Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:135

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức Giải tích trong chương trình Toán THPT với thực tiễn, với một số môn học khác và vận dụng vào đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho học sinh THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học Giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TIẾN DŨNG DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thái Nguyên, năm 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TIẾN DŨNG DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ THÁI NGUYÊN - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Nguyễn Tiến Dũng i
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành bản luận văn thạc sỹ này, với tình cảm chân thành cho phép tôi được tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến: - Ban giám hiệu nhà trường, Phòng Sau đại học, khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập, nghiên cứu hoàn thành các chuyên đề của bậc đào tạo Sau đại học. - Nhà giáo: PGS.TS. Cao Thị Hà - Người hướng dẫn khoa học đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. - Các thầy giáo, cô giáo, các nhà khoa học đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Có được thành quả này, tôi vô cùng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người thân, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Bản thân còn nhiều hạn chế, do vậy, luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo, các nhà khoa học, bạn bè và đồng nghiệp. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Nguyễn Tiến Dũng ii
MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN ...........................................................................................................i LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... ii MỤC LỤC ................................................................................................................... iii DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT .......................................................................................iv MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................2 4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................2 5. Phương pháp nghiên cứu ...........................................................................................3 6. Những đóng góp của luận văn ...................................................................................3 7. Cấu trúc luận văn .......................................................................................................3 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................4 1.1. Một số khái niệm .................................................................................................4 1.1.1 . Khái niệm thực tiễn ......................................................................................4 1.1.2 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán ..................5 1.2. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích ............9 1.2.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số ..............9 1.2.2. Sơ lược về lịch sử hình thành, phát triển của phép tính vi phân và tích phân ......12 1.2.3. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn và liên tục của hàm số ................................................................................................14 1.3. Vai trò của việc dạy học theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán ở trường THPT ...................................................................15 1.3.1. Dạy học hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ môn Toán ở trường THPT trong giai đoạn hiện nay .................................................................................................................15 iii
1.3.2. Tăng cường liên hệ với thực tiễn nhằm thực hiện nguyên tắc dạy học Toán theo hướng vận dụng ...................................................................................24 1.3.3. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần hoàn thiện hoạt động gợi động cơ và hoạt động củng cố ..............................................................................24 1.3.4. Tăng cường liên hệ với thực tiễn góp phần rèn luyện một số thành tố trong cấu trúc năng lực toán học của học sinh ......................................................25 1.4. Thực trạng liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong dạy học Toán ở các nhà trường THPT nước ta hiện nay ...................................................................27 1.4.1. Về mục tiêu giáo dục THPT và mục tiêu bộ môn toán trong tình hình mới .......27 1.4.2. Vấn đề liên hệ kiến thức môn Toán với thực tiễn trong dạy học Toán ở các nhà trường THPT nước ta hiện nay .............................................................28 1.5. Kết luận chương 1 ..........................................................................................40 CHƯƠNG 2. DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TĂNG CƯỜNG LIÊN HỆ VỚI THỰC TIỄN ...........41 2.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực liên hệ với thực tiễn thông qua một số chủ đề Giải tích.........................................................................................................41 2.1.1. Ứng dụng Giải tích trong nội bộ môn toán ở trường THPT .......................41 2.1.2. Ứng dụng giải tích trong các lĩnh vực ngoài toán học ................................58 2.2. Một số biện pháp tăng cường liên hệ thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích ......81 2.2.1. Một số quan điểm xây dựng các biện pháp.................................................81 2.2.2. Một số biện pháp giáo dục nhằm tăng cường liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Giải tích ..........................................................................84 2.3. Kết luận chương 2 .............................................................................................94 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 95 3.1. Mục đích, yêu cầu, nhiệm vụ thực nghiệm .......................................................95 3.1.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................95 3.1.2. Yêu cầu thực nghiệm ..................................................................................95 3.1.3. Nhiệm vụ thực nghiệm................................................................................95 3.2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................................95 iv
3.3. Thời gian, đối tượng, quy trình, phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .......................................................................................................96 3.3.1. Thời gian, đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................96 3.3.2. Quy trình triển khai nội dung thực nghiệm .................................................97 3.3.3. Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm ...............................................97 - Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm: Chúng tôi tiến hành các công việc sau để đánh giá nội dung trên ........................................................................97 3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ........................................................................100 3.4.1. Phân tích định tính ....................................................................................100 3.4.2. Phân tích định lượng .................................................................................100 3.5. Kết luận chung về thực nghiệm .......................................................................103 KẾT LUẬN ...............................................................................................................104 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................105 PHỤ LỤC..................................................................................................................108 v
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT STT Viết tắt Cụm từ viết tắt 1 GTLN Giá trị lớn nhất 2 GTNN Giá trị nhỏ nhất 3 GV Giáo viên 4 HS Học sinh 5 SGK Sách giáo khoa 6 THPT Trung học phổ thông 7 tr Trang iv
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Bảng biến thiên………………………………………………...……....…22 Bảng 2.1: Bảng biến thiên……………………………………………………….…..49 Bảng 2.2: Bảng biến thiên …………………………………….………………….…50 Bảng 2.3: Bảng biến thiên …………………………………………….………….…51 Bảng 2.4: Bảng lượng chất độc tồn đọng sau các lần xúc rửa………………..…… . 69 Bảng 2.5: Bảng phân bố tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu……... .. 101 Bảng 2.6: Bảng phân phối thực nghiệm tần số, tần suất………………………… .. 102 Bảng 2.7: Bảng các tham số đặc trưng………………………………………..……102 Bảng 2.8: Bảng phân loại theo điểm………………………………………….……103 DANH MỤC SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ Sơ đồ 1: Sáu chức năng trí tuệ……………………………………………............… 18 Sơ đồ 2: Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn……………….......…19 Sơ đồ 3: Mối quan hệ qua lại giữa lý thuyết Toán học và thực tiễn ……………..…83 Biểu đồ 1.1: ………………………...................................................................….. ... 30 Biểu đồ 1.2: ………………………...................................................................….. ... 30 Biểu đồ 1.3: ………………………...................................................................….. ... 31 Biểu đồ 1.4: ………………………...................................................................….. ... 32 Biểu đồ 1.5: ………………………...................................................................….. ... 32 Biểu đồ 1.6: ………………………...................................................................….. ... 33 Biểu đồ 1.7: ………………………...................................................................….. ... 34 Biểu đồ 1.8: ………………………...................................................................….. ... 34 Biểu đồ 1.9: ………………………...................................................................….. ... 36 Biểu đồ 1.10: ………………………...................................................................….. . 36 Biểu đồ 1.11: ………………………...................................................................….. . 37 Biểu đồ 1.12: ………………………...................................................................….. . 38 Biểu đồ 1.13: ………………………...................................................................….. . 38 Biểu đồ 1.14: ………………………...................................................................…. .. 39 Biểu đồ 1.15: ………………………...................................................................….. . 40 Biểu đồ 3.1: Biểu đồ tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu trong bài kiểm tra 45 phút của lớp thực nghiệm……………………….................…. 101 Biểu đồ 3.2: Biểu đồ tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu trong bài kiểm tra 45 phút của lớp đối chứng……………………………………..... . 101
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. “Lí luận liên hệ với thực tiễn” là một yêu cầu có tính nguyên tắc trong dạy học môn Toán được rút ra từ luận điểm triết học: “ Thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí”. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: “ Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là nguyên tắc cơ bản của chủ nghĩa Mác – Lênin. Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông” [32, tr.66]. 1.2. Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khoá" trong hầu hết các hoạt động của con người. Nó có mặt ở khắp nơi. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá các sự vật hiện tượng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng cao nhưng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học trong nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất và đời sống thực tế. Trong thư gửi các bạn trẻ yêu toán, thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nhấn mạnh: "Dù các bạn phục vụ ở nghành nào, trong công tác nào, thì các kiến thức và phương pháp toán cũng cần cho các bạn" [5, tr. 14]. ''Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học công nghệ cũng như trong đời sống'' [14, tr. 50]. 1.3. Mặc dù vậy, do nhiều lí do khác nhau mà sách giáo khoa Toán phổ thông nói chung, sách Đại số và Giải tích 11; Giải tích 12 nói riêng, chưa thực sự quan tâm đúng mức, thường xuyên tới việc làm rõ mối liên hệ với thực tiễn ngoài Toán học, nhằm bồi dưỡng cho học sinh ý thức và năng lực vận dụng những hiểu biết Toán học vào việc học tập các môn học khác, giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong cuộc sống lao động sản xuất. Bên cạnh đó, thực trạng dạy học Toán ở trường THPT cho thấy rằng, đa số giáo viên chỉ quan tâm tới việc truyền thụ lí thuyết, thiếu thực hành và liên hệ kiến thức với thực tiễn. Học sinh ''đang học Toán chỉ giới hạn trong phạm vi bốn bức tường của lớp học, thành thử không để ý đến những tương quan Toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tượng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức Toán 1
học đã thu nhận được vào thực tiễn''. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thì coi đây là kiểu ''Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường''. 1.4. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và nội dung sách giáo khoa của Bộ giáo dục và Đào tạo đã xác định rõ: Cần dạy học sao cho học sinh có thể nắm vững tri thức, kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động. Sách giáo khoa cần chú ý nêu rõ ý nghĩa và các ứng dụng của các kiến thức, chú ý mối quan hệ liên môn. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức Giải tích trong chương trình Toán THPT với thực tiễn, với một số môn học khác và vận dụng vào đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục Toán học cho học sinh THPT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1. Tổng hợp các quan điểm của nhà khoa học liên quan đến vấn đề tăng cường liên hệ thực tiễn trong dạy Toán nói chung và dạy Giải tích nói riêng. 3.2. Nghiên cứu kĩ nội dung chương trình SGK Đại số và Giải tích 11, Giải tích 12 hiện hành và tài liệu tham khảo có liên quan để làm rõ nội dung có liên quan đến thực tiễn và các môn học khác trong chương trình THPT. 3.3. Tìm hiểu thực trạng và nguyên nhân của việc dạy và học môn Giải tích ở trường THPT theo hướng nghiên cứu đề tài. 3.4. Xây dựng biện pháp tăng cường liên hệ với thực tiễn, tích hợp liên môn trong quá trình dạy học Giải tích lớp 11 và 12 nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. 3.5. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi của một số phương án dạy học một số chủ đề Giải tích nhằm điều chỉnh và rút ra kết luận. 4. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở tôn trọng sách giáo khoa hiện hành, nếu trong quá trình dạy học chú ý đến việc tăng cường liên hệ với thực tiễn, kiến thức liên môn trong quá trình dạy học sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Giải tích ở nhà trường THPT và góp phần vận dụng vào đổi mới phương pháp dạy học môn Toán. 2
5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu toán học; phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu liên quan đến đề tài. 5.2. Phương pháp điều tra - quan sát: Quan sát thực trạng dạy và học môn Toán nói chung và chủ đề Giải tích nói riêng ở trường THPT ở một số địa phương. 5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc tăng cường liên hệ với thực tiễn dạy học Giải tích ở trường THPT. 6. Những đóng góp của luận văn 6.1. Góp phần làm rõ tầm quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh ý thức tăng cường sự liên hệ với thực tiễn và kiến thức liên môn trong quá trình dạy học. 6.2. Làm rõ sự phản ánh thực tiễn, nguồn gốc thực tiễn, liên hệ với các kiến thức liên môn và ứng dụng trong thực tiễn của một số vấn đề Giải tích. 6.3. Đề xuất một số quan điểm cơ bản nhằm làm cơ sở đưa ra một số biện pháp tăng cường liên hệ với thực tiễn và các môn học khác trong quá trình dạy học Giải tích ở trường THPT. 6.4. Luận văn có thể làm tài liệu cho giáo viên Toán ở trường THPT và sinh viên ngành Sư phạm Toán. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số khái niệm 1.1.1 . Khái niệm thực tiễn 1.1.1.1. Thuật ngữ thực tiễn trong một số tài liệu ngôn ngữ khoa học Theo từ điển Tiếng Việt: “Thực tiễn” là “những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng quát)” [33, tr.974]. Còn Từ điển sinh học thì định nghĩa : “Thực tiễn’’ là “ toàn bộ những hoạt động của con người để tạo ra những điều kiện cần thiết cho đời sống xã hội bao gồm các hoạt động sản xuất, đấu tranh giai cấp và thực nghiệm khoa học: Không có thực tiễn thì không có lý luận khoa học”[ 36, tr. 575]. 1.1.1.2. Phạm trù thực tiễn trong triết học Phạm trù thực tiễn đã được Lútvích Phoiơbắc- nhà duy vật lớn nhất trước Mác đề cập đến. Song ông không nhận thức được “ hoạt động cảm giác của con người là thực tiễn” nên còn quá coi trọng hoạt động lý luận và chưa thấy hết được vai trò, ý nghĩa của thực tiễn đối với nhận thức của con người. Các nhà duy tâm cũng chỉ hiểu thực tiễn như là hoạt động tinh thần chứ không hiểu nó như là hoạt động hiện thực, hoạt động vật chất cảm tính của con người. Ngay cả Hêghen - nhà triết học duy tâm lớn nhất trước Mác, mặc dù đã có những tư tưởng hợp lí sâu sắc (bằng thực tiễn, chủ thể tự ''nhân đôi'' mình, đối tượng hoá bản thân mình trong quan hệ với thế giới bên ngoài [32, tr. 53] ) nhưng cũng chỉ giới hạn thực tiễn ở ý niệm, ông cho rằng thực tiễn là một ''suy lí lôgíc''. Kế thừa những yếu tố hợp lí, chỉ rõ và khắc phục những thiết sót trong quan điểm của các nhà triết học đi trước. Mác và Ăngghen đã đem lại một quan niệm đúng đắn, khoa học về thực tiễn: ''Thực tiễn là những hoạt động vật chất ''cảm tính'', có mục đích, có tính lịch sử xã hội của con người, nhằm cải tạo tự nhiên và xã hội'' [32, tr. 54]. Như vậy, thực tiễn không phải bao gồm toàn bộ hoạt động của con người mà chỉ là những hoạt động vật chất - hoạt động đặc trưng, có mục đích, có ý thức, năng động, sáng tạo. Hoạt động này có sự thay đổi qua các giai đoạn lịch sử khác nhau và 4
được tiến hành bởi đông đảo quần chúng nhân dân trong xã hội. Con người sử dụng các phương tiện, công cụ vật chất, sức mạnh vật chất của mình tác động vào tự nhiên, xã hội để làm biến đổi chúng trong hiện thực cho phù hợp với nhu cầu của mình và làm cơ sở để biến đổi hình ảnh sự vật trong nhận thức. ''Thực tiễn trở thành mắt khâu trung gian nối liền ý thức con người với thế giới bên ngoài'' [32, tr. 55]. Con người và xã hội loài người sẽ không thể tồn tại và phát triển được nếu không có hoạt động thực tiễn (mà dạng cơ bản đầu tiên và nguyên thuỷ nhất là hoạt động sản xuất vật chất). ''Thực tiễn là phương thức tồn tại cơ bản của con người và xã hội, là phương thức đầu tiên và chủ yếu của mối quan hệ giữa con người với thế giới'' [32, tr. 55]. 1.1.2 Nguyên tắc thống nhất giữa lí luận và thực tiễn trong dạy học Toán 1.1.2.1. Nguyên tắc giữa lý luận và thực tiễn Giữa lý luận và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng với nhau, tác động qua lại lẫn nhau. Việc quán triệt mối quan hệ này có ý nghĩa quan trọng trong nhận thức khoa học và hoạt động thực tiễn cách mạng. Con người quan hệ với thế giới bắt đầu từ thực tiễn. Lý luận là hệ thống sản phẩm tri thức được khái quát từ thực tiễn nhờ sự phát triển cao của nhận thức. Thực tiễn là cơ sở, mục đích và động lực chủ yếu của nhận thức, lý luận. Thực tiễn cung cấp tài liệu cho nhận thức, không có thực tiễn thì không có nhận thức. Mọi tri thức khoa học dù trực tiếp hay gián tiếp thì xét đến cùng đều bắt nguồn từ thực tiễn. Nhận thức, lý luận sau khi ra đời phải quay về phục vụ thực tiễn, hướng dẫn và chỉ đạo thực tiễn. Ngược lại, thực tiễn là công cụ xác nhận, kiểm nghiệm tri trức thu được là đúng hay sai, chân lý hay sai lầm và nghiêm khắc chứng minh chân lý, bác bỏ sai lầm - "Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý". Cần coi trọng thực tiễn. Việc nhận thức phải xuất phát từ thực tiễn, dựa trên cơ sở thực tiễn, đi sâu đi sát thực tiễn, nghiên cứu lý luận phải liên hệ với thực tiễn, "học đi đôi với hành". Tuy nhiên không có nghĩa là coi nhẹ, xa rời lý luận. Chủ tịch Hồ Chí Minh đã viết: "Thống nhất giữa lí luận và thực tiễn là một nguyên tắc căn bản của chủ nghĩa Mác - Lênin. Thực tiễn không có lí luận hướng dẫn thì thành thực tiễn mù quáng. Lí luận mà không liên hệ với thực tiễn là lí luận suông" [32, tr. 66]. 5
Mối quan hệ biện chứng giữa Toán học và thực tiễn được xác định đó là toán học bắt nguồn từ thực tiễn và trở về phục vụ thực tiễn. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển các lý thuyết toán học; thực tiễn đặt ra những bài toán và toán học được xem là công cụ hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán này, Mối quan hệ biện chứng giữa toán học và thực tiễn đó cũng thể hiện trong quy luật nhận thức đã được V.I.Lênin nêu lên: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng để nhận thức chân lý”. Gắn giáo dục toán học với thực tiễn luôn là xu hướng trên thế giới, tùy theo từng giai đoạn, trong các bối cảnh khác nhau mà xu thế có những điều chỉnh cho phù hợp. Điều đáng chú ý là làm thế nào để thể hiện xu thế đó trong thực tiễn dạy học toán ở trường phổ thông. Định hướng bao trùm là phải làm cho học sinh nhận thức được nguồn gốc thực tiễn của toán học và khả năng ứng dụng vô cùng đa dạng của toán học và cuộc sống. Có nhiều giải pháp đa dạng để quán triệt định hướng đó mà học sinh tiếp xúc, nghiên cứu- giải quyết các bài tập có tình huống thực tiễn có thể được xem là một trong những biện pháp có hiệu quả. 1.1.2.2. Vận dụng Toán học vào thực tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại Một trong những nguyên tắc quan trọng được nhóm tác giả Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình đưa ra trong cuốn Giáo dục học môn Toán là nguyên tắc "kết hợp lí luận với thực tiễn". Kết hợp lí luận với thực tiễn không chỉ là nguyên tắc dạy học mà còn là quy luật cơ bản của việc dạy học và giáo dục của chúng ta. Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng, giảng dạy Toán học không nên xa rời với thực tiễn. "Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào" [37]. Tăng cường và làm rõ mạch Toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là góp phần thực hiện nguyên tắc kết hợp lý luận với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trường gắn liền với đời sống [13, tr. 60]. Theo Ngô Hữu Dũng: Ứng dụng toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [6, tr. 13 - 16]. 6
Nói về những yêu cầu đối với Toán học nhà trường nhằm phát triển văn hóa Toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: "Học Toán trong nhà trường phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lí thuyết..., cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống" [15, tr. 3 - 4]. V. V. Firsôv khẳng định: "Việc giảng dạy Toán ở trường phổ thông không thể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoa học Toán học, điều đó phải được thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứng dụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế" (dẫn theo [26, tr. 34]). 1.1.2.3. Định hướng tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học môn Toán Toán học là môn học có tính trừu tượng cao. Tuy nhiên, Toán học có nguồn gốc thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp chứ không hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Với vai trò là môn học công cụ nên các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của môn Toán được sử dụng cho việc học tập các môn học khác trong nhà trường, trong nhiều ngành khoa học khác nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn trong quá trình dạy học sinh hàm số bậc nhất y  ax  b cần làm cho học sinh sáng tỏ đây là một tương quan thường sảy ra trong vật lý giữa tốc độ và thời gian t của chuyển động: vt  v0  at , giữa áp suất và nhiệt độ của chất khí trong điều kiện thể tích không đổi p  p0 (1  t) ; đối với hàm số y  ax 2  bx  c ta cũng có mối liên hệ tương tự. Chẳng hạn sự tương quan giữa sức cản của không khí và vận tốc chuyển động của vật được biểu thị bởi p  av 2 ; sự tương quan giữa nhiệt năng trong một dây dẫn có điện trở R và cường độ dòng điện I biểu thị bằng công thức W=RI2 ; phương trình 1 chuyển động trong vật lý biểu thị bằng công thức: x  x0  v0t  at 2 là sự tương 2 quan chuyển động x của chất điểm và thời gian t ; trong Hình học chúng ta gặp mối liên hệ giữa chu vi C và bán kính R của đường tròn biểu thị bởi: C=2 R ; trong Hóa học chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của một chất khí với tỉ khối d của chất khí đó đối với không khí biểu thị bởi: M = 29d; mối quan hệ giữa giá tiền p với chiều dài n của tấm vải biểu thị bởi: p = a.n;… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt ra một 7
bên các đại lượng cụ thể và chỉ chú ý tới quan hệ của các đại lượng đó, chúng ta có hàm số y  ax . Do vậy, có thể nói rằng, môn Toán có nhiều tiềm năng liên hệ với thực tiễn trong dạy học. Theo [14, tr. 71] thì liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học Toán là một trong ba phương hướng thực hiện nguyên lí giáo dục nói trên. Cụ thể là cần liên hệ với thực tiễn qua các mặt sau: 1) Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm, hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ sông Nil (Ai cập), … 2) Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm véctơ phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình đồng dạng nhưng khác nhau về độ lớn… trong Toán học có chứng minh thuận, chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thương khuyên nhau: "nghĩ đi rồi phải nghĩ lại", "có qua có lại", "sống phải có trước có sau", … 3) Các ứng dụng thực tiễn của Toán học: Ứng dụng lượng giác để đo khoảng cách không tới được, đạo hàm được ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân được ứng dụng để tính diện tích, thể tích… Muốn vậy, cần quan tâm tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn trong khi học lí thuyết cũng như làm bài tập. - Trong nội bộ môn Toán, cần cho học sinh làm toán có nội dung thực tiễn như giải bài toán bằng cách lập phương trình, bài toán cực trị, đo khoảng cách không tới được… - Cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp Toán học vào những môn học trong nhà trường, chẳng hạn vận dụng véctơ để biểu thị lực, vận tốc, gia tốc, vận dụng đạo hàm để tính vận tốc tức thời trong Vật lí, vận dụng tổ hợp xác suất khi nghiên cứu di truyền, vận dụng tri thức về hình học không gian trong vẽ kĩ thuật… - Tổ chức những hoạt động thực hành toán học trong và ngoài nhà trường kể cả những hoạt động có tính chất tập dượt nghiên cứu bao gồm khâu đặt bài toán, xây 8
dựng mô hình, thu thập dữ liệu, xử lí mô hình để tìm lời giải, đối chiếu lời giải với thực tế để kiểm tra và điều chỉnh [10, tr. 53]. Tất cả những hoạt động trên cần dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng dụng tri thức và phương pháp Toán để giải thích, phê phán và giải quyết những sự việc xảy ra trong đời sống. Chẳng hạn, khi nhìn thấy một số ghi ở một cột bên lề đường, có thể học sinh chưa biết được số đó chỉ cái gì. Chính ý thức và phong cách vận dụng Toán học sẽ thôi thúc họ xem xét sự biến thiên của các số trên các cột để giải đáp điều đó. Tác giả Trần Kiều cho rằng: "Học Toán trong nhà trường phổ thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phương pháp thuần túy mang tính lí thuyết..., cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học Toán phải đạt tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nâng cao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộc sống" [15, tr. 3 - 4]. "Loại trừ những ứng dụng khỏi Toán học chẳng khác gì đi tìm một thực thể sống chỉ từ một hài cốt, không bắp thịt, không thần kinh, không mạch máu" [37, tr. 31]. Tuy nhiên, trước hết học sinh cần được trang bị cho một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương pháp Toán học phổ thông một cách có hệ thống, cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp. 1.2. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của một số vấn đề Giải tích 1.2.1. Sơ lược về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm hàm số Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trước công nguyên khi những người Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn. Nhưng mãi đến thế kỉ thứ XVII khái niệm này mới được hình thành rõ ràng và có hệ thống trong Toán học nhờ các công trình của Phermat và Descartes. Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toán về sự dao động của sợi dây đã nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quát. Khoảng năm 1694 danh từ hàm số được Leibniz dùng lần đầu tiên. Lúc này khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường. Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli định nghĩa: "Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đó và 9
các đại lượng không đổi". Năm 1748, D'Alembert cũng đưa ra định nghĩa: "Hàm số là một biểu thức giải tích". Trong thế kỉ thứ XVIII biểu thức giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số. Tuy nhiên trong thế kỉ này cũng có những định nghĩa tổng quát hơn, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Euler định nghĩa: "Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai" [13, tr. 92]. Trong thế kỉ thứ XIX với sự phát triển của giải tích toán học, khái niệm hàm số đòi hỏi phải được mở rộng. Xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng. Năm 1837, Dirichler định nghĩa: "y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng". Ông đưa ra ví dụ: 1 nÕu x h÷u tØ y  D( x )   0 nÕu x v« tØ Định nghĩa này đã được tất cả các nhà bác học lúc bấy giờ chấp nhận. Nhưng về sau khi lí thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏi phải mở rộng hơn nữa khái niệm hàm số. Lúc này khái niệm hàm không dùng đại lượng biến thiên mà dựa vào lí thuyết tập hợp. Đây là một khuynh hướng hiện đại dẫn tới mở rộng khái niệm hàm vì nó nghiên cứu những sự tương ứng không phải chỉ giữa các giá trị của những đại lượng. Do đó nó có khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của Toán học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện. Sau đây là bốn dạng định nghĩa (Dẫn theo [13, tr. 94]): - Dạng định nghĩa tình huống hàm - nghĩa là tình huống mà trong đó có thể nói rằng có một hàm số: + "Giả sử A và B là hai tập hợp bất kì. Người ta nói rằng trên A được xác định một hàm f nhận các giá trị trong B nếu với mỗi phần tử x  A đặt tương ứng một và chỉ một phần tử trong B". Trong trường hợp các tập hợp có bản chất bất kì thì thay từ "Hàm" người ta thường dùng từ " ánh xạ" và nói về ánh xạ của tập hợp A đến tập hợp B. 10
+ "Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ f của tập hợp A vào tập hợp B và kí hiệu f: A  B nếu bằng cách nào đó đặt tương ứng với mỗi phần tử a  A một phần tử xác định b  B". - Hàm như một quy tắc tương ứng của hai tập hợp: "A và B là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ A đến B là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử a  A một phần tử duy nhất b  B". - Hàm như một sự tương ứng: "Hàm là một sự tương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đó". Rõ ràng các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để: Dạng thứ nhất chưa chỉ được đích danh hàm là gì, còn có những thuật ngữ chưa rõ như "quy tắc" ở dạng 2, "sự tương ứng" ở dạng 3. Dạng cuối cùng sau đây sẽ khắc phục được các nhược điểm trên. - Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp của Bourbaki: + Định nghĩa đầy đủ: Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G. Kí hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả các phần tử thứ 2 của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của G, kí hiệu là pr2G. Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr 1G  A và pr2G  B, được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đích của sự tương ứng đó. Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F. Như vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đó F là tập những cặp sao cho pr1G  A và pr2G  B, được gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F. + Định nghĩa rút gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước. 11