Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số tính chất của mạng Petri và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về mạng Petri cơ sở và mạng các hệ điều kiện - biến cố cũng như các quá trình của hệ điều kiện - biến cố; nghiên cứu về mạng vị trí/chuyển và các tính chất của mạng Petri gồm tính chất phụ thuộc bộ đánh dấu đầu tiên và tính chất không phụ thuộc vào bộ đánh dấu đầu tiên...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số tính chất của mạng Petri và ứng dụng

Những lời đầu tiên Với những dòng chữ đầu tiên này, tôi xin dành để gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Cố PGS.TS Trần Thọ Châu - ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo cho tôi từ những kiến thức trên lớp Đại học, Cao học cho đến Luận văn thạc sỹ khoa học. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn rất chân thành và sâu sắc tới Cô giáo, TS Nguyễn Thị Minh Huyền – ngƣời đã tiếp tục hƣớng dẫn tận tình và tạo cho tôi những điều kiện tốt nhất cho tới khi hoàn thành công việc của mình. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Tin học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Cơ – Tin học và các Thầy, Cô, cán bộ công tác tại Phòng Sau đại học những ngƣời đã tạo rất nhiều điều kiện và cho tôi những lời khuyên vô cùng bổ ích để giúp tháo gỡ những khó khăn, vƣớng mắc trong quá trình học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn tất cả những ngƣời thân yêu trong gia đình tôi cùng toàn thể bạn bè, những ngƣời đã luôn giúp đỡ và động viên tôi mỗi khi vấp phải những khó khăn, bế tắc.
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả đạt đƣợc trong luận văn là sản phẩm của riêng cá nhân, không sao chép lại của ngƣời khác. Trong toàn bộ nội dung của luận văn, những điều đƣợc trình bày hoặc là của cá nhân hoặc là đƣợc tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và đƣợc trích dẫn hợp pháp. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm và chịu mọi hình thức kỷ luật theo quy định cho lời cam đoan của mình. Hà Nội, ngày 14 tháng 12 năm 2012 Bùi Việt Hải
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1 Chƣơng 1 – MẠNG PETRI CƠ SỞ VÀ MẠNG CÁC ĐIỀU KIỆN - BIẾN CỐ ......... 4 1.1. Các khái niệm cơ bản về mạng Petri ................................................................... 4 1.1.1. Ví dụ về mạng Petri .................................................................................. 4 1.1.2. Các khái niệm cơ sở .................................................................................. 5 1.1.3. Phân loại mạng Petri ................................................................................. 7 1.2. Mạng các điều kiện – biến cố .............................................................................. 8 1.2.1. Các trƣờng hợp và các bƣớc ..................................................................... 8 1.2.2. Hệ điều kiện - biến cố ............................................................................. 11 1.2.3. Hệ chu trình và hệ sống........................................................................... 12 1.2.4. Sự tƣơng đƣơng của các hệ điều kiện – biến cố ..................................... 13 1.2.5. Các hệ mạng an toàn và đầy đủ hóa hệ điều kiện – biến cố ................... 15 1.2.6. Đồ thị các trƣờng hợp ............................................................................. 17 1.2.7. Các quá trình của hệ điều kiện – biến cố ................................................ 19 Chƣơng 2 – MẠNG VỊ TRÍ/ CHUYỂN VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MẠNG PETRI ........................................................................................................................... 29 2.1. Mạng vị trí chuyển............................................................................................. 29 2.1.1. Khái niệm mạng vị trí chuyển ................................................................. 29 2.1.2. Mạng an toàn và quá trình chuyển mạng về mạng an toàn ..................... 32 2.1.3. Biểu diễn đại số cho các mạng Petri ....................................................... 33 2.1.4. Đồ thị phủ của mạng Petri....................................................................... 37 2.1.5. Ngôn ngữ sinh bởi lƣới mạng ................................................................. 38 2.2. Một số tính chất của mạng Petri ........................................................................ 40 2.2.1. Tính chất bị chặn của mạng Petri ............................................................ 40 2.2.2. Tính chất sống của mạng Petri ................................................................ 41 2.2.3. Tính chất tắc nghẽn của mạng Petri ........................................................ 42 2.2.4. Tính chất thuận nghịch của mạng Petri................................................... 42
Chƣơng 3 – ỨNG DỤNG MẠNG PETRI TRONG LẬP TRÌNH HƢỚNG ĐỐI TƢỢNG TƢƠNG TRANH.......................................................................................... 44 3.1. Phƣơng pháp đối tƣợng hợp tác ........................................................................ 44 3.2. Sử dụng phƣơng pháp COO giải quyết bài toán “Bữa ăn tối của các triết gia” 47 3.3. Trình biên dịch SYROCO dựa trên phƣơng pháp COO ................................... 51 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 53
DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ, CHỮ VIẾT TẮT Hình 1. Mô hình mƣợn và trả sách thƣ viện Hình 2. Mô hình chi tiết mƣợn và trả sách thƣ viện Hình 3. Mô hình mạng đơn giản Hình 4. Thí dụ về các bƣớc Hình 5. Thí dụ về tính xung đột Hình 6. Thí dụ về các bƣớc Hình 7. Thí dụ về hệ sống nhƣng không là chu trình Hình 8. Ví dụ về hệ 4 mùa trong năm Hình 9. Thí dụ hệ tƣơng đƣơng biểu diễn 4 mùa trong năm Hình 10. Hệ mạng  và hệ mạng đầy đủ tƣơng ứng ’ Hình 11. Hệ mạng an toàn nhƣng không đầy đủ Hình 12. Hệ điều kiện biến cố và đồ thị các trƣờng hợp tƣơng ứng Hình 13. Đồ thị có hƣớng Hình 14. Mô hình quá trình sản xuất và tiêu thụ Hình 15. Sơ đồ chuyển kích hoạt và hoạt động Hình 16. Sơ đồ chuyển không đƣợc kích hoạt Hình 17. Ví dụ chuyển mạng về mạng an toàn Hình 18. Thí dụ biểu diễn ma trận của một mạng Petri Hình 19. Mạng Petri và đồ thị phủ tƣơng ƣớng Hình 20: Mô phỏng quá trình “đọc” bằng mạng Petri suy rộng Hình 21: Mô phỏng quá trình “ghi” bằng mạng Petri suy rộng Hình 22. Ví dụ mạng Petri không bị chặn Hình 23. Thí dụ về mạng Petri thuận nghịch
DANH MỤC CÁC TƢ̀ VÀ CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT STT Ký hiệu viết tắt Minh giải 1 ={0,1,2,…} Tập tất cả các số tự nhiên 2 P/T nets Mạng vị trí chuyển 3 M0(s) Vị trí s đƣợc đánh dấu khởi tạo 4 M(s) Vị trí s đƣợc đánh dấu  5 x Tập tất cả các vị trí có cung hƣớng đến x 6 x Tập tất cả các vị trí có cung từ x đi ra 7 pre Ma trận điều kiện trƣớc 8 post Ma trận điều kiện sau Phƣơng pháp đối tƣợng hợp tác 9 COO CoOperativeObjects Mạng Petri đối tƣợng 10 OPNs Object Petri Nets Cấu trúc điều khiển đối tƣợng 11 OBCs Object Control Structure
MỞ ĐẦU Trong đời sống hàng ngày, bên cạnh các sự kiện mà các hành động trong nó xảy ra một cách tuần tự, còn có các sự kiện mà các hành động trong nó xảy ra một cách không tuần tự. Tƣơng ứng với các sự kiện trên ta có các quá trình và chúng đƣợc phân thành hai loại: các quá trình tuần tự và các quá trình không tuần tự. Các quá trình không tuần tự là cơ sở xây dựng hệ thống tƣơng tranh. Một hệ thống đƣợc gọi là hệ tƣơng tranh (concurrent system) nếu nó đƣợc hợp thành từ một số hệ con (tuần tự) và có các biến cố đƣợc xảy ra một cách đồng thời. Trong các hệ thống tƣơng tranh, tại một thời điểm có thể xảy ra đồng thời nhiều hành động. Các hành động này có thể không phụ thuộc vào nhau, cạnh tranh lẫn nhau trong việc sử dụng tài nguyên. Đề biểu diễn hệ tƣơng tranh, các nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu và đƣa ra các phƣơng pháp luận nhƣ: mạng Petri đƣợc đề xuất bởi C. A. Petri vào năm 1962; Ngôn ngữ vết (trace language) do A. Mazurkiewicz đƣa ra vào năm 1977; CSP (Communicating Sequential Processes) do C. A. R. Hoare đƣa ra vào năm 1978; CCS (Calculus of Communicating Systems) đƣợc R. Milner xây dựng vào năm 1980; Đại số các quá trình (algebra of processes) của J. A. Bergstra; COSY (COncurent SYstem) do P. Lauer đề xuất; Cấu trúc biến cố (event structure) của G. Winskel…Trong đó, mạng Petri (Petri net) đƣợc biết đến nhƣ là mô hình đầu tiên để biểu diễn hệ tƣơng tranh đƣợc đề xuất bởi C. A. Petri vào năm 1962 trong Luận án Tiến sĩ của ông “Kommunikation mit Automaten”. Nếu otomat hữu hạn chỉ mô tả đƣợc các hệ thống tuần tự thì mạng Petri, một công cụ toán học đƣợc phát triển trên cơ sở của otomat hữu hạn, mô tả đƣợc các hệ thống không tuần tự mà trong đó có các hệ thống tƣơng tranh. Khái niệm mạng Petri đã đƣợc phát triển nhằm tìm kiếm những phƣơng pháp tự nhiên, đơn giản và có hiệu lực để mô tả, phân tích các dòng thông tin, và các dữ liệu điều khiển trong các hệ xử lý thông tin. Mạng Petri đƣợc sử dụng nhằm mục đích mô hình hóa các hệ chế biến thông tin và các quá trình trên các mức độ trừu tƣợng khác nhau, nghĩa là có thể mô hình hóa chúng một cách chi tiết nhất theo một 1
ngôn ngữ thống nhất [1,2]. Yêu cầu đặt ra đối với lý thuyết này là làm thế nào xây dựng đƣợc những loại máy tính có khả năng tính toán song song hoặc đồng thời đánh giá đƣợc nhiều hàm. Trong mọi trƣờng hợp, nhiệm vụ chủ yếu của máy tính là đóng vai trò làm một bộ phận của một hệ thống có tổ chức cao, đồng thời đảm bảo đƣợc dòng thông tin mong muốn giữa các bộ phận làm việc song song của hệ thống ấy và đƣơng nhiên những vấn đề tính đƣợc phải chứa đựng trong đó, và hơn nữa, một số tính chất của mạng nhƣ “tính sống”, “tính an toàn” đƣợc thể hiện [1, 8]. Mạng Petri thƣờng đƣợc áp dụng trong các lĩnh vực mà ở đó số lƣợng và sự phân bố của các đối tƣợng chuyển động là quan trọng. Chẳng hạn, dữ liệu trong máy tính, hàng hoá trong kho, tài liệu trong hệ thống hành chính, các công việc đang tiến hành ở một hệ thống sản xuất …Tại đây, mạng Petri đƣợc sử dụng để thực hiện những nhiệm vụ khác nhau nhƣ phân tích yêu cầu, mô tả chi tiết, thiết kế, kiểm tra, mô phỏng và phân tích hành vi [9]. Nghĩa là, mạng Petri chỉ đƣợc sử dụng trong những bƣớc đầu tiên của phát triển phần mềm (đặc tả và thiết kế), chứ không phải trong suốt các bƣớc thực hiện phần mềm, bởi vì chúng không phải là một ngôn ngữ lập trình. Trong khi đó, lập trình hƣớng đối tƣợng là một phƣơng pháp lấy đối tƣợng làm nền tảng để xây dựng thuật giải và chƣơng trình. Việc kết hợp mạng Petri và lập trình hƣớng đối tƣợng nhằm phát huy các điểm mạnh của mạng Petri và cách tiếp cận hƣớng đối tƣợng có khả năng giải quyết các bài toán tƣơng tranh. Luận văn tập trung vào tìm hiểu lý thuyết cơ bản về mạng Petri, các tính chất điển hình của mạng Petri thể hiện thông qua mạng vị trí/ chuyển. Đồng thời, luận văn nghiên cứu khả năng kết hợp giữa mạng Petri và lập trình hƣớng đối tƣợng trong một mô hình cụ thể là mô hình Đối tƣợng hợp tác CoOperative Objects (COOs). Đối tƣợng hợp tác sử dụng lý thuyết mạng Petri để định nghĩa tính tƣơng tranh trong mỗi đối tƣợng, tƣơng tranh giữa các đối tƣợng và tƣơng tranh giữa các đối tƣợng có kết nối không đồng bộ. Sử dụng Đối tƣợng hợp tác CoOperative Objects có thể giải đƣợc bài toán “Bữa ăn tối của các nhà triết học”. Ngoài phần Mở đầu, Phần Kết luận, nội dung luận văn đƣợc chia thành 3 chƣơng: 2
Chƣơng 1 – Mạng Petri cơ sở và mạng các điều kiện - biến cố. Chƣơng này trình bày các khái niệm cơ bản về mạng Petri cơ sở và mạng các hệ điều kiện – biến cố, các quá trình của hệ điều kiện – biến cố. Chƣơng 2 - Mạng vị trí/chuyển và một số tính chất của mạng Petri. Trong chƣơng này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống về mạng vị trí/chuyển và các tính chất của mạng Petri gồm tính chất phụ thuộc bộ đánh dấu đầu tiên và tính chất không phụ thuộc vào bộ đánh dấu đầu tiên. Trong đó, một số tính chất điển hình của mạng Petri đƣợc đề cập là “tính bị chặn”, “tính an toàn”, “tính sống”, “tính tắc nghẽn” và “tính thuận nghịch”. Chƣơng 3 - Ứng dụng mạng Petri trong lập trình hƣớng đối tƣợng tƣơng tranh. Chúng tôi trình bày ứng dụng của lý thuyết mạng Petri kết hợp với lập trình hƣớng đối tƣợng tƣơng tranh và một ứng dụng cụ thể là mô hình Đối tƣợng hợp tác CoOperative Objects để giải quyết bài toán tƣơng tranh “Bữa ăn tối của các nhà triết học”. 3
Chƣơng 1 – MẠNG PETRI CƠ SỞ VÀ MẠNG CÁC ĐIỀU KIỆN - BIẾN CỐ Mạng Petri là một công cụ toán học đƣợc phát triển trên cơ sở của otomat hữu hạn; nhằm mô hình hóa và phân tích các hệ thống không tuần tự. Mạng Petri đƣợc đề xuất bởi C.A.Petri vào năm 1962 trong Luận án Tiến sĩ của ông. Ngay từ giữa những năm 70, mạng Petri trở thành đối tƣợng và một trong những động lực chính thúc đẩy việc nghiên cứu giải quyết các vấn đề về tính toán song song và phân tán. Hiện nay, mạng Petri vẫn đang đƣợc nghiên cứu phát triển mạnh mẽ và đƣợc áp dụng vào nhiều lĩnh vực. Mạng Petri có thể đƣợc xem nhƣ là một công cụ toán học và đồ thị đầy tiềm năng dùng cho việc thiết kế và phân tích các hệ - sự kiện rời rạc. Đồng thời, nó cũng có thể giúp chúng ta trong việc mô hình hóa, phân tích, kiểm tra, lập lịch và đánh giá kết quả của giai đoạn thiết kế. 1.1. Các khái niệm cơ bản về mạng Petri 1.1.1. Ví dụ về mạng Petri Việc tổ chức cho mƣợn và nhận trả sách ở một thƣ viện thông thƣờng nhƣ sau: Bạn đọc có thể truy nhập vào thƣ viện thông qua ba bàn: bàn yêu cầu, bàn nhận sách và bàn trả sách. Trong thƣ viện tất cả các sách đều đƣợc để trên giá và mỗi cuốn sách có một thẻ mục. Bạn đọc yêu cầu: nếu cuốn sách có trong thƣ viện thì Thủ thƣ lấy sách, thẻ mục của cuốn sách đó đƣợc cập nhật và bạn đọc nhận sách tại bàn nhận sách. Bạn đọc trả sách: Thẻ mục của sách đƣợc cập nhật và sách đƣợc đặt trở lại giá. Quy trình mƣợn sách và trả sách đƣợc mô tả nhƣ hình vẽ dƣới đây. Bàn nhận sách Thư viện Bàn yêu cầu Bàn trả sách Hình 1. Mô hình mƣợn và trả sách thƣ viện 4
Bổ sung vào quy trình trên hai bộ phận làm việc là: “cho mƣợn sách” và “nhận lại sách” và hai thành phần thụ động là “kho sách” và “hộp thẻ mục sách đã mƣợn”. Khi đó ta có sơ đồ thƣ viện nhƣ sau: Cho mượn sách Bàn yêu cầu Bàn mượn sách Kho sách Hộp thẻ mục sách đã mượn Nhận lại sách Bàn trả sách Hình 2. Mô hình chi tiết mƣợn và trả sách thƣ viện Đây là một ví dụ về mạng Petri. 1.1.2. Các khái niệm cơ sở Định nghĩa 1.1.2.1: Bộ ba N = (S, T; F) đƣợc gọi là một mạng Petri nếu: S và T là hai tập hợp không giao nhau. Các phần tử của tập S đƣợc gọi là S- phần tử, các phần tử của tập T đƣợc gọi là T-phần tử. F  (S  T)  (T  S) là một quan hệ nhị nguyên và đƣợc gọi là lƣu đồ của mạng N. Ngƣời ta thƣờng biểu diễn đồ thị định hƣớng cho mạng Petri bằng cách coi mỗi phần tử của tập S  T là một đỉnh của đồ thị. Các S-phần tử đƣợc biểu diễn bằng các hình tròn còn các T-phần tử đƣợc biểu diễn bằng các hình vuông. Quan hệ lƣu đồ F chính là các cung nối giữa các đỉnh tƣơng ứng. Giả sử N là một mạng Petri. Nếu không nhầm lẫn đôi khi ta viết N thay cho S  T, đó chính là tập các phần tử của mạng N. i) Với mỗi x  N thì:  x = { y  N  (y, x)  F } - đƣợc gọi là tập vào của x, x = { y  N  (x, y)  F } - đƣợc gọi là tập ra của x. 5
với X  N thì:   X=  x và X =  x x X x X Chú ý rằng, với x, y  N ta có: x  y  y  x ii) Cặp (s, t)  S  T đƣợc gọi là một chu trình hẹp (self-loop) nếu (s, t)  F và (t, s)  F. Mạng N đƣợc gọi là tinh khiết (pure) nếu quan hệ lƣu đồ F không chứa một chu trình hẹp nào. iii) Phần tử x  N đƣợc gọi là cô lập nếu x  x = . iv) Mạng N đƣợc gọi là đơn giản (simple net) nếu các phần tử khác nhau không có chung tập vào và tập ra, nghĩa là:  x, y  N : ( x = y )  ( x = y )  x = y Ví dụ: s2 t3 s3 t2 s5 t5 t1 s4 t4 Hình 3. Mô hình mạng đơn giản Mạng ở trên là đơn giản, không tinh khiết và không có phần tử cô lập. Sự đẳng cấu Giả sử N và N’ là hai mạng Petri. 1) Cho một song ánh  : N  N’. Ta nói hai mạng N và N’ là -đẳng cấu nếu: s  SN  (s)  SN’ và (x, y)  FN  ((x), (y))  FN’ 6
(Điều này cũng suy ra rằng: t  TN  (t)  TN’ ). 2) Hai mạng N và N’ đƣợc gọi là đẳng cấu nếu chúng là -đẳng cấu với một song ánh  nào đó. Hai mạng đẳng cấu với nhau thì đồ thị biểu diễn của chúng cũng đẳng cấu với nhau và ngƣợc lại. Do vậy, các mạng đẳng cấu với nhau đƣợc xem là “giống nhau”. 1.1.3. Phân loại mạng Petri Mạng Petri đƣợc nghiên cứu một cách rộng rãi trên thế giới, hiện nay có hơn 10 loại mạng Petri khác nhau, chúng tạm đƣợc phân loại thành ba cấp bậc.  Các lớp mạng Petri loại một: Là loại mạng đƣợc mô tả bởi các vị trí có khả năng biểu diễn giá trị đúng sai, mỗi vị trí đƣợc đánh dấu tối đa bởi một thẻ dấu không có cấu trúc (unstructured token). Các mạng thuộc lớp này gồm có : Mạng các điều kiện – biến cố (Condition / Event Systems) Mạng cơ sở (Elementary Net Systems) Mạng 1 – an toàn (1-safe systems)  Các lớp mạng Petri loại hai: Là loại mạng đƣợc mô tả bởi các vị trí có khả năng biểu diễn giá trị là một số nguyên. Mỗi vị trí đƣợc đánh dấu bởi một số thẻ dấu không có cấu trúc (unstructured token). Đại diện cho lớp mạng này là mạng vị trí chuyển (Place/Transition Nets).  Các lớp mạng Petri loại ba: Mỗi vị trí trong mạng có khả năng biểu diễn giá trị ở mức độ cao, chúng đƣợc đánh dấu bởi tập các thẻ dấu có cấu trúc. Các mạng thuộc lớp này có thể kể đến nhƣ : Mạng Petri cao cấp với các kiểu dữ liệu trừu tƣợng (High-Level Petri Nets with Abstaract Data Types) Mạng Petri suy rộng o Mạng Petri tô màu (Coloured Petri Nets) 7
o Mạng Petri có thời gian o Mạng Petri có gán nhãn 1.2. Mạng các điều kiện – biến cố 1.2.1. Các trƣờng hợp và các bƣớc Ta xét các hệ thống đƣợc tạo bởi các điều kiện (condition) và các biến cố (event). Các điều kiện đƣợc biểu diễn bằng bởi các S-phần tử còn các biến cố đƣợc biểu diễn bởi các T-phần tử. Chúng ta biết rằng, các điều kiện hoặc là thoả mãn hoặc là không thỏa mãn và sự xuất hiện của các biến cố sẽ làm thay đổi sự thoả mãn của các điều kiện. Trong mỗi một hình trạng của hệ nhƣ thế, một số điều kiện nào đó thoả mãn, số còn lại thì không. Tập các điều kiện đƣợc thoả mãn trong một hình trạng đƣợc gọi là một trƣờng hợp (case). Biến cố e có thể xuất hiện trong trƣờng hợp c nếu các điều kiện vào của e thuộc c còn các điều kiện ra thì không. Khi biến cố e xuất hiện, các điều kiện vào của e không thoả mãn nữa còn các điều kiện ra của e bắt đầu thoả mãn. Nếu S-phần tử và T-phần tử đƣợc thể hiện nhƣ các điều kiện và các biến cố thì ta sẽ ký hiệu mạng là (B, E; F) thay cho (S, T; F). Định nghĩa 1.2.1.1: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri. 1. Tập con c  B đƣợc gọi là một trƣờng hợp hay trạng thái. 2. Giả sử e  E và c  B. Ta nói rằng e là kích hoạt đƣợc trong c (hay e là c- kích hoạt) nếu e  c và e  c = . 3. Giả sử e  E , c  B và e là kích hoạt đƣợc trong c. Khi đó, c’ = (c\e)  e đƣợc gọi là trƣờng hợp tiếp sau của c (c’ chính là kết quả của sự xuất hiện của biến cố e trong trƣờng hợp c). Ta viết: c [ e > c’. Một biến cố của hệ mạng có thể xảy ra nếu trong hệ có trạng thái làm thoả mãn các điều kiện trƣớc (pre-conditions) của biến cố đó và khi ấy các điều kiện sau (post-conditions) của biến cố này chƣa thoả mãn. Khi biến cố xảy ra, các điều kiện trƣớc không thoả mãn nữa và các điều kiện sau đƣợc thoả mãn. Trạng thái kế tiếp nhận đƣợc sau khi biến cố trên xảy ra phải thuộc không gian các trạng thái, để có 8
thể kích hoạt các biến cố khác. Không gian các trạng thái của hệ là môi trƣờng để dãy các bƣớc có thể xảy ra trên hệ, tạo nên các quá trình trên hệ. Nếu có điều kiện sau nào đó làm cản trở sự xuất hiện của e, nghĩa là e  c và e c #  thì ta gọi hiện tƣợng này là tình trạng không an toàn. Tập G  E các biến cố mà các tập vào và các tập ra của các biến cố trong G là rời nhau thì G đƣợc gọi là tách biệt. Các biến cố trong một tập tách biệt G có thể xuất hiện đồng thời trong một bƣớc nếu mọi biến cố trong G đều đƣợc kích hoạt bởi cùng một trƣờng hợp. Định nghĩa 1.2.1.2: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri. 1. Tập các biến cố G  E đƣợc gọi là tách đƣợc nếu:  e1,e2  G : e1  e2  e1  e2 = e1  e2 = e1 e2 = e1  e2 = . 2. Giả sử c và c’ là các trƣờng hợp của mạng N và tập con các biến cố G là tách đƣợc. G đƣợc gọi là một bƣớc từ c tới c’ nếu mỗi biến cố e trong G là c-kích hoạt và c’ = (c \ G)  G Ta cũng ký hiệu là c [ G > c’. Bƣớc G đã dẫn từ trƣờng hợp c tới trƣờng hợp c’. Nếu G chỉ chứa một biến cố G = {e} thì: c [ G > c’  c [ e > c’. Bổ đề 1.2.1.1: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri, tập con các biến cố G  E là tách biệt và c, c’ là các trƣờng hợp. Khi đó thì: c [ G > c’  c \ c’ = G  c’ \ c = G Nói chung có một số khả năng để ghép các biến cố thành một bƣớc. Ví dụ: 9
b1 e2 b3 e3 b4  b2 e1 b5 Hình 4. Thí dụ về các bƣớc Trong ví dụ trên: {e1,e2} là một bƣớc từ {b1,b2} đến {b3,b5} {e1,e3} cũng tạo nên một bƣớc từ {b2,b3} đến {b4,b5} Khi thay thế các trƣờng hợp, bƣớc tiếp theo bƣớc sinh ra các quá trình. Nếu bƣớc hữu hạn thì nó có thể đƣợc thể hiện bởi sự xuất hiện của các biến cố của nó theo thứ tự tuỳ ý. Do vậy, các biến cố trong một bƣớc hữu hạn có thể thực hiện đồng thời với nhau. Bổ đề 1.2.1.2: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri, c1, c2 là các trƣờng hợp của N và G là một bƣớc hữu hạn dẫn c tới c’. Giả sử G = {e1, e2, … , ek} và là một thứ tự nào đó của các biến cố trong G. Vậy thì có các trƣờng hợp c0, c1, … , ck mà c = c0, c’ = ck và ci-1[ ei > ci với i = 1, 2, …, k. Có thể xảy ra trƣờng hợp là hai biến cố đều đƣợc một trƣờng hợp kích hoạt nhƣng chỉ có thể xuất hiện trong các bƣớc đơn thôi. Đó là trƣờng hợp mà hai biến cố này có chung điều kiện vào hoặc điều kiện ra. Khi đó sự xuất hiện của chúng loại trừ lẫn nhau. Các biến cố nhƣ thế đƣợc gọi là xung đột lẫn nhau (conflict). Không phải lúc nào cũng có thể nhận biết một cách rõ ràng rằng xung đột có xảy ra hay không. 10
e1 e3   e2  Hình 5. Thí dụ về tính xung đột Chẳng hạn trong mạng trên, với trƣờng hợp đƣợc chỉ ra nếu e1 xuất hiện trƣớc e2 thì không có xung đột giữa e1 và e3; còn nếu e2 xuất hiện trƣớc e1 thì xảy ra xung đột. Do không có thứ tự xác định trƣớc giữa e1 và e2 nên tình trạng này đƣợc gọi là mập mờ. 1.2.2. Hệ điều kiện - biến cố Một mạng Petri bao gồm các điều kiện và các biến cố thì chƣa đủ để mô tả hệ thống. Vì vậy ngoài mạng ta phải thêm vào các trƣờng hợp mà ta muốn xét. Tập các trƣờng hợp C này phải thoả các tính chất sau đây: 1. Nếu tập G  E là một bƣớc đƣợc kích hoạt bởi trƣờng hợp c  C thì G phải dẫn tới một trƣờng hợp cũng thuộc C. Nhƣ vậy, các bƣớc không đƣợc dẫn ra ngoài C. 2. Ngƣợc lại, nếu trƣờng hợp c  C là kết quả của bƣớc G  E thì tình huống mà ta đi từ đó cũng phải là một trƣờng hợp thuộc C. Hay nói một cách khác, nếu ta quay trở lại tìm trƣờng hợp trƣớc thì ta chỉ cần tìm trong C. 3. Mỗi trƣờng hợp trong C đều có thể biến đổi (tiến trƣớc hoặc lùi sau một số lần) thành các trƣờng hợp còn lại trong C. 4. C phải đủ rộng để mà: 11
 Mỗi điều kiện b  B phải thuộc vào ít nhất một trƣờng hợp trong C nhƣng không thuộc vào mọi trƣờng hợp trong C. Điều này giúp loại trừ điều kiện cô lập và chu trình hẹp.  Mỗi biến cố e  E phải có ít nhất một trƣờng hợp trong C kích hoạt đƣợc nó. Ta cũng loại trừ các biến cố cô lập vì sự xuất hiện của các biến cố phải quan sát đƣợc. Hơn nữa, ta cũng không cho phép hai điều kiện hay hai biến cố khác nhau có chung tập vào và tập ra vì ta sẽ không phân biệt đƣợc chúng. Định nghĩa 1.2.2.1: Bộ bốn  = (B, E; F, C) đƣợc gọi là một hệ điều kiện - biến cố (C/E-system) nếu: Bộ ba (B, E; F) là một mạng Petri đơn giản, không có phần tử cô lập và B  E # . Tập C  P(B) là một lớp tƣơng đƣơng của quan hệ đạt đƣợc r = (r  r-1)*, trong đó quan hệ r  P(B)  P(B) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: c1 r c2   G  E , c1 [ G > c2. C đƣợc gọi là không gian các trƣờng hợp của . e  E ,  c  C để e đƣợc kích hoạt trong c. Ví dụ: b1 b2  b3 b4 Hình 6. Thí dụ về các bƣớc Trong ví dụ trên: C = {{b1} , {b2} , {b3} , {b4}} là một không gian các trƣờng hợp của hệ điều kiện – biến cố. 1.2.3. Hệ chu trình và hệ sống Những yêu cầu đặt ra cho không gian các trƣờng hợp C của hệ điều kiện - biến cố  sẽ cụ thể hơn bằng cách thể hiện đƣợc rằng C là tập tất cả các trƣờng hợp 12
tiếp sau của một trƣờng hợp ban đầu nào đó. Nếu mọi trƣờng hợp của  đều đƣợc tái sản xuất thì mỗi một không gian các trƣờng hợp nhƣ thế sẽ trùng với tập C. Định nghĩa 1.2.3.1: Hệ điều kiện - biến cố  đƣợc gọi là chu trình nếu:  c1, c2  C , c1 r* c2 . Định nghĩa 1.2.3.2: Hệ điều kiện - biến cố  đƣợc gọi là sống nếu: c  C ,  e  E :  c’ C để cho c r*c’ và e là c’-kích hoạt. Định lý 1.2.3.1: (Wolfgang Reisig, [8]) Mọi hệ điều kiện - biến cố chu trình là sống. Ví dụ: Hệ sống nhƣng không là chu trình. e1 b e2   Hình 7. Thí dụ về hệ sống nhƣng không là chu trình Hệ điều kiện - biến cố chu trình là sống tuy nhiên điều ngƣợc lại thì không phải khi nào cũng đúng. Ví dụ trên là một minh họa. C = [{a, b}]R , {g, d}  C nhƣng ({a, b} ,{g, d})  r* . 1.2.4. Sự tƣơng đƣơng của các hệ điều kiện – biến cố Ta nói rằng hai hệ điều kiện - biến cố đã cho là tƣơng đƣơng nếu các trƣờng hợp và các bƣớc của chúng tƣơng ứng với nhau theo cách sau đây. Định nghĩa 1.2.4.1: Giả sử  và ’ là hai hệ điều kiện - biến cố. 1) Giả sử có hai song ánh  : C  C’ và  : E  E’ . - Hai hệ  và ’đƣợc gọi là (,)-tƣơng đƣơng nếu:  c1, c2  C ,  G  E : c1[ G > c2  (c1) [ (G) > (c2) . 13
- Hai hệ  và ’đƣợc gọi là tương đương nếu chúng là (,)-tƣơng đƣơng đối với cặp song ánh (, ) nào đó và ta ký hiệu:   ’. 2) Hai hệ  và ’đƣợc gọi là đẳng cấu nếu hai mạng (B , E; F) và (B’, E’; F’) là -đẳng cấu với song ánh  nào đó và: c  C  {(b)  b  c}  C’ . Định lý 1.2.4.1: (Wolfgang Reisig, [8]) Các hệ điều kiện - biến cố tƣơng đƣơng có số các trƣờng hợp, số các biến cố và số các bƣớc nhƣ nhau nhƣng số các điều kiện của chúng có thể khác nhau. Ví dụ: Hai hệ điều kiện - biến cố tƣơng đƣơng biểu diễn các mùa trong năm. Xuân Lập hạ Hạ  Lập xuân Lập thu Đông Lập đông Thu Hình 8. Ví dụ về hệ 4 mùa trong năm Lập xuân s2 Lập đông   s1 Lập thu Lập hạ s3 Hình 9. Thí dụ hệ tƣơng đƣơng biểu diễn 4 mùa trong năm 14