Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn đã trình bày siêu mạng hợp phần và hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối; hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần; tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al0,7Ga0,3As. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------------- Bùi Mạnh Linh HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------------- Bùi Mạnh Linh HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN QUỐC THỊNH Hà Nội – 2014
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 CHƯƠNG 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI .................................................................................... 3 1.1. Siêu mạng hợp phần. ........................................................................................ 3 1.1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần. ................................................................ 3 1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần. ............ 4 1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối ....................... 5 CHƯƠNG 2: HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN ................................................................................................................................ 7 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần. ................................................................................... 7 2.1.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong siêu mạng hợp phần ................... 7 2.1.2. Phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần ................ 8 2.2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần .................................................................... 24 2.3. Biểu thức giải tích cho cường độ dòng điện .................................................... 38 CHƯƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN GaAs - Al0,7Ga0,3As ............................................................................... 45 3.1. Sự phụ thuộc của thành phần E0x của điện trường vào tần số của bức xạ laser. 46 3.2. Sự phụ thuộc của thành phần E0x của điện trường vào tần số của sóng điện từ phân cực phẳng. ..................................................................................................... 47 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 49 PHỤ LỤC ............................................................................................................. 51
DANH MỤC BẢNG BIỂU Trang Bảng 3.1: Tham số vật liệu được sử dụng trong quá trình tính toán……………... 45 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang Hình 3.1: Sự phụ thuộc của thành phần E0x của điện trường vào tần số Ω của bức xạ laser ở nhiệt độ T=350 K………...……………………………………………. 46 Hình 3.2: Sự phụ thuộc của thành phần E0x của điện trường vào tần số  của sóng điện từ phân cực phẳng ở nhiệt độ T=350 K………………...…………………… 47
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Trong sự phát triển kinh tế - xã hội, nghiên cứu khoa học luôn đóng vai trò quan trọng. Nghiên cứu khoa học nói chung, trong đó, có khoa học cơ bản nói riêng đã tạo ra toàn bộ công nghệ hiện có, làm thay đổi bộ mặt xã hội loài người. Trong những năm gần đây, những nghiên cứu về các hệ vật lý bán dẫn thấp chiều đã không ngừng phát triển và thu được nhiều thành tựu đáng kể. Hệ bán dẫn thấp chiều là một trạng thái độc đáo của vật liệu, cho phép chế tạo rất nhiều loại sản phẩm với những tích chất hoàn toàn mới rất cần thiết cho những ngành công nghệ cao. Lớp vật liệu này hiện đang là đối tượng nghiên cứu của rất nhiều các công trình khoa học. Việc nghiên cứu kĩ hơn các hệ hai chiều ví dụ như: siêu mạng pha tạp, siêu mạng hợp phần, hố lượng tử… ngày càng nhận được sự quan tâm. Trong các vật liệu kể trên, hầu hết các tính chất của điện tử thay đổi, xuất hiện các tính chất khác biệt so với vật liệu khối. Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều) thì ở các hệ thấp chiều bao gồm cấu trúc hai chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai, ba) hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng, tương tác điện tử - phonon…Như vậy, sự chuyển đổi từ hệ cấu trúc 3 chiều sang 2 chiều, 1 chiều hay 0 chiều đã làm thay đổi đáng kể những tính chất của hệ. Như đã nói, việc tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều đang nhận được rất nhiều sự quan tâm của rất nhiều người. Sự bất đẳng hướng của trường điện từ gây nên một số hiệu ứng đáng chú ý, trong đó có hiệu ứng radio điện. Trong luận văn này, tôi xin trình bày các kết quả nghiên cứu của mình đối với đề tài: “Hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần”. 1
2. Phương pháp nghiên cứu. Trong đề tài nghiên cứu của mình, tôi đã sử dụng các phương pháp và trình tự tiến hành như sau: - Đối với bài toán về hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần, tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử. Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định. - Sử dụng chương trình Matlab để đưa ra tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của điện trường vào tần số bức xạ laser, tần số sóng điện từ phân cực phẳng và các thông số với siêu mạng hợp phần GaAs/Al0,3Ga0,7As. 3. Bố cục trình bày luận văn. Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, được trình bày gồm 3 chương chính: Chương 1: Siêu mạng hợp phần và hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối. Chương 2: Hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần . Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al0,7Ga0,3As. Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3, trong đó đáng lưu ý chúng ta đã thu được biểu thức giải tích của trường điện từ trong siêu mạng hợp phần. Các kết quả thu được đã chứng tỏ cường độ điện trường phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính vào tần số bức xạ laser, tần số sóng điện từ phân cực phẳng và các tham số của siêu mạng hợp phần. Đồng thời luận văn cũng đã thực hiện việc tính số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs/Al0,3Ga0,7As để làm rõ hơn hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần. Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học, góp phần vào phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn thấp chiều nói chung và trong siêu mạng hợp phần nói riêng. 2
CHƯƠNG 1 SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI 1.1. Siêu mạng hợp phần. 1.1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần. Siêu mạng hợp phần được tạo thành từ một cấu trúc tuần hoàn các hố lượng tử, trong đó, khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ để có thể xảy ra hiệu ứng đường hầm. Do đó, đối với các điện tử, có thể xem các lớp mỏng như là thế phụ bổ sung vào thế mạng tinh thể của siêu mạng. Thế phụ này cũng tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng. Thế phụ tuần hoàn này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn tạo nên siêu mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử và do đó siêu mạng có một số tính chất đáng chú ý mà bán dẫn khối thông thường không có. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ điện tử chuẩn hai chiều. Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schrödinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Việc giải phương trình Schrödinger tổng quát là rất khó, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể nhưng biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể nên ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở mép vùng năng lượng. Tại đó, quy luật tán sắc của điện tử có thể coi là dạng bậc hai, phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng bán dẫn có thể xác định bằng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến. 3
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần. Phương trình Schrödinger có dạng: 2 2        (r )  U (r ) (r )  E (r ) 2m * với m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử. Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng (Oxy) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng.  1 Nd ψ (r) =  n, p exp{i(p x x + p y y)} exp(ip Z jz) n (z - jd) Lx Ly Nd j=1 với :    p  p  p z : Vectơ sóng của điện tử. n = 1, 2, 3... : Chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z L x : Độ dài chuẩn theo phương x L y : Độ dài chuẩn theo phương y d : chu kì siêu mạng. Nd : số chu kì siêu mạng.  n ( z ) : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập  Dựa vào tính chất tuần hoàn của U ( r ) mà các siêu mạng có thể có một, hai hoặc ba chiều. Đối với hệ điện tử chuẩn hai chiều, cấu trúc vùng năng lượng có thể tìm được bằng cách giải phương trình Schrödinger. Trong đó, ta đưa vào thế tuần hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật. Thế tuần hoàn của siêu mạng ảnh hưởng rất ít tới sự chuyển động của điện tử theo phương vuông góc với trục siêu mạng (trục z). Chuyển động của điện tử theo phương z sẽ tương ứng với chuyển động trong một trường thế tuần hoàn với chu kỳ bằng chu kỳ d của siêu mạng. 4
Phổ năng lượng của điện tử:  2 p2  2 2 n 2  n ,p     cos  pzn d     2 n 2m 2m d Trong đó   p  : Hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y) m* : Khối lượng hiệu dụng của điện tử n = 1, 2, 3... : Chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z d : Chu kì siêu mạng.  n : Độ rộng của mini vùng n 1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong : + Một trường sóng điện từ phân cực phẳng với các vecto sóng:      E ( t )  E  e  i t  e i t  ; H ( t )   n , E  t   Trong đó:   Với:   1  là năng lượng trung bình của hạt tải.  n là vectơ sóng của photon.  + Một điện trường không đổi E0 ( có tác dụng định hướng chuyển động của hạt tải  theo E0 )   + Một trường bức xạ laser : F  t   F sin  t  được xem như 1 trường sóng điện từ cao tần phân cực tuyến tính. Trong đó  1 Với: τ là thời gian hồi phục. 5
Dưới tác dụng của 2 trường bức xạ có tần số  và  sẽ làm cho chuyển động  định hướng của hạt tải theo E0 bị bất đẳng hướng. Kết quả là xuất hiện các điện trường E0 x , E0 y , E0 z trong điều kiện mạch hở. Đó chính là hiệu ứng radio – điện. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối:   f  p, t      f  p, t  t   eE  t   eE0  H  p, h  t    p           2  M  q   J l2  a , q   f  p  q , t   f  p, t      p  q   p  l  (1)  q l     eH  H t   eF p2 trong đó  H  , h  t   , a  ,  p  mc H m 2 2m Xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang, ta tìm biểu thức mật độ dòng toàn phần và xét trong điều kiện mạch hở, thu được biểu thức trường radio – điện.  2    1   2      F      F  1   2 2   F    E0 x  EW    zx  Azx  2 2      F  1   2 2       1      F   E0 y  EW     zy     F  Azy  1 E0 z   Ew 1      zz     F   zz  *   F   2    1   2      F    2   F  1   2 2   F    *   xx  Axx  (2) 2 2 2 2  1       1      F   1/2 2     trong đó: il   il  3a0i a0l  , il   il ,         F      3     F   2 2  a   e F / m , a0  Ew      /  enec  ;    là hệ số hấp thụ. a Biểu thức (2) cho thấy trường radio điện trong bán dẫn khối phụ thuộc vào tần số và cường độ của bức xạ laser, tần số của sóng điện từ phân cực thẳng. 6
CHƯƠNG 2 HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN 2.1 Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần. 2.1.1 Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong siêu mạng hợp phần Xét Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng hợp phần khi có mặt sóng điện từ dưới dạng hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai: H  H0  U (1)   e      Trong đó: H0    p  A(t )  an , p an , p    n   q bq bq (2) n , p  c     q U    n , n' , p , q Cq I n , n'  qz a    n ', p  q   p  a n ,   bq  bq (3) Với:  a n, p  , a n , p  : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, p   a  n, p  , an',  p '   p '   , a  =  an ', n, p      n , n ' p , p '   (4) a   n, p  , an',  p '    an , p  , a   0 n ', p '    (5)  bq , bq : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q b , b   b , b  =   (6)  q q '   q ', q  q ,q ' b , b   b , b  =0 (7)  q q'   q q   p : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp phần. 7
  : Tần số của phonon quang. q  A(t ) : Thế vector của trường bức xạ laser thỏa mãn     1  At   cF0 F (t )  F0 sin  t     At   cos  t  c t  I n , n'  qz  : Thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.  N .d N .d i z I n , n'  qz   0  n ( z ) n ( z )eiq z dz  0  n ( z ) n ( z )e L , z , dz  n , p  : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.  2 2 e 2 L 0  1 1  C      : Hằng số tương tác điện tử – phonon quang. q  0 q2VO     0  trong đó: e : Điện tích hiệu dụng của điện tử  0 : Hằng số điện VO : Thể tích chuẩn hóa (chọn VO  1 )  L 0 : Năng lượng của phonon quang χ 0 là hằng số điện môi tĩnh χ  hằng số điện môi cao tần q2  qx2  q 2y 2.1.2 Phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần  Gọi nn , p  (t )  a  a  n, p n, p là số điện tử trung bình tại thời điểm t.    t Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng: 8
 t  nn ,  t  nn , p p i    an,   a  , H   i    an,   a  , H  U  (8) t  p n , p  t t  p n , p 0  t Ta lần lượt tính các số hạng trong biểu thức (8)  Số hạng thứ nhất:    ' e       sh1  an , p an , p ,        n '  p   A  t  an ', p' an ', p'  t    n ',  '  c      p  t Ta có:   an,   ' e       p  a  ,    n ',  n, p ' n '   c A  t  an ', p' an ', p'    p   p    ' e               p  A  t   an , p an, p , a ' a '     n ', p  n ', p  n '  ' n ', p     c  ' e               p  A  t   an , p an , p a ' a '  a  ' a ' an,   a   ' n '   c     n ', p  n ', p  n ', p  n ', p  p n , p   n ', p    e          n '  p'  A  t   an , p a '  n ,n'   '  a  ' an , p  n ,n'   '  n ', p '   c    n ', p  p , p  n ', p   p , p     ' e         p n'    A  t   an , p a '  a  ' an ,p  n ,n'   '  n ', p '  c    n ', p  n ', p     p , p    e         n '  p'  A  t   an , p , a '  n,n'   ' n ', p '   c    n ', p   p , p  0 Vậy: sh1  0 (9) t  Số hạng thứ hai:   sh2 t   an,  p n , p    a  ,     b b q q q  0 (10)  q  t  Số hạng thứ ba: 9
    sh3 t   an,    a  , p n , p    C I q n n 1 2 q z a n , 2 p '  q    a  b  b n , p '  q  q    n1 , n2 , p , q 1   t Ta có:       an ,  a  , p n , p  C I   q 1 2 n n q   z a    a  b  b n2 , p '  q n1 , p'  q   q    n1 , n2 , p , q      b  b     Cq I n1n2 q z an ,  n1 , n2 , p , q     p n , p   a  , a   a  n2 , p '  q  n1 , p  '  q q      Cq I n1n2 q z  an,     a  a p n , p n2 ,   a   a    a  a   a   b  b    n1 , n2 , p , q   p '  q n , 1  p ' n2 , p '  q n , 1 p ' n , p n , p   q q     Cq I n1n2 qz  an,   p  a   n , n2  p , p '  q  a n ,      a      bq  bq n , p n , n1 p , p '    n1 , n2 , p , q  n1 , p' 2 p '  q       Cq I n1n2 qz an , n1 , q   p  n ,p p 1     a   b  b   q  q  n2 , q    Cq I n1n2 qz an ,p q an,p  bq  bq 2      Chuyển n2  n1 ; n1  n ' ta suy ra:  sh3 t   Cq I nn ' qz an, n ', q p   n ', p  p q   a   b  b  q      t  n ', q    C,q I nn ' qz a n', p q  a n, p  q   b  b  q     t    Cq I nn ' qz  an,    a p n ',  b   an,    a   b  n ', q   p  p q t p n ', p  p  q    t  a n',  a n',    a  b  a  b  t n, p q n , p  q p q    t p  q    * n ', q      Cq I nn ' qz  an, a p n ',  b p  p q  t  a    an, b  p q n ', p  p  t *   a n ',  a  b n, p q  a n , a n ',  b  q  (11) p q   t p  p q  t Thay (9), (10), (11) vào (8) ta được: 10
nn ,   (t )   * i p t    Cq I nnm ' qz  an,  n ', q  a   p n ',  b p  p q  t  a    an,  b  p q n ', p  p  t *   a n',  a  b n, p q  a n, a n ',  b  q  p q    t p  p q   t    Cq I nn ' qz  Fn ,  n ', q    p , n ', p  p , q *      t   F      t  n ', p  p , n , p ,  q  Fn*,      t   F      t   p , n ', p  q , q n ', p  q , n , p , q     Cq I nn ' qz  Fn ', n ', q   p  p , n , p ,  q *      t   F      t  n , p , n ', p  p , q      t   F      t   *  Fn,  (12) p , n ', p  q , q n ', p  q , n , p , q  Với: Fn , p ,n , p  t   an ,p an , p bq (13) 1 1 2 2 ,q 1 1 2 2 t  Xây dựng biểu thức tính Fn ,p ,n ,p 1 1 2  2 ,q t  Phương trình động lượng tử cho Fn ,p ,n ,p 1 1 2  2 ,q  t  : Fn , p ,n , p  t  i 1 1 2 2 ,q   an , p an ,   b , H  t  1 1 2 p 2 q  t Fn , p ,n ,p  t   i 1 1 2 2 ,q   an , p an ,   b , H  U  (14) t  1 1 2 p2 q 0  t Ta lần lượt tính các số hạng của (14)  Số hạng thứ nhất:    e       sh1   an , p an ,  b,   n  p   A  t  an , p  an , p   2 p2 q t  1 1  n , p  c   t   e              n  p   A  t    an1 , p1 an2 , p2 bq , an , p  an , p   n , p  c  t 11
  e              n  p  A  t    an , p an , p bq , an , p an , p   n , p  c   1 1 2 2    t   e            n  p  A  t   an , p an , p bq an , p an , p  an,    a  a  a  b p  n , p  n1 , p1 n2 , p2 q  n , p  c  1 1 2 2   t   e      n , p   p  A  t   an , p  n ,n2    n   c  1 1 p2 , p     a  a  a  b n , p  n2 , p2  n, p  q   an,  p      n , n1  p , p  an , p an , p   1    a  b n ,p q 1 1   2 2 t   e          p   n   A  t   an , p an , p bq n ,n2   p ,   a  a  b  p n    , p  n2 , p2 q n ,n1 p1 , p  n , p   c  1 1  2  t    e     e      n2  p2  A  t     n1  p1  A  t    an ,p an ,  b 2 p2 q t    c    c  1 1  2 p 2  2 2 n 2 Ta có :  n ,      n cos  pzn d  p  2 m* 2m d* 2   e     e   e    Do đó :  n2  p2  A  t     n1  p1   c   c A  t     n ,   2 p2     n1 , p1 m c p2  p1 A  t    Suy ra :  e         sh1 t   n ,   2 2 p     n1 , p1 mc  p2  p1 A  t   an , p an , p bq  1 1 2 2 t   e          n ,   2 2 p     n1 , p1 m c  p2  p1 A  t   Fn , p ,n , p ,q  t   1 1 2 2  (15)  Số hạng thứ hai:   sh2 t   an ,p an ,  p bq ,  q bq bq   1 1 2 2 m1 ,q1 1 1 1  t    a    a  b , b b   q1 q1 n1 , p1 n2 , p2  q q1 q1  t   q an , p an , p bq bq bq  bq bq bq 1 1 1 2 2 1 1 1 1 t q1   q an , p an , q1 1 p 1 1 2 2    q , q1 1 1   bq bq bq  bq bq bq 1 1 1 t 12
 q Fn , p ,n ,  t  (16) p ,q 1 1 2 2  Số hạng thứ ba:     sh3 t   an , p an ,  p q b ,  1 1 2 2 n3 ,n4 , p q1 1     C  I q n3n4 q z a    n4 , p  q    a  n3 , p   bq1    b    q1  t         n ,n , p q  C 3  I q1 3 4n 4 n q 1z  a   a  b , a    a  b  b   1    n1 , p1 n2 , p2 q n4 , p q n3 , p q1  q1    t  Xét:  a   a  b , a    a  b  b     n1 , p1 n2 , p2 q n4 , p q  n3 , p q1  q1     an , p an , a  p   p n , q a  n ,p b b q  q1  bq a    n4 , p  q a n , p a  n ,p n ,p q   a  b  b  b q q   1 1 2 2 4   3  1   3  1 1 2 2 1 1 1 1   an , p  n2 ,n4   p , p q     a   a  a 2 n ,p   n4 , p  q   2 2   n3 , p   bq bq  bq 1 1   a n , 4   a p q   a n ,p   3    a  b  b  b n ,p n ,p q q 1 q 1 2 2  1 1  1 1   an , p  n2 ,n4   p , p q     a   a  a 2 n ,p   n4 , p  q   2 2   n3 , p   bq bq  bq 1 1  n4 , p  q     a     n1 ,n3  p ,  p    a  a n ,p 1  1 1  n3 , p  b  q1  bq bq 1   an ,p a n , 1 1 p b q 3 q   q   b  b      1  n2 , n4  p , p  q  a n ,    a p q n ,p 1  q   b  b  b  q   q n2 , n4 p2   4   2 2  1 1   2 , p   q   an , p a n , p  b b q  q1   bq  n2 ,n4   p , p q  n , p q n ,p q     a   a  b  b  b  q    q n1 , n3 p , q   1 1 3  1 2   4   2 2 1 1 1  a   n1 , p1 a n , 3p b  b  b q  q  1    q1  n2 , n4      a p , p q 2      n4 , p  q   an , p 2 2 b  q1 b    q1 b   q n1 , n3  p ,q 1  Khi đó:  sh3 t   n2 ,n3 , q1 C  I  q n2 n3 q1z an , p a n , 1 p q     b q q   b  b  q 1 1 3 2 1  1 1  t   C  I n1 , n4 , q1 q 1    q n2n4 1z an ,p q  an ,p bq  bq bq 4  1 2 2  1 1  t (17) Thay (15), (16), (17) vào (14) ta được: Fn , p ,n ,p  t   e     i 1 1 2 t 2 ,q   n ,   2 p2     n1 , p1 m  c p2  p1 A  t   q  Fn , p ,n ,   1 1 2 p2 , q  t    13
   C  q n2 , n3 , q1  I n n 2 3 1   q1z an ,p a n , 1   b p q1 3 q q 2   b  b  q 1  1 1  t   C  I n1 , n4 , q1 q 1    q n1n4 1z a n ,p q an ,p bq  bq bq 4  1 2 2  1 1  t (18) Để giải (18), trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất: F 0    t   e     i n1 , p1 , n2 , p 2 , q t   n ,   2 2 p   n , 1 1   p  mc   112 2  p2  p1 A  t   q  Fn0,p ,n ,p  ,q  t  (19) Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln Fn0,p ,n ,p  ,q  t  t   0 , ta dễ dàng tính được nghiệm 1 1 2 2 của phương trình thuần nhất (19) trên có dạng: i t  e      Fn0,p ,n ,p 1 1 2    2 ,q t  exp           n2 , p2 n1 , p1 m  c p2  p1 A  t     dt q  1   (20)    Khi đó, nghiệm của phương trình (18) có dạng: Fn , p ,n , p 1 1 2 2 ,q   t   M  t  Fn0,p ,n ,p ,q  t  1 1 2 2 (21) 0 Fn , p ,n , p  2 ,q t  M  t  0 Fn ,p ,n ,p ,q  t   i 1 1 2  i Fn , p ,n ,p ,q  t   i 1 1 2 2 M t  (22) t t 1 1 2 2 t Thay (20), (21) và (22) vào (18), rồi đồng nhất các hệ số ta được kết quả sau: M (t ) i i t  e       exp    n ,   2 p2     n1 , p1 mc p2  p1 A  t       dt q 1*  t         *   Cq I n2n3 q1z an , p a n ,  n2 ,n3 ,q1 1 1 1     b 3 p2  q1 q q1   b  b   q1 t       C  I  q1 1 4 n1 , n4 , q1 n n q1 z a     a n4 , p  q  1 n2 , p2 q1    b  b  b  q1 q t    14
i   t   M (t )       n1 ,n4 ,q1       Cq1 I n1n4 q1z a n4 ,   a p q  1  n2 , p2 q1   b  b  b  q1 q   t     C  q  I n 1 n 2 3 q   1z an , p a n , 1   b p q 1 3 2 q q 1  q   b  b  1 1  * t n2 , n3 , q1   i t1  e      *exp    n ,  2 p2     n1 , p1 mc p 2  p1 A  t     dt q  2  dt1  (23)       Thay (20), (23) vào (21) ta được dạng của biểu thức hàm trung gian: i   t  Fn , p ,n ,  1 1 p ,q 2  t   2      n1 ,n4 ,q1       Cq1 I n1n4 q1z a n4 ,   a p q  1 n2 , p2 q1   b  b  b  q1 q   t2     C  I  q n2 n31 q1z   an , p a n , 1   b p q1 3 q q 2 1   b  b  m q  1 1   * t2  n2 , n3 ,q1   i t      ie *exp   n ,p   n ,    1 1 2 p2      t  t   q 2 m *  c p1  p2 A  1  1  dt2 (24) t dt    t2  Thay (24) vào (12) rồi biến đổi chỉ số ta thu được: nn , p  t  1  t    C  2 n ',q q I nn '  q z * t       *  dt2  Cq I n ' n qz a n, p  a q   b  b b n , p q q   t2     Cq I n ' n qz an',  p q n ', p  q   q q     a   b b  b q    * t2   i ie   t        *exp   n ', p  q   n , p  q  t  t2   *  q A  t1  dt1         m c t2         Cq I n ' n qz a n',   a p q   n, p q  q  q    b b  b q   t2     Cq I n ' n q z an, p n, p   q q   q  a  b  b b  * t2  15
 i ie   t *exp   n,           t  t    q A  t1  dt1   p n  2 *   ', p  q  q   m c t2        Cq I n ' n qz an',     a   b  b b p   q  n ', p   q  q q q   t2     Cq I n ' n qz a   an ,  p q n , p   b b  b q q  1 1  * t2   i ie   t        *exp   n , p   n ', p  q  q  t  t2   *  q A  t1  dt1        m c t2          Cq I n ' n qz an,     a  b b  b p  n4 , p   q q1 q   t2     Cq I n ' n q1z a n', p q  a n ', p  q    q q     b  b b q    * t2   i ie   t        *exp   n ', p  q   n , p  q  t  t2   *  q A  t1  dt1         m c t2   nn , p  t  1  2  t   2  C I q    q nn ' z * n ', q t   *  dt2   a n,   p  a   b  b b n , p q  q  q t2  an',   a p  q n ', p    b q q  q   b  b q  * t2   i ie   t *exp   n ',            t  t   q A  t  dt m*c t2  p  q n , p q 2  1 1        a n',    a p q   n ', p   q   q    b b  b q  q  t2  an,  a p n , p  bq  bq b  q  * t2   i ie   t       *exp   n , p   n ', p  q   q  t  t2   *  q A  t1  dt1         m c t2        an',   p   q  n ', p   q     a   b  b b q q   q t2  a   an , n , p p q q   b b  b  q  t2  *  i ie   t *exp   n ,           t  t   q A  t  dt m*c t2  p n ', p  q q 2  1 1    16