Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 - 2017): Sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến việc dạy, học

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:130

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu đề tài gồm 3 chương, được trình bày như sau: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành. Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn toán từ 2006. Thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 - 2017): Sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến việc dạy, học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Hoa ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2006 – 2017): SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG ĐẾN VIỆC DẠY, HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hồng Hoa ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2006 – 2017): SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG ĐẾN VIỆC DẠY, HỌC Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những trích dẫn trong luận văn là hoàn toàn trung thực. Nguyễn Thị Hồng Hoa
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin đặc biệt gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Trần Lương Công Khanh, người đã hướng dẫn, bao dung, kiên nhẫn và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin vô cùng cảm ơn:  PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh Dũng, các Thầy Cô đã rất nhiệt tình giảng dạy chúng tôi.  Các thầy cô ở Pháp đã góp ý, tư vấn cho chúng tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu của mình. Tôi cũng rất cảm ơn:  Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học, Khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi.  Các thầy cô và học sinh Trường THPT An Mỹ, đồng nghiệp ở các trường THPT trong khu vực Thành phố Thủ Dầu Một đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực nghiệm của luận văn.  Ban giám hiệu, các thầy cô và học sinh của trường THPT An Mỹ đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi rất nhiều trong quá trình tôi đi học và thực nghiệm của luận văn.  Các bạn lớp Didactic 27 vì sự đồng hành cùng nhau trong suốt khóa học. Cuối cùng, là sự biết ơn thật nhiều đến gia đình tôi đã động viên và hỗ trợ hết lòng trong suốt quãng thời gian tôi đi học. Nguyễn Thị Hồng Hoa
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 HIỆN HÀNH ........................ 6 1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành .................................................................................. 6 1.1.1. Tổ chức toán học O1: Viết phương trình mặt cầu. .......................... 7 1.1.2. Tổ chức toán học O2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó. .......... 9 1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt phẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành ....................................................................... 11 1.2.1. Tổ chức toán học O3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. ....... 13 1.2.2. Tổ chức toán học O4: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. ..................................................................................... 14 1.2.3. Tổ chức toán học O5: Viết phương trình mặt phẳng. .................... 14 1.3. Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành ....................................................................... 22 1.3.1. Tổ chức toán học O6: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng. ... 23 1.3.2. Tổ chức toán học O7: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. ..................................................................................... 25 1.3.3. Tổ chức toán học O8: Viết phương trình đường thẳng. ................ 25 1.4. Các tổ chức toán học liên quan giữa mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong sách giáo khoa hiện hành ............................................. 34
1.4.1. Tổ chức toán học O9: Tìm tọa độ điểm là hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng................................................................ 34 1.4.2. Tổ chức toán học O10: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng. ...................................................... 35 1.4.3. Tổ chức toán học O11: Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng........................................ 37 1.4.4. Tổ chức toán học O12: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng. ................................................... 37 1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................ 39 Chương 2. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN TỪ 2006 .............................................................. 41 2.1. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu dưới dạng câu hỏi tự luận xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp từ năm 2006 đến năm 2016 ..................................................................... 44 2.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ năm 2017 ..................................................................... 45 2.3. Kiểu nhiệm vụ mới liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong đề thi tốt nghiệp từ năm 2017............................................................................. 51 2.4. Kết luận chương 2 ................................................................................ 57 Chương 3. THỰC NGHIỆM ........................................................................ 59 3.1. Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên ........................................ 59 3.1.1. Quan sát thực hành giảng dạy của G1........................................... 60 3.1.2. Quan sát thực hành giảng dạy của G2........................................... 68 3.1.3. Quan sát thực hành giảng dạy của G3........................................... 72 3.1.4. Kết luận ......................................................................................... 76
3.2. Phân tích sản phẩm của học sinh và ý kiến của giáo viên ................... 77 3.2.1. Đối tượng ...................................................................................... 77 3.2.2. Hình thức ....................................................................................... 77 3.2.3. Bộ câu hỏi thực nghiệm ................................................................ 77 3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................ 98 KẾT LUẬN .................................................................................................. 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 103 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT (xếp theo thứ tự bảng chữ cái) GDĐT : giáo dục đào tạo GDTX : giáo dục thường xuyên HH12CB : Hình học 12 cơ bản HH12NC : Hình học 12 nâng cao KNV : kiểu nhiệm vụ MTCT : máy tính cầm tay PTĐT : phương trình đường thẳng PTMC : phương trình mặt cầu PTMP : phương trình mặt phẳng TCTH : tổ chức toán học THPT : trung học phổ thông THPTQG : trung học phổ thông quốc gia VTCP : vectơ chỉ phương VTPT : vectơ pháp tuyến
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Thống kê số lượng các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa HH12CB, HH12NC ...................................................................... 38 Bảng 2.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 . 42 Bảng 3.1. Thống kê các KNV được giáo viên ưu tiên ôn tập cho học sinh .. 83 Bảng 3.2. Thống kê các dạng bài tập được giáo viên ưu tiên yêu cầu học sinh thực hiện ................................................................................ 83 Bảng 3.3. Thống kê các kỹ thuật giải được giáo viên ưu tiên yêu cầu học sinh thực hiện ................................................................................ 84 Bảng 3.4. Thống kê các quan điểm khi giảng dạy được giáo viên ưu tiên ..... 84 Bảng 3.5. Thống kê kết quả các phiếu khảo sát của học sinh ......................... 97
DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 3.1. Kiến thức cần lưu ý về phương trình mặt phẳng trong tiết ôn tập của giáo viên G1 ..................................................................... 64 Hình 3.2. Kiến thức cần lưu ý về phương trình đường thẳng trong tiết ôn tập của giáo viên G1 ..................................................................... 67 Hình 3.3. Ma trận đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2018 trong tiết ôn tập của giáo viên G2 ..................................................................... 68
1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Từ 2006 đến 2017, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) đã trải qua ba giai đoạn xét theo vai trò và hình thức ra đề: - Giai đoạn 2006 - 2014: thi theo hình thức tự luận, đề thi khác nhau giữa THPT và giáo dục thường xuyên (GDTX). - Giai đoạn 2015 - 2016: thi theo hình thức tự luận, chỉ một đề chung cho THPT và GDTX, kết quả thi được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng. - Từ 2017: thi theo hình thức trắc nghiệm, chỉ một đề chung cho THPT và GDTX, kết quả thi được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng. Trong cả ba giai đoạn, các bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu luôn xuất hiện trong đề thi nhưng với những kiểu nhiệm vụ khác nhau và chiếm tỷ lệ khác nhau. Thống kê sơ lược đề thi tốt nghiệp THPT (2006 - 2017) cho thấy ba kiểu nhiệm vụ (KNV) “Viết phương trình đường thẳng”, “Viết phương trình mặt phẳng”, “Viết phương trình mặt cầu” chiếm1 79 % các bài toán hình học giải tích trong khi các kiểu nhiệm vụ khác chỉ chiếm 21 %. Mặt khác, một số KNV từng xuất hiện trong đề thi tự luận lại vắng bóng trong đề thi trắc nghiệm và một số KNV mới liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu lần đầu xuất hiện dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm. Các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 đã tiến triển như thế nào? Sự tiến triển này tác động gì đến việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh? Hai câu hỏi này đưa chúng tôi đến đề tài: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 - 2017): Sự tiến triển 1 Mỗi một trong ba kiểu nhiệm vụ này chiếm lần lượt 29 %, 31 % và 19 % các bài toán hình học giải tích trong đề thi THPT (2006 – 2017).
2 của các tổ chức toán học và tác động đến việc dạy, học. 2. Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết Chúng tôi đặt đề tài của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán, đặc biệt là thuyết nhân học didactic, khái niệm tổ chức toán học và phân tích thực hành dạy học của giáo viên theo quan điểm Didactic. 2.1. Quan hệ thể chế đối với một tri thức Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa đó là đối tượng, cá thể, thể chế. Khi một cá thể X thâm nhập vào một thiết chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành. Cá thể X và hệ thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân. Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thiết chế I. Khi một cá nhân thâm nhập vào một thể chế sư phạm, mối quan hệ của cá nhân với một đối tượng tri thức O nào đó được thiết lập dưới những ràng buộc của mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này. Theo quan điểm này, truyền đạt một tri thức là quá trình thiết lập hoặc thay đổi quan hệ cá nhân của người học với tri thức dưới những ràng buộc của quan hệ thể chế đối với tri thức. 2.2. Tổ chức toán học Theo quan điểm của Chevallard (1998): một praxéologie là một bộ bốn [T, , , ]. trong đó T là kiểu nhiệm vụ gồm ít nhất một nhiệm vụ,  là kỹ thuật giúp giải quyết T,  là công nghệ biện minh cho  và  là lý thuyết biện minh cho . Dựa trên khối logos (công nghệ, lý thuyết), Chevallard phân biệt 4 loại TCTH: TCTH điểm (organisation mathématique ponctuelle): TCTH xoay quanh một kiểu nhiệm vụ.
3 TCTH địa phương (organisation mathématique locale): TCTH xoay quanh một công nghệ. TCTH vùng (organisation mathématique régionale): TCTH xoay quanh một lý thuyết. TCTH tổng thể (organisation mathématique globale): TCTH xoay quanh nhiều lý thuyết. Trong luận văn này, với mục đích hướng đến kỳ thi THPTQG, chúng tôi tạm đưa ra một hệ thống phân loại khác, dựa trên vai trò của TCTH trong thực hành dạy học của giáo viên: TCTH tức thời: TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau. TCTH hỗ trợ: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trò kiểu nhiệm vụ con trong một tổ chức toán học lớn hơn. TCTH phức hợp: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH hỗ trợ, và việc giải quyết nhiều kiểu nhiệm vụ tương ứng cần huy động rất nhiều công nghệ, lý thuyết. Từ đây, chúng tôi phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau: Các tổ chức toán học nào liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu được trình bày trong sách giáo khoa hình học cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các kỹ thuật được ưu tiên? Những KNV về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển đề toán sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu? Các kỹ thuật có thể có? 2.3. Chuyển hóa sư phạm “Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri
4 thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard 1989). Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất định. Sự chuyển hóa sư phạm có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây: Tri thức bác học  Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển hóa)  Tri thức được giảng dạy (Thể chế dạy học) Sự chuyển hóa sư phạm nội tại có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây (có 2 giai đoạn): Tri thức cần dạy (Tri thức chương trình)  Dự án dạy học  Tri thức được giảng dạy (Thể chế dạy học) Từ đây, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi ban đầu dựa trên khung lý thuyết tham chiếu như sau: Q1. Các tổ chức toán học về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu được trình bày trong sách giáo khoa và sách bài tập các giai đoạn? Các kỹ thuật đã tồn tại? Các kỹ thuật được ưu tiên trong mỗi giai đoạn?
5 Q2. Những tổ chức toán học về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu can thiệp trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những kiểu nhiệm vụ mới nào? Các kỹ thuật có thể có? Q3. Các kỹ thuật được giáo viên và học sinh ưu tiên để giải quyết các kiểu nhiệm vụ? Các yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho các kỹ thuật được ưu tiên ? Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu, nhiệm vụ của chúng tôi là: - Xác định các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong SGK 12 hiện hành. - Xác định các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong trong đề thi từ 2006 đến nay. - Quan sát thực hành dạy học của giáo viên. - Phân tích sản phẩm của giáo viên và học sinh. 3. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành. Chương 2: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn toán từ 2006. Chương 3: Thực nghiệm.
6 Chương 1. CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 HIỆN HÀNH Việc phân tích đầy đủ phần bài học, phần bài tập liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu vượt quá thời gian dành cho một luận văn thạc sĩ. Vì vậy, chúng tôi chọn phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành để rút ra những đặc trưng của tri thức cần dạy liên quan đến thực hành giải toán về đường thẳng2, mặt phẳng, mặt cầu. Để phân tích, chúng tôi xuất phát từ sách Hình học 12 cơ bản, có bổ sung sách Hình học 12 nâng cao và việc quan sát thực hành dạy học của giáo viên khi cần. Kết quả phân tích sẽ giúp chúng tôi đối chiếu với các TCTH trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) ở chương 2 và xây dựng thực nghiệm ở chương 3. 1.1. Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành Về cấu trúc, chương III – Hệ tọa độ trong không gian ở sách giáo khoa Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao đều gồm ba bài theo thứ tự: Hệ tọa độ trong không gian, Phương trình mặt phẳng, Phương trình đường thẳng. Nội dung liên quan đến mặt cầu chỉ là một tiểu mục trong bài 1. Ngoài ra, sách giáo viên ở cả hai ban đã cụ thể hóa mục tiêu cần đạt dưới dạng những kiểu nhiệm vụ của các tổ chức toán học cần giảng dạy ở mỗi bài của chương. Cụ thể, ở bài “Hệ tọa độ trong không gian”, học sinh cần: Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính của mặt cầu đó (Sách giáo viên HH12CB, trang 64). 2 Trong luận văn này, trừ trường hợp có nêu rõ, đường thẳng được hiểu là đường thẳng trong không gian.
7 Viết được phương trình mặt cầu với các điều kiện cho trước. Xác định được tâm và tính được bán kính mặt cầu khi biết phương trình của nó (Sách giáo viên HH12NC, trang 69). Liên quan đến mặt cầu, chúng tôi nhận thấy chỉ có các TCTH sau đây: 1.1.1. Tổ chức toán học O1: Viết phương trình mặt cầu Kiểu nhiệm vụ (KNV) tương ứng T1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính. Trong đó, cả hai loại sách giáo khoa Cơ bản và Nâng cao đều giới thiệu định lý như là một bước trong kỹ thuật để thực hiện KNV trên. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 (Sách giáo khoa HH12CB, trang 66) Mặt cầu tâm I(x0; y0; z0), bán kính R có phương trình: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 (Sách giáo khoa HH12NC, trang 79) Dưới đây, chúng tôi trình bày các ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng. Ví dụ 1 (bài 6, trang 68, HH12CB): Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: a/ Có đường kính AB với A(4; - 3; 7), B(2; 1; 3) b/ Đi qua điểm A(5; - 2; 1) và có tâm C(3; - 3; 1) Lời giải mong đợi (trang 100, sách bài tập HH12CB): a/ Mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB. 4+2 −3+1 7+3 Ta có: 𝐼 = ( ; ; ) = (3; −1; 5) 2 2 2 ⃗⃗⃗⃗ | với ⃗⃗⃗⃗ Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có: 𝑟 = |𝐼𝐴 𝐼𝐴 = (1; −2; 2) Do đó: 𝑟 = √12 + (−2)2 + 22 = 3 Vậy mặt cầu có phương trình là: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 5)2 = 9 ⃗⃗⃗⃗⃗ | trong đó 𝐶𝐴 b/ Mặt cầu cho trước có bán kính 𝑟 = |𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1; 0)
8 Do đó: 𝑟 = √22 + 12 = √5 Vậy mặt cầu tâm C(3; - 3; 1) đi qua điểm A(5; - 2; 1) có phương trình là: (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 − 1)2 = 5 Ví dụ 2 (bài 14, trang 82, HH12NC): Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu: a/ Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0;12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz). b/ Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox. c/ Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz). Lời giải mong đợi (booktoan.com) a/ Vì tâm mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên ta gọi tâm mặt cầu là 𝐼 = (0; 𝑏; 𝑐). Vì mặt cầu đi qua A, B, C nên ta có hệ: 𝐴𝐼 = 𝐵𝐼 2 2 { ⇔ {𝐴𝐼 2 = 𝐵𝐼2 𝐵𝐼 = 𝐶𝐼 𝐵𝐼 = 𝐶𝐼 (𝑏 − 8)2 + 𝑐 2 = 16 + (𝑏 − 6)2 + (𝑐 − 2)2 ⇔{ 16 + (𝑏 − 6)2 + (𝑐 − 2)2 = (𝑏 − 12)2 + (𝑐 − 4)2 3𝑏 + 𝑐 = 26 𝑏=7 ⇔{ ⇔{ −𝑏 + 𝑐 = −2 𝑐=5 Vậy phương trình mặt cầu là: 𝑥 2 + (𝑦 − 7)2 + (𝑧 − 5)2 = 26 b/ Vì tâm mặt cầu nằm trên Ox nên ta gọi tâm mặt cầu là I(a; 0; 0). Vì mặt cầu tiếp xúc với (Oyz) nên bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎|. Theo đề bài ta có a = 2. Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 c/ Vì phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm là I = (1; 2; 3) nên ta có bán kính mặt cầu là: 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = 1 Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑧 − 3)2 = 1. Hai ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1.
9  Kỹ thuật τ1: B1. Dùng các điều kiện đề bài đã cho để tìm tâm và bán kính của mặt cầu. B2. Vận dụng định lý mà sách giáo khoa đã giới thiệu để viết phương trình mặt cầu.  Công nghệ θ1: - Định lý về dạng của phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính. - Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và điểm trong không gian; hệ quả từ định lý về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian; ứng dụng của tích vô hướng trong không gian.  Lý thuyết Θ1: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều. Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy có một ghi chú được giáo viên lưu ý đối với học sinh để giúp giải nhanh bài toán dù rằng điều này không được sách giáo khoa giới thiệu. Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c). Khi đó: (S) tiếp xúc với (Oyz), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎| (S) tiếp xúc với (Oxy), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑥𝑦)) = |𝑐| (S) tiếp xúc với (Oxz), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑥𝑧)) = |𝑏| 1.1.2. Tổ chức toán học O2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó Kiểu nhiệm vụ tương ứng T2: Từ phương trình mặt cầu hoặc một số điều kiện cho trước, tìm tâm và bán kính của mặt cầu. Chúng tôi cũng tiến hành phân tích một số ví dụ để có thể tìm thấy kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng. Ví dụ 3 (ví dụ, trang 67, HH12CB): Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0. Lời giải do sách giáo khoa trình bày (trang 68, HH12CB): Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau: (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 3)2 = 32 Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3), bán kính r = 3.
10 Tuy nhiên, với nội dung nhận xét về dạng khác của phương trình mặt cầu mà cả hai sách giáo khoa đã giới thiệu, học sinh có thể tìm ra ngay tâm và bán kính của mặt cầu mà không cần trải qua bước biến đổi như trên. Người ta chứng minh được rằng phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I( - A; - B; - C) có bán kính 𝑟 = √𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 − 𝐷 .(HH12CB, trang 67) Phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I( - a; - a; - a) và bán kính mặt cầu là R= √𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑑 .(HH12NC, trang 80) Hơn nữa, chúng tôi cũng nhận thấy giáo viên đã cho học sinh ghi nhớ: “Muốn tìm tọa độ tâm mặt cầu, lấy hệ số trước x, y, z lần lượt chia cho – 2” để tìm nhanh tọa độ tâm I, từ đó áp dụng công thức tìm bán kính mặt cầu. Lời giải mong đợi: Mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3), bán kính 𝑟 = √(−2)2 + 12 + (−3)2 − 5 = 3 Ví dụ 4 (bài 5, câu b, trang 68, HH12CB): Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0 Lời giải mong đợi: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0 8 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 − 1 = 0 3 4 5 Mặt cầu có tâm 𝐼 (1; − ; − ), 3 2 4 2 5 2 19 bán kính 𝑟 = √12 + (− ) + (− ) − (−1) = 3 2 6 Ví dụ 5 (bài 2, câu a, trang 91, HH12CB): Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6; 2; - 5), B( - 4; 0; 7). Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của