Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình đại số và mũ - lôgarit phương trình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn sẽ trình bày một số phương pháp giải các hệ phương trình đại số và mũ - lôgarít cũng như tìm hiểu các kỹ thuật hay giải các bài toán hệ phương trình trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành, cấp Quốc gia hệ THPT. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình đại số và mũ - lôgarit phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THỊ THANH HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ MŨ - LÔGARIT Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG Hà Nội, 2014
Mục lục LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU .............................................................................................................................................. 3 Chương I: Hệ phương trình đại số ........................................................................................................ 4 I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.................................................................................................... 4 II. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc cao ............................................... 9 III. Hệ phương trình đối xứng loại I ............................................................................................... 13 IV. Hệ phương trình đối xứng loại II .............................................................................................. 22 V. Hệ đẳng cấp ................................................................................................................................ 29 VI. Hệ ba phương trình ba ẩn bậc cao ............................................................................................ 37 VII. Các dạng khác: ........................................................................................................................ 46 Chương II: Hệ phương trình mũ - lôgarít ........................................................................................... 55 I. Công thức biến đổi cơ bản ........................................................................................................... 55 II. Bài tập ........................................................................................................................................ 56 1. Phương pháp biến đổi tương đuơng ........................................................................................ 56 2. Phương pháp đặt ẩn phụ.......................................................................................................... 61 3. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số ......................................................................... 68 Chương III: Các bài toán thi học sinh giỏi về hệ phương trình .......................................................... 76 I. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: ......................................................................................... 76 II. Phương pháp khảo sát hàm số .................................................................................................... 86 III. Một số phương pháp khác ......................................................................................................... 95 KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 104 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................ 105 1
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn này. Em xin trân trọng cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội và các thầy cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu cùng các thầy cô giáo tổ Toán và các em học sinh trường THPT Trần Phú - Thành phố Vĩnh Yên - Tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện luận văn này Xin cảm ơn gia đình, người thân đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong nghiên cứu đề tài và trình bày luận văn, song chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của hội đồng phản biện khoa học, các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 26 tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thanh 2
MỞ ĐẦU Trong chương trình giảng dạy môn Toán bậc phổ thông các bài toán về hệ phương trình đại số và mũ - lôgarít được đề cập trong SGK các lớp 9 - 10 - 11. Do tính đa dạng nên trong các đề thi tuyển sinh cấp 3 THPT, tuyển sinh Đại học ta luôn gặp các bài toán hệ phương trình. Việc giải các bài toán hệ phương trình không mẫu mực cũng đòi hỏi các kỹ năng tính toán nhất định của học sinh. Vì vậy trong hầu hết các đề thi tuyển sinh THPT Chuyên, thi HSG các cấp THCS, THPT đều có các bài toán về hệ phương trình. Luận văn sẽ trình bày một số phương pháp giải các hệ phương trình đại số và mũ - lôgarít cũng như tìm hiểu các kỹ thuật hay giải các bài toán hệ phương trình trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành, cấp Quốc gia hệ THPT. 3
Chƣơng I: Hệ phƣơng trình đại số I. Hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn 1. Dạng tổng quát và cách giải a x  b 1 y  c 1 Dạng tổng quát:  1 a 2 x  b 2 y  c 2 Cách giải: Thông thường ta có 3 cách để giải hệ phương trình dạng (1)  Cách 1: Phương pháp thế  Cách 2: Phương pháp cộng đại số  Cách 3: Phương pháp dùng định thức Kí hiệu: a1 b1 c1 b1 a1 c1 D  a1b2  a2b1 Dx   c1b2  c 2b1 Dy   a1c 2  a2c1 a 2 b2 c 2 b2 a2 c 2  Dx  x  D TH1: D  0 : Hệ có nghiệm duy nhất  y  Dy  D TH2: D  0 , và Dx  Dy  0 : Hệ có vô số nghiệm thỏa mãn a1x  b1y  c1 TH3: D  0 , hoặc Dx  0 hoặc Dy  0 : Hệ vô nghiệm. 2. Một số ví dụ Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 4 1  5  x y  1  3  2(4  x )  y  2 2 8 1     17 a.  b.  c.  x y 2  2  4 4  x 2  2  4 7x  3y  xy   x y  1  y 4
Lời giải: x  0 a. Điều kiện:  y  1 1 1 4X  Y  3 Đặt: X  ;Y  Hệ trở thành  x y 1 2X  2Y  4 X  1 Ta có: D  10,DX  10,D Y  10   Y  1 x  1 Thay vào cách đặt ta được :  y  0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y)=(0;0). b. Điều kiện: y  0 1 X  16 Tương tự ta đặt: X  4  x 2 ;Y  (Y  0) ,từ đó tính được  y Y  6 Y  6  0 nên hệ ban đầu vô nghiệm. x  0 c. Điều kiện  y  0 8 1  x  y  17 Vì xy  0 nên hệ đã cho tương đương với   3  7  1  x y 1 Tương tự, ta giải được (x, y)  ( ;1) . 2 Bài 2 (Dự bị B-2008):  x  my  1 Tìm giá trị của m để hệ phương trình:  (*) có nghiệm (x,y) thỏa mãn  m  y  3 xy  0 . 5
Lời giải Ta có: D  1  m2 Dx  1  3m Dy  3  m Vì D  1  m2  0 m nên hệ phương trình (*) luôn có nghiệm duy nhất  D x 1  3m  x   D 1  m2  y  Dy  3  m  D 1  m2 m  3 1  3m 3  m Như vậy, xy  0  .  0  (1  3m)(3  m)  0   1 1  m2 1  m2 m    3 m  3 Kết luận: Với  1 hệ có nghiệm thỏa mãn xy  0 . m    3 Bài 3 (Dự bị A – 2004):  x  my  2  4m Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình  (**) (m là tham số)  m  y  3m  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x 2  y 2  2x khi m thay đổi. Lời giải: Ta có D  1  m2  0 m nên hệ (**) luôn có nghiệm duy nhất. Mặt khác A  x 2  y 2  2x  (x  1)2  y 2 -1 (x  1)  my  1  4m (x  1) 2  m2 y 2  2m(x  1)y  (1  4m) 2 (**)    2 m(x  1)  y  2m  1 m (x  1)  y  2m(x  1)y  (2m  1) 2 2 2 Cộng hai vế của hệ trên ta được : 6
(m2  1)  (x-1) 2  y 2   (1  4m) 2  (2m  1) 2 20m2  4m  2 4m  18  (x-1)  y  2 2  A  19   19  B 1 m 2 1  m2 Ta thấy: A max  Bmin Giả sử B0 là một giá trị của B, ta có: m2B0  4m  B0  18  0 (1) Nếu B  0   '  4  B0 (B0  18)  B20  18B0  4 Do sự tồn tại của B0 nên (1) có nghiệm hay  '  0  9  85  B0  9  85 9  85 Suy ra Bmin  9  85 khi m= 2 9  85 Vậy A max  10  85 khi m  . 2 3. Bài tập Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 2x 2  2x  y  1  3  x  2y  2 x 1  y  0 a.  b.  c.   x  x  2 y  1  4  2x  3y  1 2x  y  1 2  1 1  3x  6 x  2x  3 y  7 3(x  y)  2( x  y )  6  y  1  y  2  1  x  2  y  3  5 d.  e.  f.  3(x  y)  2( 1  1 )  4  x  2  3x  7  x  1  3y  1  5  x y  y  1 y  2  x  2 y  3 HD – ĐS: a. Đặt X  x 2  1, Y  y  1 , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn ĐS: (1;2), ( 2;2) . 8 3 4 5 b. ĐS:  ;  ;  ;  . 7 7 7 7 c. ĐS: (0; 1) . 7
2 2 d. Đặt: X  3x  , Y  3y  , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn. x y 2 2 2 2 ĐS: (1;1), (1;  ), ( ;1), ( ;  ) . 3 3 3 3 x 2 x e. Đặt: X  ;Y  , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn. y 1 y 2  25 13  ĐS:   ;  .  8 4  1 4  x  2 y  3  2  f. Hệ   .  3 8  1  x  2 y  3 1 1 Đặt: X  ,Y  , hệ trở thành bậc nhất hai ẩn. x 2 y3 ĐS: (3;1) . 8
II. Hệ gồm một phƣơng trình bậc nhất và một phƣơng trình bậc cao 1. Dạng tổng quát và cách giải f (x, y)  0 Dạng tổng quát:  trong đó f(x,y) là hàm số hai ẩn bậc cao  Ax  By  C Cách giải: Từ phương trình bậc nhất,rút một ẩn theo ẩn còn lại và thế vào phương trình bậc cao. 2. Một số ví dụ Bài 1(Dự bị A-2005):   2x  y  1  x  y  1 (1) Giải hệ phương trình  3x  2y  4  (2) Lời giải: 2x  y  1  0 ĐKXĐ:  x  y  0 3 Từ (2), rút y theo x ta được y  2  x . Thế vào (1) ta được phương trình 2 1 1 1 1 3 x 3  2  x 1 x 3  2  x 1 (   x  4) 2 2 2 2 2 1 1 1  x  3  2  x  1 2 2  x 2 2 2 1  x  4  x  2 2  x  x 2  2x  8  0  x  2 2  Kết hợp với điều kiện suy ra x  2 ,thay vào cách đặt suy ra y  1 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2; 1) . 9
Bài 2( Thi thử đại học trƣờng Chu Văn An – HN - 2011) x  y  8  (3) Giải hệ phương trình:  2  x  9  y  9  10 (4)  2 Lời giải: Từ (3) suy ra y = 8 – x. Thế vào (4) ta được phương trình x 2  9  (8  x) 2  9  10  x 2  16x  73  10  x 2  9  x 2  16x  73  x 2  9  100  20 x 2  9  10 x 2  9  8x  18  100(x 2  9)  64x 2  288x  324  x 2  8x  16  0  x  4 x  4  y  4 . Thử lại thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;4). Bài 3(Dự bị D – 2007): 2x  y  m  0 (5)  Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:   x  xy  1  (6) Lời giải: ĐKXĐ: xy  0 Từ (5) suy ra y  2x  m . Thay vào (6) ta được phương trình: x  2x 2  mx  1  2x 2  mx  1  x x  1 x  1  2   2 2x  mx  x 2  2x  1  x  (m  2)x  1  0 (*) Để hệ có nghiệm duy nhất thì (*) phải có 1 nghiệm x  1. Vì PT (*) có   (m  2)2  4  0 m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Như vậy để hệ có nghiệm thì (*) có 2 nghiệm thỏa mãn x1  1  x 2  af (1)  0  2  m  0  m  2 Vậy với m  2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 10
3. Bài tập: Giải các hệ phương trình sau 2x  y  7  0 4x  5y  6 a.  2 b.  2  y  x  2x  2y  4  0 3x  6xy  x  3y  0 2 2x 2  x  y  1  0 (x  2y  1)(x  2y  2)  0 c.  2 d.   x  12x  2y  10  0  xy  y  3y  1  0 2  1 1 1 1 1 1  x  1 y  3    3x 2y 3  e.  f.   1  1 1  1  1 1  (x  1) 2 y 2 4  9x 2 4y 2 4 (x  y)(x 2  y 2 )  45 (18x 2  18x  18y  17)(12x 2  12xy  1)  0 g.  h.  x  y  5 3x  4y  0  3x  y x  y (x  y) 4  4(x  y) 2  117  0   2 i.  k.  x  1 2y  x  y  25 x  y  4  HD- ĐS: 13 5 a. ĐS: (3; 1), ( ; ). 3 3  2 2   9 42  b. ĐS:  ;   ,  ;   .  3 3   13 65  2 1 c. ĐS: (4; 37), (  ;  ) . 3 3 1 5 1 5 d. ĐS: ( 3  2 2;1  2 ), ( 3  2 2;1  2 ), ( 3  5; ), ( 3  5; ). 2 2 1 1 e. Đặt : a  ,b  x 1 y  62 15  ĐS:   ;   77 72  11
1 1 f. Đặt : a  ,b  3x 2y  5 15  ĐS:  ;   77 144  g. ĐS: (1;4), (4;1) .  1 3  1 3 h. ĐS:  ; ,  ; .  3 4   3 4  i. Đặt (x  y) 2  t thì phương trình thứ nhất trở thành phương trình bậc 2 ẩn t. ĐS: (14; 11), (11, 14) . k. ĐS: (5;1). 12
III. Hệ phƣơng trình đối xứng loại I 1. Dạng tổng quát và cách giải f (x, y)  0 Dạng tổng quát:  trong đó hoán vị giữa x, y thì biểu thức f(x,y) và g(x,y) g(x, y)  0 không thay đổi. Cách giải: S  x  y  Đặt  thay vào hệ tìm S, P P  xy  Khi đó x, y là nghiệm của phương trình t 2  St  P  0 (*) Nhận xét: Hệ có nghiệm khi (*) có nghiệm hay   0 . Do vậy điều kiện để hệ có nghiệm là: S2  4P . 2. Một số ví dụ Bài 1( TSĐH A – 2006):   x  y  xy  3 Giải hệ phương trình sau :  (I)  x 1 y 1  4  Lời giải ĐKXĐ: x  1, y  1, xy  0   x  y  xy  3 (I)    x  y  2 xy  x  y  1  14   x  y  S (S  3) Đặt  hệ trở thành  xy  P (P  0) S  P  3  P  S  3     S  2 S  P  1  14 14  S  2 S  S  6S  10 2 2   (*) 13
S  14 S  14   S6 (*)   2     S  6 (vì S  3 ) 3S  8S  156  0  S   26   3 x  y  6 S6P3  x  y  3(TM)  xy  9 Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (x;y) = (3;3). Bài 2(TSĐH D – 2004):   x  y 1 Tìm m để hệ có nghiệm:  (II)   x x  y y  1  3m Lời giải:  S  x  y ĐKXĐ: x  0, y  0 . Đặt  (S  0, P  0) .  P  xy S  1 S  1 Khi đó hệ (II) trở thành:  3  S  3SP  1  3m P  m Như vậy x ; y là nghiệm của phương trình: t 2  t  m  0 (*) Để hệ có nghiệm, PT (*) phải có 2 nghiệm không âm   0 1  4m  0 1   0m m  0 m  0 4 1 Vậy với 0  m  thì hệ (II) có nghiệm. 4 Bài 3( TSĐH D – 2007):Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực:  1 1  x   y  5 x y  (III)  x 3  1  y 3  1  15m  10  x3 y3 14
Lời giải: ĐKXĐ: x  0, y  0 1 1 1 1 Đặt u  x  , v  y  ( u  2, v  2) . Khi đó: x 3  3  u 3  3u, y 3  3  v 3  3v x y x y Hệ (III) trở thành u  v  5 u  v  5  3   u  v  3u  3v  15m  10 (u  v)  3uv(u  v)  3(u  v)  15m  10 3 3 u  v  5  uv  8  m Khi đó u, v là nghiệm của phương trình: t 2  5t  8  m  0  t 2  5t  8  m (*) Để hệ phương trình (III) có nghiệm (*) phải có 2 nghiệm thỏa mãn t  2 Xét f (t)  t 2  5t  8 ( t  2) 5 Ta có f '(t)  2t  5 nên f '(t)  0  t  2 Bảng biến thiên: t 5 -∞ -2 2 +∞ 2 f’(t) - - - 0 + f(t) +∞ +∞ 22 2 7 4 Từ bảng biến thiên: 7 m2 Để hệ (III) có nghiệm thì  4 .  m  22 15
Bài 4( Dự bị B – 2005) x 2  y 2  x  y  0 Giải hệ phương trình sau:  (IV)  x(x  y  1)  y(y  1)  2 Lời giải  x  y  x  y  4 (x  y) 2  2xy  x  y  4 2 2 (IV)   2         xy  2 2 x y xy x y 2 (x  y) 2  (x  y)  0   xy  2 x  y  0   xy  2    x  y  1    xy  2 TH1: x  y  0, xy  2 , x,y là nghiệm của phương trình t 2  2  0  t   2 Hay hệ có 2 nghiệm ( 2;  2), (  2; 2) t  1 TH2: x  y  1, xy  2 , x,y là nghiệm của phương trình t 2  t  2  0    t  2 Hay hệ có 2 nghiệm (1; 2), ( 2;1) Kết luận:Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm : ( 2;  2), (  2; 2) , (1; 2), ( 2;1) . Bài 5 (TSĐH A+A1 – 2012)  x 3  3x 2  9x  22  y 3  3y 2  9y  Giải hệ phương trình sau:  2 1 (IV)  x  y 2  x  y   2 16
Lời giải:  x 3  y 3  3(x 2  y 2 )  9(x  y)  22  0  (IV)   2 1 x  y  x  y  2  2 (x  y) 3  3xy(x  y)  3(x  y) 2  6xy  9(x  y)  22  0   1  (x  y) 2  2xy  (x  y)   2 Nhận xét: Hệ phương trình trên là hệ phương trình đối xứng giữa x và (-y) nên ta đặt u  x  y  hệ trở thành  v  xy u3  3uv  3u2  6v  9u  22  0 (1)   2 1 u  2v  u  (2)  2 1 1 Từ (2)  v   (u  u2 ) . Thay vào (1) ta được PT 4 2 2u3  6u2  45u  82  0  (u  2)(2u2  2u  41)  0  u  2 3 u2v  4  1 3 x  y  2 x  y  2 y   2 , x  2   Như vậy ta có  3  2 3    xy    y  2y   0 y   3 , x  1 4 4  2 2 1 3 3 1 Vậy hệ (V) có hai nghiệm (  ; ), (  ; ) . 2 2 2 2 Bài 6( Dự bị D – 2006):   x  xy  y  3(x  y) 2 2 Giải hệ phương trình sau :  2  x  xy  y  7(x  y)  2 3 17
u  x  y Lời giải: Đặt  , hệ trở thành  v  xy u  0, v  0  u  v  3u 3  u  v  3u 3  3u  3u 3 u  1, v  2  2       u  3v  7u   v  2u   v  2u  3 3 3 u  1, v  2 x  y  0 TH1: u  0, v  0   xy 0  xy  0 x  y  1 x  y  1  y  1, x  2 TH2: u  1, v  2    2   xy  2 y  y  2  0  y  2, x  1  x  y  1 x  y  1 TH3: u  1, v  2    2 (VN)  xy  2 y  y  2  0 Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (0;0), (2;1), ( 1; 2) . 3. Bài tập : Giải các hệ phƣơng trình sau  x  y  1 3 3 1.(ĐH Mở HN – 2001)  4  x  y  1 4  xy  x  y  11 2.(ĐH GTVT – 2000)  2  x y  xy  30 2  x 3  3x  y 3  3y 3.(ĐH Ngoại Thương – 2001)  6  x  y  1 6 x  y  4 4. (HV QHQT – 2001)  2 (x  y )(x  y )  280 2 3 3 18
 x  y  xy  11 5.(TS Sỹ quan QĐ – 2000)  2 30x  30y  30x y  60xy  61x y  61xy  0 2 2 2 2 2 x 3  y 3  8 6.(ĐHSP HN – 2001)   x  y  2xy  2  x 4  y 4  1 7.(ĐH TCKT – 2001)  6  x  y  1 6  1 1  x   y  5 x y 8.(ĐH Ngoại Thương – 1997)  x 2  1  y 2  1  9  x2 y2 x y   a 9.(ĐHQG HN – 1997) Giải và biện luận hệ phương trình:  y x x  y  8    x  y  2(a  1) 2 2 10.(ĐH Y Dược – 1998) . Tìm a để hệ có đúng 2 nghiệm:  (x  y)  4  2 HD - ĐS Bài 1: ĐS: (1;0), (0;1). Bài 2: ĐS: (1;5), (5;1), (2;3), (3;2). x  y Bài 3: HD: Từ phương trình thứ nhất suy ra  2  x  xy  y  3 2 19