Luận văn: Căn và đế của Module

Chia sẻ: Bfvhgfff Bfvhgfff | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn: Căn và đế của Module nhằm hệ thống hóa các khái niệm về modulue, căn và đế của modulue kèm theo các ví dụ minh họa, nghiên cứu tính chất cơ bản của căn và đế, đi sâu nghiên cứu căn và đế của một số lớp vành, modulue, ngoài ra, khóa luận còn đưa ra hệ thống bài tập nhằm vận dụng và củng cố lý thuyết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Căn và đế của Module

Më ®Çu 1. LÝ do chän ®Ò t i CÊu tróc module xuÊt hiÖn trong hÇu hÕt c¸c lÝ thuyÕt to¸n häc hiÖn ®¹i, nã cã kh¶ n¨ng thèng nhÊt mét c¸ch b¶n chÊt c¸c cÊu tróc v nh, ideal, nhãm Abel v kh«ng gian vÐc t¬. TÝnh linh ho¹t v phæ qu¸t cña module ® mang l¹i nh÷ng øng dông to lín. Th«ng qua lÝ thuyÕt module, chóng ta sÏ cã dÞp soi s¸ng, cñng cè lÝ thuyÕt vÒ kh«ng gian vÐc t¬ v nhiÒu lÝ thuyÕt to¸n häc kh¸c. Trong lÝ thuyÕt module, chóng ta ® biÕt ®Õn module con tèi ®¹i v module con ®¬n, tõ ®ã chóng ta x©y dùng ®−îc kh¸i niÖm c¨n v ®Õ cña module. §©y l hai c«ng cô quan träng rÊt cã hiÖu lùc trong viÖc nghiªn cøu, t×m hiÓu lÝ thuyÕt module. C¨n v ®Õ cña module cïng víi nh÷ng tÝnh chÊt cña nã ® trë th nh nh÷ng kiÕn thøc c¬ së ®ãng vai trß to lín trong viÖc nghiªn cøu vÒ ®ång cÊu v nh v mét sè module nh−: Module h÷u h¹n sinh, module néi x¹, module x¹ ¶nh,... Tõ ®ã chóng ta cã kh¶ n¨ng t×m hiÓu s©u h¬n mét sè ®Æc tr−ng cña v nh v module. L sinh viªn ng nh S− ph¹m To¸n, trªn c¬ së ® ®−îc trang bÞ nh÷ng kiÕn thøc nÒn t¶ng vÒ module v víi mong muèn ®−îc häc hái, trau dåi thªm vèn kiÕn thøc vÒ to¸n häc nãi chung v lÝ thuyÕt module nãi riªng. ChÝnh v× vËy t«i ® lùa chän ®Ò t i: “ C¨n v ®Õ cña module ” cho kho¸ luËn tèt nghiÖp cña m×nh. Trong ®Ò t i n y t«i dù kiÕn hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ module l m c¬ së lÝ luËn ®Ó t×m hiÓu c¨n v ®Õ v tõng b−íc ®i s©u nghiªn cøu nã. Thªm v o ®ã t«i cßn tr×nh b y hÖ thèng b i tËp ¸p dông nh»m hiÓu s©u h¬n phÇn lÝ thuyÕt. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu HÖ thèng ho¸ mét c¸ch khoa häc c¸c kh¸i niÖm vÒ module, c¨n v ®Õ cña module kÌm theo c¸c vÝ dô minh ho¹, nghiªn cøu tÝnh chÊt c¬ b¶n cña c¨n v ®Õ, ®i s©u nghiªn cøu c¨n v ®Õ cña mét sè líp v nh, module. Ngo i ra, kho¸ luËn cßn ®−a ra hÖ thèng c¸c b i tËp nh»m vËn dông v cñng cè lÝ thuyÕt. 3. §èi t−îng v ph¹m vi nghiªn cøu §èi t−îng chÝnh m kho¸ luËn nghiªn cøu l c¨n v ®Õ cña module, trong 3
®ã tËp trung v o c¸c tÝnh chÊt cña nã. Bªn c¹nh ®ã, kho¸ luËn cßn tr×nh b y hÖ thèng c¸c kh¸i niÖm bæ trî cã thÓ coi nh− kiÕn thøc chuÈn bÞ phôc vô cho viÖc nghiªn cøu c¸c ®èi t−îng chÝnh v hÖ thèng b i tËp ¸p dông nh»m cñng cè lÝ thuyÕt. 4. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu + Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu lÝ luËn: Tr−íc hÕt l ®äc c¸c t i liÖu liªn quan ®Õn ®¹i sè hiÖn ®¹i, module ®Ó t×m hiÓu c¬ së lÝ luËn l m tiÒn ®Ò nghiªn cøu ®èi t−îng chÝnh. Sau ®ã l ®äc, nghiªn cøu v hiÓu vÒ ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña c¨n v ®Õ module qua c¸c t i liÖu liªn quan. + Ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm: Tæng hîp v hÖ thèng ho¸ kiÕn thøc vÒ vÊn ®Ò nghiªn cøu ®Çy ®ñ v khoa häc, ®−a v o c¸c vÝ dô minh ho¹ chi tiÕt. 5. ý nghÜa khoa häc v thùc tiÔn Kho¸ luËn cã thÓ l t i liÖu tham kh¶o cho nh÷ng sinh viªn chuyªn ng nh To¸n cã mong muèn t×m hiÓu s©u h¬n vÒ cÊu tróc cña module m cô thÓ l vÒ c¨n v ®Õ cña module. 6. Bè côc cña kho¸ luËn Ngo i c¸c phÇn Më ®Çu, KÕt luËn v T i liÖu tham kh¶o, néi dung cña kho¸ luËn gåm ba ch−¬ng. Ch−¬ng 1: KiÕn thøc chuÈn bÞ Ch−¬ng n y tr×nh b y mét c¸ch cã hÖ thèng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n nhÊt vÒ lÝ thuyÕt module. Cô thÓ l : §¹i c−¬ng vÒ module: Trong ®ã bao gåm c¸c néi dung nh− t×m hiÓu vÒ module, module con, module th−¬ng, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè module th−êng gÆp. Sau ®ã l tr×nh b y nh÷ng vÊn ®Ò c¬ b¶n cña mét sè cÆp module ®Æc biÖt cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu víi nhau nh−: Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu; module x¹ ¶nh, néi x¹; module sinh, ®èi sinh; module Noether, Artin. Ch−¬ng 2: C¨n v ®Õ cña module §©y l ch−¬ng chøa ®ùng néi dung chÝnh cña kho¸ luËn. Trong ®ã t×m hiÓu ®Þnh nghÜa v c¸c tÝnh chÊt cña c¨n v ®Õ module. Tõng b−íc ®i s©u nghiªn cøu c¨n v ®Õ trªn c¬ së nghiªn cøu c¨n cña module x¹ ¶nh, module h÷u h¹n sinh, ®Õ cña module h÷u h¹n ®èi sinh, c¨n cña v nh… 4
Ch−¬ng 3: B i tËp ¸p dông Ch−¬ng n y tr×nh b y hÖ thèng b i tËp cïng lêi gi¶i nh»m ¸p dông v cñng cè l¹i phÇn lÝ thuyÕt ® tr×nh b y ë hai ch−¬ng tr−íc ®ã. Ngo i ra l mét sè b i tËp ®Ò nghÞ d nh cho ng−êi ®äc muèn t×m hiÓu thªm vÒ module, c¨n v ®Õ cña module. Trong to n bé kho¸ luËn, kh¸i niÖm v nh lu«n ®−îc gi¶ thiÕt l v nh giao ho¸n cã ®¬n vÞ 1 ≠ 0 . 5
Ch−¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ Ch−¬ng n y tr×nh b y nh÷ng kh¸i niÖm vÒ module, module con, module th−¬ng, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè lo¹i module th−êng gÆp nh− module ®¬n, module tèi ®¹i, module tù do,... v mét sè líp module quan träng cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu: Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu; module x¹ ¶nh, néi x¹; module sinh, ®èi sinh; module Noether, Artin. §©y l nh÷ng kiÕn thøc më ®Çu gióp chóng ta tiÕp cËn v t×m hiÓu vÒ c¨n v ®Õ cña module. 1.1. §¹i c−¬ng vÒ module Trong phÇn n y ta t×m hiÓu nh÷ng kiÕn thøc chung nhÊt vÒ module, ®ång cÊu module, tÝch trùc tiÕp v tæng trùc tiÕp c¸c module, mét sè lo¹i module th−êng gÆp. 1.1.1. Module, module con, module th−¬ng §Þnh nghÜa 1. Cho R l mét v nh. M l mét nhãm céng Abel. Trang bÞ cho M phÐp nh©n ngo i víi c¸c phÇn tö cña R: R × M → M (r, x) ֏ rx tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn : (i) (a + b)x = ax + bx (ii) a(x + y) = ax + ay (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1.x = x Víi mäi a, b ∈ R; x,y∈ M. Khi ®ã M ®−îc gäi l R- module hay module trªn v nh R. VÝ dô: (i) Mçi ideal cña v nh R l mét R- module. (ii) Mçi v nh còng l mét module trªn chÝnh nã. (iii) K l mét tr−êng, c¸c K- module chÝnh l c¸c kh«ng gian vect¬ trªn chÝnh nã. (iv) Mçi nhãm Abel céng M ®−îc coi l mét ℤ - module víi phÐp nh©n ngo i ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: Víi mçi x ∈ M v n∈ℤ th× nx = x + x + ... + x (tæng gåm n phÇn tö x) víi n ∈ℤ + ; 0x = 0M ; nx = (-n)(-x) nÕu n ∈ℤ − . C¸c vÝ dô trªn chøng tá r»ng kh¸i niÖm module l mét kh¸i niÖm tæng qu¸t cña 6
c¸c kh¸i niÖm: V nh, ideal, kh«ng gian vect¬ v nhãm Abel. §Þnh nghÜa 2. Mçi tËp con kh«ng rçng N cña mét R- module M ®−îc gäi l mét R- module con cña M nÕu b¶n th©n N còng l mét R- module víi hai phÐp céng v nh©n trong M thu hÑp v o N. Khi ®ã M ®−îc gäi l module më réng cña N. VÝ dô: (i) Víi M l R- module. {0} v M l hai R- module con tÇm th−êng cña M. (ii) Mäi nhãm con cña mét nhãm Abel M l Z - module con cña M. (iii) M l R- module. Khi ®ã víi x ∈ M; TËp hîp Rx ={rx | r ∈ R} l mét R- module con cña M (module con xyclic sinh bëi x). (iv) R l v nh. V nh ®a thøc R[x, y] l mét R- module. Khi ®ã R[x] l mét R- module con cña R[x, y]. MÖnh ®Ò 1. Mçi tËp con N cña R- module M l mét R- module con cña M khi v chØ khi 0 M ∈ N v ax + by ∈ N víi mäi x, y ∈ N ; a, b ∈ R. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn l hiÓn nhiªn. §iÒu kiÖn ®ñ: V× x − y = 1.x + (−1). y ∈ N víi mäi x, y ∈ N nªn N l mét nhãm con cña nhãm céng M. MÆt kh¸c do ax = ax + 0 R.0 M ∈ N víi mäi x ∈ N v a ∈ R nªn N ®ãng kÝn víi phÐp nh©n ngo i. Bèn tiªn ®Ò cña module tho¶ m n cho N v× N l con cña R- module M. V× vËy N l mét R- module con cña M. §Þnh nghÜa 3. Cho M l R- module v N l mét module con cña M. Khi ®ã N l mét nhãm con cña nhãm Abel (M, +) nªn ta cã nhãm th−¬ng: M N = { x = x + N | x∈M } cïng hai phÐp to¸n: +) PhÐp céng: ( x1 + N ) + ( x2 + N ) = ( x1 + x2 ) + N +) PhÐp nh©n v« h−íng: R × M N → M N (r , x + N ) ֏ rx + N Víi r ∈ R; x1 , x2 , x ∈ M . Khi ®ã M N còng l mét R- module v gäi l module th−¬ng cña module M theo module N. VÝ dô: (i) R l v nh, I l mét ideal cña R. Khi ®ã R I l R- module v : 7
R I = { x = x + I, ∀x ∈ R } (ii) ∀ n ∈ ℕ* ; ℤ n = ℤ nℤ l ℤ − module. §Þnh nghÜa 4. Cho M l mét R- module. C¸i triÖt cña M ®−îc kÝ hiÖu l Ann(M), l tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tö a ∈ R sao cho ax = 0, ∀x ∈ M . VÝ dô: Víi I l mét ideal cña v nh R. Khi ®ã c¸i triÖt cña R- module R I l Ann( R I ) = I. 1.1.2. §ång cÊu module §Þnh nghÜa 5. Cho M, N l c¸c R - module. Mét ¸nh x¹ f : M → N ®−îc gäi l mét ®ång cÊu R - module hay ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh nÕu nã tháa m n hai ®iÒu kiÖn: (i) f ( x + y) = f ( x) + f ( y) (ii) f (ax) = af ( x) Víi mäi x, y ∈ M ; a ∈ R. NhËn xÐt: (i) f l ®¬n ¸nh, to n ¸nh, song ¸nh th× t−¬ng øng ®ång cÊu l : §¬n cÊu, to n cÊu, ®¼ng cÊu. (ii) NÕu f (M ) = {0 N } th× f ®−îc gäi l ®ång cÊu kh«ng v kÝ hiÖu l 0. (iii) Kerf = {x ∈ M | f ( x) = 0} = f −1 (0) : H¹t nh©n hay h¹ch cña f . Im f = f (M ) = { y ∈ N | ∃ x ∈ M : y = f ( x)} ®−îc gäi l ¶nh cña f . NÕu M = N th× f l tù ®ång cÊu cña M . NÕu f l ®¼ng cÊu, khi ®ã M v N l R - module ®¼ng cÊu viÕt l M ≅ N . VÝ dô: (i) Cho N l R - module con cña module M . ¸nh x¹ N → M : PhÐp nhóng chÝnh t¾c l mét ®¼ng cÊu. x֏ x (ii) M → N l mét ®ång cÊu 0. x֏0 (iii) Cho N l R - module con cña module M . XÐt ¸nh x¹ p : M → M N _ x֏ x 8
p l mét to n cÊu chiÕu chÝnh t¾c v Im p = M N ; Ker p = N . MÖnh ®Ò 2. ¸nh x¹ f : M → N l mét ®ång cÊu c¸c R - module khi v chØ khi f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y ); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M . Chøng minh. ( ⇒ ) f l ®ång cÊu. Ta chøng minh f (ax + by ) = af ( x) + bf ( y ) V× f l ®ång cÊu nªn ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M ta cã: f (ax + by) = f (ax) + f (by) = af ( x) + bf ( y). ( ⇐ ) Ng−îc l¹i nÕu f (ax + by) = af ( x) + bf ( y); ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M th× f ( x + y) = f (1.x + 1. y ) = 1. f ( x) + 1. f ( y) = f ( x) + f ( y) f (ax) = f (ax + 0 y) = af ( x) + 0 f ( y ) = af ( x). VËy f l mét ®ång cÊu. MÖnh ®Ò 3. NÕu c¸c ¸nh x¹ f : M → M ′ v g : M ′ → M ′′ l hai ®ång cÊu c¸c R - module th× ¸nh x¹ tÝch gf : M → M ′′ còng l mét ®ång cÊu module. Chøng minh. Ta cã gf (ax + by ) = g[ f (ax + by )] = g[af ( x) + bf ( y )] = ag[ f ( x)] + bg[ f ( y )] = agf ( x) + bgf ( y ) ∀a, b ∈ R; ∀x, y ∈ M Do ®ã gf l mét ®ång cÊu module. NhËn xÐt: Cho f : M → N l R - ®ång cÊu module. Khi ®ã ta cã: (i) f l ®ång cÊu 0 khi v chØ khi Ker f = M . (ii) f l to n cÊu khi v chØ khi Im f = N . (iii) f (− x) = − f ( x) ∀x ∈ M ; f (0M ) = f (0 N ) . (iv) NÕu U l module con cña M; V l module con cña N th× f −1 (V ) l module con cña M. §Æc biÖt Kerf l module con cña M, f (U ) l module con cña N. §Þnh nghÜa 6. Cho M v N l c¸c R - module. KÝ hiÖu HomR (M , N ) l tËp gåm tÊt c¶ c¸c R - ®ång cÊu tõ M v o N. Víi ∀f , g ∈ HomR (M , N ) v ∀a, b ∈ R ta cã: (af + bg )( x) = af ( x) + bg ( x) ∀x ∈ M . Khi ®ã: (af + bg )(cx + dy ) = c[af + bg ]( x) + d [af + bg ]( y ) ∀x, y ∈ M ; ∀c, d ∈ R. Do ®ã af + bg ∈ HomR (M , N ). 9
TËp HomR (M , N ) víi c¸c phÐp to¸n x¸c ®Þnh nh− trªn trë th nh mét R - module v gäi l module c¸c ®ång cÊu tõ M ®Õn N. §Þnh lÝ 1 (§Þnh lÝ ®ång cÊu module). Cho f : M → N l mét ®ång cÊu c¸c R - module v p : M → M Kerf l mét to n cÊu chÝnh t¾c. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt _ mét ®¬n cÊu f : M Kerf → N _ x ֏ f ( x) Sao cho biÓu ®å sau giao ho¸n: f M N p f _ M K erf Tøc l f p = f . _ Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh f l ¸nh x¹. ThËt vËy, cã x ∈ M Kerf _ nªn x = x + Kerf ∀x ∈ M . Gi¶ sö x′ ∈ x khi ®ã x′ = x. Suy ra x′ − x ∈ Kerf hay f ( x′ − x) = 0 . Do ®ã f ( x′) − f ( x) = 0 (v× f l ®ång cÊu) hay f ( x) = f ( x '). VËy tõ x ' = x ta cã f ( x ') = f ( x). Do ®ã f l ¸nh x¹. Ta cã f l mét ®ång cÊu v×: f (ax + b y ) = f (ax + by ) = f (ax + by) = af ( x) + bf ( y) = a f ( x) + b f ( y); ∀x, y ∈ M , ∀a, b ∈ R. MÆt kh¸c ∀ x ∈ Ker f nªn f ( x) = 0 = f ( x) ∀x ∈ M . VËy f p = f . HÖ qu¶ 1. Cho f : M → N l mét ®ång cÊu c¸c R- module. Khi ®ã ta cã M Kerf ≅ Im f . V nÕu f l to n cÊu th× M Kerf ≅ N . Chøng minh. ThËt vËy víi f : M Kerf → N x ֏ f ( x) = f ( x) l ®¬n cÊu th× M Kerf ≅ Im f . MÆt kh¸c Im f = Im f nªn M Kerf ≅ Im f . NÕu f l to n cÊu th× Im f = N . Do ®ã M Kerf ≅ N . HÖ qu¶ 2. Cho P l module con cña N; N l module con cña M. Khi ®ã ta cã: M N ≅ (M P) ( N P). 10
Chøng minh. XÐt ®ång cÊu f : M P → M N x+P ֏ x+ N Víi mäi x ∈ M . DÔ thÊy f l to n cÊu nªn Im f = M N . Ta cã: Kerf = {x | f ( x) = 0} = {x + P | f ( x) = 0, x ∈ M } = {x + P | x ∈ N | x ∈ M } = N P . VËy Kerf = {x + P | x ∈ M | x ∈ N } = N P . Do ®ã ¸p dông HÖ qu¶ 1 ta cã: ( M P) ( N P) ≅ M N HÖ qu¶ 3. NÕu M v N l hai module con cña cïng mét module th× ta cã: (M + N ) N ≅ M ( M ∩ N ) . Chøng minh. XÐt ®ång cÊu f : M → (M + N ) N x ֏ f ( x) = x = x + N Ta sÏ chØ ra f l to n cÊu. ThËt vËy víi mçi z = z + N ∈ ( M + N ) N ta cã z = x + y víi x ∈ M , y ∈ N . Do ®ã z = z + N = x + y + N = x + N v× y ∈ N suy ra f ( x) = z. VËy víi mçi z ∈ ( M + N ) N lu«n tån t¹i x ∈ M ®Ó f ( x) = z nªn f l mét to n cÊu. Tõ ®ã suy ra Im f = ( M + N ) N . M Kerf = {x ∈ M | f ( x) = x = 0} = {x ∈ M | x ∈ N } =M ∩N Do ®ã ¸p dông HÖ qu¶ 1 cã M (M ∩ N ) ≅ ( M + N ) N . 1.1.3. TÝch trùc tiÕp, tæng trùc tiÕp c¸c module §Þnh nghÜa 7. Cho I l mét tËp kh¸c rçng. Gi¶ sö ( M α )α ∈I l mét hä c¸c R- module chØ sè hãa bëi I. Khi ®ã ta x©y dùng hai kh¸i niÖm: (i) TÝch trùc tiÕp: KÝ hiÖu M = ∏ M α l tÝch Descartes cña ( M α )α ∈I . Ta x©y dùng phÐp céng trong α ∈I M v phÐp nh©n ngo i c¸c phÇn tö cña R víi phÇn tö cña M: a) ( xα )α∈I + ( yα )α∈I = ( xα + yα )α∈I b) a( xα )α ∈I = (axα )α ∈I Víi mäi a ∈ R,( xα )α ∈I ∈ M ; ( yα )α∈I ∈ M . Víi hai phÐp to¸n n y M l mét R- module. R- module M x©y dùng nh− trªn ®−îc gäi l tÝch trùc tiÕp cña hä c¸c R- module 11
( M α )α ∈I . Ta cã ∏ M α = { ( xα )α∈I | xα ∈ M α }. NÕu M α = N ∀α ∈ I th× ta kÝ hiÖu α ∈I ∏ M α bëi N I . α ∈I (ii) Tæng trùc tiÕp: Trong M = ∏ M α ta lÊy tËp con ⊕ M α bao gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña M víi α ∈I α ∈I c¸c th nh phÇn b»ng 0 hÇu hÕt chØ trõ méi sè h÷u h¹n th nh phÇn cã thÓ kh¸c 0. Tøc ⊕ M α = {( xα )α ∈I | xα ∈ M α ; xα = 0 trõ mét sè h÷u h¹n } . α ∈I Khi ®ã ⊕ M α còng l R- module v l module con cña ∏ M α . α ∈I α ∈I ⊕ M α ®−îc gäi l tæng trùc tiÕp cña hä c¸c R- module ( M α ) α∈I . α ∈I NÕu M α = N ∀α ∈ I th× ta kÝ hiÖu ⊕ M α bëi N ( I ) . α ∈I NhËn xÐt: (i) NÕu hä c¸c R- module ( M α ) α∈I chØ gåm mét sè h÷u h¹n c¸c module th× ta cã: ∏ Mα = ⊕ Mα α ∈I α ∈I (ii) NÕu coi v nh R l R- module th× tÝch trùc tiÕp cña nR- module R kÝ hiÖu l R n . §Þnh nghÜa 8 (Tæng trùc tiÕp trong). Cho {Nα }α ∈I l mét hä tïy ý c¸c module con cña R- module M. Khi ®ã nÕu Nα ∩ [ ∑ N β ] ={0} ∀ α ∈ I th× ∑ Nα ®−îc α ≠ β ∈I α ∈I gäi l tæng trùc tiÕp trong cña hä c¸c module con ® cho. KÝ hiÖu l ⊕ Nα ; ⊕ Nα ={ ∑ xα | xα ∈ M α ; xα = 0 hÇu hÕt trõ mét sè h÷u h¹n}. α ∈I α ∈I α ∈I Mét module con N cña M ®−îc gäi l h¹ng tö trùc tiÕp cña M nÕu tån t¹i mét module con F cña M ®Ó M = N ⊕ F. VÝ dô: R l v nh. Khi ®ã v nh ®a thøc R[x, y] l mét R- module nhËn R[x] v yR[x, y] l m c¸c R- module con cña nã v ta cã R[x, y] = R[x] ⊕ yR[x, y]; R[x] v yR[x, y] l c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña R[x, y]. NhËn xÐt: N l tæng trùc tiÕp trong cña hä {Nα }α ∈I khi v khi mçi phÇn tö x cña cã thÓ biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt d−íi d¹ng sau: 12
x = xα + xα + ... + xα ; xα ∈ Nα ;α i ∈ I ; 1 ≤ i ≤ n. 1 2 n i i §Þnh nghÜa 9. §¬n cÊu ϕ : A → B cña c¸c R- module ®−îc gäi l chÎ ra nÕu Im ϕ l h¹ng tö trùc tiÕp trong B. To n cÊu β : B → C ®−îc gäi l chÎ ra nÕu Ker β l h¹ng tö trùc tiÕp cña B. MÖnh ®Ò 4. 1) §ång cÊu module α : A → B l ®¬n cÊu chÎ ra khi v chØ khi tån t¹i ®ång cÊu β : B → A sao cho βα = id A . Khi ®ã B = Im ϕ ⊕ Ker β . 2) §ång cÊu β : B → C l to n cÊu chÎ ra khi v chØ khi tån t¹i ®ång cÊu γ : C → B sao cho βγ = idC . Khi ®ã B = Ker β ⊕ Im γ . Chøng minh. 1) Gi¶ sö α : A → B l ®¬n cÊu chÎ ra. Khi ®ã B = Im α + B1 . Do mçi phÇn tö b ∈ B ta viÕt ®−îc duy nhÊt d−íi d¹ng α (a) + b1; a ∈ A; b1 ∈ B1 ; Do α l ®¼ng cÊu gi÷a A v Im α nªn t−¬ng øng: β : B → A α (a) + b1 ֏ a l mét ®ång cÊu v ta cã βα = id A . Ng−îc l¹i, gi¶ sö tån t¹i ®ång cÊu β : B → A sao cho βα = id A . Khi ®ã α l ®¬n cÊu. LÊy b ∈ B . Ta cã β (b − αβ (b)) = 0 nghÜa l b − αβ (b) = b1 ∈ Ker β . Do ®ã ta cã: B = Im α + Ker β . Ta sÏ chøng minh Im α ∩ Ker β = 0. ThËt vËy lÊy a ∈ Im α ∩ Ker β suy ra tån t¹i x ∈ A sao cho α ( x) = a v 0 = β (a) = β (α ( x)) = x . Suy ra a = 0 . VËy B = Im α ⊕ Ker β . 2) NÕu β : B → C l to n cÊu chÎ ra th× B = Kerf ⊕ B1 . Khi ®ã β1 = β |B : B1 ≅ C. 1 Gäi µ : B1 → B l phÐp nhóng chÝnh t¾c ta ®−îc γ = µβ −1 : C → B tho¶ m n βγ = idC . Ng−îc l¹i, nÕu tån t¹i ®ång cÊu γ : C → B sao cho βγ = idC th× γ l ®¬n cÊu v β l to n cÊu. ¸p dông phÇn 1) ta ®−îc B = Ker β ⊕ Im γ nghÜa l β l to n cÊu chÎ ra. MÖnh ®Ò 5. Cho R- module M v N l mét module con cña nã. Khi ®ã nÕu N l mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M th× M ≅ N ⊕ M N . Chøng minh. N l mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M do ®ã theo ®Þnh nghÜa tån t¹i mét 13
module con F cña M sao cho M = N ⊕ F. Ta chØ cÇn chøng minh F ≅ M N . XÐt phÐp chiÕu chÝnh t¾c p: M → M N Gäi p |F : F → M N l thu hÑp cña p lªn F. Ta chøng minh p |F l mét ®¼ng cÊu R- module. ThËt vËy v× Ker p = N nªn ta cã Ker p |F = N ∩ F = {0} do ®ã p |F l mét ®¬n cÊu. MÆt kh¸c víi mçi x = x + N ∈ M N ta viÕt x = y + z víi y ∈ F; z ∈ N th× ta cã: x = x+N = y + z + N = y + N v× z ∈ N do ®ã x = p |F (y). VËy p |F còng l mét to n cÊu do ®ã nã l mét ®¼ng cÊu. Suy ra M ≅ N ⊕ M N . A+ B = M Ta ® biÕt tæng trùc tiÕp M = A ⊕ B ⇔  A∩ B = 0 Më réng kh¸i niÖm n y ta cã c¸c kh¸i niÖm sau: §Þnh nghÜa 10. Cho A l module con cña R- module M . 1) Module con A* cña M ®−îc gäi l phÇn bï céng tÝnh ®èi víi A trong M nÕu: (i) A + A* = M ; (ii) A* l module con tèi tiÓu cã tÝnh chÊt A + A* = M . 2) Module con A′ cña M ®−îc gäi l phÇn bï theo giao (hay ∩ - bï) nÕu: (i) A ∩ A′ = 0; (ii) A′ l module con tèi ®¹i cã tÝnh chÊt A ∩ A′ = 0. MÖnh ®Ò 6. Gi¶ sö A, B l hai module con cña M . Khi ®ã M = A ⊕ B khi v chØ khi B ®ång thêi l phÇn bï céng tÝnh v phÇn bï theo giao cña A trong M . Chøng minh. ( ⇐ ) Suy ra tõ ®Þnh nghÜa. ( ⇒ ) Gi¶ sö M = A ⊕ B v C l module con cña B tháa m n A + C = M . Khi ®ã theo LuËt modular ta cã: ( A ∩ B) + C = ( A + C ) ∩ B = M ∩ B = B m A ∩ B = 0 nªn C = B. Do ®ã B l phÇn bï céng tÝnh ®èi víi A trong M . B©y giê nÕu B ⊂ E v A ∩ E = 0 víi E l module con cña M th× theo LuËt modular ta cã: ( A ∩ E ) + B = ( A + B) ∩ E = M ∩ E M A ∩ E = 0 nªn B = E. VËy B l ∩ - bï cña A trong M . Sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu nh÷ng cÆp module ®Æc biÖt cã tÝnh chÊt ®èi ngÉu víi nhau. 14
1.1.4. mét sè lo¹i module th−êng gÆp §Þnh nghÜa 11. Cho I l mét tËp kh¸c rçng v {Nα }α∈I l mét hä tuú ý c¸c module con cña mét R- module M. Khi ®ã kÝ hiÖu ∑ Nα ={ ∑ xα | xα ∈ Nα , α ∈ I } α ∈I α ∈I l tæng h÷u h¹n c¸c phÇn tö cña ∪ Nα . α ∈I ∑ Nα ®−îc gäi l α ∈I tæng cña hä {Nα }α∈I c¸c module con cña M. NhËn xÐt: Gi¶ sö {Nα }α∈I l hä tuú ý c¸c module con cña mét R- module. Khi ®ã ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: (i) ∩ Nα v ∑ Nα l c¸c R- module con cña M. α ∈I α ∈I (ii) NÕu hä {Nα }α∈I lång nhau th× ∪ Nα còng l mét module con cña M. α ∈I §Þnh nghÜa 12. Gi¶ sö S l mét tËp con cña mét R- module M. Khi ®ã giao cña tÊt c¶ c¸c module con chøa S cña M còng l mét module con cña M v ®−îc gäi l module con cña M sinh bëi S. KÝ hiÖu: l module con cña M bÐ nhÊt (theo quan hÖ bao h m) chøa S. S ®−îc gäi l mét tËp sinh hay hÖ sinh cña module . NÕu = M th× ta nãi S l mét hÖ sinh cña M hay M ®−îc sinh bëi S. NÕu S kh«ng chøa thùc sù mét hÖ sinh cña M th× S ®−îc gäi l hÖ sinh cùc tiÓu cña M. NÕu M cã mét hÖ sinh h÷u h¹n th× M ®−îc gäi l mét module h÷u h¹n sinh. NÕu M cã hÖ sinh chØ gåm mét phÇn tö th× M ®−îc gäi l mét module ®¬n sinh. NhËn xÐt: (i) NÕu S = ∅ th× < S > = {0}. Do ®ã khi nãi module sinh bëi tËp S th× ta lu«n coi S ≠ ∅. n (ii) S ≠ ∅ v S ⊂ M l R- module. Khi ®ã tæng: ∑ ai xi víi x1 ,..., xn ∈ S ; ai ∈ R v i =1 1 ≤ i ≤ n ®−îc gäi l mét tæ hîp tuyÕn tÝnh c¸c phÇn tö cña S. 15
VÝ dô: (i) Víi S = {x}; M = < S > = = Rx ={rx | r ∈ R} l module ®¬n sinh. (ii) ℤ - module ℚ c¸c sè h÷u tû kh«ng cã hÖ sinh h÷u h¹n. 1 ThËt vËy, gi¶ sö X = { a1 , a2 ,..., an } l mét hÖ sinh h÷u h¹n cña ℚ . Khi ®ã a1 cã 2 1 thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng tæng h÷u h¹n: a = x1a1 + ∑ xi ai , ai ∈ ℤ . 2 1 i ≠1 Suy ra a1 = 2 x1a1 + ∑ 2xi ai . Do ®ã (1 − 2 x1 )a1 = ∑ 2xi ai . §Æt m = 1- 2 x1 . Tõ ®ã ta i ≠1 i ≠1 1 cã: m a1 = ∑ 2xi ai . Gi¶ sö ( ) a1 = y1a1 + ∑ yi ai ; yi ∈ ℤ . Khi ®ã: i ≠1 m i ≠1 a1 = my1a1 + ∑ myi ai = ∑ 2 xi ai y1 + ∑ myi ai = ∑ (2 xi y1 + myi )ai = ∑ rai . i i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 víi ri = 2 xi y1 + myi . §iÒu n y chøng tá X \ { a1 } còng l mét hÖ sinh cña ℚ . TiÕp tôc qu¸ tr×nh n y sau n b−íc ta ®−îc tËp rçng l hÖ sinh cña ℚ . Do ®ã ℚ ={0} (v« lÝ). VËy ℤ - module ℚ c¸c sè h÷u tû kh«ng cã hÖ sinh h÷u h¹n. Sau ®©y chóng ta sÏ t×m hiÓu mét sè lo¹i module cã quan hÖ mËt thiÕt víi module h÷u h¹n sinh. §Þnh nghÜa 12. Module con A cña R- module M ®−îc gäi l module tèi ®¹i nÕu A ≠ M v A kh«ng chøa trong mét module con thùc sù n o cña M. MÖnh ®Ò 7. Trong module h÷u h¹n sinh mçi module con thùc sù ®−îc chøa trong mét module con tèi ®¹i. §Ó chøng minh mÖnh ®Ò trªn ta nh¾c l¹i bæ ®Ò Zorn: Cho A l mét tËp s¾p thø tù. NÕu mçi tËp con s¾p thù tù ho n to n trong A cã cËn trªn trong A th× A cã phÇn tö tèi ®¹i. Chøng minh mÖnh ®Ò trªn. Gi¶ sö S = { m1 ,..., ms } l hÖ sinh cña M. NÕu A l module cña M v A ≠ M th× tËp c¸c module con cña M: Γ = {B | A ⊂ B ⊂ M | B ≠ M } l kh¸c rçng v× A∈Γ. Ta cã Γ l tËp s¾p thø tù theo quan hÖ bao h m. §Ó ¸p dông ®−îc bæ ®Ò Zorn ta chØ cÇn chØ ra mçi tËp con s¾p thø tù ho n to n L cña Γ cã cËn trªn trong Γ. §Æt C = ∪ B, víi B ∈ L. Suy ra C l cËn trªn cña L. Khi ®ã A ⊂ C. Gi¶ sö C = M. 16
V× = M nªn { m1 ,..., ms } ⊂ C. Do ®ã tån t¹i module con B ∈ L sao cho { m1,..., ms } ⊂ B . NghÜa l B = M, (tr¸i gi¶ thiÕt vÒ Γ (B ≠ M)). Suy ra C ≠ M do ®ã C∈ Γ. VËy L cã cËn trªn trong Γ. Theo Bæ ®Ò Zorn trong Γ cã phÇn tö tèi ®¹i, gi¶ sö phÇn tö ®ã l D. Ta sÏ chøng minh D l module con tèi ®¹i cña M. ThËt vËy, gäi N l module con cña M sao cho: D ⊂ N ⊂ M; N ≠ M. Do ®ã N∈ Γ. MÆt kh¸c v× D l phÇn tö tèi ®¹i cña Γ nªn N = D. VËy D l module con tèi ®¹i cña M. Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. HÖ qu¶ 4. Mçi module h÷u h¹n sinh M ≠ 0 ®Òu chøa module con tèi ®¹i. MÖnh ®Ò 8. Cho R- module M, N v K l c¸c module con cña M. Khi ®ã module con S sinh bëi N v K l module N + K = {x + y | x∈ N; y∈ K}. Chøng minh. Ta cã N + K l module con cña M. N ⊂ N + K v K ⊂ N + K suy ra S ⊂ N + K. Ng−îc l¹i, víi mçi z ∈ N + K th× z = x + y; víi x∈ N, y∈ K. Do S l module sinh bëi N v K nªn x∈ S, y∈ S. Suy ra x + y ∈ S. Do ®ã N + K ⊂ S. VËy S = N + K. MÖnh ®Ò 9 (LuËt modular). NÕu U, V, W l nh÷ng module con cña R- module M v V ⊆ W th× : (U + V) ∩ W = (U ∩ W) + V. Chøng minh. Ta chøng minh (U + V) ∩ W ⊂ (U ∩ W) + V.  x ∈U + V x = a + b ThËt vËy ∀ x ∈ (U + V) ∩ W ta cã  hay  víi a ∈U , b ∈V  x ∈W  x ∈W  x = a + b ∈W V× V ⊆ W nªn tõ b ∈ V cã b ∈ W. M  nªn a∈ W. Suy ra b ∈W a ∈U ∩ W  hay x = a + b ∈ (U ∩ W ) + V . VËy (U + V) ∩ W ⊂ (U ∩ W) + V (1) b ∈V c ∈U ∩ W Ng−îc l¹i ∀y ∈ (U ∩ W ) + V , y = c + d víi    d ∈V  c ∈U c ∈W c + d ∈U + V    Do ®ã ta cã c ∈W hay c + d ∈U + V suy ra c ∈W d ∈V d ∈V d ∈W    c + d ∈U + V Tõ ®ã:  nªn c + d ∈ (U + V ) ∩ W hay y ∈U + V ) ∩ W c + d ∈W 17
VËy (U ∩ W) + V ⊂ (U + V) ∩ W (2) Tõ (1) v (2) ta cã (U + V) ∩ W = (U ∩ W) + V. §Þnh nghÜa 14. Cho M l R- module. M ®−îc gäi l module ®¬n nÕu M l module kh¸c 0 v chØ cã hai module con l 0 v chÝnh nã. VÝ dô: (i) K l mét tr−êng, mäi K- kh«ng gian vect¬ chiÒu 1 l K- module ®¬n. (ii) Víi ℤ l mét module trªn chÝnh nã, khi ®ã ℤ kh«ng ph¶i l ℤ - module ®¬n v×: 0 ⊂ 2ℤ ⊂ ℤ , víi 2ℤ l module con thùc sù cña ℤ . NhËn xÐt: Module ®¬n lu«n sinh bëi mét phÇn tö (module ®¬n sinh). ThËt vËy, gi¶ sö M l module l R- module ®¬n. Ta chøng minh: M = Rx = {rx | ∀x ∈ M; r ∈ R} V× M l R- module ®¬n nªn M ≠ 0. Do ®ã tån t¹i x ∈ M \ {0}. XÐt Rx cã x ∈ Rx v× x = 1. x ∈ Rx víi 1∈ R. Do ®ã 0 ≠ Rx ⊂ M . MÆt kh¸c v× M l module ®¬n nªn Rx = M. VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. MÖnh ®Ò 10. Cho N l mét module con cña R- module M. Khi ®ã R- module N l cùc ®¹i nÕu v chØ nÕu module th−¬ng M N l ®¬n. Chøng minh. N l module cùc ®¹i cña M nÕu v chØ nÕu N ≠ M v kh«ng cã module con P cña M sao cho N ⊂ P ⊂ M , tøc l module th−¬ng M N kh¸c ≠ ≠ kh«ng v chØ cã hai module con l 0 v chÝnh nã. Theo ®Þnh nghÜa th× M N l module ®¬n. VËy mÖnh ®Ò ®−îc chøng minh. §Þnh nghÜa 15. TËp con S cña R- module M ®−îc gäi l mét tËp ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu tõ mçi ®¼ng thøc a1 x1 + ... + an xn = 0, ∀x1, ... xn ∈ S , tõng ®«i mét kh¸c nhau ta ®Òu cã a1 = … = an = 0 . Ng−îc l¹i ta cã S ®−îc gäi l mét tËp phô thuéc tuyÕn tÝnh. Mét R- module M ®−îc gäi l mét module tù do nÕu M cã mét hÖ sinh S ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Khi ®ã tËp S ®−îc gäi l mét c¬ së cña M. VÝ dô: (i) V nh R l mét R- module tù do trªn chÝnh nã víi c¬ së l {1}. 18
(ii) Mçi kh«ng gian vect¬ trªn mét tr−êng K ®Òu l K- module tù do v× nã lu«n cã c¬ së. (iii) R × R còng l mét R- module tù do víi c¬ së l {(1,0); (0,1)}. §Þnh lÝ 2 (TÝnh chÊt phæ dông). Cho F l module tù do víi c¬ së U = {ei | i ∈ I } v A l R- module. Khi ®ã ¸nh x¹ f : U → A ®Òu ®−îc më réng mét c¸ch duy nhÊt th nh ®ång cÊu ϕ : F → A. Chøng minh. §ång cÊu ϕ : F → A ®−îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: ϕ (∑ ei xi ) = ∑ f (ei )xi NÕu ψ : F → A l mét ®ång cÊu më réng cña f th× ψ (ei ) = f (ei ), i ∈ I v ψ (∑ ei xi ) = ∑ψ (ei ) xi = ∑ f (ei ) xi = ϕ (∑ ei xi ). Do ®ã ϕ = ψ . VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. NhËn xÐt: Mäi R- module M ®Òu ®¼ng cÊu víi th−¬ng cña mét R- module tù do. 1.2. Module con cèt yÕu, ®èi cèt yÕu 1.2.1. Module con cèt yÕu §Þnh nghÜa 16. Module con A cña module M ®−îc gäi l module con cèt yÕu (hay lín) trong M nÕu mçi module con kh¸c kh«ng B cña M ta lu«n cã A ∩ B ≠ 0 (hay A ∩ B = 0 khi B = 0). Khi ®ã M ®−îc gäi l më réng cèt yÕu cña A. KÝ hiÖu A ⊂* M . VÝ dô: (i) Cho M l R- module. Ta lu«n cã M ⊂* M . (ii) Víi ℤ l ℤ - module. Mçi ideal kh¸c 0 trong ℤ ®Òu cèt yÕu v× víi aℤ, bℤ ≠ 0 ta ®Òu cã 0 ≠ ab ∈ aℤ ∩ bℤ . MÖnh ®Ò 11. 1) NÕu trong module M cã c¸c d y c¸c module con: A ⊂ B ⊂ C th× A ⊂* M kÐo theo B ⊂* C. n 2) NÕu Ai ⊂* M , 1 ≤ i ≤ n th× ∩ Ai ⊂* M . i =1 3) NÕu ϕ : M → N l ®ång cÊu module v B ⊂* N th× ϕ −1 ( B) ⊂* M . 19
Chøng minh. 1) Gi¶ sö E l module con kh¸c 0 cña C . Khi ®ã E còng l module con cña M . V× A ⊂* M nªn A ∩ E ≠ 0 . V× A ⊂ B nªn B ∩ E ≠ 0 . Do ®ã B ⊂* C . n 2) Ta chøng minh ∩ Ai ⊂* M b»ng qui n¹p theo n . i =1 Víi n =1: A1 ⊂* M ta cã ∩ A1 ⊂* M ®óng. n −1 Gi¶ sö mÖnh ®Ò ®óng víi n -1 tøc l A = ∩ Ai ⊂* M . Ta gi¶ sö E ≠ 0 l mét module con i =1 n −1 n −1 cña M , v× An ⊂* M nªn An ∩ E ≠ 0 v A = ∩ Ai ⊂* M nªn ( ∩ Ai ) ∩ E ≠ 0 . Do ®ã i =1 i =1 A ∩ ( An ∩ E ) = ( A ∩ An ) ∩ E ≠ 0 (v× A ⊂* M ). Tõ ®ã suy ra A ∩ An ⊂* M . n VËy ∩ Ai ⊂* M . i =1 3) Gi¶ sö E l mét module con cña M v E ∩ ϕ −1 ( B) = 0 (*) Khi ®ã ta cã B ∩ ϕ ( E ) = 0 nªn ϕ ( E ) = 0 (v× B ⊂* N ). Suy ra: E ⊂ Kerϕ ⊂ ϕ −1 (0) ⊂ ϕ −1 ( B) do ®ã E ⊂ Kerϕ ∩ ϕ −1 ( B). VËy E = E ∩ ϕ −1 ( B) = 0. Do ®ã tõ (*) ta cã: ϕ −1 ( B) ⊂* M . 1.2.2. Module con ®èi cèt yÕu §Þnh nghÜa 17. Module con A cña M ®−îc gäi l ®èi cèt yÕu (hay bÐ) nÕu víi module E ≠ M ta ®Òu cã A + E ≠ M (hay A + E = M kÐo theo E = M ). KÝ hiÖu A ⊂ 0 M . VÝ dô: (i) Víi mçi M l R- module ta ®Òu cã 0 ⊂ 0 M . (ii) Trong ℤ - module tù do chØ cã module tÇm th−êng l 0 l ®èi cèt yÕu. ThËt vËy, gi¶ sö F l ℤ - module tù do víi c¬ së l { ei | i ∈ I }. Khi ®ã F = ⊕ ei ℤ I Gi¶ sö A l module con kh¸c 0 cña F v 0 ≠ a ∈ A . Khi ®ã cã a biÓu diÔn duy nhÊt d−íi d¹ng a = ei x1 + ... + ei xn ; ⊕ xi ∈ℤ . Chän n ∈ ℤ, n > 1 sao cho (n, x1 ) = 1 1 n §Æt E = (⊕ ei ℤ) + ei nℤ . Ta cã aℤ + E = F nghÜa l A + E = F víi E ≠ F . Suy ra i ≠ i1 1 A kh«ng l module con cèt yÕu cña F . 20
(iii) Mçi module h÷u h¹n sinh trong ℤ - module ℚ l ®èi cèt yÕu trong module ℚ . ThËt vËy, gäi A l module con cña ℚ sinh bëi tËp h÷u h¹n {q1, q2 ,..., qn} ⊂ ℚ . E l mét module con cña ℚ sao cho: A + E = ℚ . Khi ®ã {q1 , q2 ,..., qn } ∪ E l mét hÖ sinh cña ℤ - module ℚ v b¶n th©n E l mét hÖ sinh cña ℚ . Do ®ã E = ℚ . VËy A ⊂ 0 ℚ . MÖnh ®Ò 12. 1) NÕu trong M cã d y nh÷ng module con: A ⊂ B ⊂ C th× B ⊂ 0 C kÐo theo A ⊂ 0 M . n 2) Ai ⊂0 M , 1 ≤ i ≤ n th× ∑ Ai ⊂ 0 M . i =1 3) NÕu ϕ : M → N l ®ång cÊu module v A ⊂ 0 M th× ϕ ( A) ⊂0 N . Chøng minh. 1) Gi¶ sö D l module con trong M sao cho: A + D = M . Ta chøng minh A ⊂ 0 M . Ta cã B + D = M . Theo LuËt modular ta cã: ( D ∩ C ) + B = ( D + B) ∩ C = M ∩ C = C MÆt kh¸c v× B ⊂ 0 C nªn tõ trªn ta cã D ∩ C = C do ®ã C ⊂ D . Suy ra M = A + D = D . VËy tõ A + D = M cã D = M nªn A ⊂ 0 M . 2) Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n Víi n =1 mÖnh ®Ò lu«n ®óng do theo gi¶ thiÕt A1 ⊂0 M . Gi¶ sö ta chøng minh ®−îc A = A2 + ⋯ + An ⊂ 0 M . Ta ph¶i chøng minh A + A1 = A1 + ⋯ + An ⊂0 M . Gi¶ sö D l module con cña M sao cho ( A + A1 ) + D = M (1) V× A1 ⊂0 M nªn tõ (1) suy ra A + D = M (2) MÆt kh¸c A = A2 + ⋯ + An ⊂ 0 M nªn tõ (2) ta cã D = M . KÕt hîp víi (1) ta cã n ( A1 + A) = M hay ∑ Ai ⊂0 M khi Ai ⊂0 M , 1 ≤ i ≤ n . i =1 3) Gi¶ sö ϕ ( A) + D = N víi D l module con cña N víi m∈M tïy ý ta cã ϕ (m) = ϕ (a) + d víi a ∈ A, d ∈ D suy ra d = ϕ (m) − ϕ (a) = ϕ (m − a) nªn m − a ∈ϕ −1 ( D) do ®ã m ∈ A + ϕ −1 ( D) hay M ⊂ A + ϕ −1 ( D) . HiÓn nhiªn ta cã A + ϕ −1 ( D) ⊂ M . VËy M = A + ϕ −1 ( D) (*) 21
MÆt kh¸c do A ⊂ 0 M nªn tõ (*) ta cã ϕ −1 ( D) = M suy ra ϕ ( A) ⊂ ϕ ( M ) ⊂ D . Do ®ã N = ϕ ( A) + D = D . VËy ϕ ( A) ⊂0 N . MÖnh ®Ò 13. §èi víi a ∈ M , R- module aR kh«ng l module ®èi cèt yÕu trong M khi v chØ khi tån t¹i module con tèi ®¹i K sao cho a ∉ K . Chøng minh. ( ⇐ ) NÕu K l R- module con tèi ®¹i cña M víi a ∈ M , a ∉ K . Ta chøng minh aR kh«ng l ®èi cèt yÕu. ThËt vËy, v× a ∈ M , a ∉ K nªn aR + K = M . Do ®ã K ≠ M nªn aR kh«ng l ®èi cèt yÕu. ( ⇒ ) aR kh«ng l ®èi cèt yÕu. Ta chØ ra tån t¹i module con tèi ®¹i K , a ∉ K . Ta sö dông Bæ ®Ò Zorn. §Æt Γ l tËp tÊt c¶ c¸c module con B cña M , B ≠ M sao cho aR + B = M ; Γ = {B | B ≠ M ; aR + B = M }. TËp Γ ≠ ∅ v× aR kh«ng l ®èi cèt yÕu. Gäi L l mét d©y chuyÒn trong Γ theo quan hÖ bao h m. Khi ®ã ta cã L cã l©n cËn trªn l B0 = ∪ B ∀B ∈ L . Ta chøng minh B0 ≠ M . ThËt vËy, gi¶ sö a ∈ B0 th× a ∈ B víi B n o ®ã thuéc L. Khi ®ã ta cã aR ⊂ B nªn M = aR + B = B, tr¸i víi gi¶ thiÕt vÒ B ≠ M . Do ®ã a ∉ B0 hay B0 ≠ M . HiÓn nhiªn B0 + aR = M , theo ®Þnh nghÜa vÒ Γ ta cã B0 ∈Γ. V× B0 l l©n cËn trªn cña L trong Γ m B0 ∈Γ nªn theo Bæ ®Ò Zorn trong Γ cã phÇn tö tèi ®¹i K . Ta chøng tá K l module con tèi ®¹i trong M . ThËt vËy, gi¶ sö cã module con E cña M sao cho K ⊂ E , K ≠ E. Khi ®ã E ∉Γ. MÆt kh¸c M = aR + K ⊂ aR + E ⊂ M nªn aR + E = M . Suy ra E = M v× aR ⊂ E. VËy K l module con tèi ®¹i trong M . §Þnh lÝ 3. Cho A l module con cña R- module M . Khi ®ã A ⊂* M khi v chØ khi víi mçi phÇn tö kh¸c kh«ng m ∈ M tån t¹i r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A. Chøng minh. ( ⇒ ) NÕu m ≠ 0 th× mR ≠ 0. V× A ⊂* M nªn A ∩ mR ≠ 0. Tån t¹i r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A. ( ⇐ ) Gi¶ sö B l module con kh¸c 0 cña M . LÊy 0 ≠ m ∈ B suy ra tån t¹i r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A. V× mr ∈ B nªn mr ∈ A ∩ B suy ra A ∩ B ≠ 0. VËy A ⊂* M . 22