Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Moment từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài là tính bổ chính một vòng cho moment từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh Pauli - Villars. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Moment từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- NGUYỄN THỊ HỤÊ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- NGUYỄN THỊ HỤÊ MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội - 2014
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn, ngƣời đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này. Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể ngƣời thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này. Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này . Hà Nội, 16 tháng 12 năm 2013 Học viên
MỤC LỤC MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1 CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON ..5 1.1 Phƣơng trình Pauli ............................................................................................5 1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối tính ...........................................................................................................................6 1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli........................................9 CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON ......................................................................19 2.1 S-ma trận ..........................................................................................................19 2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng ......................23 2.3 Hệ số dạng điện từ ...........................................................................................24 CHƢƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG ..............................28 3.1. Bổ chính cho mômen dị thƣờng trong gần đúng một vòng ............................28 3.2. Moment từ dị thƣờng cùng với các bổ chính lƣợng tử ...................................37 KẾT LUẬN ...............................................................................................................39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................... Error! Bookmark not defined. PHỤ LỤC A ..............................................................................................................41 PHỤ LỤC B ..............................................................................................................50 PHỤ LỤC C ..............................................................................................................51
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng ..................................................... 20 Hình A.1……..…………………………………………………………………...43 Hình A.2 ………………………………………………………………… …...45 BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT QED: Điện động lực học lƣợng tử
MỞ ĐẦU Lý thuyết lƣợng tử về tƣơng tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực học lƣợng tử QED, đã đƣợc xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, cả định tính lẫn định lƣợng. Ví dụ nhƣ sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lƣợng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị thƣờng của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/ Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác của electron với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng độ của tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng moment từ electron  , và nó bằng e0h e   0  0 ( m0 và e0 là khối lƣợng “trần” và điện tích “trần” của 2m0c | h  c  1 2m0 electron, 0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng tƣơng tác của chân không vật lý với electron – khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lƣợng electron  m0  mR  và điện tích electron  e0  eR  sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng. Lƣu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị đƣợc lấy từ thực nghiệm. Tuy nhiên, thực nghiệm đo đƣợc moment từ của electron bằng   1,003875 0 , giá trị này đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng của electron. J.Schwinger /13/ là ngƣời đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thƣờng của electron vào năm 1948 và ông thu đƣợc kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai 1
số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 1010 % ). Biểu thức giải tích của moment từ dị thƣờng electron về mặt lý thuyết đã thu đƣợc :   2 3  ly thuyet  0 1   0,32748 2  1,184175 3  (0.1)  2     1,001159652236  28 .0 R  1,00115965241 20 .0 (0.2) Ở đây về cơ bản các giá trị moment đƣợc tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn (0.1) và giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với nhau. Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho moment từ dị thƣờng của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh Pauli -Villars. Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, kết luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo. Chƣơng 1. Phƣơng trình Pauli và moment từ của electron. Phƣơng trình Pauli và moment từ dị thƣờng có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ phƣơng trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu đƣợc phƣơng trình Pauli với số hạng tƣơng tác của moment từ electron với trƣờng ngoài /1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phƣơng trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi   tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng điện từ ngoài trong gần đúng v c , v – là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tƣơng đối tính tiếp   theo cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu đƣợc bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen ở mục 1.3. 2
Chƣơng 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng của electron. Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng đối tính. Chƣơng 3. Moment từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một vòng. Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ chính cho moment từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành ở mục 3.2. Lƣu ý, việc tính moment từ dị thƣờng của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn này bƣớc đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản hóa bài toán bằng việc: i/ bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lƣợng photon; ii/ bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lƣợng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trƣờng điện từ ngoài liên quan tới các đƣờng ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thƣờng của electron. Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự. Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h  c  1 và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ: x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x  r thì các véctơ tọa độ hiệp biến: r x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  , trong đó: 3
1 0 0 0     0 1 0 0  g   g    0 0 1 0     0 0 0 1 Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. 4
CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa moment từ của electron với trƣờng điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của momen từ với trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tƣơng đối tính ở gần đúng bậc vc ta có phƣơng trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen. 1.1 Phƣơng trình Pauli Phƣơng trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trƣờng điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phƣơng trình Pauli có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm sóng  trong phƣơng trình Pauli không phải là một vô hƣớng có một thành r phần   r , t  phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số r spin của hạt là s z . Kết quả để cho hàm sóng   r , sz , t  là một spinor hai thành phần:   r h   1  r ,  , t   r  2      r , sz , t    (1.1)   r h   2  r ,  , t     2  Vì hạt có spin nên nó có moment từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann moment từ của hạt với spin bằng h 2 . 5
r r   0 , (1.2) r 0 - là magneton Bohr, còn  là các ma trận Pauli. Khi đặt hạt vào trƣờng điện từ ngoài, ta có thêm năng lƣợng tƣơng tác phụ. r e r  e0h r r r r   U    H      s mc  2m0c sH (1.3) Hamiltonian của phƣơng trình Schrodinger có dạng: r p2 H  U (r ) (1.4) 2m0 Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dƣới đây trong phƣơng trình Schrodinger: r r e r p p 0 A c (1.5) E  E  e0 Kể thêm spin của hạt thì phƣơng trình mô tả phải có thêm một năng lƣợng phụ U     H   r r e0h r r sH . 2m0c Kết quả ta thu đƣợc phƣơng trình: r   r , sz , t   1  r e0 r 2 e0h r r  r            sH   r , sz , t  (1.6) c  ih p A e r U r t 0  2m0  2m0c  r ở đây   r  , A(r ) là thế vô hƣớng và thế véc tơ của trƣờng điện từ. Phƣơng trình (1.6) là phƣơng trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích đƣợc hiệu ứng Zeemann. 1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối tính Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trong trƣờng ngoài ở dạng chính tắc ta có:  ( x)  r  r e0 r   ih  c  p  A   e0 A0   m0c 2  ( x) (1.7) t   c   6
Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần:       u   1 ,  d   3 ,    u  (1.8)  2   4   d  Nhƣ vậy, phƣơng trình (1.7) sẽ biến thành hệ phƣơng trình:  u rr e r  ih t  c    c  p  0 A  d  e0 A0  m0c 2  u     (1.9)  d r  r e0 r  ih t  c    c  p  A  u  e0 A  m0c  d  0 2   Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai thành phần dƣới). Kể thêm:   0  ()   v2  ( )  ih  e0 A  u ,d  m0c  1  O  2   u ,d 2 (1.10)  t    c  Phƣơng trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm dƣơng (+): r   r e0 r  (  )  v2  d      2 (1.11) 2m0c  c  p A u O c  Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-): r  r e0 r  (  )  v2   ( )      2 (1.12) 2m0c  c  u p A d O c  Điều này có nghĩa nhƣ sau: trong trƣờng hợp nghiệm dƣơng thì spinor  d liên hệ với  u và trong trƣờng hợp nghiệm âm thì spinor  u liên hệ với  d thừa số  v c  . Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dƣơng ta có:  1     u  O (v / c )   d   v3   2  1  r  r e r   ih     p  A   m c 2  eA0  O  3   u (1.13) t 0  2m0    c   c   7
Và để cho nghiệm âm:    1  r  r e r  2  v3    ih u      p  A   m c 2  eA0  O  3   d t 0  2m0    c   c    O (v / c )     d (1.14)  1  Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau: r A r B   ( AB)  ir ( A  B) , r r rr r r  r e r  r e r eh r  p  A    p  A    B (1.15)  c   c  ic Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac:    H nr ih  t   1 r e  r 2 r r  v   3 ˆ B   O  3  ,  eh H nr    m0 c 2   p  A   eA  0 (1.16)  2m0  c  2m0c  c   r  r 0   ˆ   r   0    đúng đến bậc v 2  c  cùng với toán tử và tự liên hợp H 2 nr . Nếu chúng ta giới hạn ở nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu, thì phƣơng trình này với độ chính xác m0c 2 trùng với phƣơng trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trƣờng điện từ ngoài. Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa của rr phƣơng trình Dirac ở trƣờng ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tƣơng tác MB giữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trƣờng ngoài, trong đó electron có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn: eh eg M (e)   S, g 2 (thừa số Lande) (1.17) 2m0c 2m0c 8
Ngƣợc lại trong phƣơng trình Pauli số hạng này đƣa vào phƣơng trình theo kiểu hiện tƣợng luận – “đƣa vào bằng tay”. Đối với hạt không phải là cơ bản, nhƣ các proton hay các neutron quá trình r r giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai M  p   eS /  mp c  . Rõ ràng trong những trƣờng hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trƣờng điện từ ngoài. Chính vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhận đƣợc phƣơng trình phi tƣơng đối tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tƣợng luận là cộng “bằng tay” các số hạng moment. Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lƣu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tƣơng ứng với phƣơng trình (1.16) với độ  c . chính xác v 2 2 h  †     † , j   2im        †   2ie hc A †    (1.18) Chúng liên hệ với nhau bằng phƣơng trình liên tục  / t  j  0 và trong trƣờng hợp nghiệm dƣơng, các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tƣơng đối tính. 1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng điện từ ngoài ta thu đƣợc lý thuyết Pauli đúng tới bậc v 2  c  và sai sót 2 trong Hamilton ở bậc v 3  c  . Trong giới hạn này H 3 nr là chéo nhƣng các nghiệm âm và dƣơng là hoàn toàn “phân ly ”. Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tƣơng đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phƣơng trình Dirac. Để đơn giản ta bắt đầu từ bậc  v / c  và phƣơng trình Dirac ở dạng: m0c2 K  0, K     (1.19) 9
cùng với: 1   0  v2   v2     ih  eA   O(1)  O  2  ,     O  2  (1.20) m0c 2  t  c  c  Và: c  e  v  2  p  A  O   (1.21) m0c  c  c ở đây  và      là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen thích hợp U  eiS , U   eiS  , ... với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn và cao hơn bậc  v / c  điều đó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới bậc  v / c  . Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc: m0c2 K    0,    U , K   UKU 1 (1.22)  v2   v3  K         ,    O 2  ,   O  3  (hay cao hơn) (1.23) c  c  Và phép biến đổi thứ hai ta có: m0c2 K    0,    U  , K   U K U 1 (1.24)  v2   v5  K         ,      O  2  ,    O  5  (hay cao hơn) (1.25) c  c  và tiếp tục... Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là: i U  eiS  , S   (1.26) 2 Cuối cùng ta đƣợc: K         (1.27) 10
Cùng với:  v2   v6   v12   v18  O 2  O 6  O  12  O  18  c  c  c  c       2  4 1  v2           ,  ,    ...  O 2  (1.28) 2 8 8 c   3    v5      ,     ,  ,  ,     ...  O  5  (1.29) 3 2 48   c  Nhƣ ta đã thấy   bây giờ đã nâng lên hai bậc  v / c  . Từ đây chúng ta nhận đƣợc toán tử K      đúng đến bậc v 3  c  , đúng trong phƣơng trình Pauli (1.16) 3 Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K  cùng : i  U   eiS  , S    (1.30) 2 Từ đây suy ra: K         (1.31) cùng với:  v2   v6   v12   v18  O 2  O 6  O  12  O  18  c  c  c  c      (1.32)  2  4 1  v2           ,  ,    ...  O 2  2 8 8 c  Và:  3    v5      ,     ,  ,  ,     ...  O  5  (1.33) 3 2 48   c  11
Bỏ qua tất cả các số hạng O v 5  c  (hay cao hơn) ta nhận đƣợc toán tử 5 chẵn:  2  41  v5  K          ,  ,    O  5  (1.34) 2 8 8 c  Cuối cùng kết quả dẫn đến phƣơng trình Dirac:   ih  H   (1.35) t Sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen ta tính một số công thức sau: 1   e    e  2    p  c A     p  c A   m02c 2       1  e  e   m02c 2   i, j i j  pi  Ai  p j  Aj   c  c  2 i  e  e  1  e   2 2   ijkˆ k  pi  Ai  p j  Aj   2 2  p  A  m0 c i , j ,k  c  c  m0 c  c  2 ie 1  e   ˆ  p  A  2 2  p  A  m0c 3 m0 c  c  2 eh 1  e   ˆ B  2 2  p  A  (1.36) m0c 3 m0 c  c  Tiếp theo ta tính giao hoán tử: 1   e   0 ,       p  c A  , ih t  eA  m02c3     1  ieh      e  p, A0   2 3   A,  m0 c  c  t   12
ieh  0 1  ieh    A  A   2 3  E m02c3  c  m0 c ieh   e    ,  ,    3 4   p  c A  ,  E  m0 c     ieh   p, E  m03c 4    p E  Ei p j  ieh  i j i j m03c 4 i, j  ieh m03c 4 i , j   i j  pi E j   i , j  E j pi  ieh      m03c 4 i , j ,k  i ijk ˆ k   ij  pi E j    2i ijk ˆ k E j pi  i, j  ieh2 eh2 2eh  3 4 ˆ   E  3 4 E  3 4 ˆ  E  p   (1.37) m0 c m0 c m0 c Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau: ) (1.38) i j  i i j k k , i ,  j   2i i j k k Đúng đắn đến bậc O v 4  c  với việc chéo hóa Hamilton: 4  1  e  2 eh   1  e  4 e2 h2 2  H     m0c  2  p  A   ˆ B   eA0    3 2  p  A   B   2m0  c  2m0c   8m0 c  c  8m03c 4  eh2 ieh2 eh  v5   E  ˆ   E   ˆ  E  p   5  O (1.39) 8m02c 2 8m02c 2 4m02c 2 c  Và ta có hàm sóng :    x   ei/2ei /2  x  (1.40) Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những bậc cao hơn có thể thực hiện  v / c  . Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây: 13
- Khi các S , S , ... là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy – Wouthuyen U , U , ... cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung bình nhƣ phép biến đổi U .U 1. - Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A / t  0 khi sự biến đổi : K  0  K    0, K   UKU 1  UKU † ,    U (1.41) tƣơng đƣơng với :      ih  H  ih  H  , H   U  H  ih  U † (1.42) t t  t  - Các toán tử một hạt nhận đƣợc trong biểu diễn Fouldy – Wouthuyen theo phép biến đổi cho các toán tử ban đầu (tƣơng đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phƣơng pháp Fouldy – Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng với kích thƣớc so với bƣớc sóng Compton của hạt. - Phƣơng pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy – Wouthuyen là hội tụ. - Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. Phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phƣơng pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phƣơng trình Dirac (1.7) dƣới dạng: m0c2 K (0) (0)  0, K (0)     (0)   (0) (1.43) Cùng với các toán tử chẵn   0 ,    (0)  O  v2 / c2  và toán tử lẻ   0  O  v / c  lặp lại các hệ thức này theo: K ( n)     ( n)   ( n)  U ( n1) K ( n1)U ( n1)† (1.44)  ( n )  x   U  n1  n1  x  (1.45)  i ( n )  U (n)  exp    (1.46)  2  14
Ta nhận đƣợc biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó:  v2   v 2 n 1    (n)  O 2 ,  ( n)  O  2 n 1  (1.47) c  c  Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt và phản hạt và đúng cho bậc O v 2 n 1  c 2 n 1 . - Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phƣơng trình (1.16). Phƣơng trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trƣờng hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện: eA0  V  x   V  r  , A  0 (1.48) Trong trƣờng hợp này ta có: 1 x V B  0, E  A0   ,  E  0 (1.49) e r r Giới hạn hai thành phần trên của spinor, toán tử Hamiltonian tƣơng ứng: p2 p4 h2 h 1 V H u  m0c 2   V  r   3 2  2 2  2V  L (1.50) 2m0 8m0 c 8m0 c 4m02c 2 r r Thành phần thứ tƣ ở vế phải là bổ chính tƣơng đối tính cho thế năng. Thành phần thứ năm là bổ chính tƣơng đối tính cho trƣờng xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lƣợng tƣơng tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này đƣợc lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số1. Trong trƣờng hợp của thế Coulomb V  r   Ze2 / r hai thành phần cuối cùng là: 1 Trong cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính số hạng này đƣợc giải thích cổ điển nhƣ sau: L trong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trƣờng ở vị trí của electron và tƣơng tác với spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2. 15