Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn có cấu trúc gồm 3 chương trình bày siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn khối, biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp, tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp, xẽ đồ thị, bàn luận. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------- NGUYỄN THỊ KIM OANH LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM- ĐIỆN PHI TUYẾNTRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------- NGUYỄN THỊ KIM OANH LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM- ĐIỆN PHI TUYẾNTRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã Số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân Hà Nội – 2013
Lời cảm ơn Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi trong quá trình làm luận văn. Tiếp đến tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Quang Báu- Trưởng bộ môn Vật lý –Khoa Vật lý- trường ĐHKHTN- ĐHQGHN đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện giúp tôi trong quá trình tham gia làm luận văn. Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn tới TS Nguyễn Văn Nghĩa giảng viện trường ĐH Thuỷ Lợi, cùng các thầy, cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết - Vật lý toán của trường ĐHKHTN- ĐHQGHN, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, tạo đều kiện cho tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED ( N0 103.01 – 2011.18 ) Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Học viên Nguyễn Thị Kim Oanh
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số của sóng âm cho trường hợp giá trị của nồng độ pha tạp nD thay đổi nD = 1.1023 m-3, nD = 1,2.1023 m-3, nD = 1,4.1023 m-3 nhiệt độ của hệ là Trang 37 T=290 K Hình 3.2. Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng rộng pha tạp khi tần số sóng âm thay đổi cho trường hợp giá trị của tần số sóng âm thay đổi q  3.1011 s 1 , q  3.1.1011 s 1 , Trang 38 q  3.2.1011 s 1 nhiệt độ của hệ là T=290 K
Mục lục Mở đầu……………………………………………………………………………..1 Chương I. Siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn khối ………………………………………………………………………………...3 1.1. Siêu mạng pha tạp………………………………………………………………… ... 3 1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp …………………………………………………..3 1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp ……3 1.2. Tính toán dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối bằng phương pháp động lượng tử ………………………………………………………………………………………… . 5 Chương II. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp…………………………………………………………………………… 8 2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp..............................8 2.2. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp...............25 Chương III. Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp. Vẽ đồ thị, bàn luận.................................................................................................36 3.1 tính toán số và vẽ đồ thị...............................................................................................36 3.2 Thảo luận về kết quả....................................................................................................39 Kết luận chung.......................................................................................................40 Tài liệu tham khảo.................................................................................................41 Phụ lục tính toán số...............................................................................................43
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong hai thập liên vừa qua, tiến bộ của Vật Lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm được đặc trừng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối sang các cấu trúc tinh thể nano như màng mỏng và các cấu trúc tinh thể thấp chiều. Các cấu trúc tinh thể thấp chiều như cấu trúc siêu mạng, dây lượng tử, hố lượng tử...... trong hệ cấu trúc này chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt theo một hướng toạ độ ở một vùng kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng DeBroglie, tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể và xuất hiện một số tính chất mới lạ, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, đặc trưng cơ bản nhất là phổ năng lượng biến đổi. Phổ năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn. Do tính chất quang, điện của hệ biến đổi mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện và tạo ra cuộc cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật như: pin mặt trời, các loại vi mạch, ....... Cấu trúc thấp chiều là một cấu trúc hoàn toàn mới, khác hẳn với những vật liệu trước đây, nó được chia làm 3 loại: hệ không chiều, hệ một chiều, hệ hai chiều. Hệ hai chiều trong đó có siêu mạng pha tạp với phổ năng lượng của điện tử gián đoạn theo một chiều và điện tử chỉ chyển động tự do theo hai chiều còn một chiều hạn chế. Chính sự gián đoạn của phổ năng lượng và hạn chế chuyển động của điện tử theo một chiều này đã làm ảnh hưởng lên các tính chất phi tuyến của hệ. Trong hệ thấp chiều cấu trúc siêu mạng thu hút sự quan tâm của rất nhiều các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm vì nó đã góp phần tạo ra linh kiện và các thiết bị điện tử hiện đại, công nghệ cao và là cơ sở của các thiết bị điện tử siêu nhỏ đa năng. Chính vì vậy có rất nhiều các công trình nghiên cứu về các hiệu ứng trong siêu mạng. theo chân thế hệ trước em chọn đề tài nghiên cứu của mình là “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp “ 2. Phương pháp nghiên cứu: Có rất nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau như phương trình động Bolzman; lý thuyết hàm Geen; lý thuyết nhiễu loạn…. mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng tuỳ từng bài toán mà ta chọn phương pháp giải. Để tính “Lý thuyết lượng tử về hiệu
ứng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp “ theo quan điểm hiện đại chọn phương pháp phương trình động lượng tử là tối ưu. Kết quả thu được từ luận văn đã được báo cáo ở Hội nghị vật lý sinh viên trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên năm 2013. 3. Cấu trúc luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn của em gồm 3 chương: Chương I. Siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn khối Chương II. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp Chương III. Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp. Vẽ đồ thị, bàn luận Trong đó chứa đựng kết quả chính của khoá luận nằm ở chương II, chương III. Phần cuối của khoá luận có đưa ra phụ lục với chương trình Matlab tính số.
Chương I SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG BÁN DẪN KHỐI 1.1. Siêu mạng pha tạp 1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng. Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ xung vào thế của mạng tinh thể. Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau. Siêu mạng pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số của siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp. 1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp Giả sử thế của siêu mạng được tạo theo chiều z. Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử như sau:  S0  n,p z  r   eipz jz n  z  jd  j 1 Phổ năng lượng: 1  n ,p   p  n     2
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng (x,y) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng:     S0  n,p    e r  ei p r U n r j 1 ipz jz  n  z  jd  Và phổ năng lượng:  2 p2  1  n , p  *   p  n    2m  2 Trong đó : n = 1, 2, 3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z    p  p  pz vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện tử). Với  n  z  là hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập m* khối lượng hiệu dụng của điện tử S0 là số chu kì siêu mạng   p  hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y)   r  hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y) 1  4 n D  2 p    là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất với nồng độ pha tạp nD .   0m  Ta nhận thấy rằng phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha tạp chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong siêu mạng pha tạp so với bán dẫn khối. 1.2. Tính toán dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối bằng phương pháp động lượng tử Bán dẫn khối: là tinh thể mà về mặt cấu trúc năng lượng có một vùng hóa trị bị chiếm đầy và trên nó là một vùng trống (gọi là vùng dẫn), vùng cấm nằm giữa hai vùng này có giá trị không lớn lắm (dưới vài eV). Hiệu ứng âm – điện trong bán dẫn khối [4 – 6] đã được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây. Và sự quan tâm càng tăng lên khi quan sát hiệu ứng này trong cấu
trúc nhiều lớp. Đặc biệt, hiệu ứng âm điện được nghiên cứu trong ống một chiều và độ sâu hữu hạn của hố thế [6, 17,24]. Hiệu ứng âm – điện cũng được đo bằng phương pháp thực nghiệm, ví dụ: trong các ống hiển thị cacbon [18] và trong một giếng lượng tử InGaAs [25]. Giả sử có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trường E và có sóng âm truyền qua khối bán dẫn đó, khi đó sẽ xuất hiện một dòng điện nếu mạch điện kín và một hiệu điện thế nếu mạch điện hở. Vậy: hiệu ứng âm – điện là sự truyền xung lượng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết quả là có thể tạo ra dòng âm – điện nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trường không đổi nếu mạch điện hở. * Dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối Trước hết, chúng ta sẽ xem xét một bán dẫn với sự có mặt của cả điện tử và lỗ trống. Tương tác âm – điện của siêu âm với các hạt mang điện có thể được mô tả bởi phương trình chuyển động của mạng tinh thể, phương trình trạng thái của kim loại, phương trình Maxwell và một phương trình cho dòng âm – điện được tạo ra bởi siêu âm. Cùng với sự có mặt của liên kết thế biến dạng và liên kết áp điện, tương tác đều được nghiên cứu khi điện trường là dọc. Bởi vậy, chúng ta chỉ cần phương trình Poisson và phương trình liên tục để xác định dòng điện dịch trong số các dòng điện tạo ra bởi sóng. Những phương trình có liên quan là:  2i Tij   t 2 x j Tij  Cijkl Skl  nCije  pCijp   ijk Ek Di  є Ei  4ijk S jk 1    j  Sij   i   2  x j x j   D  4 e(n  p )  (n  p )   e  . j t
Với là độ dịch chuyển do sóng âm, Tij là tenxơ ứng xuất, Sij là tenxơ biến dạng, Cijkl là hằng số đàn hồi. và tương ứng là các hằng số liên kết biến dạng cho điện tử và lỗ trống, là tenxơ áp điện, n và p tương ứng là mật độ điện tử và lỗ trống, E là điện trường và D là độ điện dịch, є là hằng số tĩnh điện. Dòng âm điện tìm ra là: jix   xx (i ) E1  Rxx (i )n1evs   xx (3 , 1  3 )   xx (2 , 1  2 )  E2 E3   S xx (3 , 1  3 )evs n3 E2  S xx (2 , 1  2 )evs n2 E3 (1.3) Trong đó: 2 0   ai2  a  ai   xx (i )   2 w  i    (1.4) qi l  (qi .l )  iqi l   qi l  v0  ai  a  Rxx (i )  1  i  w   i  (1.5) vs iqi l  iqi l  iqi l   2 0     a1  a1  a3  a3    xx (1 , 3  1 )    w   w     .v0  q1l (a3  31a1 )  iq1l  iq1l  iq3l  iq3l   2  a13  a1  a33  a3  a12 a32    3 w     3 w       (a3  31a1 )  i (q1l )  iq1l  i (q3l )  iq3l  i  (q1l ) 2 i  (q3l ) 2  i31  a12  a1  a32  a3  a1 a3    w     w       (a3  31a1 )2 2 2  (q1l )  iq1l  (q3l )  iq3l   .q1l  .q3l  i  2a1  a1  1 2a13  a1  2a12     w      w      (1.6) a3  31a1  (q1l )2  iq1l   .q1l (q1l ) 4  iq1l   (q1l )3    S xx (1 , 3  1 )     .vs  2  a12  a1  a32  a  a1 a3     2 w     2 w  3      q1l (a3  31a1 )  (q1l )  iq1l  (q3l )  iq3l   .q1l  .q3l 
31  a1  a1  a3  a3     w   w    (a3  31a1 ) 2  q1l  iq1l  q3l  iq3l     1  a1  2a12  a1  2a1     w     w      (1.7) a3  31a1  q1l  iq1l  (q1l )3  iq1l   (q1l ) 2   Vậy: đối với một bán dẫn khối, khi có một sóng âm với cường độ đủ lớn sẽ có dòng âm – điện được tạo ra, và thời gian hồi phục của hạt mang điện phụ thuộc vào năng lượng của điện tử. Chương II BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM- ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp: Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng âm- điện có dạng: H  H 0  H e  ph (2.1) H 0    n , p an, p an , p    k bkbk (2.2)     n , p k  H e ph   CqU n ,n (q )an, p '    q an , p b q exp(iq t )  '  Ck I n ,n (k z )an, p '    k an , p (bk  bk ) '       n , n ' , p , q n , n ' , p , k (2 .3) Trong đó: an, p  , an , p  lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử.
bq , bq lần lượt là các toán tử sinh, hủy phonon.   p, q lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.  q là tần số của phonon ngoài. k là tần số của phonon trong. C q là hằng số tương tác điện tử - phonon ngoài. Ck là hằng số tương tác điện tử - phonon trong.  U n , n' ( q ) là yếu tố ma trận của toán tử U  exp(iqy  l z ) I n, n '  k z  là thừa số dạng điện tử được t: L 2 I n, n '  k z    sin  k zn ' z  sin  k zn z  eikz z dz L0 Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử nn , p   t   an, p  an , p  có dạng: t nn, p  t  i   an, p an, p , H  . (2.4) t t Hay ta có thể viết: nn , p  t      i   an, p an, p ,   n' , p ' an', p ' an ', p '    an, p  an , p ,   k bk bk   t   n ' , p'    k  t t     an, p an , p ,  CqU n ', n1 '  q z  an', p '  q an' , p ' b q exp( iq t )     1   n ', n1 ', p ' , q  t    1 1     an, p  an , p  ,   Ck I n ', n'  k z  an', p '  q an' , p ' bk  bk   (2.5)  n ', n1 ', p' , k  t Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson:
a  n , p  , an', p '  an , p  an', p '  an , p  an', p '   n ,n ' p  , p ' ; an , p  , an ', p '  an, p  , an', p '  0     bq , bq'   bq bq'  bq'bq   q ,q ' ; bq , bq '   bq , bq'   0 Ta có:  an, p an , p , a   a    an, p an , p a   a   a   a  an, p an , p   n ,p n ,p  ' '  ' n ,p ' n ,p  n ,p n ,p   ' '  ' '  ' '  ' '     an, p ( n ,n  p ' '  an , p an , p )an , p  an , p ( n ,n  p ' ' ' ' ' ' ' '  an, p an , p )an , p ' '   , p      , p     an, p an , p  n ,n  p ' ' ' '  an, p an , p ' an , p an ', p '  an', p ' an , p  n ,n  p ' ' '  an', p ' an, p an ', p ' an , p    p        p     0   Suy ra:  an, p an , p ,   n ', p ' an', p ' an ', p '  0 (2.6)      n ', p '  t  an, p an , p , b k bk   an, p an , p b k bk  b k bk an, p an , p  0         Suy ra :  an, p an , p ,   k bk bk    0 (2.7)  k  t  an, p an , p , an', p '  an '  bq   an, p an , p an', p '  an '  bq  an', p '  an '  bq an, p an , p      q 1, p '     q 1, p '   q 1, p '    an, p ( n , n ' p   , p '    q  an', p '    q an , p ) an '  1,  p ' bq   an', p '    q ( n ,n '  p1   p '  an, p an ' p ' ) an , p bq  ,    an, p an '  1,  p ' bq n ,n ' p   , p '   q  an', p '    q an , p bq n ,n '  p  1   p ' Suy ra:   a   a  , CqU n ',n ' (q) an', p ' bq   n, p n, p    n', n '  1   q  an ' 1,  p '   1  p' q ,  t
 CU  q n ', n '1 an, p an '  1,  p ' bq n ,n ' p   , p '   q  CU  q n ', n '1 an', p '    q an , p bq n ,n '  p  1  p ' n', n '1 n', n '1 p ' , q p ' , q t t   CqU nn ' a  n ',q     n ', p  q an , p bq  a  t   n , p an ', p   q  bq t  (2.8)  an, p an , p , an', p '       k an ' , p '  bk  bk    1   an, p an , p an', p '     k  an ' , p '  bk  bk   an', p ' 1    k  an ' , p '  bk  bk  an, p an , p 1      an, p  n ,n ' p   , p '  k   an', p '   k   an, p  an '1 , p ' bk  bk     an', p '   k   n ,n '1  p , p '  an, p  an '1 , p '  an , p  bk  bk   an, p  an '1, p ' (bk  bk ) nn ' p    an', p  an , p (bk  bk ) nn '1 p  , p '  , p ' k  k Suy ra:          an , p  an , p  ,   Ck I n ', n '1 k z an ', p '  k an '1 , p ' bk  b k      n ', n '1 , p ' , k  t    Ck I n ',n '1 an, p an '1, p ' (bk  bk ) nn ' p     , p 'k n ', n '1, p ' , k    Ck I n ',n '1 an', p  an, p  (bk  bk ) nn '1 p , p '  k n ', n '1, p ' , k   Ck I n ,n '  an, p an ', p k bk  an, p an ', p   b  n ', k   t  k k t  an', p  an , p bk  an', p  an , p bk  (2.9)  k  t  k  t Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8), (2.9) vào (2.5) và đặt : Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q  t   an1 , p1 an2 , p 2 bq t  Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q  t   an1 , p1 an2 , p2 bq  an2 , p2 an1 , p1bq t t
Ta thu được phương trình: nn , p (t ) i    CqU nn ' ( Fn ', p   q , n, p  ,q  Fn, p ,n ', p  q ,q )  t  n ', q   Ck I nn ' Fn , p      , n ', p  k  ,k  t   Fn', p      k , n , p ,  k  t   Fn ', p      k  , n , p ,k  t   F  n, p     , n ', p  k  , k  t  n ', k (2.10) Hay: nn , p ( t ) i t    k nn '  n ',k   C  I Fn ', p  k ,n , p ,k  t   F  n , p n ', p  k , k  t   Fn , p ,n ', p k ,k  t     ,      i  Fn', p    (t )   CqU nn '[Fn, p ,n ', p   q ,q (t )  Fn', p q ,n , p ,q (t)] (2.11)   k , n , p , k  n ',q   an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p ' an ', p '   an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p ' an ', p '  an', p ' an ', p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1      an1 , p1  n2 n ' p2 p '  an', p ' an2 , p2 an ', p ' bq1  an', p '  n2 n ' p1 p '  an1 , p1 an ', p ' an2 , p2 bq1    an1 , p1 an ', p ' bq1 n2 n ' p 2 p '  an1 , p1 an', p ' an2 , p 2 an ', p ' bq1   an', p ' an2 , p 2 bq1 n2 n ' p1 p '  an', p ' an1 , p1 an ', p ' an2 , p 2 bq1   an1 , p1 an ', p ' bq1 n2n ' p2 p '  an', p ' an2 , p2 bq1 n2 n ' p1 p '     Suy ra:  an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,   n ',p'  an', p ' an ', p '     n ',p'  t    n ', p '  n ',p' a  a   b  n2 n ' p2 p '  an', p ' an2 , p2 bq1 n2 n ' p1 p ' n1 , p1 n ', p ' q1   t   n2 ,p 2 an1 , p1 an2 , p 2 bq1 t   n1 ,p1 an1 , p1 an2 , p 2 bq1 t     n1 ,p1   n2 ,p 2  an1 , p1 an2 , p2 bq1 t
 an1 , p1 an2 , p2 bq1 , b k bk   an1 , p1 an2 , p2 bq1 b k bk  b k bk an1 , p1 an2 , p2 bq1   an1 , p1 an2 , p2 b k bq1 bk  an1 , p1 an2 , p2 b k bkbq1  an1 , p1 an2 , p2 b k  q k  bk bq1   1   an1 , p1 an2 , p2 b k bkbq1  an1 , p1 an2 , p2 b k  q k (2.12) 1     Suy ra:  an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,   k b k bk    k an1 , p1 an2 , p2 b k  q k  1 t  k  t k  q1 an1 , p1 an2 , p2 b q1 (2.13) t  an , p an , p bq , a    an ' , p '  b  b      an , p an , p bq a    an ' , p '  b  b      1 1 2 2 1 n ', p '  k 1  k k  1 1 2 2 1 n ', p '  k 1  k k  an', p '  k   an '1 , p '  bk  bk  an1 , p1 an2 , p2 bq1  an1 , p1  n2 n ' p , p ' 2  k   an', p '  k   an2 , p2 an1 , p1 bq1  bk  bk    an', p '  k   n '1 n1  p '   , p2   an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2  bk  bk  bq1   an1 , p1 an '1 , p ' bq1  bk  bk   n2 n ' p    an1 , p1 an', p '  an2 , p2 an '1 , p ' bq1  bk  bk   2 , p '  k  k  an', p '  an2 , p2  bk  bk  bq1 n '1 n1 p ' , p2  an', p '  an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2  bk  bk  bq1   k  k  an1 , p1 an '1 , p ' bq1  bk  bk   n2 n ' p , p '   an', p '  an2 , p2  bk  bk  bq1 n '1 n1 p ' , p2  2  k  k  an', p '  an1 , p1 an2 , p2 an '1 , p ' bq1  bk  bk    bk  bk  bq1    k  an1 , p1 an '1 , p ' bq1  bk  bk   n2 n ' p , p '   an', p '  an2 , p2  bk  bk  bq1 n '1 n1 p ' , p2  2  k  k  an', p '  an1 , p1 an2 , p2 an '1 , p '  q ,k   k 1  an1 , p1 an '1 , p ' bq1  bk  bk   n2 n ' p , p '   an', p '  an2 , p2  bk  bk  bq1 n '1 n1 p ' , p2  2  k  k an1 , p1 an', p '  an2 , p2 an '1 , p '  q ,k  k 1
  Suy ra:  an1 , p1 an2 , p 2 bq1 ,   Ck I n ' n '1 an', p '  k an '1 , p '  bk  bk       n ', n '1 , p ' , k  t   Ck I n ' n '1 an1 , p1 an '1 , p ' bq1  bk  bk   n2 n ' p      2 , p '  k t n ', n '1 , p ' , k   Ck I n ' n '1 an', p '  an2 , p 2  bk  bk  bq1 n '1 n1 p ' , p2     k t n ', n '1 , p ' , k   Ck I n ' n '1 an1 , p1 an', p '  an2 , p2 an '1 , p '  q ,k     k 1 t n ', n '1 , p ' , k  C I   k n2 n '1 an1 , p1 an ' , p  k bq1  bk  bk   1 2 t n '1 , k  Ck I n ' n1 an', p  k an2 , p2  bk  bk  bq1  2 t n ', k   Cq1 I n ' n '1 an1 , p1 an', p '  q1 an2 , p2 an '1 , p '  t n ', n '1 , p ' (2.14)  an1 , p1 an2 , p2 bq1 , an', p '  q an '1 , p ' bq   an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p '  q an '1 , p ' bq  an', p '  q an '1 , p ' bq an1 , p1 an2 , p2 bq1   an1 , p1 an2 , p2 an', p '  q an '1 , p ' bq1 bq  an', p '  q an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p2  qq1     b b  q1 q     an1 , p1  n2 n ' p2 , p '  q  an', p '  q an2 , p2 an '1 , p ' bq1 bq     an', p '  q  n1n '1 p1 p '  an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2  qq    b b  1 q1 q    an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2n ' p 2 , p '  q  an', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 bq1 bq   an', p '  q an2 , p2  n1n '1 p1 p '  qq    a  1   n ', p '  q an2 , p2 bq1 bq  n1n '1  p1 p '        an', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p 2  qq1    a    n ', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq          an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2 n ' p2 , p '  q  an', p '  q  n1n '1 p1 p '  an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq   an', p '  q an2 , p2  n1n '1 p1 p '  qq    a  1   n ', p '  q an2 , p2 bq1 bq  n1n '1  p1 p '      
 an', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2  qq    a  1         n ', p '  q  n1n '1  p1 p '  an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p2 bq1 bq       an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2 n ' p 2 , p '  q  an', p '  q an2 , p 2 bq1 bq n1n '1 p1 p '   an', p '  q an '1 , p ' an1 , p1 an2 , p 2 bq1 bq  an', p '  q an2 , p 2  n1n '1 p1 p '  qq   1  an', p '  q an2 , p2 bq1 bq n1n '1 p1 p '  an', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2  qq   1  an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2 n ' p2 , p '  q  an', p '  q an2 , p2  qq     b b  1 q1 q n1n '1 p1 p '      an', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p 2  qq  1   Suy ra:  an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,  CqU n ' n '1 an', p '  q an '1 , p ' bq      n '1 , n ', p ' , q  t   CqU n ' n '1 an1 , p1 an '1 , p ' bq1 bq n2n ' p2 , p '  q    n '1 , n ', p ' , q t     n '1 , n ', p ' , q CqU n ' n '1 an', p '  q an2 , p2  qq1     b b  q1 q n1n '1 p1 p '     t   CqU n ' n '1 an', p '  q an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2  qq  1    n '1 , n ', p ' , q t   CqU n2n '1 an1 , p1 an '1 , p2 q bq1 bq   CqU n ' n1 an', p1  q an2 , p2 bqbq1    n '1 , q t n ', q t   Cq1U n ' n '1 an', p '  q1 an1 , p1 an '1 , p ' an2 , p2 (2.15)  n '1 , n ', p ' t Ta tìm biểu thức của Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1  t  bằng phương pháp phương trình động lượng Fn1, p1 ,n2 , p2 ,q1  t  tử: i  an1 , p1 an2 , p2 bq1 , H  (2.16) t t Ta có:  an1 , p1 an2 , p 2 bq1 , an', p ' an ', p '   an1 , p1 an ', p ' bq1 n2 ,n ' p 2 , p '  an', p ' an2 , p2 bq1 n1 ,n ' p1 , p ' Suy ra:
    an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,   n ', p ' an', p ' an ', p '     n ', p '  t   n2 , p2 an1 , p1 an2 , p2 bq1   n1 , p1 an1 , p1 an2 , p2 bq1 t t  ( n1 , p1   n2 , p2 ) an1 , p1 an2 , p2 bq1  ( n1 , p1   n2 , p2 ) Fn1 , p1 ,n2 , p2 ,q1  t  (2.17) t  an1 , p1 an2 , p2 bq1 , bk bk   an1 ,p1 an2 , p 2 bk q ,k 1 Suy ra:    b  b    an1 , p1 an2 , p 2 b q1 ,    k k k  q1 an1 , p1 an2 , p2 bq1  q1 Fn1 , p1 ,n2 , p 2 ,q1  t  (2.18) t  k  t  an1 , p1 an2 , p 2 bq1 , an', p '  q an '1 , p ' bq    an1 , p1 an2 , p2 bq1 an', p '  q an '1 , p ' bq  an', p '  q an '1 , p ' bq an1 , p1 an2 , p 2 bq1  an1 , p1 ( n2n ' p2 , p '  q  an', p '  q an2 , p2 ) an1 , p ' bq1 bq  an', p '  q ( n '1 n1 p ' , p2  an1 , p1 an '1 , p ' )an2 , p2 bq bq1  an1 , p1 an1 , p ' bq1 bq n2n ' p2 , p '  q  an', p '  q an2 , p2 bqbq1 n '1 n1 p ' , p2   an1 , p1 an', p '  q an2 , p 2 an '1 , p '  q1 ,q Suy ra:      an1 , p1 an2 , p2 bq1 ,   CqU n ',n '1 an ', p '  q an '1 , p ' bq    n ', n '1 , p ' , q  t   CqU n ',n '1 an1 , p1 an1 , p ' bq1 bq n2n ' p2 , p '  q   n ', n '1 , p ' , q   CqU n ',n '1 an', p '  q an2 , p2 bq bq1 n '1 n1 p ' , p2   n ',n '1 , p ' , q   CqU n ',n '1 an1 , p1 an', p '  q an2 , p2 an '1 , p '  q1 ,q   n ', n '1 , p ' , q