Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:87

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số để nắm bắt được những nội dung về quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô cực, nghiên cứu một đồ án dạy học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phan Kim Mộng NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phan Kim Mộng NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập với sự hướng dẫn của TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
LỜI CẢM ƠN Tôi trân trọng dành những dòng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:  PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt tình của cô, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu.  TS. Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, người còn dành một buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi trình bày một luận văn, xử lí hình ảnh,…  PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Thị Nga. Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung còn mới mẻ của chuyên ngành Didactic Toán. Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi niềm say mê, hứng thú đối với chuyên ngành này.  GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent về những góp ý quý báu cho luận văn. Và tôi cũng chân thành cảm ơn:  UBND tỉnh Bến Tre, Sở GD ĐT tỉnh Bến Tre, Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn Đình Chiểu đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa học.  Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.  Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 23 về những chia sẻ, động viên nhau để hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình, trong đó có cô Đoàn Thị Minh Phượng là cô giáo chủ nhiệm cũ, cũng là đồng nghiệp trong tổ Toán của tôi, mọi người đã tạo điều kiện tốt và là hậu phương vững chắc giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học. Nguyễn Phan Kim Mộng
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT CLHN: Chỉnh lí hợp nhất SGK: Sách giáo khoa SGK VN: Sách giáo khoa Việt Nam THPT: Trung học phổ thông CTHH: Chương trình hiện hành SGK11 CB: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản SGKHH: Sách giáo khoa hiện hành KNV: Kiểu nhiệm vụ TCĐ: Tiệm cận đứng SGK11 NC: Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao SGK12 CB: Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản SBT12 CB: Sách bài tập giải tích 12 cơ bản SGK12 NC: Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao SBT12 NC: Sách bài tập giải tích 12 nâng cao SGK 10 NC: Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao SGV12 NC: Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao Tr: Trang HS: Học sinh GV: Giáo viên
DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng1.1: Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số ……….13 Bảng 1.2 : Bảng thống kê KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số…………….15 Bảng 1.3: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng….24 Bảng 1.4: Bảng thống kê số lượng ví dụ và bài tập thuộc các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số trong SGK Mỹ………………….42 Bảng 2.1. Giá trị x sao cho f(x)>M……………………………………………..……….55 Bảng 2.2. Giá trị hàm số f………………………………………………….…………....58 Bảng 2.3. Bảng thống kê kết quả trong pha 1……………………………….……..…....66 Bảng 2.4. Bảng thống kê kết quả trong pha 4 ………………………………………......72
DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 1.1. Tiếp tuyến của đường cong……………………………………………….27 Hình 1.2. Đồ thị của hàm số y= 1/x2………………………………………………...29 Hình 1.3. Minh họa định nghĩa lim f ( x) = +∞ ……………………………………….30 x→a Hình 1.4. Minh họa định nghĩa lim f ( x) = −∞ ………………………………….……30 x→a Hình 1.5. Minh họa định nghĩa giới hạn một bên…………………………………....31 Hình 1.6. Minh họa định nghĩa chính xác của giới hạn……..……………………....32 Hình 2.1. Bốn phương án của phiếu 1……………………………………………….47 Hình 2.2. Đồ thị hàm số f và điểm M trên đồ thị ……………………………….…51 Hình 2.3. Đồ thị hàm số f và đường thẳng y=5 …………………………………....55 Hình 2.4. Pha 1, bài làm của học sinh 1 …………………………………………...67 Hình 2.5. Pha 1, bài làm của học sinh 2 …………………………………………...67 Hình 2.6. Pha 1, bài làm của học sinh 3 …………………………………………..68 Hình 2.7. Pha 1, bài làm của học sinh 4 …………………………………………….68 Hình 2.8. Pha 1, bài làm của học sinh 5 …………………………………………….68 Hình 2.9. Pha 2, bài làm của học sinh 6 ……………………………………………69 Hình 2.10. Pha 2, bài làm của học sinh7 …………………………………………...69 Hình 2.11. Pha 2, bài làm của học sinh 8 ……………………………………….….70 Hình 2.12. Pha 3, bài làm của nhóm 1, 3 ……………………………………….….71 Hình 2.13. Pha 4, bài làm của nhóm 3, 5 …………………………………………..73 Hình 2.14. Pha 4, bài làm của nhóm 4 ……………………………………………..73 Hình 2.15. Pha 5, bài làm của nhóm 1 ……………………………………………..74
MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các thuật ngữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình vẽ MỞ ĐẦU.............................................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................................1 1.1. Về phương diện tri thức luận ....................................................................................1 1.2. Về phương diện thể chế dạy học Việt Nam ..............................................................3 1.3. Các đồ án dạy học về khái niệm giới hạn .................................................................5 2. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận văn...................................................................7 3. Mục đích nghiên cứu .....................................................................................................7 4. Phương pháp nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ...................................... 7 5. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................................8 Chương 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC ............. 10 1.1. Giới hạn vô cực trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam..........................10 1.1.1. Những kết quả nghiên cứu đã có .....................................................................10 1.1.2. Cấp độ chương trình ........................................................................................11 1.1.3. Cấp độ sách giáo khoa .....................................................................................12 1.2. Kết luận về thể chế dạy học khái niệm giới hạn vô cực ở trường phổ thông Việt Nam.........................................................................................................................24 1.3. Giới hạn vô cực của hàm số trong sách giáo khoa Mỹ ...........................................26 1.3.3. Phần bài học ......................................................................................................27 1.3.3. Về định nghĩa ....................................................................................................29 1.3.3. Về các định lí giới hạn ......................................................................................32
1.4. Phần bài tập .............................................................................................................34 1.5. Về vai trò công cụ của giới hạn vô cực của hàm số ................................................41 1.6. Một số kết luận về phân tích sách giáo khoa Mỹ:...................................................43 6. Kết luận chương 1 .......................................................................................................43 CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC .............................................45 2.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................45 2.2. Các lựa chọn cố định cho tất cả các tình huống của đồ án .....................................45 2.3. Nội dung thực nghiệm .............................................................................................46 2.3.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm và kịch bản thực nghiệm ....................46 2.3.2. Kịch bản thực nghiệm .......................................................................................58 2.4. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................................59 2.4.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống 1 ..................................................................59 2.4.2. Phân tích tiên nghiệm tình huống 2 ..................................................................62 2.5. Phân tích hậu nghiệm ..............................................................................................66 2.5.1. Pha 1 .................................................................................................................66 2.5.2. Pha 2 .................................................................................................................69 2.5.3. Pha 3 .................................................................................................................71 2.5.4. Pha 4 .................................................................................................................72 2.5.5. Pha 5 .................................................................................................................74 2.6. Kết luận chương 2 ...................................................................................................75 KẾT LUẬN ......................................................................................................................76 TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................................77
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Khái niệm giới hạn là một trong những khái niệm cơ sở trong dạy học Giải tích thực một biến. Nhóm AHA (1999) đã nhận định: Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đó phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai hướng: có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn […]. Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực. Qua việc tham khảo tài liệu nghiên cứu về khái niệm giới hạn, đặc biệt là các công trình nghiên cứu trong didactic toán, chúng tôi nhận thấy có nhiều đề tài nghiên cứu quan tâm đến khái niệm này. Điều đó thể hiện vị trí quan trọng của khái niệm này trong dạy học giải tích ở trường phổ thông. Quan tâm đến việc dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi tóm tắt các công trình nghiên cứu đã có về khái niệm giới hạn theo ba phương diện: - Phương diện tri thức luận - Phương diện phân tích thể chế - Phương diện đồ án dạy học 1.1. Về phương diện tri thức luận  Quan điểm tri thức luận của khái niệm giới hạn Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã tổng hợp ba quan điểm tri thức luận về khái niệm giới hạn. • Quan điểm “đại số” Theo quan điểm này khái niệm giới hạn chỉ là việc tính toán các giới hạn bằng các quy tắc đại số. Nó cho phép thao tác trên những định lý và sử dụng các kết quả liên quan đến các “giới hạn thông dụng” mà không cần làm rõ bản chất của khái niệm. Ví dụ: Thực nghiệm của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã kiểm chứng được quan điểm nổi trội ở trường THPT Việt Nam là quan điểm đại số, thông qua hai câu hỏi, một là yêu cầu tính một giới hạn nhưng giới hạn đó không tồn tại và hai là giải thích kết quả của một bài toán giới hạn:
2 2 − x −1 Câu hỏi 1: Tính lim x →3 x −3 Câu hỏi 2: Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 hiểu x2 −1 lim = 2 có nghĩa là gì? [12, tr. 23]. x →1 x − 1 Kết quả cho thấy đối với kiểu nhiệm vụ tính lim f ( x) thì phần lớn học sinh (73%) tìm x→a cách biến đổi đưa về dạng vô định quen thuộc và thực hiện các bước tính toán để cho một kết quả L. Còn đối với câu hỏi 2, đa số học sinh (72,5%) giải thích bằng cách viết một chỉ dẫn để tính hoặc thực hiện phép tính để cho kết quả. Điều đó cho thấy quan điểm đại số chính là quan điểm nổi trội trong thể chế THPT Việt Nam. • Quan điểm “xấp xỉ x”: (Trong tác phẩm của Bkouche 1996, ông gọi là quan điểm chuyển động học) Theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ f(x) đến l. “Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa x nhận các giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y - phụ thuộc vào x (y là một hàm số của đại lượng x) - tiến về một giá trị l. Nếu x dần dần xích lại gần giá trị a kéo theo đại lượng y xích gần lại l” [Bkouche 1996]. Ví dụ: Trong luận văn của mình, tác giả Lê Thành Đạt (2010) giới thiệu cách tiếp cận định nghĩa giới hạn hàm số tại x = a của sách giáo khoa (SGK) Mỹ « Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic – year 12 »: Khi chúng ta viết lim f ( x) = L chúng ta hiểu là f ( x) nhận giá trị dần đến L khi x x→a nhận giá trị dần đến a (nhưng không bằng a ). [2, tr. 53]. Điều đó cho thấy quyển SGK Mỹ này đã lựa chọn quan điểm xấp xỉ x. • Quan điểm “xấp xỉ f(x)”: (Trong tác phẩm của Bkouche 1996, ông gọi là quan điểm xấp xỉ) Theo quan điểm này, chính độ xấp xỉ f(x) với l sẽ quyết định độ xấp xỉ x với a. Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) thì: Chính quan điểm “xấp xỉ f(x)” cho phép khái niệm giới hạn trở thành tri thức toán học thực thụ. Nhưng bên cạnh đó thì: Quan điểm “xấp xỉ x” chính là chướng ngại khi tiếp cận quan điểm “xấp xỉ f(x)”
3 Các quan điểm về khái niệm giới hạn xuất hiện trong lịch sử theo tiến trình: quan điểm xấp xỉ x; quan điểm xấp xỉ f(x); quan điểm đại số. Những nghiên cứu về mặt tri thức luận đã tổng hợp còn đưa ra tổ chức toán học tham chiếu.  Tổ chức toán học tham chiếu Để phân tích chương trình và SGK, người ta đã mô hình hóa từ các giáo trình đại học thành các tổ chức toán học tham chiếu. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), đã tóm tắt một số kết quả từ nghiên cứu của Bosch, Espinoza và Gascon (2002) về hai tổ chức toán học địa phương tham chiếu OM 1 và OM 2 của khái niệm giới hạn như sau: OM 1 : Xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn. [12, tr. 4]. Thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T 1 : “Tính lim f ( x) ” (ở đây a là một số thực, hoặc là vô x→a cực). Kĩ thuật gắn với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản là thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Yếu tố công nghệ để giải thích cho các kĩ thuật được xây dựng qua hệ thống tiên đề Serge Lang trong Calculus (1986). OM 2 : Xoay quanh bản chất tôpô của khái niệm giới hạn. [12, tr. 5]. Để trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một biểu thức xác định hàm số. Kiểu nhiệm vụ liên quan là T 2 : Chứng minh tồn tại (hay không tồn tại) lim f ( x) . Yếu x→a tố công nghệ để giải thích cho kiểu nhiệm vụ T 2 là dựa trên tính chất giới hạn dãy số và định nghĩa khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ (ε , δ ) . Như vậy OM 1 gắn với quan điểm đại số của giới hạn còn OM 2 gắn với quan điểm xấp xỉ (gồm xấp xỉ x và xấp xỉ f(x)) của giới hạn. Từ đó cho phép rút ra những kết luận sau về thể chế dạy học Việt Nam. 1.2. Về phương diện thể chế dạy học Việt Nam Chúng tôi sẽ tóm tắt thành hai giai đoạn từ các công trình nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) và Lê Thành Đạt (2010), như sau:  Giai đoạn chỉnh lí hợp nhất (CLHN)
4 Từ năm học 2000 – 2001, các trường THPT trong cả nước đã dùng chung một bộ SGK gọi là bộ SGK CLHN thay thế cho ba bộ SGK đã được sử dụng từ năm 1990 ở ba miền trước đó. Trong phân tích chương trình và SGK giai đoạn này, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đều có kết luận giống nhau là chương trình và SGK ưu tiên cho các kiểu nhiệm vụ là dấu vết của tổ chức toán học tham chiếu OM 1 , các nội dung toán học là vết của OM 2 hầu như không xuất hiện. Như vậy theo kết luận của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) thì: SGK hiện hành (tức là SGK CLHN) tạo thuận lợi cho việc thiết lập quan điểm đại số của khái niệm giới hạn ở học sinh. [12, tr. 19]  Giai đoạn hiện hành: Đến năm học 2005 - 2006, bộ SGK CLHN lại được thay thế bằng hai bộ SGK, một bộ được viết theo chương trình chuẩn và một bộ được viết theo chương trình nâng cao. Chúng tôi gọi đây là chương trình hiện hành (CTHH), trong đó bộ sách viết theo chương trình chuẩn được gọi là SGK cơ bản còn bộ sách viết theo chương trình nâng cao được gọi là SGK nâng cao. Những điểm khác nhau cơ bản của CTHH so với chương trình CLHN về khái niệm giới hạn được tác giả Lê Thành Đạt (2010) nêu: Chương trình hiện hành không dùng ngôn ngữ ( ε ; N ) để định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số, thay vào đó thông qua hoạt động cụ thể để hình thành định nghĩa giới hạn 0. Chương trình hiện hành phân biệt hai khái niệm giới hạn vô cực của hàm số: giới hạn −∞ và giới hạn +∞ , đồng thời xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số khi x → +∞ và x → −∞ (trong khi chương trình chỉnh lí hợp nhất lại đưa ký hiệu lim f ( x) ). x→∞ [2, tr. 25]. Và tác giả cũng kết luận thêm đối với khái niệm giới hạn thì trong chương trình hiện hành hoàn toàn thiếu các yếu tố lý thuyết của tổ chức toán học OM 2 xoay quanh kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại giới hạn. Qua việc phân tích các tổ chức toán học, tác giả kết luận: Vết của tổ chức toán học OM 1 chiếm ưu thế (35/41 nhiệm vụ trong bộ SGK cơ bản và 105/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao). Vết của tổ chức toán học OM 2 tồn tại nhưng ít hơn OM 1 (chiếm tỷ lệ 6/41 nhiệm vụ
5 trong bộ SGK cơ bản và 5/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao). Lí do dẫn đến kết quả trên có thể được giải thích: vì các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật là vết của tổ chức toán học OM 2 hầu như không được sử dụng với mục đích là công cụ nghiên cứu các đối tượng tri thức khác có liên quan đến khái niệm giới hạn như: khái niệm hàm số liên tục, đạo hàm, các đường tiệm cận của đồ thị hàm số …[2, tr. 52]. Như vậy qua hai giai đoạn khác nhau, chúng tôi nhận thấy quan điểm đại số vẫn chiếm ưu thế trong thể chế trường phổ thông. Qua việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi tổng hợp lại các đồ án didactic đã được xây dựng từ hai công trình của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004). 1.3. Các đồ án dạy học về khái niệm giới hạn  Đồ án trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Đồ án này được xây dựng với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm, theo quan điểm xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi với nội dung như sau: x 2 − 0,1x − 0, 02 Cho hàm số f ( x ) = 0, 25 x 2 − 0, 01 • Hoạt động 1 (làm việc cá nhân) với yêu cầu : Giải phương trình f ( x ) = 3 • Hoạt động 2 (làm việc cá nhân, một nửa lớp làm trên phiếu 2A và một nửa còn lại làm phiếu 2B) với 2 yêu cầu: Phiếu 2A: Tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 ≤ f ( x ) < 3, 01 Phiếu 2B: Tìm ba giá trị của x sao cho 2,99 < f ( x ) ≤ 3, 01 • Hoạt động 3 (làm việc nhóm, các nhóm làm trên phiếu 3A là những HS đã được làm việc với phiếu 2A, tương tự cho phiếu 3B) với 2 yêu cầu: Phiếu 3A: Hãy đề nghị một cặp số ( x; f ( x) ) sao cho giá trị f ( x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x < 0, 2 Phiếu 3B: Hãy đề nghị một cặp số ( x; f ( x) ) sao cho giá trị f ( x) gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và x > 0, 2 Từ pha thể chế hóa, tác giả đã rút ra kết luận: - Nảy sinh tình huống làm xuất hiện một đối tượng quan trọng của Giải tích xấp xỉ
6 đó là khoảng cách (do cả lớp đã thống nhất dùng khoảng cách f ( x) − 3 để so sánh độ gần của hai giá trị gần đúng xung quanh 3) - Thông qua việc chứng tỏ luôn tìm được cặp (x;f(x)) “tốt hơn” bởi phương trình f ( x)= 3 ± 10−n luôn có nghiệm, đã làm xuất hiện ở học sinh tư tưởng “với mọi giá trị b gần 3, tồn tại giá trị a gần 0,2 sao cho f(a)=b”. Từ đó giúp học sinh nghĩ đến việc đang tính toán giới hạn và hiểu được ý nghĩa của ký hiệu lim f ( x) = 3 . x→0,2 Như vậy đồ án này đã cho thấy có thể tiếp cận khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ f(x) bằng thực nghiệm số, trong môi trường máy tinh bỏ túi.  Đồ án trong luận văn của Nguyễn Thành Long (2004) Thực nghiệm được thực hiện trên học sinh lớp 11 chưa học về khái niệm giới hạn. Tác giả xây dựng những tình huống và các công đoạn dạy học về tính diện tích hình phẳng dựa trên bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên đoạn [ a; b ] với a ≥ 0 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) , trục hoành Ox và hai đường thẳng = x a= , x b. [6, tr. 6]. Mục đích nhằm kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết: Các tình huống tính diện tích hình phẳng đã chọn cho phép làm nảy sinh ở học sinh một vài yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ, trong sự vắng mặt của định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ ε , δ . [6, tr.7]. Qua thực nghiệm tác giả cũng ghi nhận sự xuất hiện của yếu tố xấp xỉ trong nhận thức của học sinh. Điều đó thể hiện qua: - Xấp xỉ hình học: chia nhỏ hình thang cong thành nhiều hình thang cong nhỏ để xấp xỉ nó với hình thang vuông. - Tổng hữu hạn: Xấp xỉ diện tích một hình chưa tính được với tổng rất lớn các số hạng là diện tích các hình rất nhỏ. - Vô cùng bé: thể hiện qua yêu cầu về sai số rất nhỏ, khi tính giá trị gần đúng. Cuối cùng, tác giả nhận định:
7 Đại số hóa và xấp xỉ là hai mặt biện chứng về khái niệm giới hạn nói riêng và về giải tích nói chung.Trong ràng buộc thể chế dù nhấn mạnh đến quan điểm đại số nhưng vẫn có thể tiếp cận được quan điểm xấp xỉ. [6, tr. 87]. 2. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận văn Nghiên cứu thể chế của các tác giả đã cho thấy quan điểm nổi trội về khái niệm giới hạn là quan điểm “đại số”. Quan điểm xấp xỉ có đề cập nhưng rất ít. Qua các đồ án đã xây dựng, cho thấy có thể tiếp cận khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ f(x). Các đồ án dạy học đã thực hiện chỉ tập trung vào dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, chưa có một nghiên cứu đồ án dạy học quan tâm đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Trong khi đó, trường hợp đặc biệt của khái niệm giới hạn này cũng không kém phần quan trọng vì nó liên quan đến nhiều đối tượng toán học khác như tiệm cận của đồ thị hàm số, chuỗi phân kì, tích phân suy rộng… Trong dạy học toán ở bậc THPT Việt Nam, đối tượng tiệm cận, xuất hiện ngay sau khái niệm giới hạn hàm số. Về mặt toán học, tiệm cận đứng có mối liên hệ với giới hạn vô cực. Vì vậy, chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình với đề tài: Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong mối liên hệ với khái niệm tiệm cận đứng. 3. Mục đích nghiên cứu Chúng tôi cụ thể mục đích nghiên cứu của đề tài nghiên cứu thành các câu hỏi sau: Q1:Trong dạy học toán bậc THPT Việt Nam, đâu là mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô cực? Đặc biệt: giới hạn vô cực của hàm số được giới thiệu như thế nào? Mối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày ra sao? Các kiểu nhiệm vụ nào ứng với hai đối tượng này và mối liên hệ giữa chúng? Q2: Có thể có những lựa chọn sư phạm nào khác liên quan đến việc dạy học giới hạn vô cực trong mối liên hệ với tiệm cận đứng? Q3: Các tình huống nào có thể được lựa chọn để làm nảy sinh các quan điểm xấp xỉ cho học sinh thông qua việc dạy học giới hạn vô cực? 4. Phương pháp nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Để có câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi trên, việc làm quan trọng trước tiên là chúng tôi phải xác định cho mình công cụ lý thuyết làm điểm tựa. Chúng tôi đã tìm thấy những
8 công cụ hữu hiệu đó trong phạm vi Didactic toán. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm sau: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, khái niệm tổ chức toán học, tình huống cơ sở, biến didactic, môi trường... • Nghiên cứu thể chế Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời câu hỏi Q1, Q2. Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là giới hạn vô cực của hàm số, I là thể chế dạy học toán ở bậc THPT Việt Nam thì câu hỏi Q1 liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế trong thuyết nhân học do Y. Chevallard đặt nền móng. Phân tích quan hệ thể chế R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được cuộc sống của O trong I. Từ đó, chúng tôi sẽ tìm hiểu giới hạn vô cực được tiếp cận theo quan điểm nào và phạm vi tác động của quan điểm đó. Mối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày như thế nào? Mặt khác, theo Bosch và Chevallard, để phân tích quan hệ R (I, O) thì cần dùng đến khái niệm tổ chức toán học. Phân tích các KNV liên quan đến hai đối tượng tiệm cận đứng và giới hạn vô cực giúp chúng tôi làm rõ hơn quan hệ thể chế với các đối tượng tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế. Như vậy chúng tôi sẽ phân tích SGK Việt Nam. Phân tích này dựa trên kết quả nghiên cứu quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn vô cực trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011). Tiếp đến sẽ là một phân tích SGK Mỹ Calculus, từ đó giúp chúng tôi tìm hiểu xem có những lựa chọn nào khác liên quan đến việc dạy học giới hạn vô cực của hàm số trong mối liên hệ với tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. • Đồ án dạy học Câu hỏi Q3 liên quan đến khái niệm đồ án didactic trong lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất. Việc thiết kế các tình huống để làm nảy sinh quan điểm xấp xỉ cho học sinh thông qua dạy học giới hạn vô cực sẽ dựa trên các khái niệm cơ bản trong lý thuyết tình huống như tình huống cơ sở, biến didactic, môi trường... Do vậy, chúng tôi lựa chọn thuyết nhân học, lý thuyết tình huống làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình dường như là hoàn toàn phù hợp. 5. Cấu trúc của luận văn Luận văn này gồm phần mở đầu, phần kết luận và hai chương.
9 Phần mở đầu trình bày lí do chọn đề tài từ việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu trong didactic toán về khái niệm giới hạn, mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Chương 1: Giới hạn vô cực của hàm số trong thể chế dạy học toán phổ thông. Trong chương này, đầu tiên chúng tôi tổng hợp những kết quả nghiên cứu thể chế trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc, sau đó phân tích SGK Mỹ để xem xét có sự lựa chọn nào khác. Từ đó tìm ra các yếu tố giúp chúng tôi tiến hành thực nghiệm. Chương 2: Thực ngiệm. Chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic. Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 11, chưa học khái niệm giới hạn vô cực. Phần kết luận nêu các kết quả đạt được từ luận văn.
10 Chương 1 QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC Mục tiêu của chương nhằm tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1: “Trong dạy học toán bậc THPT Việt Nam, mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô cực được thể hiện như thế nào? Đặc biệt, giới hạn vô cực của hàm số xuất hiện ở đâu? Mối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày ra sao? Các kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến hai đối tượng này và mối liên hệ giữa chúng?” Những kết quả rút ra từ việc tóm tắt các công trình nghiên cứu đã có trong phần mở đầu sẽ là cơ sở để chúng tôi thực hiện phân tích ở chương này. Nghiên cứu của chúng tôi ở mục này, trước hết là tổng hợp lại các kết quả của luận văn: Giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông, Nguyễn Thị Kim Cúc (2011), Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP TP HCM. Nghiên cứu của chúng tôi có thể xem là sự tiếp nối luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) với mục tiêu “Nghiên cứu một đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong mối liên hệ với tiệm cận đứng”. Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích thêm chương trình và SGK lớp 12 hiện hành về khái niệm tiệm cận đứng như một vai trò công cụ của giới hạn vô cực. Ngoài ra, chúng tôi còn phân tích một SGK Mỹ, Calculus (2008), James Stewart, 6th edition. Việc phân tích song song hai thể chế sẽ cho phép làm nổi rõ đặc trưng, điều kiện ràng buộc của mối quan hệ thể chế dạy học toán bậc THPT VN với đối tượng tri thức được đề cập. 1.1. Giới hạn vô cực trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam 1.1.1. Những kết quả nghiên cứu đã có Trong luận văn của Nguyễn Thị Kim Cúc (2011), tác giả đã thực hiện một nghiên cứu nhằm trả lời các câu hỏi: - Giới hạn vô cực của hàm số được đưa vào như thế nào trong chương trình toán phổ thông hiện hành? - Vai trò công cụ của giới hạn vô cực của hàm số đối với các khái niệm liên quan là gì?
11 Mặc dù tác giả có nêu vai trò công cụ của giới hạn vô cực đối với các khái niệm liên quan như hàm số không liên tục tại một điểm, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, tiệm cận đứng. Tuy nhiên, để trả lời câu hỏi Q1 của chúng tôi về nội dung: “Mối liên hệ giữa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và giới hạn vô cực được trình bày ra sao? Các kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến hai đối tượng này và mối liên hệ giữa chúng?” thì kết quả phân tích về tiệm cận đứng của tác giả là chưa đủ. Vì vậy, chúng tôi sẽ bổ sung cho nội dung này về các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng ở phần sau. 1.1.2. Cấp độ chương trình Tác giả đã phân tích chương trình hiện hành và so sánh với Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tài liệu được sử dụng là Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 ban cơ bản và nâng cao, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, kết quả cho thấy: Về kiến thức, chương trình yêu cầu biết khái niệm giới hạn của dãy số (thông qua ví dụ cụ thể) và giới hạn hàm số được định nghĩa dựa vào giới hạn dãy số, không dùng ngôn ngữ ε , δ . Các định lí, qui tắc tính giới hạn được chương trình hiện hành yêu cầu thừa nhận, không chứng minh. Điều đó, chương trình phần nào thể hiện quan điểm tiếp cận là quan điểm xấp xỉ x. Nhưng về kĩ năng, chương trình lại yêu cầu biết vận dụng nội dung định lí và các giới hạn đặc biệt để tìm được các giới hạn của những hàm số đơn giản. Giới hạn vô cực của hàm số cũng không phải là một trường hợp ngoại lệ. Mà theo Nguyễn Thành Long (2004) thì điều đó […]đồng nghĩa với việc quan điểm xấp xỉ (tức là xấp xỉ f(x)) không có cơ hội được thể hiện ngay từ buổi đầu dạy học Giải tích…SGK đã mở đường cho quan điểm đại số lấn át quan điểm xấp xỉ, chiếm lĩnh việc dạy học khái niệm giới hạn. [6, tr. 36]. Hơn nữa, chương trình cũng phân biệt hai khái niệm giới hạn vô cực của hàm số: giới hạn −∞ và giới hạn +∞ , thừa nhận lim f ( x) = ±∞ (với a hữu hạn hoặc vô hạn) là một x→a giới hạn và do đó đã đưa vào một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số một cách tường minh.