Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học mở đầu về chứng minh trong hình học ở trường trung học cơ sở - Một tiểu đồ án didactic về đào tạo giáo viên

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học mở đầu về chứng minh trong hình học ở trường trung học cơ sở - Một tiểu đồ án didactic về đào tạo giáo viên sau đây để nắm bắt những nội dung về hình học ghi nhận và hình học suy diễn trong thể chế dạy học hình học ở bậc tiểu học và THCS; nghiên cứu thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học mở đầu về chứng minh trong hình học ở trường trung học cơ sở - Một tiểu đồ án didactic về đào tạo giáo viên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ___________________ Trần Thị Ngọc Diệp DẠY HỌC MỞ ĐẦU VỀ CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ - MỘT TIỂU ĐỒ ÁN DIDACTIC VỀ ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh - 2009
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, TS.Trần Lương Công Khanh và TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quí thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 17; PGS. Claude Comiti, PGS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp định hướng cho đề tài. Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, đặc biệt là chồng tôi đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua. Trần Thị Ngọc Diệp
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên HHGN : Hình học ghi nhận HHSD : Hình học suy diễn THCS : Trung học cơ sở CĐSP : Cao đẳng sư phạm
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học............................. 9 Bảng 1.2. Thống kê các cách đưa vào tính chất, quy tắc ..................................... 18 Bảng 1.3. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 ............................. 21 Bảng 1.4. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 ............................. 25 Bảng 1.5. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T3 ............................. 29 Bảng 1.6. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 ............................. 32 Bảng 1.7. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 ............................. 38 Bảng 1.8. Thống kê các cách tiếp cận khái niệm ở bậc THCS ............................. 45 Bảng 1.9. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 ............................. 53 Bảng 1.10. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T4 ............................. 57 Bảng 1.11. Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 ............................. 60 Bảng 1.12. Thống kê số lượng bài tập chứng minh ................................................ 64 Bảng 1.13. Thống kê số lượng bài tập sử dụng kĩ thuật quan sát-thực nghiệm và kĩ thuật suy luận .............................................................................. 64 Bảng 1.14. Đặc trưng của HHGN và HHSD........................................................... 72 Bảng 2.1. Biến tình huống..................................................................................... 79 Bảng 2.2. Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 1a.......................... 87 Bảng 2.3. Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 1b.......................... 89 Bảng 2.4. Thống kê các câu trả lời nhận được trong bài toán 2............................ 95
MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hình học là một phân môn quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. HS bắt đầu làm quen với Hình học ngay từ lớp 1 và được học xuyên suốt đến hết lớp 12. Đã có nhiều nghiên cứu về dạy học Hình học ở phổ thông, nhất là những nghiên cứu theo trường phái Didactic toán của Pháp. Ở Việt Nam, chúng tôi đặc biệt quan tâm tới hai nghiên cứu trong phạm vi luận văn thạc sĩ Didactic toán, đó là nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương (2002) và của Trần Thị Tuyết Dung (2002) với các lí do sau đây:  Dù đã giảng dạy toán ở bậc THCS và THPT, nhưng đây là lần đầu tiên tôi nghe nói đến các khái niệm «HHGN» và «HHSD», được đề cập trong hai luận văn này. Vậy, HHGN là gì? HHSD là gì? Chỉ có một mô tả khá ngắn gọn và sơ sài từ hai luận văn này, đó là: HHGN là Hình học có được từ quan sát và thực nghiệm; HHSD là Hình học có được từ suy luận và chứng minh. Điều này không làm thỏa mãn trí tò mò và nhu cầu hiểu biết hơn của chúng tôi!  Nghiên cứu của Trần Thị Thanh Hương cho thấy trong chương trình và SGK bậc THCS những năm 1990 không có sự nối khớp nào giữa hai loại Hình học nêu trên. Chương trình đào tạo GV ở các trường CĐSP cũng không tính đến mối quan hệ và sự nối khớp giữa chúng. Còn nghiên cứu của Trần Thị Tuyết Dung lại chỉ ra rằng: chương trình và SGK mới (2001) đã tính đến hoạt động chuyển tiếp giữa hai Hình học thông qua sự nối khớp thực nghiệm và suy luận. Nhưng sự nối khợp này có vị trí rất mờ nhạt. Điều này dẫn tới hậu quả là GV phải dùng đến yếu tố quyền lực cá nhân để thuyết phục HS chấp nhận «miễn cưỡng» việc dùng suy luận để khẳng định một mệnh đề (điều mà trước đây các em có quyền làm từ quan sát thực nghiệm, ghi nhận).
Như vậy, dạy học mở đầu về chứng minh ở trường THCS không thể không tính đến HHGN đã tồn tại ở bậc tiểu học và có thể đang tồn tại ở cả bậc THCS, cũng như mối quan hệ, sự ngắt quãng giữa chúng. Nhưng, làm thế nào để GV ý thức được mối quan hệ nhân – quả giữa hai cấp độ Hình học này? Câu hỏi này vẫn chưa được các tác giả của hai luận văn trên giải đáp. Thoạt tiên, những ghi nhận trên gợi cho chúng tôi nhu cầu nghiên cứu thiết kế một tiểu đồ án didactic đào tạo GV ở các trường CĐSP về dạy học mở đầu chứng minh ở trường THCS, chính xác hơn là ở thời điểm từ bỏ HHGN để bước sang HHSD. Để thực hiện tham vọng này, cần thiết phải tiến hành các nghiên cứu sau: 1. Làm rõ đặc trưng của HHGN và HHSD: Thế nào là HHGN? Thế nào là HHSD? Có những khác biệt cơ bản nào giữa hai Hình học này? Nói cách khác, đâu là những đặc trưng chuyên biệt của mỗi loại Hình học? Mối quan hệ giữa chúng như thế nào? 2. Nghiên cứu kĩ hơn quan hệ nhân – quả giữa hai Hình học, đặc biệt là trên đối tượng HS. 3. Nghiên cứu quan niệm của giảng viên và sinh viên các trường CĐSP về chứng minh và dạy học mở đầu về chứng minh, đặc biệt là về HHGN và HHSD. 4. Thiết kế và triển khai một tiểu đố án didactic đào tạo GV về dạy học mở đầu chứng minh. Tuy nhiên, sau một thời gian làm việc, do hạn chế về thời gian và áp lực công việc ở Trường – nơi mà chúng tôi đang công tác, chúng tôi nhận ra rằng nội dung nghiên cứu quá lớn, vượt ra ngoài điều kiện thực tế và khả năng hiện tại của chúng tôi. Điều này dẫn chúng tôi tới việc giới hạn mục tiêu và nội dung nghiên cứu luận văn của mình trong phạm vi các mục 1, 2 nêu trên.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học, Lý thuyết tình huống và Hợp đồng didactic. Lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm mấu chốt như tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với hai loại Hình học, từ đó tìm ra đặc trưng cơ bản của từng loại. Lý thuyết tình huống với các khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ án didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình huống. Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng didactic được sử dụng để giải thích các ứng xử của HS trong tình huống thực nghiệm. Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau: Q1. HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì? Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này? Q2. Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao? Q3. Mối quan hệ thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân HS như thế nào? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2. Từ đó, chúng tôi xác định phương pháp và nội dung nghiên cứu như sau:
- Thiết lập lược đồ cho việc phân tích quan hệ thể chế. - Phân tích chương trình, SGK, SGV bậc Tiểu học và THCS để tìm ra đặc trưng của HHGN và HHSD và mối quan hệ giữa chúng. - Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về dạy học chứng minh ở trường CĐSP để làm rõ quan hệ của thể chế đào tạo GV với một số đối tượng của HHGN và HHSD. - Triển khai một thực nghiệm kiểm chứng ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân HS trong phạm vi của dạy học suy luận và chứng minh. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương và phần kết luận. Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, giới thiệu cấu trúc của luận văn. Trong chương I, chúng tôi trình bày đặc trưng HHGN và HHSD, mối quan hệ giữa chúng trong thể chế dạy học Hình học ở bậc Tiểu học và THCS và trong thể chế đào tạo GV ở trường CĐSP, đồng thời phân tích đặc trưng của suy luận và chứng minh trong mỗi loại Hình học. Trong chương II, chúng tôi xây dựng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu và tìm ra câu trả lời cho những câu hỏi mới rút ra từ kết quả nghiên cứu trong chương I Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được, chỉ ra những lợi ích của đề tài, đồng thời mở rộng hướng nghiên cứu cho luận văn.
Chương 1: HÌNH HỌC GHI NHẬN VÀ HÌNH HỌC SUY DIỄN TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở BẬC TIỂU HỌC VÀ THCS 1.1. Mục tiêu của chương Mục tiêu của chương này là tổng hợp và phân tích các tài liệu nhằm làm rõ các đặc trưng chủ yếu của HHGN và HHSD. Đồng thời tìm ra đặc trưng của suy luận và chứng minh trong hai loại Hình học này. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn phân tích chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học và THCS hiện hành và tổng hợp tài liệu [19], [36], [33], [32], [20] nhằm tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi sau đây: Q1. HHGN và HHSD có đặc trưng chuyên biệt nào trong thể chế dạy học Hình học ở Tiểu học và THCS? Cụ thể hơn, mối quan hệ thể chế với các đối tượng chủ yếu của HHGN và HHSD có những đặc trưng gì? Mối quan hệ giữa chúng như ra sao? Đặc biệt, suy luận và chứng minh có đặc trưng chuyên biệt gì trong mỗi loại Hình học này? Q2. Thể chế dạy học Hình học ở trường phổ thông đã thực hiện bước chuyển từ HHGN sang HHSD như thế nào? Thể chế đào tạo GV ở trường CĐSP tính đến bước chuyển này ra sao? 1.2. Lược đồ phân tích * Để làm rõ các đặc trưng của HHGN và HHSD, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học và THCS nhằm tìm ra: - Cách đưa vào các khái niệm. - Cách đưa vào các tính chất, qui tắc, định lí (ở THCS) thuộc phạm vi Hình học. - Đặc trưng của các tổ chức toán học (nhất là kĩ thuật giải). * Để làm rõ đặc trưng của suy luận và chứng minh trong hai loại Hình học này, chúng tôi tiến hành phân tích:
- Cách hợp thức một khẳng định (làm sao đưa ra một khẳng định). Điều này liên quan tới việc đưa vào một tính chất. - Suy luận xuất hiện khi nào và có những đặc trưng gì? - Chứng minh xuất hiện khi nào và có những đặc trưng gì? Nghiên cứu việc khẳng định một mệnh đề, chúng tôi dựa vào phân loại các kiểm chứng của Nicolas Balacheff như sau: - Kiểm chứng kiểu «Chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ»: khẳng định chân lí của một phán đoán bằng cách kiểm tra một vài trường hợp cụ thể và không đặt ra vấn đề hợp thức hóa. - Kiểm chứng kiểu «Thí nghiệm quyết đoán»: là qui trình hợp thức hóa một phán đoán bằng cách đoán nhận một trường hợp được cho là ít riêng biệt nhất. Cách làm này về cơ bản vẫn thuộc kinh nghiệm, nhưng khác với chủ nghĩa kinh nghiệm ngây thơ ở chỗ vấn đề khái quát hóa đã thực sự được đặt ra. - Kiểm chứng kiểu «Thí dụ đại diện và thực nghiệm thầm trong óc»: trình bày rõ ràng những lý lẽ về tính hợp thức của một phán đoán, bằng cách thực hiện những thao tác trên một đối tượng đặc biệt, nhưng lại được chủ thể xem là không có tính đặc biệt và riêng rẽ, mà đại diện cho cả một lớp cá thể. - Kiểm chứng kiểu «Tính toán trên các thông báo»: không dựa vào kinh nghiệm, mà đó là những cách xây dựng của trí tuệ dựa trên những khái niệm, định nghĩa, tính chất tường minh. Trong các loại kiểm chứng trên, ở kiểu thứ tư suy luận và chứng minh mới xuất hiện. 1.3. Đặc trưng của HHGN và HHSD trong thể chế dạy học Hình học ở bậc tiểu học và THCS 1.3.1. Đặc trưng của HHGN Tài liệu [32], [20] đã chỉ ra rằng HHGN xuất hiện ở bậc tiểu học. Do đó, để tìm đặc trưng của Hình học này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV Toán bậc tiểu học.
1.3.1.1. Khái niệm Theo [33, tr.6], «Hình học bậc tiểu học hình thành cho HS những biểu tượng về một số hình đơn giản và các đại lượng thông dụng». Qua phân tích chương trình, SGK, SGV ở bậc tiểu học, chúng tôi nhận thấy để tiếp cận một khái niệm ở bậc tiểu học có 3 cách sau đây: Cách tiếp cận thứ nhất: tổng thể thông qua hình vẽ. Cách tiếp cận này được sử dụng chủ yếu ở lớp 1, 2, «dựa trên trực giác HS nhận biết hình một cách tổng thể» [33, tr.10]. HS được làm quen các khái niệm thông qua các hình vẽ, mô hình, hình ảnh thực tế mà không theo tính chất về các yếu tố cạnh và góc, đồng thời gán cho khái niệm một cái tên. Chẳng hạn: Để giới thiệu hình tam giác, [21, tr.9] đưa ra một loạt hình tam giác với độ lớn, màu sắc, hình dạng (tam giác thường, vuông, đều), vị trí (nghiêng, thẳng) khác nhau, cùng với những hình ảnh thực tế có dạng hình tam giác (biển báo giao thông, thước êke, lá cờ). Từ đó, HS hình thành biểu tượng hình tam giác. Ngoài ra, SGK còn đưa ra một số hình ghép từ những hình tam giác (ngôi nhà, con thuyền, chong chóng, cây thông, con cá) giúp HS củng cố biểu tượng hình tam giác, đồng thời «bước đầu nhận ra hình tam giác từ các vật thật» [22, tr.24]. Cách tiếp cận thứ hai: hình vẽ kèm theo đặc điểm về các yếu tố cạnh và góc. Cách tiếp cận này được sử dụng hầu hết là ở lớp 3, «HS nhận biết các yếu tố của một hình (góc, cạnh, đỉnh) và đặc điểm của hình thông qua các yếu tố này» [26, tr.5]. Như vậy, khái niệm đã có một bước tiến triển cao hơn: không giới thiệu một cách tổng thể mà theo các yếu tố cạnh và góc.
Chẳng hạn: HS làm quen hình chữ nhật từ lớp 2 ([23, tr.23]) theo cách tiếp cận thứ nhất (giống như hình tam giác) nhằm hình thành biểu tượng về hình chữ nhật. Đến lớp 3, [25, tr.84] lại đưa ra hình chữ nhật nhưng theo cách tiếp cận thứ hai. Lúc này, mục tiêu không còn là «nhận dạng hình chữ nhật (qua hình dạng tổng thể, chưa đi vào đặc điểm các yếu tố của hình)» [24, tr.59], mà là «bước đầu có khái niệm về hình chữ nhật (theo yếu tố cạnh và góc), từ đó biết cách nhận dạng hình chữ nhật (theo yếu tố cạnh và góc)» [26], tr.152]. Tại thời điểm gặp gỡ này, các yếu tố cạnh và góc của hình chữ nhật được giới thiệu thông qua một hình chữ [23, tr.23] nhật cụ thể ABCD vẽ trên giấy kẻ ô vuông. Từ việc quan sát hình trên giấy kẻ ô vuông, cùng với việc «lấy êke kiểm tra xem 4 góc có vuông không» và «lấy thước đo chiều dài 4 cạnh», HS phát hiện ra [25, tr.152] đặc điểm của hình chữ nhật. Cách tiếp cận thứ ba: hỗn hợp hai cách trên, nghĩa là vừa giới thiệu tổng thể thông qua hình vẽ, vừa nêu đặc điểm về các yếu tố cạnh và góc. Cách tiếp cận này xuất hiện ở lớp 4 và 5, tại thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên của khái niệm. Chẳng hạn: [27, tr.102] đã giới thiệu hình bình hành bằng cách: Đầu tiên, «HS quan sát hình vẽ để hình thành biểu tượng về hình bình hành, GV giới thiệu tên gọi hình bình
hành». Sau đó mới «nhận biết một số đặc điểm của hình bình hành» từ việc quan sát hình vẽ trên giấy kẻ ô vuông và «đo độ dài các cạnh đối diện» [28, tr.182]. Như vậy, khái niệm hình bình hành đã được tiếp cận theo cách hỗn hợp. Đối với các khái niệm «hình khối» (hình không gian), [31, tr.82] đã viết: «Thông qua việc quan sát «hình ảnh» các vật thật trong thực tế để hình thành khái niệm «ban đầu» của hình khối». Chẳng hạn: Từ hình ảnh bao diêm, viên gạch, khái quát thành Từ hình ảnh con súc sắc, khái hình hộp chữ nhật. quát thành hình lập phương. Sau khi đã có biểu tượng các hình này, HS được hình thành khái niệm thông qua việc nhận biết đặc điểm các yếu tố về đỉnh, cạnh, mặt (mặt đáy, mặt bên) của các hình đó (chẳng hạn: hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh, 12 cạnh, 2 mặt đáy và 4 mặt bên; hình lập phương có 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt bằng nhau). Ngoài ra, HS còn được giới thiệu về «hình khai triển» của các hình đó, chẳng hạn: Hình khai triển của hình hộp chữ nhật: Hình khai triển của hình lập phương Bảng 1.1. Bảng thống kê cách tiếp cận các khái niệm ở bậc tiểu học STT Khái niệm Cách tiếp cận thứ nhất thứ hai Thứ ba 1 Hình vuông Lớp 1 Lớp 3 2 Hình tròn Lớp 1 Lớp 3, lớp 5
3 Đường tròn Lớp 5 4 Hình tam giác Lớp 1 Lớp 5 5 Hình tứ giác Lớp 2 6 Hình chữ nhật Lớp 2 Lớp 3 7 Hình bình hành Lớp 4 8 Hình thoi Lớp 4 9 Hình thang Lớp 5 10 Hình hộp chữ nhật Lớp 5 11 Hình lập phương Lớp 5 12 Hình trụ Lớp 5 13 Hình cầu Lớp 5  Sự tiến triển của các cách tiếp cận Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy các cách tiếp cận khái niệm tiến triển theo cấp lớp. Cách tiếp cận thứ nhất được sử dụng ở lớp 1 và 2, vì đây là các khái niệm đơn giản, quen thuộc, dễ nhận dạng trong cuộc sống hàng ngày. Lên lớp 3, các khái niệm được tiếp cận theo cách thứ hai nhằm bổ sung thêm các yếu tố về cạnh và góc của khái niệm. Ở lớp 4 và 5, các khái niệm mới được đưa vào, HS chưa từng có biểu tượng về nó nên tiếp cận theo cách thứ ba. Các khái niệm hình vuông, hình tam giác, hình chữ nhật xuất hiện 2 lần, hình tròn xuất hiện 3 lần ở bậc tiểu học. Tại thời điểm gặp gỡ đầu tiên (lớp 1, lớp 2), các khái niệm này được tiếp cận bằng cách thứ nhất (tổng thể thông qua hình vẽ). Đến thời điểm gặp gỡ thứ hai (lớp 3, lớp 5), cách tiếp cận các khái niệm này đã được tiến triển lên một bước là giới thiệu hình vẽ kèm theo các yếu tố về cạnh và góc. Theo chúng tôi, đây là cách trình bày hợp lý, phù hợp với HS vì các khái niệm hình vuông, hình tam giác, hình chữ nhật, hình tròn là các hình khá quen thuộc trong cuộc sống hàng ngày và rất dễ nhận dạng (nhìn hình là có thể nhận dạng được ngay). Do đó, ở các lớp 1 và 2, thể chế mong muốn HS tiếp cận các khái niệm này
một cách tổng thể thông qua hình vẽ. Lên các lớp trên (lớp 3, lớp 5), HS được tạo điều kiện gặp lại các khái niệm này nhằm tìm hiểu thêm về các yếu tố cạnh và góc. Các khái niệm còn lại HS chỉ được gặp gỡ một lần (lớp 4 hoặc lớp 5), hầu hết được tiếp cận theo cách thứ ba. Vì là lần gặp gỡ đầu tiên nên các khái niệm này cần được tiếp cận một cách tổng thể thông qua hình vẽ, đồng thời phải có mô tả các yếu tố về cạnh và góc mới có thể nhận dạng một cách chính xác được. Chẳng hạn: Nếu không mô tả các yếu tố về cạnh và góc, HS khó có thể phân biệt hình bình hành và hình thoi. Về cách tiếp cận khái niệm ở tiểu học, [33, tr.9] viết: «Ở bậc tiểu học, SGK không nêu định nghĩa chính xác các khái niệm hình học như ở bậc THCS mà thường chỉ dừng lại ở mức độ mô tả một số đặc điểm quan trọng. Chẳng hạn: Khái niệm hình chữ nhật không được định nghĩa như ở lớp 8: «Hình chữ nhật là hình bình hành có các góc bằng nhau», mà chỉ mô tả: «Hình chữ nhật có hai cạnh dài bằng nhau, hai cạnh ngắn bằng nhau và có bốn góc vuông». Đây không được coi là định nghĩa chính xác của hình chữ nhật vì đặc điểm (tứ giác) «có 4 góc vuông» đã hiển nhiên «hai cạnh dài bằng nhau, hai cạnh ngắn bằng nhau», do đó đặc điểm này nêu ra là thừa. Ngoài ra, cách mô tả này không bao quát hết tập hợp tất cả cách hình chữ nhật, vì đối với hình chữ nhật đặc biệt là hình vuông thì ta không phân biệt được cạnh dài, cạnh ngắn». Về «mối quan hệ» giữa các hình hình học (Chẳng hạn: Hình vuông có là hình chữ nhật đặc biệt không? Hình lập phương có phải là hình hộp chữ nhật đặc biệt không?...) [31, tr.95] viết: «Đây là vấn đề còn gây nhiều «tranh cãi» trong dạy học Toán ở Tiểu học, vì nó gặp phải mâu thuẫn giữa yêu cầu chính xác, khoa học khi cần hiểu đúng về các khái niệm về hình hình học với yêu cầu có tính sư phạm về mức độ nhận thức của HS tiểu học đối với việc lĩnh hội các kiến thức đó. Hướng «giải quyết» là HS chỉ cần nhận dạng các hình hình học ở những dấu hiệu, đặc điểm bản chất nhất và tường minh để phân biệt hình này với hình khác theo đúng tên gọi của nó».
Nhận xét Đặc trưng chủ yếu của cách tiếp cận khái niệm trong HHGN là khái niệm không được định nghĩa mà chỉ được gán thẳng cái tên kèm theo hình vẽ, đặc điểm. Các đặc điểm này có thể thừa và không bao quát hết các trường hợp đặc biệt của hình. Ngoài ra, tất cả các khái niệm đều được đưa ra thông qua hình vẽ. Thuật ngữ «định nghĩa» chưa được sử dụng. Điều đó cho thấy HHGN không được xây dựng chặt chẽ, hệ thống.  Với các đại lượng thông dụng, HS cũng hình thành các biểu tượng chủ yếu dựa trên mô hình trực quan, thông qua việc so sánh hoặc qua các ví dụ cụ thể.  Độ dài đoạn thẳng [21, tr.96] Thông qua hai hình vẽ bên trái (hai cây thước, hai đoạn thẳng), «HS có biểu tượng về «dài hơn – ngắn hơn», từ đó có biểu tượng về độ dài đoạn thẳng thông qua các đặc tính «dài – ngắn» của chúng» [22, tr.120]. «Từ các biểu tượng về «dài hơn – ngắn hơn», HS nhận ra rằng: mỗi đoạn thẳng có một độ dài nhất định» [22, tr.121]. Như vậy, khái niệm độ dài đoạn thẳng không được định nghĩa, mà ẩn đằng sau biểu tượng «dài hơn – ngắn hơn».  Chu vi một hình [23, tr.130] Chu vi của một hình được giới thiệu thông qua hai ví dụ cụ thể: Tính tổng độ dài các cạnh một hình tam giác và một hình tứ giác, rồi gán cho kết quả vừa tìm được cái tên «chu vi». Từ đó khái quát lên «Tổng độ dài các cạnh của hình tam giác (hình
tứ giác) là chu vi của hình đó» [23, tr.30]. Đây được xem như là định nghĩa khái niệm chu vi của hình tam giác (hình tứ giác), nhưng cũng như khái niệm các hình ở trên, thuật ngữ «định nghĩa» không xuất hiện.  Diện tích một hình [25, tr.150] «HS có biểu tượng về diện tích qua hoạt động so sánh diện tích các hình» [26, tr.234] (hình A nằm hoàn toàn trong hình B  diện tích hình A nhỏ hơn diện tích hình B, hoặc so sánh số ô vuông của mỗi hình  so sánh diện tích). Như vậy, khái niệm diện tích một hình không được định nghĩa, mà ẩn đằng sau hoạt động so sánh diện tích các hình.  Thể tích một hình [29, tr.114] Cách tiếp cận hoàn toàn tương tự khái niệm diện tích một hình. Khái niệm thể tích một hình không được định nghĩa, mà ẩn đằng sau hoạt động so sánh thể tích các hình.
Nhận xét Trong HHGN, tất cả khái niệm đại lượng đều được tiếp cận bằng trực giác, ¾ khái niệm không được định nghĩa mà ẩn đằng sau các hoạt động so sánh, chỉ có duy nhất khái niệm được «chu vi» định nghĩa nhờ khái quát lên từ hai ví dụ minh hoạ (nhưng cũng không dùng thuật ngữ «định nghĩa»). Như vậy, HHGN chỉ giúp HS làm quen và có biểu tượng về các đại lượng này. 1.3.1.2. Tính chất, qui tắc  Các tính chất hình học đều được đưa ra dựa trên quan sát và đo đạc một hình cụ thể, sau đó khái quát lên mà không chứng minh. Theo phân loại của Nicolas Balacheff, đây là kiểu kiểm chứng «Thí nghiệm quyết đoán». Chẳng hạn: Tính chất «hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» ([25, tr.84]) được rút ra nhờ quan sát và đo đạc. Biểu tượng hình chữ nhật đã được hình thành ở lớp 2, lên lớp 3 tính chất hình chữ nhật được phát hiện khi quan sát và đo đạc hình chữ nhật ABCD được vẽ trên giấy kẻ ô vuông: «Lấy êke kiểm tra 4 góc đỉnh A, B, C, D đều là góc vuông», «Lấy thước đo chiều dài 4 cạnh để thấy: 2 cạnh dài có độ dài bằng nhau: AB = CD, 2 cạnh ngắn có độ dài bằng nhau: AD = BC», «Từ đó kết luận: hình chữ nhật có 4 góc vuông, có 2 cạnh dài bằng nhau và 2 cạnh ngắn bằng nhau» [26, tr.152]. Tính chất «hình thang có một cặp cạnh đối diện song song» ([29, tr.91]) được nhận ra nhờ quan sát. Sau khi cho HS hình thành biểu tượng hình thang qua hình vẽ cái thang, «yêu cầu HS quan sát mô hình lắp ghép và hình vẽ hình thang ABCD trong SGK để tự phát hiện đặc điểm của hình thang: Hình thang ABCD có hai cạnh AB và DC song song với nhau». Từ đó khái quát lên thành tính chất hình thang «HS tự nêu nhận xét: Hình thang có 2 cạnh đối diện song song với nhau» [30, tr.169].
 Các quy tắc tính chu vi một hình được thiết lập bằng cách giới thiệu một hình với số đo cụ thể, sau đó nêu thành quy tắc tổng quát mà không chứng minh. - Chẳng hạn: Quy tắc tính chu vi hình chữ nhật được thiết lập thông qua nhiệm vụ: Tính chu vi hình chữ nhật ABCD có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm. Đầu tiên, chu vi hình chữ nhật được tính dựa vào định nghĩa chu vi tứ giác: 4  3  4  3  14  cm  , sau đó làm gọn phép tính:  4  3 x2  14  cm  . «Từ đó, GV nêu quy tắc: Muốn tính chu vi hình chữ nhật, ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng (cùng đơn vị đo) rồi nhân với 2» [26, tr.156]. - Quy tắc tính chu vi hình tròn được thiết lập thông qua nhiệm vụ: Tính chu vi hình tròn có bán kính 2cm. Hình tròn không có cạnh nên không thể tính chu vi như những hình khác. Do đó, trước tiên [29, tr.97] phải giải thích chu vi hình tròn thông qua một thực nghiệm cho hình tròn có bán kính 2cm lăn một vòng trên thước. «Độ dài của một đường tròn gọi là chu vi của hình tròn đó». Từ đó, tìm được chu vi của hình tròn bán kính 2cm (đường kính 4cm) trong khoảng 12,5cm đến 12,6cm. Ngoài ra, «Trong toán học, người ta có thể tính chu vi hình tròn có đường kính 4cm bằng cách nhân đường kính 4cm với số 3,14: 4  3,14 = 12,56 (cm)» Từ đó, SGK nêu quy tắc chung: «Muốn tính chu vi của hình tròn, ta lấy đường kính nhân với số 3,14.
C = d  3,14 (C là chu vi hình tròn, d là đường kính hình tròn). Hoặc: Muốn tính chu vi của hình tròn, ta lấy 2 lần bán kính nhân với số 3,14. C = r  2  3,14 (C là chu vi hình tròn, r là bán kính hình tròn)».  Các quy tắc tính diện tích một hình được thiết lập bằng năm cách: Cách thứ nhất: giới thiệu một hình với số đo cụ thể, sau đó nêu thành quy tắc tổng quát mà không chứng minh. Cách này chỉ được sử dụng ở lớp 3, dùng để tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông thông qua số ô vuông. Chẳng hạn: Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật được thiết lập thông qua nhiệm vụ: Tính diện tích hình chữ nhật có chiều dài 4cm và chiều rộng 3cm. Cách thứ hai: cắt ghép để đưa hình cần tính về hình đã biết cách tính (hình chữ nhật). Hình sau khi ghép được công nhận là hình chữ nhật nhờ trực giác. Cách này được sử dụng ở lớp 4 và 5. Chẳng hạn: Quy tắc tính diện tích hình bình hành được thiết lập thông qua việc cắt ghép hình bình hành thành hình chữ nhật. Cách thứ ba: nêu thẳng quy tắc. Cách này được sử dụng duy nhất một lần ở lớp 5 ([29, tr.99]) khi tính diện tích hình tròn: «Muốn tính diện tích của hình tròn, ta lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14. S = r  r  3,14 (S là diện tích hình tròn, r là bán kính hình tròn».