Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2016 – 2017 môn Toán

Ở Ỳ Ớ Ọ Ể S  GD&ĐT VĨNH PHÚC K  THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN NĂM H C 2016 –

2017

Ề Ứ Ề Đ  THI MÔN: TOÁN Đ  CHÍNH TH C

ớ

4

+

+ 2

ể ờ ờ Dành cho thí sinh thi vào l p chuyên Toán và chuyên Tin  ề Th i gian làm bài: 150 phút, không k  th i gian giao đ .

ươ

ng trình

( m  là tham s ).ố

Câu 1 (2,0 đi mể ). Cho ph

x

3 x mx

+ = x

3

9 0

9

ả

ươ

m = -

2.

a) Gi

i ph

ng trình khi

ấ ả

ể ươ

ệ

ấ

ộ

ươ

b) Tìm t

t c  các giá tr  c a

ị ủ m  đ  ph

ng trình đã cho có ít nh t m t nghi m d

ng.

Câu 2 (3,0 đi mể ).

-

ả

ươ

a) Gi

i ph

ng trình

x

- + x

- = x

23 x

4

3 4

4

3 0.

2

2

4

=

+

+

-

(

)

x

y

x

y

22 y

.

ấ ả

ươ

b) Tìm t

ệ t c  các nghi m nguyên

,x y  c a ph ủ

ng trình

ằ

+ + = . Ch ng minh r ng  ứ

a b c

3

Câu 3 (1,0 đi mể ). Cho

2

2

2

3

+

+

+ 3

+ 3

,a b c  là các s  th c d , ) (

ố ự ươ (

ả ng tho  mãn  )

a

b

a

b

c

c

4

9.

(

ộ ế

ọ

ườ

ng tròn

)O  v i ớ AB AC<

. G i ọ M là

ạ ế

ườ

Câu 4 (3,0 đi mể ). Cho tam giác  ABC  nh n n i ti p đ )O  t ạ

trung đi m ể

i đi m

MDC c tắ

BC ,  AM c t ắ (

ể D  khác  A . Đ ng tròn ngo i ti p tam giác

ườ

ạ ế

ườ

ắ ườ

đ

ẳ ng th ng

AC  t

ẳ ng th ng

i ạ E  khác  C . Đ ng tròn ngo i ti p tam giác

MDB  c t đ

AB

.B

i ạ F  khác  t

,

,

,

ứ

ể

ạ

ồ

ằ a) Ch ng minh r ng hai tam giác

BDF CDE  đ ng d ng và ba đi m

E M F  th ng hàng. ẳ

- (cid:0)

ứ

ằ

b) Ch ng minh r ng

ủ

ạ

ủ

c) Phân giác c a góc

i đi m

ể N . Phân giác c a các góc

ầ ượ   t

ﾷCEN  và  ﾷBFN  l n l

ằ

.BC

c t ắ

,CN BN  t

PQ  song song v i ớ

OA EF . ﾷBAC  c t ắ EF  t i ạ P  và Q . Ch ng minh r ng  ứ

=

^

{

A

n 1;2;3;...;3

} n 1;3

ậ

ợ

ươ

ượ

ọ

( n   là s  nguyên d ố

ng) đ

ậ   c g i là t p

Câu 5 (1,0  đi mể ).  T p h p

,...,

ể

ợ

ề

ỏ

A  thành  n  t p h p con  ậ

ế h p ợ cân đ iố  n u có th  chia

A  và th a mãn hai đi u ki n ệ   n

A A , 1 2

sau:

=

)

n

1,2,...,

ợ

ồ

ệ

ộ ố ằ

ủ

ổ

ố

ỗ ậ     i) M i t p h p

ố  g m ba s  phân bi

t và có m t s  b ng t ng c a hai s  còn

( iA i

i.ạ l

,...,

ậ

ợ

ầ ử

ộ

ii) Các t p h p

chung.

A  đôi m t không có ph n t n

A A , 1 2

{

A =

} 1;2;3;...;92;93

ứ

ằ

ậ

ậ

a) Ch ng minh r ng t p

ợ cân đ iố .

{

A =

không là t p h p  } 1;2;3;...;830;831

ứ

ằ

ậ

ậ

b) Ch ng minh r ng t p

là t p h p

ợ cân đ iố .

-

—— H tế ——

ộ

ả

Cán b  coi thi không gi

i thích gì thêm.

ọ

ố

H  và tên thí sinh:……………………………………..; S  báo danh:

……………………………...

Ở

Ớ

Ọ

Ỳ

Ể

S  GD&ĐT VĨNH PHÚC

K  THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN NĂM H C 2016­2017

ƯỚ

Ẫ

Ấ

———————

H

NG D N CH M MÔN: TOÁN CHUYÊN

ướ

ẫ

ấ (H ng d n ch m có 03 trang)

—————————

Ư A. L U Ý CHUNG

ướ ữ ẫ ấ ả ấ ộ ọ ả ớ i v i nh ng ý c  b n ph i có. Khi ch m, bài h c sinh có  ẫ ủ ể ế ể ố ỉ ­ H ng d n ch m ch  trình bày m t cách gi th  làm theo cách khác n u đúng và đ  ý thì v n cho đi m t ơ ả i đa.

ế ọ ế ẽ ể ầ ể ớ ươ ứ ầ ­ Đi m toàn bài tính đ n 0,25 và không làm tròn. ­ V i bài hình h c n u thí sinh không v  hình ph n nào thì không cho đi m t ớ ng  ng v i ph n đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ

ộ N i dung trình bày Câu Ý Điể

4

3

2

2

m = - ấ Ta th y ngay

2

1 m 2,0 + + + = ở a V i ớ x x 3 9 0 ươ + x x 9 2 2x  ta đ c:ượ 0,25 + + + = x x 3 2 0. ươ ng trình đã cho tr  thành:  , ph x (cid:0) ế ủ , chia hai v  c a ph 0 9 2 x ng trình cho  3 � � + � � x � �

2

- = ượ ươ t x � t = t = - t Đ t ặ c ph ng trình: 0,25 + 2 3 t 4 0 1; 4.

� x x - + = x 1 3 0 V i ớ (vô nghi m).ệ 0,25 3 = + , ta đ x 1t =  thì 3 + = x

t = -

4

2

+ 2 � � x x + = x = - x 4 3 0 4 = - x 1; 3. V i ớ thì 0,25 3 + = - x = - = - x 1; ệ - - ươ ườ ợ ổ x ươ t = m ậ V y ph b Trong tr ng trình có hai nghi m là  ng h p t ng quát ta có ph ng trình: 3. + 2 3 t 6 0   (1).

� t = + x x - + = tx 3 0 Ta có (2). 0,25 3 x

ừ ề ể ệ ươ ng là t (cid:0)

ệ T  đó suy ra đi u ki n đ  (2) có nghi m d ươ ệ ậ ấ ộ ệ 2 3. ỉ V y  PT đã cho có ít nh t m t nghi m d ng khi và ch  khi (1) có nghi m 0,25 t (cid:0) 2 3.

- (cid:0) 33 3 D= + = -�۳ m m 4 33 0 . Xét PT (1) có . 0,25 t Khi đó  1,2 33 4 + m 4 2

- + 3 33 Do đó (1) có nghi m ệ t (cid:0) m 2 3 +�۳ 2 3

( 6 1

) 3 .

0,25 + m (cid:0) khi:   ( 6 1 + m 4 2 ) 3 . ậ ị ầ V y giá tr  c n tìm c a ủ m là

2 3,0 0,25 a x (cid:0) . ĐKXĐ : 3 4

(cid:0) x x 4 - - - - (cid:0)

(

)

x x x

) ( 3 3

4 = (cid:0) x 3 4 0 ươ ươ ươ Ph ng trình đã cho t ng đ ng: 0,5 (cid:0) (cid:0) x x 4 - = 3 - = 3 3

2

(cid:0) (cid:0) x x = x = x 4 - = 3 1; 3. 0,5 (cid:0) x x x ��(cid:0) 4 0 - = 3

2

2

2

2

4

2

4

2

(cid:0) (cid:0) 0 x 4 (vô nghi m).ệ 0,5 0 - = - x x x 3 9 + = x 4 x � � 9 � = x x= 1; 3. x � - = ��� x 3 3 4 � ệ ề 3 0 ệ ế ợ ươ 0,25

(

2

2

4

2

2

= + + - - K t h p đi u ki n suy ra ph ) ( ng trình có nghi m là  ) � y y x y x + 2 y y x 2 = 2 0 b Ta có (1) 0,25 D = D = + 2 ậ � Coi (1) là PT b c hai  n ẩ x, ta có y y + y 4 9. 4

) =

) (

2 y x . ) ( y 9 y +  là s  chính ph 24 ố 9.

(cid:0) ﾷ ươ ặ ệ ng, đ t y k k 9 4 + = 9 ( ). 0,25 - y y k + k 2 2

)

)

(

(

- k y , ườ ợ ng h p và chú ý ﾷ  ta đ 0,25

(

(

(

{ } ( ) ) � 5; 2 ; 5; 2 ; 3;0 . y =  ta đ 0 ) 8; 2 ;

2 4 ệ V y các nghi m c n tìm là

- - (1) có nghi m nguyên nên  Khi đó ( Xét các tr y = (cid:0) 2 ượ ượ V i ớ ta đ c: x ộ ( c các b   = - x 8. 12; 0. 0,25 - - - - x ( ượ = � x ) ( k (cid:0) = 96 0 { ) � x y , V i ớ ( ) ) 0;0 ; 12; 2 ; 12; 2 ; x = c:  } ) 8; 2 . ậ ầ

3 1,0

3

(

)

3

2

2

2

3

ấ ẳ ứ ầ 0,25 ươ + 2 + 3 + 3 - (cid:0) a c ứ ( 4 3 27

(

( �

3

2

3

3

3

2

2

2

)

3

3

3

2

3

2

2

2

=

+

+

+

+

+

+

+

)

+ 3 + 3 + + + - b ) ươ ng đ B t đ ng th c c n ch ng minh t ) ( + 2 a b c a b ( + + ) ng: ) 2 c ) � a b b c c 3 0,25 + + + + + ( 4 ( + + a b c ) ( � � ca + + a b c a b + 2 a b b c + 2 c a ab (1)

)

+ + a b c

b

c

+ 2 c a ab

bc

ca

3

abc 6

2

2

2

2

2

) ( a b c a ) c 4 ứ ( ẳ Ta có đ ng th c   ng đ

a + 2 a b b c

+ 2 a b b c + c a a c b a c b

+ ( + ( . 0,25 bc ) + + (cid:0) ớ 6 abc .

2

2

2

2

2

2

)

)

)

( b c a

2

2

2

2

2

2

ươ ấ ẳ 2 ng v i  ứ + + + + + + + = + ươ Do đó (1) t ụ Áp d ng b t đ ng th c AM­GM, ta có + + 2 a b b c + 2 c a a c b a c b

( a b c ( ứ ả

a

( c a b ) ab 6 = = = b c

1.

+ + = (cid:0) (cid:0) a bc ca ab + bc b + ca c a 2 b 2 c 2 abc . 2 0,25 ượ ẳ c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch  khi ứ ượ ử ụ ớ ỉ ặ ể ứ   ố c s  d ng BĐT AM­GM v i 6 s  ho c BĐT Schur’s đ  ch ng ậ V y BĐT (1) đ ọ (Chú ý: H c sinh đ minh).

A

A

x

O

E

E

O

4

B

M

C

B

M

C

P

Q

N

D

F

D

F

3,0

ﾷ ﾷ 0,25 = = , ứ ộ ế a Do các t giác MECD MBFD  n i ti p nên ﾷ DEC DMC DFB (1)

ABDC  n i ti p nên

ﾷ ﾷ ộ ế (2) 0,25 D D - : = ) ứ ừ T  giác  T  (1) và (2) suy ra . 0,25

ﾷ ﾷ D D và  ﾷ . 0,5 : = EMC EDC . = BMF BDF

=

=

0,25

AB AF AM AD AE AC .

.

.

ứ ﾷ = DCE DCA DBF CDE g g  (  Mà  ﾷ ﾷ E M F  th ng hàng. , ẳ ộ ế , suy ra t giác 0,25

2

ﾷ ﾷ ẽ ế . Do đó  ﾷ , suy ra ||Ax EF . BDF ﾷ =� T  ừ EDC BDF CDE BDF Suy ra   ﾷ ﾷ = , . V y ậ EMC BMF MECD MBFD  n i ti p  nên  , ừ ứ  giác  b T  hai t ﾷ ﾷ = ộ ế BECF  n i ti p. Do đó  AFE ACB . )O  thì  ﾷ ế Ax c a ủ ( = BAx AFE = ACB BAx 0,25 ^ V  ti p tuy n  V y ậ OA EF .

BDF

2 .

2

CDE

DAB

DAB

BDF

c = D D: nên 0,25 Ta có  BDF CDE BF CE S S

2

CDE S S

DAC

CDE

= = = = = . 1 . . . . Ta có 0,25 MB S MC S S S S S AB BF CE AB BF . BF CE AC CE AC .

BDF AC AF NF = AE NE AB

= = T  đó ừ (3). 0,25 BF CE

DAC EN FN =� FB EC PN EN = PC EC

ấ Theo tính ch t phân giác ta có và (4). QN FN = FB QB 0,25

.BC

ừ T  (3) và (4) suy ra . Do đó  PQ  song song v i ớ PN QN = PC QB

{

5 1,0

} 1;2;3;...;93

A =

) 1,31

ỗ ậ ả ử  s ậ   là t p h p có d ngạ ợ   cân đ iố   , khi đó m i t p

( iA i =

}

i

iA  là s  ch n. Do đó t ng các ph n t

a Gi { y+ ; ; ư ậ ổ ầ ử ẵ ố ổ , nh  v y t ng ba ph n t trong ầ ử x y x i i i 0,25

ố ẵ ủ ậ A  là s  ch n. c a t p

= = ầ ử ặ ổ + + + + 1 2 3 ... 93 93.47 M t khác t ng các ph n t trong ằ A  b ng: ố ẻ     (là s  l ). 93.94 2 0,25 ẫ ỉ Mâu thu n này ch  ra

nS

b = ậ { cân đ iố . A là t p không  } n ế ậ , v i  ớ n  chia h t cho 3 là t p h p ợ cân đ iố   thì t pậ

+ =

} 3

nS 4

nS 4

3

= + ậ Nh n xét { 1;2;3;...; { ế ậ : N u t p   } n n 1;2;3;...;4 1;2;3;...;4 ậ và cũng là t p h p ợ cân đ iố .

4nS  ta ch n ra các t p con ba ph n t

+

+ +

ứ ầ ử ọ sau: Ch ng minh

{

{

+ - n n

+ + n n

+ - n n

+ + n n

n

n

1;2

n n n n ;2

1;2

2;2

} 3 ;...; 2

+ 1;2

} n 1;4 .

- ừ ậ . T  t p  } { 1 ; 3;2 ậ } { 2 ; 5;2

nS   cân đ iố  nên t pậ

4nS  là   2,4,6,...,2n . Tuy nhiên vì t p ậ

ầ ử ằ ầ ử ậ ỏ ộ ổ ạ ề Rõ ràng các t p con này đ u th a mãn có m t ph n t b ng t ng hai ph n t còn l i. 0,25 ạ ậ ố i các s  sau trong t p

}

4nS  là t p ậ cân đ iố .

Còn l { 2;4;6;...;2n  cũng cân đ iố  . V y ậ

ươ ọ ậ T t p t

3nS +  ta ch n ra các t p con ba ph n t ầ ử 4 } 4

} 3

} 3

+ + + + + + + + + + + ự ừ ậ ng t { n n n n n n n n n n n 1;2 2;2 3;2 1;2 2 1;2 2;4 ; { sau: ;…; { .

3nS +  là t p ậ cân đ iố . 4

ạ ố Và còn l i các s  là 2,4,6,...,2n , suy ra

ở ạ . Ta có 0,25 Tr  l i bài toán

= + 831 4.207 3 = +

207 = 4.51 3 + 51 4.12 3

}

= 12 4.3

ự ậ

{

{

{

{

} 1;2;...;51

{

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1;2;3  là cân đ iố  nên theo nh n xét trên ta xây d ng đ } 1;2;...;12 ậ ượ c các t p h p  } 1;2;...;207 ợ cân  } 1;2;...;831 .

} 1;2;3 } 1;2;3;...;831

Chú ý là t p ậ { đ iố  theo quy trình sau: { A = ậ Do đó t p ậ là t p h p ợ cân đ iố   (đpcm).

Ề

Đ  THI VÀO CHUYÊN TOÁN ­ THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

­­­­­­H tế ­­­­­­

Ể

Ỳ

Ọ

Ở

ớ

Ứ

Ề

ể ờ

ờ

S  GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— Đ  CHÍNH TH C

Ớ K  THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN NĂM H C 2013­2014 Ề Đ  THI MÔN: TOÁN Dành cho thí sinh thi vào l p chuyên Toán ề Th i gian làm bài 150 phút, không k  th i gian giao đ . —————————

Câu 1 (3,0 đi mể ).

Câu 5 (1,0 đi mể ). Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

Ế ­­­­­­­­­­­­­­­­­­H T­­­­­­­­­­­­­­­­­­

ộ

ả

Cán b  coi thi không gi

i thích gì thêm!