Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng Radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử - Phonon quang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là xây lượng tử và hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối; hiệu ứng radio – điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang; tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử GaAs/GaAsAl. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng Radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn với cơ chế tán xạ điện tử - Phonon quang

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- Trần Thị Quỳnh Trang HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- Trần Thị Quỳnh Trang HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG Chuyên ngành : Vật Lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐỖ MẠNH HÙNG Hà Nội – Năm 2014
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, TS. Đỗ Mạnh Hùng, Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, hướng dẫn em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn thầy! Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết và vật lý toán, các Thầy Cô trong Khoa Vật lý, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, đã truyền đạt những kiến thức chuyên ngành vô cùng quý báu. Em cảm ơn thầy cô đã giảng dạy em trong những năm qua, những kiến thức mà em nhận được trên giảng đường sẽ là hành trang giúp em vững bước trong tương lai. Em cũng không quên gửi lời cảm ơn đến những người bạn, những anh chị đã đồng hành, giúp đỡ em trong quá trình tìm tài liệu, trao đổi kiến thức cũng như truyền đạt những kinh nghiệm giúp em có thể hoàn thành luận văn một cách tốt nhất. Và lời cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian qua. Sau cùng, em xin kính chúc toàn thể các thầy cô giáo luôn mạnh khoẻ, hạnh phúc và thành công trong công việc và cuộc sống. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 12/2014 Học viên Trần Thị Quỳnh Trang MỤC LỤC
Trang MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 1 CHƢƠNG 1: DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI ..................................................................... 4 1. Dây lƣợng tử .................................................................................................................... 4 1.1. Tổng quan về dây lƣợng tử .......................................................................................... 4 1.2. Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong dây lƣợng tử .................................... 4 2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối ................................... 5 CHƢƠNG 2: HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG ........................................................................................................... 11 1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử trong dây lƣợng tử ............................................................................................................. 11 1.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong dây lƣợng tử ......................................... 11 1.2. Phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử trong dây lƣợng tử..................................... 12 2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần ................................................................................. 26 3. Biểu thức giải tích cho cƣờng độ điện trƣờng .............................................................. 41 CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl…… ............................................................................. …….49 1. Sự phụ thuộc của trƣờng radio – điện vào tần số của sóng điện từ mạnh .................... 49 2. Sự phụ thuộc của trƣờng radio – điện vào tần số của sóng điện từ phân cực phẳng ... 50 3. Sự phụ thuộc của trƣờng radio – điện vào nhiệt độ… .................................................. 51 KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 54 PHỤ LỤC ............................................................................................................. ……….55
DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Bảng 3.1 ............................................................................................................................. 49 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1 ............................................................................................................................ .50 Hình 3.2 ............................................................................................................................. 51 Hình 3.3 ............................................................................................................................. 52
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Ngày nay, sự phát triển vƣợt bậc của khoa học công nghệ đã và đang tạo một tiền đề vững chắc cho sự phát triển các ngành khoa học cơ bản. Một trong những lĩnh vực chịu tác động mạnh mẽ nhất của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật lịch sử này chính là khoa học và công nghệ Nano. Khi nghiên cứu các cấu trúc thấp chiều các nhà khoa học đã phát hiện ra nhiều ƣu điểm của chúng. Tính chất của các thiết bị dựa trên bán dẫn thấp chiều có thể đƣợc điều chỉnh bằng cách thay đổi các thông số của cấu trúc và thành phần của hợp chất tạo nên chúng. Đối với bán dẫn khối – cấu trúc ba chiều, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể. Do đó, phổ năng lƣợng của các hạt tải dẫn không bị lƣợng tử hóa theo các phƣơng. Ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai hoặc ba) hƣớng tọa độ nào đó. Phổ năng lƣợng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo phƣơng mà chuyển động của điện tử bị giới hạn. Sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lƣợng của vật liệu nhƣ hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng… Từ đó dẫn đến sự thay đổi các đặc trƣng, tính chất cơ bản của hệ. Với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công nghệ hiện đại, ngƣời ta có thể chế tạo ra các cấu trúc hai chiều, các cấu trúc một chiều, hay các cấu trúc không chiều, với những thông số phù hợp tùy thuộc vào mục đích sử dụng. Từ những cấu trúc này, ta hoàn toàn có thể tạo ra những cấu trúc thấp chiều khác mà một trong các vật liệu có cấu trúc thấp chiều chúng ta phải kể tới chính là cấu trúc dây lƣợng tử. Do ảnh hƣởng của từ trƣờng điện từ mạnh cao tần, cùng sự tƣơng tác của điện tử và phonon, trong bán dẫn khối cũng nhƣ các hệ thấp chiều xuất hiện các hiệu ứng vật lý thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Trong số các hiệu ứng vật lý đƣợc nghiên cứu, ta không thể không kể tới hiệu ứng radio – điện. Nghiên cứu về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối với các cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm hay tán xạ điện tử – phonon quang đã thu đƣợc những kết quả 1
cụ thể. Trên cơ sở đó, ta có thể tính toán, khảo sát hiệu ứng này đối với các hệ thấp chiều khi chƣa kể tới sự ảnh hƣởng của phonon giam cầm. Hiệu ứng radio – điện trong các cấu trúc dây lƣợng tử, đặc biệt là dây lƣợng tử hình chữ nhật vẫn còn là một vấn đề mở. Do đó, trong luận văn của mình, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Hiệu ứng radio – điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang” 2. Phƣơng pháp nghiên cứu. Để tìm đƣợc lời giải cho bài toán về hiệu ứng radio – điện trong dây lƣợng tử (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon quang) có thể sử dụng nhiều phƣơng pháp khác nhau nhƣ phƣơng pháp tích phân phiếm hàm, phƣơng pháp phương trình động lượng tử, phƣơng pháp hàm Green … kết hợp với việc sử dụng một số phần mềm hỗ trợ. Trong luận văn của mình, tôi đã sử dụng: - Phƣơng pháp Phương trình động lượng tử (theo tài liệu [1], [2], [3], [6], [7]), đồng thời sử dụng các phƣơng pháp tính tích phân nhiều lớp, biến đổi phổ Fourier, hàm Bessel… (theo các tài liệu [4], [8], [9]) để tính toán biểu thức giải tích của điện  trƣờng E0 trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Biểu thức này chỉ ra rằng cƣờng độ điện trƣờng phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính vào tần số của sóng điện từ mạnh, sóng điện từ phân cực phẳng, nhiệt độ T, và các tham số của dây lƣợng tử. - Chƣơng trình toán học Matlab để đƣa ra tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của  điện trƣờng E0 vào các thông số: tần số của sóng điện từ mạnh, sóng điện từ phân cực phẳng, nhiệt độ T với dây lƣợng tử GaAs/GaAsAl. 3. Cấu trúc của luận văn. Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, gồm có 3 chƣơng: Chƣơng 1: Dây lƣợng tử và hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối. Chƣơng 2: Hiệu ứng radio – điện trong dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon quang. 2
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lƣợng tử GaAs/GaAsAl. 4. Các kết quả thu đƣợc của luận văn 1. Xây dựng biểu thức mật độ dòng toàn phần trong dây lƣợng tử và thu đƣợc biểu thức giải tích của các thành phần E0x, E0y, E0z, phụ thuộc phi tuyến vào  n,l , p , theo trục z ( chiều điện tử chuyển động tự do) của dây lƣợng z tử (xét trong điều kiện mạch hở). 2. Từ đó kết luận hiệu ứng radio điện làm cho cƣờng độ điện trƣờng phụ thuộc phức tạp và phi tuyến vào tần số của sóng điện từ mạnh, tần số của sóng điện từ phân cực phẳng và nhiệt độ T của hệ. 3. Các kết quả lý thuyết đã đƣợc tính toán số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cƣờng độ điện trƣờng vào tần số sóng điện từ mạnh, tần số sóng điện từ phân cực phẳng và nhiệt độ (K) đối với dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. 3
CHƢƠNG 1 DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI 1. Dây lƣợng tử 1.1 . Tổng quan về dây lƣợng tử: Dây lƣợng tử thuộc hệ vật liệu bán dẫn có cấu trúc một chiều. Trong dây lƣợng tử chuyển động của các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều giới hạn của dây (trong luận văn chọn là trục x và trục y) và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn lại (trục z), phổ năng lƣợng trở nên gián đoạn và lƣợng tử theo hai chiều (trục x và y). Dây lƣợng tử đƣợc chế tạo bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau , ngƣời ta có thể chế tạo ra các dây lƣợng tử có hình dạng khác nhau nhƣ: dây hình trụ, dây hình chữ nhật… Mỗi dây lƣợng tử đƣợc đặc trƣng bởi một thế giam giữ khác nhau. Bài toán tìm phổ năng lƣợng và hàm sóng điện tử trong dây lƣợng tử có thể đƣợc dễ dàng giải nhờ phƣơng trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:  2 2    H     2m     V r  U r   E  (1.1)   Trong đó, U r : là thế năng tƣơng tác giữa các điện tử.   V r : là thế năng giam giữ các điện tử do sự giảm kích thƣớc. m : là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử. 2 : toán tử laplace. 1.2 . Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử trong dây lƣợng tử Giả sử hố thế giam giữ cao vô hạn: 0 khi 0  x  Lx ;0  y  Ly  V   khi x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly  (1.2) Hàm sóng và phổ năng lƣợng thu đƣợc trực tiếp từ việc giải phƣơng trình Schrodinger ( đƣợc tham khảo ở tài liệu [1], [2] ) 4
0  x  Lx  1 ik 2  n x  2  l y    sin   0  y  Ly  L  khi  e z sin    n ,l , k   Lz Lx  Lx  Ly    x  Lx y  0   y  Ly (1.3) Trong đó: n, l  1, 2,3... biểu thị sự lƣợng tử hóa phổ năng lƣợng theo chiều x và y.  k   0, 0, kz  là các vecto sóng của điện tử. Lx , Ly , Lz : là kích thƣớc dây lƣợng tử theo chiều x, y, z. 2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong bán dẫn khối - Hiệu ứng radio điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ mang theo cả năng lƣợng và xung lƣợng lan truyền trong vật liệu. Do đó các electron đƣợc sinh ra với sự chuyển động có định hƣớng và hƣớng này xuất hiện một hiệu điện thế trong điều kiện mạch hở. Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong : + Một trƣờng sóng điện từ phân cực phẳng với các vecto :   E  t   E  e it  eit     H   n, E  t   (1.4) Với tần số    (với  là năng lƣợng trung bình của hạt tải) trong điện   trƣờng không đổi E 0 (có tác dụng định hƣớng chuyển động của hạt tải theo E 0 ).   + Một trƣờng bức xạ laser : F t   F sin t đƣợc xem nhƣ một trƣờng sóng điện từ cao tần phân cực tuyến tính với   1 ( là thời gian phục hồi đặc trƣng). Dƣới sự xuất hiện của 2 trƣờng bức xạ cao tần có tần số  và  sẽ làm cho  chuyển động định hƣớng của hạt tải theo E 0 sẽ bị bất đẳng hƣớng. Kết quả là xuất hiện các cƣờng độ điện trƣờng E0x, E0y, E0z là thành phần của vecto cƣờng 5
 độ điện trƣờng không đổi E 0 theo các trục phụ thuộc vào tần số sóng điện từ mạnh, tần số sóng điện từ phân cực phẳng, nhiệt độ T và các tham số của dây  lƣợng tử: nồng độ hạt tải, phổ năng lƣợng và các giá trị : , , E . Đó chính là các hiệu ứng radio điện. Bây giờ thành lập biểu thức giải tích về cƣờng độ điện trƣờng : E0x, E0y, E0z  - Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố hạt tải f ( p, t ) trong bán dẫn khối :   f ( p, t )      f ( p, t )    eE 0  eE (t )  H  p, h(t )  ,    t  p              2   M  q   l     J l 2 a , q  f p  q, t  f p, t          l    pq p q (1.5)   E  t   E  e it  eit     H   n, E  t   Trong đó :    2 eH  H (t )  eF  p H  ; h(t )  ;a  ;  mc H m2 p 2m  Với : p : là xung lƣợng chính tắc của hạt. J l ( x) : là hàm bessel của đối số thực. M : là khối lƣợng hiệu dụng của điện tử. M(q) :đƣợc xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải. Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyến tính theo cƣờng độ của nó nên ta chỉ lấy các số hạng với l  0; 1 trong (1.1) và chỉ tính đến các số hạng tỉ     2 lệ với a, q trong biểu thức khai triển của hàm Bessel.   aq  2 Tức là J 02  1; J 21  4 Hàm phân bố hạt tải đƣợc tìm dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối xứng và phản đối xứng : 6
   f p  t   f 0  f1 p, t (1.6) Với : + f0 là hàm phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trƣờng hợp khí điện tử không suy biến thì ta có phân bố Boltzaman.   p    f 0  f 0  p  n0* exp    k   B  (1.7) + Phần phản đối xứng :   f   f1 p, t   p X (t ) 0  p (1.8) Ta viết dƣới dạng khai triển theo thời gian :           f1 p, t  f10 p  f1 p eit  f1* p eit   (1.9) Với :   f   f1 p   p X 0  p   f   f10 p   p X 0  p    * Từ phép biến đổi trên ta có : X (t )  X 0  Xeit  X eit (1.10) Theo định nghĩa : mật độ dòng bằng tích tenso độ dẫn và cƣờng độ điện trƣờng J i (t )   jk Ek (t ) (1.11) Ở thời điểm t=0 thì :      *  * J (t  0)   R  R d   J 1  J 0 (1.12)          + Ta có : J 1   R  d    1  H      Q    S   d   0 0 (1.13) Trong đó : 7
      R    1   H     Q    S     e 2 n  Q E     F  m  S  en ij     F   Aij    F   X j   F  e      X j  F    E m 1   H    (1.14) Trong đó : n là mật độ hạt tải  là năng lƣợng hạt tải  F là năng lƣợng Fecmi i,j =1 ;2 ;3  ; A là các ma trận phụ thuộc từng cơ chế tán xạ, cụ thể trong trƣờng hợp tán xạ trên phonon quang ở nhiệt độ cao  k0T  0  với 0 là tần số của phonon quang. 2  ij      ij  a0i a0 j  ; Aij  3     ij 1   2 e2 F 2       F    ;    F  m3 (1.15) Suy ra :        e2 n   e      J1    E     F   en ij     F   Aij     F       d  0 1  i     m  m 1  i      e2 n           F     1  A E m 1  i      1  i    1  i   F    * e 2 n               J1  1  A E m 1  i      1  i    1  i   F    (1.16) Khi đó :   * J (t  0)  J 1  J 1 e2 n    F       1  i 2     F     F  1  i 2     F     1   A  2E m 1   2 2   F   1   2 2   F  1   2 2   F    (1.17) 8
Suy ra : e2 n    F       1  i 2     F    F  1  i 2     F    ij      ij    A  m 1   2 2  F   1   2 2  F  1   2 2  F  ij ij    (1.18) Lấy trung bình theo thời gian của biểu thức mật độ dòng toàn phần :     J tot  J 0  J (t )  J 0 t (1.19) Và xét trƣờng hợp mạch hở tất cả các hƣớng, ta đƣợc :   J tot  0  J 0  0 Trong đó :   J 0   R0   d                     S , h    2     Q , h   J 0   d      Q 0     S      H  1   2 2      H   Re  2  1  i            1       A   F   E 0    2 en     J0    F    1  i       F   2   F  1  i      F   E w  2 2  m     F       A  2     1    2 2   F  1    2 2   F     F   (1.20)    W  Với : Ew   enc (1.21) Trong đó :  là hệ số hấp thụ.  là chỉ số khúc xạ. W là năng thông trung bình của sóng điện từ.   là vecto sóng của phonon. Giải phƣơng trình trên bằng phƣơng pháp lặp và gần đúng tuyến tính 9
   F  1  i 2     F   A  F           E w E0     1  i 2     F       2  F   1  i 2     F                2 A 1   2 2   F  1   2 2   F  F    1  i 2      F    2  F  1  i 2     F        1       A   F        2 A  Ew  1   2 2   F  1   2 2   F   (1.22) Để đơn giản, chọn trục :    0 z / / n;0 x / / E;0 y / / H Khi đó các thành phần của vecto cƣờng độ điện trƣờng không đổi theo các trục 0x,0y,0z đƣợc cho bởi :  2    1   2     F        F  1        A  2  E0 x  Ew        F  1          1   2 2  F   2 2 zx zx  E0 y  Ew     zy     F  Azy   1     1        F    2  F  1   2  F     2 2 E0 z   Ew 1      zz     F  Azz   xx  Axx      F      F  1   2 2     1   2  F       (1.23) 10
CHƢƠNG 2 HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG 1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phƣơng trình động lƣợng tử của điện tử trong dây lƣợng tử 1.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong dây lượng tử Hamiltonian tƣơng tác của hệ điện tử - phonon trong dây lƣợng tử có dạng: H  H0  U (2.1)   e      Trong đó: H0    n, l  p    c A(t )  an,l , p an,l , p       q bqbq (2.2) n ,l , p q U    '  q n ,n ,l ,l ' p Cq I n , n' , l , l ' a n',l ',   p q   a  n ,l , p  bq  bq  (2.3) Với:  + a n,l , p  , a n ,l , p  : toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, l , p   a  n ,l , p  , an',l ', p '   an,l , p an',l ',   p '  an',l ',   a  = n,n ',l ,l '  p ' n ,l , p    p ,p '    (2.4) a   n ,l , p  , an',l ',  p '  a n,l ',  p  an',l ', p '  an',l ',  a p  0 p ' n ,l ',    (2.5)  + bq , bq : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q b , b   b b  bb =   (2.6)  q q '  q q ' q ' q q ,q '  b , b   b b  b b  0  q q '  q q ' q ' q    (2.7)  bq , bq'  =bqbq'  bq'bq  0   + p : Xung lƣợng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của dây lƣợng tử +   : Tần số của phonon quang. q 11
 + A(t ) : Thế vecto của trƣờng điện từ mạnh thỏa mãn     1 At    cF0 F (t )  F0 sin  t     At   cos  t  c t  + I : Thừa số dạng của điện tử trong dây lƣợng tử n , n' , l , l ' 32 4  qx Lx nn ' 1  (1) n n ' cos(qx Lx )  2  I n ,l ,n' ,l ' q  (qx Lx ) 4  2 2 (qx Lx ) 2 (n 2  n '2 )   4 (n 2  n '2 )  2  32 4  q y Lyll ' 1  (1)l l ' cos(q y Ly )  2  2 (q y Ly ) 4  2 2 (q y Ly ) 2 (l 2  l '2 )   4 (l 2  l '2 )  +  n,l , p  : Năng lƣợng của điện tử trong dây lƣợng tử  2 e2 0  1 1  + C      : Hằng số tƣơng tác điện tử – phonon quang.  0 qVO     0  q 2 Với: VO là thể tích chuẩn hóa (chọn VO  1 ) và  0 là hằng số điện. 1.2. Phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử  Gọi nn,,l  p (t )  an,l , a  p n ,l , p là số điện tử trung bình tại thời điểm t. z z z t  Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong dây lƣợng tử nn,l , t    an,l , a  , H  p i z t  pz n,l , pz  t nn,l , t    an,l , a  , H  U  p Hay: i z (2.8) t  pz n,l , pz 0  t  Ta lần lƣợt tính các số hạng trong biểu thức (2.8)   ' e       Số hạng thứ nhất: sh1  an,l , p an,l , p ,       p  A  t  a ' a '   n ',l '  z  t  z z  c  n ',l ', p z n ',l ', p z   ' n ',l ', p z t 12
   e    Ta có:  an,l , p an,l ', p ,   n ',l '  p z  A  t  a ' a '      '     z z  c  n ',l ', p z n ',l ', p z   n ',l ', p'z  ' e            n ',l '  pz  A  t   an,l , p an,l , p , a ' a '  n ',l ', p 'z  c   z z n ',l ', p z n ',l ', pz     e            n ',l '  p'  A  t   an,l , p an,l , p a ' a '  a  ' a ' an,l ,  a    z c   z z n ',l ', p z n ',l ', p z n ',l ', p z n ',l ', p z pz n ,l pz   n ',l ', pz'   e         n ',l '  pz'  A  t   an,l , p a ' n,n' ,l ,l '  '  a  ' an,l ,p  n,n' ,l ,l '  '  n ',l ', p 'z  c   z n ',l ', p z pz , p z n ',l ', p z z pz , p z    e         n ',l '  pz'  A  t   an,l , p a '  a  ' an,l ,p  n,n ',l ,l '  ' n ',l ', p 'z  c   z n ',l ', p z n ',l ', p z z   pz , pz   e         n ',l '  p'  A  t    an,l , p , a '  n,n' ,l ,l '  ' n ',l ', p 'z  z c  z n ',l ' pz  pz , p z 0 Vậy: sh1 t 0 (2.9)   pz n ,l , p z   Số hạng thứ hai: sh2 t   an,l , a  ,  q bqbq  0 (2.10)  q  t  Số hạng thứ ba:   sh3 t   an,l ,  a  ,    pz n ,l , pz  Cq I n1n21l2 a n ,l ,  p '  a  q  b  b '  q    q    2 2 z n1 ,l1 p z n1 , n2 ,l1 ,l2 , pz' q t Ta có:    an,l , p an,l , p ,   Cq I n1n21l2 a   a  bq  b q      z  z     n2 , l2 , p ' z  q  n1 ,l1 , pz'       n1 , n2 ,l1 ,l2 , p 'z q       Cq I n1n2l1l2  an,l ,  a  , a n ,l ,  pz n ,l , pz 2 2  a p 'z  q n1 1 z  , l  , p '    b  b  q q  n1 ,n2 ,l1 ,l2 , p ' qz  CI  n1 ,l1 ,q  q n1n2l1l2 an,l , z 1 1 z  a p q bq  bq  p n ,l ,  CI  n2 ,l2 ,q  q n1n2l1l2 2 2 z z  a n ,l , p   q an,l , p bq  bq  13
Chuyển n2  n1; l2  l1; n1  n '; l1  l ' ta suy ra: sh3 t   CI  n ',l ', q n ,n ',l ,l ' an,l , a p q bq  bq p n ',l ', z z   t    Cq I n,n ',l ,l ' a n',l ', p   q an,l , n ',l ',q p bq  bq z z   t  a   a  C I   q n , n ',l ,l '   b  n,l , pz n ',l ', pz  q q  t  an,l , a p q bq p n ',l ', z z t  n ',l ', q  a n',l ', p   q an,l , b  a n',l ', p   q an,l , b   t  z p q z z pz  q t  *   Cq I n,n ',l ,l '  an,l ,pz an ',l ',pzq bq  a   an,l , p q b  n ',l ', q  t n ', l ', pz  q z t *   a n',l ', p   q an,l , b  a n,l , p  a n ',l ', p   q bq  (2.11) t z p q z z z t  Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta đƣợc: nn,l , (t )  * i t p z   Cq I n,n ',l ,l '  an,l ,pz an ',l ',pzq bq  a   an,l , p q b  n ',l ', q  t n ',l ', p z  q z t *   a n',l ', p   q an,l , b  a n,l , p  a n ',l ', p   q bq  t z p q z z z t  C I   q n ,n ' l ,l '  F      t   F *      t    n,l , pz ,n ',l ', pz q ,q n ',l ', pz  q , n ,l , pz ,  q n ',l ', q  Fn*,l ,     t   F      t   pz , n ',l ', pz  q ,q n ',l ', pz  q ,n ,l , pz ,q     Cq I n,n ' l ,l '  Fn ',l ',     t   F  *     t   n ',l ', q  p z  q , n , l , p z ,  q n , l , pz , n ', l ', pz  q , q  Fn,l ,     t   F    t   *   (2.12) pz , n ',l ', pz  q ,q n ',l ', pz  q ,n ,l , pz ,q  Với: Fn ,l ,p ,n ,l ,p 1 1 1 2 2  2 ,q t   an ,l ,p an ,l ,p bq 1 1 1 2 2 2 t (2.13)  Xây dựng biểu thức tính Fn ,l ,p ,n ,l ,p 1 1 1 2 2  2 ,q t   Phƣơng trình động lƣợng tử cho Fn ,l ,p ,n ,l ,p 1 1 1 2 2  2 ,q t  : 14
Fn ,l ,p ,n ,l ,p  t  i 1 1 1 2 2 2 ,q   an ,l ,p an ,l ,  b , H    an ,l ,p an ,l ,  b , H  U  (2.14) t  1 1 1 2 2 p2 q  t  1 1 1 2 2 p2 q 0  t  Ta lần lƣợt tính các số hạng của (2.14)  Số hạng thứ nhất:    e       sht1 t   an ,l ,p an ,l , b,   n ,l  pz  A  t  an,l , pz an,l , p z      2 2 p2 q 1 1 1  n ,l , pz c t   e       a      n,l  p   z c A  t    an ,l , p an ,l ,   1 1 1 2 2 2p bq , an,l , p z n ,l , pz   n ,l , pz t   e       a      n,l  p   z c A  t    an ,l , p an ,l ,   1 1 1 2 2 p2 q b , an,l ,  p z n ,l , p z  t n ,l , pz   e       n ,l  p z  A  t   an1 ,l1 , p1 an2 ,l2 ,  c  b a   a   an,l , p2 q n ,l , p z n ,l , p z  a  a   a  b p z n ,l , pz n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 q t n ,l , pz   e          n,l  p   z c A  t   an ,l , p an,l , p bq n,n2  l ,l2    1 1 1 z p2 , p z    a  a  b      n ,l , p z n2 ,l2 , p2 q n ,n1 l ,l1 p1 , p z t n ,l , pz    e     e      n2 ,l2  p2  A  t     n1 ,l1  p1  A  t    an ,l ,p an ,l , b      1 1 1 2 2 2 t p q c c  2 p z  2  n2 l 2  Ta có :  n ,l , p z      2m* 2m  L2x L2y  Do đó :   e    e  e    2 2  c c   n ,l  p2  A t     n ,l  p1  A t     n ,l ,   p1 1 mc    n ,l p   p2  p1 A t    2 2 2 1 1 1   Suy ra : . e        n ,l ,  2 2 p2     n1 ,l1 , p1 m c    p2  p1 A  t   Fn ,l ,p ,n ,l , 1 1 1 2 2 p2 , q  t  (2.15 )  Số hạng thứ hai:   sh2   an ,l ,p an ,l , b,    q1 q1 q1   b b    a   a  b , b b   q q1 q1    t 1 1 1 2 2 p2 q   q1 n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 q1 q1 t t 15