Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THƠM

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC

SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Thái Nguyên - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THƠM

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC

SUY LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học

Mã số:8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS Nguyễn Hữu Châu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Thái Nguyên - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết

quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình

nào khác.

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả luận văn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Phan Thị Thơm

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài: “Dạy học nội dung ứng dụng nguyên

lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn luyện năng lực

suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”, tôi đã nhận được sự hướng

dẫn, giúp đỡ, động viên của các cá nhân và tập thể. Tôi xin được bày tỏ sự cảm

ơn sâu sắc nhất tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi

trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Hữu Châu,

người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Tôi xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng đào tạo

trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu, các GV tổ

Toán - Tin trường THCS Trần Đăng Ninh đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi

trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Phan Thị Thơm

LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii

MỤC LỤC............................................................................................................ iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................... iv

DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... iv

DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................ vi

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1

2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2

3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ..................................................... 2

4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2

5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3

6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4

1.1. Năng lực ........................................................................................................ 4

1.2. Năng lực toán học ......................................................................................... 7

1.3. Năng lực suy luận ......................................................................................... 9

1.3.1. Đặc trưng chung của suy luận ................................................................... 9

1.3.2. Suy luận suy diễn ..................................................................................... 11

1.3.3. Suy luận quy nạp ..................................................................................... 12

1.4. Nguyên lý Dirichlet .................................................................................... 14

1.4.1. Nội dung nguyên lý Dirichlet .................................................................. 14

1.4.2. Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương

trình trung học cơ sở .............................................................................. 15

1.4.3. Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chứng minh sự tồn tại ............................................................................ 16

1.4.4. Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng

minh sự tồn tại rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học

sinh THCS ......................................................................................................... 18

1.5. Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc

rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay ................ 21

1.5.1. Mục đích, mẫu khảo sát ........................................................................... 21

1.5.2. Phương pháp điều tra ............................................................................. 21

1.5.3. Phương pháp xử lý số liệu ..................................................................... 22

1.5.4. Kết quả nghiên cứu ................................................................................ 22

1.5.5. Kết luận ................................................................................................. 23

1.6. Kết luận chương 1....................................................................................... 24

Chương 2: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG

QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

TRONG GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS ............. 26

2.1. Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy .......................... 26

2.2. Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic ............................................ 31

2.3. Rèn luyện cho học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong

bài toán ............................................................................................................... 33

2.4. Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải

toán chứng minh sự tồn tại ................................................................................ 36

2.4.1. Xây dựng bài toán số học ........................................................................ 36

2.4.2. Xây dựng bài toán hình học ..................................................................... 42

2.5. Kết luận chương 2....................................................................................... 50

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 51

3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm ........................................................... 51

3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm ..................................... 51

3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 51

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm .............................................................. 52

3.2.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ........................................................ 52

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................... 53

3.3.1. Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................. 53

3.3.2. Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm ............. 54

3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 54

3.4.1. Phân tích định tính ................................................................................... 54

3.4.2. Phân tích định lượng ................................................................................ 55

3.4.3. Kết luận chương 3 ................................................................................... 57

KẾT LUẬN ........................................................................................................ 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 60

PHỤ LỤC ...............................................................................................................

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

GV Giáo viên

HS Học sinh

Nxb Nhà xuất bản

THCS Trung học cơ sở

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Tr. Trang

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận

Toán học ........................................................................................ 22

Bảng 3.1. Kết quả học tập học kỳ I năm học 2018 - 2019 của hai lớp 8A3

và 8A4 trường THCS Trần Đăng Ninh ......................................... 54

Bảng 3.2. Kết quả điểm kiểm tra của HS hai lớp 8A3 và lớp 8A4 trường

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

THCS Trần Đăng Ninh ................................................................. 55

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Các thành phần của năng lực ............................................................... 5

Hình 1.2. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục ............................................. 6

Hình 1.3. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học........................... 8

Hình 1.4 ............................................................................................................. 17

Hình 2.1 ............................................................................................................. 36

Hình 2.2 ............................................................................................................. 42

Hình 2.3 ............................................................................................................. 44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hình 2.4 ............................................................................................................. 46

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 tác động đến tất cả các ngành, các lĩnh

vực trong xã hội. Nền giáo dục nước nhà cũng đứng trước những cơ hội và thử

thách to lớn. Câu hỏi lớn của ngành giáo dục được đặt ra là: cần phải giáo dục

và đào tạo ra con người như thế nào để phù hợp với cuộc cách mạng công

nghiệp 4.0 và xu thế phát triển của nhân loại giúp cho đất nước Việt Nam tránh

bị tụt hậu, vươn ra ngang tầm với thế giới. Trả lời câu hỏi trên không chỉ là

công việc của các cấp lãnh đạo mà còn của từng giáo viên, những người trực

tiếp “nhào nặn” những sản phẩm con người của tương lai. Trong khi những lao

động chân tay dần được thay thế bởi máy móc thì con người cần được trang bị

tốt những năng lực mà máy móc khó có thể thay thế. Một trong những năng lực

như thế là năng lực suy luận Toán học.

Ngày 17 tháng 9 năm 2017, tại trường quốc tế Châu Á Thái Bình Dương

(APC), đã diễn ra ngày hội toán học với tâm điểm là buổi tọa đàm “Học toán để

làm gì”. Theo GS Vũ Hà Văn, cơ bản có bốn động cơ học toán. Một là học toán

cho cuộc sống hàng ngày, tức là cộng trừ nhân chia, tính chi phí, lãi suất, phần

trăm… Hai là toán giải trí, toán thể thao, tức là toán olympic. Loại toán này

giúp người giải rèn khả năng vượt qua khó khăn, có cảm giác sung sướng khi

giành chiến thắng. Ba là, học toán để thông minh hơn, để rèn luyện tư duy

logic. Cuối cùng, học toán để làm việc kiếm tiền. Năng lực suy luận logic là

một trong các năng lực mà toán học có thể rèn luyện, một năng lực cần thiết

trong thời đại “kết nối”.

Trong thực tế, câu hỏi: liệu có tồn tại hay không, liệu vấn đề đấy có xảy ra

hay không… khiến cho chúng ta mất thời giờ hơn là câu hỏi: phải làm công

việc ấy, phải giải quyết vấn đề ấy như thế nào. Bởi một vấn đề phải có “tồn tại,

xảy ra” thì mới có “làm thế nào”. Để trả lời câu hỏi này chúng ta cần rất nhiều

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thông tin, dùng các quy luật suy luận để kiểm chứng. Trong phạm vi toán trung

học cơ sở, có một nguyên lý được sử dụng để trả lời câu hỏi vấn đề có tồn tại

hay không, đó là nguyên lý Dirichlet. Nguyên lý Dirichlet được nhà toán học

người Đức Johann Dirichlet đề xuất. Nguyên lý được phát biểu ở dạng đơn giản

như sau: “Nếu nhốt ba con thỏ vào hai cái chuồng thì có ít nhất một chuồng

nhốt hai con thỏ”. Nhiều bài toán tưởng chừng như đi vào ngõ cụt đối với các

phương pháp thông thường thì khi vận dụng nguyên lý Dirichlet ta được lời

giải hay và đẹp. Trong kỳ thi tìm kiếm tài năng toán học trẻ năm 2019 (VMS),

có nhiều bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để tìm kiếm lời giải.

Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài luận văn là: “Dạy học nội dung

ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại nhằm rèn

luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung học cơ sở”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học, nguyên lý Dirichlet

đồng thời đề xuất các biện pháp nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học

thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán

chứng minh sự tồn tại cho HS THCS và góp phần nâng cao chất lượng giảng

dạy môn toán trong trường trung học cơ sở.

3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

3.1. Khách thể: Quá trình dạy học môn Toán ở trung học cơ sở.

3.2. Đối tượng: Rèn luyện năng lực suy luận toán học cho học sinh trung

học cơ sở thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải

toán chứng minh sự tồn tại.

3.3. Phạm vi: Luận văn tập trung đề xuất các biện pháp rèn luyện năng lực

suy luận toán học cho HS THCS khá, giỏi thông qua dạy học nội dung ứng

dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại.

4. Giả thuyết khoa học

Nếu áp dụng các biện pháp rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS

THCS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

toán chứng minh sự tồn tại thì chất lượng dạy và học môn Toán được nâng cao.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về năng lực suy luận toán học.

Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý

Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại ở trường THCS.

Tìm hiểu và đề xuất các biện pháp nâng cao năng lực suy luận Toán học

cho HS THCS thông qua dạy học nội dung ứn dụng nguyên lý Dirichlet.

Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi của các biện pháp sư

phạm đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực suy luận toán học cho HS.

6. Phương pháp nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận

Đề tài có sử dụng phối hợp các phương pháp: Phân tích, tổng hợp, thu

thập thông tin, nghiên cứu tài liệu…về hệ thống các lý luận chung về năng lực

toán học, năng lực suy luận toán học. Nghiên cứu tài liệu về lý luận dạy học,

nghiên cứu, phân tích các thuật ngữ, ký hiệu toán học, biểu tượng toán học

trong chương trình trung học cơ sở.

6.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn: Điều tra thực trạng dạy học

Toán có vận dụng nguyên lý Dirichlet.

Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: nghiên cứu vở viết, bài kiểm tra của

học sinh để tìm hiểu năng lực suy luận Toán học của HS.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Năng lực

Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh

“competentia”. Ngày nay, khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác

nhau. Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân

đối với một công việc..

Năng lực bao gồm các kiến thức, kỹ năng cũng như quan điểm và thái độ

mà một cá nhân có để hành động thành công trong các tình huống mới.

Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn

sàng để giải quyết các tình huống.

Theo John Erpenbeck, “năng lực được tri thức làm cơ sở, được sử dụng

như khả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và

được thực hiện hóa qua ý chí”.

Weinert (2001) định nghĩa: “năng lực là những khả năng nhận thức và kỹ

năng vốn có hoặc học được của cá thể nhằm giải quyết các vấn đề xác định,

cũng như sự sẵn sàng về động cơ, ý chí, ý thức xã hội và khả năng vận dụng

các cách giải quyết vấn đề trong những tình huống thay đổi một cách thành

công và có trách nhiệm”.

Theo Từ điển Bách khoa Việt nam: “Năng lực là đặc điểm của cá nhân thể

hiện mức độ thông thạo - tức là có thể thực hiện một cách thành thục và chắc

chắn - một hay một số dạng hoạt động nào đó”.

Theo PGS.TS. Hoàng Hòa Bình, năng lực là thuộc tính cá nhân được hình

thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép

con người thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong

muốn trong những điều kiện cụ thể. Hai đặc trưng cơ bản của năng lực là:

Được bộc lộ, thể hiện qua hoạt động; Đảm bảo hoạt động có hiệu quả, đạt kết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

quả mong muốn.

Như vậy, năng lực là khả năng thực hiện thành công và có trách nhiệm các

nhiệm vụ giải quyết các vấn đề trong các tình huống xác định cũng như các tình

huống thay đổi trên cơ sở huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các

thuộc tính tâm lý khác như động cơ, ý chí, quan niệm, giá trị…, suy nghĩ thấu

đáo và sự sẵn sàng hành động.

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu

trúc của chúng. Cấu trúc chung của năng lực (năng lực hành động) được mô tả

là sự kết hợp của bốn năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực

phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.

Năng lực chuyên môn Năng lực phương pháp

Năng lực hành động

Năng lực cá thể Năng lực xã hội

Hình 1.1. Các thành phần của năng lực

Năng lực chuyên môn: là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng

như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và

chính xác về mặt chuyên môn. Nó được tiếp nhận thông qua việc học nội dung -

chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng nhận thức và tâm lý vận động.

Năng lực phương pháp: là khả năng đối với những hành động có kế hoạch,

định hướng mục đích trong việc giải quyết nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực

phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chuyên và phương pháp chuyên

môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử

lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức. Nó được tiếp nhận qua việc học

phương pháp luận - giải quyết vấn đề.

Năng lực xã hội: là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

giao tiếp, ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự

phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học

giao tiếp.

Năng lực cá thể: là khả năng xác định, đánh giá được cơ hội phát triển cũng

như những giới hạn của cá nhận, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế

hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi

phối các thái độ và hành vi ứng xử. Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc -

đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm.

Mô hình bốn thành phần năng lực trên phù hợp với bốn mục tiêu giáo

dục theo Tổ chức Giáo dục, Khoa học và Văn hóa Liên hợp quốc (UNESCO):

Các thành phần năng lực

Các mục tiêu giáo dục theo UNESCO

Năng lực chuyên môn Học để biết

Năng lực phương pháp Học để làm

Năng lực xã hội Học để cùng chung sống

Năng lực cá thể Học để tự khẳng định

Hình 1.2. Phát triển năng lực là mục tiêu giáo dục

Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện

nay của các nước thuộc khối OEDC, người ta sử dụng mô hình đơn giản hơn,

phân chia năng lực thành hai nhóm chính: các năng lực chung và các năng lực

chuyên môn.

Nhóm năng lực chung bao gồm:

 Sử dụng một cách tương tác các phương tiện thông tin, giao tiếp và

các phương tiện làm việc (ví dụ như ngôn ngữ, công nghệ);

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

 Tương tác trong các nhóm xã hội không đồng nhất;

 Khả năng hành động tự chủ.

Năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt. Ví dụ mô

hình năng lực trong môn Toán (theo chuẩn của Đức năm 2012) bao gồm các

năng lực sau:

 Các năng lực toán học chung: lập luận toán học; giải quyết các vấn đề

toán; mô hình hóa toán học; sử dụng các cách trình bày biểu đồ, đồ thị, bảng

biểu, sử dụng các kí hiệu, công thức, các yếu tố kỹ thuật; giao tiếp toán học.

 Các tư tưởng toán học chủ đạo: thuật toán và số học; đo lường; không

gian và hình học; quan hệ hàm số; dữ liệu và ngẫu nhiên [3].

1.2. Năng lực toán học

Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với

môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học. Hiệp hội giáo

viên Toán của Mĩ mô tả: “Năng lực Toán học là cách thức nắm bắt và sử dụng

nội dung kiến thức toán”. Ở Việt Nam trong những năm gần đây, các nhà

nghiên cứu thường nhắc tới quan niệm về năng lực toán học của các nhà giáo

dục toán học Đan Mạch và đề xuất của tác giả Trần Kiều (Viện Khoa học Giáo

dục Việt Nam).

Theo Blohm & Jensen (2007): “Năng lực toán học là khả năng sẵn sàng

hành động để đáp ứng với thách thức toán học của các tình huống nhất định”.

Theo Niss (1999): “Năng lực toán học như khả năng của cá nhân để sử

dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến

toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu,

quyết định và giải thích)”.

Niss cũng xác định tám thành tố của năng lực toán học và chia thành hai

cụm. Cụm thứ nhất bao gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn

đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm

thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu

hình thức; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

học toán.

Tám năng lực đó tập trung vào những gì cần thiết để cá nhân có thể học

tập và ứng dụng toán học. Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên

Năng lực tư duy toán học

Năng lực biểu diễn

Năng lực giải quyết vấn đề toán học

Năng lực Mô hình hóa toán học

Năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thức

Năng lực suy luận toán học

Năng lực giao tiếp toán học

Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau.

Hình 1.3. Sơ đồ minh họa tám thành tố của năng lực toán học

Theo tác giả Trần Kiều (2014): “Các năng lực cần hình thành và phát

triển cho người học thông qua dạy học môn Toán trong trường phổ thông Việt

Nam là: năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực mô hình hóa

toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học;

năng lực học tập độc lập và hợp tác” [10].

Một trong những mục tiêu chung của Chương trình giáo dục phổ thông môn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Toán (Ban hành kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26 tháng 12

năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo) là hình thành và phát triển

năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán

học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng

lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

1.3. Năng lực suy luận

1.3.1. Đặc trưng chung của suy luận

Sự hiểu biết của con người về thời gian khách quan được phản ánh bằng

các khái niệm và phán đoán. Con người không những biết kết hợp các khái

niệm với nhau để xây dựng phán đoán, mà còn sử dụng các phán đoán để rút ra

phán đoán mới. Hầu hết các luận điểm khoa học được phát hiện nhờ hình thức

này của tư duy. Dựa vào các tri thức đã biết con người rút ra tri thức mới theo

các quy tắc xác định.

Suy luận là hình thức của tư duy nhờ đó rút ra phán đoán mới từ một hay

nhiều phán đoán theo các quy tắc logic xác định.

Bất kỳ suy luận nào cũng bao gồm tiền đề, lập luận và kết luận.

Tiền đề: là một hay một số phán đoán đã được thực tiễn thừa nhận hoặc

được khoa học chứng minh là đúng. Trên cơ sở giá trị đúng của các tiền đề có

thể rút ra các phán đoán mới, chứa đựng tri thức mới mà bản thân riêng rẽ từng

tiền đề không thể có được.

Lập luận: là phương pháp logic rút ra kết luận từ các tiền đề. Các phương

pháp logic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán thuộc tiền đề

mà còn bao gồm cả những quy luật mà những quy tắc logic chi phối trình tự

sắp xếp để đưa ra phán đoán mới một cách tất yếu.

Kết luận: là phán đoán mới thu được từ các tiền đề thông qua lập luận. Kết

luận có nhiều dạng khác nhau, có kết luận phù hợp, có kết luận không phù hợp

với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu từ

những lập luận logic của các tiền đề.

Nếu ký hiệu tiền đề hay tập hợp tiền đề là và kết luận là ,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chúng ta có thể viết dưới dạng .

Nếu là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic

hay hệ quả logic.

Ký hiệu suy luận logic:

Trong tiếng Việt, phán đoán đứng trước các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”,

“vì vậy”, “suy ra”… và đứng sau các từ “vì”, “bởi vì”, … là tiền đề. Ngược lại,

phán đoán đứng sau các từ “nên”, “cho nên”, “do đó”, “vì vậy”,… và đứng

trước các từ “vì”, “bởi vì”,… là kết luận.

Nắm vững cách biểu thị đó giúp chúng ta nhận biết nhanh chóng tiền đề

và kết luận khi phân tích bất cứ một suy luận nào. Bởi vì, trong thực tế khi nói

và viết chúng ta không bao giờ biểu thị thành một suy luận, mà chỉ biểu thị

bằng ngôn ngữ tự nhiên dựa trên cơ sở của các từ đã nêu trên.

Quan hệ suy diễn logic giữa các tiền đề và kết luận được quy định bởi

mối liên hệ giữa các tiền đề về mặt nội dung. Nếu các phán đoán không có liên

hệ về mặt nội dung thì không thể lập luận và rút ra kết luận. Tính chân thực của

kết luận phân tích và tính chân thực của các tiền đề và tính đúng đắn logic của

mối liên hệ nội dung giữa các tiền đề. Trong quá trình lập luận để thu được tri

thức chân thực mới cần tuân theo hai điều kiện: Thứ nhất, các tiên đề của suy

luận phải chân thực; thứ hai, phải tuân theo các quy tắc logic của lập luận.

Suy luận là hình thức phản ánh các sự vật, hiện tượng của thế giới khách

quan và các quy luật vận động của chúng vào ý thức chủ quan của con người.

Vì các sự vật, hiện tượng nằm trong các mối liên hệ và quan hệ qua lại với

nhau, phụ thuộc vào các quy luật, cho nên không những tồn tại khả năng, mà

còn tồn tại cả tính tất yếu nhận thức được các sự vật và hiện tượng, các mối liên

hệ và quan hệ qua lại có tính quy luật của chúng trên cơ sở hiểu biết các sự vật

và hiện tượng khác. Mối liên hệ giữa các sự vật và hiện tượng của thế giới bên

ngoài, còn tính tất yếu logic lại bị quy định bởi tính tất yếu khách quan. Do đó,

mối liên hệ qua lại phổ biến, có tính quy luật giữa các sự vật và hiện tượng của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

thế giới khách quan là cơ sở quyết định sự vận động của tư tưởng từ cái đã biết

tới cái chưa biết trong quá trình lập luận tri thức mới.

Trong logic toán người ta sử dụng công cụ hình thức của toán học để tiến

hành suy luận. Ở một số phần của logic hình thức, chúng ta có thể sử dụng

công cụ đó để rút ra tri thức mới và có thể xác định tính chân thực của tri thức

mới đó.

Căn cứ vào cách thức lập luận, suy luận được chia ra thành suy luận suy

diễn, suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy. Bài toán “Ứng dụng nguyên lý

Dirichlet” thường sử dụng nhiều đến suy luận suy diễn và suy luận quy nạp nên

trong khuôn khổ của đề tài, tác giả chỉ trình bày về năng lực suy diễn và năng

lực quy nạp.

1.3.2. Suy luận suy diễn

Suy luận suy diễn: là suy luận mà kết luận được rút ra bằng cách đi từ cái

chung đến cái riêng, từ cái toàn thể đến cái bộ phận. Đặc trưng của suy diễn là

việc rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề đã có được thực hiện theo các quy tắc

logic. Suy diễn gồm có suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp.

Suy diễn trực tiếp là suy diễn trong đó kết luận được rút ra từ một tiền đề.

Suy diễn gián tiếp là suy diễn trong đó kết luận được suy ra từ hai hay

nhiều tiền đề có mối liên hệ logic với nhau. Đơn vị nhỏ nhất của suy diễn gián

tiếp là “tam đoạn luận”. Một “tam đoạn luận” gồm ba phán đoán đơn (hai phán

đoán tiền đề và một phán đoán kết luận).

Các quy tắc của suy luận suy diễn

- Quy tắc khẳng định (modus ponens)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

- Quy tắc phủ định (modus tollens)

- Quy tắc tam đoạn luận (Syllogism)

- Quy tắc tam đoạn luận rời

Nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra mà một trường hợp sai thì chắc

chắn trường hợp còn lại sẽ đúng.

- Quy tắc mâu thuẫn

Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ

định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn.

- Chứng minh theo trường hợp

Nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q cũng có thể suy ra r.

- Một số luật thêm

Quy tắc cộng , quy tắc rút gọn

1.3.3. Suy luận quy nạp

Quy nạp là quá trình hoạt động logic để rút ra kết luận bằng cách đi từ cái

riêng đến cái chung, từ cái bộ phận đến cái toàn thể. Đặc trưng của suy luận

quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở

nhận xét, kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy, kết luận rút ra trong quá trình suy

luận quy nạp có thể đúng, có thể sai, có tính ước đoán.

Cơ sở khách quan của suy diễn quy nạp là sự thống nhất biện chứng của

thế giới vận động, phát triển không ngừng, một thế giới vừa mang tính đa dạng

thể hiện qua sự khác biệt giữa các sự vật, hiện tượng vừa là sự thống nhất toàn

vẹn trong tính chất, cũng như trong các quy luật phát triển của nó. Vì vậy, cái

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chung tồn tại trong mỗi cái riêng, mọi cái riêng trừu tượng cái cá biệt, đơn lẻ,

đặc thù của mình làm nên cái chung. Do đó, nhận thức cái chung phải thông

qua nhận thức cái riêng, cái đơn lẻ, phải thông qua suy luận quy nạp.

Sơ đồ của suy luận quy nạp

S1 có tính chất P

S2 có tính chất P

……………….

Sn có tính chất P

S có tính chất P

Trong đó S1,, S2, …, Sn,… là các phần tử của tập S.

Chẳng hạn,

…

Kết luận: Tổng của số tự nhiên lẻ đầu tiên là một số chính phương.

Suy luận quy nạp được phân thành các dạng: Quy nạp hoàn toàn; quy nạp

không hoàn toàn; quy nạp toán học

Quy nạp hoàn toàn là một suy luận logic mà kết luận về một dấu hiệu xác

định của một tập hợp được rút ra từ kết luận dấu hiệu đó đúng đối với tất cả các

đối tượng của tập hợp đang xét.

Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ

dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xét đến. Kết luận của phép suy luận

quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có

thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ

Quy nạp toán học

Đối với tập hợp các đối tượng được sắp xếp hoàn toàn theo một trật tự nào

đó và được ký hiệu theo chỉ số thứ tự ta có thể thực hiện phương pháp quy nạp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

toán học và kết luận thu được là hoàn toàn đúng.

Để chứng minh tập hợp A gồm vô hạn đếm được phần tử có tính chất P, ta

tiến hành như sau:

Bước 1: Kiểm tra thấy phần tử đầu tiên của tập hợp có tính chất P.

Bước 2: Giả sử tính chất P đúng với phần tử thứ k (k = 1, 2, …, n)

Bước 3: Ta chứng minh tính chất P đúng với phần tử thứ k + 1.

Suy ra tính chất P đúng với mọi phần tử của tập A.

1.4. Nguyên lý Dirichlet

1.4.1. Nội dung nguyên lý Dirichlet

Trong thực tế cuộc sống, có những vấn đề ta chỉ cần biết có tồn tại hay

không mà không nhất thiết phải biết chính xác đó là cái gì. Nhà toán học Đức

Johann Dirichlet (1805 - 1859) đã đưa ra nguyên lý đơn giản nhưng có những

ứng dụng không ngờ. Nguyên lý này thường được gọi là nguyên lý ngăn kéo

hay nguyên lý Dirichlet.

Nguyên lý Dirichlet cơ bản: Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì

bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu nhốt n.m + r (m, n, r là các số nguyên

dương) con thỏ vào n cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa không ít

hơn m + 1 con thỏ.

Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n con thỏ vào m ≥ 2 cái chuồng thì

tồn tại một chuồng có ít nhất con thỏ, ở đây kí hiệu [α] để chỉ phần

nguyên của số α.

Nguyên lí Dirichlet cho diện tích: Nếu K là một hình phẳng, còn

là các hình phẳng sao cho với , và

, ở đây |K| là diện tích của hình phẳng K, còn là

diện tích hình phẳng , , thì tồn tại ít nhất hai hình phẳng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

( ) sao cho có điểm trong chung.

1.4.2. Ví trí của nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong chương trình

trung học cơ sở

Từ ngày 24 tháng 3 năm 2019, Hội Toán học Việt Nam đã tổ chức kỳ thi

“Tìm kiếm tài năng toán học trẻ 2019 (MYTS - 2019)” giành cho học sinh từ

lớp 3 đến lớp 9 trong toàn quốc. Cuộc thi đã nhận được sự hưởng ứng nhiệt

tình từ các lớp học sinh. Trong hệ thống bài toán mà Hội toán học đưa ra thì đề

thi của tất cả lớp từ lớp 4 đến lớp 9 đều có bài sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Bài toán sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải tuy HS đã được làm quen

sớm từ chương trình Tiểu học. Xong nó vẫn chỉ là một chương trình lồng ghép

một cách nhẹ nhàng khi bồi dưỡng học sinh giỏi.

Với cách phát biểu dễ hiểu đối với ngay cả học sinh lớp 3, “có ba con thỏ

nhốt vào hai chuồng thì tồn tại 1 chuồng nhốt ít nhất 2 con thỏ” thì đối với học

sinh THCS, các em đã có đủ công cụ hỗ trợ suy luận: số học, hình học, đại số,

bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet trở thành bài toán thú vị với cách chứng

minh không theo mô tuýp riêng.

Đối với chương trình THCS, nguyên lý Dirichlet không được phát biểu một

cách chính thức trong sách giáo khoa xong được viết thành các chuyên đề “Ứng

dụng nguyên lý Dirichlet” trong các tài liệu chuyên toán từ lớp 6 đến lớp 9 mà

các trường THCS chất lượng cao thường sử dụng trong quá trình giảng dạy.

Tuy là một chủ đề riêng trong tài liệu chuyên toán nhưng bài toán sử dụng

nguyên lý Dirichlet lại xuất hiện đan xen trong từng chương mới trong chương

trình lớp 7, lớp 8, lớp 9 đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức mới học về

số học, hình học, đại số trong chương kết hợp với nguyên lý Dirichlet để giải

toán. Trong cuộc sống, vấn đề tồn tại hay không tồn tại là vấn đề rất quan

trọng, phải xác định được là có tồn tại vấn đề thì mới tìm cách giải quyết vấn

đề. Trong Toán học, nguyên lý Dirichlet là một cách giúp các em xác định sự

tồn tại của vấn đề. Do đó, học sinh cần được biết, hiểu và vận dụng được

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

nguyên lý Dirichlet.

1.4.3. Ý nghĩa của việc vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng

minh sự tồn tại

Khi gặp một vấn đề trong cuộc sống, câu hỏi vấn đề này liệu có tồn tại

phương án giải quyết không thường được chúng ta đặt ra đầu tiên, trước khi bắt

tay vào thực hiện? Trong toán học, câu hỏi liệu có tồn tại hay không tồn tại

nghiệm của bài toán thường được đặt ra đầu tiên. Để trả lời câu hỏi: “liệu có tồn

tại không” thì ứng dụng nguyên lý Dirichlet là một lựa chọn không tồi. Nguyên lý

Dirichlet có thể giải quyết bài toán chứng minh sự tồn tại trong tất cả các chủ điểm

của chương trình toán trung học cơ sở: số học, hình học, đại số.

Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho có 5

chữ số tận cùng là 00001.

Rõ ràng đây là một bài toán chứng minh số học, dường như tất cả các

phương pháp số học đều đi vào ngõ cụt. Việc chỉ ra một số cụ thể thỏa mãn

đề bài là điều rất khó với sức của con người, tất nhiên máy tính có thể làm được

nhưng cũng mất nhiều thời gian. Nhưng nếu chỉ cần chỉ ra rằng có một số

nào đó mà thỏa mãn đề bài thì việc sử dụng nguyên lý Dirichlet là ý tưởng

tuyệt vời.

Giải

Xét dãy số gồm 100000 số sau: . Khi chia 100000 số này

cho 100000 có không quá 99999 loại số dư (do không có số nào trong dãy chia

hết cho 100000). Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai số trong dãy có cùng

số dư trong phép chia cho 100000. Giả sử đó là và , .

Khi đó chia hết cho 100000, suy ra chia hết cho

100000.

Mặt khác, nên . Từ đó suy ra chia

hết cho 100000.

Đặt , có chia hết cho 100000 nên số có 5 chữ số tận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

cùng là 00001.

Các bài toán số học, hình học, đại số có những cách giải đặc trưng. Tuy

nhiên, khi giải toán chứng minh sự tồn tại thì các cách giải đặc trưng đó rất khó

đi đến kết quả, những tính chất đặc trưng chỉ là một công cụ, một khâu trong

việc sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải toán.

Ví dụ 1.2

Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều có

cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã

cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá cm.

Đây là bài toán có nội dung hình học, các ý tưởng hình học để chứng minh

tồn tại đều bế tắc. Các tính chất có thể sử dụng là: Tìm độ dài chiều cao tam

giác đều khi biết độ dài cạnh, chứng minh tứ giác nội tiếp, tính chất trọng tâm

tam giác. Chúng là những tính chất có thể sử dụng trong quá trình tìm lời giải

bằng cách sử dụng nguyên lý Dirichlet.

Giải

Chia tam giác ABC đã cho thành 12 phần như hình vẽ

Hình 1.4

Mỗi phần là một tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .

Như vậy có 13 điểm đặt trong 12 hình tứ giác, theo nguyên lý Dirichlet

tồn tại hai điểm cùng nằm trong một hình. Khoảng cách giữa hai điểm này

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

không lớn hơn độ dài đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác là .

1.4.4. Dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng

minh sự tồn tại rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho học sinh THCS

Trước hết, chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng trong 6 số bất kỳ luôn tồn tại hai số có hiệu

chia hết cho 5.

Phân tích

- Xác định đối tượng của bài toán: Số tự nhiên, tính chia hết.

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 6 số, tính chia hết cho 5.

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp:

Tập hợp A gồm 6 số tự nhiên bất kỳ. Tập B gồm các số dư {0, 1, 2, 3, 4} khi

chia một số bất kỳ cho 5.

- So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ”, hoặc

“chuồng”. Ta coi yếu tố “thỏ” là “số dư khi chia 6 số cho 5” còn yếu tố

“chuồng” là tập các loại số dư {0, 1, 2, 3, 4}.

Vận dụng các quy tắc suy diễn để giải toán

Sử dụng quy tắc khẳng định

* Tiền đề:

6 con thỏ xếp vào 5 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa hai con.

6 số dư khi chia 6 số cho 5 xếp vào 5 chuồng được đánh số {0, 1, 2, 3, 4}

Kết luận: Có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 5

* Tiền đề:

Hai số có cùng số dư khi chia cho 5

Hai số có cùng số dư khi chia cho thì hiệu chia hết cho .

Kết luận: hai số có hiệu chia hết cho 5.

Giải.

Thực hiện phép chia 6 số tự nhiên đã cho cho 5 thì được 6 số dư thuộc tập

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hợp {0, 1, 2, 3, 4}

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai số đã cho có cùng loại số dư khi chia

cho 5. Hiệu hai số đó chia hết cho 5

Khai thác

Từ bài toán đơn giản trên, kết quả dễ nhìn thấy, ta tiếp tục đặt ra nhiều

tình huống khác nhau để học sinh có thể từ suy luận quy nạp bài toán tổng quát

hơn nhằm hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa hai đối tượng: Số số tự nhiên và

tính chia hết.

- Trong 7 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết

cho những số nào?

- Cần có ít nhất bao nhiêu số tự nhiên để từ các số đó ta có thể lấy được

hai số bất kỳ có hiệu chia hết cho 10?

- Trong 25 số tự nhiên bất kỳ, ta luôn rút được hai số tự nhiên có hiệu chia

hết số tự nhiên nào?

- Tổng quát:

+ Với n là số tự nhiên khác 0, cần ít nhất bao nhiêu số tự nhiên mà trong

đó luôn tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết cho n.

+ Cho n số tự nhiên khác 0, tìm số tự nhiên lớn nhất chắc chắn bị chia hết

bởi hiệu của hai số tự nhiên nào đó trong n số đã cho.

Suy luận quy nạp: Chứng minh rằng trong n + 1 số tự nhiên cho trước

luôn tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết cho n (n khác 0).

Tiếp tục vận dụng tính chất: Số tự nhiên chia cho 1000 dư 1 thì có ba chữ

số tận cùng là 001 ta thu được bài toán

Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên sao cho có ba chữ

số tận cùng là 001.

Phân tích

- Xác định đối tượng của bài toán: Số tự nhiên có dạng , tính chia hết.

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 1000 số, tính chia hết cho 1000.

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Tập hợp A gồm 1000 số tự nhiên . Tập B gồm 999 số dư

{1, 2, 3, 4, …, 999} khi chia số bất kỳ của tập

A cho 1000.

- So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ”, hoặc

“chuồng”. Ta coi yếu tố “thỏ” là “số dư khi chia 1000 số cho 1000” còn yếu tố

“chuồng” là tập các loại số dư {1, 2, 3, 4,…, 999}.

Vận dụng các quy tắc suy diễn để giải toán

Quy tắc khẳng định

Tiền đề:

1000 con thỏ xếp vào 999 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa hai con.

1000 số dư khi chia 1000 số trong dãy cho 1000 xếp

vào 999 chuồng được đánh số {0, 1, 2, 3, …, 999}

Kết luận: Có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 1000

Quy tắc tam đoạn luận

Tiền đề:

Nếu có hai số có dạng có hiệu chia hết cho 1000 thì tồn tại một số

có dạng chia 1000 dư 1.

Nếu có một số tự nhiên chia 1000 dư 1 thì số đó có tận cùng là 001

Kết luận: nếu có hai số có dạng có hiệu chia hết cho 1000 thì có

một số có dạng có tận cùng là 001.

Giải

Xét dãy số gồm 1000 số sau: . Do (2019, 1000) = 1

nên khi chia 1000 số này cho 1000 có không quá 999 loại số dư. Theo nguyên

lý Dirichlet, có ít nhất hai số trong dãy có cùng số dư trong phép chia cho 1000.

Giả sử đó là và , . Khi đó chia hết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

cho 1000, suy ra chia hết cho 1000.

Mặt khác, nên . Từ đó suy ra

chia hết cho 1000.

Đặt , có chia hết cho 1000.

Từ đó có ba chữ số tận cùng là 001.

Từ các ví dụ trên chúng ta thấy khi giải toán ứng dụng nguyên lý

Dirichlet, HS rèn luyện được các năng lực suy luận Toán học: suy diễn, quy

nạp. Ngoài ra, việc trình bày theo cách sử dụng nguyên lý Dirichlet làm cho lời

giải ngắn gọn, rõ ràng hơn.

1.5. Thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong việc

rèn luyện năng lực suy luận toán học tại trường THCS hiện nay

1.5.1. Mục đích, mẫu khảo sát

Để đánh giá thực trạng dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet

trong việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học tại trường THCS hiện nay,

chúng tôi đã tiến hành khảo sát, điều tra 50 HS và 20 GV Toán tại trường

THCS Trần Đăng Ninh, THCS Phùng Chí Kiên.

1.5.2. Phương pháp điều tra

Dùng phiếu hỏi gửi trực tiếp đến các GV và HS. Để thuận tiện cho việc

thống kê kết quả, chúng tôi chia thành 3 nhóm câu hỏi đối với GV và một

nhóm câu hỏi đối với HS. Ba nhóm câu hỏi đối với GV gồm có: bộ thứ nhất

gồm 1 câu khảo sát năng lực suy luận của HS hiện nay; bộ thứ hai gồm 3 câu

khảo sát việc thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học hiện

này; bộ thứ ba gồm 2 câu khảo sát xem việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên

lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại có thực sự rèn luyện được năng lực suy luận

Toán học không. Nhóm câu hỏi đối với HS khảo sát việc các em có được thực

hiện rèn luyện năng lực suy luận Toán học thường xuyên không, hứng thú của

các em khi học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet.

Phỏng vấn và quan sát: Chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn một số người

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tham gia, quan sát thái độ của GV khi trả lời phiếu hỏi.

1.5.3. Phương pháp xử lý số liệu

Tính tỉ lệ phần trăm từ đó rút ra nhận xét và tổng hợp để đưa ra nhận định

khái quát.

1.5.4. Kết quả nghiên cứu

+ Năng lực suy luận Toán học của HS hiện nay

Theo phiếu khảo sát GV thì 80% GV của trường nhận định rằng năng lực

suy luận của HS ở mức độ trung bình , 20% GV nhận định ở mức độ tốt.

Theo phiếu khảo sát HS thì 10% HS lúng túng không biết trình bày bắt

đầu từ đâu, 18% HS trình bày bài toán dễ dàng, 72% HS còn cảm thấy khó

khăn khi lập luận giải toán.

Điều này cho thấy năng lực suy luận Toán học của HS chưa tốt nên khi

trình bày lời giải bài toán còn gặp nhiều khó khăn.

+ Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học

hiện nay.

Bảng 1.1. Tình hình thực hiện giảng dạy rèn luyện năng lực suy luận Toán học

Ý kiến trả lời

TT Nội dung khảo sát Thỉnh Thường Không thoảng xuyên

Mức độ thường xuyên chú ý rèn luyện năng 0% 20% 80% 1 lực suy luận Toán học cho HS

Mức độ rèn luyện các loại quy tắc suy luận 0% 70% 30% 2 suy diễn cho HS

Mức độ rèn luyện năng lực suy luận quy 3 0% 60% 40% nạp trong giải toán cho HS

Kết quả cho thấy phần lớn các thầy cô đã thường xuyên chú ý đến việc rèn

luyện năng lực suy luận toán học cho HS. Đây như là sự khẳng định lại tầm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

quan trọng của việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học cho HS.

+ Dạy học nguyên lý Dirichlet có rèn luyện được năng lực suy luận Toán

học của HS không?

100% thầy cô khẳng định rằng dạy học nội dung nguyên lý Dirichlet rèn

luyện được tốt năng lực suy luận Toán học của HS.

Tuy nhiên, 100% các thầy cô khẳng định rằng khi rèn luyện năng lực suy

luận Toán học cho HS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý

Dirichlet gây ra nhiều khó khăn khi giảng dạy: Chuẩn bị bài tốn thời gian hơn,

HS vận dụng các thao tác tư duy chưa thành thục, HS chưa nắm vững các quy

tắc suy luận logic, nội dung dạy học nhiều trong thời gian ngắn.

Những khó khăn mà GV mắc phải khi rèn luyện năng lực suy luận toán

học cho HS thông qua dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet là cơ sở

để chúng tôi đề ra các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy.

+ Khi được hỏi về mức độ yêu thích chuyên đề ứng dụng nguyên lý

Dirichlet thì 16% HS trả lời không thích, 52% HS trả lời bình thường, 32% trả

lời thích.

20% HS không nêu các suy luận để tìm lời giải, 50% thỉnh thoảng, 30%

HS thường xuyên nêu các suy luận tìm lời giải.

50% HS không suy luận quy nạp khi giải toán, 26% HS thỉnh thoảng, 24%

HS thường xuyên suy luận quy nạp khi giải.

Điều đó cho thấy HS vẫn chưa hình thành thói quen rèn luyện năng lực

suy luận Toán học khi giải toán.

1.5.5. Kết luận

Từ những kết quả khảo sát nói trên, chúng tôi rút ra một số nhận xét sau:

- Khi giải một bài toán chứng minh sự tồn tại, HS chưa biết cách tìm ra

yếu tố “chuồng” và “thỏ” để áp dụng nguyên lý Dirichlet, chưa biết cách vận

dụng các quy tắc suy luận logic để trình bày, lý giải bài toán.

- GV đã nỗ lực điều hành, định hướng và tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức

bằng phương pháp dạy học tích cực nhưng nhìn chung, việc phát huy tính tích

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

cực, chủ động của HS chưa thật hiệu quả.

- GV chưa chú ý nhiều đến cách suy luận tìm ra lời giải bài tập của HS cũng

như cho HS tự đưa ra các dạng bài tập sau mỗi bài toán có thể nghiên cứu sâu.

- Việc rèn luyện năng lực suy luận logic toán học cho học sinh thông qua

dạy học nội dung chứng minh sự tồn tại là cần thiết.

- GV cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho HS các thao tác tư duy.

- Việc rèn luyện các quy tắc suy luận logic chưa được GV chú trọng.

- Thời gian giảng dạy ít trong khi nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet

đa dạng. Điều này đòi hỏi có hệ thống bài toán tương đối đầy đủ với các kịch

bản có sẵn nhằm tối ưu hóa thời gian giảng dạy trên lớp của GV.

Như vậy, với tình hình thực tế và qua kết quả khảo sát đối với HS và GV, ta

có thể thấy rằng hầu hết GV và HS đều nhận thấy rằng việc rèn luyện năng lực

suy luận Toán học cho HS là rất cần thiết. Nếu phát huy được năng lực suy luận

Toán học cho HS sẽ giúp HS dễ dàng hiểu bài, lập luận trình bày bài toán một

cách dễ dàng. Và để rèn luyện được năng lực này cho HS bản thân GV phải có

sự tìm tòi đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp để rèn luyện cho các em HS.

1.6. Kết luận chương 1

Trong chương 1, từ việc trình bày khái niệm năng lực, năng lực toán học,

chúng tôi đã trình bày về năng lực suy luận toán học - một trong tám thành tố

của năng lực toán học. Nguyên lý Dirichlet là nội dung hay và khó xuất hiện

trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS. Chúng tôi trình bày

về nội dung nguyên lý Dirichlet, tầm quan trọng của ứng dụng nguyên lý

Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại và vị trí của nguyên lý trong

chương trình Toán THCS. Chúng tôi cũng đã lý giải việc dạy học nội dung ứng

dụng nguyên lý Dirichlet có thể rèn luyện được năng lực suy luận toán học cho

học sinh.

Bằng việc tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý

Dirichlet và việc rèn luyện năng lực suy luận toán học thông qua dạy học nội

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet, chúng tôi nhận thấy dạy học nội dung ứng

dụng nguyên lý Dirichlet rèn luyện được năng lực suy luận toán học của học

sinh và việc rèn luyện năng lực suy luận toán học thông qua dạy học nội dung

ứng dụng nguyên lý Dirichlet là cần thiết. Việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn

trong chương này là những cơ sở quan trọng để đề xuất một số biện pháp sư

phạm phát triển năng lực suy luận toán học nhằm rèn luyện năng lực suy luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

toán học của học sinh THCS.

Chương 2

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN TOÁN HỌC THÔNG QUA

DẠY HỌC NỘI DUNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG

GIẢI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHO HS THCS

Nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn

tại trong chương trình trung học cơ sở là một trong những nội dung khó. HS

không chỉ phải nắm vững nội dung nguyên lý và các quy tắc suy luận logic mà

còn phải thành thạo các kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy.

2.1. Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy

Để rèn luyện cho HS khả năng dự đoán đưa ra các giả thuyết các tính chất,

quy luật, lập luận khi giải các bài tập việc rèn luyện cho HS các thao tác tư duy

như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, tổng quát hóa…là cần thiết.

- Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng

biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần.

- Tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác

nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.

Tuy là những thao tác trái ngược nhau, phân tích và tổng hợp là hai mặt

đối lập của một quá trình thống nhất trong tư duy.

Khi giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem xét bài

toán thuộc loại gì, cần huy động kiến thức nào, có thể dùng phương pháp nào,

sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài

toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm lời

giải. Khi tìm được lời giải của các bài toán bộ phận, phải tổng hợp lại để được

lời giải của bài toán đang xét.

- So sánh là xác định sự giống và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng.

- Tổng quát hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

đến việc khảo sát một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập ban đầu làm tập con

bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất

phát. Nhờ tổng quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán.

Tổng quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn.

- Đặc biệt hóa là suy luận chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối

tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp con của tập hợp ban đầu. Đặc biệt

hóa có tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc

để tìm ra những kết quả khác.

Tổng quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư

duy thống nhất.

- Trừu tượng hóa là nêu bật, tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc

điểm không bản chất.

Ngược lại với trừu tượng hóa là cụ thể hóa. Đó cũng là hai mặt đối lập của

quá trình thống nhất trong tư duy.

- Tương tự hóa.

Nếu từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta dự đoán rằng hai đối

tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy được gọi là phép

tương tự hóa. Khi kết luận rút ra từ suy luận tương tự chỉ là một giả thiết, một

dự đoán, có thể đúng, có thể sai, nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới.

Có thể cho HS rèn luyện các thao tác tư duy theo các bước sau:

Bước 1: Xác định yếu tố “chuồng” và “thỏ” trong bài toán.

Bước 2: Trình bày lời giải

Bước 3: Nghiên cứu sâu lời giải.

Ví dụ 2.1. Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 đặt 5 điểm. Chứng

minh rằng luôn tìm được hai điểm trong số các điểm trên có khoảng cách

không vượt quá .

Tổng hợp

GV: Xác định các đối tượng xuất hiện trong bài toán.

HS: 5 điểm đặt trong hình vuông và khoảng cách giữa hai điểm trong 5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

điểm đã cho

GV: Khoanh vùng kiến thức của bài toán.

HS: Bài toán liên quan đến hình vuông, chứng minh sự tồn tại.

GV: Có thể dùng những phương pháp nào để giải bài toán.

HS: Có thể dùng nguyên lý Dirichet, phương pháp phản chứng.

Phân tích

GV: Nếu sử dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại, ta cần xác

định được yếu tố “thỏ” và “chuồng”. Theo em yếu tố “thỏ” ở bài toán là gì?

HS: Yếu tố “thỏ” là 5 điểm.

GV: Bài toán liên quan đến hình vuông, nhìn số chúng ta liên tưởng

đến điều gì?

HS: là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1.

GV Hình vuông có cạnh bằng 2, là độ dài đường chéo của một hình

vuông có cạnh bằng 1, giữa hai độ dài này có liên quan gì đến nhau không?

HS: Hình vuông có độ dài cạnh 1 có độ dài cạnh bằng một nửa độ dài

cạnh hình vuông ban đầu.

GV: Từ các phân tích trên, ta thấy cần phải phân chia hình vuông thành

một số phần, yếu tố “chuồng” chính là số phần đó. Các em đã tìm được yếu tố

“chuồng” chưa? Yếu tố “chuồng” trong bài toán là gì?

HS: Yếu tố “chuồng” trong bài toán là 4 hình vuông nhỏ khi chia đều

hình vuông ban đầu thành 4 phần bằng nhau.

GV: Tiếp theo thầy trò sẽ cùng tìm cách trình bày lời giải. (trình bày tiếp

ở mục 2.2).

Tương tự hóa

GV: Như vậy, hình vuông là hình tứ giác đều trong bài toán chúng ta đã

chia hình vuông thành bốn phần bằng nhau bằng cách nối hai trung điểm của

hai cặp cạnh đối diện. Cùng tính chất đều như hình vuông là tam giác đều, ngũ

giác đều. Hãy đặt lại bài toán với hình gốc là hình tam giác đều có độ dài cạnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

bằng 2 với cùng cách chia hình (bằng cách nối các trung điểm 3 cạnh) .

HS. Trong tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2 đặt 6 điểm bất kỳ. Chứng

minh rằng luôn tìm được 2 điểm trong 6 điểm đã cho có khoảng cách không

vượt quá 1.

Tổng quát hóa

Tăng số điểm

GV: Trong bài toán ta đã đặt 5 điểm vào hình vuông. Vậy nếu ta thêm số

điểm thành 9 điểm thì bài toán biến đổi như thế nào?

HS: Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 9 điểm. Chứng minh rằng luôn

tồn tại 3 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

GV: Hãy đặt lại bài toán với 13, 17 điểm trong hình vuông.

HS: Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 13 điểm. Chứng minh rằng luôn

tồn tại 4 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 17 điểm. Chứng minh rằng luôn tồn

tại 5 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

Quy nạp

GV: Hãy phát biểu bài toán tổng quát.

HS: Trong hình vuông có cạnh bằng 2 đặt 4n+1 điểm. Chứng minh rằng luôn

tồn tại n+1 điểm trong đó luôn có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

Thay đổi cách chia hình vuông

GV: Trong bài toán chúng ta đã chia hình vuông thành 4 phần bằng nhau

bằng cách chia mỗi cạnh thành hai phần bằng nhau. Bài toán sẽ thay đổi ra sao

nếu ta chia hình vuông có độ dài cạnh bằng 3 thành 3 phần.

HS: Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 3 đặt 10 điểm. Chứng minh

rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

GV: Hãy đặt lại bài toán bằng cách chia cạnh hình vuông có độ dài cạnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

bằng thành 4, 5 phần bằng nhau.

HS: Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng đặt 17 điểm. Chứng minh

rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng đặt 26 điểm. Chứng minh rằng

luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

Quy nạp

GV: Hãy tổng quát hóa bài toán.

HS: Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng đặt điểm. Chứng minh

rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách đến nhau không vượt quá .

Trong hình vuông có cạnh , đặt điểm điểm đặt bất kì, phân biệt.

Chứng minh rằng có ít nhất n trong số m điểm đó nằm trong một hình tròn bán

kính . (trong đó kí hiệu [a] là phần nguyên của a).

Đặc biệt hóa

GV: Chúng ta thấy rằng yếu tố “Khoảng cách giữa hai điểm không vượt

quá ” bao gồm các tình huống:

Hai điểm bị phủ trong một đường tròn có diện tích .

Hai điểm nằm trong một tam giác đề có diện tích không vượt quá .

Hãy phát biểu lại bài toán bằng cách đưa các tình huống trên vào bài.

HS:

Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 đặt 9 điểm. Chứng minh rằng

luôn tìm được ba điểm trong số các điểm trên có diện tích không vượt quá .

Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 đặt 25 điểm. Chứng minh rằng

luôn tìm được 7 điểm trong số các điểm trên phủ trong một đường tròn có diện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tích không vượt quá .

Trừu tượng hóa

GV: Ta đã biết hình vuông là một tứ giác đều. Vậy bài toán có còn đúng

không đối với các đa giác đều khác: tam giác đều, ngũ giác đều, lục giác đều. Có

một hình được coi như “đều nhất” là hình tròn, bài toán liệu còn đúng không?

Các em hãy đặt một bài toán chia hình tròn có bán kính bằng 1 thành 4

phần bằng nhau bởi hai đường kính vuông góc.

HS: Trong hình tròn có bán kính bằng 1, đặt 5 điểm. Chứng minh rằng luôn

tìm được hai điểm trong số 5 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá .

Trong hình tròn có bán kính bằng 1, đặt điểm. Chứng minh rằng luôn

tìm được hai điểm trong số các điểm đã cho phủ trong một hình tròn có diện

tích không vượt quá .

2.2. Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic

Các bài toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại đòi hỏi

HS cần tìm kiếm nhiều thông tin để tham gia trong quá trình lập luận. Vì vậy

quy tắc logic được HS vận dụng trong quá trình lập luận phải chính xác. Vì vậy

việc rèn luyện cho HS các quy tắc logic là rất quan trọng trong việc rèn luyện

năng lực suy luận Toán học. Những quy tắc logic thường không được trình bày

một cách tường minh trong nội dung môn Toán ở trường THCS, HS lĩnh hội

chúng thông qua những trường hợp cụ thể.

Các quy tắc thường dùng nhiều là: quy tắc khẳng định có sơ đồ ,

quy tắc phủ định có sơ đồ , quy tắc tam đoạn luận có sơ đồ .

Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc logic thường dùng trên, GV

cần quan tâm dùng những ví dụ cụ thể bác bỏ những sai lầm do HS thường hay

ngộ nhận như hay . Mặt khác cần rèn luyện cho HS những quy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tắc ăn khớp với những hoạt động đó.

Xét lại ví dụ 2.1. Trong hình vuông có độ dài cạnh bằng 2 đặt 5 điểm.

Chứng minh rằng luôn tìm được hai điểm trong số các điểm trên có khoảng

cách không vượt quá .

GV: Chúng ta đã tìm được yếu tố “thỏ” và “chuồng”. Bây giờ các em hãy

trình bày lời giải bài toán.

HS: (Lúng túng)

GV: Các em hãy cho biết quy tắc mà chúng ta đã sử dụng trong suy luận

dưới đây

Tiền đề:

5 con thỏ xếp vào 4 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa hai con

(nguyên lý Dirichlet).

5 điểm xếp vào 4 hình vuông

Kết luận: Có ít nhất hai điểm nằm trong một hình vuông.

HS: Quy tắc khẳng định

GV: Các em hãy cho biết quy tắc mà chúng ta đã sử dụng trong suy luận

dưới đây:

Tiền đề

Hai điểm nằm trong một hình vuông cạnh 1 có độ dài không vượt quá độ

dài đường chéo.

Độ dài đường chéo hình vuông cạnh 1 có độ dài bằng .

Kết luận: Hai điểm nằm trong hình vuông cạnh 1 có độ dài không vượt

quá

HS: Quy tắc tam đoạn luận

GV: Nào các em hãy trình bày bài toán.

Chia hình vuông có cạnh 2 thành 4 hình vuông bằng nhau có cạnh 1 bằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

cách nối hai trung điểm hai cạnh đối diện.

Có 5 điểm đặt trong 4 hình vuông nhỏ nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại

1 hình vuông cạnh 1 chứa 2 điểm trong 5 điểm đã cho.

Khoảng cách của hai điểm này không vượt quá độ dài đường chéo hình

vuông nhỏ. Mà độ dài đường chéo hình vuông nhỏ bằng . Suy ra khoảng

cách của hai điểm không vượt quá .

Vậy trong 5 điểm luôn tìm được hai điểm có khoảng cách của hai điểm

không vượt quá .

2.3. Rèn luyện cho học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong

bài toán

Nội dung nguyên lý phát biểu ở dạng đơn giản: Nếu nhốt ba con thỏ vào

hai cái chuồng thì tồn tại một chuồng nhốt ít nhất hai con thỏ.

Như vậy trong bài toán chứng minh sự tồn tại, việc phát hiện ra yếu tố

“chuồng” và “thỏ” mang tính chất quyết định xem có giải quyết được bài toán

hay không.

Muốn phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng”, HS cần thực hiện các bước:

Bước 1: HS cần chỉ ra được các đối tượng xuất hiện trong bài toán

Bước 2: HS chỉ ra số lượng của từng tập đối tượng xuất hiện trong bài toán.

Bước 3: Tập đối tượng nào có nhiều phần tử hơn, ta coi đó là yếu tố “thỏ”,

tập nào có ít phần tử hơn, ta coi đó là yếu tố “chuồng”.

Ví dụ 2.2 Có 8 người cùng ngồi vào một bàn tròn. Chứng minh rằng trong

số họ có ít nhất hai người sinh cùng ngày trong tuần.

Phân tích

Đối tượng của bài toán: người, ngày trong tuần.

Số lượng của từng loại đối tượng: 8 người, 7 ngày trong tuần.

Các đối tượng trong giả thiết bài toán chia làm hai tập hợp: Tập A gồm 8

người, tập B gồm 7 ngày trong 1 tuần.

So sánh số phần tử ta thấy 8 > 7 nên yếu tố “chuồng” là 7 ngày trong tuần

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

“thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật”.

Yếu tố “thỏ” là “8 ngày sinh của 8 người”.

Như vậy theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ tồn tại ít nhất hai người có cùng

ngày sinh trong tuần.

Ở ví dụ 2.2, yếu tố “thỏ” và “chuồng” tương đối dễ nhận thấy, học sinh sẽ

hiểu ngay. Để giúp học sinh củng cố việc phát hiện những yếu tố này, giáo viên

có thể yêu cầu chia lớp thành các nhóm và giao nhiệm vụ cho các nhóm: Hãy

đề xuất bài toán nếu thay yếu tố “chuồng” từ ngày trong tuần thành ngày trong

tháng, tháng trong năm và yếu tố “thỏ” vẫn là học sinh. Sau đó mỗi nhóm sẽ

làm bài của nhóm khác rồi trình bày lập luận trên bảng để các nhóm đánh giá.

Ví dụ 2.3. Trường học có 370 học sinh. Chứng minh rằng trong số các em

đó, luôn có hai em có cùng ngày sinh.

Yếu tố “chuồng” là “365 ngày của năm”.

Yếu tố “thỏ” là “370 học sinh”

Ví dụ 2.4. Trong lớp có 13 học sinh. Chứng minh rằng trong số các em

đó, luôn có hai em sinh cùng tháng.

Yếu tố “chuồng” là “12 tháng của năm”

Yếu tố “thỏ” là “13 học sinh”.

Cách làm trên giúp cho học sinh từ người học, giải toán trở thành người ra

đề và trình bày, thuyết phục đám đông.

Cùng phương pháp đặt vấn đề, giáo viên có thể đưa ra thêm một số ví dụ

sau để học sinh luyện tập.

Ví dụ 2.5. Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số

tự nhiên có hiệu chia hết cho 5

Yếu tố “chuồng” là {0, 1, 2, 3, 4}

Yếu tố “thỏ” là “Số loại phần dư khi chia 6 số tự nhiên cho 5”

Ví dụ 2.5 là ví dụ trong phần số học, Việc phát hiện “thỏ” và “chuồng” khó

hơn so với ví dụ 2.4. Tiếp theo, giáo viên yêu cầu học sinh thay dữ kiện “chia hết

cho 5” thành chia hết cho 10, 100 xem bài toán có thể đưa đến đâu? Học sinh có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tìm được yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong các bài toán mình đưa ra không?

Ví dụ 2.6. Chứng minh trong 11 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số có

cùng chữ số tận cùng.

Yếu tố “chuồng” là {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Yếu tố “thỏ” là “Số loại phần dư khi chia 11 số tự nhiên cho 10”

Cách đặt vấn đề được chuyển từ “tồn tại hai số tự nhiên có hiệu chia hết

cho 5” thành “hai số tự nhiên có cùng chữ số tận cùng” bởi hai chữ số có hiệu

chia hết cho 10 thì có cùng chữ số tận cùng. Từ đây, theo suy luận quy nạp, học

sinh có thể mở rộng bài toán ra thành:

Ví dụ 2.7. Chứng minh trong 21 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại ba số có

cùng chữ số tận cùng.

Yếu tố “chuồng” là {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Yếu tố “thỏ” là “Số loại phần dư khi chia 21 số tự nhiên cho 10”

Ví dụ 2.8. Chứng minh trong 101 số tự nhiên lớn hơn 9 bất kỳ luôn tồn tại

hai số có cùng hai chữ số tận cùng.

Yếu tố “chuồng” là 100 bộ hai chữ số tận cùng

{00, 01, 02, 03, 04, 05, …98, 99}

Yếu tố “thỏ” là “Số loại phần dư khi chia 101 số tự nhiên cho 100”

Vẫn ý tưởng trên, nhưng bài toán dưới đây, ẩn luôn vấn đề “hai chữ số có

hiệu chia hết cho 100”.

Ví dụ 2.9. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự nhiên có dạng có

hai chữ số tận cùng là 01.

Yếu tố “thỏ” là dãy số dư khi chia các số cho 100

Yếu tố “chuồng” là “0, 1, ..., 99”.

Ví dụ 2.10. Trong hình vuông đơn vị (độ dài cạnh bằng 1) đặt 5 điểm.

Chứng minh rằng luôn tìm được một đoạn thẳng nối hai điểm trong số các điểm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

trên có độ dài không vượt quá

Hình 2.1

Đây là bài toán có nội dung hình học,

Yếu tố “thỏ” là 5 điểm cho trước

Yếu tố “chuồng” là bốn phần bằng nhau của hình vuông ban đầu chia ra

(hình vẽ). Theo nguyên lý Dirichlet luôn tồn tại hai điểm trong 5 điểm đã cho

nằm trong một hình vuông nhỏ với khoảng cách hai điểm đó không vượt quá

độ dài đường chéo của hình vuông nhỏ đó.

2.4. Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải

toán chứng minh sự tồn tại

Chúng tôi đã xây dựng được hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý

Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại. Hệ thống bài toán được sắp xếp

theo từng phần: số học, hình học, theo trình tự từ dễ đến khó, từ đơn giản đến

khái quát hóa.

2.4.1. Xây dựng bài toán số học

Bài toán 2.1

Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111...1 chia hết cho 2019.

Phân tích

HS có thể loay hoay theo cách truyền thống là tìm lời giải xuất phát từ dấu

hiệu chia hết cho 2019.

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng: tập tất cả các số gồm toàn

chữ số 1, 2019 số dư khi chia một số cho 2019.

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp:

Tập hợp A gồm 2020 số tự nhiên có dạng 1, 11, 111, 111…1. Tập B gồm 2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

số dư {0, 1, 2, 3, 4, 2018} khi chia một số bất kỳ trong tập A cho 2019.

- So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ”, hoặc

“chuồng”. Ta coi yếu tố “thỏ” là tập 2020 số có dạng 1, 11, 111, …, 111…1

(2020 chữ số 1), yếu tố “chuồng” là là tập các số dư {0, 1, 2, …, 2018}.

- GV: Dựa vào nguyên lý Dirichlet ta suy ra điều gì?

HS: tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2019.

- GV: Hiệu hai số có cùng số dư đó có tính chất gì?

Từ đó đã suy ra kết luận của bài toán chưa?

Giải

Xét dãy số 1, 11, 111,...,

Nếu dãy trên có số chia hết cho 2019 thì kết thúc chứng minh.

Nếu dãy trên không có số chia hết cho 2019 thì xét tập hợp các số dư khi

chia 2019 số trên cho 2019. Tập hợp số dư có thể thuộc tập hợp {1, 2, 3,...,

2018}. Như vậy 2019 số trong dãy số trên tương ứng với không quá 2018 loại

số dư, theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho

2019. Giả sử các số đó là 111...1 (m chữ số 1) và số 111....1 (n chữ số 1) với

. Từ đó ta có:

mà (2019; 10) = 1, nên

Do nên là một số thuộc dãy trên mẫu thuẫn với giả

thiết không có số nào trong dãy chia hết 2019.

Sau khi giải xong bài toán, giáo viên có thể hỏi tiếp một số câu hỏi sau:

Nếu thay số 2019 bởi số khác có được không?

Trong bài toán trên, nếu thay chữ số 1 bởi chữ số khác có được không?

Tại sao?

Bài toán 2.1.1 Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên gồm toàn chữ số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

5 chia hết cho 2019.

Bài toán 2.1.2 Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên gồm toàn chữ số

9 chia hết cho 20192019

Bài toán 2.1.3

Cho là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số gồm

toàn chữ số 1 mà chia hết cho p.

Bài toán 2.1.4

Cho số tự nhiên m không chia hết cho 2 và 5 và số nguyên dương p nhỏ

hơn 10 . Chứng minh rằng có thể tìm được số tự nhiên gồm toàn chữ số p chia

hết cho m.

Bài toán 2.2.

Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ luôn tồn tại hai số tự nhiên có

tổng hoặc hiệu chia hết cho 10

Phân tích

- Xác định đối tượng của bài toán: Số tự nhiên, tính chia hết.

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng: 7 số, tính chia hết cho 10.

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp:

Tập hợp A gồm 7 số tự nhiên bất kỳ. Khi chia cho 10 thì được các số dư {0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, theo đề bài ta cần xét tổng hoặc hiệu nên tập B gồm các

nhóm số dư {0}, {1, 9}, {2,8}, {3,7} , {4, 6}, {5}.

- So sánh số phần tử của hai tập hợp để gán mỗi tập hợp với “thỏ”, hoặc

“chuồng”. Ta coi yếu tố “thỏ” là 7 số đã cho còn yếu tố “chuồng” là các phần

tử của tập B.

- Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai trong 7 số cùng một nhóm trong tập

B, tổng hoặc hiệu hai số đó chia hết cho 10.

Giải

Khi chia 7 số tự nhiên bất kỳ cho 10 được các số dư thuộc tập hợp {0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7 ; 8 ; 9}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Xét 6 nhóm số dư : {0} , {1 ; 9}, {2 ; 8}, {3 ; 7}, {4 ; 6}, {5}

Vì có 7 số tự nhiên khi chia 10 thu được 7 số dư nhưng chỉ có 6 nhóm số

dư nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại hai số thuộc cùng một nhóm số dư.

Nếu hai số dư cùng thuộc vào một trong hai nhóm {0} và {5} thì cả tổng

và hiệu hai số đó chia hết cho 10.

Nếu hai số dư thuộc vào một trong các nhóm còn lại thì có hai trường hợp:

Nếu chúng bằng nhau thì hiệu của hai số có hai số dư đó chia hết cho 10.

Nếu chúng khác nhau thì tổng của hai số có hai số dư đó chia hết cho 10.

Đây là hai số cần tìm vì nếu hai số này có cùng loại số dư khi chia cho 10

thì hiệu của chúng chia hết cho 10, còn nếu hai số không cùng loại số dư khi

chia cho 10 thì tổng của chúng chia hết cho 10.

Sau khi giải xong bài toán ta có thể hỏi một số câu hỏi sau:

Cần ít nhất bao nhiêu số nguyên dương bất kỳ để luôn có thể tìm được 2

số sao cho tổng hoặc hiệu chia hết cho 100?

Bài toán 2.2.1

Chứng minh rằng từ 52 số nguyên dương bất kỳ luôn có thể tìm được 2 số

sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100.

Bài toán 2.2.2

Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lớn hơn 0, trong số tự nhiên

bất kỳ luôn tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho .

Bài tập vận dụng

Bài toán 2.3

Chứng minh rằng với một số nguyên dương n bất kỳ luôn tìm được một số

gồm toàn chữ số 1 và chữ số 0 chia hết cho n.

Bài toán 2.3.1

Cho số nguyên dương p nhỏ hơn 10. Chứng minh rằng với mọi số

nguyên dương n bất kỳ luôn tìm được một số gồm toàn chữ số p và chữ số 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chia hết cho n.

Bài toán 2.4

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho chia hết cho 100.

Bài toán 2.4.1

Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương sao cho chia hết cho 1000.

Bài toán 2.4.2

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên sao cho chia hết cho 2017.

Bài toán 2.4.3

Cho và . Chứng minh rằng tồn tại số sao cho

Bài toán 2.5

Cho 10 số tự nhiên bất kỳ . Chứng minh rằng tồn tại một số tự

nhiên chia hết cho 10 hoặc tổng của một số số chia hết cho 10

Bài toán 2.5.1

Chứng minh rằng với số nguyên dương n bất kỳ thì trong n số tự nhiên bất

kỳ luôn tồn tại một số hoặc một số số có tổng chia hết cho n.

Bài toán 2.6

Cho 19 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh tồn tại một số có tổng các chữ

số chia hết 10.

Bài toán 2.6.1

Cho 39 số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng tồn tại một số có tổng các

chữ số chia hết cho 11.

Bài toán 2.6.2

Cho số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng tồn tại một số có

tổng các chữ số chia hết cho 2017.

Bài toán 2.7 (HSG Nam Định 2018)

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 2017 mà có tổng các

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chữ số chia hết cho 2017.

Bài toán 2.7.1

Cho số nguyên dương m bất kỳ. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số tự

nhiên chia hết cho m có tổng các chữ số chia hết cho m.

Bài toán 2.8

Cho mười số nguyên dương 1, 2, ..., 10. Sắp xếp mười số đó một cách tùy

ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được mười

tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận

cùng giống nhau.

Bài toán 2.8.1

Cho 100 số nguyên dương 1, 2, ..., 100. Sắp xếp 100 số đó một cách tùy ý

thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được 100

tổng. Chứng minh rằng trong 100 tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có 02 chữ số

tận cùng giống nhau.

Bài toán 2.9 (HSG Nam Định 2004 - 2005)

a) Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 3 số có tổng

chia hết cho 3.

b) Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 6 số có

tổng chia hết cho 6.

Bài toán 2.10

Cho X là một tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số

không lớn hơn 2006. Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử

sao cho

thuộc tập hợp

.

Bài toán 2.10.1

Cho X là một tập hợp gồm 507 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số

không lớn hơn 2017. Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử

sao cho

thuộc tập hợp

.

Bài toán 2.11

Cho

là các số nguyên. Chứng minh rằng tích

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Bài toán 2.11.1

Cho 5 số nguyên phân biệt

. Xét tích:

P =

Chứng minh: P 288

2.4.2. Xây dựng bài toán hình học

Bài toán 2.12

Trong một tam giác đều, độ dài cạnh bằng 4, đặt 2017 điểm mà không có

ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 505 điểm mà cứ 3 điểm trong

đó tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá .

Phân tích

Một tam giác đều có diện tích không vượt quá thì có cạnh không vượt quá 2.

Để có được “tồn tại 505 điểm mà cứ 3 điểm trong đó thì tạo thành một tam giác

có diện tích không vượt quá ” thì ta coi tập hợp 2017 điểm là tập hợp “thỏ”.

Với lưu ý 2017 = 504.4+1, độ dài cạnh bằng 4 và “tam giác đều có diện

tích không vượt quá thì có cạnh không vượt quá 2” ta suy ra cách chia

“chuồng”. Chia tam giác đều thành 4 phần bằng nhau bởi ba đường trung bình

của tam giác.

Giải

Hình 2.2

Chia tam giác đều ABC thành 4 tam giác đều như hình vẽ (M, N, P lần

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

lượt là trung điểm của AB, BC, CD). Diện tích mỗi tam đều nhỏ này là

Có 2017 điểm đặt trong 4 hình tam giác đều, theo nguyên lý Dirichlet tồn

tại 505 điểm cùng thuộc một tam giác đều nhỏ, tam giác tạo bởi ba điểm bất kỳ

trong 505 điểm đó không vượt quá diện tích tam giác đều nhỏ là .

Sau khi giải xong bài toán, GV hỏi tiếp một số câu hỏi:

Nếu với cách chia chuồng thành 4 phần bằng nhau như bài toán thì số

điểm cho của giả thiết có thể thay bằng bao nhiêu điểm?

Liệu có thể chỉ thay kết luận “3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích

không vượt quá ” không?

Hãy phát biểu bài toán khi thay đổi cách chia tam giác đều: thay vì chia

tam giác đều thành 4 phần bằng nhau, chúng ta chia tam giác đều thành 9 phần,

12 phần.

Bài toán 2.12.1.

Trong một tam giác đều, độ dài cạnh bằng 4, đặt điểm mà không có ba

điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại điểm mà cứ 3 điểm trong

đó tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá .

Bài toán 2.12.2

Trong một tam giác đều, độ dài cạnh bằng 2, đặt 5 điểm. Chứng minh rằng tồn

tại 2 điểm trong 5 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá 1.

Bài toán 2.12.3

Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều có

cạnh bằng 6cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã

cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá cm.

Bài toán 2.13.

Trong hình vuông đơn vị (độ dài cạnh bằng 1) đặt 9 điểm. Chứng minh

rằng luôn tìm được ba điểm trong số các điểm trên tạo thành một tam giác có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

diện tích không vượt quá .

Phân tích

Một tam giác có diện tích không vượt quá nằm trọn vẹn trong hình

vuông có cạnh bằng bao nhiêu? Trả lời:

Yếu tố “thỏ” là 9 điểm.

Từ giả thiết “cạnh hình vuông bằng 1”, 9 = 4.2+1, “tam giác có diện tích

không vượt quá nằm trọn vẹn trong hình vuông có cạnh bằng ” ta đã suy ra

được yếu tố “chuồng” chưa? Trả lời: yếu tố “chuồng” là 4 hình vuông khi chia

hình vuông ban đầu thành 4 phần bằng nhau

Giải

Hình 2.3

Chia hình vuông có cạnh 1 thành 4 hình vuông có cạnh như hình vẽ.

Có 9 điểm đặt trong 4 hình vuông nên tồn tại 1 hình vuông cạnh chứa 3 điểm

trong 9 điểm đã cho. Diện tích tam giác tạo bởi ba điểm này không vượt quá

một nửa diện tích hình vuông nên diện tích tam giác không vượt quá

Sau khi giải xong bài toán, GV đặt một số câu hỏi cho HS:

- Vẫn với cách chi hình vuông thành 4 phần bằng nhau và thay đổi số

điểm giả thiết là 2019 thì có thể chọn được nhiều nhất từ bao nhiêu điểm trong

2019 điểm đã cho mà ba điểm bất kỳ trong các điểm đó đều tạo thành tam giác

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

có diện tích không vượt quá .

- Hãy đặt lại bài toán với giả thiết là 2019 điểm và chia hình vuông thành

9 phần bằng nhau.

- Hãy tổng quát hóa bài toán.

- Hãy đặt lại bài toán thay đổi số điểm và cách chia hình vuông.

Bài toán 2.13.1

Trong hình vuông đơn vị (độ dài cạnh bằng 1) đặt 2019 điểm. Chứng

minh rằng luôn tìm được 505 điểm trong số các điểm đã cho mà ba điểm bất kỳ

trong đó tạo thành một tam giác có diện tích không vượt quá .

Bài toán 2.13.2

Trong hình vuông đơn vị (độ dài cạnh bằng 1) đặt 51 điểm. Chứng minh

rằng luôn tìm được ba điểm trong số các điểm trên tạo thành một tam giác có

diện tích không vượt quá .

Bài toán 2.13.3

Trong hình vuông đơn vị (độ dài cạnh bằng 1) đặt 2n2+1 điểm. Chứng

minh rằng luôn tìm được ba điểm trong số các điểm trên tạo thành một tam giác

có diện tích không vượt quá

Bài toán 2.13.4

Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 2017 điểm. Chứng minh rằng

có ít nhất 21 điểm được phủ bởi hình tròn bán kính .

Bài toán 2.13.5

Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có điểm, . Chứng

minh rằng có ít nhất điểm được phủ bởi hình tròn bán kính .

Bài toán 2.13.6.

Trong hình vuông ABCD có AB = 14cm đánh dấu 76 điểm phân biệt.

Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2cm chứa trong nó ít nhất

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

4 điểm trong số các điểm trên.

Bài toán 2.13.7

Trong hình vuông có cạnh , đặt điểm điểm đặt bất kì, phân biệt.

Chứng minh rằng có ít nhất n trong số m điểm đó nằm trong một hình tròn bán

kính . ( trong đó kí hiệu [a] là phần nguyên của a).

Bài toán 2.14. Cho 2019 đường thẳng cùng có tính chất: chia hình vuông

thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất 505

đường thẳng trong 2019 đường thẳng trên đồng quy.

Phân tích

Bài toán phụ: Chứng minh rằng một đường thẳng bất kỳ chia hình vuông cho

trước thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng luôn đi qua một điểm cố định.

Trong bài toán phụ có mấy điểm cố định? Trả lời: 4

Yếu tố “thỏ” là 2019 điểm.

Từ 2019 = 504.4+3 và một đường thẳng bất kỳ sẽ đi qua một trong bốn

điểm cố định ta đã xác định được yếu tố “chuồng” chưa? Trả lời: Yếu tố

“chuồng” là 4 điểm cố định.

Giải

Các đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác nên chúng không thể

cắt hai cạnh kề của hình vuông và không đi qua đỉnh nào của hình vuông.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Hình 2.4

Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối AD và BC tại M và N. Ta có

(E,F,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh hình vuông. I,K,G,H lần lượt là

những điểm thỏa mãn )

Từ lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài

đều đi qua một trong 4 điểm G, H, I, K nói trên.

Do có 2019 đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ít nhất

505 đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm G,H, I, K nói trên.

Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2019 đường thẳng đã cho đồng quy.

Sau khi giải xong bài toán, GV có thể hỏi thêm một số câu hỏi sau:

Tính chất: đường thẳng bất kỳ chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ cho

trước luôn đi qua một điểm cố định có còn đúng đối với hình gì khác nữa? Trả

lời: hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành.

Hãy đặt lại bài toán bằng cách thay đổi giả thiết và chuyển từ hình vuông

sang hình bình hành.

Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài toán 2.14.1

Cho 101 đường thẳng cùng có tính chất: chia hình chữ nhật thành hai hình

thang có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất 26 đường thẳng

trong 100 đường thẳng đã cho đồng quy.

Bài toán 2.14.2.

Cho n đường thẳng ( ) cùng có tính chất: chia hình bình hành

thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

có ít nhất đường thẳng trong n đường thẳng trên đồng quy.

Bài tập vận dụng

Bài toán 2.15.

Trong hình chữ nhật 3x4 đặt sáu điểm. chứng minh rằng trong số đó luôn

tìm được hai điểm có khoảng cách giữa chúng không lớn hơn

Bài toán 2.15.1

Trong hình vuông 5x5 đặt 2017 điểm. chứng minh rằng trong số đó luôn

tìm được 337 điểm thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong 337 điểm

đó không lớn hơn

Bài toán 2.16

Trong một hình vuông có cạnh là 1m, người ta đặt các đường tròn bằng

nhau có độ dài bằng 1 và có tổng các độ dài của chúng bằng 10. Chứng minh

rằng có thể tìm được một đường thẳng song song với cạnh của hình vuông mà

trên đường thẳng đó có những điểm chung của ít nhất 4 đường tròn đã cho.

Bài toán 2.16.1

Cho hình vuông có cạnh 1 chứa một số đường tròn. Tổng độ dài của các

đường tròn là 10. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng mà nó cắt ít nhất

bốn trong những đường tròn này (giả sử số đường tròn đã cho lớn hơn hoặc

bằng 4).

Bài toán 2.17

Trong một cái bát hình vuông cạnh 14 cm có 82 hạt vừng. Chứng minh

rằng tồn tại hai hạt vừng có khoảng cách tới nhau nhỏ hơn 2 cm.

Bài toán 2.17.1

Trong một hình vuông cạnh m, đặt điểm. Chứng minh rằng

tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 2.

Bài toán 2.18

Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 cho trước 33 điểm trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính bằng

, có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói

trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của ba hình tròn có các tâm cũng

chính là ba điểm đó.

Bài toán 2.19

Bên trong đường tròn có bán kính 10, có 40 đoạn thẳng có độ dài 1.

Chứng minh rằng có thể dựng được một đường thẳng d hoặc là song song hoặc

là vuông góc với một đường thẳng l cho trước, sao cho d cắt ít nhất là hai đoạn

thẳng đã cho.

Bài toán 2.19.1

Cho hình tròn có bán kính n, ở đây n là số nguyên dương. Trong hình tròn

có 4n đoạn thẳng đều có độ dài bẳng 1. Cho trước một đường thẳng d. Chứng

minh rằng tồn tại đường thẳng d’ hoặc song song với d, hoặc là vuông góc với

d sao cho d’ cắt ít nhất hai đoạn thẳng đã cho.

Bài toán 2.20

Cho 2017 điểm trên mặt phẳng. Vẽ một đường tròn bán

kính 1 tùy ý. Chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho

.

Bài toán 2.20.1

Cho n điểm trên mặt phẳng. Vẽ một đường tròn bán kính 1 tùy ý. Chứng

minh rằng tồn tại một điểm trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ điểm

đó đến n điểm đã cho không vượt quá n.

Bài toán 2.21

Trong mặt phẳng cho 10 đường thẳng phân biệt, đôi một cắt nhau. Chứng

minh rằng tồn tại ít nhất hai đường thẳng mà góc tạo bởi chúng không lớn hơn 180.

Bài toán 2.21.1

Trên mặt phẳng cho n đường thẳng từng đôi một không song song với

nhau. Chứng minh rằng có một góc giữa hai đường thẳng nào đó trong số đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

không lớn hơn .

2.5. Kết luận chương 2

Từ thực trạng dạy học nội dung nguyên lý Dirichlet đã trình bày trong

chương 1, chương 2 chúng tôi đã đề xuất được một số biện pháp sư phạm nhằm

góp phần phát triển năng lực suy luận toán học cho học sinh trong dạy học nội

dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại. Biện pháp thứ nhất:

Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy. Biện pháp thứ hai:

Rèn luyện cho HS các quy tắc suy luận logic. Biện pháp thứ ba: Rèn luyện cho

học sinh biết phát hiện yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong bài toán. Biện pháp thứ

tư: Xây dựng hệ thống bài toán vận dụng nguyên lý Dirichlet trong giải toán

chứng minh sự tồn tại.

Các biện pháp, hệ thống bài tập áp dụng được trong cả các tiết lý thuyết và

bài tập, giúp HS chủ động nắm vững, tiếp thu kiến thức một cách sáng tạo. Nội

dung chương này được thiết kế nhằm định hướng cho quá trình thực nghiệm sư

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

phạm ở chương 3.

Chương 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm

Để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm nhằm rèn

luyện năng lực suy luận Toán học cho HS THCS thông qua dạy học nội dung

ứng dụng nguyên lý Dirichlet đã trình bày trong luận văn.

3.2. Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm

3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm

Các tiết thực nghiệm được thiết kế và hướng dẫn HS giải toán ứng dụng

nguyên lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại trong chương trình toán học THCS.

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành đối với học sinh lớp 8 của trường THCS

Trần Đăng Ninh - thành phố Nam Định.

Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu và hai thầy cô: Cô Đoàn Thị Hảo dạy

lớp thực nghiệm, thầy Phan Minh Vũ dạy lớp đối chứng, chúng tôi đã tiến hành

thực nghiệm sư phạm. Ở các lớp thực nghiệm, GV dạy theo bài soạn thực

nghiệm đã soạn.

GV sử dụng phương pháp dạy học thông thường đối với lớp đối chứng.

GV dạy theo bài thực nghiệm, chú ý rèn luyện năng lực suy luận Toán học

cho HS đối với lớp thực nghiệm.

Trong các giờ dạy học thực nghiệm, chúng tôi xây dựng mục tiêu giờ học

cho cả lớp học, các nội dung giờ học lựa chọn cho phù hợp đáp ứng mục tiêu đã

đề ra. Để có mục tiêu phù hợp chung cho đa số HS, chúng tôi dựa trên các cơ sở:

+ Mục tiêu giáo dục.

+ Khối lượng và mức độ kiến thức, kỹ năng HS đã có trên cơ sở khảo sát

bằng các phiếu hỏi, qua quan sát, qua xem xét môi trường sống của HS.

+ Căn cứ vào chuẩn kiến thức được quy định trong tài liệu chỉ đạo chuyên môn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

+ Yêu cầu bài học theo cách dành cho GV.

3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm

Căn cứ vào yêu cầu của luận văn, chúng tôi tiến hành thực nghiệm vào

một số buổi dạy chuyên đề 8 từ tháng 1/2019 đến tháng 3/2019 của hai lớp

8A3, 8A4 của trường THCS Trần Đăng Ninh, thành phố Nam Định.

3.2.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Hiệu quả của việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học được chúng tôi

đánh giá dựa trên cơ sở:

- Sự hiểu biết của HS về kiến thức đã học.

- Kiểm tra kiến thức từng cá nhân HS của lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng thông qua bài kiểm tra tự luận sau nội dung thực nghiệm.

- Sử dụng phiếu khảo sát dành cho HS với các câu hỏi kiểm tra sự hiểu

biết của HS về nội dung kiến thức, khả năng thể hiện mình của từng HS.

- Sự tiến bộ của HS trong học tập nói chung: Thông qua quan sát và đánh

giá của các GV khác, qua phụ huynh HS thông qua học tập, rèn luyện ở trường

cũng như ở nhà.

Để đánh giá những nội dung trên, chúng tôi sử dụng các công cụ:

Kiểm tra tự luận: Nhằm đánh giá mức độ lĩnh hội bài học của HS qua các

buổi học chuyên đề. Kiểm tra kiến thức của từng cá nhân của lớp thực nghiệm

và lớp đối chứng thông qua bài kiểm tra tự luận. Nội dung kiểm tra dựa vào các

câu hỏi trong tài liệu chuyên Toán và mục tiêu giờ học trong kế hoạch bài học.

Tất cả các bài kiểm tra được một người chấm theo thang điểm thống nhất từ 0

đến 10. Kết quả những bài kiểm tra này được xử lí theo điểm số trung bình

cộng của cả đợt. Kiểm tra nhằm:

+ Đánh giá mức độ tiếp thu bài giảng, khả năng hiểu bài, ...

+ Đánh giá khả năng vận dụng vào một số tình huống sáng tạo cũng như

khả năng áp dụng lý thuyết để giải các bài tập cụ thể.

Phiếu khảo sát dành cho HS: Để đánh giá mức độ nhận thức, nắm bắt và

thể hiện của HS về nội dung bài học, chúng tôi sử dụng phiếu hỏi, bài làm tự

luận. Sử dụng phiếu khảo sát dành cho HS với các câu hỏi kiểm tra sự hiểu biết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

của HS về nội dung bài học.

Quan sát trong lớp học: Tất cả các giờ học ở các lớp thực nghiệm và các

lớp đối chứng đều được quan sát về các hoạt động của GV và HS gồm:

+ Mức độ tích cực học bài và hiểu bài thông qua kết quả kiểm tra bài cũ,

kiểm tra vở ghi chép.

+ Trình tự lên lớp của GV, sự điều khiển và gợi ý cho các hoạt động của

HS của GV.

+ Tính tích cực của HS trong giờ học, sự tập trung và nghiêm túc, số

lượng và chất lượng của các câu trả lời của HS trong giờ học.

+ Mức độ đạt được của các mục tiêu bài dạy thông qua các câu hỏi của

GV trong phần củng cố, vận dụng. Sau mỗi bài dạy có trao đổi với GV và HS,

lắng nghe các ý kiến góp ý để rút kinh nghiệm cho bài dạy sau.

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm

3.3.1. Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm

Trước khi tiến hành thực nghiệm, chúng tôi đã trao đổi với GV dạy thực

nghiệm về mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể và quán triệt các biện pháp phát

triển năng lực suy luận Toán học đã đề xuất.

Đối với lớp đối chứng vẫn dạy học bình thường theo kế hoạch giảng dạy

của GV đã được xây dựng từ đầu năm. Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng

được tiến hành song song theo lịch trình dạy của nhà trường. Cụ thể như sau:

Nội dung

Dạy thực nghiệm

Dạy đối chứng

Lớp

GV dạy

Thời gian

Lớp

GV dạy

Thời gian

Tiết 1 ngày

Tiết

2

ngày

Giáo án 1 8A4 Đoàn Thị Hảo

8A3 Phan Minh Vũ

22/01/2019

18/01/2019

Tiết 2 ngày

Tiết

1

ngày

Giáo án 2 8A4 Đoàn Thị Hảo

8A3 Phan Minh Vũ

13/02/2019

11/02/2019

Tiết 4 ngày

Tiết

3

ngày

Giáo án 3 8A4 Đoàn Thị Hảo

8A3 Phan Minh Vũ

15/3/2019

12/3/2019

Tiết 2 ngày

Tiết

1

ngày

Giáo án 4 8A4 Đoàn Thị Hảo

8A3 Phan Minh Vũ

21/3/2019

19/03/2019

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

3.3.2. Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm

Căn cứ vào bài kiểm tra khảo sát chất lượng học kỳ I năm học 2018 - 2019

của khối 8, căn cứ vào số lượng HS trong mỗi lớp cũng như kết quả khảo sát

môn Toán của HS trong mỗi lớp của khối 8, trường THCS Trần Đăng Ninh,

thành phố Nam Định, chúng tôi nhận thấy: Lớp 8A4 (30 HS) và lớp 8A3 (30

HS) có số lượng học sinh bằng nhau, trình độ nhận thức, kết quả học tập Toán

tương đương nhau, cụ thể (xem bảng 3.1)

Bảng 3.1. Kết quả học tập học kỳ I năm học 2018 - 2019 của hai lớp 8A3 và

8A4 trường THCS Trần Đăng Ninh

Lớp Lớp 8A4 Lớp 8A3 Học lực

Giỏi 19/30 ≈ 63.3% 19/30 ≈ 63.3%

Khá 9/30 = 30% 8/30 ≈ 26.7%

Trung bình 2/30 ≈ 6.7% 3/30 = 10%

Yếu 0/30 = 0% 0/30 = 0%

Do đó, chúng tôi lựa chọn lớp 8A4 là lớp thực nghiệm và lớp 8A3 là lớp

đối chứng.

- Lớp thực nghiệm 8A4 do GV Đoàn Thị Hảo đảm nhiệm và được dạy học

theo hướng áp dụng các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

- Lớp đối chứng 8A3 do GV Phan Minh Vũ đảm nhiệm và được dạy học

theo phương pháp truyền thống.

3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm

3.4.1. Phân tích định tính

Quan sát giờ học ở các lớp thực nghiệm và đối chứng được tiến hành theo

tiến trình đã xây dựng chúng tôi rút ra một số nhận xét sau:

- Đối với lớp đối chứng lớp học trầm, HS thụ động tiếp thu kiến thức do GV

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

truyền đạt, một số HS khá có trả lời câu hỏi tuy nhiên không đưa ra được câu trả

lời theo yêu cầu. Hầu như HS rụt rè không giám đưa ra các giả thuyết vì không

nắm vững kiến thức, không xác định được căn cứ để kiểm tra được các giả thuyết

mình đưa ra dẫn đến không giải quyết được bài toán . HS chỉ cô gắng hoàn thành

bài tập được giao không muốn đào sâu kiến thức, tìm tòi kiến thức mới.

- Đối với lớp thực nghiệm HS dần làm quen với việc tự học, vận dụng tri

thức để giải quyết, chứng minh các bài toán, khám phá tri thức mới. Không khí

lớp học sôi nổi, hào hứng hơn hẳn lớp đối chứng. HS tích cực hỏi và trả lời ý

kiến của mình khi GV đặt ra các vấn đề. HS được GV rèn luyện năng lực suy

luận Toán học thì tích cực đặt ra câu hỏi. Nhiều HS đưa ra các dự đoán, các bài

toán hay khi nghiên cứu sâu lời giải của các bài toán. Trong quá trình suy luận

tìm cách giải bài toán thì logic hơn, trình bày bài toán thì chặt chẽ hơn. Tuy

nhiên khả năng huy động kiến thức một cách phù hợp để giải quyết vấn đề vẫn

còn hạn chế. HS chưa thành thạo với việc đưa ra các dự đoán và kiểm tra lại

các dự đoán của mình, vì kiến thức còn chưa chắc chắn hoặc có đưa ra giả

thuyết thì các giả thuyết còn chưa hợp lí. GV còn chạy theo chương trình,

truyền thụ kiến thức một cách thụ động, chưa tạo cơ hội cho HS tự khám phá ra

kiến thức mới, hiểu kiến thức một cách sâu sắc. Như vậy việc phát triển suy

luận Toán học là rất cần thiết để phát triển tư duy cho HS. GV cần đầu tư thời

gian xây dựng các tiết học sử dụng các biện pháp để phát triển năng lực suy

luận cho HS, thường xuyên kiểm tra củng cố kiến thức cho HS để HS có kiến

thức làm căn cứ cho các suy luận.

3.4.2. Phân tích định lượng

Bảng 3.2. Kết quả điểm kiểm tra của HS hai lớp 8A3 và lớp 8A4 trường

THCS Trần Đăng Ninh

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Điểm kiểm tra

1 2 8 14 5 8.67 Số HS đạt điểm của lớp 8A4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

1 2 4 10 12 1 8.1 Số HS đạt điểm của lớp 8A3

Qua bảng trên ta thấy điểm trung bình của lớp thực nghiệm hơn hẳn điểm

trung bình lớp đối chứng. Để có thể khẳng định về chất lượng của đợt thực

nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành xử lý số liệu thống kê Toán học. Kết quả

xử lý số liệu thống kê thu được như sau:

Kiểm tra 45 phút Nội dung Thực nghiệm Đối chứng

8.67 8.1 Điểm trung bình

0.83 1.22 Phương sai

0.91 1.1 Độ lệch chuẩn

(Trong đó N là số HS, là điểm, là tần số các điểm mà HS đạt được).

Sử dụng phép thử t - student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc

thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả:

Tra bảng phân phối t - student với bậc tự do F = 30 và với mức ý nghĩa

ta được . Ta có . Như vậy, thực nghiệm sư phạm có

kết quả rõ rệt.

Tiến hành kiểm định phương sai ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng với

giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các phương sai ở lớp thực nghiệm và lớp đối

chứng là không có ý nghĩa”. Ta có kết quả .

Giá trị tới hạn tra trong bảng phân phối ứng với mức và

với các bậc tự do là 1.697 ta thấy : Chấp nhận E0, tức là

sự khác nhau giữa các phương sai ở nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chứng là không có ý nghĩa.

Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định

giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu là không có ý

nghĩa với phương sai như nhau”.

Với mức ý nghĩa và tra bảng phân phối t - sudent với bậc tự do là

, ta được .

Ta có giá trị kiểm định:

Với

Ta có . Như vậy, khẳng định giả thuyết H0 bị bác bỏ. Điều đó chứng

tỏ sự khác nhau giữa các điểm trung bình ở hai mẫu chọn là có ý nghĩa.

3.4.3. Kết luận chương 3

Chương 3 của luận văn đã trình bày quá trình thực nghiệm sư phạm để kiểm

chứng tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã trình bày ở chương 2.

Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả được rút ra từ thực nghiệm cho phép

khẳng định: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi của các quan

điểm đã được khẳng định. Thực hiện các quan điểm đó sẽ góp phần phát triển

năng lực suy luận Toán học trong Toán học nói chung, trong lớp các bài toán ứng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại nói riêng;

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

1. Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn trong việc rèn luyện

năng lực suy luận Toán học cho HS trong dạy học nội dung ứng dụng nguyên

lý Dirichlet chứng minh sự tồn tại;

2. Đề xuất 4 biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực Toán học cho

HS trong dạy học nội dung nguyên lý Dirichlet. Trong mỗi biện pháp, ngoài

trình bày nội dung, chúng tôi còn minh họa bằng một số ví dụ cụ thể.

3. Nêu được hệ thống bài toán tương đối đầy đủ về vận dụng nguyên lý

Dirichlet trong giải toán chứng minh sự tồn tại. Hệ thống bài toán được trình

bày dễ hiểu, từ dễ đến khó; được phân tích, tổng quát hóa, đặc biệt hóa.

4. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả

của những biện pháp sư phạm được đề xuất.

Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ: tiếp tục nghiên cứu các biện pháp để rèn

luyện năng lực suy luận Toán học trong dạy học các nội dung khác; nghiên

cứu, xây dựng quy trình kiểm tra đánh giá năng lực suy luận Toán học; xây

dựng ngân hàng đề kiểm tra đánh giá năng lực suy luận Toán học đối với học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

sinh THCS.

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN

1. Phạm Thị Phương Thảo, Phan Thị Thơm (2017), "Ứng dụng nguyên lý

Dirichlet trong giải toán trung học cơ sở", đạt loại Tốt trong cuộc thi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

viết sáng kiến kinh nghiệm tỉnh Nam Định.

1. Vũ Hữu Bình (chủ biên), Nguyễn Tam Sơn (2015), Tài liệu chuyên toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO

2. Vũ Hữu Bình (2018), Nâng cao và phát triển toán 6, 7, 8, 9, Nhà xuất

trung học cơ sở Toán 6, 7, 8, 9. Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

3. Bernd Meier - Nguyễn Văn Cường (2018), Lí luận dạy học hiện đại - Cơ

bản Giáo dục Việt Nam.

sở đổi mới mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, Nhà xuất bản

4. Vương Tất Đạt (2004), Logic học đại cương, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

5. Nguyễn Thị Hương (2017), Phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho học

Đại học Sư phạm.

6. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học

sinh trong dạy học hình học lớp 9, Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục.

7. Nguyễn Danh Nam, Nguyễn Thị Hương (2017), “Phát triển năng lực suy

sư phạm.

luận ngoại suy trong dạy học hình học ở trường trung học cơ sở”, Tạp

8. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn

chí Giáo dục, số 407, tr. 32 - 36.

9. Trương Thị Khánh Phương (2015), “Suy luận ngoại suy và quy nạp

Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

trong khám phá quy luật dãy số - những phân tích lí thuyết và thực

nghiệm”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, ISSN 1859 - 3100, số 9

10. Đỗ Đức Thái (chủ biên), Đỗ Tiến Đạt, Lê Tuấn Anh, Đỗ Đức Bình,

(75), tr. 16 - 28.

Phạm Xuân Chung, Nguyễn Sơn Hà, Phạm Sỹ Nam, Vũ Phương Thúy,

Dạy học phát triển năng lực môn Toán trung học cơ sở, Nhà xuất bản

11. Vũ Tiến Việt (chủ biên), Nguyễn Ngọc Cương, Vũ Chí Quang (2015),

Đại học Sư phạm, 2018.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Logic hình thức và ứng dụng, Nhà xuất bản Công an nhân dân.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1

PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN

Để góp phần thu thập những thông tin cần thiết cho việc nghiên cứu nâng

cao chất lượng dạy và học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet, xin thầy (cô)

vui lòng cho biết ý kiến của mình bằng cách đánh dấu (X) vào ô thích hợp.

Câu 1. Khi giải toán hay lập luận một vấn đề, năng lực suy luận Toán học của

học sinh đạt ở mức nào?

Chưa tốt Trung bình Tốt

Câu 2. Khi dạy học, thầy cô có thường xuyên chú ý rèn luyện năng lực suy

luận của HS không?

Không Thỉnh thoảng Thường xuyên

Câu 3. Khi dạy học, thầy cô có lưu ý rèn luyện các loại quy tắc suy luận suy

diễn cho HS không?

Chưa lưu ý Thỉnh hoảng Thường xuyên

Câu 4. Thầy cô có lưu ý rèn luyện năng lực suy luận quy nạp khi giải toán không?

Không Thỉnh hoảng Thường xuyên

Câu 5. Theo thầy cô, dạy học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet có rèn

luyện được năng lực suy luận Toán học cho HS không?

Không

Phần nào rèn luyện được.

Rèn luyện được tốt.

Câu 6. Việc rèn luyện năng lực suy luận Toán học cho HS thông qua dạy học

nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet gây ra những khó khăn gì cho GV khi

giảng dạy?

Chuẩn bị bài tốn thời gian hơn

Phải thay đổi thói quen giảng dạy.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS vận dụng các thao tác tư duy không thành thục.

HS chưa nắm vững các quy tắc suy luận logic.

Nội dung nhiều mà chỉ dạy trong thời gian ngắn.

Phiếu điều tra này chỉ có mục đích nghiên cứu khoa học, không dùng để

đánh giá xếp loại GV.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Trân trọng cảm ơn.

Phụ lục 2

PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH

Để góp phần thu thập những thông tin cần thiết cho việc nghiên cứu

nâng cao chất lượng dạy và học nội dung ứng dụng nguyên lý Dirichlet, em vui

lòng cho biết ý kiến của mình bằng cách diền dấu (X) vào ô thích hợp.

Câu 1. Khi lập luận trình bày bài toán, em cảm thấy thế nào?

Lúng túng, không biết trình bày bắt đầu từ đâu.

Khó khăn trong quá trình lập luận giải bài toán

Trình bày bài toán dễ dàng.

Câu2. Em có thích học phần ứng dụng nguyên lý Dirichlet không?

Không thích Bình thường Thích

Câu 3. Khi giải toán chứng minh sự tồn tại, em có hay nêu các suy luận để tìm

ra lời giải trước khi trình bày lời giải không?

Không Thỉnh hoảng Thường xuyên

Câu 4. Em có hay khai thác, suy luận quy nạp khi giải xong bài toán không?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Không Thỉnh hoảng Thường xuyên

Phụ lục 3

BÀI SOẠN: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET (tiết 1)

I. Mục tiêu

1. Về kiến thức

HS nắm vững nội dung nguyên lý Dirichlet,

2. Về kỹ năng

Rèn kỹ năng tính toán, biến đổi.

Vận dụng suy luận logic trong giải toán chứng minh sự tồn tại

3. Về tư duy thái độ

Rèn khả năng nhận xét, tư duy logic cho HS.

Làm cho HS thích học môn Toán hơn.

4. Định hướng năng lực phát triển

Năng lực suy luận Toán học, năng lực hoạt động nhóm, năng lực giải

quyết vấn đề.

II. Chuẩn bị của GV và HS

1. GV: Tài liệu chuyên Toán THCS, máy chiếu, phiếu học tập.

2. HS: Tài liệu chuyên Toán THCS, dụng cụ học tập.

III. Phương pháp dạy học

Phương pháp gợi mở vấn đáp và làm việc theo nhóm.

IV. Tiến trình dạy học

1. Ổn định tổ chức lớp

2. Bài mới

GV đặt vấn đề: Trong cuộc sống vấn đề tồn tại hay không tồn tại thường

hay xuất hiện, chúng ta phải xác định xem vấn đề đó có tồn tại hay không rồi

mới đi tìm hướng giải quyết. Các em đã được học tính chất chia hết, giải các

bài toán liên quan tính chia hết, chữ số tận cùng. Trong các bài toán chứng

minh sự tồn tại, liệu có phải lúc nào chúng ta cũng cần phải chỉ ra rõ ràng kết

quả hay không hay chỉ cần chỉ ra có một số nào đó thỏa mãn đề bài là đủ? Để

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

trả lời câu hỏi này, chúng ta vào bài học hôm nay.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung nguyên lý Dirichlet

GV: Có những trường HS trả lời: A. Nguyên lý Dirichlet

hợp nào xảy ra khi nhốt TH1: Một chuồng có I. Lý thuyết

ba con thỏ vào hai cái 1con, một chuồng có 2

chuồng? con

TH2: Một chuồng có 3

con, một chuồng không Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n cái chuồng (n N*) thì thế nào cũng có một

có con nào. chuồng chứa ít nhất 2 thỏ.

Nếu nhốt n con thỏ vào GV: Chúng ta có thể nói

cái chuồng rằng: Có ít nhất một

chuồng chứa hai con thỏ.

k (với n,k N*, n lớn hơn và không chia hết cho k) thì Đây là dạng thu gọn của

thế nào cũng có một nguyên lý Dirichlet.

chuồng chứa ít nhất GV: Yêu cầu 1 HS đọc

nội dung nguyên lý -HS đọc nội dung [ ]+1 con thỏ

Dirichlet. nguyên lý Dirichlet (Kí hiệu [x] chỉ phần (màn chiếu) nguyên của x) GV: Nguyên lý mang tên

nhà toán học người Đức

Peter Gustav

Dirichlet(1851-1931),

còn được gọi là nguyên

lý chim câu, nguyên lý

thỏ và chuồng, nguyên lý

ngăn kéo

- Tuy phát biểu hết sức

đơn giản, song nguyên lý

Dirichlet đem lại cho

chúng ta những ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hết sức thú vị.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Hoạt động 2: Rèn luyện cho HS nhận biết yếu tố “thỏ” và “chuồng” trong

bài toán

GV: Việc phát hiện yếu Bài toán 1. Có 8 người

tố “thỏ” và “chuồng” cùng ngồi vào một cái

mang tính chất quyết bàn. Chứng minh rằng

định có giải được bài trong số họ có ít nhất hai

toán hay không. người sinh cùng ngày

Xét bài toán 1 (chiếu). trong tuần.

GV yêu cầu nêu đối HS trả lời: Giải

tượng và số lượng từng Đối tượng của bài

loại đối tượng xuất hiện toán: người, ngày trong Một tuần có 7 ngày, 8

trong bài toán tuần. người có 8 ngày sinh.

Số lượng của từng Theo nguyên lý Dirichlet

loại đối tượng: 8 người, có ít nhất 2 người có cùng

7 ngày trong tuần. ngày sinh trong tuần.

HS trả lời:

GV: Chia đối tượng của Các đối tượng trong

bài toán thành hai tập giả thiết bài toán chia

hợp, hãy so sánh số làm hai tập hợp: Tập A

lượng phần tử của hai tập gồm 8 người, tập B gồm

hợp đó. 7 ngày trong 1 tuần.

So sánh số phần tử ta

thấy 8 > 7 nên yếu tố

“chuồng” là 7 ngày

trong tuần “thứ hai, thứ

ba, thứ tư, thứ năm, thứ

sáu, thứ bảy, chủ nhật”.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

HS trả lời

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Yếu tố “chuồng” là 7

ngày trong tuần “thứ hai,

GV: Nêu yếu tố “thỏ” và thứ ba, thứ tư, thứ năm,

“chuồng” trong bài toán thứ sáu, thứ bảy, chủ

nhật”.

Yếu tố “thỏ” là “8

ngày sinh của 8 người”.

HS chia làm 3 nhóm,

hoạt động nhóm theo

yêu cầu của GV

GV tổ chức cho HS hoạt

động nhóm thực hiện các Bài toán 2. Chỉ ra yếu tố

yêu cầu của bài toán 2 “thỏ” và “chuồng” trong

trong thời gian 5 phút. các bài toán sau rồi trình

Nhóm 1- ý 1, nhóm 2- ý bày lời giải.

2, nhóm 3- ý 3 1. Trường học có 370

học sinh. Chứng minh

rằng trong số các em đó,

luôn có hai em có cùng

HS trình bày ngày sinh.

2. Trong lớp có 13 học

GV yêu cầu đại diện các sinh. Chứng minh rằng

nhóm chuyển bài làm của trong số các em đó, luôn có

nhóm mình và trình bày HS nhận xét hai em sinh cùng tháng.

GV yêu cầu HS nhóm 3. Chứng minh trong 11

khác nhận xét số tự nhiên bất kỳ luôn

tồn tại hai số có cùng chữ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

số tận cùng.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Hoạt động 3: Rèn luyện quy tắc suy luận logic cho HS

GV chiếu một số quy tắc - Quy tắc khẳng định

suy luận logic. HS ghi bài

- Quy tắc phủ định

- Quy tắc tam đoạn luận

GV phát phiếu học tập HS làm bài trong phiếu

cho HS yêu cầu HS hoàn bài tập

thành phiếu bài tập trong

Bài toán 3. Chứng minh 5 phút

rằng trong 6 số bất kỳ GV thu phiếu bài tập.

luôn tồn tại hai số có hiệu GV nhận xét bài tập của

chia hết cho 5 HS và chiếu một phiếu

Phân tích bài tập của HS làm tốt

Yếu tố “thỏ” là “số dư lên bảng.

khi chia 6 số cho 5”, yếu GV yêu cầu HS nhận xét. HS nhận xét

tố “chuồng” là tập các

loại số dư {0, 1, 2, 3, 4}.

Các quy tắc suy diễn để

giải toán đã vận dụng

* Tiền đề:

6 con thỏ xếp vào 5 cái

chuồng thì có ít nhất một

chuồng chứa hai con.

6 số dư khi chia 6 số cho

5 xếp vào 5 chuồng được

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

đánh số {0, 1, 2, 3, 4}

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Kết luận: Có ít

nhất hai số có cùng số dư

khi chia cho 5

Quy tắc đã sử dụng:

Quy tắc khẳng định

* Tiền đề:

Hai số có cùng số

dư khi chia cho 5

Hai số có cùng số

dư khi chia cho thì hiệu

chia hết cho .

Kết luận: hai số có hiệu

chia hết cho 5.

Quy tắc đã sử dụng: Quy

GV nêu tiếp một số câu tắc khẳng định hỏi: HS trả lời

- Trong 7 số tự

nhiên bất kỳ luôn tồn tại - Trong 7 số tự

hai số tự nhiên có hiệu nhiên bất kỳ luôn tồn tại

chia hết cho những số hai số tự nhiên có hiệu

nào? chia hết cho 1, 2, 3, 4, 5,

- Cần có ít nhất bao 6?

nhiêu số tự nhiên để từ - Cần có ít nhất 11

các số đó ta có thể lấy số tự nhiên để từ các số

được hai số bất kỳ có đó ta có thể lấy được hai

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

hiệu chia hết cho 10? số bất kỳ có hiệu chia

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

- Trong 25 số tự hết cho 10?

nhiên bất kỳ, ta luôn rút - Trong 25 số tự

được hai số tự nhiên có nhiên bất kỳ, ta luôn rút

hiệu chia hết số tự nhiên được hai số tự nhiên có

nào? hiệu chia hết cho 1, 2, 3,

Nêu bài toán tổng , 24 -

quát - Với số tự nhiên n

khác 0 cho trước, chứng

minh rằng trong n + 1 số

tự nhiên bất kỳ luôn tồn

tại hai số tự nhiên có

hiệu chia hết cho n (n

khác 0)

Hoạt động 4. Củng cố, hướng dẫn

GV: Khi muốn áp dụng HS: Trong bài toán phải

nguyên lý Dirichlet để chỉ ra được yếu tố “thỏ”,

giải toán ta phải lưu ý gì? yếu tố “chuồng”

Bài luyện tập: Chứng

minh rằng tồn tại số tự HS ghi bài

nhiên sao cho có

ba chữ số tận cùng là 001.

Hãy phân tích tìm ra lời

giải bài toán trên.

Khi giải bài toán trên, em

đã sử dụng những quy

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tắc suy luận logic gì?

BÀI SOẠN: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET (tiết 2)

I. Mục tiêu

1. Về kiến thức

HS nắm vững nội dung nguyên lý Dirichlet,

2. Về kỹ năng

Rèn kỹ năng tính toán, biến đổi.

Vận dụng suy luận logic trong giải toán chứng minh sự tồn tại

3. Về tư duy thái độ

Rèn khả năng nhận xét, tư duy logic cho HS.

Làm cho HS thích học môn Toán hơn.

4. Định hướng năng lực phát triển

Năng lực suy luận Toán học, năng lực hoạt động nhóm, năng lực giải

quyết vấn đề.

II. Chuẩn bị của GV và HS

1. GV: Tài liệu chuyên Toán THCS, máy chiếu, phiếu học tập.

2. HS: Tài liệu chuyên Toán THCS, dụng cụ học tập.

III. Phương pháp dạy học

Phương pháp gợi mở vấn đáp và làm việc theo nhóm.

IV. Tiến trình dạy học

1. Ổn định tổ chức lớp

2. Bài mới

GV đặt vấn đề: Trong tiết trước chúng ta đã được biết đến nguyên lý

Dirichet, một nguyên lý có ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh sự tồn tại.

Trong tiết học này chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu kỹ hơn về ứng dụng của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

nguyên lý Dirichlet nhé!

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.

GV thu ngẫu nhiên hai bài HS nhận xét Bài tập: Chứng minh rằng

làm của hai HS rồi chiếu tồn tại số tự nhiên sao

lên bảng. cho có ba chữ số tận

GV gọi HS nhận xét lần cùng là 001.

lượt hai bài. Phân tích

GV nhận xét. - Xác định đối tượng

Nếu cả hai bài đều sai thì của bài toán: Số tự nhiên

GV chiếu phân tích và các có dạng , tính chia

quy tắc đã sử dụng lên hết.

bảng. - Xác định số lượng

của từng loại đối tượng:

1000 số, tính chia hết cho

1000.

- Các đối tượng trong

giả thiết của bài toán được

phân thành hai tập hợp:

Tập hợp A gồm 1000 số tự

nhiên

. Tập

B gồm 999 số dư {1, 2, 3,

4, …, 999} khi chia số bất

kỳ của tập

A cho 1000.

- So sánh số phần tử

của hai tập hợp để gán mỗi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

tập hợp với “thỏ”, hoặc

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

“chuồng”. Ta coi yếu tố

“thỏ” là “số dư khi chia

1000 số cho 1000” còn yếu

tố “chuồng” là tập các loại

số dư {1, 2, 3, 4,…, 999}.

Vận dụng các quy tắc suy

diễn để giải toán

Quy tắc kết luận

Tiền đề:

1000 con thỏ xếp vào 999

cái chuồng thì có ít nhất

một chuồng chứa hai con.

1000 số dư khi chia 1000

số trong dãy

cho

1000 xếp vào 999 chuồng

được đánh số {0, 1, 2, 3,

…, 999}

Kết luận: Có ít nhất hai số

có cùng số dư khi chia cho

1000

Quy tắc tam đoạn luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Tiền đề:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Nếu có hai số có dạng

có hiệu chia hết cho

1000 thì tồn tại một số có

dạng

chia 1000 dư 1. Nếu có một số tự nhiên

chia 1000 dư 1 thì số đó có

tận cùng là 001

Kết luận: nếu có hai số có

dạng có hiệu chia hết

cho 1000 thì có một số có

dạng có tận cùng là

001.

Giải

Xét dãy số gồm 1000 số

sau: .

Do (2019, 1000) = 1 nên

khi chia 1000 số này cho

1000 có không quá 999

loại số dư. Theo nguyên lý

Dirichlet, có ít nhất hai số

trong dãy có cùng số dư

trong phép chia cho 1000.

Giả sử đó là và

, . Khi

đó chia hết

cho 1000, suy ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chia hết

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

cho 1000.

Mặt khác,

nên . Từ đó

suy ra chia hết

cho 1000.

Đặt , có

chia hết cho 1000.

Từ đó có ba chữ số

tận cùng là 001.

Hoạt động 2: Luyện tập

GV nêu bài toán HS ghi bài Bài toán: Trong hình

vuông đơn vị (độ dài cạnh

bằng 1) đặt 9 điểm. Chứng

minh rằng luôn tìm được

ba điểm trong số các điểm

trên tạo thành một tam giác

có diện tích không vượt

quá

GV nêu vấn đề: Một tam HS thảo luận trả lời:

Giải giác có diện tích không

vượt quá nằm trọn vẹn

trong hình vuông có cạnh

bằng bao nhiêu?

Tìm yếu tố “thỏ” và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

chuồng của bài toán HS: Yếu tố “thỏ” là 9

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Nếu thấy HS lúng túng điểm. Chia hình vuông có cạnh 1

vẫn chưa tìm được yếu tố thành 4 hình vuông có

“chuồng”, Gv gợi ý: ta có cạnh như hình vẽ. Có 9

ba dữ kiện có thể sử dụng điểm đặt trong 4 hình được: Cạnh hình vuông HS: Yếu tố chuồng là: Bốn vuông nên tồn tại 1 hình bằng 1, tam giác có diện hình vuông cạnh khi vuông cạnh chứa 3 điểm tích không vượt quá nằm chia hình vuông ban đầu trong 9 điểm đã cho. Diện trọn vẹn trong hình vuông thành bốn phần bằng nhau. tích tam giác tạo bởi ba

có cạnh bằng ”, 9=4.2+1. điểm này không vượt quá

một nửa diện tích hình GV yêu cầu HS tự trình

bày lời giải. vuông nên diện tích tam

HS trình bày lời giải giác không vượt quá

GV: Trong lời giải của

mình, em đã dùng các quy

tắc suy luận nào? Bài toán: Trong hình HS trả lời.

GV: Vẫn với cách chi hình vuông đơn vị (độ dài cạnh

vuông thành 4 phần bằng bằng 1) đặt 2019 điểm.

nhau và thay đổi số điểm Chứng minh rằng luôn tìm

giả thiết là 2019 thì có thể được 505 điểm trong số HS trả lời.

chọn được nhiều nhất từ các điểm đã cho mà ba

bao nhiêu điểm trong 2019 điểm bất kỳ trong đó tạo

điểm đã cho mà ba điểm thành một tam giác có diện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

bất kỳ trong các điểm đó

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

đều tạo thành tam giác có tích không vượt quá .

diện tích không vượt quá Bài toán: Trong hình

. vuông đơn vị (độ dài cạnh

GV: Hãy đặt lại bài toán bằng 1) đặt 51 điểm.

với giả thiết là 51 điểm và Chứng minh rằng luôn tìm

chia hình vuông thành 25 được ba điểm trong số các HS trả lời.

phần bằng nhau. điểm trên tạo thành một

tam giác có diện tích

Hãy tổng quát hóa bài toán không vượt quá .

HS trả lời Bài toán: Trong hình

vuông đơn vị (độ dài cạnh

bằng 1) đặt 2n2+1 điểm.

Chứng minh rằng luôn tìm GV chia làm ba nhóm và

được ba điểm trong số các nêu nhiệm vụ: Hãy đặt lại

điểm trên tạo thành một bài toán sau khi đã thay đổi HS chia nhóm, thảo luận tam giác có diện tích số điểm và cách chia hình trả lời.

vuông. không vượt quá

GV yêu cầu các nhóm trình Bài toán Trong hình vuông

bày các bài toán của nhóm đơn vị (cạnh bằng 1) có

mình HS trình bày 2017 điểm. Chứng minh

GV yêu cầu các nhóm rằng có ít nhất 21 điểm

nhận xét. HS nhận xét. được phủ bởi hình tròn bán

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

kính .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Bài toán Trong hình vuông

đơn vị (cạnh bằng 1) có

điểm, .

Chứng minh rằng có ít nhất

điểm được phủ bởi

hình tròn bán kính .

Bài toán Trong hình

vuông ABCD có AB =

14cm đánh dấu 76 điểm

phân biệt. Chứng minh

rằng tồn tại một đường tròn

có bán kính 2cm chứa

trong nó ít nhất 4 điểm

trong số các điểm trên.

Bài toán Trong hình vuông

có cạnh , đặt điểm

điểm đặt bất kì, phân biệt.

Chứng minh rằng có ít nhất

n trong số m điểm đó nằm

trong một hình tròn bán

kính . ( trong đó

kí hiệu [a] là phần nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

của a).

HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS NỘI DUNG

Hoạt động 3: Củng cố, hướng dẫn

GV nhấn mạnh lại rằng HS chú ý tổng hợp lại kiến

nguyên lý Dirichlet là công thức.

cụ mạnh để chứng minh sự

tồn tại. Khi sử dụng

nguyên lý, HS cần xác định

rõ yếu tố “thỏ” và

“chuồng”, thành thạo các

quy tắc suy luận logic, có

thói quen suy luận quy nạp

khi giải bài.

Bài tập luyện tập: bài 1, 2,

3 sách Tài liệu chuyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

Toán THCS.

Phụ lục 4

PHIẾU HỌC TẬP

Bài toán 3: Chứng minh rằng trong 6 số bất kỳ luôn tồn tại hai số có hiệu

chia hết cho 5.

- Xác định đối tượng của bài toán: ………………………………………

- Xác định số lượng của từng loại đối tượng:………………………………

- Các đối tượng trong giả thiết của bài toán được phân thành hai tập hợp

gồm: Tập A: ........……………………………………………………….............

Tập B:……………………………………………………………………..

- Yếu tố “thỏ” là……………………………………………………………

Yếu tố “chuồng” là…………………………………………………………

Xác định quy tắc suy luận logic

* Tiền đề:

6 con thỏ xếp vào 5 cái chuồng thì có ít nhất một chuồng chứa hai con.

6 số dư khi chia 6 số cho 5 xếp vào 5 chuồng được đánh số {0, 1, 2, 3, 4}

Kết luận: Có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 5

Quy tắc suy luận đã sử dụng là: ……………………………………………

* Tiền đề:

Hai số có cùng số dư khi chia cho 5

Hai số có cùng số dư khi chia cho thì hiệu chia hết cho .

Kết luận: hai số có hiệu chia hết cho 5.

Trình bày lời giải.

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu và Công nghệ thông tin – ĐHTN http://lrc.tnu.edu.vn

...............................................................................................................................