Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> LÊ THANH HIỀN<br /> <br /> ÁP DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI<br /> MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ<br /> Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số: 60460113<br /> <br /> Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn<br /> <br /> HÀ NỘI, 2016<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới<br /> thầy giáo hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn. Thầy đã giao đề tài<br /> và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này.<br /> Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô<br /> giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em<br /> trong suốt quá trình học tập tại khoa.<br /> Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp phương pháp toán sơ<br /> cấp khóa 2014- 2016 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập<br /> tại lớp.<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lý do chọn đề tài<br /> Số phức có thể được dùng như một công cụ hữu hiệu để giải<br /> quyết nhiều bài toán, cả trong đại số, hình học, lượng giác, tổ hợp....<br /> Với sự trở lại của số phức trong chương trình trung học phổ thông,<br /> nhiều vấn đề của Toán sơ cấp có thể được trình bày rõ ràng và đầy<br /> đủ hơn.<br /> Chương trình Toán học ở bậc trung học phổ thông của hầu<br /> hết các nước đều có phần số phức. Ở nước ta, sau nhiều lần cải<br /> cách, nội dung số phức cuối cùng đã được đưa trở lại vào chương<br /> trình Giải tích 12 (với dung lượng còn khá khiêm tốn). Vì nhiều<br /> lý do khác nhau, không ít học sinh( thậm chí là học sinh khá giỏi)<br /> sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách đơn giản:<br /> sử dụng số phức ta có thể giải mọi phương trình bậc hai, tính được<br /> vài tổng đặc biệt...<br /> Trên thực tế, trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olimpic<br /> khu vực, Olimpic quốc tế, có khá nhiều dạng toán có liên quan đến<br /> số phức. Việc sử dụng trong nghiên cứu, khảo sát hình học phẳng<br /> tỏ ra có nhiều thuận lợi. Dùng số phức ta cũng có thể tìm được lời<br /> giải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng không kém phần độc đáo) cho nhiều<br /> hệ phương trình với ẩn số thực. Số phức còn cho ta cách giải quyết<br /> một loạt các bài toán trong số học, tổ hợp và lượng giác mà nếu<br /> dùng phương pháp thông thường tình huống sẽ trở nên phức tạp<br /> hơn...<br /> Được sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn, tôi chọn<br /> đề tài "Áp dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp" với mong<br /> muốn tìm hiểu sâu về số phức và ứng dụng của số phức trong việc<br /> khai thác các phương pháp giải toán bậc THPT.<br /> 2. Mục đích nghiên cứu<br /> Hệ thống hóa các dạng bài tập đại số, tổ hợp, lượng giác được<br /> giải bằng phương pháp số phức đồng thời nắm được một số kỹ thuật<br /> liên quan.<br /> 3. Nhiệm vụ của đề tài<br /> Đưa ra định nghĩa tính chất của số phức. Đặc biệt sử dụng số<br /> phức để giải một số dạng toán đại số, lượng giác, tổ hợp.<br /> 2<br /> <br /> 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> - Nghiên cứu các bài toán đại số, lượng giác, tổ hợp trên tập số<br /> phức và các ứng dụng liên quan.<br /> - Nghiên cứu các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi.<br /> - Học sinh lớp 12 ở trường THPT.<br /> 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài<br /> Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học<br /> sinh THPT. Đề tài góp phần thiết thực cho việc dạy các chuyên đề<br /> toán trong trường THPT, đem lại niềm đan mê sáng tạo trong việc<br /> dạy và học toán.<br /> Xây dựng được một giáo trình có tính hệ thống với thời lượng<br /> thu gọn, có thể dùng để giảng dạy về số phức và ứng dụng của số<br /> phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông.<br /> Xây dựng được một hệ thống các bài toán với mức độ khó dễ<br /> khác nhau.<br /> 6. Cấu trúc của luận văn<br /> Luận văn gồm 2 chương<br /> - Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị<br /> <br /> 1. Tính chất của số phức;<br /> 2. Dạng đại số của số phức;<br /> 3. Giải phương trình bậc hai;<br /> 4. Ý nghĩa hình học của số phức và modun;<br /> 5. Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số;<br /> 6. Dạng lượng giác của số phức;<br /> 7. Bài tập.<br /> 3<br /> <br /> - Chương 2: Sử dụng số phức trong giải một số bài toán sơ cấp<br /> 1. Số phức và các phép toán đại số;<br /> 2. Sử dụng số phức để giải các bài toán phương trình và hệ phương<br /> trình đại số;<br /> 3. Số phức và các bài toán về đa thức;<br /> 4. Số phức và các bài toán tổ hợp;<br /> <br /> 4<br /> <br />