Luận văn: Hàm lồi và các tính chất

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông M· sè: 60.46.36

LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Th¸i Nguyªn – 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông M· sè: 60.46.36

LuËn v¨n th¹c sÜ khoa häc to¸n häc

Ng êi h íng dÉn khoa häc: GS-TS TrÇn Vò ThiÖu

Th¸i Nguyªn – 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt

Chuyªn ngµnh: To¸n øng dông M· sè: 60.46.36

Tãm t¾t LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Ng êi h íng dÉn khoa häc: GS-TS TrÇn Vò ThiÖu

Th¸i Nguyªn – 9/2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi nªi ﬁ˙u

Ch›‹ng 1. H(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n 5

1.1 H(cid:181)m l(cid:229)i thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 T(cid:221)nh l(cid:229)i t„i ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 H(cid:181)m l(cid:229)i gi‚ tr(cid:222) trong ¯R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ch›‹ng 2. H(cid:181)m l(cid:229)i trong Rn 19

2.1 §(cid:222)nh ngh(cid:220)a v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 H(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 C‚c ph—p to‚n v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ch›‹ng 3. Cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i 40

3.1 Cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:181) cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c . . . . . . . . . . . 40

3.2 Cøc ti(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ﬁ„i h(cid:181)m l(cid:226)m) . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

K(cid:213)t lu¸n

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

3.4 Cøc ﬁ„i h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ti(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:226)m) . . . . . . . . . . . . . . 49

LŒi nªi ﬁ˙u

H(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) c‚c bi(cid:213)n d„ng cæa nª (l(cid:229)i ch˘t, l(cid:229)i m„nh, tøa l(cid:229)i . . .) cª nhi(cid:210)u

t(cid:221)nh ch˚t ﬁ(cid:209)p ﬁ‚ng ch(cid:243) (cid:253) v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng rØng r•i trong nhi(cid:210)u l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181)

łng d(cid:244)ng thøc ti(cid:212)n, ﬁ˘c bi(cid:214)t trong gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i v(cid:181) tŁi ›u ho‚. H(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) c‚c

mº rØng l(cid:181) mØt chæ ﬁ(cid:210) h˚p d(cid:201)n v(cid:237)i nhi(cid:210)u k(cid:213)t qu¶ phong ph(cid:243) v(cid:181) lu«n thu h(cid:243)t

sø quan t'm cæa nhi(cid:210)u nh(cid:181) nghi“n cłu.

§(cid:210) t(cid:181)i lu¸n v¤n ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n v(cid:181) nhi(cid:210)u bi(cid:213)n, c(cid:239)ng

v(cid:237)i c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n cæa ch(cid:243)ng. H(cid:181)m l(cid:229)i cª vai tr(cid:223) quan tr(cid:228)ng trong

nhi(cid:210)u l(cid:220)nh vøc nghi“n cłu: qui ho„ch to‚n h(cid:228)c, l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n tŁi ›u,

l(cid:253) thuy(cid:213)t tr(cid:223) ch‹i, kinh t(cid:213) to‚n . . . Gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) t(cid:221)nh l(cid:229)i cæa h(cid:181)m kh«ng th(cid:211)

thi(cid:213)u trong nhi(cid:210)u ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m tŁi ›u, t(cid:229)n t„i gi‚ c'n b»ng hay

t(cid:215)nh th(cid:213) c'n b»ng trong c‚c m« h(cid:215)nh kinh t(cid:213) to‚n. V(cid:215) th(cid:213), t(cid:215)m hi(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:229)i

v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t l(cid:181) thøc sø c˙n thi(cid:213)t v(cid:181) h(cid:247)u (cid:221)ch, gi(cid:243)p hi(cid:211)u s'u h‹n v(cid:210) nhi(cid:210)u

v˚n ﬁ(cid:210) trong gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i v(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t tŁi ›u.

M(cid:244)c ti“u cæa lu¸n v¤n l(cid:181) t(cid:215)m hi(cid:211)u v(cid:181) tr(cid:215)nh b(cid:181)y nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ c‹ b¶n ﬁ•

bi(cid:213)t li“n quan ﬁ(cid:213)n c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n v(cid:181) nhi(cid:210)u bi(cid:213)n, ﬁ˘c bi(cid:214)t l›u (cid:253) c‚c t(cid:221)nh

ch˚t n(cid:230)i b¸t nh› t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c, t(cid:221)nh kh¶ vi v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t cøc tr(cid:222). NØi dung

ﬁ(cid:210) c¸p trong lu¸n v¤n ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt c‚ch ch˘t chˇ v(cid:210) m˘t to‚n h(cid:228)c, c‚c

kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) k(cid:213)t qu¶ n“u ra cª k(cid:204)m theo v(cid:221) d(cid:244) v(cid:181) h(cid:215)nh vˇ ﬁ(cid:211) minh ho„.

Ch›‹ng 1: (cid:147)H(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n(cid:148) ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n, x‚c ﬁ(cid:222)nh

NØi dung lu¸n v¤n ﬁ›(cid:238)c chia th(cid:181)nh ba ch›‹ng:

v(cid:181) nh¸n gi‚ tr(cid:222) thøc h(cid:247)u h„n hay v« cøc tr“n mØt kho¶ng li“n t(cid:244)c (h(cid:247)u h„n

hay v« h„n) cæa ﬁ›Œng th…ng sŁ thøc. H(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n cª nhi(cid:210)u t(cid:221)nh ch˚t

ﬁ‚ng ch(cid:243) (cid:253) nh› t(cid:221)nh Lipschitz, t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c v(cid:181) kh¶ vi h˙u kh¤p n‹i tr“n mi(cid:210)n

x‚c ﬁ(cid:222)nh. X—t mØt sŁ h(cid:181)m cª li“n quan: h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t, h(cid:181)m tøa l(cid:229)i, tøa l(cid:229)i

Ch›‹ng 2: (cid:147)H(cid:181)m l(cid:229)i trong Rn gi(cid:237)i thi(cid:214)u v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i nhi(cid:210)u bi(cid:213)n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n: H(cid:181)m n bi(cid:213)n l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi h(cid:181)m thu h(cid:209)p cæa nª

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ch˘t, h(cid:181)m li“n h(cid:238)p . . .

tr“n m(cid:228)i ﬁ›Œng th…ng trong Rn l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n. H(cid:181)m l(cid:229)i cª mŁi quan h(cid:214) ch˘t chˇ v(cid:237)i c‚c t¸p l(cid:229)i: f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi epi f l(cid:181) t¸p l(cid:229)i v(cid:181)

n(cid:213)u f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i th(cid:215) m(cid:228)i t¸p młc d›(cid:237)i cæa nª l(cid:181) c‚c t¸p l(cid:229)i. H(cid:181)m l(cid:229)i tr“n

t¸p l(cid:229)i mº th(cid:215) li“n t(cid:244)c. Ti(cid:213)p theo n“u c‚ch nh¸n bi(cid:213)t h(cid:181)m l(cid:229)i qua c‚c ph—p

to‚n v(cid:181) h(cid:181)m kh¶ vi l(cid:181) l(cid:229)i qua mØt sŁ d˚u hi(cid:214)u. Trong ch›‹ng c(cid:223)n gi(cid:237)i thi(cid:214)u

kh‚i ni(cid:214)m d›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) mŁi quan h(cid:214) gi(cid:247)a d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:237)i

Ch›‹ng 3: (cid:147)Cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i(cid:148) tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c t(cid:221)nh ch˚t cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m

ﬁ„o h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng v(cid:181) v(cid:237)i h(cid:181)m li“n h(cid:238)p.

l(cid:229)i, h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh: cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa h(cid:181)m l(cid:229)i lu«n l(cid:181)

cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c; h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t cª nhi(cid:210)u nh˚t mØt ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i

m„nh lu«n ﬁ„t cøc ti(cid:211)u tr“n t¸p ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng, cøc ti(cid:211)u ﬁª l(cid:181) duy nh˚t n(cid:213)u

t¸p l(cid:181) l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng; cøc ﬁ„i cæa h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m l(cid:226)m) n(cid:213)u

cª sˇ ﬁ„t t„i ﬁi(cid:211)m cøc bi“n (nªi ri“ng, t„i ﬁ(cid:216)nh) cæa t¸p ﬁ›(cid:238)c x—t. Ngo(cid:181)i ra,

ch›‹ng n(cid:181)y c(cid:223)n tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tŁi ›u c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁŁi v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i

kh¶ vi.

Do thŒi gian cª h„n n“n lu¸n v¤n n(cid:181)y m(cid:237)i ch(cid:216) dıng l„i º vi(cid:214)c t(cid:215)m hi(cid:211)u,

t¸p h(cid:238)p t(cid:181)i li(cid:214)u, s(cid:190)p x(cid:213)p v(cid:181) tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c k(cid:213)t qu¶ nghi“n cłu ﬁ• cª theo chæ

ﬁ(cid:210) ﬁ˘t ra. Trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:213)t lu¸n v¤n c(cid:242)ng nh› trong x(cid:246) l(cid:253) v¤n b¶n ch(cid:190)c

ch(cid:190)n kh«ng tr‚nh khÆi cª nh(cid:247)ng sai sªt nh˚t ﬁ(cid:222)nh. T‚c gi¶ lu¸n v¤n r˚t mong

nh¸n ﬁ›(cid:238)c sø gªp (cid:253) cæa c‚c th˙y c« v(cid:181) c‚c b„n ﬁ(cid:229)ng nghi(cid:214)p ﬁ(cid:211) lu¸n v¤n ﬁ›(cid:238)c

ho(cid:181)n thi(cid:214)n h‹n.

Nh'n d(cid:222)p n(cid:181)y, t‚c gi¶ xin b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n s'u s(cid:190)c ﬁ(cid:213)n th˙y h›(cid:237)ng d(cid:201)n

GS-TS Tr˙n V(cid:242) Thi(cid:214)u ﬁ• t¸n t(cid:215)nh gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) trong suŁt qu‚ tr(cid:215)nh l(cid:181)m lu¸n v¤n.

T‚c gi¶ xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n c‚c th˙y, c« º Vi(cid:214)n To‚n h(cid:228)c, Vi(cid:214)n C«ng

ngh(cid:214) th«ng tin H(cid:181) NØi, Khoa C«ng ngh(cid:214) th«ng tin, Khoa To‚n v(cid:181) Ph(cid:223)ng §(cid:181)o

t„o sau ﬁ„i h(cid:228)c tr›Œng §„i h(cid:228)c Khoa h(cid:228)c - §„i h(cid:228)c Th‚i Nguy“n ﬁ• t¸n t(cid:215)nh

gi¶ng d„y v(cid:181) t„o m(cid:228)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i cho t‚c gi¶ trong qu‚ tr(cid:215)nh h(cid:228)c t¸p

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

t„i tr›Œng.

T‚c gi¶ c(cid:242)ng xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n Ban gi‚m hi(cid:214)u, c‚c Ph(cid:223)ng, Ban

chłc n¤ng v(cid:181) BØ m«n To‚n Tr›Œng C˚p II-III T'n Quang v(cid:181) b„n b(cid:204) ﬁ(cid:229)ng

nghi(cid:214)p c(cid:239)ng gia ﬁ(cid:215)nh ﬁ• quan t'm gi(cid:243)p ﬁ(cid:236), ﬁØng vi“n ﬁ(cid:211) t‚c gi¶ ho(cid:181)n th(cid:181)nh

Th‚i Nguy“n, th‚ng 09 n¤m 2009

T‚c gi¶

Ph„m B‚ Tuy“n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

tŁt lu¸n v¤n n(cid:181)y.

Ch›‹ng 1

H(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n

H(cid:181)m l(cid:229)i cª vai tr(cid:223) quan tr(cid:228)ng trong gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i, ﬁ˘c bi(cid:214)t trong tŁi ›u ho‚.

Ta b(cid:190)t ﬁ˙u l(cid:181)m quen v(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‚ng ch(cid:243) (cid:253) cæa

nª.

1.1 H(cid:181)m l(cid:229)i thøc

1.1.1. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t

K(cid:253) hi(cid:214)u I l(cid:181) mØt kho¶ng (ﬁªng, mº hay n(cid:246)a mº, h(cid:247)u h„n hay v« h„n)

trong ﬁ›Œng th…ng thøc R. Ch…ng h„n, kho¶ng mº h(cid:247)u h„n

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1. Cho h(cid:181)m mØt bi(cid:213)n sŁ f : I → R,

I = (p, q) v(cid:237)i − ∞ < p < q < +∞

a) f g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i (hay h(cid:181)m l(cid:229)i) n(cid:213)u:

f (λa + (1 − λ)b) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) (1.1)

v(cid:237)i m(cid:228)i a, b ∈ I, v(cid:181) m(cid:228)i λ ∈ R, v(cid:237)i 0 < λ < 1. H(cid:215)nh 1.1 cho th˚y (cid:253) ngh(cid:220)a

h(cid:215)nh h(cid:228)c cæa t(cid:221)nh l(cid:229)i: d'y cung v(cid:237)i hai ﬁ˙u m(cid:243)t (a, f (a)) v(cid:181) (b, f (b)) lu«n

n»m º ph(cid:221)a tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa h(cid:181)m f .

b) f g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i ch˘t n(cid:213)u f l(cid:229)i v(cid:181) trong (1.1) cª b˚t ﬁ…ng thłc ch˘t khi

a (cid:54)= b.

Ta n“u c‚c ph‚t bi(cid:211)u t›‹ng ﬁ›‹ng kh‚c v(cid:210) t(cid:221)nh l(cid:229)i cæa h(cid:181)m f : I → R.

f (a) + f (b) f (x) ≤ a) b − x b − a x − a b − a

v(cid:237)i m(cid:228)i a, b, x ∈ I v(cid:181) a < x < b. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng v(cid:213) ph¶i cæa b˚t ﬁ…ng thłc tr“n

cª th(cid:211) vi(cid:213)t th(cid:181)nh:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

f (a) + (x − a) f (b) − f (a) b − a

f (λa + µb) ≤ λf (a) + µf (b) b)

v(cid:237)i m(cid:228)i a, b, x ∈ I v(cid:181) m(cid:228)i λ, µ ∈ R sao cho λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1.

• D(cid:212) d(cid:181)ng ki(cid:211)m tra c‚c t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‹n gi¶n sau ﬁ'y cæa h(cid:181)m l(cid:229)i:

a) N(cid:213)u f v(cid:181) g l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) α ≥ 0, β ≥ 0 th(cid:215) αf + βg l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

b) T(cid:230)ng cæa mØt sŁ h(cid:247)u h„n c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

c) H(cid:181)m gi(cid:237)i h„n (theo tıng ﬁi(cid:211)m) cæa d•y h(cid:181)m l(cid:229)i hØi t(cid:244) l(cid:181) l(cid:229)i.

n (cid:80) i=1

(cid:19) f ≤ v(cid:181) λixi ∈ I λixi λif (xi) d) Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. Khi ﬁª: (cid:18) n (cid:80) i=1

n (cid:80) i=1

v(cid:237)i m(cid:228)i xi ∈ I, λi ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n), λi = 1.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.1. Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. Khi ﬁª

e) Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) c¸n tr“n theo tıng ﬁi(cid:211)m cæa mØt h(cid:228) b˚t kœ c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i I → R. N(cid:213)u f h(cid:247)u h„n kh(cid:190)p n‹i tr“n I th(cid:215) f l(cid:181) l(cid:229)i. Tuy nhi“n, m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) t›‹ng tø kh«ng c(cid:223)n ﬁ(cid:243)ng ﬁŁi v(cid:237)i c¸n d›(cid:237)i.

v(cid:237)i m(cid:228)i a, b, x ∈ I, a ≤ x ≤ b. N(cid:213)u f l(cid:229)i ch˘t th(cid:215) º (1.2) cª b˚t ﬁ…ng thłc

ch˘t.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

≤ ≤ (1.2) f (x) − f (a) x − a f (b) − f (a) b − a f (b) − f (x) b − x

H(cid:215)nh 1.2 cho th˚y (cid:253) ngh(cid:220)a h(cid:215)nh h(cid:228)c cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) n(cid:181)y: ﬁØ dŁc (AB) ≤ ﬁØ

Chłng minh. Do f l(cid:229)i n“n ta cª

dŁc (AC) ≤ ﬁØ dŁc (BC).

f (a) + f (b) f (x) ≤ (1.3) b − x b − a x − a b − a

Tı b˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y ta suy ra

f (x) − f (a) ≤ f (a) + f (b) = [f (b) − f (a)] a − x b − a x − a b − a x − a b − a

ﬁª l(cid:181) b˚t ﬁ…ng thłc ﬁ˙u cæa (1.2). B˚t ﬁ…ng thłc sau ﬁ›(cid:238)c chłng minh t›‹ng

ch˘t.

tø. N(cid:213)u f l(cid:229)i ch˘t th(cid:215) trong (1.3), do ﬁª trong (1.2) cª d˚u b˚t ﬁ…ng thłc (cid:50) • K(cid:253) hi(cid:214)u ph˙n trong cæa I l(cid:181) int(I). Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181)

c ∈ int(I). Gi¶ s(cid:246) [a, b] ⊂ I sao cho a < c < b. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1 ta cª:

≤ v(cid:237)i m(cid:228)ix ∈ (c, b]. f (c) − f (a) c − a f (x) − f (c) x − c

C(cid:242)ng tı ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1 suy ra r»ng h(cid:181)m

x → kh«ng gi¶m tr“n(c, b]. f (x) − f (c) x − c

(cid:48)

Do ﬁª t(cid:229)n t„i ﬁ„o h(cid:181)m ph¶i

+(c) = lim x↓c

−(c).

f f (x) − f (c) x − c

B»ng c‚ch t›‹ng tø cª th(cid:211) chłng minh r»ng t(cid:229)n t„i ﬁ„o h(cid:181)m tr‚i f (cid:48) N(cid:213)u a < c < d < b th(cid:215) v(cid:237)i sŁ d›‹ng h ﬁæ nhÆ ta cª

−(c) ≤ f (cid:48)

≤ ≤ f (c) − f (c − h) h

−(d). V(cid:215) th(cid:213), ta cª

f (d) − f (d − h) h +(c) ≤ f (cid:48)

v(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m tr‚i t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m thuØc int(I), ﬁ(cid:229)ng thŒi f (cid:48)

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2. Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. Khi ﬁª, f cª ﬁ„o h(cid:181)m ph¶i + l(cid:181) nh(cid:247)ng h(cid:181)m

− v(cid:181) f (cid:48)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

f (c + h) − f (c) h Cho qua gi(cid:237)i h„n khi h ↓ 0 ta ﬁ›(cid:238)c: f (cid:48) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253):

−(c)(x − c), f (x) ≥ f (c) + f (cid:48)

−(c) ≤ f (cid:48) +(c) v(cid:181) f (x) ≥ +(c)(x − c) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ I (xem H(cid:215)nh

kh«ng gi¶m tr“n int(I). N(cid:213)u c ∈ int(I), ta cª f (cid:48) f (c) + f (cid:48) 1.3).

+(a) v(cid:181) f (cid:48)

Nh¸n x—t 1.1. Gi¶ s(cid:246) f : [a, b] → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. L¸p lu¸n tr“n cho th˚y −(b), n(cid:213)u ch˚p nh¸n gi(cid:237)i h„n

1.1.2. H(cid:181)m Lipschitz v(cid:181) t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m l(cid:229)i §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2. H(cid:181)m f : I → R g(cid:228)i l(cid:181) Lipschitz tr“n I0 ⊂ I n(cid:213)u t(cid:229)n t„i sŁ K > 0 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y| v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ I0. §i(cid:210)u ki(cid:214)n Lipschitz k—o theo f li“n t(cid:244)c, th¸m ch(cid:221) li“n t(cid:244)c ﬁ(cid:210)u tr“n I0 v(cid:181) f cª bi(cid:213)n ph'n gi(cid:237)i nØi tr“n m(cid:228)i kho¶ng con ﬁªng, gi(cid:237)i nØi cæa I0.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3. Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) [a, b] ⊂ int(I). Khi ﬁª,

a) f Lipschitz tr“n [a, b].

b) f li“n t(cid:244)c tr“n int(I).

r»ng trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y t(cid:229)n t„i f (cid:48) +∞ v(cid:181) −∞.

(cid:48)

Chłng minh. T(cid:229)n t„i c, d ∈ I sao cho c < a < b < d. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.2

−(y) ≤ f

−(b)

+(a) ≤ f (cid:48) f (cid:48)

+(x) ≤

≤ f ta cª f (x) − f (y) x − y

+(a)|, |f (cid:48)

−(b)|). §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng minh a); b) l(cid:181) h(cid:214) qu¶ trøc ti(cid:213)p (cid:50)

v(cid:237)i m(cid:228)i a ≤ x < y ≤ b. Tı ﬁª suy ra |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|, trong ﬁª

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

K := max(|f (cid:48) cæa a).

Nh¸n x—t 1.2. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng f kh«ng nh˚t thi(cid:213)t Lipschitz tr“n I, ngay c¶

khi f gi(cid:237)i nØi v(cid:181) f kh«ng nh˚t thi(cid:213)t li“n t(cid:244)c tr“n I, ngay c¶ khi f ﬁªng v(cid:181)

h(cid:247)u h„n.

• MØt h(cid:181)m Lipschitz tr“n kho¶ng [a, b] th(cid:215) li“n t(cid:244)c tuy(cid:214)t ﬁŁi tr“n [a, b];

sø ki(cid:214)n m(cid:228)i ng›Œi ﬁ• bi(cid:213)t l(cid:181) mØt h(cid:181)m nh› th(cid:213) l(cid:181) kh¶ vi h˙u kh(cid:190)p n‹i.

Do v¸y tı §(cid:222)nh l(cid:253) 1.3 suy ra r»ng mØt h(cid:181)m l(cid:229)i l(cid:181) kh¶ vi h˙u kh(cid:190)p n‹i.

Sau ﬁ'y ta sˇ chłng minh mØt t(cid:221)nh ch˚t kh¶ vi m„nh h‹n cæa c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i

Chłng minh a) Do t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa f tr“n int(I) (§(cid:222)nh l(cid:253) 1.3) n“n v(cid:237)i

m(cid:181) kh«ng c˙n d(cid:239)ng t(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m li“n t(cid:244)c tuy(cid:214)t ﬁŁi. §(cid:222)nh l(cid:253) 1.4. Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. Khi ﬁª − li“n t(cid:244)c b“n tr‚i v(cid:181) f (cid:48) a) Tr“n int(I), f (cid:48) + li“n t(cid:244)c b“n ph¶i. b) Ch(cid:216) cª mØt sŁ ﬁ(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c c‚c ﬁi(cid:211)m t„i ﬁª f kh«ng kh¶ vi.

(cid:48)

m(cid:228)i x, y, z ∈ int(I) v(cid:181) x < z < y ta cª

+(z)

f = lim z↓x ≥ lim z↓x f (y) − f (x) y − x f (y) − f (z) y − z

(cid:48)

Cho qua gi(cid:237)i h„n khi y ↓ x ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

+(z)

+(x) ≥ lim z↓x

f f

+ l(cid:181) h(cid:181)m kh«ng gi¶m (§(cid:222)nh l(cid:253) 1.2) n“n ta cª

(cid:48)

Do f (cid:48)

+(z)

+(x) ≤ lim z↓x

f f

+(x) = lim z↓x T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c tr‚i cæa f (cid:48)

+(z), ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y cho th˚y t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c ph¶i cæa f (cid:48) f (cid:48) +. − chłng minh t›‹ng tø.

V(cid:215) th(cid:213) f (cid:48)

(cid:48)

b) Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 1.2 ta cª

+(x) ≤ f

−(y) ≤ f

+(z)

+ li“n t(cid:244)c t„i y th(cid:215) ta cª

(cid:48)

v(cid:237)i m(cid:228)i x, y, z ∈ int(I) v(cid:181) x < y < z. N(cid:213)u f (cid:48)

+(z) = f

−(y)

+(y) = lim x↑y

+(x) = lim x↓y

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

f f f

ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y cª ngh(cid:220)a l(cid:181) f kh¶ vi t„i y. Tı ﬁª suy ra c‚c ﬁi(cid:211)m cæa int(I) t„i ﬁª f kh«ng kh¶ vi l(cid:181) nh(cid:247)ng ﬁi(cid:211)m m(cid:181) t„i ﬁª h(cid:181)m kh«ng gi¶m f (cid:48) + cª b›(cid:237)c nh¶y. §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng minh b), v(cid:215) ch(cid:216) cª mØt sŁ ﬁ(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c c‚c b›(cid:237)c nh¶y nh› th(cid:213).

1.2 T(cid:221)nh l(cid:229)i t„i ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a

1.2.1. H(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi

Kh‚i ni(cid:214)m sau ﬁ'y cª li“n quan ch˘t chˇ v(cid:237)i t(cid:221)nh l(cid:229)i. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.3. H(cid:181)m f : I → R g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i t„i ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i

a, b ∈ I (cid:19) ≤ [f (a) + f (b)] f (cid:18)a + b 2 1 2

H(cid:215)nh 1.4 n“u (cid:253) ngh(cid:220)a h(cid:215)nh h(cid:228)c cæa t(cid:221)nh l(cid:229)i t„i ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a: ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a cæa d'y

cung nŁi hai ﬁi(cid:211)m tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa f kh«ng n»m d›(cid:237)i ﬁi(cid:211)m t›‹ng łng tr“n ﬁ(cid:229)

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.5. (xem [3]) Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i t„i ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a v(cid:181) li“n

t(cid:244)c. Khi ﬁª f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.6. Gi¶ s(cid:246) I l(cid:181) kho¶ng mº v(cid:181) f : I → R hai l˙n kh¶ vi. Khi ﬁª,

th(cid:222).

Chłng minh. "Ch(cid:216) khi": Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 1.2, f (cid:48) l(cid:181) h(cid:181)m kh«ng gi¶m tr“n I.

f l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f (cid:48)(cid:48)(x) ≥ 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ I.

Do ﬁª f (cid:48)(cid:48)(x) ≥ 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ I. "Khi": Gi¶ s(cid:246) x, y ∈ I, x < y v(cid:181) 0 < λ < 1, Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) gi‚ tr(cid:222) trung

b(cid:215)nh trong gi¶i t(cid:221)ch, cª t(cid:229)n t„i ξ1, ξ2, x < ξ1 < λx + (1 − λ)y < ξ2 < y v(cid:181) ξ3, ξ1 < ξ3 < ξ2, sao cho

f [λx + (1 − λ)y] − λf (x) − (1 − λ)f (y) = λ(1 − λ)(y − x)f (cid:48)(ξ1) + (1 − λ)λ(x − y)f (cid:48)(ξ2) = λ(1 − λ)(y − x)(ξ1 − ξ2)f (cid:48)(cid:48)(ξ3) ≤ 0.

Nh¸n x—t 1.3. Tı chłng minh tr“n ta cª th(cid:211) th˚y r»ng f l(cid:229)i ch˘t khi f (cid:48)(cid:48)(x) > 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ I. §i(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i nªi chung kh«ng ﬁ(cid:243)ng, ch…ng h„n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Tı ﬁª suy ra f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

h(cid:181)m f : x (cid:55)→ x4 l(cid:229)i ch˘t tr“n R, nh›ng f (cid:48)(cid:48)(0) = 0.

1.2.2. H(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) c‚c b˚t ﬁ…ng thłc l(cid:229)i

Nhi(cid:210)u v(cid:221) d(cid:244) ﬁ‹n gi¶n v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i cª th(cid:211) nh¸n ﬁ›(cid:238)c tı §(cid:222)nh l(cid:253) 1.6 v(cid:181) qua

c‚c h(cid:181)m n(cid:181)y ta cª th(cid:211) r(cid:243)t ra mØt sŁ b˚t ﬁ…ng thłc m(cid:181) tho„t nh(cid:215)n th›Œng

kh«ng d(cid:212) nh¸n bi(cid:213)t. Sau ﬁ'y l(cid:181) mØt v(cid:221) d(cid:244):

xλyµ ≤ λx + µy (1.4)

v(cid:237)i m(cid:228)i x > 0, y > 0, λ > 0, µ > 0 v(cid:181) λ + µ = 1. B˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y cª th(cid:211) suy ra b»ng c‚ch s(cid:246) d(cid:244)ng t(cid:221)nh l(cid:229)i (ch˘t) cæa h(cid:181)m x (cid:55)→ ex nh› sau:

eλ log x+µ log y ≤ λelog x + µelog y

p y

q ≤

MØt sŁ c‚ch quen thuØc kh‚c ﬁ(cid:211) di(cid:212)n ﬁ„t (1.4) l(cid:181)

x + y x (1.5) 1 p 1 q

xp + yq xy ≤ v(cid:181) 1 p 1 q

p + 1

q = 1. √

v(cid:237)i x > 0, y > 0, p > 1, q > 1 v(cid:181) 1

xy ≤ (x + y)/2 V(cid:237)i p = q = 2, th(cid:215) (1.5) l(cid:181) b˚t ﬁ…ng thłc quen thuØc

(trung b(cid:215)nh nh'n cæa hai sŁ d›‹ng kh«ng l(cid:237)n h‹n trung b(cid:215)nh cØng cæa ch(cid:243)ng

hay t(cid:230)ng qu‚t, trung b(cid:215)nh nh'n cæa n sŁ d›‹ng kh«ng l(cid:237)n h‹n trung b(cid:215)nh

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.7 Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m (a, b) → R. Khi ﬁª, f l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi cª

th(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n f d›(cid:237)i d„ng

cØng cæa ch(cid:243)ng).

trong ﬁª g l(cid:181) mØt h(cid:181)m kh«ng gi¶m li“n t(cid:244)c ph¶i (a, b) → R.

Chłng minh Gi¶ s(cid:246) f : (a, b) → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) ai ∈ [a, b], (1 ≤ i ≤ n).

(cid:90) x f (x) = f (c) + g(t)dt (v(cid:237)i c, x ∈ (a, b))

n (cid:88)

Khi ﬁª ta cª (cid:33) (cid:32)

i=1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

≤ f (1.6) ai f (ai) 1 n 1 n

B˚t ﬁ…ng thłc (1.6) l(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) gi‚ tr(cid:222) trung b(cid:215)nh cæa n sŁ:

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.8. (B˚t ﬁ…ng thłc Jensen). Gi¶ s(cid:246) f : (a, b) → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181)

f (gi‚ tr(cid:222) t.b. cæa a1, a2, . . . , an) ≤ gi‚ tr(cid:222) t.b. cæa f (a1), f (a2), . . . , f (an). §(cid:222)nh l(cid:253) n(cid:181)y cª d„ng t›‹ng tø nh› ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) gi‚ tr(cid:222) trung b(cid:215)nh cæa mØt h(cid:181)m.

g : [c, d] → (a, b) l(cid:181) h(cid:181)m li“n t(cid:244)c. Khi ﬁª

Nh¸n x—t 1.4. a) Trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) tr“n ta cª th(cid:211) thay g bºi mØt h(cid:181)m kh¶ t(cid:221)ch

(cid:19) (cid:90) d (cid:90) d (cid:18) 1 g(x)dx ≤ f (g(x))dx f d − c 1 d − c

Lebesgue tr“n [c, d].

b) B˚t ﬁ…ng thłc Jensen cª d„ng t›‹ng tø sau trong l(cid:253) thuy(cid:213)t x‚c xu˚t:

Gi¶ s(cid:246) X l(cid:181) mØt kh«ng gian x‚c xu˚t v(cid:237)i ﬁØ ﬁo x‚c xu˚t µ (µ(X) = 1), Gi¶ s(cid:246) f : (a, b) → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) g : X → (a, b) l(cid:181) h(cid:181)m µ − kh¶ t(cid:221)ch. Khi ﬁª, (cid:19) (cid:18)(cid:90) (cid:90) f gdµ ≤ (f ◦ g)dµ

Nªi theo ng«n ng(cid:247) x‚c xu˚t, n(cid:213)u x l(cid:181) mØt bi(cid:213)n ng(cid:201)u nhi“n tr“n X th(cid:215) ta

cª f (Ex) ≤ E[f (x)], trong ﬁª Ex l(cid:181) kœ v(cid:228)ng cæa x.

n (cid:88)

• Cho x1, x2, . . . , xn, r1, r2, . . . , rn l(cid:181) c‚c sŁ d›‹ng tho¶ m•n

i=1

ri = 1.

Ta cª th(cid:211) d(cid:212) d(cid:181)ng chłng minh c‚c b˚t ﬁ…ng thłc sau:

n (cid:89)

n (cid:88)

i=1

rixi xri i ≤

p (cid:32) n

n (cid:88)

i=1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:33) 1 (cid:32) n (cid:33) 1 (cid:88) (cid:88) (b˚t ﬁ…ng thłc Holder). aibi ≤ bq i ap i

+ v(cid:237)i a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn l(cid:181) c‚c sŁ kh«ng 'm v(cid:181) p > 1, q > 1, 1 = 1. Khi p = q = 2 ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c b˚t ﬁ…ng thłc Cauchy: p 1 q

n (cid:88)

i=1

(cid:32) n (cid:33) (cid:32) n (cid:33) (cid:88) (cid:88) (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116) aibi ≤ a2 i b2 i

1.3 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p

Kh‚i ni(cid:214)m h(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa mØt h(cid:181)m r˚t quen thuØc trong gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i. Sau

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.9. H(cid:181)m f : R → R l(cid:181) l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t(cid:229)n t„i h(cid:181)m g : R →

ﬁ'y ta l(cid:181)m quen v(cid:237)i kh‚i ni(cid:214)m n(cid:181)y.

R ∪ {+∞} sao cho

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.4. Ta g(cid:228)i h(cid:181)m g nªi tr“n l(cid:181) h(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa h(cid:181)m f, f v(cid:181) g

f (x) = supy∈R[xy − g(y)] v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ R.

t„o th(cid:181)nh mØt c˘p h(cid:181)m tho¶ m•n b˚t ﬁ…ng thłc

f (x) + g(y) ≥ xy, ∀x, y ∈ R. (1.7)

Ta n“u ra c‚ch gi¶i th(cid:221)ch h(cid:215)nh h(cid:228)c sau ﬁ'y cho §(cid:222)nh l(cid:253) 1.9 (xem H(cid:215)nh 1.5).

§›Œng th…ng m v(cid:237)i ﬁØ dŁc y v(cid:181) h(cid:214) sŁ ch(cid:190)n −a kh«ng ﬁ'u n»m ph(cid:221)a tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa f khi v(cid:181) ch(cid:216) khi v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ R th(cid:215)

xy − a ≤ f (x), do ﬁª a ≥ xy − f (x).

SŁ a nhÆ nh˚t v(cid:201)n c(cid:223)n tho¶ m•n b˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y l(cid:181)

supx∈R[xy − f (x)] = g(y).

V(cid:215) th(cid:213), b»ng c‚ch t(cid:222)nh ti(cid:213)n m v(cid:210) ph(cid:221)a tr“n cho ﬁ(cid:213)n khi nh¸n ﬁ›(cid:238)c ﬁ›Œng n(y)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

c(cid:190)t ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa f v(cid:181) h(cid:214) sŁ ch(cid:190)n cæa nª b»ng −g(y). §(cid:222)nh l(cid:253) 1.9 cho th˚y r»ng f l(cid:181) h(cid:215)nh bao cæa h(cid:228) ﬁ›Œng th…ng n(y)(y ∈ R) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1. H(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng f (x) = ex, x ∈ R , l(cid:181) h(cid:181)m g(y) = supx {yx − ex}. R(cid:226) r(cid:181)ng g(y) = 0 v(cid:237)i y = 0 v(cid:181) g(y) = +∞ v(cid:237)i y < 0. V(cid:237)i y > 0 h(cid:181)m yx − ex ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n nh˚t t„i x = h tho¶ m•n y = eh(⇒ h = log y), v(cid:215) th(cid:213) g(y) = y log y − y. Nh› v¸(cid:254)

0 y = 0,   g(y) = +∞ y < 0,

y log y − y, y > 0. 

V(cid:221) d(cid:244) 1.2. Gi¶ s(cid:246) p > 1, f (x) =

(v(cid:237)i x ∈ R). Khi ﬁª |x|p p

+ g(y) = |y|q, trong ﬁª = 1. Do ﬁª theo(1.7) 1 q 1 p 1 q

xy ≤ |x|p + |y|q v(cid:237)i m(cid:228)i x v(cid:181) y thøc. 1 q 1 q

1.4 H(cid:181)m l(cid:229)i gi‚ tr(cid:222) trong ¯R

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Trong §(cid:222)nh l(cid:253) 1.9 ta ﬁ• x—t t(cid:237)i c‚c h(cid:181)m cª gi‚ tr(cid:222) trong R ∪ {+∞}. Tı ﬁ'y v(cid:210) sau, ta sˇ x—t c‚c h(cid:181)m t(cid:230)ng qu‚t h‹n v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) trong ¯R := R ∪ {±∞} . V(cid:210) nh(cid:247)ng t(cid:221)nh to‚n li“n quan t(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) +∞, −∞ ta ch˚p nh¸n c‚c qui t(cid:190)c

hi(cid:211)n nhi“n nh› x + ∞ = +∞, ∀x ∈ R, x × (−∞) = −∞ n(cid:213)u x > 0 v(cid:181)

mØt sŁ qui t(cid:190)c (cid:221)t quen bi(cid:213)t h‹n nh› 0 × (+∞) = (+∞) × 0 = 0 × (−∞) =

(−∞) × 0 = 0. Bi(cid:211)u thłc (+∞ − ∞) kh«ng ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh.

Sau ﬁ'y ta sˇ mº rØng kh‚i ni(cid:214)m h(cid:181)m l(cid:229)i. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.5. H(cid:181)m f : R → ¯R g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i x, y, λ, µ, ν ∈ R

sao cho f (x) < µ, f (y) < ν, 0 < λ < 1 th(cid:215)

f [λx + (1 − λ)y] < λµ + (1 − λ)ν (1.8)

Gi¶ s(cid:246) f : R → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) f (x) < µ, f (y) < ν, 0 < λ < 1. Khi ﬁª,

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) < λµ + (1 − λ)ν.

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) cª b˚t ﬁ…ng thłc (1.8).

Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i ε > 0 ta cª (do f (x) < f (x) + ε, f (y) < f (y) + ε)

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) + ε.

do ﬁª f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) v(cid:215) th(cid:213) f l(cid:229)i.

Tı ﬁª, §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.5 tr“n thøc t(cid:213) l(cid:181) sø mº rØng §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.1.

Ta x—t mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m li“n quan ﬁ(cid:213)n h(cid:181)m l(cid:229)i mº rØng. a) Mi(cid:210)n h(cid:247)u hi(cid:214)u cæa h(cid:181)m l(cid:229)i f : R → ¯R , k(cid:253) hi(cid:214)u dom(f ), l(cid:181) t¸p

{x ∈ R |f (x) < +∞}.

b) H(cid:181)m l(cid:229)i R → R∪{+∞} ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ch(cid:221)nh th›Œng tr“n R n(cid:213)u nª kh«ng ﬁ(cid:229)ng nh˚t b»ng +∞ (tłc l(cid:181) n(cid:213)u dom(f ) (cid:54)= ∅ v(cid:181) f (x) > −∞, ∀x ∈ dom(f )). c) H(cid:181)m l(cid:229)i tr“n R m(cid:181) nª kh«ng ph¶i l(cid:181) ch(cid:221)nh th›Œng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i

kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng tr“n R. Cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra l„i r»ng mi(cid:210)n h(cid:247)u hi(cid:214)u cæa h(cid:181)m l(cid:229)i f : R → ¯R l(cid:181) l(cid:229)i (do ﬁª l(cid:181) mØt kho¶ng). H(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng F : R → ¯R v(cid:237)i mi(cid:210)n h(cid:247)u hi(cid:214)u I cª th(cid:211) nh¸n ﬁ›(cid:238)c b»ng c‚ch mº rØng mØt h(cid:181)m l(cid:229)i h(cid:247)u h„n tr“n I l“n to(cid:181)n bØ R theo c‚ch sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:40) f (x) n(cid:213)u x ∈ I, F (x) = +∞ n(cid:213)u x /∈ I,

C‚ch mº rØng n(cid:181)y cho ph—p x(cid:246) l(cid:253) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i h(cid:247)u h„n v(cid:237)i c‚c mi(cid:210)n x‚c ﬁ(cid:222)nh kh‚c nhau nh› nh(cid:247)ng h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) trong ¯R v(cid:181) x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n to(cid:181)n R. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng h(cid:181)m g nªi trong §(cid:222)nh l(cid:253) 1.9 l(cid:181) l(cid:229)i theo ngh(cid:220)a vıa n“u tr“n.

ﬁª, f (x) = −∞ v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ int(dom(f )).

Chłng minh. Ph‚t bi(cid:211)u n(cid:181)y hi(cid:211)n nhi“n ﬁ(cid:243)ng n(cid:213)u f = +∞ (tłc l(cid:181)f (x) = +∞ v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ R). N(cid:213)u f (cid:54)= +∞ th(cid:215) t(cid:229)n t„i a ∈ R sao cho f (a) = −∞ (ch(cid:243) (cid:253) a ∈ dom(f )). Gi¶ s(cid:246) x ∈ int(dom(f )), x (cid:54)= a. T(cid:229)n t„i y ∈ dom(f )

• Cª th(cid:211) d(cid:212) d(cid:181)ng m« t¶ l(cid:237)p h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng. §(cid:222)nh l(cid:253) 1.10. Gi¶ s(cid:246) f : R → ¯R l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng. Khi

v(cid:181) λ ∈ (0, 1) sao cho x = λa + (1 − λ)y. Theo §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.5, v(cid:237)i m(cid:228)i α cho f (y) < α < +∞ v(cid:181) m(cid:228)i b ∈ R

f (x) = f [λa + (1 − λ)y] < λβ + (1 − λ)α

(do f (a) = −∞ < β). §˘t β → −∞, ta cª f (x) = −∞.

+(x) t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ [a, b) v(cid:181) f (cid:48)

• C‚c t(cid:221)nh ch˚t a) → e) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i thøc n“u trong m(cid:244)c 1.1 v(cid:201)n c(cid:223)n ﬁ(cid:243)ng ﬁŁi v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i gi‚ tr(cid:222) trong ¯R, mi(cid:212)n l(cid:181) trong c‚c t(cid:221)nh ch˚t a), b) v(cid:181) d) ta h„n ch(cid:213) º c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng (ﬁ(cid:211) tr‚nh c‚c bi(cid:211)u thłc d„ng +∞ − ∞). Sau ﬁ'y ta sˇ d(cid:239)ng ﬁ(cid:213)n t(cid:221)nh ch˚t: h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n R cª ﬁ„o h(cid:181)m ph¶i v(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m tr‚i kh(cid:190)p tr“n dom(f ), mi(cid:212)n l(cid:181) cho ph—p ﬁ„o h(cid:181)m l˚y c‚c

(cid:48)

gi‚ tr(cid:222) +∞ v(cid:181) −∞ . Ta ﬁ›a ra chłng minh cho tr›Œng h(cid:238)p dom(f ) = [a, b]. Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 1.2, f (cid:48) − t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ (a, b]. V(cid:237)i m(cid:228)i x < a ta cª f (x) = +∞ v(cid:215) th(cid:213)

−(a) = −∞;

= −∞, do ﬁª f f (x) − f (a) x − a

(cid:48)

v(cid:237)i m(cid:228)i x > b ta cª

+(b) = +∞.

= +∞, v(cid:181) v(cid:215) th(cid:213) f f (x) − f (b) x − b

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.6. Cho h(cid:181)m f : I → R.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

• Ta x—t l(cid:237)p h(cid:181)m rØng h‹n c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t.

a) H(cid:181)m f g(cid:228)i l(cid:181) tøa l(cid:229)i n(cid:213)u

f [λa + (1 − λ)b] ≤ f (b)

v(cid:237)i m(cid:228)i a, b ∈ I m(cid:181) f (a) < f (b) v(cid:181) m(cid:228)i λ ∈ (0, 1).

b) H(cid:181)m f g(cid:228)i l(cid:181) tøa l(cid:229)i ch˘t n(cid:213)u

f [λa + (1 − λ)b] < f (b)

v(cid:237)i m(cid:228)i a, b ∈ I m(cid:181) f (a) < f (b) v(cid:181) m(cid:228)i λ ∈ (0, 1).

Cª th(cid:211) th˚y:

+ H(cid:181)m f tøa l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ∀α ∈ R t¸p młc d›(cid:237)i {x ∈ I : f (x) ≤ α} l(cid:181) l(cid:229)i. §(cid:229) th(cid:222) cæa h(cid:181)m tøa l(cid:229)i ch˘t kh«ng chła ﬁo„n th…ng.

+ MØt h(cid:181)m tøa l(cid:229)i ch˘t kh«ng nh˚t nhi(cid:213)t l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i, nh›ng mØt h(cid:181)m tøa l(cid:229)i ch˘t v(cid:181) li“n t(cid:244)c l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i (v(cid:221) d(cid:244) x3 l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i ch˘t v(cid:181) l(cid:181) h(cid:181)m tøa

§(cid:222)nh l(cid:253) 1.11. (T(cid:221)nh l(cid:229)i k—o theo t(cid:221)nh tøa l(cid:229)i).

l(cid:229)i). + H(cid:181)m l(cid:229)i l(cid:181) tøa l(cid:229)i, nh›ng ﬁi(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i kh«ng ch(cid:190)c ﬁ(cid:243)ng (h(cid:181)m (cid:112)|x| l(cid:181) tøa l(cid:229)i, nh›ng kh«ng l(cid:229)i). §(cid:222)nh l(cid:253) sau cho th˚y r(cid:226) ﬁi(cid:210)u ﬁª.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

H(cid:181)m l(cid:229)i lu«n l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i. H(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t lu«n l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i ch˘t.

Chłng minh. Ta n“u ra chłng minh cho tr›Œng h(cid:238)p h(cid:181)m l(cid:229)i, tr›Œng h(cid:238)p

l(cid:229)i ch˘t chłng minh t›‹ng tø.

Gi¶ s(cid:246) f : I → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. L˚y b˚t kœ a, b ∈ I. Kh«ng gi¶m t(cid:230)ng qu‚t ta xem nh› f (a) ≤ f (b). Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m l(cid:229)i, v(cid:237)i x = λa + (1 − λ)b ta

f (x) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b), ∀λ ∈ [0, 1] cª

f (x) ≤ f (b) + λ(f (a) − f (b)), ∀λ ∈ [0, 1] hay

Do λ > 0 v(cid:181) f (a) ≤ f (b) n“n λ(f (a) − f (b)) ≤ 0. Tı ﬁª f (x) ≤ f (b). Theo

Tªm l„i, ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i (h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t) mØt bi(cid:213)n h(cid:247)u

tr“n f (b) = max {f (a), f (b)} , ∀λ ∈ [0, 1], ngh(cid:220)a l(cid:181) f tho¶ m•n ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a (cid:50) cæa h(cid:181)m tøa l(cid:229)i.

h„n hay nh¸n gi‚ tr(cid:222) v« cøc v(cid:181) mº rØng cæa nª l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i (h(cid:181)m tøa l(cid:229)i

ch˘t). Gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t quan tr(cid:228)ng cæa h(cid:181)m l(cid:229)i nh› t(cid:221)nh Lipschitz,

t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c, t(cid:221)nh kh¶ vi cæa h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) x—t kh‚i ni(cid:214)m h(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa h(cid:181)m

l(cid:229)i. C‚c kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t ﬁ• x—t cæa h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n sˇ ﬁ›(cid:238)c mº rØng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

cho h(cid:181)m l(cid:229)i nhi(cid:210)u bi“n º ch›‹ng sau.

Ch›‹ng 2 H(cid:181)m l(cid:229)i trong Rn

H(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) c‚c bi(cid:213)n d„ng cæa nª (l(cid:229)i ch˘t, l(cid:229)i manh, tøa l(cid:229)i, . . .) cª nhi(cid:210)u

t(cid:221)nh ch˚t ﬁ‚ng ch(cid:243) (cid:253) v(cid:181) hay ﬁ›(cid:238)c x—t t(cid:237)i trong l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181) łng d(cid:244)ng thøc t(cid:213).

Ch›‹ng n(cid:181)y gi(cid:237)i thi(cid:214)u v(cid:210) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i nhi(cid:210)u bi(cid:213)n, c(cid:239)ng c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n

cæa ch(cid:243)ng. NØi dung cæa ch›‹ng chæ y(cid:213)u døa tr“n c‚c t(cid:181)i li(cid:214)u [2], [4], [5]

2.1 §(cid:222)nh ngh(cid:220)a v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1. + H(cid:181)m f : S → [−∞, +∞] x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n t¸p h(cid:238)p l(cid:229)i S ⊆ Rn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i tr“n S n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i x1, x2 ∈ S v(cid:181) m(cid:228)i sŁ thøc λ ∈ [0, 1] ta cª

f [λx1 + (1 − λ)x2] ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) (2.1)

m(cid:231)i khi v(cid:213) ph¶i ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh, ngh(cid:220)a l(cid:181) h(cid:214) thłc (2.1) c˙n ﬁ›(cid:238)c tho¶ m•n trı khi f (x1) = −f (x2) = ±∞ (v(cid:215) bi(cid:211)u thłc +∞ − ∞ kh«ng ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh). + N(cid:213)u (2.1) tho¶ m•n v(cid:237)i d˚u < ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:228)i x1, x2 ∈ S, x1 (cid:54)= x2, 0 < λ < 1 th(cid:215) f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i ch˘t tr“n S.

+ H(cid:181)m f (x) g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:226)m (l(cid:226)m ch˘t) tr“n S n(cid:213)u −f (x) l(cid:181) l(cid:229)i (l(cid:229)i ch˘t) tr“n

S; g(cid:228)i l(cid:181) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh afin (hay ﬁ‹n gi¶n l(cid:181) afin) tr“n S n(cid:213)u f h(cid:247)u h„n v(cid:181) vıa l(cid:229)i vıa l(cid:226)m tr“n S. MØt h(cid:181)m afin tr“n Rn cª d„ng f (x) = +α v(cid:237)i a ∈ Rn, α ∈ R, bºi v(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i x1, x2 ∈ Rn v(cid:181) m(cid:228)i λ ∈ [0, 1] ta cª f [λx1 + (1 − λ)x2] = λf (x1) + (1 − λ)f (x2). Tuy nhi“n, h(cid:181)m afin kh«ng

ph¶i l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t hay l(cid:226)m ch˘t.

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.2. Cho h(cid:181)m b˚t kœ f : S → [−∞, +∞] v(cid:237)i S ⊆ Rn, c‚c t¸p dom f = {x ∈ S : f (x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α}

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) mi(cid:210)n h(cid:247)u d(cid:244)ng v(cid:181) t¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa f (x). N(cid:213)u dom f (cid:54)=

∅ ( f kh«ng ≡ +∞) v(cid:181) f (x) > −∞ v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ S th(cid:215) ta nªi h(cid:181)m f l(cid:181) ch(cid:221)nh

th›Œng. Nªi c‚ch kh‚c, f ch(cid:221)nh th›Œng n(cid:213)u dom f (cid:54)= ∅ v(cid:181) f h(cid:247)u h„n tr“n

dom f . Cª th(cid:211) chłng minh r»ng h(cid:181)m f (x) l(cid:181) l(cid:229)i tr“n S khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

k=1 λkf (xk) v(cid:237)i m(cid:228)i xk ∈ S, (cid:80)m

k=1 λkxk(cid:1) ≤ (cid:80)m

a) T¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) epi f = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≤ α} l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, ho˘c b) f (cid:0)(cid:80)m k=1 λk = 1 v(cid:181)

λk ≥ 0, ∀k, trong ﬁª m l(cid:181) sŁ nguy“n ≥ 2 (b˚t ﬁ…ng thłc Jensen).

∗ §˘t hypof = {(x, α) ∈ S × R : f (x) ≥ α}. Ta g(cid:228)i ﬁª l(cid:181) t¸p d›(cid:237)i ﬁ(cid:229)

th(cid:222) cæa f. Cª th(cid:211) th˚y r»ng h(cid:181)m f l(cid:226)m khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t¸p d›(cid:237)i ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa nª

l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, bºi v(cid:215) hypo f = - epig v(cid:237)i g = −f . T¸p tr“n (d›(cid:237)i) ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa h(cid:181)m afin l(cid:181) mØt n(cid:246)a kh«ng gian trong Rn × R.

∗ H(cid:181)m l(cid:229)i f : S → [−∞, +∞] cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c mº rØng th(cid:181)nh h(cid:181)m l(cid:229)i x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n to(cid:181)n kh«ng gian Rn b»ng c‚ch ﬁ˘t f (x) = +∞∀x /∈ S. V(cid:215) v¸y ﬁ(cid:211) ﬁ‹n gi¶n ta th›Œng x—t h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n to(cid:181)n Rn.

Sau ﬁ'y l(cid:181) mØt sŁ v(cid:221) d(cid:244) quen thuØc v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i (C ⊂ Rn l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, C (cid:54)= ∅):

n, x ∈ Rn.

1 + · · · + x2

√ = (cid:112)x2 • H(cid:181)m chu¨n Euclid||x|| =

(cid:40) 0 khi x ∈ C, • H(cid:181)m ch(cid:216) cæa C : δC(x) = +∞ n(cid:213)u x /∈ C,

• H(cid:181)m tøa cæa C : sC(x) = supy∈C (c¸n tr“n cæa xT y tr“n C).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

• H(cid:181)m kho¶ng c‚ch tı ﬁi(cid:211)m x ∈ Rn t(cid:237)i C : dC(x) = infy∈C||x − y||.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.1. N(cid:213)u f (x) l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng th(cid:215) f (x) =

Chłng minh. Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, f (x0) = −∞ t„i (cid:221)t nh˚t mØt x0 ∈ dom f (trı khi dom f = ∅). N(cid:213)u x l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi cæa dom f th(cid:215) cª mØt x1 ∈ dom f sao cho x l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi cæa ﬁo„n [x0, x1] : x = λx0 + (1 − λ)x1 v(cid:237)i λ ∈ (0, 1). Do f l(cid:229)i v(cid:181) f (x1) < +∞ n“n

−∞ t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi x thuØc mi(cid:210)n h(cid:247)u d(cid:244)ng cæa nª.

(cid:50) f (x) ≤ λf (x0) + (1 − λ)f (x1) = −∞.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1. Gi¶ s(cid:246) f : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn v(cid:181) α ∈ [−∞, +∞] . Khi ﬁª, c‚c t¸p młc d›(cid:237)i Cα = {x : f (x) < α} , ¯Cα = {x : f (x) ≤ α} l(cid:181) t¸p l(cid:229)i. T›‹ng tø, n(cid:213)u f l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:226)m tr“n Rn th(cid:215) c‚c t¸p młc tr“n Dα = {x : f (x) > α} , ¯Dα = {x : f (x) ≥ α} l(cid:181) t¸p l(cid:229)i.

Chłng minh. Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:181)m l(cid:229)i, ta cª

§(cid:222)nh l(cid:253) sau ﬁ'y n“u mŁi li“n h(cid:214) ﬁ‚ng ch(cid:243) (cid:253) gi(cid:247)a h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) t¸p l(cid:229)i.

f [λx1 + (1 − λ)x2] ≤ maxf (x1, f (x2, ∀x1, x2 ∈ Rn, λ ∈ (0, 1).

Nh¸n x—t 2.1. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) ﬁ¶o cæa c‚c k(cid:213)t lu¸n tr“n nªi chung kh«ng ﬁ(cid:243)ng.

(cid:50) Tı ﬁª suy ra c‚c k(cid:213)t lu¸n cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253).

Ch…ng h„n, h(cid:181)m gi‚ tr(cid:222) thøc (mØt bi(cid:213)n) kh«ng gi¶m tr“n ﬁ›Œng th…ng thøc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

cª t˚t c¶ c‚c t¸p młc d›(cid:237)i cæa nª l(cid:181) l(cid:229)i, nh›ng b¶n th'n h(cid:181)m ﬁª kh«ng l(cid:229)i tr“n R. V(cid:221) d(cid:244), f (x) = x3 l(cid:181) mØt h(cid:181)m nh› th(cid:213).

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.3. MØt h(cid:181)m m(cid:181) m(cid:228)i t¸p młc d›(cid:237)i cæa nª l(cid:181) t¸p l(cid:229)i ﬁ›(cid:238)c

g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i. MØt h(cid:181)m m(cid:181) m(cid:228)i t¸p młc tr“n cæa nª l(cid:181) t¸p l(cid:229)i ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i

H(cid:214) qu¶ 2.1. Gi¶ s(cid:246) fi l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn, αi ∈ R(∀i ∈ I), I l(cid:181) t¸p ch(cid:216)

sŁ b˚t kœ. Khi ﬁª, t¸p sau ﬁ'y l(cid:181) l(cid:229)i:

l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:226)m. §›‹ng nhi“n h(cid:181)m l(cid:229)i (l(cid:226)m) l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i (tøa l(cid:226)m).

Chłng minh. Do Ci = {x ∈ Rn : fi(x) ≤ αi, ∀i ∈ I} l(cid:229)i ∀i, n“n C = (cid:50) ∩i∈ICi l(cid:229)i.

C = {x ∈ Rn : fi(x) ≤ αi, ∀i ∈ I}

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.4. H(cid:181)m f tr“n Rn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) thu˙n nh˚t d›‹ng n(cid:213)u

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.2. H(cid:181)m thu˙n nh˚t d›‹ng f : Rn → (−∞, +∞) l(cid:181) l(cid:229)i khi v(cid:181)

ch(cid:216) khi

f (λx) = λf (x), ∀x ∈ Rn, ∀λ > 0 (⇒ f (0) = 0).

Chłng minh. a) Gi¶ s(cid:246) h(cid:181)m thu˙n nh˚t d›‹ng f l(cid:181) l(cid:229)i. L˚y b˚t kœ x, y ∈ Rn.

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Rn.

Khi ﬁª

x + f (y)] = f (x) + f (y). y) ≤ 2[ f (x) + f (x + y) = 2f ( 1 2 1 2 1 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

1 2 b) Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) f (x + y) ≤ f (x) + f (y)∀x, y ∈ Rn. L˚y b˚t kœ (xi, αi) ∈ epi f , tłc l(cid:181) f (xi) ≤ αi(i = 1, 2). Ta cª (x1 +x2, α1 +α2) ∈ epi f ,

bºi v(cid:215) f (x1 + x2) ≤ f (x1) + f (x2) ≤ α1 + α2.

H‹n n(cid:247)a, f l(cid:181) h(cid:181)m thu˙n nh˚t d›‹ng n“n n(cid:213)u (x, α) ∈ epi f th(cid:215) f (x) ≤ α

λf (x) = f (λx) ≤ λα (0 < λ < ∞) ⇒ λ(x, α) ∈ epi f. v(cid:181)

H(cid:214) qu¶ 2.2. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng, thu˙n nh˚t d›‹ng. Khi ﬁª,

Nh› v¸y, epi f ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i ph—p cØng v(cid:181) ph—p nh'n v« h›(cid:237)ng, ngh(cid:220)a l(cid:181) epi f (cid:50) l(cid:181) mØt nªn l(cid:229)i. V¸y h(cid:181)m f l(cid:181) l(cid:229)i.

∀xi ∈ Rn, ∀λi > 0, i = 1, . . . , m (Chłng minh theo qui n„p):

H(cid:214) qu¶ 2.3. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng, thu˙n nh˚t d›‹ng. Khi ﬁª,

f (λ1x1 + . . . + λmxm) ≤ λ1f (x1) + . . . + λmf (xm).

Chłng minh. ‚p d(cid:244)ng §(cid:222)nh l(cid:253) 2.2 v(cid:237)i y = −x ta sˇ cª f (x) + f (−x) ≥ (cid:50) f (x − x) = f (0) = 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Rn.

f (x) + f (−x) ≥ 0(∀x ∈ Rn).

Tªm l„i, f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i thu˙n nh˚t d›‹ng ⇔ epi f l(cid:181) nªn l(cid:229)i ﬁ(cid:216)nh t„i gŁc 0.

2.2 H(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.2. H(cid:181)m f (x), x ∈ Rn, l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi h(cid:181)m mØt bi(cid:213)n

sŁ ϕ(λ) ≡ f (x + λd) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i theo λ v(cid:237)i m(cid:228)i x, d ∈ Rn.

Chłng minh. §i(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n l(cid:181) r(cid:226) r(cid:181)ng. Ta chłng minh ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁæ. Gi¶ s(cid:246) ϕ(λ) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ∀x, d ∈ Rn. L˚y b˚t kœ x, y ∈ Rn v(cid:181) ﬁ˘t d = y − x. Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i λ ∈ [0, 1] ta cª

H(cid:181)m l(cid:229)i n bi(cid:213)n cª mŁi quan h(cid:214) ch˘t chˇ v(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n. Ta cª

f (λy + (1 − λ)x) = f (x + λd) = ϕ(λ) = ϕ(λ.1) + (1 − λ).0)

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.3. (§(cid:222)nh l(cid:253) 1.6, ch›‹ng 1). H(cid:181)m sŁ thøc kh¶ vi f (x) tr“n mØt kho¶ng mº l(cid:181) l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ﬁ„o h(cid:181)m f (cid:48) cæa nª l(cid:181) mØt h(cid:181)m kh«ng gi¶m.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

≤ λϕ(1) + (1 − λ)ϕ(0) = λf (y) + (1 − λ)f (x).(cid:50)

H(cid:181)m sŁ thøc kh¶ vi hai l˙n f (x) tr“n mØt kho¶ng mº l(cid:181) l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ﬁ„o h(cid:181)m c˚p hai cæa nª f (cid:48)(cid:48) kh«ng 'm tr“n to(cid:181)n bØ kho¶ng mº n(cid:181)y.

N(cid:213)u f (x) l(cid:181) h(cid:181)m li“n t(cid:244)c v(cid:181) cª c‚c ﬁ„o h(cid:181)m ri“ng theo m(cid:228)i bi(cid:213)n tr“n mØt

t¸p C ⊆ Rn th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ C ta x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt v—ct‹ cØt n th(cid:181)nh ph˙n:

(cid:19)T , , · · · , (cid:53)f (x) = (cid:18)∂f (x) ∂x1 ∂f (x) ∂x2 ∂f (x) ∂xn

v(cid:181) g(cid:228)i ﬁª l(cid:181) vect‹ gradient cæa h(cid:181)m f t„i ﬁi(cid:211)m x. V—ct‹ (cid:53)f (x) vu«ng gªc

v(cid:237)i ﬁ›Œng młc cæa h(cid:181)m f ﬁi qua ﬁi(cid:211)m x. H›(cid:237)ng cæa v—ct‹ n(cid:181)y l(cid:181) h›(cid:237)ng

t¤ng nhanh nh˚t cæa f t„i x n“n c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) h›(cid:237)ng dŁc nh˚t.

∗ Cª th(cid:211) th˚y r»ng n(cid:213)u f kh¶ vi li“n t(cid:244)c ( f kh¶ vi v(cid:181) (cid:53)f li“n t(cid:244)c) th(cid:215) v(cid:237)i

ϕ(λ) = f (x + λd) sˇ cª ϕ(cid:48)(λ) =<(cid:53)f (x + λd), d> v(cid:237)i m(cid:228)i x, d ∈ Rn.

∗ H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u f hai l˙n kh¶ vi li“n t(cid:244)c th(cid:215) ϕ(cid:48)(cid:48)(λ) =<(cid:53)2f (x + λd)d, d>

n×n

v(cid:237)i (cid:19) (cid:53)2f (x) = (cid:18)∂2f (x) ∂xi∂xj

l(cid:181) ma tr¸n vu«ng ﬁŁi xłng c˚p n, g(cid:228)i l(cid:181) ma tr¸n Hess cæa h(cid:181)m f t„i ﬁi(cid:211)m x.

§(cid:211) nh¸n bi(cid:213)t h(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi, ng›Œi ta th›Œng s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ti“u chu¨n sau. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4. Cho h(cid:181)m li“n t(cid:244)c f : C → R v(cid:237)i C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i mº: a) N(cid:213)u h(cid:181)m f kh¶ vi v(cid:181) (cid:53)f li“n t(cid:244)c th(cid:215) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

hay ϕ(cid:48)(λ) ≡<(cid:53)f (x + λd), d> kh«ng gi¶m theo λ v(cid:237)i m(cid:228)i x, d ∈ Rn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

f (y) ≥ f (x)+ <(cid:53)f (x), y − x>, ∀x, y ∈ C.

b) N(cid:213)u f kh¶ vi hai l˙n v(cid:181) (cid:53)2f li“n t(cid:244)c th(cid:215) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi (cid:53)2f (x) l(cid:181) ma tr¸n n(cid:246)a x‚c ﬁ(cid:222)nh d›‹ng ∀x ∈ C (ngh(cid:220)a l(cid:181) <(cid:53)2f (x)d, d>≥ 0, ∀d ∈ Rn) hay (cid:53)2f (x) cª m(cid:228)i gi‚ tr(cid:222) ri“ng kh«ng 'm ∀x ∈ C.

Chłng minh. Ta n“u chłng minh cho k(cid:213)t lu¸n b). H(cid:181)m f l(cid:181) l(cid:229)i tr“n C khi v(cid:181) ch(cid:216) khi v(cid:237)i m(cid:228)i a ∈ C, d ∈ Rn, h(cid:181)m ϕa,d(λ) = f (a + λd) l(cid:181) l(cid:229)i tr“n kho¶ng mº {λ : a + λd ∈ C}. Khi ﬁª, k(cid:213)t lu¸n ﬁ›(cid:238)c suy ra tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.3, v(cid:215) nh› ﬁ• th˚y ϕ(cid:48)(cid:48)(λ) =<(cid:53)2f (x)d, d> v(cid:237)i x = a + λd (chłng minh k(cid:213)t lu¸n a) xem [2], tr.18).

(cid:50)

a) N(cid:213)u h(cid:181)m f kh¶ vi v(cid:181) (cid:53)f li“n t(cid:244)c th(cid:215) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

V(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t ta c(cid:242)ng cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t t›‹ng tø nh› º M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.5. Cho h(cid:181)m li“n t(cid:244)c f : C → R v(cid:237)i C ⊆ Rn l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i mº:

hay ϕ(cid:48)(λ) ≡<(cid:53)f (x + λd), d> t¤ng ch˘t theo λ v(cid:237)i m(cid:228)i x, d ∈ Rn. b) N(cid:213)u f kh¶ vi hai l˙n v(cid:181) (cid:53)2f li“n t(cid:244)c th(cid:215) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

f (y) > f (x)+ <(cid:53)f (x), y − x>, ∀x (cid:54)= y ∈ C.

• (cid:53)2f (x) l(cid:181) ma tr¸n x‚c ﬁ(cid:222)nh d›‹ng ∀x ∈ C ho˘c

• (cid:53)2f (x) cª moi gi‚ tr(cid:222) ri“ng thøc sø d›‹ng ∀x ∈ C ho˘c

chu¨n Sylvester). (Chłng minh t›‹ng tø m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) tr“n).

H(cid:214) qu¶ 2.4. H(cid:181)m to(cid:181)n ph›‹ng f (x) = 1

2 + +α l(cid:181) l(cid:229)i tr“n Rn ⇔ ma tr¸n Q n(cid:246)a x‚c ﬁ(cid:222)nh d›‹ng, f l(cid:229)i ch˘t ⇔ Q x‚c ﬁ(cid:222)nh d›‹ng v(cid:181) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:226)m tr“n Rn ⇔ ma tr¸n Q n(cid:246)a x‚c ﬁ(cid:222)nh 'm. (Do(cid:53)2 f (x) ≡ Q, ∀x ∈ (cid:50)

• M(cid:228)i t(cid:246) thłc con ch(cid:221)nh cæa (cid:53)2f (x) thøc sø d›‹ng ∀x ∈ C (theo ti“u (cid:50)

1 − 2x1x2 + 3x2

C).

2. Ta th˚y (cid:33)

V(cid:221) d(cid:244) 2.1. X—t h(cid:181)m f (x) = f (x1, x2) = x2 2x1 −2x2 6x2 −2x1

(cid:33) (cid:32) (cid:32) 2 −2 (cid:53)f (x) = v(cid:181) (cid:53)2f (x) = −2 6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Do (cid:53)2f (x) x‚c ﬁ(cid:222)nh d›‹ng ∀x n“n h(cid:181)m f ﬁ• cho l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t tr“n R2.

2.3 C‚c ph—p to‚n v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.6. a) M(cid:228)i t(cid:230) h(cid:238)p tuy(cid:213)n t(cid:221)nh d›‹ng cæa c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181)

l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t n(cid:213)u (cid:221)t nh˚t mØt trong c‚c h(cid:181)m ﬁ• cho l(cid:181) l(cid:229)i ch˘t.

b) N(cid:213)u f (x), x ∈ Rn, l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i th(cid:215) f (Ax + b) c(cid:242)ng l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, trong ﬁª

c) C¸n tr“n (supremum theo tıng ﬁi(cid:211)m) cæa mØt h(cid:228) tuœ (cid:253) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i (nªi

A l(cid:181) mØt ma tr¸n vu«ng c˚p n v(cid:181) b ∈ Rn.

Chłng minh. a)→ b) Chłng minh suy trøc ti(cid:213)p tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m l(cid:229)i.

ri“ng c‚c h(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh aﬁn) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

Nh¸n x—t 2.2. N(cid:213)u f1, . . . , fm l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng th(cid:215) f1+. . .+fm l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, cª th(cid:211) kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng. Ch…ng h„n, C v(cid:181) D l(cid:181) hai t¸p l(cid:229)i

c) K(cid:213)t lu¸n ﬁ›(cid:238)c suy ra tı sø ki(cid:214)n l(cid:181) n(cid:213)u f (x) = sup fi(x) : i ∈ I th(cid:215) (cid:50) epi f = ∩i∈I epi fi v(cid:181) giao cæa mØt h(cid:228) b˚t kœ c‚c t¸p l(cid:229)i l(cid:181) t¸p l(cid:229)i.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.7. Cho g(x) : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) ϕ(t) : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng gi¶m. Khi ﬁª, f (x) = ϕ(g(x)) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:50) rŒi nhau. Khi ﬁª h(cid:181)m ch(cid:216) δC(x) v(cid:181) δD(x) l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng, nh›ng δC(x) + δD(x) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng bºi v(cid:215) δC(x) + δD(x) = +∞ (∀x ∈ Rn).

Chłng minh. V(cid:237)i m(cid:228)i x1, x2 ∈ Rn v(cid:181) m(cid:228)i λ ∈ [0, 1] ta cª (do g l(cid:229)i) g(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λg(x1) + (1 − λ)g(x2) ⇒ (do ϕ kh«ng gi¶m & l(cid:229)i)

V(cid:221) d(cid:244) 2.2. Theo tr“n h(cid:181)m f (x) = c1eg1(x) + . . . + cmegm(x) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i n(cid:213)u m(cid:228)i ci > 0 v(cid:181) m(cid:228)i gix l(cid:181) l(cid:229)i (nªi ri“ng f (x1, x2) = c1ex1+x2 + c2ex1−x2 l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.8. Cho D l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i trong Rn, G l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i trong

ϕ[g(λx1 + (1 − λ)x2)] ≤ λϕ[g(x1)] + (1λ)ϕ[g(x2)].

Rm, ϕ(x, y) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i gi‚ tr(cid:222) thøc tr“n D × G. Khi ﬁª, h(cid:181)m

l(cid:181) l(cid:229)i tr“n D. Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) x1, x2 ∈ D v(cid:181) x = λx1 + (1 − λ)x2 v(cid:237)i λ ∈ [0, 1]. V(cid:237)i m(cid:231)i i = 1, 2 l˚y d•y {yi,k} ⊂ G sao cho

f (x) = infy∈Gϕ(x, y)

ϕ(xi, yi,k) → infy∈Gϕ(xi, y)

Do ϕ l(cid:229)i n“n

f (x) ≤ ϕ(x, λy1,k + (1 − λ)y2,k) ≤ λϕ(x1, y1,k) + (1 − λ)ϕ(x2, y2,k),

cho k → +∞ ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:50) f (x) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2).

H(cid:214) qu¶ 2.5. Gi¶ s(cid:246) E ⊂ Rn+1 l(cid:181) t¸p l(cid:229)i v(cid:181)

f (x) = inf {t ∈ R : (x, t) ∈ E}. (2.2)

Khi ﬁª, f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n Rn. (Qui ›(cid:237)c inf imum tr“n t¸p ∅ b»ng +∞).(cid:50) Khi cho t¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) E cæa h(cid:181)m l(cid:229)i f (x), ta cª th(cid:211) kh«i ph(cid:244)c f (x) nhŒ d(cid:239)ng c«ng thłc (2.2). Ng›(cid:238)c l„i, khi cho t¸p l(cid:229)i E ∈ Rn+1 th(cid:215) theo H(cid:214) qu¶ 2.5, h(cid:181)m f (x) x‚c ﬁ(cid:222)nh theo (2.2) l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i trong Rn. V(cid:215) th(cid:213), n(cid:213)u f1, f2, . . . , fm l(cid:181) m h(cid:181)m l(cid:229)i cho tr›(cid:237)c v(cid:181) E ∈ Rn+1 l(cid:181) mØt t¸p l(cid:229)i nh¸n ﬁ›(cid:238)c nhŒ thøc hi(cid:214)n mØt ph—p to‚n n(cid:181)o ﬁª tr“n c‚c t¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) E1, E2, . . . , Em cæa ch(cid:243)ng, th(cid:215) ta cª th(cid:211) d(cid:239)ng (2.2) ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt h(cid:181)m l(cid:229)i m(cid:237)i f (x) t›‹ng

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.9. Cho f1, . . . , fm l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. Khi ﬁª

m (cid:88)

łng. C(cid:244) th(cid:211) ta cª:

i=1

l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i (cª th(cid:211) kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng) tr“n Rn.

Chłng minh. f (x) x‚c ﬁ(cid:222)nh theo (2.2) v(cid:237)i E = E1 + E2 + . . . + Em v(cid:181) (cid:50)

f (x) = inf { xi = x} (2.3) fi(xi) : xi ∈ Rn,

Nh¸n x—t 2.3. H(cid:181)m x'y døng theo (2.3) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t(cid:230)ng ch¸p infimal

Ei = epi fi v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , m.

cæa c‚c h(cid:181)m f1, f2, . . . , fm. N(cid:213)u c‚c h(cid:181)m f1, f2, . . . , fm l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng, th(cid:215) h(cid:181)m f x‚c ﬁ(cid:222)nh theo (2.3) l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, nh›ng cª th(cid:211) kh«ng

ch(cid:221)nh th›Œng. Ch…ng h„n khi m = 2, th(cid:215) (2.3) cª d„ng

f (x) = infy{f1(y) + f2(x − y)}.

N(cid:213)u ta x—t hai h(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh kh‚c nhau f1, f2 tr“n R th(cid:215) f (x) = infy{f1(y)+ (cid:50) f2(x − y)} = ∞, ∀x ∈ R, ngh(cid:220)a l(cid:181) f(x) kh«ng ch(cid:221)nh th›Œng.

∗ Tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.9 cª th(cid:211) d(cid:212) d(cid:181)ng suy ra t(cid:221)nh l(cid:229)i cæa h(cid:181)m kho¶ng c‚ch

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

dC(x) = inf {(cid:107)x − y(cid:107) : y ∈ C} ﬁŁi v(cid:237)i t¸p l(cid:229)i C, bºi v(cid:215),

(cid:13) + δC(x2) : x1 + x2 = x} (cid:13)x1(cid:13)

dC(x) = infy∈C{(cid:107)x − y(cid:107) + δC(y)} = inf {(cid:13) (nh(cid:237) r»ng (cid:107)x(cid:107) & δC(x) l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i).

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.5. H(cid:181)m f tr“n Rn g(cid:228)i l(cid:181) ﬁªng n(cid:213)u epi f ⊂ Rn+1 l(cid:181) t¸p

ﬁªng.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.6 n“u º m(cid:244)c 2.4 d›(cid:237)i ﬁ'y cho th˚y h(cid:181)m f ﬁªng ⇔ f n(cid:246)a li“n

t(cid:244)c d›(cid:237)i ⇔ v(cid:237)i m(cid:228)i α ∈ R t¸p młc d›(cid:237)i {x : f (x) ≤ α} l(cid:181) t¸p ﬁªng.

Ta cª c‚c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a sau v(cid:210) bao ﬁªng, bao l(cid:229)i v(cid:181) bao l(cid:229)i ﬁªng cæa mØt

h(cid:181)m.

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.6.

+ Bao ﬁªng cæa h(cid:181)m f , k(cid:253) hi(cid:214)u f , ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

epi f = epi f

+ Bao l(cid:229)i v(cid:181) bao l(cid:229)i ﬁªng cæa h(cid:181)m f , k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) convf v(cid:181) convf , ﬁ›(cid:238)c

x‚c ﬁ(cid:222)nh l˙n l›(cid:238)t nh› sau: epi(convf ) = conv(epi f ) v(cid:181) epi(convf ) =

V(cid:221) d(cid:244) 2.3. f (x) = min{(x + 1)2, (x − 1)2}, x ∈ R, l(cid:181) h(cid:181)m kh«ng l(cid:229)i (H(cid:215)nh 2.7a). Bao l(cid:229)i ﬁªng cæa f l(cid:181) h(cid:181)m g = convf x‚c ﬁ(cid:222)nh theo c«ng thłc

conv(epi f ).

(H(cid:215)nh 2.7b)

(x + 1)2, x ≤ −1,

g(x) =

0, |x| ≤ 1, (x − 1)2, x ≥ 1.   

2.4 T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.3. H(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng f tr“n Rn li“n t(cid:244)c t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m trong cæa mi(cid:210)n h(cid:247)u d(cid:244)ng (dom f ) cæa nª.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) x0 ∈ int(dom f ). Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 1.3 (ch›‹ng 1), v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , n thu h(cid:209)p cæa f tr“n kho¶ng mº {t : x0 + tei int(dom f )} li“n t(cid:244)c tr“n kho¶ng n(cid:181)y. V(cid:215) th(cid:213), v(cid:237)i m(cid:228)i ε > 0 cho tr›(cid:237)c v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:228)i i = 1, . . . , n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

sau ﬁ'y l(cid:181) t›‹ng ﬁ›‹ng:

a) f li“n t(cid:244)c t„i mØt ﬁi(cid:211)m n(cid:181)o ﬁª.

b) f b(cid:222) ch˘n tr“n trong mØt t¸p mº n(cid:181)o ﬁª.

c) int(epi f ) (cid:54)= ∅.

d) int(dom f ) (cid:54)= ∅ v(cid:181) f li“n t(cid:244)c tr“n int(dom f ).

Chłng minh. a) ⇒ b) N(cid:213)u f li“n t(cid:244)c t„i ﬁi(cid:211)m x0 th(cid:215) t(cid:229)n t„i l'n c¸n mº U cæa x0 sao

ta cª th(cid:211) ch(cid:228)n δi > 0 ﬁæ nhÆ sao cho |f (x0 + x) − f (x0)| ≤ ε, ∀x ∈ [−δiei, +δiei]. Gi¶ s(cid:246) δ = min{δi : i = 1, . . . , n} v(cid:181) B = {x : ||x||1 ≤ δ}. K(cid:253) hi(cid:214)u di = δei, dn+i = −δei, i = 1, . . . , n. Khi ﬁª, cª th(cid:211) th˚y r»ng m(cid:228)i x ∈ B cª d„ng x = λ1d1 + . . . + λ2nd2n v(cid:237)i λ1 + . . . + λ2n = 1, λi ≥ 0. Tı ﬁª, f (x0 + x) ≤ λ1f (x0 + d1) + . . . + λ2nf (x0 + d2n) v(cid:181) v(cid:215) th(cid:213), f (x0 + x) − f (x0) ≤ λ1[f (x0 + d1) − f (x0)] + . . . + λ2n[f (x0 + d2n) − f (x0)]. Nh› v¸y, |f (x0 + x) − f (x0)| ≤ λ1|f (x0 + d1) − f (x0)| + . . . + λ2n|f (x0 + d2n) − f (x0)| ≤ ε v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ B. §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ f (x) li“n t(cid:244)c t„i x0.(cid:50) §(cid:222)nh l(cid:253) 2.4. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. Khi ﬁª, c‚c ﬁi(cid:210)u

cho f (x) < f (x0) + 1 v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ U , tłc l(cid:181) f (x) b(cid:222) ch˘n trong U .

b) ⇒ c) N(cid:213)u f (x) ≤ M, ∀x trong t¸p mº U th(cid:215) U × [M, +∞) ⊂ epi f ,

v(cid:215) th(cid:213) int (epi f ) (cid:54)= ∅ .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

c) ⇒ d) N(cid:213)u int(epi f ) (cid:54)= ∅ th(cid:215) t(cid:229)n t„i t¸p mº U ⊂ Rn v(cid:181) kho¶ng mº

I ⊂ R sao cho U × I ⊂ epi f , v(cid:215) th(cid:213) U ⊂ dom f , ngh(cid:220)a l(cid:181) int(dom f ) (cid:54)= ∅.

Theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.3 h(cid:181)m f li“n t(cid:244)c tr“n int(dom f ).

(cid:50)

d) ⇒ a) l(cid:181) hi(cid:211)n nhi“n. • §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.7. + H(cid:181)m f : Rn → R ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) Lipschitz ﬁ(cid:222)a ph›‹ng

t„i x ∈ Rn n(cid:213)u t(cid:229)n t„i l'n c¸n U cæa x v(cid:181) sŁ K > 0 sao cho

|f (x) − f (y)| ≤ K||(x − y|| (∀x, y ∈ U ). (2.4)

+ H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) Lipschitz ﬁ(cid:222)a ph›‹ng tr“n t¸p C ⊂ Rn n(cid:213)u f Lipschitz

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.5. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn v(cid:181) f b(cid:222) ch˘n tr“n trong mØt t¸p mº n(cid:181)o ﬁª. Khi ﬁª, f Lipschitz tr“n m(cid:228)i t¸p b(cid:222) ch˘n chła trong

ﬁ(cid:222)a ph›‹ng t„i m(cid:228)i x ∈ C v(cid:181) h(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) Lipschitz v(cid:237)i h»n sŁ Lipschitz K tr“n t¸p C ⊂ Rn n(cid:213)u (2.4) ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ C.

int(dom f ). (Xem chłng minh trong [4], tr.55).

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.8. + H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i x ∈ Rn (v(cid:237)i

f (x) < +∞) n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i ε > 0, t(cid:229)n t„i δ > 0 sao cho:

f (x) − ε ≤ f (x) (∀x : ||x − x|| < δ). (2.5)

+ N(cid:213)u f (x) = +∞ th(cid:215) f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i x n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i

N > 0 t(cid:229)n t„i δ > 0 sao cho (f (x) ﬁæ l(cid:237)n khi x ﬁæ g˙n x):

f (x) ≥ N (∀x : ||x − x|| < δ). (2.6)

∗ §(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i lim infx→xf (x) ≥ f (x). + H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i n(cid:213)u f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i ∀x ∈ Rn. + N(cid:213)u thay (2.5) v(cid:181) (2.6) t›‹ng łng bºi (2.5(cid:48)) v(cid:181) (2.6(cid:48)) ta ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:181)m n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i x ( f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i ⇔ −f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n): (2.5(cid:48)) f (x) ≤ f (x) + ε (∀x : ||x − x|| < δ) (khi f (x) < +∞);

f (x) ≤ −N (∀x : ||x − x|| < δ) (khi f (x) = −∞); (2.6’)

∗ H(cid:181)m f vıa n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i, vıa n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n t„i x sˇ li“n t(cid:244)c t„i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

x theo ngh(cid:220)a th«ng th›Œng.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.6. V(cid:237)i b˚t kœ h(cid:181)m f : Rn → [−∞, +∞], 3 ﬁi(cid:210)u sau t›‹ng ﬁ›‹ng: 1) f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i tr“n Rn. 2) epi f l(cid:181) t¸p ﬁªng trong Rn+1;

3) V(cid:237)i m(cid:228)i α ∈ R t¸p młc d›(cid:237)i {x : f (x) ≤ α} ﬁªng.

Chłng minh.

a) ⇒ b). Gi¶ s(cid:246) f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i. Ta sˇ chłng tÆ epi f ﬁªng. Th¸t v¸y, gi¶ s(cid:246) (xk, αk) ∈ epi f (tłc l(cid:181) f (xk) ≤ αk) v(cid:181) (xk, αk) → (x, α). Khi ﬁª, do f n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i, n“n ta cª lim inf f (xk) ≥ f (x). Cho k → +∞, ta cª α = limk→∞ αk ≥ lim inf f (xk) ≥ f (x), ngh(cid:220)a l(cid:181) (x, α) ∈ epi f. V¸y epi f ﬁªng.

b) ⇒ c). Gi¶ s(cid:246) xk → x v(cid:181) f (xk) ≤ α. Do (xk, α) ∈ epi f v(cid:181) epi f ﬁªng n“n (x, α) ∈ epi f , ngh(cid:220)a l(cid:181) f (x) ≤ α. Chłng tÆ t¸p młc d›(cid:237)i {x : f (x) ≤

α} ﬁªng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

c) ⇒ a) Gi¶ s(cid:246) {x : f (x) ≤ α} ﬁªng ∀α ∈ R v(cid:181) xk → x. N(cid:213)u limk → f (xk) < f (x) th(cid:215) t(cid:229)n t„i α < f (x) sao cho f (xk) ≤ α v(cid:237)i m(cid:228)i k ﬁæ l(cid:237)n. Tı c) suy ra f (x) ≤ α < f (x), v« l(cid:253)! V¸y limk→∞ f (xk) ≥ f (x), ngh(cid:220)a l(cid:181) f (cid:50) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i.

2.5 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.7. H(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng ﬁªng f tr“n Rn tr(cid:239)ng v(cid:237)i c¸n tr“n (supremum theo tıng ﬁi(cid:211)m) cæa h(cid:228) t˚t c¶ c‚c h(cid:181)m afin h tr“n Rn kh«ng l(cid:237)n

h‹n f (xem H(cid:215)nh 2.8).

Ta nh(cid:190)c l„i (chłng minh xem [4], tr.60) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) quan tr(cid:228)ng sau ﬁ'y.

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.9. H(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa h(cid:181)m tuœ (cid:253) f : Rn → [−∞, +∞]

ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181) h(cid:181)m

(2.7) f ∗(p) = supx∈Rn{ −f (x)},

Thøc ra, supremum trong (2.7) ch(cid:216) c˙n l˚y theo x ∈ dom f v(cid:215) −f (x) =

−∞, ∀x /∈ dom f . H(cid:214) thłc (2.7) c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i Y oung −

F enchel. Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n suy ra:

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.10. f ∗ : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁªng. Chłng minh. V(cid:237)i m(cid:231)i x cŁ ﬁ(cid:222)nh, g(p, x) = −f (x) l(cid:181) mØt h(cid:181)m afin tr“n Rn. Theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.6, f ∗ l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. M˘t kh‚c, t¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa f ∗(p), (p ∈ Rn) l(cid:181) giao theo m(cid:228)i x ∈ Rn cæa t¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) c‚c h(cid:181)m g(p, x), ngh(cid:220)a l(cid:181) giao cæa c‚c t¸p l(cid:229)i ﬁªng. V(cid:215) v¸y, epi f ∗ l(cid:181) t¸p l(cid:229)i ﬁªng, do ﬁª f ∗ (cid:50)

f ∗∗(x) = (f ∗)∗(x) = supp{ −f ∗(p)}.

V(cid:221) d(cid:244) 2.4.

l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng.

+ H(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa f (x) = δC(x) (h(cid:181)m ch(cid:216) cæa t¸p C) l(cid:181) h(cid:181)m

f ∗(p) = supx∈C = sC(p) (h(cid:181)m tøa cæa t¸p C).

+ H(cid:181)m li“n h(cid:238)p cæa h(cid:181)m af inf (x) = −α l(cid:181) h(cid:181)m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:40) α, p = c, f ∗(p) = supx − +α = +∞, p (cid:54)= c.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.11. Cho f : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) mØt h(cid:181)m ch(cid:221)nh th›Œng b˚t

kœ:

a) f (x) + f ∗(p) ≥, ∀x ∈ Rn, ∀p ∈ Rn (B˚t ﬁ.th. Y oung −

b) f ∗∗(x) ≤ f (x), ∀x v(cid:181) f ∗∗ = f ⇔ f l(cid:229)i v(cid:181) ﬁªng (§(cid:222)nh l(cid:253) F enchel −

F enchel).

c) f ∗∗(x) = operatornamesup{h(x) : haf in, h ≤ f }, ngh(cid:220)a l(cid:181) f ∗∗(x) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ﬁªng l(cid:237)n nh˚t, kh«ng l(cid:237)n h‹n f (x) : f ∗∗ = convf. (Chłng minh xem

M oreau).

[4], tr.73).

2.6 D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

2.6.1. §„o h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng

Gi¶ s(cid:246) f : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) mØt h(cid:181)m b˚t kœ v(cid:181) x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m t„i ﬁª f

h(cid:247)u h„n (ngh(cid:220)a l(cid:181) |f (x0)| < +∞).

• §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.10. V(cid:237)i d ∈ Rn, d (cid:54)= 0, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i gi(cid:237)i h„n

lim λ↓0 f (x0 + λd) − f (x0) λ

Nh¸n x—t 2.4. f (cid:48)(x0, d). l(cid:181) h(cid:181)m thu˙n nh˚t d›‹ng. Th¸t v¸y, ∀λ > 0 ta

th(cid:215) gi(cid:237)i h„n ﬁª ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng d cæa h(cid:181)m f t„i x0 v(cid:181) k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) f (cid:48)(x0, d).

(cid:48)

cª

(cid:48)

f (x0, d) = lim ε↓0

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.8. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng. Khi ﬁª:

a) f cª ﬁ„o h(cid:181)m theo m(cid:228)i h›(cid:237)ng d t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m x ∈ dom f . §(cid:229)ng thŒi

= λf (x0, d). = λ lim η↓0 f (x0 + ελd) − f (x0) ε f (x0 + ηd) − f (x0) η

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

. f (cid:48)(x, d) = infλ>0 f (x + λd) − f (x) λ

b) V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ dom f, f (cid:48)(x, d) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, thu˙n nh˚t d›‹ng (theo d). c) N(cid:213)u f li“n t(cid:244)c t„i x ∈ dom f th(cid:215) f (cid:48)(x, d) h(cid:247)u h„n, li“n t(cid:244)c t„i m(cid:228)i

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.11. Cho h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng f tr“n Rn, v—ct‹ p ∈ Rn

d ∈ Rn. Chłng minh. Xem [4], trang 65 − 66. 2.6.2. D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) d›(cid:237)i gradient cæa f t„i ﬁi(cid:211)m x0 n(cid:213)u

+f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ Rn. (2.8)

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.9. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. §Łi v(cid:237)i m(cid:231)i t¸p b(cid:222) ch˘n C ⊂ int(dom f ) th(cid:215) t¸p ∪x∈C∂f (x) kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) b(cid:222) ch˘n. Nªi ri“ng, ∂f (x0) kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) b(cid:222) ch˘n t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m x0 ∈ int(dom f ).

Chłng minh. xem [4], tr.62.

T¸p t˚t c¶ c‚c d›(cid:237)i gradient cæa f t„i x0 ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) d›(cid:237)i vi ph'n cæa f t„i x0 v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) ∂f (x0). H(cid:181)m f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) kh¶ d›(cid:237)i vi ph'n t„i x0 n(cid:213)u ∂f (x0) (cid:54)= ∅.

h(cid:181)m l(cid:229)i f : Rn → R tho¶ m•n f (λx) = λf (x), ∀λ > 0. Khi ﬁª

D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i thu˙n nh˚t d›‹ng ﬁ›(cid:238)c cho trong m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.12. Gi¶ s(cid:246) f : Rn → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i thu˙n nh˚t d›‹ng, ngh(cid:220)a l(cid:181)

Chłng minh. N(cid:213)u p ∈ ∂f (x0) th(cid:215) +f (x0) ≤ f (x) ∀x. L˚y x = 2x0 ta cª +f (x0) ≤ 2f (x0), ngh(cid:220)a l(cid:181) ≤ f (x0). Sau ﬁª, l˚y x = 0 ta ﬁ›(cid:238)c − ≤ −f (x0), tı ﬁª = f (x0). (§i(cid:210)u ki(cid:214)n n(cid:181)y trº th(cid:181)nh t˙m th›Œng v(cid:181) cª th(cid:211) b(cid:222) lo„i bÆ n(cid:213)u x0 = 0). H‹n n(cid:247)a, tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa d›(cid:237)i vi ph'n suy ra = +f (x0) ≤ f (x) ∀x. Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u p thuØc t¸p º v(cid:213) ph¶i cæa (2.9) th(cid:215) ≤ f (x)−f (x0), v(cid:215) th(cid:213) p ∈ ∂f (x0

∂f (x0) = {p ∈ Rn := f (x0), ≤ f (x) ∀x} (2.9)

N(cid:213)u cª th“m f (−x) = f (x) ≥ 0 ∀x (h(cid:181)m ch‰n kh«ng 'm) th(cid:215) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

≤ f (x) ∀x t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i | | ≤ f (x) ∀x. Nªi ri“ng, ta

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

cª:

1) N(cid:213)u f (x) = ||x|| (chu¨n Euclid) th(cid:215)

(cid:40)

∂f (x0) = {p : ||p|| ≤ 1} khi x0 = 0, khi x0 (cid:54)= 0. {x0/||x0||}

2) N(cid:213)uf (x) = max|xi|, i = 1, . . . , n (chu¨n Tchebycheff) th(cid:215) v(cid:237)i Ix =

{i : |xi| = f (x)} :

(cid:40)

i )x0

∂f (x0) = conv{±e1, K, ±en} conv{(signx0 khi x0 = 0, i : i ∈ Ix0 khi x0 (cid:54)= 0.

3) f (x) = +α (a ∈ Rn, α ∈ R) th(cid:215) ∂f (x) = {a} (∀x ∈ Rn).

∗ M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau n“u mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.13. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) x0 ∈ dom f . Khi ﬁª: a) p ∈ ∂f (x0) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

b) N(cid:213)u f li“n t(cid:244)c t„i x0 th(cid:215) d›(cid:237)i vi ph'n ∂(x0) l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, compact v(cid:181)

≤ f (cid:48)(x0, d), ∀d ∈ Rn \ {0}. (2.10)

Chłng minh.

f (cid:48)(x0, d) = max{: p ∈ ∂f (x0)}.

a) B»ng c‚ch ﬁ˘t x = x0 + λd, ta cª th(cid:211) vi(cid:213)t l„i b˚t ﬁ…ng thłc v(cid:210) d›(cid:237)i

gradient(2.8) th(cid:181)nh:

≤ [f (x0 + λd) − f (x0)]/λ ∀d (cid:54)= 0, ∀λ > 0,

b˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

≤ infλ>0[f (x0 + λd) − f (x0)]/λ, ∀d,

ngh(cid:220)a l(cid:181) theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.8, ≤ f (cid:48)(x0, d) ∀d (cid:54)= 0.

b) §(cid:211) chłng minh ∂f (x0) l(cid:229)i, ta l˚y p1, p2 ∈ ∂f (x0) v(cid:181) λ ∈ [0, 1]. Khi

ﬁª, ∀x ∈ Rn th(cid:215)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

<λp1, x−x0>≤ λ(f (x)−f (x0))v(cid:181) <(1−λ)p2, x−x0>≤ (1−λ)(f (x)−f (x0))

⇒<λp1 + (1 − λ)p2, x − x0>≤ f (x) − f (x0) ⇒ λp1 + (1 − λ)p2 ∈ ∂f (x0) ⇒ ∂f (x0) l(cid:229)i. §i(cid:210)u ki(cid:214)n (2.10) cho th˚y ∂f (x0) l(cid:181) t¸p ﬁªng v(cid:181) do ﬁª compact, v(cid:215) nª b(cid:222) ch˘n theo §(cid:222)nh l(cid:253) 2.9. Do t(cid:221)nh thu˙n nh˚t cæa h(cid:181)m f (cid:48)(x0, d) n“n mØt h(cid:181)m

afin, kh«ng l(cid:237)n h‹n nª v(cid:181) ﬁ(cid:243)ng b»ng nª t„i mØt ﬁi(cid:211)m n(cid:181)o ﬁª, ph¶i cª d„ng v(cid:237)i ≤ f (cid:48)(x0, d)∀d, ngh(cid:220)a l(cid:181) theo k(cid:213)t lu¸n a) vıa chłng minh p ∈ ∂f (x0). Do f (cid:48)(x0, d) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.8) n“n theo (cid:50) §(cid:222)nh l(cid:253) 2.7, ta cª f (cid:48)(x0, d) = max{: p ∈ ∂f (x0)}.

Khi ﬁª: p ∈ ∂f (x0) ⇔ f (x0) + f ∗(p) = . Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) p ∈ ∂f (x0). Khi ﬁª

(cid:63) §(cid:222)nh l(cid:253) sau n“u mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) h(cid:181)m li“n h(cid:238)p. §(cid:222)nh l(cid:253) 2.10. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn v(cid:181) x0 ∈ dom f.

+f (x0) ≤ f (x)∀x ⇒ −f (x0) ≥ −f (x)∀x ⇒< p, x0> −f (x0) ≥ supx{ −f (x)} = f ∗(p) ⇒ f (x0) + f ∗(p) ≤< p, x0> .

K(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i b˚t ﬁ…ng thłc Y oung − F enchen, ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

f (x0) + f ∗(p) = (2.11)

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) cª (2.11). Tı b˚t ﬁ…ng thłc Y oung − F enchen v(cid:237)i x = x0 + λd, ta cª:

f (x0 + λd) + [ −f (x0)] ≥⇒

=⇒ f (x0 + λd) − f (x0) λ λ (cid:50)

≥ f (cid:48)(x0, d) ≥ ∀d ⇒ p ∈ ∂f (x0.) (M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.13). (cid:63) Quan h(cid:214) gi(cid:247)a d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m: Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a, h(cid:181)m f kh¶ vi t„i ﬁi(cid:211)m x0 n(cid:213)u t(cid:229)n t„i v—ct‹ (cid:53)f (x0) (v—ct‹ gradient cæa f t„i x0) tho¶ m•n

f (x0 + d) = f (x0)+ <(cid:53)f (x0), d> +O(||d||).

§i(cid:210)u n(cid:181)y t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

=<(cid:53)f (x0), d>, ∀d (cid:54)= 0, lim λ↓0 f (x0 + λd) − f (x0) λ

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.14. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) x0 ∈ dom f . N(cid:213)u f

kh¶ vi t„i x0 th(cid:215) (cid:53)f (x0) l(cid:181) v—ct‹ d›(cid:237)i gradient duy nh˚t cæa f t„i x0. (cid:50)

Chłng minh. N(cid:213)u f kh¶ vi t„i x0 th(cid:215) f (cid:48)(x0, d) = {<(cid:53)f (x0), d>}. V(cid:215) th(cid:213), theo k(cid:213)t lu¸n a) cæa M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.13, v—ct‹ p l(cid:181) d›(cid:237)i gradient cæa f t„i x0 khi v(cid:181) ch(cid:216) khi ≤<(cid:53)f (x0), d> ∀d, tı ﬁª suy ra p = (cid:53)f (x0).

v(cid:215) th(cid:213) ﬁ„o h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng f (cid:48)(x0, d) t(cid:229)n t„i v(cid:181) l(cid:181) h(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh theo d.

Ng›(cid:238)c l„i cª th(cid:211) chłng minh r»ng n(cid:213)u f cª t„i x0 mØt v—ct‹ d›(cid:237)i gradient duy nh˚t th(cid:215) f kh¶ vi t„i x0. Nh› v¸y, kh‚i ni(cid:214)m d›(cid:237)i gradient l(cid:181) sø mº rØng cæa kh‚i ni(cid:214)m gradient (t„i nh(cid:247)ng ﬁi(cid:211)m º ﬁª h(cid:181)m kh«ng kh¶ vi).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.15. Gi¶ s(cid:246) f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn v(cid:181) λ > 0. Khi

ﬁª, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Rn:

2.6.3. C‚c ph—p to‚n v(cid:210) d›(cid:237)i vi ph'n

Chłng minh. V(cid:237)i x ∈ dom f , do f l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) λ > 0, n“n λf l(cid:181) l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng v(cid:181) x ∈ dom(λf ). §(cid:229)ng thŒi, (λf )(cid:48)(x, ·) = λf (cid:48)(x, ·). Tı m(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.13 suy ra ∂(λf )(x) = λ∂f (x). N(cid:213)u x (cid:54)= dom f th(cid:215) ∂(λf )(x) =

∂(λf )(x) = λ∂f (x).

(cid:50) λ∂f (x) = ∅.

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.11. (Moreau-Rockafellar). Gi¶ s(cid:246) fi, i = 1, . . . , m, l(cid:181) c‚c h(cid:181)m

l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rn. Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Rn:

Sau ﬁ'y l(cid:181) mØt sŁ qui t(cid:190)c t(cid:221)nh d›(cid:237)i vi ph'n (chłng minh xem [4], 67−69).

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m a ∈ I m

i=1 dom fi t„i ﬁª t˚t c¶ c‚c h(cid:181)m fi li“n t(cid:244)c

(cª th(cid:211) trı ra mØt h(cid:181)m), th(cid:215)

∂(f1 + . . . + fm)(x) ⊃ ∂f1(x) + . . . + ∂fm(x).

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.12. Gi¶ s(cid:246) A : Rn → Rm l(cid:181) to‚n t(cid:246) tuy(cid:213)n t(cid:221)nh v(cid:181) g l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng tr“n Rm. Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Rn :

∀x ∈ Rn : ∂(f1 + . . . + fm)(x) = ∂f1(x) + . . . + ∂fm(x).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

AT ∂g(Ax) ⊂ ∂(g ◦ A)(x).

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u g li“n t(cid:244)c t„i mØt ﬁi(cid:211)m n(cid:181)o ﬁª ∈ Im(A) (¶nh cæa A) th(cid:215)

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.13. Gi¶ s(cid:246) g(x) = (g1(x), . . . , gm(x)), trong ﬁª gi l(cid:181) c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i tı Rn v(cid:181)o R, gi¶ s(cid:246) ϕ : Rm → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i tho¶ m•n ϕ(t) ≥ ϕ(t(cid:48)) m(cid:231)i khi ti ≥ t(cid:48)

i, i = 1, . . . , m. Khi ﬁª, h(cid:181)m f = ϕ ◦ g l(cid:181) l(cid:229)i v(cid:181)

AT ∂g(Ax) = ∂(g ◦ A)(x), ∀x ∈ Rn

Nh¸n x—t 2.5. Khi ϕ(y) kh¶ vi t„i g(x) c«ng thłc n“u º ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) tr“n t›‹ng

∂f (x) = {s1p1 + . . . + smpm : pi ∈ ∂gi(x), (s1, . . . , sm) ∈ ∂ϕ(g(x))}.

tø nh› qui t(cid:190)c c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:210) l˚y ﬁ„o h(cid:181)m cæa h(cid:181)m h(cid:238)p. C(cid:244) th(cid:211) l(cid:181)

§(cid:222)nh l(cid:253) 2.14. Gi¶ s(cid:246) f (x) = max{g1(x), . . . , gm(x)}, trong ﬁª gi l(cid:181) c‚c

h(cid:181)m l(cid:229)i tı Rn v(cid:181)o R. Khi ﬁª

∂(ϕ ◦ g)(x) = (g(x))∂g1(x) + . . . + (g(x))∂gm(x). ∂ϕ ∂y1 ∂ϕ ∂ym

v(cid:237)i I(x) = i : f (x) = gi(x).

Tªm l„i, ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ• gi(cid:237)i thi(cid:214)u kh‚i qu‚t v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) c‚c v˚n

∂f (x) = conv{∪∂gi(x) : i ∈ I(x)},

ﬁ(cid:210) cª li“n quan: d˚u hi(cid:214)u nh¸n bi(cid:213)t, c‚c ph—p to‚n v(cid:181) t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m

l(cid:229)i, kh‚i ni(cid:214)m d›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i, quan h(cid:214) gi(cid:247)a d›(cid:237)i vi ph'n v(cid:237)i ﬁ„o

h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng v(cid:181) v(cid:237)i h(cid:181)m li“n h(cid:238)p. C‚c sø ki(cid:214)n n“u ra ﬁ›(cid:238)c minh ho„ qua

mØt sŁ v(cid:221) d(cid:244) v(cid:181) h(cid:215)nh vˇ c(cid:244) th(cid:211). V˚n ﬁ(cid:210) cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i sˇ ﬁ›(cid:238)c x—t º

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ch›‹ng sau.

Ch›‹ng 3

Cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

Ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i c‚c t(cid:221)nh ch˚t cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tŁi ›u

c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi v(cid:181) mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh v(cid:210) cøc ti(cid:211)u (cøc

ﬁ„i) cæa c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i. NØi dung cæa ch›‹ng chæ y(cid:213)u døa tr“n t(cid:181)i li(cid:214)u [1], [4]

v(cid:181) [5].

3.1 Cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:181) cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 3.1. Gi¶ s(cid:246) f : Rn → [−∞, +∞] l(cid:181) h(cid:181)m sŁ tuœ (cid:253) v(cid:181) C ⊂ Rn l(cid:181) t¸p tuœ (cid:253). §i(cid:211)m x0 ∈ C ∩ dom f ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f (x) tr“n C, n(cid:213)u −∞ < f (x0) ≤ f (x) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C. §i(cid:211)m x0 ∈ C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa f (x) tr“n C, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i l'n c¸n U (x0) cæa x0 sao cho −∞ < f (x0) ≤ f (x) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C ∩ U (x0).

C‚c kh‚i ni(cid:214)m cøc ﬁ„i ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:181) cøc ﬁ„i to(cid:181)n c(cid:244)c ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a

t›‹ng tø. §Łi v(cid:237)i h(cid:181)m tuœ (cid:253) f tr“n t¸p C, ta k(cid:253) hi(cid:214)u t¸p t˚t c¶ c‚c ﬁi(cid:211)m cøc

ti(cid:211)u (cøc ﬁ„i) to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f tr“n C l(cid:181) Argminx∈Cf (x)(Argmaxx∈Cf (x)). Do min{f (x) : x ∈ C} = −max{−f (x) : x ∈ C} n“n l(cid:253) thuy(cid:213)t cøc

ti(cid:211)u (hay cøc ﬁ„i) h(cid:181)m l(cid:229)i c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) l(cid:253) thuy(cid:213)t cøc ﬁ„i (hay cøc ti(cid:211)u) h(cid:181)m

l(cid:226)m.

3.2 Cøc ti(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ﬁ„i h(cid:181)m l(cid:226)m)

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.1. Cho C l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, kh‚c r(cid:231)ng trong Rn v(cid:181) f : Rn → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. M(cid:228)i ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa f tr“n C ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c.

T¸p Argminx∈Cf (x) l(cid:181) t¸p con l(cid:229)i cæa C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y n“u l“n t(cid:221)nh ch˚t ﬁ˘c tr›ng cæa h(cid:181)m l(cid:229)i.

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) x0 ∈ C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa f v(cid:181) U (x0) l(cid:181) l'n c¸n cæa x0 sao cho f (x0) ≤ f (x) v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C ∩ U (x0). V(cid:237)i b˚t kœ x ∈ C ta cª xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0) v(cid:237)i m(cid:228)i λ > 0 ﬁæ nhÆ. Khi ﬁª, f (x0) ≤ f (xλ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0) hay λf (x0) ≤ λf (x). Do λ > 0 n“n f (x0) ≤ f (x). V(cid:215) x ∈ C ﬁ›(cid:238)c ch(cid:228)n tuœ (cid:253) n“n x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f tr“n C. N(cid:213)u α = min{f (x) : x ∈ C} th(cid:215) Argminx∈Cf (x) tr(cid:239)ng v(cid:237)i t¸p C ∩ {x : f (x) ≤ α}.T¸p n(cid:181)y l(cid:229)i do h(cid:181)m f (x) l(cid:229)i (§(cid:222)nh l(cid:253) 2.1,

H(cid:214) qu¶ 3.1. B˚t cł ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i ﬁ(cid:222)a ph›‹ng n(cid:181)o cæa mØt h(cid:181)m l(cid:226)m tr“n

mØt t¸p l(cid:229)i c(cid:242)ng l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i to(cid:181)n c(cid:244)c. T¸p t˚t c¶ c‚c ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i cæa

mØt h(cid:181)m l(cid:226)m tr“n t¸p l(cid:229)i l(cid:181) l(cid:229)i.

Ch›‹ng 2).

NhŒ c‚c t(cid:221)nh ch˚t n“u tr“n, vi(cid:214)c t(cid:215)m cøc ti(cid:211)u (cøc ﬁ„i) to(cid:181)n c(cid:244)c cæa mØt

h(cid:181)m l(cid:229)i (h(cid:181)m l(cid:226)m), nªi ri“ng cæa mØt h(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh hay h(cid:181)m afin, d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n

vi(cid:214)c t(cid:215)m cøc ti(cid:211)u (cøc ﬁ„i) ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa h(cid:181)m ﬁª. B(cid:181)i to‚n r(cid:226) r(cid:181)ng trº n“n

ﬁ‹n gi¶n h‹n r˚t nhi(cid:210)u, do cª th(cid:211) v¸n d(cid:244)ng c‚c ph›‹ng ph‚p t(cid:215)m cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a

§(cid:222)nh l(cid:253) 3.2. V(cid:237)i m(cid:228)i h(cid:181)m l(cid:229)i ch(cid:221)nh th›Œng f :

a) Cøc ﬁ„i cæa f tr“n mØt ﬁo„n th…ng b˚t kœ ﬁ„t t„i mØt ﬁ˙u m(cid:243)t cæa ﬁo„n

ﬁª.

b) N(cid:213)u f (x) h(cid:247)u h„n v(cid:181) b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n mØt n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng th(cid:215) cøc ﬁ„i

cæa f tr“n n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng n(cid:181)y ﬁ„t t„i ﬁi(cid:211)m gŁc cæa nª.

c) N(cid:213)u f (x) h(cid:247)u h„n v(cid:181) b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n mØt t¸p afin th(cid:215) f b»ng h»ng sŁ

tr“n t¸p n(cid:181)y.

Chłng minh.

ph›‹ng cæa h(cid:181)m.

a) Suy trøc ti(cid:213)p tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:181)m l(cid:229)i, bºi v(cid:215):

f (λx1+(1−λ)x2) ≤ λf (x1)+(1−λ)f (x2) ≤ max{f (x1), f (x2)}∀λ ∈ [0, 1].

1+λx + λ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

b) N(cid:213)u f (b) > f (a) th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:228)i x = b + λ(b − a), λ ≥ 0 ta cª b = 1+λa. Tı ﬁª, (1 + λ)f (b) ≤ f (x) + λf (a) (m(cid:231)i khi f (x) < +∞),

ngh(cid:220)a l(cid:181) f (x) ≥ λ[f (b) − f (a)] + f (b). §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ f (x) → +∞ khi

λ → +∞. Nh› v¸y, n(cid:213)u f (x) h(cid:247)u h„n v(cid:181) b(cid:222) ch˘n tr“n trong n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng

xu˚t ph‚t tı a th(cid:215) ta ph¶i cª f (b) ≤ f (a) v(cid:237)i m(cid:228)i b tr“n n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng n(cid:181)y.

c) Gi¶ s(cid:246) M l(cid:181) t¸p afin tr“n ﬁª f (x) h(cid:247)u h„n. V(cid:237)i b˚t kœ a, b ∈ M, n(cid:213)u

f (b) > f (a) th(cid:215) theo ph˙n vıa chłng minh, f (x) kh«ng b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n

n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng trong M ﬁi tı a qua b. T›‹ng tø, n(cid:213)u f (a) > f (b) th(cid:215) f (x)

kh«ng b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng trong M ﬁi tı b qua a, V¸y, n(cid:213)u

f (x) b(cid:222) ch˘n tr“n trong M th(cid:215) f (a) = f (b), ∀a, b ∈ M , tłc l(cid:181) f ﬁ(cid:229)ng nh˚t (cid:50) b»ng h»ng sŁ tr“n M.

Ta nh(cid:190)c l„i kh‚i ni(cid:214)m h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t v(cid:181) n“u t(cid:221)nh ch˚t ﬁ˘c tr›ng cæa l(cid:237)p h(cid:181)m

n(cid:181)y (§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1, Ch›‹ng 2): H(cid:181)m gi‚ tr(cid:222) thøc f tr“n t¸p l(cid:229)i C ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i

l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t tr“n C n(cid:213)u

f [λx1 + (1 − λ)x2] < λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

v(cid:237)i b˚t kœ hai ﬁi(cid:211)m kh‚c nhau x1, x2 ∈ C v(cid:181) b˚t kœ 0 < λ < 1. §›‹ng

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1. H(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t f tr“n C cª nhi(cid:210)u nh˚t mØt ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u tr“n

nhi“n, h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, nh›ng ﬁi(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i nªi chung kh«ng ﬁ(cid:243)ng.

2x1 + 1

Chłng minh. N(cid:213)u f cª hai ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u kh‚c nhau x1, x2 ∈ C th(cid:215) do 2x2) < f (x1) = f (x2), ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y kh«ng th(cid:211) (cid:50)

C, ngh(cid:220)a l(cid:181) t¸p Argminx∈Cf (x) g(cid:229)m nhi(cid:210)u nh˚t mØt ph˙n t(cid:246).

t(cid:221)nh l(cid:229)i ch˘t cæa f n“n f ( 1 x¨y ra!

V(cid:221) d(cid:244) 3.1. H(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t mØt bi(cid:213)n f (x) = x2 cª duy nh˚t mØt ﬁi(cid:211)m cøc (x ∈ R) kh«ng cª ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u (cid:50)

ti(cid:211)u x∗ = 0. C(cid:223)n h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t f (x) = ex

n(cid:181)o.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) sau ﬁ'y cho mØt ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁ(cid:211) x0 ∈ C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.2. Gi¶ s(cid:246) f (x) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi li“n t(cid:244)c, x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n t¸p l(cid:229)i C v(cid:181) gi¶ s(cid:246) x0 ∈ C. Khi ﬁª, f (x0) ≤ f (x)∀x ∈ C (ngh(cid:220)a l(cid:181) x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m f (x) tr“n C) khi v(cid:181) ch(cid:216) khi <(cid:53)f (x0), x − x0 >≥ 0 v(cid:237)i m(cid:228)i

(to(cid:181)n c(cid:244)c) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i tr“n mØt t¸p h(cid:238)p l(cid:229)i.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

x ∈ C.

Chłng minh. a) §i(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n. Gi¶ s(cid:246) f (x0) ≤ f (x)∀x ∈ C. N(cid:213)u x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m trong cæa C th(cid:215) theo ph—p t(cid:221)nh bi(cid:213)n ph'n ta ph¶i cª (cid:53)f (x0) = 0, do ﬁª <(cid:53)f (x0), x − x0 >= 0. C(cid:223)n n(cid:213)u x0 l(cid:181) mØt ﬁi(cid:211)m bi“n cæa C th(cid:215) do x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u, f (x) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i v(cid:181) C l(cid:181) t¸p l(cid:229)i n“n ta cª f (x0) ≤ f [λx + (1 − λ)x0], ∀x ∈ C v(cid:181) 0 ≤ λ ≤ 1. Tı ﬁª v(cid:237)i λ > 0 th(cid:215)

≥ 0 f [x0 + λ(x − x0)] − f (x0) λ

Cho qua gi(cid:237)i h„n khi λ → 0, ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c <(cid:53)f (x0), x − x0> ≥ 0.

b) §i(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁæ. Gi¶ s(cid:246) <(cid:53)f (x0), x − x0> ≥ 0∀x ∈ C. Do f (x) l(cid:229)i n“n

theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4 (Ch›‹ng 2), ta cª:

f (x) − f (x0) ≥ <(cid:53)f (x0), x − x0> ≥ 0 ∀x ∈ C.

(cid:50) Do ﬁª f (x) ≥ f (x0) ∀x ∈ C v(cid:181) x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f (x) tr“n C.

V(cid:210) m˘t h(cid:215)nh h(cid:228)c, M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.2 nªi r»ng x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u n(cid:213)u gªc gi(cid:247)a

hai v—ct‹ (cid:53)f (x0) v(cid:181) x − x0 l(cid:181) gªc nh(cid:228)n v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C (H(cid:215)nh 3.1a).

N(cid:213)u x ∈ C kh«ng ph¶i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u v(cid:181) n(cid:213)u f (x) ≥ f (x) v(cid:237)i x n(cid:181)o

ﬁª ∈ C th(cid:215) tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4 suy ra:

0 ≥ f (x) − f (x) ≥<(cid:53)f (x), x − x>,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ngh(cid:220)a l(cid:181) gªc gi(cid:247)a hai v—ct‹ (cid:53)f (x) v(cid:181) x − x l(cid:181) gªc t(cid:239) (H(cid:215)nh 3.1b).

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3. Gi¶ s(cid:246) C l(cid:181) t¸p l(cid:229)i trong Rn v(cid:181) f : Rn → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i.

MuŁn cho x0 ∈ C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f tr“n C ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ l(cid:181)

v(cid:237)i NC(x0) = {p :≥ 0∀x ∈ C} l(cid:181) nªn ph‚p tuy(cid:213)n trong cæa C t„i x0.

Chłng minh. N(cid:213)u cª (3.1) th(cid:215) t(cid:229)n t„i p ∈ ∂f (x0) ∩ NC(x0). V(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C do p ∈ ∂f (x0) n“n ≤ f (x) − f (x0), ngh(cid:220)a l(cid:181) f (x0) ≤ f (x)− . M˘t kh‚c, do p ∈ NC(x0) n“n ta cª ≥ 0∀x ∈ C, v(cid:215) th(cid:213) f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ C, ngh(cid:220)a l(cid:181) x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f tr“n C.

(3.1) 0 ∈ ∂f (x0) − NC(x0)

Ng›(cid:238)c l„i, n(cid:213)u x0 ∈ Argminx∈Cf (x) th(cid:215) h(cid:214) b˚t ﬁ…ng thłc sau v« nghi(cid:214)m

(x, y) ∈ C × Rn, x − y = 0, f (y) − f (x0) < 0.

§˘t D = C × Rn v(cid:181) A(x, y) = x − y. Do ﬁª A(D) = C − Rn. V(cid:237)i h(cid:215)nh c˙u b˚t kœ B t'm 0, x0 + B ⊂ Rn, v(cid:215) th(cid:213) B = x0 − (x0 + B) ⊂ A(D), do ﬁª 0 ∈ int A(D). Theo mØt ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ• bi(cid:213)t v(cid:210) h(cid:214) b˚t ﬁ…ng thłc l(cid:229)i (xem[4], §(cid:222)nh l(cid:253) 2.4, tr.59), t(cid:229)n t„i v—ct‹ p ∈ Rn sao cho

+f (y) − f (x0) ≥ 0 ∀(x, y) ∈ C × Rn.

l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u khi v(cid:181) ch(cid:216) khi 0 ∈ ∂f (x0).

Cho y = x0 ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c ≥ 0 ∀x ∈ C, ngh(cid:220)a l(cid:181) p ∈ NC(x0). Ti(cid:213)p ﬁª, cho x = x0 ta ﬁ›(cid:238)c f (y) − f (x0) ≥ ∀y ∈ Rn, ngh(cid:220)a l(cid:181) p ∈ ∂f (x0). V¸y, p ∈ NC(x0) ∩ ∂f (x0). Tı ﬁª 0 ∈ ∂f (x0) − NC(x0). (cid:50) H(cid:214) qu¶ 3.2. V(cid:237)i c‚c gi¶ thi(cid:213)t nh› trong M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3, ﬁi(cid:211)m trong x0 ∈ C

Chłng minh. H(cid:214) qu¶ suy tı nh¸n x—t NC(x0) = 0 n(cid:213)u x0 ∈ int C. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.4. Gi¶ s(cid:246) C ⊂ Rn l(cid:181) t¸p compact (cid:54)= ∅, f : C → R l(cid:181) mØt h(cid:181)m li“n t(cid:244)c b˚t kœ v(cid:181) f C l(cid:181) h(cid:181)m bao l(cid:229)i cæa f tr“n C. Khi ﬁª, m(cid:231)i ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f tr“n C c(cid:242)ng l(cid:181) mØt ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f C(x) tr“n convC.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:50)

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) x0 ∈ C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f (x) tr“n C. Do f C kh«ng l(cid:237)n h‹n f n“n ta cª f C(x0) ≤ f (x0). N(cid:213)u f C(x0) < f (x0) th(cid:215) h(cid:181)m l(cid:229)i h(x) = max{f (x0), f C(x)} kh«ng l(cid:237)n h‹n f , nh›ng l„i l(cid:237)n h‹n f C, ﬁª l(cid:181) ﬁi(cid:210)u kh«ng th(cid:211) x¨y ra. Nh› v¸y, f C(x0) = f (x0) v(cid:181) f C(x) = h(x) ∀x ∈ convC. Tı ﬁª, f C(x0) = f (x0) ≤ f C(x) ∀x ∈ convC, ngh(cid:220)a (cid:50) l(cid:181) x0 c(cid:242)ng l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f C(x) tr“n convC.

∗ §(cid:211) x—t th“m mØt ti“u chu¨n tŁi ›u n(cid:247)a, ta c˙n ﬁ(cid:213)n ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a sau. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a 3.2. Cho t¸p l(cid:229)i C ∈ Rn v(cid:181) ﬁi(cid:211)m y ∈ Rn. Ta g(cid:228)i h(cid:215)nh chi(cid:213)u

cæa y tr“n C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m x0 ∈ C sao cho

||x0 − y|| = infx∈C||x − y|| = δC(y).

K(cid:253) hi(cid:214)u x0 = p(y) v(cid:181) g(cid:228)i δC(y) l(cid:181) kho¶ng c‚ch tı y t(cid:237)i C. D(cid:220) nhi“n y = p(y) v(cid:181) δC(y) = 0 n(cid:213)u y ∈ C. (Cª th(cid:211) chłng minh ∃p(y) n(cid:213)u C l(cid:181) t¸p l(cid:229)i ﬁªng). B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.1. MuŁn cho ﬁi(cid:211)m x0 ∈ C l(cid:181) h(cid:215)nh chi(cid:213)u cæa ﬁi(cid:211)m y tr“n t¸p l(cid:229)i

ﬁªng C, ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ l(cid:181)

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) x0 l(cid:181) h(cid:215)nh chi(cid:213)u cæa y tr“n C. L˚y mØt ﬁi(cid:211)m tuœ ∀λ ∈ [0, 1] th(cid:215)

≤ 0 ∀x ∈ C (3.2)

(cid:253) x ∈ C v(cid:181) x—t ﬁi(cid:211)m z = λx + (1 − λ)x0. Do C l(cid:229)i n“n z ∈ C. V(cid:215)

||z − y||2 = λ2||x − x0||2 + 2λ +||x0 − y||2.

Do ||z − y||2 ≥ ||x0 − y||2 (theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:215)nh chi(cid:213)u) n“n

λ2||x − x0||2 + 2λ ≥ 0.

Do b˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i λ ∈ [0, 1] n“n ≥ 0. Tı ﬁª suy ra (3.2).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Ng›(cid:238)c l„i, gi¶ s(cid:246) cª (3.2). Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C sˇ cª ||x − y||2 = ||(x − x0) + (x0 − y)||2

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.5. MuŁn cho ﬁi(cid:211)m x∗ cæa t¸p l(cid:229)i ﬁªng C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi f (x) tr“n C, ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ l(cid:181) x∗ = p(y∗), trong ﬁª y∗ = x∗ − α (cid:53)f (x∗) v(cid:181) α > 0 l(cid:181) mØt sŁ b˚t kœ.

Chłng minh.

§æ. Gi¶ s(cid:246) x∗ = p(y∗). Do p(y∗) l(cid:181) h(cid:215)nh chi(cid:213)u cæa ﬁi(cid:211)m y∗ tr“n C n“n tı (3.2) ta cª b˚t ﬁ…ng thłc

= ||x − x0||2 + 2 +||x0 − y||2 ≥ ||x0 − y||2 (cid:50) §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ x0 l(cid:181) h(cid:215)nh chi(cid:213)u cæa y tr“n C.

≤ 0 ∀x ∈ C.

V(cid:215) y∗ = x∗ − α (cid:53)f (x∗) v(cid:181) α > 0 n“n

<(cid:53)f (x∗), x − x∗>≥ 0 ∀x ∈ C,

ngh(cid:220)a l(cid:181) theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.2, x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m f (x) tr“n C. C˙n. Gi¶ s(cid:246) x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa f tr“n C. Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C ta cª

<(cid:53)f (x∗), x − x∗>≥ 0 hay − α <(cid:53)f (x∗), x − x∗>≤ 0 (α> 0).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Nh›ng −α (cid:53)f (x∗) = y∗ − x∗, do ﬁª ≤ 0. Theo B(cid:230) ﬁ(cid:210) (cid:50) 3.1, x∗ l(cid:181) h(cid:215)nh chi(cid:213)u cæa ﬁi(cid:211)m y∗ tr“n C, ngh(cid:220)a l(cid:181) x∗ = p(y∗).

3.3 Cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh

Sau ﬁ'y ta x—t mØt l(cid:237)p h(cid:181)m lu«n cª cøc ti(cid:211)u tr“n m(cid:228)i t¸p ﬁªng (cid:54)= ∅. H‹n

n(cid:247)a, giŁng nh› ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t, cøc ti(cid:211)u n(cid:181)y l(cid:181) duy nh˚t n(cid:213)u t¸p ﬁª l(cid:181)

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 3.3. H(cid:181)m f (x) x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n t¸p l(cid:229)i C ⊂ Rn ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l(cid:229)i m„nh, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i h»ng sŁ ρ > 0 ﬁæ nhÆ (h»ng sŁ l(cid:229)i m„nh) sao cho v(cid:237)i m(cid:228)i

l(cid:229)i.

x, y ∈ C v(cid:181) m(cid:228)i λ ∈ [0, 1] ta cª b˚t ﬁ…ng thłc:

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2 (3.3)

Cª th(cid:211) chłng minh r»ng h(cid:181)m f (x) l(cid:229)i m„nh khi v(cid:181) ch(cid:216) khi h(cid:181)m f (x)−ρ.||x||2

l(cid:181) l(cid:229)i. R(cid:226) r(cid:181)ng mØt h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh th(cid:215) l(cid:229)i ch˘t, nh›ng ﬁi(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i kh«ng ch(cid:190)c ﬁ(cid:243)ng (Ch…ng h„n, h(cid:181)m ex, x ∈ R, l(cid:229)i ch˘t nh›ng kh«ng l(cid:229)i m„nh).

1 + 2x2

C‚c h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh cª vai tr(cid:223) ﬁ˘c bi(cid:214)t quan tr(cid:228)ng trong nghi“n cłu c‚c b(cid:181)i 2, x ∈ R2, l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i

V(cid:221) d(cid:244) 3.2. X—t h(cid:181)m to(cid:181)n ph›‹ng

to‚n cøc tr(cid:222) (Ch…ng h„n, f (x) ≡ f (x1, x2) = x2 m„nh).

+ , f (x) = 1 2

trong ﬁª Q l(cid:181) ma tr¸n ﬁŁi xłng, x‚c ﬁ(cid:222)nh d›‹ng. T(cid:221)nh l(cid:229)i m„nh cæa f ﬁ›(cid:238)c

suy ra tı c‚c h(cid:214) thłc (sau khi thøc hi(cid:214)n mØt sŁ t(cid:221)nh to‚n ﬁ‹n gi¶n):

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)

≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)ρ||x − y||2,

ﬁ(cid:211) (cid:253) r»ng v(cid:237)i 0 ≤ λ ≤ 1 th(cid:215) λ2 ≤ λ, (1 − λ)2 ≤ (1 − λ) v(cid:181) v(cid:215) r»ng

≥ ρ||x − y||2

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.6. N(cid:213)u f (x) l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh v(cid:181) kh¶ vi tr“n t¸p l(cid:229)i ﬁªng C th(cid:215) a) <(cid:53)f (x) − (cid:53)f (y), x − y>≥ ρ||x − y||2 v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:50) trong ﬁª ρ l(cid:181) gi‚ tr(cid:222) ri“ng nhÆ nh˚t (d›‹ng) cæa ma tr¸n Q.

b) V(cid:237)i b˚t kœ x0 ∈ C t¸p młc d›(cid:237)i C0 = {x ∈ C : f (x) ≤ f (x0)} b(cid:222) ch˘n. c) T(cid:229)n t„i duy nh˚t ﬁi(cid:211)m x∗ ∈ C sao cho f (x∗) = min{f (x) : x ∈ C}.

Chłng minh.

a) Do f l(cid:229)i n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4, ∀x, y ∈ C th(cid:215) f (x) − f (y) ≤

ta cª: <(cid:53)f (x), x − y> . H‹n n(cid:247)a, do f l(cid:229)i m„nh n“n v(cid:237)i λ = 1 2

ρ||x − y||2 ≤ [f (x) − f ( x + y)] + [f (y) − f ( x + y)] ≤ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

<(cid:53)f (x), x − y> + <(cid:53)f (y), y − x>= <(cid:53)f (x) − (cid:53)f (y), x − y> 1 4 1 4 1 4 1 4

b) Do

(cid:90) 1 f (x) − f (y) = <(cid:53)f [y + λ(x − y)], x − y> dλ =

(cid:90) 1 =<(cid:53)f (y), x − y> + <(cid:53)f [y + λ(x − y)] − (cid:53)f (y), x − y> dλ

n“n k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i b˚t ﬁ…ng thłc º ph˙n a) ta ﬁ›(cid:238)c

ρ||x − y||2 ⇒ (cho y = x0) f (x) − f (y) ≥<(cid:53)f (y), x − y> + 1 2

0 ≥ f (x) − f (x0) ≥ <(cid:53)f (x0), x − x0> + ρ||x − x0||2 ⇒ 1 2

||x − x0||2 ≤ <(cid:53)f (x0), x0 − x>≤ || (cid:53)f (x0)|| × ||x − x0||, 2 ρ 2 ρ

Tı ﬁª suy ra ||x − x0|| ≤ 2 ρ

|| (cid:53)f (x0)|| v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C0, ngh(cid:220)a l(cid:181) C0 b(cid:222) ch˘n. c) Do h(cid:181)m f (x) li“n t(cid:244)c tr“n t¸p l(cid:229)i ﬁªng b(cid:222) ch˘n C0 ⊂ C, n“n t(cid:229)n t„i

x∗ ∈ C0 sao cho

f (x∗) = min{f (x) : x ∈ C0} = min{f (x) : x ∈ C}.

V(cid:215) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh c(cid:242)ng l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t, n“n theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.1 ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u x∗ l(cid:181) duy nh˚t.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

(cid:50)

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.7. Gi¶ s(cid:246) f (x) l(cid:229)i m„nh tr“n t¸p l(cid:229)i ﬁªng C v(cid:181) x0 l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc

ti(cid:211)u cæa f tr“n C. Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C ta cª

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u f kh¶ vi th(cid:215)

||x − x0||2 ≤ [f (x) − f (x0)] (3.4) 2 ρ

v(cid:181)

||x − x0|| ≤ || (cid:53)f (x)|| (3.5) 1 ρ

Chłng minh. Tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh (h(cid:214) thłc (3.3)) suy ra (v(cid:237)i

0 ≤ f (x) − f (x0) ≤ || (cid:53)f (x)||2. 1 ρ

λ = ): 1 2

f ( x + x0) ≤ f (x) + f (x0) − ρ||x − x0||2. 1 2 1 4 1 2 1 2

x + x0) suy ra (3.4). T„i ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u x0 cæa f tr“n 1 2 1 2

1 Tı ﬁª v(cid:181) f (x0) ≤ f ( 2 C, theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.2, <(cid:53)f (x0), x − x0> ≥ 0 ∀x ∈ C. M˘t kh‚c, theo M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.6 a) ta cª:

ρ||x − x0||2 ≤ <(cid:53)f (x) − (cid:53)f (x0), x − x0> ≤

≤ <(cid:53)f (x), x − x0>≤ || (cid:53)f (x)||.||x − x0||

ngh(cid:220)a l(cid:181) cª b˚t ﬁ…ng thłc (3.5). CuŁi c(cid:239)ng, tı M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 2.4 v(cid:181) h(cid:214) thłc (3.5)

suy ra

0 ≤ f (x)−f (x0) ≤<(cid:53)f (x), x−x0>≤ ||(cid:53)f (x)||×||x−x0|| ≤ ||(cid:53)f (x)||2 1 ρ

3.4 Cøc ﬁ„i h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ti(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:226)m)

Kh‚c v(cid:237)i cøc ti(cid:211)u, ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa h(cid:181)m l(cid:229)i kh«ng nh˚t thi(cid:213)t l(cid:181)

ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i to(cid:181)n c(cid:244)c. Nªi chung, th«ng tin ﬁ(cid:222)a ph›‹ng kh«ng ﬁæ ﬁ(cid:211) x‚c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ﬁ(cid:222)nh ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i to(cid:181)n c(cid:244)c cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.8. Gi¶ s(cid:246) C ⊂ Rn l(cid:181) t¸p l(cid:229)i v(cid:181) f : C → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. N(cid:213)u f (x) ﬁ„t cøc ﬁ„i tr“n C t„i ﬁi(cid:211)m trong t›‹ng ﬁŁi x0 cæa C (x0 ∈ riC) th(cid:215)

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) f ﬁ„t cøc ﬁ„i tr“n C t„i ﬁi(cid:211)m x0 ∈ riC v(cid:181) gi¶ s(cid:246) x l(cid:181) ﬁi(cid:211)m tuœ (cid:253) thuØc C. Do x0 ∈ riC n“n t(cid:215)m ﬁ›(cid:238)c y ∈ C sao cho x0 = λx + (1 − λ)y v(cid:237)i λ n(cid:181)o ﬁª ∈ (0, 1). Khi ﬁª, f (x0) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y). V(cid:215) th(cid:213) λf (x) ≥ f (x0) − (1 − λ)f (y) ≥ f (x0) − (1 − λ)f (x0) = λf (x0). Nh› v¸y, f (x) ≥ f (x0). Tı ﬁª f (x) = f (x0) v(cid:181) ph˙n ﬁ˙u cæa M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) ﬁ›(cid:238)c

f (x) b»ng h»ng sŁ tr“n C. T¸p Argmaxx∈Cf (x) l(cid:181) h(cid:238)p cæa mØt sŁ di(cid:214)n cæa C.

chłng minh.

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.9. Gi¶ s(cid:246) C l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, ﬁªng v(cid:181) f : C → R l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i. N(cid:213)u C

kh«ng chła ﬁ›Œng th…ng n(cid:181)o v(cid:181) f (x) b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n m(cid:228)i n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng

trong C th(cid:215)

§(cid:211) chłng minh ph˙n thł hai cæa M(cid:214)nh ﬁ(cid:210), ta ﬁ(cid:211) (cid:253) r»ng v(cid:237)i m(cid:231)i ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i x0 ∈ C ﬁ(cid:210)u ∃ di(cid:214)n F cæa C sao cho x0 ∈ riF . V(cid:215) th(cid:213) theo l¸p lu¸n tr“n ﬁ'y, m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m thuØc di(cid:214)n n(cid:181)y ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i to(cid:181)n c(cid:244)c cæa f tr“n C.(cid:50)

sup{f (x) : x ∈ C} = sup{f (x) : x ∈ V (C)},

trong ﬁª V (C) l(cid:181) t¸p c‚c ﬁi(cid:211)m cøc bi“n cæa C, ngh(cid:220)a l(cid:181) n(cid:213)u cøc ﬁ„i cæa

Chłng minh. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) trong gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i, C = convV (C) + K,

f (x) ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c tr“n C th(cid:215) cøc ﬁ„i c(cid:242)ng ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c tr“n V (C).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

trong ﬁª K l(cid:181) nªn l(cid:229)i sinh bºi c‚c ph›‹ng cøc bi“n cæa C. MØt ﬁi(cid:211)m b˚t

kœ thuØc C m(cid:181) nª kh«ng ph¶i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc bi“n, sˇ thuØc n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng

xu˚t ph‚t tı mØt ﬁi(cid:211)m v n(cid:181)o ﬁª ∈ V (C) theo ph›‹ng cæa mØt tia trong

K. Do f (x) h(cid:247)u h„n v(cid:181) b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n n(cid:246)a ﬁ›Œng th…ng n(cid:181)y, n“n cøc

ﬁ„i cæa nª tr“n ﬁ›Œng th…ng n(cid:181)y ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c t„i v (§(cid:222)nh l(cid:253) 3.2). Nh› v¸y,

th…ng n(cid:181)o, ho˘c kh«ng b(cid:222) ch˘n tr“n tr“n mØt c„nh v« h„n n(cid:181)o ﬁª cæa D, ho˘c (cid:50)

ﬁ„t cøc ﬁ„i t„i mØt ﬁ(cid:216)nh cæa D.

H(cid:214) qu¶ 3.4. H(cid:181)m l(cid:229)i thøc f (x) tr“n t¸p l(cid:229)i compactC ﬁ„t cøc ﬁ„i t„i mØt (cid:50)

ﬁi(cid:211)m cøc bi“n cæa C.

Nh¸n x—t 3.1. Thøc ra, t(cid:221)nh ch˚t n“u trong H(cid:214) qu¶ 3.4 c(cid:242)ng ﬁ(cid:243)ng cho l(cid:237)p h(cid:181)m rØng h‹n. C(cid:244) th(cid:211) l(cid:181) c‚c h(cid:181)m tøa l(cid:229)i, ngh(cid:220)a l(cid:181) c‚c h(cid:181)m f : Rn → [−∞, +∞] sao cho c‚c t¸p młc d›(cid:237)i Iα = {x ∈ Rn : f (x) ≤ α} l(cid:181) l(cid:229)i v(cid:237)i m(cid:228)i α ∈ R (§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.3, Ch›‹ng 2). Th¸t v¸y, do t¸p l(cid:229)i compactC

i∈I λivi , trong ﬁª vi l(cid:181) c‚c ﬁi(cid:211)m cøc bi“n, λi ≥ 0, (cid:80)

supremum cæa f (x) tr“n C qui v(cid:210) supremum cæa f tr“n convV (C). Khi ﬁª, bºi v(cid:215) b˚t kœ x ∈ convV (C) ﬁ(cid:210)u cª d„ng x = (cid:80) i∈I λivi v(cid:237)i vi ∈ V (C) i∈I λi = 1, cho n“n f (x) ≤ (cid:80) v(cid:181) λi ≥ 0, (cid:80) i∈I λif (vi) ≤ maxi∈If (vi). (cid:50) H(cid:214) qu¶ 3.3. H(cid:181)m l(cid:229)i thøc f (x) tr“n t¸p l(cid:229)i ﬁa di(cid:214)n D, kh«ng chła ﬁ›Œng

b»ng bao l(cid:229)i c‚c ﬁi(cid:211)m cøc bi“n cæa nª, n“n b˚t kœ x ∈ C cª bi(cid:211)u di(cid:212)n x = (cid:80) i∈I λi = 1 v(cid:181) I l(cid:181) t¸p h(cid:247)u h„n c‚c ch(cid:216) sŁ. N(cid:213)u f (x) l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i h(cid:247)u h„n tr“n C v(cid:181) α = maxi∈If (vi) th(cid:215) vi ∈ C ∩ Iα, ∀i ∈ I. Do C ∩ Iα l(cid:229)i, n“n x ∈ C ∩ Iα. Nh› v¸y, f (x) ≤ α = maxi∈If (vi), ngh(cid:220)a l(cid:181) cøc ﬁ„i cæa f tr“n C ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c (cid:50) t„i mØt ﬁi(cid:211)m cøc bi“n cæa C.

C(cid:242)ng cª th(cid:211) chłng minh ﬁ›(cid:238)c r»ng c¸n tr“n cæa mØt h(cid:228) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i l(cid:181)

Tªm l„i, ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y nh(cid:247)ng t(cid:221)nh ch˚t cøc tr(cid:222) c‹ b¶n

h(cid:181)m tøa l(cid:229)i, nh›ng t(cid:230)ng cæa hai h(cid:181)m tøa l(cid:229)i kh«ng ch(cid:190)c l(cid:181) h(cid:181)m tøa l(cid:229)i.

li“n quan t(cid:237)i h(cid:181)m l(cid:229)i, h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh. §‚ng ch(cid:243) (cid:253) l(cid:181) cøc ti(cid:211)u

ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i lu«n l(cid:181) cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c, ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

l(cid:229)i ch˘t n(cid:213)u cª l(cid:181) duy nh˚t v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh lu«n ﬁ„t cøc ti(cid:211)u tr“n t¸p ﬁªng

kh‚c r(cid:231)ng, cøc ti(cid:211)u ﬁª l(cid:181) duy nh˚t n(cid:213)u t¸p l(cid:181) l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng. Cøc ﬁ„i

cæa h(cid:181)m l(cid:229)i n(cid:213)u cª sˇ ﬁ„t t„i ﬁi(cid:211)m cøc bi“n (nªi ri“ng, t„i ﬁ(cid:216)nh) cæa t¸p ﬁ›(cid:238)c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

x—t.

K(cid:213)t lu¸n

C‚c h(cid:181)m tuy(cid:213)n t(cid:221)nh v(cid:181) afin l(cid:181) nh(cid:247)ng h(cid:181)m ﬁ‹n gi¶n v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng ph(cid:230) bi(cid:213)n

nh˚t. H(cid:181)m l(cid:229)i thuØc l(cid:237)p h(cid:181)m phi tuy(cid:213)n hay ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng trong l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181) łng

d(cid:244)ng thøc t(cid:213), v(cid:215) h(cid:181)m l(cid:229)i c(cid:239)ng v(cid:237)i c‚c bi(cid:213)n d„ng cæa nª (l(cid:229)i ch˘t, l(cid:229)i m„nh,

tøa l(cid:229)i . . .) cª nhi(cid:210)u t(cid:221)nh ch˚t ﬁ(cid:209)p r˚t ﬁ‚ng ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243) (cid:253).

Lu¸n v¤n n(cid:181)y chæ y(cid:213)u t¸p trung v(cid:181)o t(cid:215)m hi(cid:211)u c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n v(cid:181)

nhi(cid:210)u bi(cid:213)n, c(cid:239)ng c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n cæa ch(cid:243)ng, ﬁ¤c bi(cid:214)t l(cid:181) t(cid:221)nh li“n t(cid:244)c,

Ch›‹ng 1 ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n, nh¸n gi‚ tr(cid:222) h(cid:247)u h„n hay

t(cid:221)nh kh¶ vi v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t cøc tr(cid:222).

v« cøc. H(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n kho¶ng I ⊆ R l(cid:181) Lipschits tr“n

Ch›‹ng 2 gi(cid:237)i thi(cid:214)u v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i nhi(cid:210)u bi(cid:213)n v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n nh›:

[a, b] ⊂ int(I), li“n t(cid:244)c tr“n int(I) v(cid:181) kh¶ vi h˙u kh(cid:190)p n‹i tr“n I. N(cid:213)u h(cid:181)m f hai l˙n kh¶ vi tr“n kho¶ng mº I th(cid:215) h(cid:181)m f l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi f (cid:48)(cid:48)(x) ≥ 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ I.

f l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t¸p tr“n ﬁ(cid:229) th(cid:222) cæa nª l(cid:181) l(cid:229)i, h(cid:181)m f l(cid:229)i th(cid:215) c‚c t¸p

młc d›(cid:237)i cæa nª l(cid:181) t¸p l(cid:229)i, c‚ch nh¸n bi“t h(cid:181)m kh¶ vi l(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i, c‚c ph—p

to‚n b¶o to(cid:181)n t(cid:221)nh l(cid:229)i cæa h(cid:181)m, gi(cid:237)i thi(cid:214)u kh‚i ni(cid:214)m d›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m

l(cid:229)i v(cid:181) mŁi quan h(cid:214) gi(cid:247)a d›ªi vi ph'n v(cid:237)i ﬁ„o h(cid:181)m theo h›(cid:237)ng v(cid:181) v(cid:237)i h(cid:181)m

Ch›‹ng 3 tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c t(cid:221)nh ch˚t cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i, h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t v(cid:181)

li“n h(cid:238)p.

h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh, c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tŁi ›u c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁŁi v(cid:237)i c‚c h(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi v(cid:181)

mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh v(cid:210) cøc ti(cid:211)u (cøc ﬁ„i) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i. §‚ng ch(cid:243) (cid:253) l(cid:181) cøc

ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cæa mØt h(cid:181)m l(cid:229)i lu«n l(cid:181) cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c, ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa

h(cid:181)m l(cid:229)i ch˘t n(cid:213)u cª l(cid:181) duy nh˚t v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh lu«n ﬁ„t cøc ti(cid:211)u tr“n t¸p

ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng, cøc ti(cid:211)u ﬁª l(cid:181) duy nh˚t n(cid:213)u t¸p l(cid:181) l(cid:229)i ﬁªng kh‚c r(cid:231)ng. Cøc

ﬁ„i cæa h(cid:181)m l(cid:229)i n(cid:213)u cª sˇ ﬁ„t t„i ﬁi(cid:211)m cøc bi“n (nªi ri“ng, t„i ﬁ(cid:216)nh) cæa t¸p

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

l(cid:229)i ﬁ›(cid:238)c x—t.

T‚c gi¶ ﬁ• cŁ g(cid:190)ng s(cid:190)p x(cid:213)p v(cid:181) tr(cid:215)nh b(cid:181)y v˚n ﬁ(cid:210) theo c‚ch hi(cid:211)u r(cid:226) r(cid:181)ng v(cid:181)

trøc quan nh˚t cª th(cid:211), ﬁ›a ra nhi(cid:210)u v(cid:221) d(cid:244) v(cid:181) h(cid:215)nh vˇ c(cid:244) th(cid:211) ﬁ(cid:211) minh ho„ cho

c‚c kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) sø ki(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) c¸p t(cid:237)i trong lu¸n v¤n.

Hy v(cid:228)ng t‚c gi¶ lu¸n v¤n sˇ cª d(cid:222)p l(cid:181)m quen v(cid:237)i nh(cid:247)ng l(cid:237)p h(cid:181)m l(cid:229)i kh‚c

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

v(cid:181) nhi(cid:210)u łng d(cid:244)ng phong ph(cid:243) cæa ch(cid:243)ng trong l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181) thøc ti(cid:212)n.

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Ti(cid:213)ng Vi(cid:214)t

[1] T. V. Thi(cid:214)u (2003), C‹ sº gi¶i t(cid:221)ch l(cid:229)i, B(cid:181)i gi¶ng l(cid:237)p cao h(cid:228)c, Vi(cid:214)n

To‚n h(cid:228)c H(cid:181) NØi.

[2] T. V. Thi(cid:214)u (2004), Gi‚o tr(cid:215)nh tŁi ›u tuy(cid:213)n t(cid:221)nh, Nxb §„i h(cid:228)c QuŁc

Ti(cid:213)ng Anh

gia H(cid:181) NØi.

[3] J. Tiel (1984), Convex Analysis - An Introductory Text, John Wiley

and Sons, Toronto - Singapore.

[4] H. Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer

Ti(cid:213)ng Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Academic Publishers, Boston/ London/ Dordrecht.

Luận văn: Hàm lồi và các tính chất

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt

LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Th¸i Nguyªn – 2009

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt

LuËn v¨n th¹c sÜ khoa häc to¸n häc

Ng êi h íng dÉn khoa häc: GS-TS TrÇn Vò ThiÖu

Th¸i Nguyªn – 2009

®¹i häc Th¸i Nguyªn Tr êng ®¹i häc khoa häc -------------  0  ------------- Ph¹m B¸ Tuyªn Hµm låi vµ c¸c tÝnh chÊt

Tãm t¾t LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Ng êi h íng dÉn khoa häc: GS-TS TrÇn Vò ThiÖu

Th¸i Nguyªn – 9/2009

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi nªi ﬁ˙u

Ch›‹ng 1

H(cid:181)m l(cid:229)i mØt bi(cid:213)n

1.1 H(cid:181)m l(cid:229)i thøc

1.2 T(cid:221)nh l(cid:229)i t„i ﬁi(cid:211)m gi(cid:247)a

1.3 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p

1.4 H(cid:181)m l(cid:229)i gi‚ tr(cid:222) trong ¯R

Ch›‹ng 2 H(cid:181)m l(cid:229)i trong Rn

2.1 §(cid:222)nh ngh(cid:220)a v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n

2.2 H(cid:181)m l(cid:229)i kh¶ vi

2.3 C‚c ph—p to‚n v(cid:210) h(cid:181)m l(cid:229)i

2.4 T(cid:221)nh li“n t(cid:244)c cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

2.5 H(cid:181)m li“n h(cid:238)p

2.6 D›(cid:237)i vi ph'n cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

Ch›‹ng 3

Cøc tr(cid:222) cæa h(cid:181)m l(cid:229)i

3.1 Cøc ti(cid:211)u ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:181) cøc ti(cid:211)u to(cid:181)n c(cid:244)c

3.2 Cøc ti(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ﬁ„i h(cid:181)m l(cid:226)m)

3.3 Cøc ti(cid:211)u cæa h(cid:181)m l(cid:229)i m„nh

3.4 Cøc ﬁ„i h(cid:181)m l(cid:229)i (cøc ti(cid:211)u h(cid:181)m l(cid:226)m)

K(cid:213)t lu¸n

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về điều kiện đầu tư kinh doanh trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Sự nghiệp nghiên cứu phê bình văn học của Hoài Thanh

Luận văn Thạc sĩ: Tiểu thuyết của Đỗ Phấn từ góc nhìn sinh thái

Luận văn Thạc sĩ: Giải pháp ứng phó với nhập cư ở Liên minh Châu Âu

Luận văn Thạc sĩ: Diễn ngôn về giới nữ trong văn xuôi nữ Việt Nam đương đại (khảo sát sáng tác của Dạ Ngân, Y Ban, Lý Lan, Nguyễn Thị Thu Huệ)

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mức phát thải tham chiếu rừng khu vực huyện Bảo Lâm tỉnh Lâm Đồng

Luận văn Thạc sĩ: Đặc điểm nhân vật chính trong ba tác phẩm của Franz Kafka: Lâu đài, Vụ án, Hóa thân

Kháo luận tốt nghiệp: Vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào dạy học Thống kê - Xác suất ở lớp Hai

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng hệ thống điều khiển và thu nhận dữ liệu cho Robot dịch vụ

Luận văn Thạc sĩ: Thế giới nhân vật trong truyện ngắn Lê Minh Khuê sau năm 1975

Luận văn Thạc sĩ: Tác động của cấu trúc vốn đến hiệu quả hoạt động của các ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Kiểm soát rủi ro tín dụng bán lẻ tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Đầu tư và Phát triển Việt Nam chi nhánh Thủ Thiêm

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả kinh doanh của ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hành vi sử dụng dịch vụ ngân hàng điện tử tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Ngoại thương Việt Nam – Chi nhánh Thủ Đức

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố tác đồng đến nợ xấu tại Ngân hàng Nông nghiệp và Phát triển Nông thôn - Chi nhánh Tiền Giang

Luận văn Thạc sĩ: Yếu tố ảnh hưởng đến quyết định sử dụng dịch vụ thanh toán không dùng tiền mặt tại Ngân hàng TMCP Công thương Việt Nam (Vietinbank)

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về du lịch biển, thực tiễn tại tỉnh Bình Định

Luận văn Thạc sĩ: Ảnh hưởng của các yếu tố thương hiệu với vai trò trung gian của Marketing truyền miệng đến quyết định chọn việc làm của nhân viên GenZ tại chuỗi nhà hàng gà rán Popeyes khu vực Thành Phố Hồ Chí Minh

Luận văn Thạc sĩ: Ảnh hưởng của Marketing mix đến ý định học cao học của sinh viên khối ngành kinh tế thuộc Trường Đại học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm