Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015
Mục lục Mở đầu 3 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Định lý nhúng của không gian W l,p (Ω) . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Bất đẳng thức Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Định lý Fredholm đối với phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 12 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.3 Định lý Fredholm trong không gian Banach . . . . . . . . . 12 1.5.4 Định lý Fredholm trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 13 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 14 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet . . . . . . . . 14 2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất. Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . 25 2.3 Các tính chất định tính của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 28 1
MỤC LỤC 2.3.1 Đánh giá max |u| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω0 và ||u||W 2,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Đánh giá tiên nghiệm trong không gian Holder C l,α (Ω) . . . . . . 45 2.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian C l,α (Ω) . 47 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 2
MỞ ĐẦU Đối với một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta đã nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet. Đối với phương trình elliptic dạng bảo toàn, người ta đã đưa được nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω) và chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán. Đối với các phương trình elliptic dạng không bảo toàn, người ta đã đưa vào các lớp nghiệm cổ điển trong không gian Holder C 2,β (Ω) và cũng chứng minh được sự tồn tại và tính trơn của nghiệm. Mục tiêu của Luận văn là trình bày sự mở rộng các kết quả về tính giải được của bài toán Dirichlet cho một phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả đã hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai". Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị như các không gian Sobolev, Holder, các định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nội dung chính của Luận văn, trình bày bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Với hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng trong không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu và chứng minh tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian này. Đối với lớp hệ phương trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm của bài toán, phát biểu tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C 2,β (Ω). Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận 3
MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành bản luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương 4
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1. Lp (Ω) là không gian Banach gồm các hàm đo được u xác định trên Ω và p - khả tích sao cho Z |u(x)|p dx < +∞. Ω Chuẩn của Lp (Ω) được định nghĩa bởi   p1 Z ||u||Lp (Ω) =  |u(x)|p dx , Ω trong đó |u(x)| là trị tuyệt đối hoặc mô đun của u(x). Khi p = +∞, L∞ (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với chuẩn ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi trong Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng Z (u, v)L2 (Ω) = u(x).v(x)dx, Ω Z (u, u) = ||u||2 = |u(x)|2 dx. Ω Nhận xét 1.1. Nếu f ∈ L2 (Ω); g ∈ L2 (Ω) thì
  21   12
Z
Z Z Z
f gdx
≤ |f g|dx ≤  |f |2 dx  |g|2 dx
Ω Ω Ω Ω 5
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị (f, g là các hàm bình phương khả tích). Nếu a ∈ L∞ (Ω) và f, g ∈ L2 (Ω) thì