Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính QCD cho sinh cặp squark trong quá trình hủy cặp e+e-

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:81

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này,tác giả trình bày những tính toán bổ chính QCD siêu đối xứng cho sự sinh cặp squark trong phản ứng hủy cặp e+e− trong đó có xét đến việc pha trộn giữa squark tay đăm và tay chiêu (left-handed và righthanded squark), đồng thời tính cả đến hiệu ứng khối lượng khác không của quark.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính QCD cho sinh cặp squark trong quá trình hủy cặp e+e-

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- Nguyễn Bá Linh BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP e+e- LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- Nguyễn Bá Linh BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP e+e- LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán Mã số: 60.44.01 Cán bộ hƣớng dẫn: TS. Toán lý Phạm Thúc Tuyền Hà Nội – 2011
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 4 CHƢƠNG I: SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG I.1. Sự cần thiết của siêu đối xứng ........................................................................ 7 I.2. Susy .................................................................................................................. 9 I.3. Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm Susy ................................................... 13 I.4. Siêu không gian ............................................................................................. 17 I.5. Siêu trƣờng thuận tay ..................................................................................... 21 I.6. Siêu trƣờng vectơ ........................................................................................... 27 I.7. Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng ....................................................................... 32 CHƢƠNG II: MSSM TRONG CHUẨN ‟t HOOFT - FEYNMAN II.1. Nội dung trƣờng trong MSSM ..................................................................... 39 II.2. Lựa chọn chuẩn và Lagragean tƣơng tác...................................................... 50 II.3. Kết luận về MSSM trong chuẩn ‟t HOOP -FEYNMAN ............................ 65 CHƢƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON - POSITRON III.1. Các phƣơng trình cơ bản ............................................................................ 69 III.2. Hủy cặp e e trong SM .............................................................................. 73 III.3. Hủy cặp trong MSSM ................................................................................ 76 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 86 1
MỞ ĐẦU Việc đƣa giả thiết Siêu đối xứng1 (viết tắt là SUSY) vào lý thuyết trƣờng lƣợng tử [1] đã dẫn đến sự mở rộng Mô hình tiêu chuẩn2 (viết tắt là SM) một cách hấp dẫn nhất. Nó không những giữ ổn định [2] hệ thống thứ bậc giữa thang tƣơng tác yếu với thang Planck của Mô hình Thống nhất lớn (viết tắt là GUT) ngay cả khi xét đến các bổ chính bức xạ. Nếu xét vi phạm ở thang năng lƣợng tƣơng đối lớn, ví dụ nhƣ trong trƣờng hợp của Siêu hấp dẫn (viết tắt là SUGRA [3]) ta có thể tìm đƣợc nguồn gốc của sự phân chia thứ bậc thông qua những số hạng vi phạm bức xạ của đối xứng chuẩn [4]. Thêm nữa, các mô hình SUSY cho ta một trong những giải pháp tự nhiên đối với bài toán Vật chất Tối [5], và cho ta một lý thuyết Thống nhất lớn tƣơng thích cho tất cả bốn loại tƣơng tác chứ không bỏ sót tƣơng tác hấp dẫn nhƣ SM. Tất cả những đặc tính hấp dẫn nói trên có thể tìm thấy trong Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (viết tắt là MSSM). Hệ quả của tính siêu đối xứng là sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành cho tất cả các hạt đã biết với spin sai khác 1/2. Siêu hạt đồng hành của hạt chất sẽ là các hạt vô hƣớng slepton và squark. Siêu hạt đồng hành của các hạt trƣờng sẽ là các hạt spinơ Majorana photino, Yang-Millsino (do hạt có ký hiệu W , Z 0 cho nên chúng có thể đọc là Win và Zin và do đó, siêu hạt đồng hành sẽ là Wino và Zino) và gluino. Siêu hạt đồng hành của các hạt Higgs là Higgsino. Nếu có hạt graviton, truyền tƣơng tác hấp dẫn, siêu hạt đồng hành sẽ là gravitino. Tuy vậy, cho đến nay chƣa có dấu hiệu trực tiếp nào chứng tỏ sự tồn tại của siêu hạt đồng hành; Những tìm kiếm thực nghiệm chỉ cho ta giới hạn thấp nhất của khối lƣợng của chúng (LEP [6],[7] và Tevatron [8]). Vì vậy, những phép đo chính xác các bổ chính bức xạ có chứa siêu hạt đồng hành sẽ đóng vai trò quan trọng. Những bổ chính quan trọng nhất là liên quan đến tƣơng tác mạnh, tức là có xét những vòng của squark và gluino. Quá trình tốt nhất hiện nay để thực hiện việc đo đạc đối với quá trình sinh cặp squark từ quá trình hủy cặp 1 Supersymmetry, viết tắt SUSY, là đối xứng mở rộng của không-thời gian. Nó đƣợc coi mở rộng nhƣ duy nhất thỏa mãn định lý no-go của Sidney Coleman và Jeffrey Mandula. 2 Standard Model, viết tắt là SM 2
e+e−, bởi vì máy va chạm electron-positron đã đƣợc cải thiện và sẽ đƣợc vận hành ở năng lƣợng cỡ TeV . Trong tƣơng lai, khi máy va chạm haron lớn, LHC, vận hành trơn tru, ta mới đặt vấn đề xét chi tiết những quá trình hủy cặp quark. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những tính toán bổ chính QCD siêu đối xứng cho sự sinh cặp squark trong phản ứng hủy cặp e+e− trong đó có xét đến việc pha trộn giữa squark tay đăm và tay chiêu (left-handed và right- handed squark), đồng thời tính cả đến hiệu ứng khối lƣợng khác không của quark. Nội dung chính của Luận văn đƣợc trình bày trong ba chƣơng. Chƣơng thứ nhất sẽ trình bày về SUSY và sự mở rộng SM thành lý thuyết chuẩn siêu đối xứng SGFT (Supersymmetric Gauge Field Theory). Chƣơng thứ hai sẽ trình bày một trong những mô hình của SGFT là MSSM khi nhóm chuẩn là tích của ba nhóm chuẩn của SM trong chuẩn ‟t Hooft-Feynman. Chƣơng thứ ba sẽ tính các công thức bổ chính vòng cho quá trình sinh cặp quark có tính đến đóng góp một vòng kín của squark, gluino và thảo luận kết quả số với những kết quả thực nghiệm thu đƣợc ở LEP. Các kết luận tóm tắt sẽ đƣợc trình bày ở phần kết luận. Bổ chính SUSY QCD cho quá trình sinh cặp squark ở phản ứng hủy e+e− đã đƣợc thảo luận trong [9], [10] trong đó đã bỏ qua hiệu ứng pha trộn squark và ảnh hƣợng của khối lƣợng quark. Trong [11] cũng đã xét đến hiệu ứng của pha trộn squark và thấy rằng nó rất nhỏ và có thể bỏ qua. Tuy vậy, ở đó chỉ tính đến sơ đồ cây. Trong luận văn này chúng ta xét đến cả bổ chính một vòng kín. Ta cũng chỉ tính cho đóng góp của gaugino tƣơng tác điện yếu và Higgs boson vì đóng góp một vòng kín của K và B meson đã đƣợc tính trong [9] và cũng đƣợc coi là nhỏ. Trong giới hạn khối lƣợng quark bằng không và không tính đến sự pha trộn squark kết quả của chúng tôi trùng với [10] và [11]. Kết quả thực nghiêm trên LEP [12] đã đƣợc dùng và thang năng lƣợng cho quá trình hủy e+e− là s  500 GeV . Các tính toán số sẽ đƣợc thực hiện nhờ gói phần mềm FeynArts và FormCalc do nhóm Hagen Eck and Sepp Küblbeck [13] thiết kế. Tuy nhiên, để 3
làm điều đó chúng ta phải tính bằng tay Lagrangian tƣơng tác trong một chuẩn nhất định. Trong [1] đã làm điều đó cho chuẩn unitary và trong [4] đã làm điều đó cho trƣờng thành phần nguyên thủy. Các kết quả trong những công trình trên đã đƣợc dùng làm chuẩn để so sánh với kết quả mà chúng tôi thu đƣợc. Trong luận văn này chuẩn đƣợc chọn là ‟t Hooft-Feynman và trƣờng trong lý thuyết là trƣờng vật lý, nghĩa là đã xét đến sự pha trộn của các trƣờng nguyên thủy. Các lựa chọn này có ƣu điểm là dễ so sánh với các kết quả thực nghiệm mà chúng tôi có đƣợc. CHƢƠNG I SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG I.1 Sự cần thiết của siêu đối xứng. Một trong những nguyên nhân dẫn đến giả thiết siêu đối xứng của thế giới vật chất là tìm cách khử những phân kì xuất hiện trong tính toán các đại lƣợng vật lý của lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Nếu lý thuyết trƣờng bất biến siêu đối xứng, mỗi bậc tự do fermion sẽ tƣơng ứng với một bậc tự do boson và ngƣợc lại. Mặt khác, vì sự đóng góp phân kỳ của hai bậc tự do này bằng nhau và trái dấu nhau, cho nên, các phân kỳ đều tự khử, ít nhất là các phân kỳ bình phƣơng. Nhƣ vậy, phân kỳ logarithm đƣợc khử nhờ đối xứng tƣơng đối tính, phân kỳ bình phƣơng đƣợc khử nhờ siêu đối xứng [14]. Thêm vào nữa, trong mô hình tiêu chuẩn, ngoài vật chất thông thƣờng là quark và lepton, ta còn cần đến trƣờng Higgs H để sinh khối cho các hạt và cho boson chuẩn (gauge boson) truyền tƣơng tác yếu, thông qua cơ chế Higgs. Tuy nhiên, cơ chế Higgs chỉ đƣợc vận hành và cho kết quả đúng đắn khi thừa số m 2H trong thế Higgs : U  m2H H   H 2 4 1.1 4
là âm và có độ lớn cỡ - 100 (GeV)2. Độ lớn này cũng giải thích sự phân cấp tƣơng tác diễn ra ở thang năng lƣợng của tƣơng tác yếu. Tuy nhiên, vấn đề ở chỗ, nếu xét đến bổ lƣợng tử cho m 2H khi trƣờng Higgs liên kết với một số trƣờng trung gian khác, thì giá trị của m 2H sẽ trở lên lớn đến mức không thể chấp nhận đƣợc. Khi xung lƣợng cắt ở vào cỡ khối lƣợng Plank, m 2H sẽ có bậc 30 10  lần lớn hơn bậc giá trị cần có. 30 Tuy nhiên, nếu xét đến bổ chính năng lƣợng riêng với sơ đồ một vòng kín (Hình 1.1a), trong đó hạt ảo là fermion f, tƣơng tác với trƣờng Higgs bằng Lagrangian -  f H f f , thì đóng góp vào m 2H sẽ có f 2 m  2  2 2UV  6mf2 ln   UV / mf   ... 1.2 16 H 2 Nếu giả thiết tồn tại thêm một hạt bosson vô hƣớng s tƣơng tác với trƣờng Higgs thông qua Lagrangian S H S thì sơ đồ (Hình 1.1b) sẽ đóng góp vào m 2H 2 2 thêm một lƣợng: S m2H    2  2mS2 ln   UV / mS   ... 2  UV 1.3 16 Hình 1.1. Sơ đồ năng lƣợng riêng của trƣờng Higgs Nhƣ vậy, nếu cả hai hạt cùng tồn tại, tổng của (1.2) và (1.3) sẽ bằng không nếu mỗi bậc tự do quark và lepton trong mô hình tiêu chuẩn có “các bạn đồng hành” là hai vô hƣớng phức với S  f . Khi đó, sự rắc rối về phân kỳ sẽ 2 bị loại bỏ. Khối lƣợng trƣờng Higgs sẽ không bị phân kỳ khi tính đến bổ chính bức xạ. 5
Xét trên khía cạnh nhận thức luận việc tồn tại đối xứng giữa các bậc tự do spinơ và bậc tự do tensơ cũng là rất hợp lý. Rất khó giải thích vì sao trong tự nhiên, một bậc tự do nào đó là ƣu tiên hơn so với bậc tự do khác. Hơn nữa, ngƣời ta đã chứng minh rằng, siêu đối xứng là đối xứng cực đại của S - ma trận. Khi đó, tự nhiên sẽ bị khống chế bởi nhiều sự ràng buộc hơn và do đó, ta có cơ hội tìm lời giải thích hợp lí cho hiện tƣợng nhƣ giam cầm quark, lƣợng tử hóa điện tích v.v…. Từ những lý do, mặc dù đến nay chƣa có bằng chứng nào về sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành, nhƣng lí thuyết trƣờng phải là tái chuẩn hóa và thực tế về sự phân cấp tƣơng tác ở thang năng lƣợng của tƣơng tác yếu là những luận cứ có tính chất thuyết phục để chúng ta tin rằng, thế giới tự nhiên thực sự là siêu đối xứng. I.2 SUSY Đối xứng ngoài của lý thuyết trƣờng tƣơng tác (S-ma trận) là nhóm Poincaré, với 10 vi tử sinh boson là mômen góc tổng quát M  và xung lƣợng P . Cho lý thuyết trƣờng các hạt không khối lƣợng, số vi tử sinh sẽ tăng lên 15 vì nhóm đối xứng ngoài là nhóm bảo giác (conformal group). Tuy nhiên, chúng vẫn chỉ là vô hƣớng, vectơ hay tensơ, mà ta gọi chung là vi tử sinh boson hay vi tử sinh chẵn. Nhóm đối xứng trong gồm các phép biến đổi tác dụng lên hàm trƣờng. Chúng là các nhóm unitary U 1 liên quan đến bảo toàn điện tích, số baryon hay số lepton, SU  2  liên quan đến isospin hay isospin yếu, SU  3 liên quan đến hƣơng của quark. Theo định lý no-go, vi tử sinh của đối xứng trong luôn là các vô hƣớng đối với nhóm đối xứng ngoài. SUSY giả thiết rằng, bên cạnh các vi tử sinh vô hƣớng của nhóm đối xứng trong, ta còn có một số vi tử sinh spinơ Qa , sao cho giao hoán tử của chúng với vi tử sinh của nhóm đối xứng ngoài khác không. Chúng đƣợc gọi là vi tử sinh lẻ 6
hay fermion và là các spinơ Majorana. Phép toán Lie giữa chúng không phải là giao hoán tử mà là phản giao hoán tử. Đại số giữa các vi tử sinh sẽ bao gồm các giao hoán tử cho chẵn với chẵn, chẵn với lẻ, còn sẽ là phản giao hoán tử cho các lẻ với lẻ, thỏa mãn quy tắc sau đây: [chẵn, chẵn]  chẵn, [chẵn, lẻ]  lẻ, {lẻ, lẻ}  chẵn 1.4 Đồng nhất thức Jacobi cũng đƣợc tổng quát hóa một cách tƣơng ứng, chú ý thêm đến tính phản giao hoán của spinơ:  B1 , B2  , B3    B2 , B3 , B1    B3 , B1 , B2   0  B1 , B2  , F    B2 , F  , B1    F , B1 , B2   0 1.5  B, F1 , F2   F1 , F2 , B   F2 , B1 , F1  0 F1 , F2 , F3   F2 , F3 , F1   F3 , F1 , F2   0 trong đó, vi tử sinh boson đƣợc ký hiệu là B , còn fermion đƣợc ký hiệu là F . Bằng quy tắc nói trên và sử dụng đồng nhất thức Jacobi, ta có thể chứng minh đƣợc rằng, ngoài những giao hoán tử quen thuộc của đại số Poincaré:  P , P   0,  M  , M    i  g  M   g M   g  M   g M   , 1.6  M  , P   i  g P  g P  đại số SUSY trong trƣờng hợp có một vi tử sinh lẻ Q sẽ có thêm những hệ thức mới:  P , Q   0 Q , M        Q 1.7  Q ,Q   2       P 7
trong đó,   i   ,    / 4 là vi tử sinh của biểu diễn nhóm Lorentz. Trƣờng hợp có một vi tử sinh lẻ, đối xứng đƣợc gọi là siêu đối xứng, còn trƣờng hợp có N  2,3,... vi tử sinh lẻ, siêu đối xứng đƣợc gọi là mở rộng. Trong luận án này ta không xét đến siêu đối xứng mở rộng. Để dễ kết hợp siêu đối xứng với đối xứng trong thông thƣờng, ta thƣờng dùng không phải ngôn ngữ spinơ Dirac bốn chiều mà diễn đạt nó thông qua spinơ Weyl hai chiều của nhóm SL C,2  . Khi đó, thay cho vi tử sinh spinơ Majorana Q bốn thành phần, ta sẽ có hai vi tử sinh spinơ Weyl hai thành phần Q và Q , trong đó, dấu gạch ngang không còn ý nghĩa của liên hợp Dirac. Q sẽ là biểu diễn (0,1 / 2) , còn Q là biểu diễn (0,1 / 2) của nhóm SL  2, C  . Chỉ số của Q sẽ không có chấm, trong khi, chỉ số của Q sẽ có chấm. Thay cho vectơ ba thành phần của ma trận Pauli, ta dùng vectơ bốn thành phần:      1,  ,    1,   1.8 Chúng có một chỉ số có chấm và một chỉ số không chấm. Khi đó, hai biểu diễn cơ bản của nhóm SL  2, C  sẽ có vi tử sinh là:    i          / 4 ,    i          / 4 1.9 Vởi cách lựa chọn nhƣ vậy, đại số siêu đối xứng sẽ có dạng:  P , Qa    P , Qa   0 Qa , M    i    Qb , Qa , M    i     Qb b b 1.10 a a Q ,Q   2  P , Q ,Q   Q ,Q   0 a b ab a b a b Khi có đối xứng trong với vi tử sinh Tk thỏa mãn hệ thức giao hoán: Tk ,Tl   iCklmTm 1.11 trong đó, Cklm là hằng số cấu trúc của nhóm đối xứng trong. Nếu ta có nhiều vi tử sinh lẻ làm thành một biểu diễn của nhóm trong, khi đó: 8
Qa , Tk   iSk Qa 1.12 với Sk là ma trận biểu diễn. Do Q là toán tử spinơ, cho nên, tham số biến đổi  cũng phải là spinơ. Khi đó, phép biến đổi siêu đối xứng sẽ có dạng expi Q , và phép biến đổi siêu đối xứng vi phân sẽ là 1  i Q . Với trƣờng vô hƣớng A , ta có:  A  i QA  i  Q, A  i Q, A 1.13 từ đó suy ra, Q, A là một spinơ. Nhƣ vậy, vi tử sinh lẻ biến trƣờng boson thành trƣờng fermion, và ngƣợc lại, nó biến trƣờng fermion thành trƣờng boson. Vì lẽ đó, ta thƣờng nói, phép biến đổi siêu đối xứng biến trƣờng boson thành fermion và ngƣợc lại. Nếu cho trƣớc một đa tuyến fermion, để nó đóng kín đối với phép biến đổi siêu đối xứng, ta phải mở rộng đa tuyến sao cho nó chứa cả thành phần boson. Đa tuyến thu đƣợc bằng cách siêu đối xứng hóa nhƣ vậy, đƣợc gọi là siêu đa tuyến. Siêu đa tuyến thu đƣợc từ một đa tuyến fermion, sẽ chứa thêm thành phần boson, chúng có thể coi là thành phần của hạt boson đồng hành với hạt fermion ban đầu. Tƣơng tự, nếu siêu đối xứng hóa đa tuyến boson, ta sẽ đƣợc siêu đa tuyến có chứa thêm thành phần fermion. Các thành phần fermion tạo nên hạt siêu đồng hành của hạt boson ban đầu. Kết quả là, nếu tự nhiên là siêu đối xứng, mỗi hạt boson sẽ có hạt fermion đồng hành, ngƣợc lại, mỗi hạt fermion sẽ có hạt boson đồng hành. Từ (1.13) suy ra, hạt siêu đồng hành của hạt có spinơ 1/2 là hạt vô hƣớng, còn hạt siêu đồng hành của hạt vectơ là hạt fermion có spin 1/2. Nhƣ vậy, tƣơng ứng với mỗi hạt chất ta có hạt siêu đồng hành vô hƣớng. Tên hạt đồng hành của hạt chất đƣợc tạo nên từ tiếp đầu tố “s” và tên của hạt tƣơng ứng. Nhƣ vậy ta sẽ có slepton, bao gồm selectron, smuon và stauon và squark, bao gồm sup, sdown, sstrange, scharm, sbottom và stop. Tƣơng ứng với mỗi hạt lực, ta sẽ có hạt siêu đồng hành là các fermion Majorana chứ không phải fermion Dirac. Tên hạt đồng hành của hạt lực đƣợc tạo nên từ việc thay thế vĩ tố “on” bằng (nếu không có thì 9
thêm) “ino” ở tên hạt tƣơng ứng. Nhƣ vậy, ta sẽ có ba loại gaugino đồng hành của ba loại hạt gauge. Photon có photino, W, Z có wino và zino, gluon có gluino. Hạt siêu đồng hành của hạt Higgs là Higgsino. Trƣờng của Higgsino là spinơ Majorana chứ không phải là spinơ Dirac. Giống nhƣ đại số Poincaré, đại số siêu đối xứng cũng có P 2  P  P là toán tử Casimir, tức là nó giao hoán với mọi vi tử sinh của biểu diễn, cho nên các hạt trong một siêu đa tuyến có cùng một khối lƣợng. Tuy nhiên, khác với đại số Poincaré, bình phƣơng toán tử Pauli-Lubanski: 1 W   P M 2 không còn là toán tử Casimir, cho nên, các hạt trong cùng một siêu đa tuyến có thể có spin khác nhau. I.3 Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm SUSY Sử dụng đại số siêu đối xứng ở trên ta dễ dàng xác định đƣợc một số tính chất cơ bản của lý thuyết siêu đối xứng [15]. Vì đại số siêu đối xứng đầy đủ chứa đại số Poincaré nhƣ một đại số con, cho nên, mọi biểu diễn của đại số siêu đối xứng đầy đủ đều chứa một biểu diễn của đại số Poincaré, mặc dù nói chung nó là biểu diễn khả quy. Vì mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré tƣơng ứng với một hạt, một biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng nói chung sẽ tƣơng ứng với nhiều hạt. Các trạng thái tƣơng ứng sẽ liên quan đến nhau thông qua toán tử Qa và Qa và do đó sẽ có spin khác nhau nửa đơn vị. Đa tuyến gồm hạt và siêu hạt đồng hành của nó đƣợc gọi là siêu đa tuyến. Để đơn giản, ta sẽ coi mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng đơn giản là một siêu đa tuyến. Nhƣ vậy, ta có: Tất cả các hạt thuộc biểu diễn bất khả quy của siêu đối xứng, nghĩa là thuộc cùng một siêu đa tuyến, thì có cùng khối lƣợng. Nhƣ đã nói ở trên, điều này suy từ tính Casimir của toán tử P 2 . 10
Trong lý thuyết siêu đối xứng năng lƣợng P0 luôn dƣơng. Để thấy đƣợc điều này ta xét  là một trạng thái bất kỳ. Do tính xác định dƣơng của không gian Hilbert ta có, theo (1.9):   0 || Qa | ||2  || Qa  | ||2   | Qa  Qa  Qb Qb      1.14   | Qa ,Qb |   2 ab    P  vì Qb   Q b . Lấy tổng theo   b  1,2 và do tr   2  0 , ta đƣợc 0  4  P0  .  Trong một siêu đa tuyến, số bậc tự do boson và fermion phải bằng nhau. Thực vậy, nếu định nghĩa toán tử số fermion NF, sao cho, nó bằng 1 ở trạng thái fermion và bằng 0 ở trạng thái boson, khi đó,    sẽ bằng 1 ở trạng thái boson NF và bằng 1 ở trạng thái fermion. Ta sẽ chứng minh rằng: Tr    NF =0 1.15 đối với mọi biểu diễn với số chiều hữu hạn bất kì. Để chứng minh điều này, ta chú ý rằng,    NF phản giao hoán với Q , sử dụng tính bất biến của vết đối với hoán vị vòng quanh, ta thu đƣợc:  0  Tr Qa    Qb     QbQa  Tr    NF NF   NF Q ,Q   a b 1.16   2 ab Tr    NF P  Chọn moment P bất kì không bị triệt tiêu, ta sẽ có đƣợc kết quả mong muốn. Siêu đa tuyến không khối lƣợng. Đầu tiên ta xét biểu diễn bằng hạt không khối lƣợng. Khi đó, tất cả các Qa và Qa phản giao hoán nhau. Vì P2  0 , 0 0  nên ta chọn hệ quy chiếu trong đó P  E 1,0,0,1 sao cho   P    và do  0 2E  vậy ta đƣợc : Q ,Q    0 0 0  4E ab a b 1.17  11
Nói riêng, Q1 , Q1   0 . Theo tính xác định dƣơng của không gian Hilbert (1.14):   2 0   Q1 ,Q1   Q1   ||Q1  ||2 1.18 suy ra Q1  Q1  0 , nhƣ vậy, ta chỉ giữ lại Q2 và Q 2 , nghĩa là một nửa trong số vi tử sinh fermion. Nếu ta định nghĩa : 1 1 a Q2 , a   Q 2 1.19 4E 4E a và a  là các toán tử sinh huỷ phản giao hoán: a,a   1, a,a  a   ,a    0 1.20 Ta chọn „trạng thái chân không‟, nghĩa là, trạng thái bị hủy bởi tất cả các toán a . Trạng thái đó là một biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré, và do có khối lƣợng bằng không, nó đƣợc đặc trƣng bằng độ xoắn 0 . Ký hiệu trạng thái này là 0 . Từ hệ thức giao hoán của Q2 và Q 2 với toán tử độ xoắn mà trong hệ quy chiếu hiện tại là J 3  M12 , ngƣời ta sẽ thấy Q2 làm giảm độ xoắn xuống một nửa, trong khi đó Q 2 lại tăng độ xoắn lên một nửa. Do a 2  0 , siêu đa tuyến sẽ có dạng: 0 , a  0  0  1 / 2 1.21 Ta sẽ ký hiệu nó là  0 , 0  1 / 2  . Nếu trạng thái đầu có độ xoắn bán nguyên (fermion), trạng thái sau sẽ có độ xoắn nguyên (boson) và ngƣợc lại. Nhƣ vậy, các siêu đa tuyến sẽ không thể bất biến CPT, bởi vì CPT là đảo dấu của độ xoắn. Để thoả mãn bất biến CPT, ta cần phải gấp đôi những đa tuyến này bằng cách thêm vào phần liên hợp CPT với độ xoắn ngƣợc lại và số lƣợng tử ngƣợc lại. Nhƣ vậy, ta sẽ có: Đa tuyến thuận tay (chiral multiplet) tạo bởi  0,  và liên hợp CPT của 1  2 nó   , 0  , tƣơng ứng với một fermion Weyl và một vô hƣớng phức. 1  2  12
Đa tuyến vectơ tạo bởi  ,1 và  1,   tƣơng ứng với một boson chuẩn 1 1 2  2   (vectơ không khối lƣợng) và một fermion Weyl , cả hai đều cần thiết trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn. Đa tuyến gravitino tạo bởi 1,  và   , 1 , nghĩa là một gravitino và 3 3  2  2  một boson chuẩn. Đa tuyến graviton tạo bởi  , 2  và  2,   , tƣơng ứng với graviton và 3 3 2   2 gravitino. Nói chung đến nay không có hạt với độ xoắn lớn hơn 2. Thêm nữa, gravitino chỉ có mặt trong một lý thuyết có hấp dẫn, cho nên, nó chỉ phải xuất hiện một lần trong đa tuyến hấp dẫn. Vì vậy đa tuyến gravitino không thể xuất hiện trong siêu đối xứng không mở rộng. Tuy nhiên nó lại xuất hiện trong siêu đối xứng mở rộng khi phân tích các đa tuyến lớn hơn thành các đa tuyến có N=1. Siêu đại số có khối lƣợng. Bây giờ ta sẽ xem xét trƣờng hợp P2  0 . Sử dụng hệ quy chiếu đứng yên P   m,0,0,0  , đại số siêu đối xứng trở thành : Q ,Q    2m a b  ab 1.22 Nếu ta đặt: 1 1 Qa   ca  Qa , c   a 1.23 2 2 Khi đó, c và liên hợp hermitian của chúng thoả mãn đại số của dao động tử điều hoà : c ,c   m a  b ab 1.24 Nhƣ vậy, ta thu đƣợc 4 trạng thái, đƣợc đánh số thứ tự lại theo độ xoắn của nó (hoặc theo thành phần z của moment góc), ví dụ nhƣ  1/ 2,0,0,1/ 2  (tƣơng tự nhƣ là đa tuyến không khối lƣợng trong đó mở rộng CPT sẽ trùng với chính nó) hoặc  1, 1/ 2, 1/ 2,0  mà chúng ta phải thêm vào thành phần liên hợp CPT 13
1,1/ 2,1/ 2,0 . Trƣờng hợp sau giống nhƣ trạng thái vectơ không khối lƣợng cộng với một đa tuyến thuận tay và khối lƣợng sẽ thu đƣợc từ chúng thông qua cơ chế Higgs. Theo cách biểu diễn trƣờng hợp khối lƣợng này thì đây là một vectơ, một fermion Dirac và một vô hƣớng thực duy nhất. I.4 Siêu không gian Để đƣa siêu đối xứng vào lý thuyết trƣờng lƣợng một cách tự nhiên ta sẽ dùng khái niệm siêu không gian [16]. Siêu không gian là tập hợp bao gồm không gian “chẵn” Minkowski với tọa độ “boson” x  và không gian “lẻ” với tọa độ “fermion” Weyl  ,  thỏa mãn điều kiện phản giao hoán, ik  ki  0 . Tọa độ lẻ thƣờng đƣợc gọi là biến Grassmann. Phép tịnh tiến trong không gian lẻ sẽ cảm sinh một phép biến đổi lên siêu trƣờng, tức là phép biến đổi “trong”, đồng thời, nó cũng cảm sinh ra một phép biến đổi lên tọa độ không thời gian thông thƣờng, tức là phép biến đổi ngoài, bởi vì với hai đại lƣợng fermion, tọa độ  và tham số biến đổi  , chúng sẽ tạo nên một vectơ [17]. Nhƣ vậy, đối xứng trong và đối xứng ngoài đƣợc liên kết một cách rất đơn giản thông qua tịnh tiến trong không gian lẻ. Các toạ độ siêu không gian „lẻ‟  và   đƣợc xem nhƣ là các spinơ không đổi (độc lập với x  ). Các chỉ số spinơ trong lƣỡng tuyến liên hệ với nhau theo quy tắc thông thƣờng, nghĩa là:       2 1 2  221  212 ,       2 1 2  .... 1.25 và để dễ nhớ, ta gọi quy tắc cộng chỉ số không chấm là “tây bắc-đông nam” còn chỉ số có chấm là “tây nam-đông bắc”. Ta dễ dàng chứng minh các đồng nhất thức sau đây: 14
1 1             ,        2 2 1 1       ,           1.26 2 2  1 1        g  ,     2 2 Ví dụ:             / 2          / 2          / 2 Số hạng thứ nhất bằng không vì  là biến fermion. Số hạng thứ hai chứng tỏ rằng biểu thức chỉ khác không khi    . Với   1,   2 và   2,   1 , áp dụng công thức (1.25) ta có: 1 1 1  1 2    ,  2 1          2 2 2 Các đạo hàm theo  ,  đƣợc định nghĩa nhƣ sau:         ,     1.27    Vì đạo hàm của  phản giao hoán, nên bất kì tích nào liên quan đến từ hai đạo hàm của  đều bị triệt tiêu. Vì vậy một siêu trƣờng vô hƣớng đều có thể khai triển nhƣ sau: Tích phân theo biến Grassmann trong siêu không gian đƣợc định nghĩa nhƣ sau:  d  a   b   b,  d d   1 1 1 1 2 2 1 1.28 1 1 2 1  Vì   2 2 1 ,   2 1 2 , ta có d 2  d 1d 2 , d 2  d  d   d 2  và do đó: 2 2  d     d    1 2 2 1.29 Dễ dàng kiểm tra lại: 1   1   d   4 d      2  2   ,  1.30       4   15
Rõ ràng ta luôn có:  d d    1 2 2 1.31 Với cách định nghĩa nhƣ vậy ta dễ dàng thấy đƣợc tính chất Hermitian :            1.32    Nhƣ vậy, đối với biến Grassmann ta có dấu “+” chứ không phải dấu “  ” nhƣ trong trƣờng hợp biến boson        .  Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn các vi tử sinh lẻ Q , Q   Q  của đại  số siêu đối xứng bằng đạo hàm theo biến siêu không gian. Để đơn giản, ta xét phép tịnh tiến vi phân lên  . Chúng ta muốn i  Q  i Q tạo ra sự tịnh tiến trong   một tham số spinơ   . Phép tịnh tiến này cũng sẽ cảm ứng một phép tịnh tiến trong không gian x  với một lƣợng  x . Ta thấy rằng  x phải thực, phụ thuộc tọa độ  và tham số  . Do  cự nhỏ, ta có thể thấy  x   i   i  . Khi đó:   F  i  Q   Q  F x  ,  ,      F  x , ,     1.33  F x  i   i  ,   ,          Khai triển Taylor và giữ lại số hạng tỷ lệ bậc nhất với  , ta có:       i  Q  Q F  x, ,         i       1.34         i       F x, ,     Từ đó suy ra:    Qa  i  a  i        a    1.35 và liên hợp Hermitian của nó sẽ là : 16
   Qa  i  a  i   a    1.36    và phải thoả mãn đại số siêu đối xứng : Q ,Q   2 a b   ab P  2i ab   1.37 Nói chung, một siêu trƣờng chứa rất nhiều trƣờng thành phần tƣơng ứng với những biểu diễn bất khả quy của nhóm siêu đối xứng, cho nên, ta thƣờng phải đặt điều kiện để giảm bớt số trƣờng thành phần đó. Ta sẽ làm điều này bằng cách dùng toán tử phụ trợ sau đây, gọi là đạo hàm hiệp biến. Một đạo hàm đƣợc gọi là hiệp biến nếu đạo hàm của siêu trƣờng cũng là siêu trƣờng. Điều này nghĩa là đạo hàm hiệp biến phản giao hoán với các vi tử sinh của đại số siêu đối xứng Q, Q . Vì  ,  D F   D  , F  điều này dẫn đến biểu thức sau đây cho đạo hàm hiệp biến:   D   i        1.38  D    i        Từ đó suy ra: D ,D   2i  , D ,D   D ,D   0           1.39 D ,Q   D ,Q   D ,Q   D ,D   0           I.5 Siêu trƣờng thuận tay (chiral superfield) Trƣờng xác định trong siêu không gian sẽ đƣợc gọi là siêu trƣờng. Do tọa độ lẻ là biến Grassmann, cho nên một siêu trƣờng F bất kỳ luôn có khai triển Taylor sau đây:   F x, ,  f  x     x     x    m  x    n  x   1.40      x     x     x    d  x  17
Nhƣ vậy, siêu trƣờng là tập hợp hữu hạn các trƣờng thành phần f ,  ,  , m,... . Số lƣợng trƣờng thành phần tuy hữu hạn, những cũng đủ lớn gây khó khăn cho việc tính toán và đoán nhận ý nghĩa vật lý của chúng. Vì vậy, tùy theo việc tình trạng cổ điển mà ta muốn mô tả, ta sẽ yêu cầu siêu trƣờng thỏa mãn những điều kiện nhất định. Do SM ta cần trƣờng thuận tay, chiral, cho nên, ta cũng sẽ đề ra tiêu chuẩn để có siêu trƣờng thuận tay. Theo định nghĩa, siêu trƣờng thuận tay trái  (siêu trƣờng tay chiêu), nếu nó thỏa mãn điều kiện sau đây: D   0 1.41 và siêu trƣờng thuận tay phải  (siêu trƣờng tay đăm), nếu nó thỏa mãn điều kiện sau đây: D   0 1.42 Các siêu trƣờng tay đăm và tay chiêu, theo (1.41) và (1.42) không chỉ phụ thuộc vào một biến lẻ, bởi vì, đạo hàm trong đó đạo hàm không phải là đạo hàm riêng theo biến lẻ mà là đạo hàm hiệp biến. Có thể thấy rằng:  D   D   D y  D y   0  1.43 y  x  i  , y  x  i       cho nên, siêu trƣờng thuận tay sẽ chỉ còn phụ thuộc tƣờng minh vào một biến lẻ vả vào y  hoặc y  . Nếu là siêu trƣờng tay chiêu,  chỉ phụ thuộc vào  , y  (   chỉ có thể có mặt trong y  ). Còn siêu trƣờng tay đăm,  chỉ phụ thuộc vào  , y (  chỉ có thể có mặt trong y n ). Ta thấy rằng, theo (1.40), siêu trƣờng tay chiêu có dạng:   y,   z  y   2  y    f  y  1.44 hoặc khai triển tƣờng minh theo x, , ta đƣợc: 18