Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học phương trình, bất phương trình ở lớp 10 theo quy trình Toán học hóa

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng quy trình toán học hóa trong việc dạy học phương trình, bất phương trình trong chương trình Đại số 10 góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp học sinh rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học phương trình, bất phương trình ở lớp 10 theo quy trình Toán học hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––– ĐÀO THỊ KIM DUYÊN DẠY HỌC “PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH” Ở LỚP 10 THEO QUY TRÌNH TOÁN HỌC HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––– ĐÀO THỊ KIM DUYÊN DẠY HỌC “PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH” Ở LỚP 10 THEO QUY TRÌNH TOÁN HỌC HÓA Chuyên ngành: LL & PPDH bộ môn Toán Mã số: 8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Hữu Châu THÁI NGUYÊN - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Đào Thị Kim Duyên i
LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TS Nguyễn Hữu Châu. Em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến giáo sư, người thầy đã tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình làm luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Toán, các em HS khối 10 trường THPT Gia Viễn B - Ninh Bình đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình. Cuối cùng, em xin gửi lời biết ơn sau sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị học viên lớp Cao học K24 chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán đã luôn động viên khích lệ, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã rất cố gắng trong nghiên cứu đề tài và trình bày luận văn, song luận văn cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng phản biện khoa học, quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Đào Thị Kim Duyên ii
MỤC LỤC Lời cam đoan ........................................................................................................ i Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii Mục lục ............................................................................................................... iii Danh mục các chữ viết tắt trong luận văn .......................................................... iv Danh mục các bảng.............................................................................................. v MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3 3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................. 3 4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 4 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 4 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4 7. Dự kiến đóng góp của luận văn ....................................................................... 5 8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 5 Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.............................................. 6 1.1. Nguồn gốc thực tiễn của Toán học ............................................................... 6 1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người ................................... 6 1.1.2. Toán học và các khoa học khác ................................................................. 8 1.2. Kết nối Toán với thế giới thực.................................................................... 11 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản ......................................................................... 11 1.2.2. Vận dụng Toán học vào thực tiễn ............................................................ 13 1.3. Toán học hóa............................................................................................... 17 1.3.1. Khái niệm toán học hóa ........................................................................... 17 1.3.2. Khái niệm tình huống toán học hóa ......................................................... 17 1.3.3. Khái quát về phương pháp mô hình hoá toán học ................................... 18 1.4. Quy trình Toán học hóa (Mathematisation process) .................................. 20 iii
1.4.1. Quy trình toán học hóa trong các bài toán của PISA .............................. 20 1.4.2. Quy trình mô hình hóa toán học được Kaiser và Blum đề xuất .............. 21 1.4.3. Quy trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman & Galbraith (2006). .... 21 1.4.4. Quy trình mô hình hóa toán học được Frank Swetz và J. S. Hartzler (1991) đề xuất .................................................................................................... 22 1.5. Tiềm năng của việc vận dụng quy trình Toán học hóa vào dạy học môn Toán ở trường THPT ......................................................................................... 28 1.6. “Phương trình và bất phương trình” trong nhà trường phổ thông .............. 30 1.6.1. Vị trí, tầm quan trọng .............................................................................. 30 1.6.2. Triển khai qua các lớp ............................................................................. 30 1.6.3. Mục đích, yêu cầu .................................................................................... 31 1.7. Thực trạng việc dạy và học nội dung “phương trình, bất phương trình” theo hướng Toán học hoá .................................................................................. 32 1.7.1. Nội dung chính trong SGK - Đại số 10 ................................................... 32 1.7.2. Tình hình dạy và học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình SGK – Đại số 10 ở một số trường THPT hiện nay ................................... 35 1.7.3. Thực trạng vận dụng toán học hóa trong dạy học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình SGK – Đại số 10 ở trường THPT ............... 37 1.8. Các yêu cầu giáo viên cần đạt trong dạy học Toán theo hướng tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn ........................................................................ 49 1.8.1. Về kiến thức ............................................................................................. 50 1.8.2. Về kỹ năng ............................................................................................... 50 1.8.3. Tính logic ................................................................................................. 50 1.8.4. Về cách ứng xử ........................................................................................ 51 1.9. Kết luận chương 1....................................................................................... 51 Chương 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC “PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH” TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 THEO QUY TRÌNH TOÁN HỌC HÓA .................................................. 52 iv
2.1. Quan điểm về việc thiết kế các tình huống và bài tập toán theo hướng toán học hoá ....................................................................................................... 52 2.1.1. Đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa và phát huy chương trình, sách giáo khoa hiện hành ................................................................................................... 52 2.1.2.Góp phần giúp cho học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng Toán học cơ bản ................................................................................................................. 53 2.1.3. Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn ................................ 53 2.1.4. Chú trọng rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề ....................................... 54 2.1.5. Đảm bảo tính khả thi và vừa sức ............................................................. 55 2.2. Thiết kế và tổ chức dạy học một số tình huống và bài tập chủ đề “phương trình, bất phương trình” theo quy trình toán học hóa ........................................ 56 2.2.1.Bài toán 1 (Bài toán cầu thang): ............................................................... 56 2.2.2. Bài toán 2: (Bài toán máy bơm nước) ..................................................... 61 2.2.3. Bài toán 3 (Đếm tờ giấy thi) .................................................................... 65 2.2.4. Bài toán 4 - Cuộc đi thăm quan (dựa theo [23], tr. 98) ........................... 67 2.2.5. Bài toán 5: Đu quay khổng lồ .................................................................. 71 2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 72 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 73 3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ............................................ 73 3.1.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................. 73 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ............................................................................ 73 3.2. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................. 73 3.2.1. Kế hoạch thực nghiệm ............................................................................. 73 3.2.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 74 3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................... 74 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ............................................................................ 74 3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ............................................................................ 75 3.3.3. Phương pháp thực nghiệm ....................................................................... 82 v
3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 82 3.4.1. Phân tích định lượng ................................................................................ 82 3.4.2. Phân tích định tính ................................................................................... 84 3.5. Kết luận chương 3....................................................................................... 86 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ................................................................. 87 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................... 89 PHỤ LỤC vi
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN Viết tắt Viết đầy đủ BĐT Bất đẳng thức BPT Bất phương trình DH Dạy học ĐC Đối chứng GV Giáo viên HS Học sinh Nxb Nhà xuất bản OECD Organization for Economic Cooperation and Development (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế) PISA Programme for International Student Assessment (Chương trình đánh giá học sinh quốc tế) PT Phương trình PPDH Phương pháp dạy học SBT Sách bài tập SGK Sách giáo khoa STT Số thứ tự THH Toán học hóa THPT Trung học phổ thông TN Thực nghiệm Tr Trang iv
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1: Thống kê bài tập và bài tập liên hệ thực tiễn trong sách .................. 39 Bảng 3.1: Kết quả kiểm tra chất lượng môn Toán học kì I năm học 2017- 2018 của hai lớp 10A1 và 10A2 ........................................................ 75 Bảng 3.2: Điểm kiểm tra của HS lớp 10A1 và 10A2 ........................................ 83 Bảng 3.3: Thống kê câu trả lời của học sinh ..................................................... 85 v
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu của Giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ, năng lực, phẩm chất để phục vụ đất nước. Do vậy, các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tiễn. Chính vì lẽ đó mà các nhà Giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa, cải cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của Xã hội. Luật Giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định: “Hoạt động Giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn…”. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29 - NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa - hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế có nêu: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Hơn nữa, chương trình SGK đổi mới sau 2015 tiếp cận theo hướng hình thành và phát triển năng lực cho người học, không chạy theo khối lượng tri thức mà chú ý vào khả năng tổng hợp và vận dụng các kiến thức, kỹ năng, tư duy, thái độ, tình cảm, động cơ… vào giải quyết các tình huống trong cuộc sống hằng ngày. Đối với môn học xã hội thì các ứng dụng thực tế rất dễ nhận thấy. Học môn địa lý thì các em có thể hiểu được vì sao có hiện tượng ngày, đêm, mưa, gió, bão…Học môn lịch sử các em có thể hiểu được nguồn gốc ra đời của các triều đại, quá trình diễn biến của các cuộc cách mạng, … Vì vậy rất dễ lôi cuốn sự hứng thú của học sinh. Ngược lại với môn toán thì sao? Có lẽ ai đã từng học toán, đang học toán cũng có suy nghĩ rằng toán học ngoài những phép tính đơn giản 1
như cộng, trừ, nhân, chia … thì hầu hết các kiến thức khác đều rất trừu tượng đối với học sinh. Vì vậy, việc học toán trở nên khó khăn và nặng nề hơn. Họ nghĩ rằng toán học là mơ hồ xa vời, không thực tế, học chỉ với mục đích để thi cử, không biết học toán để làm gì và nghi ngờ rằng liệu toán học có ý nghĩa gì với thực tế? Sự thật là toán học có rất nhiều ứng dụng vào thực tế và thể hiện rất rõ trong cuộc sống hàng ngày của con người nhưng chúng ta không để ý mà thôi. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự liên hệ chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học và được coi là chìa khóa của sự phát triển. Theo Nguyễn Bá Kim kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống là một mục tiêu quan trọng của Toán học. Kỹ năng đó cũng giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ của toán học và đời sống. Học sinh THPT là những người đang trưởng thành, chuẩn bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội, đang phải đối mặt với cuộc sống hiện đại đầy biến động. Việc trang bị cho các em phương pháp tư duy giải quyết các vấn đề thực tế ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường là một việc hết sức cần thiết. Do đó, phát triển năng lực ‘toán học hóa” tình huống thực tiễn cho người học thông qua dạy học Toán là một vấn đề cần được quan tâm. Đặc biệt, nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học. Những đánh giá OECD/PISA không chú trọng đánh giá những gì học ở trên lớp mà tập trung đánh giá khả năng vận dụng tri thức toán học để ứng xử các tình 2
huống gặp phải trong cuộc sống, những tình huống thực tế tiến xa hơn những tình huống và vấn đề thường gặp trong trường học. Sự hiểu biết về toán học là trung tâm của sự sẵn sàng của một người trẻ tuổi dành cho cuộc sống ở xã hội hiện đại. Tỷ lệ các vấn đề và tình huống gặp phải trong cuộc sống hàng ngày đang gia tăng, kể cả trong ngữ cảnh chuyên môn, yêu cầu có độ hiểu biết về toán học, suy luận toán học và các công cụ toán học để có thể giải quyết các vấn đề này. Toán học là công cụ quan trọng khi con người đương đầu với các vấn đề và thách thức trong khía cạnh cá nhân, nghề nghiệp, xã hội, khoa học trong cuộc sống. Vì những quan điểm và lý do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: Dạy học “phương trình, bất phương trình” ở lớp 10 theo quy trình Toán học hóa. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là vận dụng quy trình toán học hóa trong việc dạy học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT, giúp học sinh rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. 3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT và quá trình sử dụng các kiến thức toán học mô tả các tình huống thực tiễn. 3.2. Đối tượng nghiên cứu Yếu tố thực tiễn tiềm ẩn trong tri thức lý thuyết “phương trình, bất phương trình” ở chương trình Đại số 10. 3.3. Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung lý thuyết “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 ở trường THPT. 3
4. Giả thuyết khoa học Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn, xác định một số thành tố cơ bản của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh THPT. Trên cơ sở đó, nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn, vận dụng quy trình toán học hóa để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành và phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn, góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh ở trường THPT. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu các quan điểm mang tính lý luận về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn. 5.2. Nghiên cứu đặc điểm của kiến thức “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 ở trường THPT và các cách tiếp cận trong dạy học nội dung này. 5.3. Xây dựng được các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn theo hướng toán học hoá để sử dụng trong dạy học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10. 5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc dạy học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 ở trường THPT theo quy trình toán học hoá. 6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận. Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. 6.2. Phương pháp điều tra – quan sát. Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội dung “phương trình và bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 tại một số trường THPT thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, phỏng vấn trực tiếp giáo viên và học sinh ở trường THPT. 6.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp. Phỏng vấn trực tiếp học sinh lớp 10 ở trường THPT 4
6.4. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu đã được đề xuất. 6.5. Phương pháp sử dụng thống kê toán học. Xử lý các số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống kê toán học. 7. Dự kiến đóng góp của luận văn 7.1. Những đóng góp về mặt lý luận - Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng toán học hóa để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. - Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số tình huống toán học hóa trong dạy học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 và xây dựng hệ thống bài tập toán có nội dung thực tiễn và đưa ra những chỉ dẫn, gợi ý về việc vận dụng toán học hóa để giải quyết hệ thống bài tập đó. 7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn. - Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung “phương trình, bất phương trình” trong chương trình Đại số 10 ở trường THPT. Tăng cường tính ứng dụng vào thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT. - Kết quả của luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THPT. - Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan trong luận văn. 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Thiết kế một số hoạt động dạy học “phương trình, bất phương trình” trong chương trình đại số 10 theo quy trình toán học hóa. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 5
Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Nguồn gốc thực tiễn của Toán học 1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người Hàng ngày, chúng ta phải mua bán, trao đổi, tính toán lỗ lãi, trong đầu luôn thường trực một vấn đề: làm thế nào để có lợi cho mình nhất, chúng ta luôn phải suy nghĩ và phán đoán trước khi làm bất cứ một việc gì. Đặc biệt, trong cuộc sống công nghệ hiện đại đa chiều đầy biến động như hiện nay, chúng ta càng cần phải tính toán nhiều hơn nữa; có thể nói: chỉ khi đi ngủ chúng ta mới không để phép tính trong đầu. Lịch sử của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài người, những khái niệm được hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá của con người. Một số khái niệm được đưa ra không hẳn đã có những ứng dụng trong thực tế nhưng lại là cầu nối hay một công cụ tính toán dẫn đến những định luật và định lý vô cùng quan trọng. Trong cuộc sống, chúng ta luôn bắt gặp những “hình ảnh” của toán học: Mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những con ong xây tổ theo hình lục giác đều; những đóa hoa hướng dương hình tròn, có nhị hoa được bố trí theo các số hạng của dãy số Fibonacci,…. Galilê nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán; chữ cái của ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các hình toán học khác” [14]. Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi kéo họ vào cải tạo và khám phá thế giới. Trong quá trình lao động tạo ra của cải vật chất cho xã hội, con người đã phải tính toán đến khả năng sản xuất và tiềm năng tiêu thụ để số lãi thu về là lớn nhất, bởi vậy, họ phải tính toán đến nguồn nguyên liệu, quy trình sản xuất và chất lượng sản phẩm…Tất cả những hoạt động đó đều có liên quan mật thiết đến Toán học. Thời xưa khi con người chưa có sự hỗ trợ của máy móc nên bản thân các bài toán phát sinh chỉ là các bài đơn giản, số lượng tính toán là cỡ nhỏ, vì vậy các công cụ toán để sử dụng cũng là những công thức vô cùng đơn giản và sơ 6
khai như phép cộng, phép chia, hay khai căn một cách gần đúng…. Ngày nay, cùng với sự hỗ trợ của máy tính, các bài toán con người có thể đặt ra là vô cùng trừu tượng và phức tạp, với số lượng phép tính lớn, vượt xa ra khỏi khả năng tự nhiên của một con người. Vì vậy các công cụ tính toán và các khái niệm mới cũng hết sức trừu tượng (nên khó có thể tìm một ứng dụng tự nhiên của nó trong đời sống hằng ngày, chúng ta có thể chỉ ra nó ứng dụng vào công việc gì mà khó có thể giải thích cụ thể xem nó ứng dụng như thế nào). Toán học luôn là một cái gì đó kì bí và vĩ đại, cũng vô cùng say mê và cuốn hút nhiều cuộc đời theo đuổi nó. Ngày xưa, có một câu chuyện về 2 cha con cùng nhìn lên bầu trời đêm, người con chỉ lên bầu trời đêm và hỏi người cha về những vì sao: “cái gì mà lấp lánh thế kia ba?”, người cha cũng chỉ biết đến những vì sao qua những câu chuyện thần thoại của người xưa kể lại. Ông kể một cách say mê cho người con về những chòm sao, về câu chuyện của những vị thần, một thế giới sinh động hiện ra trước mắt đứa trẻ. Đứa trẻ nói một cách đầy quyết tâm với người cha “con sẽ lên thăm các vị thần đó”. Nó đâu biết rằng câu nói của nó là ước mong hàng ngàn năm nay của loài người. Lúc đó trong đầu nó chỉ nghĩ đơn giản là bắc 1 cái thang thật cao, hay làm một đôi cánh thật to để có thể bay như loài chim là có thể đến được cái điều nó muốn. Những công cụ nó nghĩ, nó nhìn thấy là vô cùng cụ thể, mà thực tại nó có thể làm được, nhưng nó đâu biết rằng hàng nghìn năm sau con người có thể bay đến đích nhưng tất cả các chất liệu để làm ra cái thang vĩ đại đó thì nó khó có thể biết được là gồm những gì. Trở lại câu chuyện của chúng ta, Toán học cũng như bầu trời đêm kia, còn ẩn chứa nhiều điều bí ẩn mà con người chưa thể hiểu hết về nó, nhưng chính sự kì bí đó kích thích sự tò mò của con người muốn nghiên cứu tận cùng của nó. Vì vậy những câu hỏi tựa như, “nó như thế nào?, nó ứng dụng ra sao?” sẽ luôn là 7
những câu hỏi lơ lửng bay phía trước để những người yêu toán thực sự tìm đến nó. Ví dụ: “Một người trồng cây trong vườn, ông ta cố gắng trang trí cho khu vườn thật đẹp, vì vậy tất cả các cây ông trồng đều rất thẳng hàng và thẳng cột. Sau một tuần hoàn thành rất vất vả, chợt nhìn lại mảnh vườn của mình, ông không biết đã trồng được bao nhiêu cây”. Giả thiết 1: (khi khái niệm về phép nhân chưa hình thành) ông ấy sẽ đếm từng gốc cây cho đến hết vườn. Giả thiết 2: (khi khái niệm về số đếm, phép nhân, phép cộng đã biết) ông ta sẽ chỉ đếm số cây trên mỗi hàng và mỗi cột rồi nhân với nhau. Tóm lại, trong cuộc sống thường nhật của con người không thể không kể đến vai trò to lớn của toán học. Toán học xuất phát từ thực tiễn và phục vụ nhu cầu thực tiễn của con người. Toán học ngày này đã trở thành một ngành khoa học, toán học chính là cuộc sống, toán học và cuộc sống luôn đi liền với nhau. Mục đích của toán học là cải thiện cuộc sống, nhu cầu cuộc sống là động lực để toán học phát triển. 1.1.2. Toán học và các khoa học khác Nguồn gốc của toán học cũng như các ngành khoa học đều là các vấn đề thực tiễn mà loài người cần tìm hiểu để cải thiện cuộc sống. Nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học. Ngược lại, toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kỹ thuật khác. Khi mới làm quen với toán học mọi người đều có thể nhận thấy ngay một đặc điểm phân biệt nó với các khoa học khác là tính trừu tượng cao độ của các đối tượng toán học. Khác với các khoa học tự nhiên khác toán học không nghiên cứu một hình thức vận động nhất định nào của vật chất. Trong khi nghiên cứu toán học người ta hoàn toàn bỏ qua khía cạnh chất lượng của sự vật và hiện tượng mà chỉ chú ý 8
đến quan hệ số lượng và hình dạng của chúng mà thôi. Angel đã chỉ rõ: "Đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan”. Do đó toán học là một khoa học rất thực tiễn. Việc khoa học ấy mang một hình thức hết sức trừu tượng chỉ che đậy bề ngoài nguồn gốc của nó trong thế giới khách quan mà thôi" (chống Đuy-Zinh). Chẳng hạn các khái niệm về số tự nhiên, đại lượng và hình học có vô số những hình dạng hiện thực với nội dung vật chất khác nhau. Khái niệm hàm số là biểu thị sự quan hệ giữa hai đại lượng biến thiên. Khái niệm véctơ dùng để biểu thị đại lượng có hướng. Khái niệm đạo hàm là phản ánh vận tốc của các quá trình khác nhau v.v... Điều đó cho thấy vai trò của toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, vật lý… Rất nhiều tiến bộ của khoa học kĩ thuật chỉ giải quyết được trên cơ sở những tiến bộ của vật lí, tuy nhiên ngành này lại liên hệ mật thiết với toán học. Phương pháp của toán học đã giúp cho cơ học vật lý và thiên văn đi sâu vào bản chất các quy luật của tự nhiên, có thể đoán trước được các kết quả còn ẩn sau giới hạn của sự hiểu biết. Nhờ quy luật toán học mà Leverier và Adam (thế kỷ 19), Lorentz (thế kỷ 20) đã xác định được trên lý thuyết sự tồn tại của hai hành tinh mới Hải Vương Tinh và Diêm Vương Tinh. Lý thuyết này đã được quan sát thiên văn xác nhận sau đó. Bằng phương pháp vật lý toán, Macxoen đã xác định được sự tồn tại của áp lực ánh sáng và rồi sau đó Lêbedép đã xác nhận kết quả đó bằng thực nghiệm. Các thành tựu to lớn như năng lượng nguyên tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện ... đều gắn liền với sự phát triển của ngành toán học như hình học phi Ơclid, đại số, hàm phức, hàm thực, phương trình vi phân, xác suất thống kê v.v... Hay lý thuyết về các dạng không gian của không gian hình học được áp dụng trong điện động học và điện kỹ thuật. Những định lý tổng quát của hàm phức là cơ sở của lý thuyết thủy động học và khí động học mà đây là hai ngành lý thuyết cơ sở của kỹ thuật hàng hải và hàng không. 9
Cùng với ứng dụng thông qua cơ học và vật lý, những ứng dụng thông qua điều khiển học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng. Có thể nói bất kỳ tiến bộ nào của tự động hoá cũng không thể tách rời những thành tựu của toán học. Ví dụ như việc thiết kế và sử dụng các máy tự động, các hệ thống điều khiển và liên lạc đòi hỏi phải dựa trên những thành tựu của logic toán, thông tin học, đại số, lý thuyết độ tin cậy... Đặc biệt phương pháp mô hình được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả đối với các quá trình điều khiển. Trên mô hình người ta có thể nghiên cứu vài giờ một quá trình diễn biến hàng năm, nghiên cứu những quá trình không thể làm thí nghiệm trên vật thực, do đó có thể dự đoán và khống chế được chúng. Một lĩnh vực nữa cho thấy toán học và cuộc sống có mối quan hệ mật thiết với nhau đó là trong các vấn đề tổ chức và quản lý sản xuất. Thông thường trước mọi vấn đề quản lý sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án. Vậy làm thế nào để có thể chọn được phương án tốt nhất (Optiman)? Ngày nay có cả một khoa học về vấn đế đó là vận trù học, nó sử dụng rộng rãi các thành tựu của các ngành toán học mới như: Lý thuyết chương trình tuyến tính, lý thuyết đồ thị, lý thuyết trò chơi ... Tuy ra đời chưa lâu nhưng vận trù học đã cho thấy nhiều tác dụng to lớn đối với sản xuất, giao thông vận tải và quốc phòng. Một nét nổi bật nữa là ngày nay toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành mà trước đây người ta không hề nghĩ tới, chẳng hạn như hoá học và sinh học. Đây là hai ngành trước đây ít sử dụng đến toán học thì nay nhiều bộ phận của chúng đã sử dụng nhiều ngành hiện đại của toán học, như thông tin, tô pô, máy tính điện tử. Bằng phương pháp toán học người ta có thể dự đoán được tính chất của các hợp chất, nghiên cứu những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, về cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh... Trong y học, bằng phương pháp thống kê và máy tính điện tử người ta có thể cải tiến phương pháp chuẩn đoán bệnh chính xác hơn. Xuất phát từ vấn đề tìm Algorit để có thể dịch được các thứ tiếng bằng máy tính điện tử, người ta dùng logic toán để nghiên cứu quy luật cấu trúc của 10