Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề về dòng chảy lớp biên dạng Falkner – Skan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tập trung vào nội dung mô tả bài toán trên từ khía cạnh cơ học, toán học và ứng dụng hai phương pháp tính khác nhau hoàn toàn về bản chất để thu nhận lời giải của nó trong trường hợp cổ điển, nghĩa là chưa tính đến yếu tố nhiệt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số vấn đề về dòng chảy lớp biên dạng Falkner – Skan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- TRẦN THỊ HUYỀN GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN DẠNG FALKNER – SKAN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- TRẦN THỊ HUYỀN GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN DẠNG FALKNER – SKAN Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng Mã số: 60440108 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Trần Văn Trản Hà Nội – Năm 2015
LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS – TS Trần Văn Trản, người thầy đã tận tình hướng dẫn, vạch ra cho em hướng đi, đưa ra những nhận xét và sửa chữa, bổ sung cho em được rất nhiều kiến thức quý báu để em từng bước hoàn thành luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán – Cơ – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị cho em kiến thức giúp em hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 22 tháng 07 năm 2015 Học viên Trần Thị Huyền Giang
MỤC LỤC Mở đầu ………………………………………………………………………….3 Chương 1. Dòng chảy lớp biên ………………………………………………..5 1.1 Ngắn gọn về dòng chảy lớp biên ……………………………………………5 1.2 Nghiệm đồng dạng của hệ phương trình lớp biên ………………………….14 1.3 Thu nhận bài toán mô tả dòng chảy Falkner – Skan………………………..16 Chương 2. Một số tính chất chung của nghiệm bài toán về dòng chảy Falkner – Skan ………………………………………………………………...21 2.1 Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán …………………………… 21 2.2 Về ổn định tuyến tính của nghiệm …………………………………………22 2.3 Nghiệm phân nhánh của bài toán …………………………………………..26 Chương 3. Giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan………….. 28 3.1 Phương pháp giải với một biên chưa xác định bằng cách đưa về bài toán hai biên xác định …………………………………………………………………...28 3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn giải hệ phương trình Prandtl . …………….32 Kết luận………………………………………………………………………...39 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….40 Phụ lục………………………………………………………………………….41 2
MỞ ĐẦU Vật thể có cấu trúc hình nón hoặc tròn xoay thường gặp trong các thiết bị bay như máy bay, tên lửa do có ưu điểm về khí động lực học ở tốc độ trên âm. Vì vậy những ứng dụng quan trọng nhất của lý thuyết lớp biên cho các vật thể như vậy là trong lĩnh vực chế tạo vũ khí đạn dược. Lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng có một vị trí đặc biệt cả trong nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn. Một trong những kết quả nổi bật nhất của lý thuyết lớp biên là sự tồn tại của nghiệm đồng dạng trong nhiều trường hợp mà trường hợp vật thể hình nón là một điển hình. Đối với nghiệm đồng dạng hệ phương trình lớp biên cho trường hợp hai chiều dẫn đến một phương trình vi phân thường. Từ đó có thể nghiên cứu các tính chất chung của nghiệm hoặc tính toán nó một cách khá dễ dàng. Dòng chảy lớp biên trên bề mặt hình nón với tên dòng chảy Falkner – Skan được nghiên cứu từ khá lâu. Do những ứng dụng quan trọng của các nghiên cứu về dòng chảy này trong lĩnh vực quân sự nên nó được quan tâm rất nhiều từ những năm sau chiến tranh thế giới thứ hai. Hiện những nghiên cứu sâu về bài toán dòng chảy Falkner – Skan với những yếu tố mới như nhiệt độ dòng khí cao, tốc độ bay siêu âm, … vẫn đang nhận được sự chú ý đặc biệt của các chuyên gia. Luận văn tập trung vào nội dung mô tả bài toán trên từ khía cạnh cơ học, toán học và ứng dụng hai phương pháp tính khác nhau hoàn toàn về bản chất để thu nhận lời giải của nó trong trường hợp cổ điển, nghĩa là chưa tính đến yếu tố nhiệt. 3
Luận văn gồm ba chương: Chương 1: Dòng chảy Falkner – Skan. Trong chương này trình bày nội dung về lý thuyết lớp biên, nghiệm đồng dạng và cách thu nhận bài toán. Chương 2: Một số tính chất chung của nghiệm bài toán về dòng chảy Falkner – Skan. Đưa ra một số tính chất chung của nghiệm bài toán dòng chảy lớp biên: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, sự ổn định tuyến tính của nghiệm và nghiệm phân nhánh của bài toán. Chương 3: Giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan. Thực hiện giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan bằng hai phương pháp tính khác nhau hoàn toàn về bản chất, nêu các kết quả nhận được và so sánh với nhau. 4
Chương 1. DÒNG CHẢY FALKNER – SKAN 1.1 Ngắn gọn về lý thuyết lớp biên Chúng ta quan tâm, khảo sát dòng chảy với độ nhớt nhỏ hoặc số Reynolds lớn. Một sự đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chuyển động của chất lỏng được đưa ra bởi L.Prand vào năm 1904 trong đó ông giải thích ảnh hưởng cơ bản của độ nhớt trong dòng chảy với số Reynolds lớn và chỉ ra cách đơn giản phương trình Navier – Stokes để xấp xỉ nghiệm cho trường hợp này. Hình 1. Dòng chảy lớp biên dọc theo bức tường. Để đơn giản được phương trình, chúng ta sẽ coi dòng chảy hai chiều của một chất lỏng với độ nhớt nhỏ bao quanh vật trụ với hai biên mỏng giống như hình 1. 5
Với sự bỏ qua của vùng lân cận trực tiếp của bề mặt vật rắn, vận tốc là bậc của vận tốc dòng tự do, v , kiểu của đường dòng và phân bố vận tốc chỉ sai lệch nhỏ khi dòng chảy không có ma sát. Tuy nhiên, những nghiên cứu chi tiết chỉ ra rằng, không giống như dòng chảy có thế, dòng chảy không chỉ trượt qua tường mà bám vào nó. Sự chuyển từ vận tốc 0 tại mặt tường tới khi đạt giá trị đủ lớn tại một khoảng cách nào đó tính từ bề mặt vật rắn tạo nên một lớp khá mỏng và được gọi là lớp biên. Với dòng chảy này có hai vùng cần xem xét, thậm chí sự phân chia ranh giới giữa chúng là không thật rõ ràng. 1. Lớp rất mỏng trong vùng lân cận trực tiếp của vật thể mà ở đó gradient u vận tốc theo chiều vuông góc với bức tường, là rất lớn. Trong miền y này độ nhớt rất nhỏ  của dòng chảy ảnh hưởng cơ bản vào việc tạo u nên ứng suất trượt    . y 2. Trong miền còn lại gradient vận tốc không lớn xuất hiện và ảnh hưởng của vận tốc là không quan trọng. Trong miền này dòng chảy là không ma sát và có thế. Tổng quan có thể nói rằng độ dày lớp biên biến thiên cùng vận tốc, hoặc chính xác hơn, nó giảm khi số Reynolds tăng. Có thể thấy được từ một vài nghiệm chính xác của phương trình Navier – Stokes rằng độ dày của lớp biên là tỷ lệ với căn bậc hai của độ nhớt động học  . Khi đơn giản hóa phương trình Navier – Stokes, ta giả sử độ dày lớp biên là nhỏ so với chiều dài đặc trưng, L của vật thể:   L . Trong miền này nghiệm 6
thu được từ phương trình lớp biên là gần đúng và áp dụng cho số Reynolds đủ lớn. Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu cách đơn giản phương trình Navier – Stokes, và để hoàn thành chúng, chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng. Trong bài toán hai chiều chỉ ra trong hình 1, ta giả thiết bức tường là phẳng và trùng với trục x, trục y sẽ vuông góc với nó. Ta viết lại phương trình Navier – Stokes ở dạng không thứ nguyên bằng cách lấy vận tốc dòng tự do V, độ dài nào đó của vật L làm các đại lượng đặc trưng. Khi đó thời gian đặc trưng L sẽ là đại lượng và áp suất cũng trở thành không thứ nguyên khi chia cho V VL VL  V 2 . Khi đó đại lượng R   sẽ là số Reynolds.   Phương trình liên tục và phương trình Navier – Stokes cho dòng chảy phẳng có dạng sau: u v  0 (1.1) x y u u u p 1   2u  2u  u v    2  2  (1.2) t x y x R  x y  v v v p 1   2 v  2 v  u v    2  2  (1.3) t x y y R  x y  Điều kiện biên là không có sự trượt giữa chất lỏng và bức tường: u  v  0 với y  0 và u  U khi y   . 7
 Với giả thiết độ dày lớp biên là không thứ nguyên , là rất nhỏ so với 1 L (   1), ta sẽ giữ lại các đại lượng có cùng bậc với  . Chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng để có thể bỏ qua những u đại lượng nhỏ và đơn giản phương trình. Vì là bậc một nên theo phương x v trình liên tục thì cũng là bậc một, do đó tại mặt tường v  0 và trong lớp biên y v  2u  2u v là bậc của  . Vì và 2 là cùng bậc  , nên 2 là bậc một. x x x u u Chúng ta sẽ giả thiết rằng gia tốc là cùng bậc với đại lượng u , t x nghĩa là gia tốc tức thời xuất hiện trong sóng áp suất lớn bị loại trừ. Để phù hợp với những đối số trước, một số đại lượng nhớt phải cùng bậc độ lớn với các đại lượng quán tính, ít nhất là trong vùng lân cận trực tiếp với mặt tường mặc dù nó 1 nhỏ so với đại lượng . Vì thế đạo hàm cấp hai của vận tốc phải lớn khi gần R mặt tường. Để phù hợp với những giả thiết trước ở đây ta chỉ áp dụng đối với  2u 2v và . Vì thế vectơ vận tốc song song với bức tường tăng từ 0 tại mặt y 2 y 2 u 1 tường và có giá trị 1 trong dòng tự do qua lớp có độ dày  . Ta có và y   2u 1 v  2v 1 . Khi đó 1 và . Nếu những giá trị này được đưa vào y 2  2 y  y 2  phương trình (1.2), (1.3), thì từ phương trình thứ nhất của chuyển động suy ra 8
rằng lực nhớt trong lớp biên có thể trở thành cùng bậc độ lớn như lực quán tính 1 chỉ khi số Reynolds là bậc : 2 1 2 (1.4) R Phương trình thứ nhất, phương trình liên tục còn lại không thay đổi khi số Reynolds rất lớn. Phương trình thứ hai bây giờ có thể đơn giản hoá bằng cách bỏ  2u  2u p đi 2 và giữ lại 2 . Từ phương trình thứ ba ta có thể suy ra rằng có cùng x y y bậc với  . Ứng suất tăng dọc theo lớp biên ta có thể thu được bằng việc tích phân phương trình thứ 3. Nó có  2 rất nhỏ. Vì thế áp suất theo hướng trực giao với lớp biên là một hằng số thích hợp. Nó có thể coi bằng áp suất tại lớp biên phía ngoài mà tại đó giá trị của áp suất được xác định bằng dòng không có ma sát. Do đó nó có thể được xem như là một hàm đã biết ngoài dòng chảy lớp biên và chỉ phụ thuộc vào tọa độ x và thời gian t. Tại vùng ngoài lớp biên thành phần vận tốc u bằng vận tốc dòng chảy ngoài U  x, t  . Vì thế tại đó gradient vận tốc không lớn, thành phần vận tốc trong phương trình (1.2) giảm khi R có giá trị lớn, và tương ứng với dòng chảy phía ngoài ta thu được: U U 1 p U  (1.5) t x  x trong đó các đại lượng là vô hướng. 9
Trường hợp dòng chảy dừng phương trình được đơn giản hơn khi áp suất chỉ phụ thuộc vào x. Chúng ta sẽ nhấn mạnh sự ảnh hưởng này bởi việc đạo hàm dp là , vì thế: dx dU 1 dp U  (1.5a) dx  dx Nó cũng có thể được viết trong các đại lượng được dùng của phương trình Becnoulli 1 p  U 2  const (1.6) 2 Điều kiện biên cho dòng chảy bên ngoài là gần giống như dòng chảy không ma sát. Độ dày lớp biên là rất nhỏ và thành phần vận tốc ngang v là rất nhỏ trên biên. Do đó dòng chảy không nhớt, có thế quanh vật thể khi thành phần vận tốc vuông góc là bé và giảm khi xa dần mặt tường sẽ là một xấp xỉ tốt cho dòng chảy phía ngoài. Gradient áp suất theo phương x trong lớp biên có thể thu được bằng cách áp dụng phương trình Becnoulli (1.5a) tới đường dòng tại mặt tường trong dòng chảy có thế đã biết. Hệ phương trình lớp biên hai chiều lần đầu tiên nhận được bởi Prandtl có dạng như sau: u v  0 (1.7) x y u u u 1 p  2u u v   2 (1.8) t x y  x y Với điều kiện biên: y  0 : u  v  0; y   : u  U  x, t  (1.9) 10
Dòng chảy có thế U(x, t) bên ngoài lớp biên coi như đã biết. Nó sẽ được sử dụng để xác định phân bố áp suất theo hướng vuông góc với dòng chảy cùng với phương trình (1.8). Hơn nữa dòng chảy lớp biên phù hợp phải duy trì trên toàn miền x, y với điều kiện ban đầu t = 0. Trong trường hợp dòng chảy dừng hệ trên trở thành: u v  0 (1.10) x y u u 1 dp  2u u v   2 (1.11) x y  dx y Cùng các điều kiện biên: y  0 : u  v  0; y   : u  U  x  (1.12) Mặc dù phương trình lớp biên đã được đơn giản khi so sánh với phương trình Navier – Stokes, nhưng chúng vẫn còn phức tạp từ góc nhìn tính toán số và không có nhiều trường hợp cho lời giải giải tích. Có một chú ý quan trọng rằng phương trình Navier – Stokes có dạng elliptic tương ứng với hệ toạ độ mà ở đó phương trình lớp biên Prand là parabolic. Nó là một kết quả của sự đơn giản trong lý thuyết lớp biên rằng áp suất có thể giả thiết là hằng số theo hướng vuông góc với lớp biên. Sự đơn giản hoá về mặt toán học đưa ra ở đây là rất quan trọng, nó khác so với trường hợp chuyển động trượt, thành phần phi tuyến của phương trình Navier – Stokes được bảo toàn, nhưng ba phương trình ban đầu cho u,v, p của 11
bài toán dòng chảy hai chiều. Phương trình chuyển động theo hướng vuông góc với tường được loại bỏ hoàn toàn. Vì thế những ẩn chưa biết giảm đi một. Ta thu được một hệ đồng thời cho hai ẩn u và v. Áp suất không còn là một hàm ẩn và có thể được tính từ nghiệm của dòng chảy có thế kết hợp với phương trình Becnoulli. Hơn nữa một biểu thức nhớt trong phương trình chuyển động còn lại cũng được giảm. Như vậy chúng ta đánh giá độ dày lớp biên trong (1.4) sẽ là:  1   (1.13) L R vL Biểu thức   được suy ra từ nghiệm chính xác của phương trình Navier – Stokes. Hệ số hằng chưa biết trong (1.13) bằng 5 cho trường hợp bản phẳng, khi L là khoảng cách tính từ rìa trước của nó. Đánh giá về bậc của các đạo hàm được tiến hành đối với bản phẳng, nhưng ta có thể mở rộng ra đối với trường hợp ở trên tường cong. Khi mở rộng này được thực hiện, ta thấy rằng phương trình (1.10) đến (1.12) tiếp tục được áp dụng với điều kiện độ cong không thay đổi đột ngột như trường hợp có gấp khúc với mũi nhọn. Các lập luận hiện tại dựa trên giả thiết rằng độ nhớt chỉ ảnh hưởng đến dòng chảy trong một lớp biên rất mỏng. Tuy nhiên phương trình lớp biên đã được thu nhận từ phương trình Navier – Stokes theo công thức toán học thuần túy mà không sử dụng các khái niệm vật lý. Xét phương trình lớp biên ở dạng không thứ nguyên với U  , L là các đại lượng đặc trưng. Khi đó các đại lượng của dòng chảy được đưa về dạng không 12
u x thứ nguyên bằng cách xét: u '  ; x '  ; ... . Chúng ta thu được phương trình U L cho dòng chảy dừng hai chiều ở dạng: u ' u ' dU ' 1  2u ' u'  v' U '  (1.14) x ' y ' dx ' R y '2 u ' v'  0 (1.15) x ' y ' y '  0 : u '  v'  0; y '   : u '  U '  x '  U  .L Trong đó: R  . v Từ (1.14) và (1.15) ta thấy nghiệm lớp biên phụ thuộc vào số Reynolds. Ta đưa ra được chuyển động theo chiều thẳng đứng vuông góc với U '  x ' . v U  .L Đặt: v''  v' R  (1.16) U v y U  .L y ''  y ' R  (1.17) L v Phương trình (1.14) và (1.15) trở thành: u ' u ' dU '  2u ' u'  v'' U '  (1.18) x ' y '' dx ' y ''2 u ' v''  0 (1.19) x ' y '' Với điều kiện biên : u '  0 và v''  0 tại y ''  0 và u '  U ' tại y ''   . 13
Hệ phương trình này bây giờ không chứa số R, vì thế nghiệm của hệ hàm u '  x ', y '' và v''  x ', y '' cũng độc lập với số Reynolds. Sự thay đổi số Reynolds dẫn đến sự dịch chuyển của lớp biên trong khi đó hệ toạ độ và vận tốc theo hướng vuông góc được nhân với R 1/2 . Do đó, với một u v U  .L vật thể vận tốc không thứ nguyên được hợp thành và là hàm của U U v x y U  .L hệ toạ độ vô hướng và , hơn nữa những hàm số này không phụ L L v thuộc vào số R. 1.2 Nghiệm đồng dạng của hệ phương trình lớp biên Một câu hỏi rất quan trọng đối với bài toán phương trình lớp biên là việc tìm ra điều kiện để lời giải của hai bài toán là đồng dạng với nhau. Chúng ta nói nghiệm của bài toán có tính chất đồng dạng khi thành phần vận tốc u của nó có tính chất như sau: Hai profile vận tốc u(x, y) của nó xác định tại hai toạ độ x khác nhau bất kì chỉ khác nhau bởi một hệ số biểu diễn kích cỡ của cả u lẫn y. Vì thế trong trường hợp nghiệm đồng dạng thì tất cả các profiles vận tốc u(x, y) tại tất cả các giá trị của x sẽ là trùng nhau nếu ta biểu diễn chúng trong các tọa độ đã được không thứ nguyên hóa bằng các thước đo được chọn thích hợp. Do vậy mà lời giải đồng dạng đôi khi còn được gọi là lời giải affine. Thế vận tốc địa phương U(x) theo x tất nhiên sẽ là thước đo cho u(x) vì vận tốc không thứ nguyên thay đổi theo y từ 0 đến 1. Còn thước đo cho biến y mà ta kí hiệu là g(x) phải tỷ lệ với độ dày lớp biên. 14
Yêu cầu về đồng dạng được đưa về yêu cầu với hai điểm bất kì, thành phần u(x,y) phải thoả mãn phương trình sau:    y      y   u  x1 ,   u  x2 ,     g  x1        g  x2     (1.20) U  x1  U  x2  Trong trường hợp lớp biên trên bản phẳng nằm ngang thì vận tốc dòng ở vô hạn U  là thước đo quy mô đối với u, trong khi đại lượng tương tự cho y vx bằng g  . Đại lượng này tỷ lệ với độ dày lớp biên. Khi đó tất cả các U profiles vận tốc trở thành đồng nhất khi biểu diễn trên mặt phẳng tạo độ với hai u y U trục là các đại lượng và  y    . U g vx Yêu cầu về đồng dạng là đặc biệt quan trọng đối với nghiệm của bài toán xét từ khía cạnh toán học. Trong trường hợp khi nghiệm đồng dạng tồn tại, chúng ta có thể đưa hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng về một phương trình vi phân thường, tạo nên sự đơn giản đáng kể cho bài toán. Lớp biên dọc theo bản phẳng là một ví dụ diển hình trong trường hợp này. Hình 2. Lớp biên dọc theo bản phẳng. 15
1.3 Thu nhận bài toán mô tả dòng chảy Falkner – Skan U Khi ta thực hiện phép biến đổi tương tự   y , chúng ta có thể thu vx được một phương trình vi phân thường đối với hàm dòng f   , thay cho những phương trình vi phân đạo hàm riêng ban đầu. Chúng ta quan tâm tới dòng chảy có thế khi nghiệm đồng dạng tồn tại. Bài toán được nghiên cứu đầu tiên bởi S.Goldstein, sau đó là W.Mangler. Xét phương trình lớp biên cho dòng chảy dừng hai chiều (1.10) và (1.11) có thể viết thành: u v  0 x y (1.21) u u dU  2u u  v U v 2 x y dx y Điều kiện biên là: u = v = 0 với y = 0 và u = U với y   . Tích phân phương trình liên tục bởi hàm dòng   x, y  :   u ; v . y x Vì thế phương trình chuyển động trở thành:   2   2 dU  3  U v 3 y xy x y 2 dx y    Với điều kiện biên:  0 và  0 với y = 0, và  U với y   . x y y 16
Độ dài được thay bằng đại lượng không thứ nguyên theo chiều dài đặc trưng L, và tất cả các vận tốc được đưa về không thứ nguyên nhờ vận tốc đặc U  .L trưng U  . Số R xuất hiện trong phương trình R  . v Riêng theo chiều toạ độ y ta còn đưa vào đại lượng g(x) như là hệ số co giãn. Vì thế: x y R  ;  (1.22) L L.g  x  Hàm dòng được đưa về không thứ nguyên bởi phép thế:   x, y  R f  ,   (1.23) .  x  .g  x  LU Vì thế thành phần vận tốc trở thành:  f u U  U. f ' y   L  f g'  (1.24)  Rv  R   Ug  L f ' x d Ug    g  dx Trong đó f ' kí hiệu đạo hàm tương ứng với  , và g ' ứng với x . Ta có thể thấy trực tiếp trong (1.24) rằng profiles vận tốc u(x, y) là tương tự với các biểu thức được định nghĩa từ trước, khi dòng f chỉ phụ thuộc vào biến  , phương trình (1.22) phụ thuộc vào f và  . Hơn nữa trong trường hợp này phương trình vi phân riêng đối với hàm dòng (1.21) sẽ trở thành một phương trình vi phân thường đối với f   . 17
Ta đưa vào các biến không thứ nguyên từ (1.22) và (1.23) vào (1.21), ta thu được phương trình vi phân với f  ,  : U 2  f ' f  f '''  f . f ''  1  f '2   g f'  f ''  (1.25) U      Trong đó  ,  là các biểu thức theo x: Lg d L 2  Ug  ;  g U' (1.26) U  dx U dU Trong đó U '  . Điều kiện biên cho phương trình (1.25) là f = 0 và f '  0 dx với   0 và f '  1 với    . Nghiệm đồng dạng chỉ tồn tại trong trường hợp f và f ' không phụ thuộc vào  khi vế phải của (1.25) biến mất. Đồng thời hệ số  ,  trong vế trái của (1.25) phải độc lập với x, chúng phải là hằng số. Điều kiện sau kết hợp với phương trình (1.26) đưa ra hai phương trình cho thế vận tốc U  x  và g(x). Vì thế điều kiện tồn tại nghiệm đồng dạng của dòng chảy lớp biên, hàm dòng f   phải thoả mãn phương trình vi phân sau: f '''  f . f ''  1  f '2   0 (1.27) Với điều kiện biên:   0 : f  f '  0;    : f ' 1 (1.28) Từ phương trình (1.26) ta xác định điều kiện cho U  x  và g  x  . Từ phương trình đầu của (1.26) ta thu được: 18