Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng nụ cười trong toán tài chính

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này tác giả cố gắng định nghĩa các vấn đề liên quan đến mô hình FLM để thay thế cho mô hình loga chuẩn cổ điển, và cũng truy lại các cấu trúc độ biến động như đã quan sát trên thị trường. Luận văn gồm 3 chương với các nội dung chính sau đây. Chương 1 trình bày sơ lược về các thị trường tài chính và một số khái niệm tài chính có liên quan. Mô hình Black – Scholes và công thức Black – Scholes định giá quyền chọn với thời gian liên tục. Chương 2 nhắc đến khái niệm "Hiệu ứng nụ cười". Mô hình Dupire cùng với cách xây dựng công thức Dupire làm cơ sở tham khảo khi xây dựng mô hình thay thế trong chương 3

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng nụ cười trong toán tài chính

Môc lôc Lêi më ®Çu 1 Lêi c¶m ¬n 3 Ch-¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 4 1.1 KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ thÞ tr-êng tµi chÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 C¸c thÞ tr-êng tµi chÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Cæ phiÕu chøng kho¸n vµ c¸c ph¸i sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 ThÞ tr-êng vµ to¸n häc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Gi¸ ®-îc xem nh- c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Th«ng tin thÞ tr-êng vµ biÓu diÔn to¸n häc . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 C¬ héi cã chªnh lÖch thÞ gi¸ vµ nguyªn lý AAO . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Nguyªn lý ®¸p øng vµ kh¸i niÖm thÞ tr-êng ®Çy ®ñ . . . . . . . . . . . . 11 1.3 M« h×nh Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Giíi thiÖu m« h×nh vµ kÕt qu¶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 C¬ së dÉn ®Õn m« h×nh Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 X¸c ®Þnh c¸c tham sè cña chuyÓn ®éng Brown h×nh häc . . . . . . . . . 14 1.3.4 C«ng thøc Black - Scholes vÒ gi¸ cña hîp ®ång quyÒn chän mua . . . . . 16 Ch-¬ng 2 HiÖu øng nô c-êi 20 2.1 M« h×nh Dupire (1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 M« h×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 C«ng thøc Dupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 HiÖu øng nô c-êi cña ®é biÕn ®éng ®èi víi c¸c quyÒn chän mua Ch©u ¢u 22 2.1.4 C¸c vÊn ®Ò gÆp ph¶i khi thùc hµnh vµ h-íng gi¶i quyÕt. . . . . . . . . . 25 2.2 Mét sè h-íng tiÕp cËn chÝnh ®· ®-îc nghiªn cøu . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ch-¬ng 3 §Þnh gi¸ víi nô c-êi trong m« h×nh thÞ tr-êng LIBOR ký kÕt tr-íc 28 3.1 Bµi to¸n nô c-êi trong m« h×nh thÞ tr-êng LIBOR ký kÕt tr-íc . . . . . . . . . . 28 3.2 Hai m« h×nh thay thÕ cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Tr-êng hîp thay thÕ loga chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 M« h×nh co d·n h»ng sè cña ph-¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Líp m« h×nh tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Tr-êng hîp cô thÓ: Hçn hîp c¸c chuyÓn ®éng Brown h×nh häc . . . . . . 39 3.3.2 Më réng m« h×nh hçn hîp chuyÓn ®éng Brown h×nh häc cho phÐp ®é lÖch ®é biÕn ®éng tiÒm Èn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.3 M« h×nh tæng qu¸t kiÓu Dupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 VÝ dô ¸p dông vµo d÷ liÖu thÞ tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KÕt luËn 51 Phô lôc 52 1.1 M« h×nh thÞ tr-êng LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.1.1 M« h×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.1.2 Hai ®é ®o th-êng dïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tµi liÖu tham kh¶o 59
Lêi më ®Çu To¸n häc tµi chÝnh ra ®êi tõ rÊt sím nh- lµ mét ®ßi hái tù nhiªn cña x· héi. Nh÷ng m« h×nh to¸n häc dïng ®Ó nghiªn cøu c¸c thÞ tr-êng tµi chÝnh ra ®êi nh»m môc ®Ých gi¶m thiÓu rñi ro tµi chÝnh, vµ ®-îc c¸c nhµ ®Çu t-, c¸c chuyªn gia tµi chÝnh dïng ®Ó phßng hé vµ b¶o hiÓm. ViÖc ra ®êi c¸c thÞ tr-êng QuyÒn chän ®ßi hái ph¶i x©y dùng c¸c m« h×nh ®Ó ®Þnh gi¸ c¸c hîp ®ång quyÒn chän ®ã. Hai trong nh÷ng ng-êi ®Çu tiªn thµnh c«ng trong viÖc x©y dùng m« h×nh ®Ó ®Þnh gi¸ quyÒn chän víi thêi gian liªn tôc lµ hai nhµ To¸n häc ng-êi Mü lµ Fisher Black vµ Myron Scholes tõ n¨m 1973. Trong m« h×nh ®ã, tµi s¶n c¬ së ®-îc gi¶ thiÕt cã gi¸ tu©n theo chuyÓn ®éng Brown h×nh häc dSt vµ cho bëi: = µdt + σdWt trong ®ã S lµ gi¸ trÞ tµi s¶n, µ lµ dÞch chuyÓn h»ng sè, σ St lµ ®é biÕn ®éng h»ng sè vµ W lµ chuyÓn ®éng Brown tiªu chuÈn. Víi m« h×nh Black - Sholes ng-êi ta cã thÓ ®Þnh gi¸ chøng kho¸n vµ ®Þnh gi¸ c¸c hîp ®ång quyÒn chän cã kÓ ®Õn c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn t¸c ®éng lªn thÞ tr-êng. Víi nhiÒu lý do kh¸c nhau, gi¸ cña c¸c hîp ®ång quyÒn chän tÝnh bëi c«ng thøc Black - Scholes kh«ng phï hîp víi thùc tÕ. B»ng thùc nghiÖm ng-êi ta thÊy ®é biÕn ®éng σ kh«ng ph¶i lµ mét h»ng sè mµ lµ mét hµm cña c¶ thêi gian vµ gi¸ thùc thi hîp ®ång quyÒn chän, h¬n n÷a ®ã lµ mét hµm låi, ®å thÞ cã chiÒu låi quay xuèng d-íi cã h×nh d¸ng cña mét nô c-êi, v× thÕ sù kiÖn nµy gäi lµ "HiÖu øng nô c-êi". RÊt nhiÒu nhµ nghiªn cøu ®· cè g¾ng ®Æt bµi to¸n phï hîp tèt, chÝnh x¸c ®Õn møc cã thÓ, víi d÷ liÖu vÒ quyÒn chän. Mét sè h-íng tiÕp cËn chÝnh nh-: §Çu tiªn lµ h-íng tiÕp cËn dùa trªn gi¶ thiÕt vÒ m« h×nh hiÓn thay thÕ ®èi víi qu¸ tr×nh gi¸ tµi s¶n, vµ ngay lËp tøc dÉn ®Õn hiÖu øng nô c-êi hay ®é lÖch ®é biÕn ®éng. Mét vÝ dô lµ qu¸ tr×nh co d·n h»ng sè cña ph-¬ng sai (CEV) cña Cox (1975) vµ Cox & Ross (1976). H-íng tiÕp cËn thø hai dùa trªn gi¶ thiÕt vÒ tÝnh kh«ng ®Õm ®-îc cña c¸c gi¸ trao ®æi hiÖn hµnh. C¸ch nµy ®-îc nghiªn cøu bëi Breeden vµ Litzenberger (1978), sau ®ã lµ Dupire(1994,1997), Derman vµ Kani(1994,1998). Hä ®· ®-a ra ®-îc biÓu thøc hiÓn cho ®é biÕn ®éng Black - Scholes nh- lµ mét hµm cña gi¸ thùc thi vµ kú h¹n. H-íng tiÒp cËn nµy cã h¹n chÕ c¬ b¶n lµ ng-êi lµm ph¶i néi suy tr¬n c¸c gi¸ quyÒn chän gi÷a c¸c gi¸ thùc thi liªn tiÕp ®Ó cã thÓ lÊy vi ph©n cÊp hai theo gi¸ thùc thi. H-íng tÕp cËn thø ba, ®-îc nghiªn cøu bëi Rubinstein(1994), Jackwerth vµ Rubinstein(1996), Britten - Jones vµ Neubeger(2000) gåm viÖc t×m c¸c x¸c suÊt kh«ng rñi ro trong mét m« h×nh tam thøc/nhÞ thøc cña gi¸ tµi s¶n, vµ dÉn ®Õn sù phï hîp tèt nhÊt cña gi¸ quyÒn chän theo tiªu chuÈn tr¬n (mÞn) nµo ®ã. Ngoµi ra cßn cã h-íng tiÕp cËn thÞ tr-êng kh«ng ®Çy ®ñ. Nã bao gåm c¸c m« h×nh ®é biÕn ®éng ngÉu nhiªn, nh- m« h×nh cña Hull vµ White (1987), Heston (1993) vµ Tompkins(2000a,2000b), vµ m« h×nh khuÕch t¸n nh¶y, nh- m« h×nh cña Merton(1976) hay Prigent, Renault vµ Scaillet (2001). H-íng tiÕp cËn 1
cuèi cïng dùa trªn c¸i gäi lµ m« h×nh thÞ tr-êng ®èi víi ®é biÕn ®éng tiÒm Èn. C¸c vÝ dô ®Çu tiªn lµ trong Schonbucher (1999), vµ Ledoit vµ Santa Clara (1998). Víi ®Ò tµi "HiÖu õng Nô c-êi trong to¸n tµi chÝnh" trong luËn v¨n nµy, sau khi t×m hiÓu c¸c m« h×nh cña Black - Scholes, Dupire, Cox & Ross, Heston, Rubinstein, ... t«i thÊy viÖc ®-a ra mét m« h×nh tæng qu¸t h¬n lµ cÇn thiÕt, tuy nhiªn bµi to¸n ®Þnh gi¸ cho c¸c hîp ®ång quyÒn chän lµ mét bµi to¸n më cã nhiÒu h-íng gi¶i quyÕt vµ viÖc gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy mét c¸ch triÖt ®Ó cã thÓ cßn ch-a thùc hiÖn ®-îc trong thêi gian ng¾n. Nãi chung, bµi to¸n t×m ph©n phèi kh«ng rñi ro ®Ó ®Þnh gi¸ nhÊt qu¸n cho tÊt c¶ c¸c quyÒn chän gi-êng nh- cã nhiÒu ®iÓm kh«ng x¸c ®Þnh. Mét lêi gi¶i cã thÓ ®-îc ®-a ra nÕu cã gi¶ thiÕt vÒ sù phô thuéc ph©n phèi kh«ng rñi ro cã tham sè cô thÓ víi mét sè tham sè, ch¼ng h¹n phô thuéc thêi gian, vµ khi ®ã ta sö dông c¸c tham sè nµy cho phï hîp víi ®é biÕn ®éng. B»ng c¸ch ¸p dông c¸ch t-îng tù nh- cña Dupire(1994,1997), ta ®Æt bµi to¸n nµy vµ t×m líp m« h×nh ®Çu tiªn dÉn tíi ph©n phèi kh«ng rñi ro cã tham sè ®ñ linh ho¹t cho môc ®Ých thùc hµnh. Khi ®ã sÏ t¹o ra c¸c qu¸ tr×nh liªn kÕt gi÷a h-íng tiÕp cËn ph©n phèi kh«ng rñi ro cã tham sè vµ h-íng tiÕp cËn m« h×nh thay thÕ, vµ dÉn ®Õn m« h×nh hiÓn víi c¸c mËt ®é kh«ng rñi ro cã tham sè linh ho¹t. Víi c¸c ®iÒu kiÖn th-êng gÆp trong thùc tÕ th× m« h×nh LIBOR ký kÕt tr-íc (FLM) lµ sù lùa chän thuËn tiÖn nhÊt trong rÊt nhiÒu t×nh huèng. Trong luËn v¨n nµy t«i cè g¾ng ®Þnh nghÜa c¸c vÊn ®Ò liªn quan ®Õn m« h×nh FLM ®Ó thay thÕ cho m« h×nh loga chuÈn cæ ®iÓn, vµ còng truy l¹i c¸c cÊu tróc ®é biÕn ®éng nh- ®· quan s¸t trªn thÞ tr-êng. LuËn v¨n gåm ba ch-¬ng víi nh÷ng néi dung chÝnh sau ®©y: • Ch-¬ng 1. Tr×nh bµy s¬ l-îc vÒ c¸c thÞ tr-êng tµi chÝnh vµ mét sè kh¸i niÖm tµi chÝnh cã liªn quan. M« h×nh Black - Scholes vµ c«ng thøc Black - Scholes ®Þnh gi¸ quyÒn chän víi thêi gian liªn tôc. • Ch-¬ng 2. Nh¾c ®Õn kh¸i niÖm "HiÖu øng Nô c-êi". M« h×nh Dupire cïng víi c¸ch x©y dùng c«ng thøc Dupire lµm c¬ së tham kh¶o khi x©y dùng m« h×nh thay thÕ trong ch-¬ng 3. • Ch-¬ng 3. X©y dùng mét líp khuÕch t¸n ®Ó lËp m« h×nh l·i suÊt LIBOR ký kÕt tr-íc d-íi c¸c ®é ®o chÝnh t¾c cña chóng, dùa trªn gi¶ thiÕt vÒ mét sù phô thuéc hµm tr¬n t¹i thêi ®iÓm ®¸o h¹n gi÷a l·i suÊt ký kÕt tr-íc vµ mét chuyÓn ®éng Brown kÕt hîp. §ång thêi x©y dùng trong líp nµy mét m« h×nh cã thÓ phï hîp mét c¸ch gÇn nh- chÝnh x¸c víi c¸c ®é biÕn ®éng thÞ tr-êng cho ë ®Çu vµo. • PhÇn phô lôc. Tr×nh bµy tãm t¾t mét sè yÕu tè vÒ m« h×nh thÞ tr-êng LIBOR. 2
Lêi c¶m ¬n B¶n luËn v¨n nµy ®-îc hoµn thµnh d-íi sù h-íng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña PGS. TS TrÇn Hïng Thao (ViÖn To¸n häc - ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ ViÖt Nam). ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian h-íng dÉn tËn t×nh còng nh- gi¶i ®¸p c¸c th¾c m¾c cña t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i muèn bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ng-êi thÇy cña m×nh. T«i còng xin c¶m ¬n nhãm seminar vÒ "To¸n tµi chÝnh" t¹i ViÖn To¸n häc ®· gióp t«i bæ sung, cñng cè c¸c kiÕn thøc vÒ thÞ tr-êng tµi chÝnh còng nh- t×m hiÓu vÒ c¸c m« h×nh to¸n häc trong tµi chÝnh. Qua ®©y, t«i xin göi tíi c¸c thÇy c« Khoa To¸n-C¬-Tin häc, Tr-êng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn §¹i häc Quèc gia Hµ Néi, còng nh- c¸c thÇy c« ®· tham gia gi¶ng d¹y kho¸ cao häc 2007 - 2009, lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt ®èi víi c«ng lao d¹y dç trong suèt qu¸ tr×nh t«i häc t¹i tr-êng. T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ vµ tÊt c¶ mäi ng-êi ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn, ®éng viªn cæ vò t«i ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh. Hµ Néi, ngµy 15 th¸ng 12 n¨m 2011 Häc viªn: Lª ViÖt Ph-¬ng(1) (1) E-mail: Vietphuong2088@gmail.com 3
Ch-¬ng 1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch-¬ng nµy chóng ta sÏ nh¾c qua vÒ c¸c thÞ tr-êng tµi chÝnh vµ mét sè kh¸i niÖm tµi chÝnh cã liªn quan. M« h×nh Black - Scholes vµ c«ng thøc Black - Scholes ®Þnh gi¸ quyÒn chän víi thêi gian liªn tôc. 1.1 KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ thÞ tr-êng tµi chÝnh 1.1.1 C¸c thÞ tr-êng tµi chÝnh Tõ l©u ta ®· nghe nãi tíi c¸c trung t©m giao dÞch chøng kho¸n nh- NewYork, London, Tokyo vµ gÇn ®©y lµ c¸c trung t©m giao dÞch chøng kho¸n ë c¸c thµnh phè lín cña ViÖt Nam nh- Hµ Néi, Thµnh phè Hå ChÝ Minh. C¸c bµi b¸o vÒ ho¹t ®éng bu«n b¸n t¹i c¸c thÞ tr-êng nµy th-êng xuyªn xuÊt hiÖn trªn trang nhÊt cña c¸c tê nhËt b¸o vµ trªn b¶n tin thêi sù vµ c¸c b¶n tin tµi chÝnh cña c¸c quèc gia cã nÒn kinh tÕ thÞ tr-êng. Cßn rÊt nhiÒu thÞ tr-êng tµi chÝnh kh¸c n÷a, mçi thÞ tr-êng ®Òu cã nh÷ng ®Æc tr-ng x¸c ®Þnh bëi mét lo¹i hµng ho¸ tµi chÝnh ®-îc mang ra trao ®æi. C¸c thÞ tr-êng tµi chÝnh quan träng nhÊt lµ c¸c thÞ tr-êng cæ phiÕu, c¸c thÞ tr-êng tr¸i phiÕu, c¸c thÞ tr-êng tiÒn tÖ, c¸c thÞ tr-êng hîp ®ång giao sau vµ hîp ®ång quyÒn chän. Hµng ho¸ trao ®æi t¹i c¸c thÞ tr-êng nµy ®-îc ph©n thµnh hai lo¹i chÝnh lµ tµi s¶n c¬ së vµ tµi s¶n ph¸i sinh. - Tµi s¶n c¬ së gåm: Cæ phiÕu, tr¸i phiÕu hay mét ®¬n vÞ tiÒn tÖ. Tµi s¶n c¬ së cßn ®-îc gäi lµ tµi s¶n nguyªn khëi hay tµi s¶n nÒn t¶ng. - Tµi s¶n ph¸i sinh bao gåm c¸c tµi s¶n phô thuéc, tøc lµ c¸c hµng ho¸ mµ gi¸ trÞ cña nã rót ra ®-îc tõ gi¸ trÞ cña c¸c tµi s¶n c¬ së. Tµi s¶n ph¸i sinh hay ph¸i sinh tµi chÝnh cßn ®-îc gäi lµ tµi s¶n phô thuéc. C¸c quyÒn chän, c¸c hîp ®ång kú h¹n ... lµ c¸c ph¸i sinh tµi chÝnh ®iÓn h×nh. 1.1.2 Cæ phiÕu chøng kho¸n vµ c¸c ph¸i sinh Mét c«ng ty cã thÓ huy ®éng vèn b»ng c¸ch b¸n c¸c cæ phÇn cña hä cho c¸c nhµ ®Çu t-. Ng-êi së h÷u c¸c cæ phÇn nµy cã thÓ nhËn ®-îc cæ tøc hoÆc kh«ng tuú thuéc vµo 4
c«ng ty ®ã lµm ¨n cã l·i kh«ng vµ cã quyÕt ®Þnh chia l·i cho c¸c cæ ®éng hay kh«ng. Ngoµi ra hä cã toµn quyÒn b¸n hoÆc chuyÓn nh-îng cho ng-êi kh¸c. Gi¸ cña cæ phiÕu ph¶n ¸nh c¸ch nh×n vµ dù ®o¸n cña nhµ ®Çu t- vÒ c¸c chi tr¶ cæ tøc, vÒ kho¶n tiÒn kiÕm ®-îc trong t-¬ng lai vµ nguån vèn mµ c«ng ty ®ã sÏ kiÓm so¸t. Nh- vËy trong phÇn lín thêi gian th× gi¸ cña mét cæ phiÕu ®-îc ph¸n ®Þnh bëi ng-êi nµo muèn tr¶ gi¸ cho nã vµo mét ngµy ®Þnh tr-íc. Cho tr-íc mét chøng kho¸n, tøc lµ mét lo¹i cæ phiÕu hoÆc tr¸i phiÕu. Khi ®ã, mét ph¸i sinh chøng kho¸n lµ mét hîp ®ång ®Æc biÖt mµ gi¸ trÞ cña nã t¹i mét ngµy nµo ®ã trong t-¬ng lai phô thuéc hoµn toµn vµo gi¸ trÞ t-¬ng lai cña chøng kho¸n ®ã. C¸ nh©n nµo hoÆc h·ng nµo x©y dùng nªn hîp ®ång ®ã vµ mang b¸n nã ®i gäi lµ ng-êi viÕt. C¸ nh©n nµo hoÆc h·ng nµo mua hîp ®ång ®ã th× ®-îc gäi lµ ng-êi gi÷. Chøng kho¸n mµ hîp ®ång ®ã c¨n cø vµo ®Ó lËp nªn ®-îc gäi lµ mét tµi s¶n nÒn t¶ng. 1.1.2.1 C¸c hîp ®ång kú h¹n a) Hîp ®ång ký kÕt tr-íc Lµ lo¹i hîp ®ång ký kÕt gi÷a hai bªn ®èi t¸c A vµ B (Th-êng lµ c¸c c«ng ty tµi chÝnh hoÆc c¸c nhµ m«i giíi ®Çu t-, hoÆc c¸c nhµ ®Çu t- tµi chÝnh...) Víi c¸c quy -íc sau: (a) §Õn thêi ®iÓm ®¸o h¹n T cña hîp ®ång, bªn A ph¶i giao cho bªn B mét khèi l-îng s¶n phÈm tµi chÝnh (Cæ phiÕu, tr¸i phiÕu, tiÒn tÖ...) hoÆc mét khèi l-îng hµng ho¸ nµo ®ã cã gi¸ thÞ tr-êng lµ X t¹i thêi ®iÓm T . (b) §Õn thêi ®iÓm ®¸o h¹n T ®ã, bªn B ph¶i tr¶ cho bªn A mét kho¶n tiÒn F (0, T ) ®Þnh tr-íc tõ lóc ký kÕt. (c) Kh«ng cã bÊt k× mét chi phÝ giao dÞch nµo tr-íc thêi ®iÓm T . (d) §Õn thêi ®iÓm T hai bªn b¾t buéc ph¶i thùc thi c¸c quy -íc ®ã, theo mét sè ®iÒu kho¶n cô thÓ. b) Hîp ®ång giao sau Hîp ®ång giao sau gi÷a hai ®èi t¸c A vµ B còng gièng víi hîp ®ång ký kÕt tr-íc ë c¸c quy -íc (a), (c), (d) vµ kh¸c víi hîp ®ång ký kÕt tr-íc ë quy -íc (b), nã ®-îc thay b»ng quy -íc (b’). (b’) §Õn thêi ®iÓm ®¸o h¹n T , bªn B ph¶i tr¶ cho bªn A mét kho¶n tiÒn lµ F (t, T ), kho¶n tiÒn nµy hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi gi¸ c¶ thÞ tr-êng t¹i thêi ®iÓm t nµo ®ã (t < T ). Ngoµi ra c¸c s¶n phÈm ghi nî trong hîp ®ång ph¶i lµ tµi s¶n ®-îc niªm yÕt trong thÞ tr-êng chÝnh thøc. Mét ®iÓm ph©n biÖt gi÷a hai lo¹i hîp ®ång ký kÕt tr-íc vµ giao sau lµ: ë hîp ®ång ký kÕt tr-íc, hai bªn ®èi t¸c tho¶ thuËn r»ng sÏ rµng buéc trùc tiÕp víi nhau th«ng qua 5
c¸c ®iÒu kho¶n cña hîp ®ång. Cßn ®èi víi hîp ®ång giao sau th× hai bªn mua vµ b¸n chØ quan hÖ gi¸n tiÕp víi nhau trªn thÞ tr-êng chÝnh thøc th«ng qua mét tæ chøc trung gian gäi lµ "Quü ®Òn bï". trong hîp ®ång giao sau ng-êi gi÷ hîp ®ång cã thÓ lµ ng-êi b¸n hay ng-êi mua. ViÖc chuyÓn tiÒn qua l¹i gi÷a ng-êi gi÷ hîp ®«ng vµ quü ®Òn bï ®-îc tiÕn hµnh hµng ngµy vµ ®-îc gäi lµ "LÖnh gäi ®Òn bï". ViÖc giao dÞch trong hîp ®éng nµy ®-îc thùc hiÖn theo h×nh thøc hÐt to vµ ra hiÖu. 1.1.2.2 C¸c hîp ®ång quyÒn chän a) Hîp ®ång quyÒn chän mua Lµ lo¹i hîp ®ång cho phÐp ng-êi gi÷ hîp ®ång cã mét c¬ héi mua mét cæ phÇn chøng kho¸n trong t-¬ng lai víi mét gi¸ ®¶m b¶o tr-íc. C¸c ®iÒu kiÖn cña hîp ®ång nµy lµ: (a) §Õn ngµy ®¸o h¹n, ng-êi gi÷ hîp ®ång cã thÓ tr¶ cho ng-êi viÕt hîp ®ång mét sè tiÒn b»ng gi¸ thùc thi cña hîp ®ång. (b) NÕu ng-êi viÕt hîp ®ång nhËn ®-îc sè tiÒn gi¸ thùc thi do ng-êi gi÷ tr¶ th× ng-êi viÕt ph¶i giao mét cæ phÇn chøng kho¸n cho ng-êi gi÷ vµo ngµy ®¸o h¹n. Nh- vËy ng-êi gi÷ hîp ®ång nµy cã mét quyÒn chän ®Çu t-. NÕu ®Õn ngµy ®¸o h¹n gi¸ cæ phiÕu thÊp h¬n gi¸ thùc thi th× ng-êi ®ã cã quyÒn kh«ng thùc thi. Cßn nÕu gi¸ cæ phiÕu cao h¬n gi¸ thùc thi th× ng-êi gi÷ sÏ tr¶ chi phÝ thùc thi vµ cã ®-îc mét cæ phÇn cã gi¸ trÞ. NÕu hîp ®ång chØ cho phÐp ng-êi gi÷ sö dông nã vµo ngµy ®¸o h¹n th× ta nãi quyÒn chän mua nµy thuéc kiÓu Ch©u ¢u. Cßn mét lo¹i kh¸c Ýt h¹n chÕ h¬n lµ hîp ®ång quyÒn chän mua kiÓu Mü. Ng-êi gi÷ hîp ®ång nµy ®-îc phÐp thùc thi hîp ®ång nµy t¹i bÊt kú thêi ®iÓm nµo tr-íc ngµy ®¸o h¹n. b) Hîp ®ång quyÒn chän b¸n Lµ lo¹i hîp ®ång cho phÐp ng-êi gi÷ hîp ®ång cã mét c¬ héi ®-îc phÐp b¸n mét cæ phÇn chøng kho¸n trong t-¬ng lai víi mét gi¸ ®¶m b¶o tr-íc, ngay c¶ khi ng-êi ta kh«ng së h÷u bÊt kú mét cæ phiÕu nµo c¶. C¸c ®iÒu kiÖn cña hîp ®ång nµy lµ: (a) §Õn ngµy ®¸o h¹n, ng-êi gi÷ hîp ®ång cã thÓ ®-a cho ng-êi viÕt mét cæ phÇn chøng kho¸n hoÆc t-¬ng ®-¬ng mét sè tiÒn theo gi¸ thÞ tr-êng lóc Êy cña mét cæ phÇn chøng kho¸n. (b) NÕu ng-êi viÕt hîp ®ång nhËn ®-îc cæ phÇn chøng kho¸n hoÆc sè tiÒn t-¬ng ®-¬ng do ng-êi gi÷ hîp ®ång giao cho th× anh ta ph¶i tr¶ chi phÝ thùc thi cho ng-êi gi÷ hîp ®ång vµo ngµy ®¸o h¹n cña hîp ®ång. Còng nh- víi c¸c hîp ®ång quyÒn chän mua, ë hîp ®ång quyÒn chän b¸n ng-êi gi÷ 6
hîp ®ång cã quyÒn chän ®Çu t-. Vµ nÕu hîp ®ång chØ cho phÐp ng-êi gi÷ sö dông nã vµo ngµy ®¸o h¹n th× gäi lµ quyÒn chän b¸n kiÓu Ch©u ¢u. Cßn nÕu cã thÓ thùc thi hîp ®ång nµy vµo bÊt kú thêi ®iÓm nµo tr-íc ngµy ®¸o h¹n th× ta cã quyÒn chän b¸n kiÓu Mü. Mét quyÒn chän b¸n kiÓu Mü cã thÓ kiÕm ®-îc nhiÒu tiÒn h¬n mét quyÒn chän b¸n kiÒu Ch©u ¢u. 1.2 ThÞ tr-êng vµ to¸n häc 1.2.1 Gi¸ ®-îc xem nh- c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn XÐt mét tµi s¶n tµi chÝnh S mµ gi¸ cña nã t¹i mét thêi ®iÓm t ®-îc ký hiÖu lµ S(t). Gi¶ sö t0 lµ thêi ®iÓm hiÖn t¹i th× ta chØ biÕt ®-îc gi¸ thùc thi S(t0 ) nhê quan s¸t trªn thÞ tr-êng vµ nãi chung ta kh«ng biÕt tr-íc ®-îc gi¸ S(t) víi t > t0 . Gi¸ S(t) biÕn ®æi mét c¸ch phô thuéc vµo nhiÒu yÕu tè ngÉu nhiªn nh- c¸c biÕn ®éng gi¸ c¸c s¶n phÈm kh¸c, c¸c xu h-íng t¨ng tr-ëng hoÆc suy tho¸i cña c¸c nÒn kinh tÕ trªn thÕ giíi, c¸c diÔn biÕn vÒ nhu cÇu tiªu dïng trong vµ ngoµi n-íc, tiÒm lùc s¶n xuÊt, c¸c diÔn biÕn chÝnh trÞ, c¸c chÝnh s¸ch cña nhµ n-íc, c¸c diÔn biÕn t©m lý nhµ ®Çu t-... . Ta gom c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn ®ã cña tÊt c¶ c¸c s¶n phÈm tµi chÝnh S trªn thÞ tr-êng vµo mét tËp hîp c¬ b¶n kÝ hiÖu lµ Ω mµ mçi phÇn tö ω cña nã biÓu thÞ mét yÕu tè ngÉu nhiªn nµo ®ã. Mçi sù kiÖn x¶y ra trong thÞ tr-êng lµ mét tËp hîp nµo ®ã gåm mét sè c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn. §Ó ®o l-êng mét c¸ch ®Þnh l-îng kh¶ n¨ng x¶y ra c¸c sù kiÖn ®ã ng-êi ta dïng mét lo¹i th-íc ®o lµ mét ®é ®o x¸c suÊt P . §é ®o ®ã chØ ®o ®-îc c¸c sù kiÖn thuéc vÒ mét líp F nµo ®ã c¸c sù kiÖn (F sÏ ®-îc x¸c ®Þnh nh- mét σ − ®¹i sè), mçi sù kiÖn A thuéc vÒ líp nµy ®-îc gäi lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn vµ gi¸ trÞ ®o l-êng kh¶ n¨ng x¶y ra sù kiÖn A ®ã chÝnh lµ x¸c xuÊt P(A) . VËy ta cã mét kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F , P ) mµ mçi tµi s¶n tµi chÝnh S(t) lµ mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn x¸c ®Þnh trªn ®ã: Víi mçi t, S(t) cßn phô thuéc vµo c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn ω : S = S(t,ω) 1.2.2 Th«ng tin thÞ tr-êng vµ biÓu diÔn to¸n häc 1.2.2.1 σ - tr-êng vµ luång th«ng tin thÞ tr-êng Ta nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa σ - tr-êng §Þnh nghÜa 1.2.1. Mét σ − ®¹i sè G (hay cßn gäi lµ σ − tr-êng G ) x¸c ®Þnh trªn tËp Ω lµ mét hä c¸c tËp con cña Ω tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt: (a) G ®ãng ®èi víi phÐp hîp ®Õm ®-îc. 7
(b) G ®ãng ®èi víi phÐp lÊy phÇn bï. (c) Ω ∈ G NhËn xÐt 1.2.2. + Tõ (a) vµ (b) ta suy ra G còng ®ãng ®èi víi phÐp giao ®Õm ®-îc. + Tõ (b) vµ (c) suy ra ∅ ∈ G Nh- phÇn trªn ta ®· nãi, gi¸ cña c¸c s¶n phÈm tµi chÝnh ®-îc xem nh- nh÷ng qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn xÐt trªn mét kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F , P ) , mçi sù kiÖn A x¶y ra trong thÞ tr-êng ®-îc xem lµ mét tËp hîp thuéc vÒ hä F víi kh¶ n¨ng x¶y ra chÝnh lµ x¸c suÊt P(A) . Nh-ng gi¸ s¶n phÈm th× thay ®æi ngÉu nhiªn theo thêi gian t vµ c¸c th«ng tin vÒ thÞ tr-êng (chÝnh s¸ch, nhu cÇu tiªu dïng...) còng tÝch luü cµng ngµy cµng nhiÒu thªm. Ta gi¶ sö mäi th«ng tin vÒ thÞ tr-êng Êy t¹i thêi ®iÓm t ®-îc ghi nhËn trong mét tr-êng th«ng tin Ft lµ mét hä con cña F . Nh- vËy Ft ghi nhËn mäi biÕn cè x¶y ra trong thÞ tr-êng t¹i mäi thêi ®iÓm s ≤ t. VÒ mÆt to¸n häc, hä th«ng tin c¬ b¶n F vµ c¸c hä con Ft ®-îc x¸c ®Þnh nh- nh÷ng σ - ®¹i sè trªn tËp Ω c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn c¬ b¶n. §Þnh nghÜa 1.2.3. Luång th«ng tin thÞ tr-êng Ft , t ≥ 0 lµ mét hä c¸c σ - ®¹i sè con cña σ - ®¹i sè F (Ft ⊂ F ) vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y: (i) Lµ mét hä t¨ng, tøc lµ Fs ⊂ Ft víi s ≤ t T (ii) Liªn tôc ph¶i, tøc lµ >0 Ft+ = Ft (iii) Mäi tËp P - bá qua ®-îc A thuéc F ®Òu ®-îc chøa trong F0 (do ®ã A ⊆ Ft, ∀t) §iÒu kiÖn (i) ph¶n ¸nh ®óng th«ng tin thÞ tr-êng: Mçi ngµy tr«i qua ta cã thªm th«ng tin diÔn biÕn cña thÞ tr-êng. C¸c ®iÒu kiÖn (ii) vµ (iii) cã tÝnh chÊt kü thuËt ®Ó phôc vô tÝnh to¸n. Trong to¸n häc, luång th«ng tin F(t) ®Þnh nghÜa nh- trªn ®-îc gäi lµ mét bé läc. Tuú bèi c¶nh cña bµi to¸n, cã thÓ chän ra nhiÒu bé läc kh¸c nhau. 1.2.2.2 Kh«ng gian x¸c suÊt ®-îc läc §Þnh nghÜa 1.2.4. Cho mét kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F , P ) gåm tÊt c¶ c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn trong mét thÞ tr-êng tµi chÝnh, vµ cho Ft , t ≥ 0 lµ mét luång th«ng tin trªn thÞ tr-êng ®ã. Khi ®ã bé (Ω, F , Ft, P ) ®-îc gäi lµ mét kh«ng gian x¸c suÊt ®-îc läc cña thÞ tr-êng ®ã. NÕu tµi s¶n tµi chÝnh S cã gi¸ lµ mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn St = S(t,ω) x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian x¸c suÊt ®-îc läc ®ã th× St lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ®o ®-îc ®èi víi Ft . TÝnh chÊt ®ã ®-îc gäi lµ tÝnh thÝch nghi cña qu¸ tr×nh gi¸ tµi s¶n St ®èi víi luång th«ng tin 8
thÞ tr-êng Ft. §iÒu ®ã cã nghÜa lµ mäi sù kiÖn liªn quan ®Õn gi¸ c¶ cña tµi s¶n S t¹i thêi ®iÓm t ®Òu ®-îc chøa ®ùng trong σ − tr-êng th«ng tin Ft . 1.2.2.3 LÞch sö diÔn biÕn cña gi¸ tµi s¶n §Þnh nghÜa 1.2.5. Cho S lµ mét tµi s¶n tµi chÝnh nµo ®ã xÐt trong mét kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, F , P ) cña thÞ tr-êng. Ta chän bé läc (Ft ) ë ®©y chÝnh lµ σ − tr-êng sinh ra bëi mäi gi¸ trÞ qu¸ khø Ss , s ≤ t cña tµi s¶n S vµ kÝ hiÖu lµ (FtS ). ∀t FtS = σ(Ss , s ≤ t) Hä (FtS ) tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt cña mét luång th«ng tin thÞ tr-êng vµ ®-îc gäi lµ lÞch sö diÔn biÕn gi¸ tµi s¶n S tõ qu¸ khø cho ®Õn thêi ®iÓm t. Trong to¸n häc, (FtS , t ≥ 0) ®-îc gäi lµ bé läc tù nhiªn cña qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn (St, t ≥ 0). 1.2.2.4 Luång th«ng tin tæng hîp cña thÞ tr-êng §Þnh nghÜa 1.2.6. Gi¶ sö mét thÞ tr-êng M gåm cã c¸c tµi s¶n c¬ b¶n lµ S 1, S 2 , ..., S K . k Mçi tµi s¶n S k (k = 1, 2, .., K) øng víi mét lÞch sö diÔn biÕn lµ FtS . Khi ®ã luång th«ng tin tæng hîp cña thÞ tr-êng M, ký hiÖu lµ FtM ®-îc ®Þnh nghÜa bëi [ K k ∀t ≥ 0 FtM = FtS k=1 Trong ®ã, víi mçi t, FtM lµ lÞch sö diÔn biÕn cña thÞ tr-êng M cho tíi thêi ®iÓm t. 1.2.2.5 Gi¶ thuyÕt thÞ tr-êng hiÖu qu¶ §Þnh nghÜa 1.2.7. Gi¶ thuyÕt thÞ tr-êng hiÖu qu¶ lµ mét gi¶ thuyÕt gåm hai ®iÒu kiÖn sau: (i) Mäi th«ng tin vÒ tµi chÝnh ®Òu ®-îc ph¶n ¸nh ®Çy ®ñ trong gi¸ cña c¸c s¶n phÈm tµi chÝnh. (ii) Mäi nhµ ®Çu t- ®Òu cã c¬ héi nh- nhau ®Ó tiÕp cËn th«ng tin vÒ thÞ tr-êng. Nãi c¸ch kh¸c, kh«ng cã ai cã c¬ héi v-ît tréi n¾m b¾t ®-îc th«ng tin vÒ thÞ tr-êng (gi¸ c¶, chÝnh s¸ch...) h¬n nh÷ng ng-êi kh¸c. Hai ®iÒu kiÖn ®ã ®-îc gäi lµ hai nguyªn lý cña gi¶ thuyÕt vÒ thÞ tr-êng hiÖu qu¶. Gi¶ thuyÕt nµy ®-îc nhµ kinh tÕ häc Mü lµ Eugene Fama ®-a ra n¨m 1965. 9
Ba d¹ng thÞ tr-êng hiÖu qu¶: - D¹ng yÕu: Khi th«ng tin vÒ thÞ tr-êng chØ lµ c¸c th«ng tin qu¸ khø. - D¹ng trung b×nh: Khi th«ng tin vÒ thÞ tr-êng lµ mäi th«ng tin c«ng khai. - D¹ng m¹nh: Gåm mäi th«ng tin cã thÓ, ngoµi ra, c¸c diÔn biÕn t-¬ng lai vÒ gi¸ s¶n phÈm tµi chÝnh chØ phô thuéc vµo th«ng tin qu¸ khø th«ng qua gi¸ hiÖn t¹i cña chóng. Nãi c¸ch kh¸c, khi gi¸ c¸c tµi s¶n tµi chÝnh cã tÝnh chÊt Markov. 1.2.2.6 Mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n trong to¸n tµi chÝnh a) Ph-¬ng ¸n ®Çu t- Mét ph-¬ng ¸n ®Çu t- lµ tæ hîp cña mét sè h÷u h¹n c¸c chøng kho¸n víi c¸c träng sè nµo ®Êy. Gi¶ sö cã n chøng kho¸n víi gi¸ trÞ t¹i thêi ®iÓm t lµ S1 (t), ..., Sn(t). Mét ph-¬ng ¸n ®Çu t- lµ mét c¸ch chän ra α1 (t) chøng kho¸n S1 , ... , αn (t) chøng kho¸n Sn t¹i mçi thêi ®iÓm t ®Ó ®Çu t-. VËy gi¸ trÞ V α (t) cña ph-¬ng ¸n Êy t¹i thêi ®iÓm t lµ: X n α V (t) = α1 (t)S1(t) + ... + αn (t)Sn (t) = αi (t)Si (t) i=1 Râ rµng V α(t) lµ mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. C¸c αi (t) lµ c¸c hµm sè tÊt ®Þnh cña t. NÕu αi (t) > 0 th× gäi lµ ph-¬ng ¸n b¸n ®èi víi chøng kho¸n Si , cßn nÕu αi (t) < 0 th× gäi lµ ph-¬ng ¸n mua ®èi víi chøng kho¸n Si . Ph-¬ng ¸n ®Çu t- cßn ®-îc gäi lµ danh môc ®Çu t- hoÆc chiÕn l-îc ®Çu t- vµ ®-îc ký hiÖu lµ (α, S). b) C©n ®èi l¹i vµ tù tµi trî - T¹i mét thêi ®iÓm t, ph-¬ng ¸n ®Çu t- cã thÓ ®-îc c©n ®èi l¹i, tøc lµ ®iÒu chØnh l¹i viÖc mua vµ b¸n c¸c chøng kho¸n Si (1 ≤ i ≤ n). §iÒu ®ã còng cã nghÜa lµ thay ®æi c¸c träng sè cña chóng tõ α1 (t), ..., αn(t) sang β1 (t), ..., βn(t). - NÕu sau khi c©n ®èi l¹i mµ gi¸ trÞ cña ph-¬ng ¸n ®Çu t- kh«ng thay ®æi th× ta gäi sù c©n ®èi l¹i ®ã lµ sù c©n ®èi tù tµi trî. 1.2.3 C¬ héi cã chªnh lÖch thÞ gi¸ vµ nguyªn lý AAO XÐt mét m« h×nh thÞ tr-êng M gåm c¸c chøng kho¸n S vµ mét hä c¸c ph-¬ng ¸n ®Çu t- tù tµi trî Φ. §Þnh nghÜa 1.2.8. Mét ph-¬ng ¸n ®Çu t- tù tµi trî φ ∈ Φ ®-îc gäi lµ mét c¬ héi cã ®é chªnh thÞ gi¸ nÕu qu¸ tr×nh gi¸ Vt (φ) cña ph-¬ng ¸n ®Çu t- tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: 10
(i) P{(V0 (φ)=0)} = 1 (ii) P{(VT (φ)≥0)} = 1 (T lµ thêi ®iÓm ®¸o h¹n cña hîp ®ång) (iii) P{(VT (φ)>0)} > 0 §Þnh nghÜa 1.2.9. Ta nãi r»ng thÞ tr-êng M = (S, Φ) lµ mét thÞ tr-êng kh«ng cã c¬ héi chªnh thÞ gi¸ nÕu kh«ng tån t¹i mét ph-¬ng ¸n ®Çu t- tù tµi trî nµo trong Φ mµ lµ cã ®é chªnh thÞ gi¸. Gi¶ thiÕt "Kh«ng cã ®é chªnh thÞ gi¸" gäi lµ nguyªn lý AAO 1.2.4 Nguyªn lý ®¸p øng vµ kh¸i niÖm thÞ tr-êng ®Çy ®ñ §Þnh nghÜa 1.2.10. ChiÕn l-îc ®¸p øng ChiÕn l-îc ®¸p øng ®èi víi mét ph¸i sinh cã gi¸ trÞ ®¸o h¹n Xt t¹i thêi ®iÓm ®¸o h¹n T lµ mét ph-¬ng ¸n ®Çu t- tù tµi trî φ sao cho Vt (φ) = Xt . Tøc lµ sao cho gi¸ trÞ lóc ®¸o h¹n cña ph-¬ng ¸n ®Çu t- Êy b»ng ®óng víi gi¸ trÞ ®¸o h¹n Xt ®· ®Þnh tr-íc vµ ®· ghi trong hîp ®ång. Qu¸ tr×nh gi¸ Vt (φ) cña ph-¬ng ¸n Êy ®-îc gäi lµ qu¸ tr×nh ®¸p øng. Ký hiÖu ΦX lµ líp tÊt c¶ c¸c ph-¬ng ¸n ®Çu t- φ ®¸p øng cho ph¸i sinh X . §Þnh nghÜa 1.2.11. Ph¸i sinh ®¹t ®-îc trong thÞ tr-êng M Mét tµi s¶n ph¸i sinh X ®-îc gäi lµ ®¹t ®-îc trong thÞ tr-êng M nÕu cã Ýt nhÊt mét ph-¬ng ¸n ®¸p øng cho nã. §Þnh nghÜa 1.2.12. ThÞ tr-êng ®Çy ®ñ Mét thÞ tr-êng M ®-îc gäi lµ ®Çy ®ñ nÕu mäi tµi s¶n ph¸i sinh X ®Òu ®¹t ®-îc trong M. 1.3 M« h×nh Black - Scholes 1.3.1 Giíi thiÖu m« h×nh vµ kÕt qu¶ N¨m 1973, trong mét t¹p chÝ vÒ kinh tÕ chÝnh trÞ, hai nhµ Kinh tÕ kiªm To¸n häc Mü lµ Fisher Black vµ Myron Scholes ®· c«ng bè mét bµi b¸o quan träng vÒ ®Þnh gi¸ quyÒn chän. Tõ ®ã ra ®êi m« h×nh Black - Scholes ®Ó ®Þnh gi¸ tµi s¶n kh«ng rñi ro trong mét thÞ tr-êng víi thêi gian liªn tôc. Ngay lËp tøc, m« h×nh ®ã cïng víi c«ng thøc Black - Scholes næi tiÕng rót ra tõ m« h×nh ®ã ®· cã mét t¸c ®éng cã tÝnh chÊt c¸ch m¹ng ®Õn c¸c 11
thÞ tr-êng chøng kho¸n t¹i Mü lóc ®ã. Ng-êi ta thÊy râ sù ®¬n gi¶n mµ rÊt hiÖu qu¶ cña m« h×nh nµy ®Ó ®Þnh gi¸ chøng kho¸n vµ ®Þnh gi¸ hîp ®ång quyÒn chän cã kÓ ®Õn c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn t¸c ®éng lªn thÞ tr-êng. N¨m 1996, Scholes ®· ®-îc nhËn gi¶i th-ëng Nobel vÒ kinh tÕ (Lóc ®ã Black ®· mÊt) nhê c¸c c«ng tr×nh vÒ tµi chÝnh víi sù céng t¸c cña R.C.Merton, mét chuyªn gia l·o luyÖn vÒ tµi chÝnh t¹i viÖn c«ng nghÖ Massachusetts. Gäi S = St lµ gi¸ cæ phiÕu t¹i thêi ®iÓm t, v× gi¸ cæ phiÕu chÞu nhiÒu t¸c ®éng ngÉu nhiªn cña thÞ tr-êng, nªn ta coi St lµ mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn víi thêi gian liªn tôc St = S(t,ω). M« h×nh Black - Scholes ®-îc m« t¶ bëi ph-¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn tuyÕn tÝnh nh- sau: dS = µSdt + σSdB trong ®ã µ vµ σ lµ nh÷ng h»ng sè, cßn B lµ mét chuyÓn ®éng Brown. Gi¸ cæ phiÕu t¹i thêi ®iÓm t bÊt kú ®-îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: σ2 St = S0 exp σBt + µ − t 2 XÐt mét quyÒn chän mua kiÓu Ch©u ¢u víi gi¸ thùc thi lµ X , thêi ®iÓm ®¸o h¹n T , l·i suÊt kh«ng rñi ro lµ r vµ St lµ gi¸ chøng kho¸n t¹i thêi ®iÓm t ∈ [0, T ]. Khi ®ã gi¸ V cña quyÒn chän mua t¹i thêi ®iÓm hiÖn t¹i t ®-îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc Black - Scholes sau: V = St N(d1 ) − Xe−r(T −t) N(d2 ) trong ®ã N lµ kÝ hiÖu cho hµm ph©n phèi N (0, 1) Zx 1 u2 N(x) =√ e− 2 du 2π −∞ vµ d1 , d2 lµ hai gi¸ trÞ cho bëi 1 St σ2 d1 = √ ln + r + (T − t) σ T −t X 2 √ d2 = d1 − σ T − t NÕu chän thêi ®iÓm hiÖn t¹i lµm thêi ®iÓm gèc t = 0 th× c«ng thøc Black - Scholes trë thµnh: V = S0N(d1 ) − Xe−rT N(d2 ) 12
trong ®ã: Zx 1 u2 N(x) =√ e− 2 du 2π −∞ 1 S0 σ2 d1 = √ ln + r+ T σ T X 2 √ d2 = d1 − σ T 1.3.2 C¬ së dÉn ®Õn m« h×nh Black - Scholes Gi¶ sö ta cã mét thÞ tr-êng M ho¹t ®éng liªn tôc, cã l·i suÊt kh«ng ®æi, kh«ng chia lîi tøc cho cæ ®«ng tr-íc khi ®¸o h¹n, kh«ng cã chi phÝ giao dÞch, kh«ng trao ®æi chøng kho¸n. KÝ hiÖu St lµ gi¸ cæ phiÕu t¹i thêi ®iÓm t, dSt lµ l-îng gi¸ cæ phiÕu thay ®æi trong kho¶ng thêi gian nhá [t, t + dt]. Mét ®iÒu tù nhiªn lµ ta cã thÓ gi¶ thiÕt lµ ®é thay ®æi dSt t-¬ng ®èi vÒ gi¸ lµ tû lÖ thuËn víi ®é dµi thêi gian dt víi mét hÖ sè tû lÖ µ nµo ®ã: St dSt ' µdt St Ngoµi ra cßn ph¶i kÓ ®Õn t¸c ®éng cña c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn trong thÞ tr-êng lªn tû lÖ ®ã n÷a. C¸c yÕu tè ngÉu nhiªn Êy t¹o nªn mét lo¹i "nhiÔu" ngÉu nhiªn. NhiÔu ngÉu nhiªn phæ biÕn nhÊt chÝnh lµ nhiÔu cã ph©n bè x¸c suÊt chuÈn, ®-îc gäi lµ nhiÔu tr¾ng Gauss hay tiÕng ån tr¾ng Gauss, thÓ hiÖn qua vi ph©n ngÉu nhiªn dBt cña mét chuyÓn ®éng Brown Bt víi mét hÖ sè tû lÖ σ nµo ®ã. Do ®ã ta ®Æt: dSt = µdt + σdBt (3.1) St µ, σ lµ c¸c h»ng sè. µ cßn gäi lµ ®é dÞch chuyÓn gi¸. σ gäi lµ ®é biÕn ®éng gi¸, σ cµng lín th× t¸c ®éng ngÉu nhiªn cµng lín. 1.3.2.1 Qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng Brown h×nh häc XÐt ph-¬ng tr×nh: dSt = µSt dt + σStdBt Ta xÐt c¸c hµm: U(t,s) = ln S x¸c ®Þnh trªn [0, T ] × R vµ Y(t) = U(t,s(t)) = ln S(t) 13
¸p dông c«ng thøc Ito ta cã: 1 dY = Ut dt + Us ds + Uss (σS(t))2 dt 2 1 1 = 0 + (µSt dt + σStdBt ) − 2 σ 2S(t)2 dt S 2S(t) σ2 = µ− dt + σdBt 2 Zt Zt σ2 Y(t) − Y(0) = µ− ds + σdBs 2 0 0 σ2 = µ− t + σBt 2 σ2 ⇒ ln S(t) − ln S(0) = µ− t + σBt 2 Suy ra: σ2 St = S0 exp σBt + µ − t (3.2) 2 Qu¸ tr×nh S(t) nµy ®-îc gäi lµ mét chuyÓn ®éng Brown h×nh häc. 1.3.3 X¸c ®Þnh c¸c tham sè cña chuyÓn ®éng Brown h×nh häc B»ng quan s¸t, ta cã thÓ -íc l-îng ®-îc c¸c tham sè µ vµ σ cña chuyÓn ®éng Brown h×nh häc, ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ ta -íc l-îng ®-îc gi¸ St cña cæ phiÕu. Gi¶ sö ta ghi nhËn ®-îc mét sè sè liÖu vÒ gi¸ mét cæ phiÕu trong mét kho¶ng thêi gian [0, T ], cô thÓ: Chia kho¶ng [0, T ] thµnh n kho¶ng nhá ®Òu nhau cã ®é dµi lµ ∆t, ∆t = ti − ti−1, (i = 1, n) sau ®ã ta thu thËp c¸c gi¸ chøng kho¸n t¹i thêi ®iÓm cuèi ti cña c¸c kho¶ng nhá [ti−1, ti ]. Ta ®-îc n quan s¸t S1 , ..., Sn. Ta thùc hiÖn theo c¸c b-íc sau: B-íc 1: T¹o ra mét d·y sè liÖu: ui = ln(Si ) − ln(Si−1 ), (i = 1, n) ¸p ®ông (3.2) ta ®-îc: σ2 Ui = σ Bti − Bti−1 + µ− ∆t (3.3) 2 Víi Bti − Bti−1 lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n bè chuÈn N(0,∆t). B-íc 2: TÝnh kú väng vµ ph-¬ng sai cña biÕn ngÉu nhiªn U nhËn c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c U1 , ..., Un theo hai c¸ch: 14
C¸ch 1: Dùa vµo d·y sè liÖu thùc tÕ: X n e = EU = 1 U Ui n i=1 1 X n 2 2 S = VarU = (Ui − EU ) n − 1 i=1 C¸ch 2: Dùa vµo biÓu thøc (3.3). σ2 EU = µ − ∆t 2 VarU = σ 2 ∆t B-íc 3: Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh sau ®©y ®èi víi µ vµ σ . 2 e = µ− σ U ∆t 2 S 2 = σ 2∆t Ta ®-îc: 2 e+S U 2 S µ= vµ σ=√ ∆t ∆t VÝ dô 1.3.1. Gi¸ cæ phiÕu cña h·ng m¸y tÝnh IBM Mü lóc ®ãng cöa trong kho¶ng thêi gian tõ ngµy 28/10/1997 ®Õn ngµy 9/12/1997 ®-îc thèng kª l¹i gåm 33 sè liÖu nh- sau (tÝnh theo ®¬n vÞ ®« la Mü) 99, 375 98, 25 95, 812 98, 5 101, 625 101, 938 102, 75 101, 062 99, 5 97, 688 99, 0 96, 625 99, 125 101, 5 99, 125 101, 5 103, 5 102, 125 103, 062 104, 75 105, 562 103, 125 107, 375 109, 75 109, 75 109, 5 115, 562 110, 75 110, 375 109, 25 112, 25 113, 062 110, 375 ¸p dông c¸c c«ng thøc trªn ta tÝnh ®-îc: e = 0, 00264441 U S = 0, 020256795 1 Víi ∆t = ta ®-îc: 365 2 e+S U µ= 2 = 1, 04 ∆t S σ=√ = 0, 367 ∆t 15
Do ®ã gi¸ cæ phiÕu vµo bÊt kú mét ngµy t nµo sÏ ®-îc -íc l-îng bëi: 0, 3672 St = S0 exp 0, 367Bt + 1, 04 − t 2 ⇒ St = S0 exp(0, 367Bt + 0, 9725t) 1.3.4 C«ng thøc Black - Scholes vÒ gi¸ cña hîp ®ång quyÒn chän mua Trong môc (2.1.1.1) ®· giíi thiÖu c«ng thøc Black - Scholes ®Ó ®Þnh gi¸ V cña mét hîp ®ång quyÒn chän. V = S0N(d1 ) − Xe−rT N(d2 ) (3.4) trong ®ã: Zx u2 1 − N(x) = √ e 2 du 2π −∞ 1 S0 σ2 d1 = √ ln + r+ T σ T X 2 √ d2 = d1 − σ T T· sÏ chøng minh c«ng thøc ®ã. Gäi V lµ gi¸ cña quyÒn chän vµo thêi ®iÓm hiÖn t¹i t = 0. Khi ®ã V ®-îc tÝnh theo c«ng thøc: V = e−rT E (ST − X)+ (3.5) Trong ®ã: ST lµ gi¸ chøng kho¸n t¹i thêi ®iÓm ®¸o h¹n T X lµ gi¸ thùc thi hîp ®ång t¹i thêi ®iÓm ®¸o h¹n T ( ST − X nÕu ST − X ≥ 0 (ST − X)+ = 0 nÕu ST − X < 0 Gi¶ sö gi¸ chøng kho¸n St tu©n theo m« h×nh Black - Scholes th× St lµ gi¸ trÞ cña mét chuyÓn ®éng Brown h×nh häc. Theo (3.2) ta cã σ2 ST = S0 exp σBT + r − T (3.6) 2 V× BT lµ mét biÕn ngÉu nhiªn víi kú väng 0 vµ ph-¬ng sai T nªn ta cã thÓ ®Æt √ BT = T .Z , trong ®ã Z ' N (0, 1). Khi ®ã ST viÕt thµnh: √ σ2 ST = S0 exp σ T Z + r − T (3.7) 2 16
Thay (3.7) vµo (3.5) ta ®-îc ( + ) −rT √ σ2 V =e E S0 exp σ T Z + r − T −X 2 Suy ra: Z+∞ √ + e−rT σ2 x2 V =√ S0 exp σx T + r − T − X e− 2 dx (3.8) 2π 2 −∞ Ta t×m x = a ®Ó cã ®¼ng thøc √ σ2 S0 exp σa T + r − T −X =0 2 Suy ra: X σ2 ln − r− T S0 2 a= √ (3.9) σ T Tõ (3.8) vµ (3.9) ta suy ra:   Z+∞ √ σ2 e−rT  σx T +(r− 2 )T  x2 V =√  S0 e − X  e− 2 dx 2π a   Z+∞ √ σ2 Z +∞  1 σx T +(r− )T x2 1 x2  = e−rT √ S0 e 2 e− 2 dx − √ Xe− 2 dx 2π 2π a a Ta tÝnh hai tÝch ph©n trªn. Z+∞ Z−a 1 x2 1 u2 I2 = √ Xe− 2 dx = √ Xe− 2 du 2π 2π a −∞ Z−a 1 u2 =X√ e− 2 du = XΦ(−a) 2π −∞ 1 Rx − u2 Trong ®ã Φ(x) = √ e 2 du lµ hµm ph©n phèi chuÈn. 2π −∞ Z+∞ √ σ2 1 σx T +(r− )T x2 I1 = √ S0 e 2 e− 2 dx 2π a σ2 Z+∞ (r− )T 1 x2 √ = S0 e 2 √ e−( 2 −σx T ) dx 2π a 2 σ (r− )T = S0 e 2 .J 17
1 +∞R −( x2 −σx√T ) Trong ®ã: J=√ e 2 dx 2π a √ x2 √ x2 √ σ 2T σ 2T (x − σ T )2 σ 2T Ta cã: − σx T = − σx T + − = − 2 2 2 2 2 2 2 √ 2 σ T 1 +∞ R − (x−σ2 T ) + Do ®ã: J=√ e 2 dx 2π a √ §æi biÕn sè b»ng c¸ch ®Æt y = x − σ T ta ®-îc: Z+∞ σ2T 1 y2 J =e 2 √ e− 2 dy 2π √ a−σ T √ Z T) −(a−σ σ2T 1 y2 =e 2 √ e− 2 dy 2π −∞ √ Zx σ2T 1 y2 =e 2 Φ−(a − σ T ) víi Φ(x) = √ e− 2 dy 2π −∞ √ VËy: I1 = S0erT Φ−(a − σ T ) Suy ra: V = e−rT (I1 + I2 ) h √ i = e−rT S0 erT Φ−(a − σ T ) − XΦ(−a) h √ i = S0Φ −(a − σ T ) − Xe−rT Φ(−a) Theo (3.9) th× S0σ2 ln + r− T X 2 −a = √ σ T S0 σ2 √ ln + r+ T X 2 −(a − σ T ) = √ σ T √ §Æt d1 = −a vµ d2 = −(a − σ T ) th× 1 S0 σ2 √ d1 = √ ln + r+ T vµ d2 = d1 − σ T σ T X 2 Ta cã: V = S0 Φd1 − Xe−rT Φd2 1 Rx − u2 Ký hiÖu: N(x) = Φ(x) = √ e 2 du th× 2π −∞ V = S0N(d1 ) − Xe−rT N(d2 ) 1 S0 σ2 víi d1 = √ ln + r+ T σ T X 2 √ d2 = d1 − σ T 18