Luận văn: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

113
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho (R;m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m; I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh và A là R-môđun Artin. Để nghiên cứu cấu trúc của các môđun Noether và môđun Artin, người ta thường quan tâm đến các tập iđêan nguyên tố liên kết và iđêan nguyên tố gắn kết tương ứng của chúng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: Một kết quả hữu hạn cho tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Tor

1 §¹i häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc s ph¹m ------------------------------ Bïi Thanh §oµn Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i nguyªn - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 §¹i häc Th¸i Nguyªn Trêng §¹i häc s ph¹m ------------------------------ Bïi Thanh §oµn Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè. M· sè: 60.46.05 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: TS. NguyÔn ThÞ Dung Th¸i nguyªn - 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Môc lôc Trang Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ch¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. M«®un Artin vµ ®èi ngÉu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. BiÓu diÔn thø cÊp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. ChiÒu Noether cña m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch¬ng 2. D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu 2.1. D·y ®èi chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ch¬ng 3. Mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1. §é réng víi chiÒu > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. KÕt qu¶ h÷u h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh sau 2 n¨m häc tËp t¹i Trêng §¹i häc s ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn vµ díi sù híng dÉn tËn t×nh s©u s¾c cña TS. NguyÔn ThÞ Dung. Nh©n dÞp nµy t«i xin ch©n thµnh bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn C« vµ gia ®×nh. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi Trêng §¹i häc s ph¹m, ViÖn to¸n häc ViÖt nam, GS.TSKH NguyÔn Tù Cêng, PGS.TS NguyÔn Quèc Th¾ng, PGS. TS Lª ThÞ Thanh Nhµn vµ c¸c thÇy c« gi¸o cña trêng §¹i häc S ph¹m Th¸i Nguyªn ®· tham gia gi¶ng d¹y vµ t¹o ®iÒu kiÖn tèt nhÊt cho t«i trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn b¶n luËn v¨n nµy. Cuèi cïng t«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi ngêi th©n, b¹n bÌ vµ tÊt c¶ nh÷ng ngêi ®· gióp ®ì, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp. Th¸i Nguyªn, th¸ng 8 n¨m 2010 Häc viªn Bïi Thanh §oµn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Më ®Çu Cho (R, m) lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng, Noether víi i®ªan cùc ®¹i duy nhÊt m, I lµ i®ªan cña R, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ A lµ R-m«®un Artin. §Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Noether vµ m«®un Artin, ngêi ta thêng quan t©m ®Õn c¸c tËp i®ªan nguyªn tè liªn kÕt vµ i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt t¬ng øng cña chóng. XuÊt ph¸t tõ mét kÕt qu¶ trong vµnh c¸c sè Z: nÕu víi mçi i®ªan I = mZ, trong ®ã m = pα1 . . . pαk lµ sù ph©n nguyªn 1 k AssZ Z/I n Z = {p1 Z, . . . , pk Z} tÝch tiªu chuÈn cña sè nguyªn th× tËp lµ m æn ®Þnh víi mäi n, mét c¸ch tù nhiªn ngêi ta ®· ®Æt ra c©u hái r»ng liÖu tÝnh chÊt nµy cßn ®óng khi thay Z bëi mét vµnh giao ho¸n Noether tuú ý hay kh«ng. §· cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu vÒ vÊn ®Ò nµy mµ ®iÓn h×nh lµ kÕt qu¶ cña M. Brodmann vµo n¨m 1979, trong ®ã «ng ®· chøng minh r»ng AssR (M/I n M ) vµ AssR (I n M/I n+1 M ) kh«ng phô thuéc vµo n khi c¸c tËp 0. TiÕp theo, vµo n¨m 1986, R. Y. Sharp ®· chøng minh kÕt qu¶ ®èi ngÉu n AttR (0 :A I n ) AttR (0 :A I n+1 /0 :A I n ) cho m«®un Artin, ®ã lµ c¸c tËp vµ lµ ®éc lËp víi n khi n 0. Chó ý r»ng ta lu«n cã c¸c ®¼ng cÊu M/I n M ∼ TorR (R/I n , M ) vµ (0 :A I n ) ∼ Ext0 (R/I n , A). = = 0 R V× thÕ, mét c¸ch tù nhiªn khi hái r»ng liÖu c¸c kÕt qu¶ trªn cã thÓ më réng Exti (R/I n , A) vµ TorR (R/I n , M ), víi i bÊt kú hay kh«ng. cho c¸c m«®un R i C©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh cho c©u hái trªn ®îc ®a ra bëi L. Melkersson vµ P. Schenzel vµo n¨m 1993. Hä ®· chøng minh ®îc c¸c tËp AssR TorR (R/I n , M ) AttR Exti (R/I n , A) , n = 1, 2, . . . vµ i R lµ æn ®Þnh khi n ®ñ lín. §ång thêi, hä còng ®Æt ra c©u hái khi nµo th× hai tËp AttR TorR (R/I n , A) AssR Exti (R/I n , M ) , n = 1, 2, . . . vµ i R lµ kh«ng phô thuéc vµo khi ®ñ lín. Tuy nhiªn, c©u tr¶ lêi cho n n c©u hái trªn l¹i nh×n chung lµ phñ ®Þnh, thËm chÝ cßn tån t¹i c¸c tËp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 AttR TorR (R/I n , A) AssR Exti (R/I n , M ) vµ lµ v« h¹n (VÝ dô cña i R n n M. Katzman [6, HÖ qu¶ 1.3]). V× vËy, c©u hái tiÕp theo ®îc ®Æt ra lµ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c tËp AttR TorR (R/I n , A) AssR Exti (R/I n , M ) vµ i R n0 n0 h÷u h¹n. Mét phÇn c©u tr¶ lêi cho c©u hái trªn ®· ®îc ®a ra bëi M. Brodmann ë ®ã, b»ng viÖc ®a ra kh¸i niÖm M -d·y chÝnh quy vµ L.T. Nhan n¨m 2008. víi chiÒu > s vµ ®é s©u víi chiÒu > s cña M trong I depth>s (I, M ), hä ®· i chøng minh r»ng nÕu s víi mäi i th× tËp dim Supp HI (M ) r AssR Extt (R/I n , M ) | dim(R/p) ≥ s} {p ∈ R n0 lµ h÷u h¹n víi mäi r, trong ®ã r = depth>s (I, M ). t TiÕp theo ®ã, vµo n¨m 2010, phÇn cßn l¹i cña c©u hái trªn ®· ®îc tr¶ lêi bëi L. T. Nhan vµ N. T. Dung [13]. Th«ng qua kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s, nÕu ký hiÖu (AttR A)≥s = {p ∈ AttR A | dim(R/p) ≥ s} th× hä ®· chøng minh r»ng c¸c tËp AttR (TorR (R/I n , A)) , t s n∈N AttR (TorR (R/(xn1 , . . . , xnk )R, A t 1 k ≥s n1 ,...,nk ∈N lµ h÷u h¹n víi mäi r, víi n ®ñ lín vµ víi mäi bé sè tù nhiªn n1 , . . . , nk , t trong ®ã lµ ®é réng víi chiÒu cña trong vµ r = Width>s (I, A) >s A I (x1 , . . . , xk ) lµ hÖ sinh cña I . Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ chøng minh mét c¸ch chi tiÕt c¸c kÕt qu¶ vÒ tÝnh h÷u h¹n cña tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor trong [13]: ''A finitenees result for attached primes of certain Tor-modules''. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 LuËn v¨n gåm ch¬ng. Ch¬ng lµ c¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ trong ®ã 3 1 tr×nh bµy lý thuyÕt ®èi ngÉu Matlis, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether cña m«®un Artin cïng víi mét sè tÝnh chÊt cña hµm tö më réng, hµm tö xo¾n, d·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un thêng ®îc sö dông trong c¸c ch¬ng tiÕp theo. Ch¬ng 2 tr×nh bµy chi tiÕt vÒ ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña M -d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s vµ ®Æc trng ®é dµi tèi ®¹i cña d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s cña mét m«®un Artin th«ng qua chiÒu Krull cña m«®un con xo¾n cña nã. Kh¸i niÖm ®é réng víi chiÒu > s vµ kÕt qu¶ vÒ tÝnh chÊt h÷u h¹n cña tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Tor ®îc tr×nh bµy trong ch¬ng 3. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta lu«n ký hiÖu R lµ vµnh giao ho¸n, Noether, A lµ R-m«®un Arrtin vµ M lµ R-m«®un Noether. Ch¬ng nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc ®îc dïng trong c¸c ch¬ng tiÕp theo: CÊu tróc cña m«®un Artin, ®èi ngÉu Matlis, biÓu diÔn thø cÊp, chiÒu Noether, m«®un më réng vµ m«®un xo¾n, d·y chÝnh quy vµ ®é s©u,. . . 1.1 M«®un Artin vµ ®èi ngÉu Matlis m lµ mét i®ªan cùc ®¹i cña vµnh R. Nh¾c l¹i r»ng m«®un con m-xo¾n Cho Γm (A) cña A ®îc ®Þnh nghÜa bëi (0 :A mn ). Γm (A) = n≥0 Ta nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña m«®un Artin ®îc ®a ra bëi R. Y. Sharp thêng ®îc dïng trong c¸c chøng minh vÒ sau. [18, MÖnh ®Ò 1.4, Bæ ®Ò 1.6] MÖnh ®Ò 1.1.1. (i) Gi¶ sö A lµ mét R-m«®un Artin kh¸c kh«ng. Khi ®ã chØ cã h÷u h¹n i®ªan cùc ®¹i m cña R sao cho Γm (A) = 0. NÕu c¸c i®ªan cùc ®¹i ph©n biÖt ®ã lµ m1 , . . . , mr th× A = Γm1 (A) ⊕ . . . ⊕ Γmr (A) vµ Supp A = {m1 , . . . , mr }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 (ii) Víi mçi j ∈ {1, . . . , r}, nÕu s ∈ R \ mj , th× phÐp nh©n bëi s cho ta mét tù ®¼ng cÊu cña Γmj (A). Do ®ã Γmj (A) cã cÊu tróc tù nhiªn cña mét Rmj -m«®un vµ víi cÊu tróc nµy, mét tËp con cña Γmj (A) lµ mét R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ Rmj -m«®un con. §Æc biÖt Amj ∼ Γmj (A), víi mäi j = 1, . . . , r. = lµ vµnh ®Þa ph¬ng. Nh¾c l¹i r»ng ®Çy ®ñ theo t« p« m-adic Cho (R, m) cña ký hiÖu bëi lµ tËp c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c d·y Cauchy theo R, R, quan hÖ t¬ng ®¬ng x¸c ®Þnh bëi c¬ së l©n cËn cña phÇn tö 0 lµ c¸c i®ªan mt , t = 0, 1, 2, . . . R ®îc trang bÞ hai phÐp to¸n hai ng«i: phÐp céng, phÐp nh©n c¸c d·y Cauchy vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, R lµm thµnh mét vµnh. Mçi phÇn tö cã thÓ ®ång nhÊt víi líp t¬ng ®¬ng cña d·y Cauchy r∈R mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö trong d·y ®Òu lµ r . [18, Bæ ®Ò 1.11, HÖ qu¶ 1.12] Cho A lµ R-m«®un Artin kh¸c MÖnh ®Ò 1.1.2. kh«ng trªn vµnh ®Þa ph¬ng (R, m). Khi ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un, trong ®ã R lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic cña R vµ mäi tËp con cña A lµ R-m«®un con cña A nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con cña A. Do ®ã, A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un Artin. Do cã cÊu tróc ®Æc biÖt nh vËy nªn ngêi ta cã thÓ chuyÓn viÖc nghiªn cøu m«®un Artin trªn mét vµnh giao ho¸n bÊt k× vÒ viÖc nghiªn cøu trªn vµnh ®Þa ph¬ng. H¬n n÷a, viÖc nghiªn cÊu tróc cña m«®un Artin trong mét sè trêng hîp cã thÓ chuyÓn vÒ nghiªn cøu trªn m«®un Noether nhê lý thuyÕt ®èi ngÉu Matlis. Díi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt ®èi ngÉu Matlis hay ®îc sö dông trong luËn v¨n. Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ. §Æt E = E (R/m) lµ bao néi x¹ cña trêng thÆng d R/m. KÝ hiÖu tõ ph¹m trï D( ) = HomR ( , E ) CR c¸c R-m«®un vµ R-®ång cÊu vµo chÝnh nã. Víi mçi R-m«®un M , ®Æt µM : M −→ DD(M ) = HomR (HomR (M, E ), E ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 lµ R-®ång cÊu tù nhiªn cho bëi víi mäi vµ x ∈ M, µM (x)(f ) = f (x), f ∈ Hom(M, E ). Khi ®ã ta cã kÕt qu¶ sau (xem [18, §Þnh lý 2.1]). (i) R-m«®un E lµ Artin. Víi mçi f ∈ HomR (E, E ), tån t¹i MÖnh ®Ò 1.1.3. duy nhÊt af ∈ R : f (x) = af x, ∀x ∈ E. (ii) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× D(N ) lµ Artin. (iii) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× D(A) lµ Noether. (iv) Ann M = Ann D(M ), vµ nÕu M lµ R-m«®un sao cho < ∞, R (M ) th× R (D (M )) = R (M ). Cho N lµ R-m«®un Noether, A lµ R-m«®un Artin vµ j ∈ N. Bæ ®Ò 1.1.4. Khi ®ã D(N/I j N ) ∼ (0 :D(N ) I j ) vµ (i) = D(I j −1 N/I j N ) ∼ (0 :D(N ) I j )/(0 :D(N ) I j −1 ); = D(0 :A I j ) ∼ D(A)/I j D(A) vµ (ii) = D((0 :A I j )/(0 :A I j −1 )) ∼ I j −1 D(A)/I j D(A). = 1.2 BiÓu diÔn thø cÊp Lý thuyÕt biÓu diÔn thø cÊp ®îc ®a ra bëi I. G. Macdonald [9] ®îc xem nh lµ ®èi ngÉu víi lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬ quen biÕt cho c¸c m«®un Noether. ®îc gäi lµ thø cÊp nÕu (i) Mét R-m«®un M vµ M =0 §Þnh nghÜa 1.2.1. nÕu víi mäi x ∈ R, phÐp nh©n bëi x trªn M lµ toµn cÊu hoÆc luü linh. Trong trêng hîp nµy Rad(AnnR M ) lµ i®ªan nguyªn tè, ch¼ng h¹n lµ p, vµ ta gäi lµ p-thø cÊp. M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 R-m«®un. Mét biÓu diÔn thø cÊp (ii) Cho lµ cña lµ mét ph©n tÝch M M thµnh tæng h÷u h¹n c¸c m«®un con pi -thø cÊp Ni . NÕu M = N1 + . . . + Nn cã mét biÓu diÔn thø cÊp th× ta nãi M lµ biÓu diÔn ®îc. BiÓu M = 0 hoÆc M diÔn thø cÊp nµy ®îc gäi lµ tèi thiÓu nÕu c¸c i®ªan nguyªn tè pi lµ ®«i mét kh¸c nhau vµ kh«ng cã h¹ng tö nµo lµ thõa, víi mäi i = 1, . . . , n. Ni DÔ thÊy r»ng mäi biÓu diÔn thø cÊp cña ®Òu cã thÓ ®a ®îc vÒ d¹ng M tèi thiÓu. Khi ®ã tËp hîp {p1 , . . . , pn } lµ ®éc lËp víi viÖc chän biÓu diÔn thø vµ ®îc gäi lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña cÊp tèi thiÓu cña M , kÝ M hiÖu bëi AttR M . C¸c h¹ng tö Ni , i = 1, . . . , n, ®îc gäi lµ c¸c thµnh phÇn thø cÊp cña M. TËp AttR A chØ phô thuéc vµo A mµ kh«ng phô thuéc vµo §Þnh lý 1.2.2. biÓu diÔn thø cÊp tèi thiÓu cña A. H¬n n÷a ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng víi p lµ i®ªan nguyªn tè. (i) p ∈ AttR A. (ii) A cã m«®un th¬ng lµ p-thø cÊp. (iii) A cã m«®un th¬ng Q sao cho Rad(Q) = p. (iv) A cã m«®un th¬ng Q sao cho p lµ phÇn tö tèi thiÓu trong tËp c¸c i®ªan nguyªn tè chøa AnnR Q. (v) A cã m«®un th¬ng Q sao cho AnnR Q = p. i) Cho M lµ mét R-m«®un biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã M = 0 MÖnh ®Ò 1.2.3. khi vµ chØ khi AttR M = ∅. Trong trêng hîp nµy tËp c¸c i®ªan nguyªn tè tèi thiÓu cña R chøa Ann(M ) chÝnh lµ tËp c¸c phÇn tö tèi thiÓu cña AttR M. (ii) Cho 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un biÓu diÔn ®îc. Khi ®ã ta cã AttR M ⊆ AttR M ⊆ AttR M ∪ AttR M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Cho A lµ mét R-m«®un Artin. Khi ®ã, A lµ biÓu diÔn ®îc vµ tËp AttR A lµ h÷u h¹n (xem [9, §Þnh lý 5.3]). H¬n n÷a, theo MÖnh ®Ò 1.1.2, cã cÊu A tróc tù nhiªn cña R-m«®un vµ víi cÊu tróc nµy mçi tËp con cña A lµ R-m«®un con nÕu vµ chØ nÕu nã lµ R-m«®un con. §iÒu nµy cho thÊy c¸c dµn m«®un con cña xÐt nh R-m«®un vµ R-m«®un lµ nh nhau. Tõ ®ã ta cã c¸c kÕt A qu¶ sau (xem [18, HÖ qu¶ 1.12, HÖ qu¶ 2.7]). C¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng. MÖnh ®Ò 1.2.4. (i) AttR A = {p ∩ R : p ∈ AttR A}. (ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph¬ng, ®Çy ®ñ, th× ta cã a) NÕu N lµ R-m«®un Noether, th× AttR (D(N )) = AssR (N ). b) NÕu A lµ R-m«®un Artin, th× AssR (D(A)) = AttR (A). 1.3 ChiÒu Noether cña m«®un Artin Nh¾c l¹i r»ng mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè p0 ⊆ p1 ⊆ . . . ⊆ pn , trong ®îc gäi lµ d·y nguyªn tè cã ®é dµi n. Khi ®ã chiÒu Krull cña ®ã pi = pi+1 vµnh R, ký hiÖu lµ dim R lµ cËn trªn cña ®é dµi cña c¸c d·y i®ªan nguyªn tè R. ChiÒu Krull cña m«®un M , ký hiÖu lµ dim M trong lµ cËn trªn cña c¸c sè n sao cho cã mét d·y nguyªn tè cã ®é dµi n trong Supp M . V× M lµ m«®un h÷u h¹n sinh nªn ta cã Supp M = V (AnnR M ), do ®ã dim M = dim R/ AnnR M = sup dim(R/p). p∈Ass M Kh¸i niÖm ®èi ngÉu víi chiÒu Krull cho mét m«®un Artin ®îc ®a ra bëi R. N. Roberts [16] vµ sau ®ã D. Kirby [8] ®æi tªn thµnh chiÒu Noether ®Ó tr¸nh nhÇm lÉn víi chiÒu Krull ®· ®îc ®Þnh nghÜa cho c¸c m«®un Noether. C¸c thuËt ng÷ vÒ chiÒu Noether ®îc dïng trong luËn v¨n lµ theo [8]. ChiÒu Noether cña m«®un Artin A, ký hiÖu bëi N-dimR A, §Þnh nghÜa 1.3.1. ®îc ®Þnh nghÜa b»ng quy n¹p nh sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 Khi A = 0, ®Æt N-dimR A = −1. Víi cho mét sè nguyªn ta ®Æt nÕu d ≥ 0, A = 0, N-dimR A = d lµ sai vµ víi mçi d·y t¨ng c¸c m«®un A0 ⊆ A1 ⊆ . . . N-dimR A < d con cña tån t¹i sè nguyªn sao cho víi mäi A, n0 N-dimR (An+1 /An ) < d, n > n0 . Tõ ®Þnh nghÜa trªn, ta thÊy r»ng mäi R-m«®un kh¸c kh«ng M lµ Noether khi vµ chØ khi Ta ®· biÕt r»ng ®èi víi mçi m«®un h÷u h¹n N-dimR M = 0. sinh th× nÕu vµ chØ nÕu vµ R (M ) Tõ §Þnh < ∞. M dim M = 0 M=0 nghÜa 1.3.1 ta cã mét sè tÝnh chÊt sau vÒ chiÒu Noether. (i) N-dimR A = 0 nÕu vµ chØ nÕu A = 0 vµ < ∞. Trong R (A) Bæ ®Ò 1.3.2. trêng hîp nµy AttR A = {m}. H¬n n÷a, nÕu 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0 lµ d·y khíp c¸c R-m«®un Artin th× N-dimR A = max{N-dimR A , N-dimR A }. (ii) dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A} vµ tån N-dimR A t¹i m«®un Artin A sao cho N-dimR A < dim R/ AnnR A. (iii) N-dimR A = dim R/ AnnR A = max{dim R/p : p ∈ AttR A}. (iv) Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng vµ A lµ R-m«®un Artin. Khi ®ã A cã cÊu tróc tù nhiªn cña R-m«®un Artin vµ ta cã N-dimR A = N-dimR A. ChÝnh v× vËy, ta cã thÓ viÕt N-dim A thay cho N-dimR A hoÆc N-dimR A. §· cã nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un Artin A th«ng qua chiÒu Noether cña chóng vµ mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Noether cho m«®un Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 Artin ®îc xem lµ ®èi ngÉu víi mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu Krull cho m«®un h÷u h¹n sinh ®· ®îc ®a ra (xem [4], [8], [16],...). §Æc biÖt lµ kÕt qu¶ sau ®îc R. N. Roberts [16, §Þnh lý 6] chøng minh cho trêng hîp vµnh tùa ®Þa ph¬ng vµ sau ®ã ®îc NguyÔn Tù Cêng vµ Lª Thanh Nhµn [4, §Þnh lý 2.6] chøng minh cho trêng hîp vµnh giao ho¸n bÊt kú. n JA ) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû khi n 0 vµ R (0 :A MÖnh ®Ò 1.3.3. n N-dim A = deg( (0 :A JA )) = inf {t : ∃x1 , . . . , xt ∈ JA sao cho (0 :A (x1 , . . . , xt )R) < ∞}, trong ®ã JA = m. m∈Supp A 1.4 Hµm tö më réng vµ hµm tö xo¾n Môc nµy dµnh ®Ó nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ c¸c tÝnh chÊt cña m«®un vµ Ext Tor thêng ®îc dïng trong luËn v¨n (xem [10]). Cho lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. M, N §Þnh nghÜa 1.4.1. M«®un dÉn xuÊt ph¶i thø n cña hµm tö Hom(−, N ) øng víi M ®îc gäi lµ Extn (M, N ). Cô thÓ, m«®un më réng thø n cña M vµ vµ ®îc kÝ hiÖu lµ N R Extn ®Ó x©y dùng ta lÊy mét gi¶i x¹ ¶nh cña M R u u 2 1 . . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0. T¸c ®éng hµm tö Hom(−, N ) vµo d·y khíp trªn ta cã ®èi phøc u∗ u∗ 1 2 0 −→ Hom(P0 , N ) −→ Hom(P1 , N ) −→ Hom(P2 , N ) −→ . . . Extn (M, N ) = Ker u∗ +1 / Im u∗ Khi ®ã lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø n cña R n n ®èi phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cña M ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Cho lµ c¸c R-m«®un vµ n ≥ 0 lµ mét sè tù nhiªn. M, N §Þnh nghÜa 1.4.2. M«®un dÉn xuÊt tr¸i thø n cña hµm tö − ⊗ N øng víi ®îc gäi lµ m«®un M R xo¾n thø n cña M vµ N vµ ®îc kÝ hiÖu lµ Torn (M, N ). Cô thÓ, ®Ó x©y dùng TorR ta lÊy mét d¶i x¹ ¶nh cña M n v v 2 1 . . . −→ P2 −→ P1 −→ P0 −→ M −→ 0. T¸c ®éng hµm tö vµo d·y khíp trªn ta cã phøc −⊗N v∗ v∗ 2 1 . . . −→ P2 ⊗ N −→ P1 ⊗ N −→ P0 ⊗ N −→ 0. TorR (M, N ) = Ker vn / Im vn+1 ∗ ∗ Khi ®ã lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø cña n n phøc trªn (m«®un nµy kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän gi¶i x¹ ¶nh cña M ). Sau ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ së cña c¸c m«®un Ext vµ Tor thêng ®îc dïng trong luËn v¨n nµy. ∼ Hom(M, N ) vµ TorR (M, N ) ∼ M ⊗N . 0 (a) ExtR (M, N ) = = MÖnh ®Ò 1.4.3. 0 M hoÆc N lµ x¹ ¶nh th× TorR (M, N ) = 0 víi mäi n ≥ 1. (b) NÕu n M lµ x¹ ¶nh hoÆc N lµ néi x¹ th× Extn (M, N ) = 0 víi mäi n ≥ 1. (c) NÕu R (d) NÕu 0 −→ N −→ N −→ N −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c Extn (M, N ) −→ Extn+1 (M, N ) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta ®ång cÊu nèi R R cã d·y khíp dµi 0 −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M, N ) −→ Ext1 (M, N ) R −→ Ext1 (M, N ) −→ Ext1 (M, N ) −→ Ext2 (M, N ) −→ . . . R R R (e) NÕu 0 −→ M −→ M −→ M −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c Extn (M , N ) −→ Extn+1 (M , N ) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta ®ång cÊu nèi R R cã d·y khíp dµi 0 −→ Hom(M , N ) −→ Hom(M, N ) −→ Hom(M , N ) −→ Ext1 (M , N ) R −→ Ext1 (M, N ) −→ Ext1 (M , N ) −→ Ext2 (M , N ) −→ . . . R R R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 (g) NÕu 0 −→ N −→ N −→ N −→ 0 lµ d·y khíp ng¾n th× tån t¹i c¸c TorR (M, N ) −→ TorR−1 (M, N ) víi mçi n ≥ 0 sao cho ta ®ång cÊu nèi n n cã d·y khíp dµi . . . −→ TorR (M, N ) −→ TorR (M, N ) −→ TorR (M, N ) n n n −→ TorR−1 (M, N ) −→ TorR−1 (M, N ) −→ TorR−1 (M, N ) n n n . . . −→ TorR (M, N ) −→ (M ⊗ N ) −→ (M ⊗ N ) −→ (M ⊗ N ) −→ 0. 1 M, N h÷u h¹n sinh th× Extn (M, N ) vµ TorR (M, N ) lµ NÕu HÖ qu¶ 1.4.4. R n h÷u h¹n sinh víi mäi n. KÕt qu¶ díi ®©y cho ta tÝnh chÊt giao ho¸n gi÷a m«®un Ext, Tor víi hµm tö ®Þa ph¬ng hãa vµ sù t¬ng ®¬ng gi÷a hai hµm tö Ext vµ Tor trªn vµnh ®Þa ph¬ng ®Çy ®ñ. (i) NÕu S lµ tËp ®ãng nh©n cña R th× ta cã c¸c ®¼ng cÊu MÖnh ®Ò 1.4.5. S −1 (Extn (M, N )) ∼ Extn −1 R (S −1 M, S −1 N ), = R S S −1 (TorR (M, N )) ∼ Torn R (S −1 M, S −1 N ), S −1 = n S −1 lµ hµm tö ®Þa ph¬ng hãa. §Æc biÖt, trong ®ã (Extn (M, N ))p ∼ Extn p (Mp , Np ), = R R (TorR (M, N ))p ∼ TorRp (Mp , Np ) = n n víi mäi i®ªan nguyªn tè p cña R. (ii) Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã Exti (R/I R, D(A)) ∼ TorR (R/I R, A), = i R víi mäi sè nguyªn i ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 1.5 D·y chÝnh quy vµ ®é s©u cña m«®un D·y chÝnh quy lµ mét trong nh÷ng d·y c¬ b¶n cña ®¹i sè giao ho¸n mµ th«ng qua ®ã ngêi ta cã thÓ ®Þnh nghÜa kh¸i niÖm ®é s©u - mét bÊt biÕn rÊt quan träng ®Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña m«®un (xem [10]). Cho R lµ vµnh giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un kh¸c §Þnh nghÜa 1.5.1. 0 = a ∈ R ®îc gäi lµ phÇn tö M - chÝnh quy nÕu M = aM 0. Mét phÇn tö vµ kh«ng lµ íc cña 0 trong M. D·y c¸c phÇn tö ®îc (a1 , . . . , an ) ∈ R a M - d·y chÝnh quy nÕu gäi lµ (a) M/(a1 , . . . , an )M = 0. (b) lµ phÇn tö M/(a1 , . . . , ai−1 )M -chÝnh quy, víi mäi i = 1, . . . , n. ai M - d·y chÝnh quy nghÌo D·y c¸c phÇn tö ®îc gäi lµ (a1 , . . . , an ) ∈ R nÕu nã chØ tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn. Cho lµ i®ªan cña sao cho M = IM . Khi ®ã mçi d·y chÝnh quy cña I R trong ®Òu cã thÓ më réng thµnh d·y chÝnh quy tèi ®¹i trong I, vµ c¸c M I d·y chÝnh quy tèi ®¹i cña M trong I cã chung ®é dµi. §é dµi chung nµy ®îc gäi lµ ®é s©u cña trong vµ ®îc kÝ hiÖu lµ depth(I, M ). NÕu M = IM M I th× ta quy íc depth(I, M ) = ∞. (i) Gi¶ sö lµ h÷u h¹n sinh. Khi ®ã lµ (a1 , . . . , an ) ∈ R M Chó ý 1.5.2. M -d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi ai ∈ p, ∀p ∈ AssR M/(a1 , . . . , ai−1 )M. / (ii) NÕu R lµ vµnh ®Þa ph¬ng víi i®ªan cùc ®¹i m th× theo bæ ®Ò Nakayama mäi d·y ®Òu tháa m·n ®iÒu kiÖn M/(a1 , . . . , an )M = 0, (a1 , . . . , an ) ∈ m do ®ã nã lµ M -d·y chÝnh quy khi vµ chØ khi nã tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) trong ®Þnh nghÜa trªn. Trong trêng hîp nµy, ®é s©u cña trong m gäi lµ ®é s©u M cña vµ kÝ hiÖu lµ M depth M. (at1 , . . . , atn ) (iii) NÕu lµ M -d·y chÝnh quy trong th× còng lµ (a1 , . . . , an ) I n 1 M -d·y chÝnh quy trong I víi mäi sè nguyªn d¬ng t1 , . . . , tn . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 TiÕp theo ta ®a ra mét sè tÝnh chÊt cña depth(I, M ) hay ®îc dïng trong luËn v¨n. §Þnh lÝ sau chØ ra quan hÖ gi÷a ®é s©u cña m«®un vµ chiÒu cña nã. Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether vµ M lµ R-m«®un §Þnh lý 1.5.3. h÷u h¹n sinh. Khi ®ã ta cã depth(M ) dim(M ). R th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng Ta ®· biÕt r»ng víi lµ i®ªan cña I i thø i HI (M ) cña M øng víi i®ªan ®îc ®Þnh nghÜa bëi I HI (M ) = Ri (ΓI (M )), i trong ®ã lµ m«®un con I -xo¾n cña M. MÖnh ®Ò sau ®©y cho ta ®Æc ΓI (M ) trng cña ®é s©u qua tÝnh kh«ng triÖt tiªu cña m«®un Ext vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng. Cho I lµ i®ªan cña R. MÖnh ®Ò 1.5.4. (i) Ta cã c¸c ®¼ng thøc sau depth(I, M ) = inf {i | Exti (R/I, M ) = 0} = inf {i | HI (R/I, M ) = 0}. i R (ii) Gi¶ sö depth(I, M ) = t. Khi ®ã AssR (Extt (R/I, M )) = AssR (HI (M )). t R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19 Ch¬ng 2 D·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s Trong toµn bé ch¬ng nµy, ta vÉn gi¶ thiÕt (R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng, lµ I i®ªan cña R vµ A lµ R-m«®un Artin víi chiÒu Noether N-dimR A = d. Kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu ®· ®îc ®a ra bëi L. T. Nhan vµ >s N. V. Hoang trong [14] nh lµ mét sù më réng cña kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy ®a ra bëi A. Ooishi [15] vµ th«ng qua kh¸i niÖm nµy hä ®· chøng minh mét kÕt qu¶ h÷u h¹n cho tËp c¸c i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña m«®un Artin. Trong ch¬ng nµy, kh¸i niÖm A-d·y ®èi chÝnh quy víi chiÒu > s còng ®îc TorR (R/I, A) tiÕp tôc sö dông ®Ó ®Æc trng cho chiÒu Krull cña c¸c m«®un i cña A. 2.1 D·y ®èi chÝnh quy Kh¸i niÖm d·y ®èi chÝnh quy cho mét m«®un tuú ý ®îc nghiªn cøu bëi A. Ooishi [15], ë ®ã «ng ®· ®a ra mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y ®èi chÝnh quy khi m«®un lµ Artin. C¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt nµy theo mét nghÜa nµo ®ã ®èi ngÉu víi c¸c kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña d·y chÝnh quy cho m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh Noether. Cho lµ mét R-m«®un tuú ý. Mét d·y c¸c phÇn tö M §Þnh nghÜa 2.1.1. ®îc gäi lµ d·y ®èi chÝnh quy cña M (hay M -d·y ®èi trong x1 , . . . , x r R Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20 chÝnh quy) nÕu tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau. (i) (0 :M (x1 , . . . , xr )R) = 0. (ii) xi (0 :M (x1 , . . . , xi−1 )R) = (0 :M (x1 , . . . , xi−1 )R), víi 1 i r. ∈ R ®îc gäi lµ phÇn tö M -®èi chÝnh quy nÕu 0 :M x = 0 §Æc biÖt, phÇn tö x vµ xM = M. Cho A lµ R-m«®un Artin vµ I lµ mét i®ªan cña sao cho R (0 :A I ) = 0. Khi ®ã ®é dµi cña mçi A-d·y ®èi chÝnh quy trong lµ h÷u h¹n vµ hai d·y I ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong cã chung ®é dµi. V× thÕ ta cã ®Þnh nghÜa sau. I §é réng cña trong I, ký hiÖu lµ (hoÆc A WidthI A §Þnh nghÜa 2.1.2. ), lµ ®é dµi cña mét A-d·y ®èi chÝnh quy tèi ®¹i trong I. §Æc Width(I, A) biÖt, nÕu I = m th× ta gäi Widthm A lµ ®é réng cña A trong m vµ ký hiÖu lµ Width A. (i) §èi víi m«®un Artin A kh¸c kh«ng trªn vµnh giao ho¸n R, Chó ý 2.1.3. nÕu c¸c phÇn tö x1 , . . . , xr ∈ m, th× theo tÝnh chÊt cña m«®un Artin ®iÒu kiÖn (0 :A (x1 , . . . , xr )R) = 0 trong §Þnh nghÜa 2.1.1 lu«n ®îc tho¶ m·n. (ii) NÕu lµ phÇn tö A-®èi chÝnh quy th× ta cã c«ng thøc vÒ chiÒu x∈m Noether N-dim(0 :A xR) = N-dim A − 1. Do ®ã, mçi A-d·y ®èi chÝnh quy lµ mét phÇn hÖ tham sè cña A vµ v× thÕ Width(A) N-dim A. (iii) Mét d·y c¸c phÇn tö lµ A-d·y ®èi chÝnh quy nÕu vµ (x1 , . . . , xr ) ∈ R chØ nÕu xi ∈ p, ∀p ∈ AttR (0 :A (x1 , . . . , xi−1 )R) víi mäi i = 1, . . . , r. / Cho I lµ i®ªan cña R. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng MÖnh ®Ò 2.1.4. ®¬ng: (1) Tån t¹i phÇn tö A-®èi chÝnh quy trong I. (2) A ⊗R R/I = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn