Khóa luận tốt nghiệp: Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận tìm hiểu tổng quan dao động tử điều hòa biến dạng q trên cơ sở nghiên cứu các hệ thức giao hoán, phản giao hoán tương ứng, áp dụng lý thuyết trường lượng tử để xây dựng các thống kê lượng tử biến dạng q. Tìm hiểu và biểu diễn ma trận của các toán tử trong vật lý.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ==== NGÔ THỊ KHÁNH LINH TÌM HIỂU TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ==== NGÔ THỊ KHÁNH LINH TÌM HIỂU TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Vật lí, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã quan tâm dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt 4 năm học tập tại trƣờng cũng nhƣ trong quá trình thực hiện khóa luận này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, ngƣời đã đặt nền móng, tận tình hƣớng dẫn và động viên em trong quá trình nghiên cứu để khóa luận đƣợc hoàn thành. Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận đƣợc những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Ngô Thị Khánh Linh
LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan công trình nghiên cứu này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh. Công trình này không trùng lặp với các kết quả đã công bố. Sinh viên Ngô Thị Khánh Linh
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2 6. Đóng góp của đề tài....................................................................................... 2 NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 CHƢƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH ........................... 3 1.1. Dao động tử điều hòa tuyến tính ................................................................ 3 1.1.1. Hàm sóng của dao động tử điều hòa tuyến tính ...................................... 3 1.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính lƣợng tử ............. 6 1.1.3. Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều ................................ 15 1.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa tuyến tính ......................................................................................................... 17 1.2. Dao động tử Boson................................................................................... 19 1.2.1. Ngƣng tụ Bose-Einstein ........................................................................ 19 1.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson ............................................. 19 1.2.3. Biễu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson .............................. 22 1.2.4. Thống kê Bose-Einstein ........................................................................ 24 1.3. Dao động tử Fermion ............................................................................... 26 1.3.1. Nguyên lí loại trừ Pauli ......................................................................... 26 1.3.2. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion ................................. 27 1.3.3. Thống kê Fermi-Dirac ........................................................................... 31 Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 32
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG q ........................ 33 2.1. Dao động tử điều hòa biến dạng q ........................................................... 33 2.1.1. Lý thuyết q- số ...................................................................................... 33 2.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa biến dạng q ........................ 35 2.1.3. Tính phi điều hòa của dao động tử điều hòa biến dạng q ..................... 37 2.1.4. Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của dao động tử điều hòa biến dạng q ...................................................................................................... 39 2.2. Dao động tử Boson biến dạng q ............................................................... 41 2.2.1. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q .......... 41 2.2.2. Các hệ thức giao hoán của toán tử Boson biến dạng q ......................... 42 2.2.3. Thống kê Bose-Einstein biến dạng q .................................................... 43 2.3. Dao động tử Fermion biến dạng q ........................................................... 45 2.3.1. Các hệ thức phản giao hoán của toán tử Fermion biến dạng q ............. 45 2.3.2. Thống kê Fermi-Dirac biến dạng q ....................................................... 46 Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 48 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 50
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, phát triển mạnh mẽ trên cơ sở có nội dung vật lý và phƣơng pháp toán học. Vật lý lý thuyết nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, lý giải đƣợc bản chất của các hiện tƣợng tự nhiên. Trải qua nhiều giai đoạn phát triển, các nhà khoa học nhiều lần biến dạng các quy luật cơ bản để tạo ra các lý thuyết mới đáp ứng nhu cầu nghiên cứu. Ngày nay, việc nghiên cứu bằng phƣơng pháp đại số biến dạng nhận đƣợc nhiều sự quan tâm của nhà khoa học bên vật lý lý thuyết và vật lý toán. Chính với các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề trong vật lý lý thuyết nhƣ: quang học phi tuyến, thống kê lƣợng tử, vật lý chất rắn lƣợng tử,… Đặc biệt, ngƣời ta thấy phƣơng pháp này rất hiệu quả khi nghiên cứu hình thức luận dao động tử biến dạng lƣợng tử. Dao động tử biến dạng chính là sự biến dạng của các dao động tử điều hòa phụ thuộc vào một hay nhiều thông số biến dạng và khi thông số biến dạng tiến đến một giá trị nào đó thì dao động tử biến dạng lập tức trở lại dao động tử điều hòa. Xuất phát từ lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q” làm đề tài nghiên cứu của mình. Với đề tài này, tôi mong muốn tìm hiểu tổng quan dao động tử điều hòa biến dạng q trên cơ sở nghiên cứu các hệ thức giao hoán, phản giao hoán tƣơng ứng, áp dụng lý thuyết trƣờng lƣợng tử để xây dựng các thống kê lƣợng tử biến dạng q. Tìm hiểu và biểu diễn ma trận của các toán tử trong vật lý. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày một số tính chất của dao động tử điều hòa tuyến tính. - Nghiên cứu về dao động tử điều hòa biến dạng q. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử điều hòa tuyến tính. - Nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng q bằng lí thuyết biến dạng. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các phƣơng pháp vật lý lý thuyết: Phƣơng pháp vật lý thống kê, phƣơng pháp lý thuyết trƣờng lƣợng tử, phƣơng pháp nhóm lƣợng tử và các phƣơng pháp giải tích khác. 6. Đóng góp của đề tài Tìm hiểu tổng quan về dao động tử điều hòa biến dạng q có những đóng góp quan trọng trong lý thuyết lƣợng tử nói chung nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung. 2
NỘI DUNG CHƢƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH 1.1. Dao động tử điều hòa tuyến tính 1.1.1. Hàm sóng của dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lƣợng m, chuyển động dƣới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F  kx dọc theo một đƣờng thẳng nào đó. 1 Xuất phát từ phƣơng trình Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính có: ˆ ˆ ˆ Pˆx2 1 2 H  T U   kxˆ , 2m 2 2 d2 1 2 Hˆ    kxˆ . (1.1) 2m dx 2 2 Với năng lƣợng E trạng thái của hạt đƣợc biểu diễn bằng hàm sóng   x  thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger: Hˆ  x   E  x  , Thay (1.1) vào phƣơng trình trên ta có :  2 d2 1 2   2m dx 2  2 kxˆ   x   E  x  , (1.2)   1  mk  4 m 2E m 2E Theo đó ta đặt    2   ,   ,   k  và dùng biến không thứ nguyên, phƣơng trình (1.2) trở thành:  d 2 m2 2 2  2mE  dx  x   x      x,   2 2 2 3
 d2  2m    2   2 x 2   x    2   x    2  x  ,  dx  2  d2         2     0,  d      2   d2   2         0. 2 (1.3)  d      Trong đó        hữu hạn tại   0 và giới nội khi    . Khi    lớn thì hàm    tƣơng ứng trong (1.2) sẽ có dạng nhƣ sau:   2    exp    ,  2 nghiệm tìm đƣợc chính xác dƣới dạng :  2      v   exp  . (1.4)  2 Thay (1.4) vào (1.3) có:  d2 2  2  d 2        v  e  0, (1.5) 2   d      2 2 2   v   e  v  . .e       v   e  0 2 2 2 2 d    2   v    2v  .   v    v     v     v    e 2 2 2 0  v ''   2 v      1 v    0. (1.6) Tìm hàm v   dƣới dạng chuỗi:  v     an n , ( a0 ≠ 0) n 0 trong đó:   v '     nan n1   nan n , n 1 n 0 4
  v     n  n  1an n2    n  1 n  2  an 2 n . n2 n 0 Phƣơng trình (1.6) có trở thành :    n  1 n  2  a n 0 n2  1  2n    an  n  0. Dễ dàng tìm đƣợc công thức truy hồi cho các hệ số khai triển: 2n  1   an 2  . (1.7)  n  1 n  2  Nếu hàm    giới nội khi    thì chuỗi (1.7) phải bị cắt ở một bậc n hữu hạn nào đó. Từ đó ta có: 2n  1    0 Với   2n  1 thay vào (1.6) đƣợc: v    2 v    2nv    0. Mặt khác, H n   là đa thức Hermite tƣơng ứng trong toán học thỏa mãn phƣơng trình sau: H n    2 H n    2nH n    0. (1.8) Tiếp theo, để xác định dạng tƣờng minh của hàm sóng   x  ta so sánh hai phƣơng trình trên với N n là một hệ số có kết luận: v    vn    Nn H n   , suy ra:   2 x2   x   n  x   Nn H n   x  e 2 . (1.9)  Ta tính đƣợc hệ số N n  nhờ việc đi chuẩn hóa hàm sóng: 2 n!  n 2  2  Nn   n  x  dx   H n   e d  1, 2 2    5
  H   e d  2 n!  . 2  2 n kết hợp với tính chất của Hermite: n   n  Dựa vào biểu thức (1.8) có: H n     1 e 2 n 2 e .  n Ví dụ nhƣ: H 0  x   1, H1  x   2 x , H 2  x   2  2 x 2  1 , H 3  x   4 x  2 x 2  3... Hàm sóng tƣơng ứng:   2 x 2 2  0  x  e ,    2 x2 2 3 1  x  xe 2 ,   x  2 2  2  x  2   2 x  1 e 2 , 2 2  x 3 2 2  3  x  3   2 x  3 xe 2 ,...... 2 2 Với biểu thức (1.9) rút ra đƣợc ý nghĩa của hàm sóng là khi xác định xác suất của dao động tử có năng lƣợng En tìm thấy đƣợc trong khoảng x tới x  dx bằng công thức: dwnLT  x  dx   n  x  dx. 2 (1.10) 1.1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính lƣợng tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng: ˆ Pˆx2 1 2 H  kxˆ . (1.11) 2m 2 6
Để thuận tiện ta dùng các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc: 1 xˆ  qˆ là toán tử tọa độ d pˆ  pˆ x  i là toán tử xung lƣợng dx Toán tử tọa độ qˆ và toán tử xung lƣợng pˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán:  pˆ , qˆ   i . Thật vậy, xét hệ thức giao hoán pˆ và qˆ là: d d d d  pˆ , qˆ   pq ˆ ˆ  qp ˆ ˆ  i x  x  i   i xi x , dx dx dx dx d d  pˆ , qˆ   i  x   i x   i  , dx dx Khi đó Hamiltonian biểu diễn theo pˆ và qˆ nhƣ sau: ˆ pˆ 2 m 2 2 H  qˆ . (1.12) 2m 2 m   Ta đặt: pˆ  i 2  aˆ  aˆ  , qˆ  2m  aˆ   aˆ . Từ đó có thể biểu diễn Hˆ theo aˆ  , aˆ : ˆ pˆ 2 m 2 2 H  qˆ 2m 2 1 2m   m 2  aˆ  aˆ    aˆ  aˆ   2 2  i 2m 2 2 2m 1   ˆ  aˆ     aˆ   aˆ   2 2  . a 2 2   1   . 2 2  ˆ ˆ   2aˆ  aˆ  2aa 7
  aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   . (1.13) 2 Mặt khác các toán tử aˆ và aˆ  cũng đƣợc biểu diễn ngƣợc lại theo pˆ và qˆ nhƣ sau: m   pˆ Với pˆ  i 2  aˆ  aˆ   aˆ   aˆ  m   ipˆ 2 m  i 2 qˆ 2m qˆ  2m  aˆ   aˆ   aˆ   aˆ   qˆ 2m m  pˆ  Kết hợp ta đƣợc : aˆ    qˆ  i  , (1.14) 2  m m  pˆ  aˆ     qˆ  i . (1.15) 2  m Ta sẽ chứng minh đƣợc các toán tử aˆ  , aˆ đã thỏa mãn hệ thức giao hoán:  aˆ , aˆ    1. (1.16) m  pˆ  m  pˆ  Thật vậy:  aˆ , aˆ    aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   qˆ  i  .  qˆ  i  2  m  2  m m  pˆ  m  pˆ  1 i    qˆ  i    qˆ  i    2i pq ˆˆ    pq ˆ ˆ  2iqp ˆˆ   1. ˆ ˆ  qp 2  m  2  m  2 Cuối cùng nhờ (1.16) thu đƣợc hàm Hamiltonian dạng nhƣ sau:  1 Hˆ   aˆ  aˆ   . (1.17)  2 8
Nhƣ vậy khi tìm hiểu về phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm các véctơ riêng và trị riêng Hamiltonian (1.17) và các toán tử aˆ  , aˆ thỏa mãn hệ thức (1.16) Đặt Nˆ  aˆ  aˆ. (1.18) Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ với các toán tử aˆ  và aˆ là:  Nˆ , aˆ   aˆ hay Na   ˆ ˆ  aˆ Nˆ  1 ,   (1.19)  Nˆ , aˆ    aˆ  hay Na    ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  1 .  (1.20) Thật vậy:  Nˆ , aˆ   Na ˆ ˆ  aN ˆ ˆ  aˆ aa ˆ ˆ aˆ   aˆ aˆ  aa ˆ ˆ  aa ˆ ˆ   aˆ  1.aˆ  aˆ ,    Nˆ , aˆ    Na ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ   aa ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ  .   Ký hiệu n là véctơ riêng của Nˆ ứng với trị riêng n, khi đó ta có phƣơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử Nˆ là: Nˆ n  n n . (1.21) n Nˆ n n aˆ  aˆ n Suy ra: n  0 (1.22) nn nn Vì n n   n  r  dr  0 2 n aˆ  aˆ n   aˆn  r  dr  0 2 Từ đó ta có định lí nhƣ sau: Định lí 1: Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm. Tiếp theo, ta xét véctơ trạng thái â n bằng cách tác dụng các toán tử â lên véctơ trạng thái n . Áp dụng công thức (1.19) tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ có 9
 ˆ ˆ n  aˆ Nˆ  1 n  aN Na  ˆ ˆ n  aˆ n  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n . (1.23) Từ hệ thức trên ta thấy véctơ trạng thái aˆ n cũng là véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1). Tƣơng tự nhƣ vậy, dễ dàng chứng tỏ đƣợc rằng aˆ 2 n , aˆ 3 n … lần lƣợt là véctơ trạng thái của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2), (n-3),…. Xét véctơ trạng thái aˆ  n , tƣơng tự nhƣ vậy tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ , áp dụng công thức (1.10) ta có:   ˆ ˆ  n  aˆ  Nˆ  1 n  aˆ  Nˆ n  aˆ  n Na  aˆ   n  1 n   n  1 aˆ  n . (1.24) Điều đó có nghĩa là véctơ trạng thái aˆ  n cũng là một véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n +1). Tƣơng tự ta có  aˆ   n ,  aˆ   n ,… cũng là 2 3 véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với các trị riêng (n +2), (n+ 3),... Từ đó ta có định lí nhƣ sau: Định lí 2: Nếu n là véctơ trạng thái riêng của Nˆ ứng với trị riêng n thì aˆ p n cũng là một véctơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-p) và  aˆ   n cũng là một véctơ trạng thái trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị p riêng (n+p) với p = 1, 2, 3 và (n- p) ≠ 0. Kết hợp định lí 1 và định lí 2 ta xét nếu n là trị riêng của toán tử Nˆ thì chuỗi các số không âm n-1, n-2 , n-3,…cũng là trị riêng của toán tử. Do chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin : Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin ta có: aˆ nmin  0, (1.25) 10
vì nếu aˆ nmin ≠ 0 thì véctơ trạng thái ứng với trị riêng (nmin – 1) nmin, trái với giả thiết là nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.15) ta có: aˆ  aˆ nmin  Nˆ nmin  0. (1.26) Mặt khác, có định nghĩa nmin Nˆ nmin  nmin nmin . (1.27) So sánh 2 phƣơng trình (1.26) và (1.27) ta đi tới định lí nhƣ sau : Định lí 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin có giá trị bằng 0. Theo định lí 3, véctơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất Nˆ đƣợc ký hiệu là 0 gọi là trạng thái chân không, véctơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện: aˆ 0  0. Khi đó: aˆ  0  0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n  1,  aˆ   2 0 tỉ lệ với véctơ riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n  2 ,…,  aˆ   n 0 tỉ lệ với véctơ riêng n của Nˆ ứng với trị riêng n .  1  1  Vì biểu thức: Hˆ   aˆ  aˆ      Nˆ      Nˆ   2  2 2   Hˆ 0   Nˆ 0  0. 2 Và Nˆ 0  0 0  0,  Hˆ 0  0  E0 0 , 2 1 nên: 0 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E0   , 2  1 1 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E1  1    ,…..,  2  1 n là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng En   n   .  2 11
Vậy ta có định lí sau: Định lí 4 : Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu diễn bằng công thức:  1 En   n   . (1.28)  2 Theo biểu thức (1.28), thấy rằng phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính có đặc điểm: các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lƣợng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lƣợng giữa hai trạng thái liền kề nhau luôn luôn bằng một lƣợng tử năng lƣợng    . Mức năng lƣợng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính là: 1 E0   ≠ 0. 2 Để tìm ý nghĩa của các toán tử Nˆ , aˆ  , aˆ ta làm nhƣ sau: Xét trạng thái 0 ứng với năng lƣợng thấp nhất là : 1 E0   2 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lƣợng: E0 +  Ta có thể xem đây là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng  vào trạng thái 0 . Tiếp theo 2 ứng với năng lƣợng E1 +  = E0 +2  cũng có thể xem nhƣ là kết quả của việc thêm một lƣợng tử năng lƣợng vào trạng thái 1 hay có nghĩa là thêm hai lƣợng tử năng lƣợng vào trạng thái 0 .Nếu ta lấy gốc tính năng lƣợng là E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lƣợng tử nào. Thật vậy 0 đƣợc gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa 1 lƣợng tử, 2 là trạng thái chứa 2 lƣợng tử,… n là trạng thái chứa n 12
lƣợng tử. Toán tử Nˆ với giá trị nguyên không âm, cách nhau 1 đơn vị nên đƣợc đoán nhận là toán tử số lƣợng tử năng lƣợng. Toán tử â khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với n  1 nên đƣợc đoán nhận là toán tử hủy lƣợng tử năng lƣợng. Toán tử â+ khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với n  1 nên đƣợc đoán nhận là toán tử sinh lƣợng tử năng lƣợng. Nếu cho rằng lƣợng tử năng lƣợng là một hạt thì toán tử Nˆ nhất định là toán tử số hạt, â nhất định là toán tử hủy hạt, â+ nhất định là toán tử sinh hạt. Do đó toán tử n ứng với năng lƣợng sau: En  n  . sẽ là toán tử chứa n hạt. Trên đây là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Trong cơ học lƣợng tử , trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa tuyến tính đƣợc coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lƣợng bằng  . Khái niệm hạt ở đây thực ra là các giả hạt hay gọi là các “chuẩn hạt”. Chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ 𝛼n , 𝛽n , 𝛾n trong các hệ thức: aˆ n  an n  1 , aˆ  n  n n  1 , n   n aˆ  n 0 . Để các véctơ là trực giao và chuẩn hóa thì : mn m n   m,n =  khi 1 0 m  n. + Tìm 𝛼n : Ta có: n Nˆ n n Nˆ n n  . nn  n ,n Vì m= n nên 𝛿m,n = 1 13
=> n  n Nˆ n = n aˆ  aˆ n . Mặt khác: n aˆ   n* n  1 Cho nên: n   n* n  1  n n  1   n2 n  1 n  1   n2 coi 𝛼n là số thực nên 𝛼n = n. + Tìm 𝛽n : Có: n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n  n aa ˆ ˆ 1 n . Bên cạnh đó: n aˆ  n*  n  1 Vì vậy: n  n Nˆ n  n aa ˆ ˆ   1 n   n* n  1  n n  1  1   n2  1 coi 𝛽n là số thực nên n2 = n+1 => 𝛽n = n  1. + Tìm 𝛾n : Ta có : n   n aˆ  n 0   n  aˆ   aˆ  0 n 1  n   n  aˆ    0 1   n  0  aˆ   aˆ  1   n  0  aˆ   n 1 n2 n2 1 2  n   n  0 1  aˆ   n2 2  n   n 0 12 ...n1 n  n   n 1.2.3...n n   n n! n 1 n  . n! Vậy ta thiết lập đƣợc các công thức sau: Nˆ n  n n , aˆ n  n n  1 , (1.29) 14