . . . . . . . . 25 2.2 Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống . . . . . . . . . . 29 2.3 Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận và hướng phát triển 41 Tài liệu tham khảo 42 Phụ lục 44 Công bố khoa học 49 2
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của vật lý lý thuyết và vật lý toán việc sử dụng các hàm toán đặc biệt đã trở nên rất cần thiết [1]. Tầm quan trọng của các hàm đặc biệt này có liên quan đến hai yếu tố cơ bản. Thứ nhất, khi khảo sát các mô hình toán học của các hiện tượng vật lý xảy ra trong tự nhiên, ban đầu chúng ta cần khảo sát những bài toán đã được đơn giản hóa, tức là những bài toán mà nghiệm của chúng có thể tìm được ở dạng giải tích (nghiệm chính xác). Thứ hai, những bài toán đã được đơn giản hóa này có thể được sử dụng như là phép thử (hàm cơ sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn những thuật toán số học để giải quyết những bài toán vật lý phức tạp hơn. Trong quá trình khảo sát những bài toán vật lý lý thuyết hay vật lý toán chúng ta thường sử dụng những hàm đặc biệt khác nhau. Nghiệm của nhiều bài toán vật lý quan trọng có liên quan đến các vấn đề như nghiên cứu các quá trình truyền nhiệt và tương tác bức xạ với các chất [2], sự lan truyền của các sóng điện từ và sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân và cấu trúc bên trong của các sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville chứa phương trình Laplace hay Helmholts, mà có thể được tìm thấy ở dạng giải tích chỉ đối với một số lượng nhỏ các miền khảo sát [4]. Trong các trường hợp các miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, như là đoạn thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành thì các nghiệm hàm này được biểu diễn thông qua các hàm sơ cấp cơ bản. Đối với những miền có dạng hình tròn, hình trụ, hình cầu hay những miền phức tạp hơn thì các hàm riêng được biểu diễn thông qua các hàm đặc biệt [5]. Trong thực tiễn những hàm đặc biệt thường đóng vai trò như là nghiệm của những phương trình vi phân khác nhau của các bài toán vật lý. Từ đó, có thể thấy các hàm đặc biệt có ứng dụng vô cùng to lớn trong các ngành khoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lý lý thuyết và vật lý toán. Vì vậy việc khảo sát và nghiên cứu một số hàm toán đặc biệt trong việc ứng dụng giải các bài toán vật lý là một nhiệm vụ thiết yếu của người nghiên cứu khoa học tự nhiên. Trong đề tài khóa luận này chúng tôi sẽ khảo sát những hàm toán đặc biệt 3
thường được sử dụng, như hàm Bessel, tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức liên hợp Legendre, là cơ sở để tạo ra hàm cầu và những ứng dụng của chúng trong việc giải quyết các vấn đề trong vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa bài toán biên đối với phương trình Helmholts. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu các hàm toán đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa và tính chất của các chúng. Khóa luận còn khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bài toán biên. 3. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình và 3 bảng được thể hiện qua hai chương: Chương 1: Hệ thống một số hàm toán đặc biệt Giới thiệu một số hàm toán đặc biệt thường được sử dụng trong vật lý lý thuyết và vật lý toán như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển, đa thức Legendre liên hợp và hàm cầu. Chương 2: Ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên Trình bày ứng dụng của các hàm toán đặc biệt thông qua việc giải một số bài toán biên như bài toán truyền nhiệt trong một hình trụ dài vô hạn, bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống và bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài. Cuối cùng là phần kết luận và hướng phát triển của đề tài. 4
Chương 1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt 1.1. Hàm Bessel và các hàm trụ Hàm Bessel xuất hiện trong nghiệm của các phương trình có chứa toán tử Laplace 4 trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Xét phương trình ∂ 2u ∂ 2u −4u(x, y) ≡ − − = λu + f (x, y). ∂x2 ∂y 2 Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) thì phương trình đã cho có dạng 1 ∂ 2 u˜ 1 ∂ ∂ u˜ − r − u + f˜(r, ϕ), = λ˜ r ∂r ∂r r2 ∂ϕ2 với u˜(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ). Nếu nghiệm hàm u˜(r) không phụ thuộc vào ϕ và f = 0 thì phương trình đã cho trở thành 1 u00 (r) + u0 (r) + λu(r) = 0. r Phương trình này được xem như là trường hợp riêng của phương trình Bessel. Ta có phương trình Bessel ở dạng tổng quát x2 u00 + xu0 + (x2 − ν 2 )u = 0. (1.1) 5
Mỗi nghiệm hàm khác 0 của phương trình Bessel được gọi là hàm trụ. 1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel Xét các tính chất cơ bản của hàm Bessel và các hàm trụ. Vì phương trình (1.1) có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x) của nó có thể được biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa tổng quát ∞ X σ u(x) = x ak x k , (1.2) k=0 với a0 6= 0, số mũ σ và các hệ số ak thỏa mãn định nghĩa. Chuỗi lũy thừa (1.2) có khả vi đến cấp bất kì. Thay chuỗi (1.2) vào phương trình (1.1) và đồng nhất hệ số hai vế của phương trình theo lũy thừa của x, ta thu được các biểu thức truy hồi sau a0 (σ 2 − ν 2 ) = 0 a1 [(σ + 1)2 − ν 2 ] = 0 a2 [(σ + 2)2 − ν 2 ] + a0 = 0 (1.3) ....................... ak [(σ + k)2 − ν 2 ] + ak−2 = 0, k = 2, 3, ... Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), ta suy ra σ 2 − ν 2 = 0 hay σ = ±ν . Chú ý k rằng, khi ν 6= , k = 1, 2, ... thì ta có điều kiện sau 2 (σ + k)2 − ν 2 6= 0; k = 1, 2, 3, ... (1.4) Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), khi σ = ±ν , ta suy ra a1 = 0 (1.5) Theo điều kiện (1.4), từ phương trình cuối cùng của hệ (1.3) ta thu được công thức truy hồi ak−2 ak = − , k = 2, 3, ... (1.6) (σ + k + ν)(σ + k − ν) Từ biểu thức (1.5) và (1.6), ta thấy rằng tất cả các hệ số với chỉ số dưới lẻ đều bằng 0, còn các hệ số với chỉ số dưới chẵn có thể được biểu diễn qua a0 . Xét trường 6
hợp σ = ν , khi đó, trong biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu được a2p−2 a2p = − 2 . (1.7) 2 p(p + ν) Áp dụng công thức (1.7) một cách tuần tự, ta thu được (−1)p a0 a2p = . (1.8) 22p p!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + p) Như vậy, nghiệm của phương trình Bessel (1.1) được xác định với độ chính xác theo thừa số tùy ý a0 . Ta có thể cho a0 ở dạng 1 a0 = , (1.9) 2ν Γ(ν + 1) với Γ là hàm Gamma–Euler. Theo tính chất của hàm Gamma–Euler [? ] Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2)...(ν + p) = Γ(p + 1 + ν) Từ công thức (1.8) và (1.9), ta thu được (−1)p a2p = . 22p+ν Γ(ν + 1)Γ(p + 1 + ν) Xét chuỗi ∞ (−1)k X x 2k+ν Jν (x) = . (1.10) Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1) 2 k=0 Dùng quy tắc d’Alembert, có thể chứng minh được chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt đối với mọi x. Định nghĩa: Chuỗi (1.10) được gọi là hàm Bessel loại một bậc ν và được ký hiệu là Jν (x). Ta thấy rằng hàm Jν (x) là một nghiệm riêng của phương trình Bessel (1.1). Xét trường hợp khi σ = −ν . Đặt Yν (x) = J−ν (x), thực hiện một cách tương tự, ta cũng sẽ đi đến định nghĩa sau Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν ∞ (−1)k X x 2k−ν Yν (x) = (1.11) Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1) 2 k=0 7
Hình 1.1. Hàm Bessel loại một Jn (x) ứng với n = 0, 1, 2. là hàm Bessel loại hai bậc ν . Hình 1.2. Hàm Bessel loại hai Yn (x) ứng với n = 0, 1, 2. Khi ν nhận giá trị không nguyên (ν 6= ±1, ±2..) thì hàm Yν (x) là nghiệm thứ hai của phương trình Bessel. Nghiệm này sẽ độc lập tuyến tính với hàm Bessel loại một Jν (x) nên các hàm Jν (x) và Yν (x) sẽ hình thành một hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel bậc ν . 8
Nếu ν = n – số nguyên, thì Yn (x) = (−1)n Jn (x). (1.12) Khi đó các hàm Yn (x) và Jn (x) sẽ phụ thuộc tuyến tính và không hình thành hệ nghiệm hàm cơ bản. Ta chứng minh biểu thức (1.12). Vì Γ(−k) = ∞, k = 0, 1, ..., nên tổng chuỗi trong công thức (1.11) bắt đầu từ giá trị k = n, ta có ∞ (−1)k X x 2k−n Yn (x) = Γ(k − n + 1)Γ(k + 1) 2 k=n ∞ (−1)n+s X x 2s+n = Γ(s + 1)Γ(s + n + 1) 2 s=0 = (−1)n Jn (x). Các hàm trụ Bessel với các chỉ số dưới liên tiếp nhau (ν − 1, ν và ν + 1) cùng các đạo hàm liên hệ với nhau bằng hệ thức truy hồi 2ν Jν+1 (x) = −Jν−1 (x) + Jν (x), (1.13) x ν Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x), (1.14) x ν Jν (x) = Jν−1 (x) − Jν (x). (1.15) x Chú ý rằng, các hàm trụ Bessel với chỉ số dưới là số bán nguyên được biểu diễn thông qua các hàm sơ cấp. Thật vậy, ta có 1 √ Γ = π 2 và 1 · 3 · · · (2k + 1) √ 3 Γ +k = π, 2 2k+1 Từ phương trình (1.10), ta có ∞ x 2k+ 12 X (−1)k J 1 (x) = 2 k!Γ( 32 + k) 2 k=0 r ∞ r 2 X (−1)k 2x+1 2 = x = sin x. πx (2k + 1)! πx k=0 9
Tương tự, ta cũng có r 2 Y 1 (x) = cos x. 2 πx Chú ý rằng, từ công thức (1.13) và các biểu thức của các hàm số J 12 (x) và Y 12 (x) ta có công thức tổng quát sau r 2 1 πn 1 πn h i Jn+ 1 (x) = Pn sin x − + Qn cos x − , 2 πx x 2 x 2 với Pn (v) và Qn (v) là những đa thức có bậc không vượt quá n phụ thuộc vào v , ngoài ra Pn (0) = 1, Qn (0) = 0. Khi x → ∞ thì ta có công thức tiệm cận của hàm Bessel r 2 πν π h 1 i Jν (x) = cos x − − +O . (1.16) πx 2 4 x Điểm không của hàm Bessel: Là những điểm mà tại đó hàm Bessel nhận giá trị bằng 0 [7]. Ở đây ta chỉ xét điểm không của hàm Bessel loại một có chỉ số dưới là số nguyên. Cụ thể, xét phương trình Jn (x)=0. Phương trình này luôn có một bộ nghiệm dương và các nghiệm này được phân bố theo thứ tự tăng dần, tức là (n) (n) (n) µ1 < µ2 < ... < µk < ... Thực hiện tính toán các giá trị của 6 điểm không đầu tiên của hàm J0 (x) với độ chính xác đến 4 chữ số thập phân, ta được: (0) (0) (0) µ1 = 2.4048, µ2 = 5.5201, µ3 = 8.6537, (0) (0) (0) µ4 = 11.7015, µ5 = 14.9309, µ6 = 18.0711. Chú ý rằng, ta có thể tìm không điểm của hàm Bessel bằng cách sử dụng công thức tiệm cận (1.16), cụ thể cho Jν (x) = 0, ta suy ra (ν) 3π πν µk = + + kπ, k ∈ Z. 4 2 1.1.2. Các hàm trụ khác Cùng với hàm Bessel Jν (x) thì trong các bài toán vật lý thường sử dụng các hàm trụ khác [8]. Ta xét một số hàm trụ sau Hàm Hankel loại một (1) i Hν (x) = [Jν (x)e−iπν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z, sin πν 10
(1) i ∂Jν (x) ∂Yν (x) Hn (x) = Jn (x) + − (−1)n , ν = n; π ∂ν ∂ν Hàm Hankel loại hai (2) 1 Hν (x) = [Jν (x)eiπν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z, i sin πν (2) i ∂Jν (x) ∂Yν (x) Hn (x) = Jn (x) − − (−1)n , ν = n; π ∂ν ∂ν Hàm Neumann 1 Nν (x) = [Jν (x) cos πν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z, sin πν 1 ∂Jν (x) ∂Yν (x) Nn (x) = − (−1)n , ν = n; π ∂ν ∂ν Hàm Infeld và hàm Macdonald π πi π (1) Iν (x) = exp − νi Jν (ix), Kν (x) = exp νi Hν (ix). 2 2 2 Hàm Hankel loại một và loại hai được biểu diễn qua hàm Bessel và Neumann như sau (1) (2) Hν (x) = Jν (x) + iNν (x), Hν (x) = Jν (x) − iNν (x). (1.17) Sử dụng công thức tiệm cận của các hàm Bessel Jν (x), ta có các biểu thức tiệm cận của các hàm trụ như sau r 2 π π h i (1) − 32 Hν (x) = exp i x − ν − +O x , πx 2 4 r 2 π π h i (2) − 32 Hν (x) = exp −i x − ν − +O x , πx 2 4 r 2 π π Nν (x) = sin x − ν − 3 + O x− 2 , (1.18) πx 2 4 ex 1 + O(x−1 ) , Iν (x) = √ 2πx r π −x 1 + O(x−1 ) . Kν (x) = e 2x Một bộ đôi hàm số bất kỳ từ bộ các hàm số Jν (x), Nν (x), Hν(1) (x), Hν(2) (x) tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel với mọi giá trị của ν . Từ đó ta 11
có công thức nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là u(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x) hoặc (1) (2) u(x) = C1 Hν (x) + C2 Hν (x). Nếu trong phương trình Bessel, ta thay x bởi ix, thì các hàm Infeld và Macdonald sẽ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình, từ đó ta có nghiệm tổng quát u(x) = C1 Iν (x) + C2 Kν (x). Khi x → 0, ta có biểu thức mô tả trạng thái của các hàm trụ 1 2 ν Jν (x) ≈ , ν ≥ 0; Γ(ν + 1) x 2 x  ln , ν = 0, Nν (x) ≈ π Γ(ν) 2 −ν x − , ν > 0; π 2  2 x ±i ln , ν = 0, (1,2) π 2 −ν Hν (x) ≈ ±i Γ(ν) x , ν > 0; π 2 ln 2 , ν = 0,  Kν (x) ≈ 1 x x −ν  Γ(ν) , ν > 0. 2 2 1.2. Đa thức Legendre 1.2.1. Đa thức trực giao cổ điển Legendre Trong các bài toán vật lý toán và vật lý lý thuyết, đa thức Legendre là một hệ đa thức hoàn chỉnh và trực giao. Đa thức Legendre có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau và mỗi cách định nghĩa làm nổi bật các tính chất cũng như những ứng dụng khác nhau trong việc giải các bài toán biên. Ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của đa thức Legendre thông qua 12
phương trình vi phân của bài toán Sturm–Liouville d dy (1 − x2 ) λy = 0, −1 ≤ x ≤ 1, (1.19) dx dx |y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞. (1.20) Phương trình (1.19) được gọi là phương trình vi phân Legendre. Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.19) trong lân cận của điểm x = 0 ở dạng chuỗi lũy thừa ∞ X y(x) = ak x k . (1.21) k=0 Thay biểu thức (1.21) vào phương trình (1.19) và thực hiện một số phép biến đổi cơ bản, ta thu được ∞ X [(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k 2 − k)ak ]xk = 0, k=0 suy ra [(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k 2 − k)ak ]xk = 0, k = 0, ∞. Từ đó, ta có công thức truy hồi λ − k2 − k ak+2 = − ak . (1.22) (k + 2)(k + 1) Công thức này cho phép ta biểu diễn các hệ số chẵn qua hệ số a0 và các hệ số lẻ qua a1 . Khi a0 6= 0, a1 = 0, ta có nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của x ∞ X y1 (x) = a2p x2p . (1.23) p=0 Khi a0 = 0, a1 6= 0 – nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc lẻ của x ∞ X y2 (x) = a2p+1 x2p+1 . (1.24) p=0 Ta thấy rằng, các chuỗi y1 (x) và y2 (x) hội tụ trên đoạn [−1; 1]. Nếu λ = n(n + 1), thì |y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞. 13
Thật vậy, từ công thức truy hồi (1.22), khi λ = n(n + 1), ta có an+2 = an+4 = ... = an+2p = ... = 0, nghĩa là một trong các chuỗi (1.23) hoặc (1.24) sẽ triệt tiêu và sẽ tạo thành đa thức bậc n. y(x) = Pn (x), n = 0, ∞. Đa thức trên là hàm riêng của bài toán (1.19), (1.20). Các đa thức này được gọi là đa thức Legendre. Xét một số tính chất của đa thức Legendre [11] 1. Các đa thức Legendre trực giao trên đoạn [−1; 1] với trọng số p(x) = 1, tức là ˆ 1 Pn (x)Pm (x)dx = 0, n 6= m. −1 Thật vậy, theo phương trình Legendre, ta có các đồng nhất thức sau: d dPn (1 − x2 ) + n(n + 1)Pn (x) ≡ 0, dx dx d dPm (1 − x2 ) + m(m + 1)Pm (x) ≡ 0. dx dx Nhân phương trình thứ nhất với Pm (x), và phương trình thứ hai với Pn (x), trừ vế theo vế và sau đó lấy tích phân trên đoạn [−1; 1], ta được ˆ 1 d dPn d dPm Pm (1 − x2 ) − Pn (1 − x2 ) dx −1 dx dx dx dx ˆ 1 = [m(m + 1) − n(n + 1)] Pn (x)Pm (x)dx −1 hay ˆ 1 d 2 dPn dPm (1 − x ) Pm − Pn dx −1 dx dx dx ˆ 1 = (m − n)(m + n + 1) Pn (x)Pm (x)dx. −1 Từ đó ˆ 1 Pn (x)Pm (x)dx −1 14
1 a dPn dPm
= (1 − x2 ) Pm − Pn
= 0, (m − n)(m + m + 1) dx dx