Khóa luận tốt nghiệp: Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khóa luận trình bày lại vắn tắt cách chương trình giải các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn và nội dung bài toán trị riêng, bài toán tán xạ. Từ đó, vận dụng giải các bài toán cụ thể tương ứng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Ứng dụng chương trình tính toán để giải những bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường bậc hai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ LỤA ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN BIÊN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC HAI Bộ môn: Toán lý MSSV: 41.01.102.059 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. LƯƠNG LÊ HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI MỞ ĐẦU Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn thiện em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia đình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình làm khóa luận. Thầy luôn đồng hành giúp đỡ, động viên, chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học. Thứ hai, các thầy, cô trong khoa Vật Lý đã giảng dạy, truyền cho em những kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bước vào nghề trong tương lai. Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong thời gian qua. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Tp.HCM, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Trần Thị Lụa
PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay những hệ lượng tử ít chiều trong các trường ngoại lực như điện trường hoặc từ trường được nghiên cứu và khảo sát một cách mạnh mẽ trong các quá trình như quang ion hóa, tái hợp các nguyên tử và phân tử, chuyển dịch bức xạ của các trạng thái Rydberg của nguyên tử trong các bẫy quang từ [1–3], khuếch tán lượng tử trên bề mặt của các phân tử [4] hay truyền ánh sáng trong các ống quang dẫn rời rạc không đều [5], [6]. Mô hình toán học của các quá trình trên là những bài toán biên có chứa phương trình Schrodinger, một phương trình cơ bản đặc trưng cho trạng thái của một hệ lượng tử bất kì (các hạt cơ bản như electron, proton, hạt nhân, nguyên tử, phân tử v.v..) hoặc hệ phương trình đạo hàm riêng bậc hai dạng Elip trong miền vô hạn với những hàm thế năng khác nhau. Đã có một số công trình khoa học đưa ra những chương trình dựa trên các sơ đồ tính toán bằng phương pháp số và giải tích khác nhau để giải những mô hình toán học trên với mục đích tìm ra hàm sóng và năng lượng riêng của hệ lượng tử. Các chương trình này được viết trên các chương trình phần mềm tính toán như Mathcad, Mathematica. Tuy nhiên số lượng các công trình như vậy còn khá ít và kết quả của những công trình chỉ đưa ra những chương trình tính toán một cách sơ bộ, rời rạc và chỉ áp dụng cho một vài phương pháp đơn giản với nhiều lí do như sự hạn chế tốc độ vận hành của mỗi phần mềm, mã code chưa được chuẩn, hoặc sự hạn chế về mặt tính toán số học hay vẽ đồ thị v.v.. Vì vậy việc xây dựng và áp dụng những chương trình dựa trên những phương pháp mới để khảo sát những mô hình lượng tử phức tạp là một nhiệm vụ cần thiết và quan trọng đối với những người nghiên cứu khoa học, đặc biệt là trong lĩnh vực khoa học tự nhiên và kĩ thuật. Trong khóa luận này chúng tôi sử dụng chương trình có tên gọi "KANTBP 4M — A program for solving boundary problems of the self-adjoint system of ordinary second order differential equations " [7]. Đây là chương trình được biên soạn trên phần mềm Maple (Maplesoft) bởi các cộng tác viên khoa học ở Viện Liên hiệp Hạt nhân Dubna, Thành phố Dubna, Liên Bang Nga. Chương trình có chứa hơn 1000 mã code và thuật toán phức hợp được thể hiện qua các sơ đồ tính toán dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn [8] với đa thức nội suy Hermite [9] để khảo sát các mô hình toán
3 học được đơn giản hóa từ các mô hình vật lý lượng tử ít chiều phức tạp. 2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu Khóa luận trình bày lại vắn tắt cách chương trình giải các bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn và nội dung bài toán trị riêng, bài toán tán xạ. Từ đó, vận dụng giải các bài toán cụ thể tương ứng. 3. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M Chương này gồm các nội dung như giới thiệu chương trình KANTBP 4M, bài toán trị riêng và bài toán tán xạ, phương pháp phần tử hữu hạn, đa thức nội suy Hermite. Chương 2: Ứng dụng chương trình KANTBP 4M Vận dụng chương trình KANTBP 4M để khảo sát các bài toán trị riêng và bài toán tán xạ cho phương trình hoặc hệ phương trình vi phân.
Mục lục 1 Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M . . . . . . . . 5 1.1 Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán . . . . . . . . . . . 6 1.3 Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn của bài toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Đa thức nội suy Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Sự hình thành bài toán trị riêng đại số . . . . . . . . . 14 1.6 Sơ đồ tính toán của bài toán tán xạ nhiều kênh . . . . 18 2 Ứng dụng của chương trình KANTBP 4M . . . . . . . . . . . 22 2.1 Bài toán 1: Nghiệm của bài toán trị riêng với phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa một chiều và phương trình xuyên tâm cho dao động tử điều hòa d – chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Bài toán 2: Nghiệm của bài toán trị riêng cho hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng phần . . . . 31 2.3 Bài toán 3: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh cho hệ phương trình với hàm thế không đổi liên tục từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Bài toán 4: Nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh mô tả sự truyền qua rào thế của hệ hai hạt đồng nhất với tương tác dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 1. Cơ sở lý thuyết của chương trình KANTBP 4M 1.1. Bài toán biên, bài toán trị riêng và phiếm hàm bậc hai đối xứng Chương trình KANTBP 4M [7] là chương trình dùng để giải những bài toán biên và bài toán trị riêng có chứa hệ gồm N phương trình vi phân thường bậc hai đối với hàm số chưa biết (hàm riêng) Φ(z ) = (Φ1 (z ) . . . , ΦN (z ))T của biến số độc lập z ∈ Ω z min , z max bằng phương pháp phần tử hữu hạn [8]: (i) 1 d d (D − EI)Φ (z ) ≡ − I fA (z ) + V(z ) fB (z ) dz dz fA (z ) d 1 d fA (z )Q(z ) + Q(z ) + − EI Φ(z ) = 0 (1.1) fB (z ) dz fB (z ) dz Với fB (z ) > 0 và fA (z ) > 0 là những hàm liên tục hoặc liên tục từng phần mang giá trị dương, I là ma trận đơn vị, V(z) là ma trận đối xứng, Vij (z ) = Vji (z ) và Q(z) là ma trận phản xứng, Qij (z ) = −Qji (z ) của thế hiệu dụng có kích thước N × N . Các phần tử của các ma trận này là những hệ số liên tục hoặc liên tục từng phần mang giá trị thực hoặc phức thuộc không gian Sobolev H2s≥1 (Ω), với điều kiện tồn tại các nghiệm bất thường thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất: Dirichlet (loại I) hoặc Neumann (loại II) hoặc loại III tại các điểm biên trong khoảng z ∈ z min , z max với giá trị được cho sẵn của các phần tử thuộc ma trận thực hoặc phức R(z t ) có kích thước N × N . (I) : Φ(z t ) = 0, t=min và (hoặc) max (1.2) d (II) : limt fA (z ) I − Q(z ) Φ(z ) = 0, t=min và (hoặc) max (1.3) z→z dz d
(III) : I − Q(z ) Φ(z )
= R(z t )Φ(z t ), t=min và (hoặc) max(1.4)
dz z=z t Nghiệm Φ(z ) ∈ H2s≥1 (Ω) của các bài toán biên (1.1)–(1.4) được rút gọn theo phép tính toán số học các điểm dừng của phiếm hàm bậc hai đối xứng
6 bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn. z max . Z min max Ξ(Φ, E, z ,z )≡ Φ (z )(D − EI)Φ(z )dz z min = Π(Φ, E, z min max ,z . ) − f A (z max )Φ (z max )G(z max )Φ(z max ) . + f A (z min )Φ (z min )G(z min )Φ(z min ) (1.5) min max Z z max dΦ (z ) dΦ(z ) . . Π(Φ, E, z ,z )= f A (z ) + f B (z )Φ (z )V(z )Φ(z ) z min dz dz . dΦ(z ) dΦ(z ) . + f A Φ (z )Q(z ) − f A (z ) Q(z )Φ(z ) dz dz . − f B (z )EΦ (z )Φ(z ) dz (1.6) Với G(z ) = R(z ) − Q(z ) là ma trận đối xứng có kích thước N × N , dấu . là hoán vị T hoặc liên hợp Hermite † , tức là chuyển vị với liên hợp phức phụ thuộc vào loại bài toán cần giải. 1.2. Mô tả ngắn gọn các dạng bài toán Xét 2 dạng bài toán biên cơ bản: Bài toán tán xạ nhiều kênh Trên trục z ∈ (−∞, +∞) với giá trị năng lượng không đổi E =
7 )o ( z o rf) )m ( z o rf) l o o rf ) lm o ) X( ) ( z ) X( ) ( z ) l l l o o m X( ) ( z )R o X(+) ( z )To X() ( z)Tm X(+) ( z)R m z0 z!0 z0 z!0 ! Hình 1.1: Sơ đồ biểu diễn nghiệm của bài toán tán xạ với tiệm cận có dạng "sóng tới + sóng phản xạ và sóng truyền qua" trong các kênh mở.  X(+) (z )T , z ∈ [z max , +∞),  v v =→,    X(+) (z ) + X(−) (z )R , z ∈ (−∞, z min ],  v Φv (z → ±∞) =  X(−) (z ) + X(+) (z )R , z ∈ [z max , +∞),  v v =←,    X(−) (z )T ,  z ∈ (−∞, z min ], v (1.7) Trong đó Tv và Rv là ma trận chữ nhật và ma trận vuông chưa biết của biên độ truyền qua và phản xạ tương ứng, để thành lập ma trận tán xạ S có kích thước No × No , No = NoL + NoR : ! R→ T ← S= , S† S = S† S = I (1.8) T→ R ← là ma trận đối xứng và đơn nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực. Đối với bài toán tán xạ nhiều kênh trên bán trục z ∈ [z min , +∞) hoặc z ∈ (−∞, z max ], nghiệm ở dạng ma trận cần tìm Φ(z ) của bài toán biên dành cho hệ N phương trình vi phân thường bậc hai (1.1) được tính trong khoảng z ∈ [z min , z max ]. Các nghiệm của ma trận này phải thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất loại III (1.4) tại điểm biên z max hoặc z min của khoảng đang xét, với tiệm cận của loại "sóng tới + sóng truyền qua" trong các kênh mở i = 1, . . . , No : Φ← (z → +∞) = X(−) (z ) + X(+) (z )R← , z ∈ [z max , +∞) (+) (−) min (1.9) hoặc Φ→ (z → −∞) = X (z ) + X (z )R→ , z ∈ (−∞, z ] và thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất (1.2)–(1.4) tại điểm biên z min hoặc
8 z max để thành lập ma trận tán xạ S = R← hoặc S = R→ là ma trận đối xứng và đơn nhất trong trường hợp hàm thế năng có giá trị thực. Trong nghiệm của bài toán tán xạ nhiều kênh các kênh đóng cũng được xét. Trong trường hợp này điều kiện tiệm cận (1.7),(1.9) có dạng:  X(→) (z )T + X(c) (z )Tc , z ≥ z max as max → max → Φ→ = (1.10) X(→) (z ) + X(←) (z )R + X(c) (z )Rc , z ≤ z min min min → min →  X(←) (z ) + X(→) (z )R + X(c) (z )Rc , z ≥ z max max max ← max ← Φas ← = (1.11) X(←) (z )T + X(c) (z )Tc , z ≤ z min min ← min ← (→) (→) trong đó Xmax (z ) = X(+) (z ), z ≥ z max , Xmin (z ) = X(+) (z ), z ≤ z min , (←) Xmin (z ) = X(−) (z ), z ≤ z min trong phương trình (1.10) và X(←) max (z ) = (←) X(−) (z ), z ≥ z max , Xmax (→) (z ) = X(+) (z ), z ≥ z max , Xmin (z ) = X(−) (z ), z ≤ z min trong phương trình (1.11). Giả sử các số hạng chính của các nghiệm tiệm cận X(±) (z ) của bài toán biên tại z ≤ z min và (hoặc) z ≥ z max có dạng như sau: trong các kênh mở Vito io < E thì nghiệm dao động: exp(±ıptio z ) Xi±o j (z ) → p δio j , fA (z )pti s t fB (z t ) q pio = t E − Vito io j = 1, . . . , N, io = 1, . . . , No , (1.12) fA (z ) trong các kênh đóng Vitc ic ≥ E thì nghiệm giảm theo hàm số mũ: 1 Xicc j (z ) → p exp(−ptic |z|)δic j , fA (z ) s t fB (z t ) q t pi c = Vic ic − E j = 1, . . . , N, ic = No + 1, . . . , N. (1.13) fA (z t ) Các hệ thức này trở nên đúng đắn nếu các hệ số của phương trình đối với z ≤ z min và (hoặc) z ≥ z max thỏa mãn điều kiện dưới đây: fA (z ) fA (z t ) = + o(1), t = min, max, Vii (z ) = Viit + o(1), Vijt (z ) = o(1), fB (z ) fB (z t ) Qtij = o(1), i 6= j. (1.14)
9 Bài toán trị riêng Chương trình KANTBP 4M tính toán một bộ M trị riêng năng lượng E :
10 1.3. Sự hình thành phương pháp phần tử hữu hạn của bài toán đại số Các sơ đồ tính toán có độ chính xác cao để giải bài toán biên (1.1)–(1.4) có thể được suy ra từ phiếm hàm biến phân (1.5)– (1.6) dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn. Ý tưởng chung của phương pháp này là trong không gian một chiều khoảng z min , z max được chia thành nhiều phần nhỏ mà mỗi phần được xem như là các phần tử. Kích thước của các phần tử này có thể được xác định thông qua các tính chất vật lý của hệ lượng tử đang khảo sát, và dáng điệu cũng như tính chất trơn của nghiệm hàm cần tìm cùng với đạo hàm. Khoảng ∆ = z min , z max chứa một bộ n phần tử ∆j = zjmin , zjmax ≡ zj+1 min , tức là ∆ = ∪nj=1 ∆j . Vì vậy, chúng ta thu được một mạng lưới: Ωhj(z) z min , z max = {z min = z1min , zjmax = zjmin + hj , j = 1, . . . , n − 1, znmax = znmin + hn = z max } (1.17) trong đó, zjmin ≡ zj−1 max , j = 2, . . . , n là các điểm mắt và các bước hj = zjmax − zjmin là độ dài của các phần tử ∆j . Chương trình còn có khả năng xác định một mạng lưới giả đồng nhất, mà h1 = h2 = ... = hn1 , hn1+1 = hn1+2 = ... = hn1+n2 , hn1+n2+1 = hn1+n2+2 = . . . = hn1+n2+n3 , . . . tức là khoảng ∆ = z min , z max đầu tiên được chia nhỏ thành nmesh khoảng phụ (trong trường hợp tổng quát độ dài không bằng nhau), mỗi khoảng phụ đó lại được chia thành ngrid(r0) = nr0 khoảng con có cùng độ dài. 1.4. Đa thức nội suy Hermite Trong mỗi phần tử ∆j chúng ta định nghĩa mạng lưới con cách đều h (z) Ωj j [zjmin , zjmax ] = {z(j−1)p = zjmin , z(j−1)p+r , r = 1, . . . , p − 1, zjp = zjmax } với điểm nút zr ≡ z(j−1)p+r được xác định bởi công thức: z(j−1)p+r = ((p − r)zjmin + rzjmax )/p, r = 0, . . . , p. (1.18) max Đối với một bộ hàm địa phương {Nl (z, zjmin , zjmax )}ll=0 , lmax = Σpr=0 κmax r , max p κ −1 chúng ta sử dụng đa thức nội suy Hermite (IHPs) {{ϕκr (z )}r=0 }κ=0 r tại
11 các điểm nút zr , r = 0, . . . , p của mạng lưới (1.18). Đối với mỗi điểm nút zr giá trị của hàm ϕκr (z ) và đạo hàm của nó đến bậc (κmax r − 1) tức là κ = 0, . . . , κmax r − 1, trong đó κmax r được hiểu như là bội số của điểm nút zr , được xác định bằng biểu thức [9]: 0 dκ ϕκr (z )
ϕκr (zr0 ) = δrr0 δκ0 , = δrr0 δκκ0 (1.19) dz κ0
z=z 0 r Để tính đa thức nội suy Hermite chúng ta đưa vào hàm trọng số phụ p κmax z − zr0 r0 Y wr (z ) = , wr (zr ) = 1. (1.20) 0 0 zr − z r 0 r =0,r 6=r Đạo hàm của hàm trọng số có thể được biểu diễn dưới dạng tích số dκ wr (z ) κ = wr (z )grκ (z ), dz Trong đó, thừa số grκ (z ) được xác định bằng hệ thức truy hồi dgrκ−1 (z ) grκ (z ) = + gr1 (z )grκ−1 (z ), (1.21) dz với điều kiện đầu p 1 dwr (z ) X κmax r0 gr0 (z ) = 1, gr1 (z ) ≡ = . (1.22) wr (z ) dz z − zr0 r0 =0,r0 6=r Chúng ta sẽ tìm đa thức nội suy Hermite ϕκr (z ) ở dạng sau κmax rX −1 0 0 ϕκr (z ) = wr (z ) aκ,κ κ r (z − zr ) . (1.23) κ0 =0 Lấy đạo hàm hàm (1.23) theo z tại điểm zr và kết hợp phương trình (1.20), ta thu được 0 κ0 dκ ϕκr (z )