intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp Landweber phi tuyến giải bài toán đặt không chỉnh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST
Báo xấu
101
lượt xem 10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả trình bày phương pháp lặp Landweber và các cải biên của nó để giải bài toán đặt không chỉnh. Luận văn đề cập đến sự hội tụ của phương pháp và tốc độ hội tụ của phép lặp trong trường hợp dữ liệu không có nhiễu hoặc có nhiễu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp Landweber phi tuyến giải bài toán đặt không chỉnh

  1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGẦN PHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010
  2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGẦN PHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 2010
  3. Lời nói đầu Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, đưa đến những bài toán không chỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với các dữ kiện ban đầu, một sự thay đổi nhỏ của dữ kiện ban đầu dẫn đễn sự thay đổi lớn về nghiệm, thậm chí dẫn đến bài toán vô nghiệm. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp lặp Landweber và các cải biên của nó để giải bài toán đặt không chỉnh. Luận văn đề cập đến sự hội tụ của phương pháp và tốc độ hội tụ của phép lặp trong trường hợp dữ liệu không có nhiễu hoặc có nhiễu. Luận văn được viết thành ba chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản sử dụng trong luận văn, như đạo hàm theo Fréchet, phổ của toán tử tuyến tính, và thang không gian Hilbert. Chương 2 trình bày các kết quả đã biết về phương pháp Landweber và được chia thành 3 phần. Phần 1 chứng minh về sự hội tụ của phương pháp Landweber đối với phương trình tuyến tính. Các kết quả chính trong phần này là Định lý 2.1, 2.2. Phần 2 là phần trọng tâm của chương này. Kết quả về sự hội tụ cho phương trình phi tuyến là Định lý 2.3 và 2.4. Kết quả chính về tốc độ hội tụ được thể hiện trong Định lý 2.6. Trong phần cuối của chương, chúng tôi trình bày một ví dụ về ước lượng tham số khuyếch tán trong phương trình vi phân. Chương cuối cùng của luận văn trình bày các cải tiến của phương pháp lặp Landweber như phép lặp Landweber trong thang không gian Hilbert, phép chỉnh lặp Landweber, phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz, và phép lặp Landweber song song. Các kết quả chính trong phần này được thể hiện thông qua Mệnh đề 3.3, Định lý 3.1 đối với phép lặp trong thang không gian Hilbert. Các kết quả đối với phép chỉnh lặp là các Định lý 3.3, 3.4, và 3.5. Định lý 3.6 là kết quả quan trọng đối với phép lặp Landweber- Kaczmarz. Để luận văn này được hoàn thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp i
  4. Cao học Toán Khóa 2008-2010, đặc biệt trong nhóm Toán học tính toán, những người đã giúp đỡ, đã cùng tôi chia sẻ về nhiều vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, người thầy đã tham gia giảng dạy và đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, 12-2010 Vũ Thị Ngần
  5. Bảng ký hiệu h·, ·i Tích vô hướng trong không gian Hilbert X h·, ·is Tích vô hướng trong Xs k · ks Chuẩn trong Xs ||| · |||r Chuẩn trong Xer A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A Bρ (x0 ) Hình cầu đóng tâm x0 , bán kính ρ C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] D(A) Miền xác định của toán tử A F Toán tử xác định trên X F 0 (x) Đạo hàm theo Fréchet tại x H k [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x(j) ∈ L2 [0, 1], j = 1, . . . , k} H01 [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x0 ∈ L2 [0, 1], x(0) = x(1) = 0} L2 [a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] N (A) Nhân của toán tử A R(A) Miền giá trị của toán tử A T† Toán tử nghịch đảo suy rộng x† Nghiệm suy rộng X Không gian Hilbert Xs Thang Hilbert cảm sinh bởi Ls Xer Thang Hilbert iii
  6. Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . 2 1.2 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Công thức số gia giới nội . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Thang không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Phương pháp lặp Landweber 13 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính 13 2.2 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình phi tuyến . 17 2.2.1 Một số điều kiện đặt lên toán tử . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp Landweber . . . . . 20 2.2.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp lặp Landweber . . 24 2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Phương pháp lặp Landweber cải biên 39 3.1 Phép lặp trong thang không gian Hilbert . . . . . . . . . . 39 3.2 Phương pháp chỉnh lặp Landweber . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz . . . . . 55 3.4 Phương pháp lặp song song . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 iv
  7. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm sẽ được sử dụng trong luận văn. Nội dung của chương được trích lục từ các tài liệu [1, 2, 4, 6, 8]. 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Định nghĩa Xét bài toán A(x) = y (1.1) với toán tử A : X → Y và X, Y là các không gian metric. Bài toán (1.1) được gọi là đặt chỉnh nếu các giả thiết sau thỏa mãn: (i) Với mọi y ∈ Y , tồn tại x ∈ X sao cho A(x) = y, (ii) Nghiệm x là duy nhất, (iii) Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào A và y. Bài toán (1.1) được gọi là đặt không chỉnh khi có ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn, tức là: (iv) Phương trình (1.1) vô nghiệm với một y nào đó, (v) Nghiệm x là không duy nhất, (vi) Nghiệm x = x(A, y) không phụ thuộc liên tục vào các dữ liệu. 1
  8. Kiến thức chuẩn bị 2 1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Ví dụ 1.1. Phương trình tích phân Fredholm loại I. Zb y(t) = K(t, s)x(s)ds := (Ax)(t) (1.2) a ∂K với x ∈ C[a, b], y ∈ L2 [a, b], và nhân tích phân K(t, s) thỏa mãn ∂t ∈ C [a, b] × [a, b] . Nếu x ∈ X, thì Ax ∈ C 1 [a, b]. Vậy mọi y ∈ L2 [a, b] \ C 1 [a, b] thì phương trình (1.2) vô nghiệm. Vậy bài toán đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (iv). Gọi x1 ∈ X cố định, và x2 = x1 + ω sin N t, y1 = Ax1 , y2 = Ax2 . Dễ thấy kx2 − x1 kC = |ω|. Ta xét  Zb  Zb 2  21 ky2 − y1 kL2 = |ω| K(t, s) sin(N s) dt → 0 a a khi n → ∞, nhưng kx1 − x2 kC = |ω| > 0. Vậy bài toán đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (vi). Ví dụ 1.2. Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace     4u =0  u(x, 0) = ϕ(x) (1.3)   ∂u ∂y (x, 0) = ψ(x)   trên miền G = {(x, y) : |x| < ∞, y ≥ 0}. Xét ϕ1 = ψ1 = 0 thì Bài toán (1.3) có nghiệm u1 = 0. Lấy ϕ2 = 0, ψ2 = sin N x N ,ta có nghiệm sin N x sinh N y u2 = . N2 Ta có ϕ1 − ϕ2 = 0, kψ1 − ψ2 k = N1 → 0, nhưng sinh N y ku2 − u1 kC = → +∞. N2 Vậy bài toán đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (vi).
  9. Kiến thức chuẩn bị 3 Ví dụ 1.3. Xét bài toán truyền nhiệt  ∂u ∂2u    ∂t = ∂x2  u(x, 0) = u0 (x) (1.4)    u(0, t) = u(π, t) = 0.  ∞ an exp(−n2 t) sin nx, với P Lời giải của bài toán (1.4) là u(x, t) = n=1 Zπ 2 an = u0 (s) sin nsds. π 0 Tuy nhiên, ta xét bài toán truyền nhiệt ngược: Cho u(x, T ) tìm u0 (x) = u(x, 0). Bài toán này dẫn đến phương trình tích phân ∞ Zπ X 2 u(x, T ) = an exp(−n2 T ) sin nx = K(x, s)u0 (s)ds, n=1 π 0 ∞ exp(−n2 T ) sin nx sin ns. Bài toán thu được đặt không P với K(x, s) = n=1 chỉnh theo Ví dụ 1.2. 1.2 Đạo hàm Fréchet 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn và Ω là một tập mở trong X. Ánh xạ F : Ω −→ Y được gọi là khả vi theo Fréchet tại x ∈ Ω nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn T : X −→ Y sao cho kF (x + h) − F (x) − T hkY lim = 0. (1.5) h→0 khkX Đạo hàm Fréchet của toán tử F tại x ký hiệu F 0 (x) = T . Ta có thể viết lại (1.5) dưới dạng F (x + h) = F (x) + T h + o(khk). (1.6)
  10. Kiến thức chuẩn bị 4 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1.4. Giả sử T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn. Toán tử F (x) = T x khả vi theo Fréchet tại bất kỳ x ∈ X và F 0 (x) = T . Ví dụ 1.5. Giả sử F : X → R là toán tử xác định bởi công thức F (x) = hAx, xi, trong đó A ∈ L(X, X) với X là không gian Hilbert. Khi đó F (x) khả vi theo Fréchet tại bất kỳ x ∈ X và F 0 (x) = (A + A∗ )x. 1.2.3 Công thức số gia giới nội Định lý 1.1. Cho F khả vi theo Fréchet trên tập mở Ω ⊂ X. Giả sử x0 , x ∈ Ω và đoạn [x0 , x] = {x0 + t(x − x0 ) : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ Ω. Khi đó (i) kF (x) − F (x0 )k ≤ sup kF 0 (x0 + t(x − x0 ))k kx − x0 k, t∈[0,1] (ii) Với mọi x˜0 ∈ [x0 , x], kF (x)−F (x0 )−F 0 (˜ x0 )(x−x0 )k ≤ sup kF 0 (˜ x0 )−F 0 (x0 +t(x−x0 ))k kx−x0 k, t∈[0,1] (iii) kF (x) − F (x0 ) − F 0 (x0 )(x − x0 )k ≤ sup kF 0 (x0 + t(x − x0 )) − t∈[0,1] 0 F (x0 )k kx − x0 k. 1.3 Phổ của toán tử Định nghĩa 1.2. Một họ {Eλ : λ ∈ R} các phép chiếu trực giao trong không gian Hilbert X gọi là họ phổ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Eλ Eµ = Emin{λ,µ} ,
  11. Kiến thức chuẩn bị 5 (ii) E−∞ = 0, E+∞ = I, (iii) Eλ−0 = Eλ . Định nghĩa 1.3. Cho f : R → R liên tục. Khi đó, nếu với mọi phân hoạch (λi ) thỏa mãn −∞ < a = λ0 < λ1 < · · · < λn = b < ∞, và ξi ∈ (λi−1 , λi ] tổng Riemann n X f (ξi )(Eλi − Eλi−1 )x i=1 hội tụ khi max1≤i≤n |λi − λi−1 | → 0 thì giới hạn đó được gọi là tích phân Rb f (λ)dEλ x với mỗi x ∈ X. a Tích phân trên đoạn vô hạn được hiểu theo nghĩa sau Z+∞ Zb f (λ)dEλ x = lim f (λ)dEλ x, b,a→±∞ −∞ a nếu giới hạn bên vế phải tồn tại. Định lý 1.2. Cho x ∈ X, và hàm f : R → R liên tục. Khi đó hai khẳng định sau là tương đương +∞ R (i) Tồn tại f (λ)dEλ x. −∞ +∞ R (ii) f 2 (λ)dkEλ xk2 < ∞. −∞ Định lý 1.3. Cho A là toán tử tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert X. Khi đó tồn tại duy nhất họ phổ {Eλ : λ ∈ R} với n Z+∞ o 2 2 D(A) = x ∈ X : λ dkEλ xk < ∞ , −∞
  12. Kiến thức chuẩn bị 6 và Z+∞ Ax = λdEλ x. −∞ +∞ R Ta ký hiệu A = λdEλ . −∞ Ta có thể coi Eλ là phép chiếu trực giao lên không gian con sinh bởi tất cả các vec-tơ riêng ứng với các giá trị riêng nhỏ hơn λ của toán tử A. Định nghĩa 1.4. Cho A là một toán tử tự liên hợp trong X với họ phổ {Eλ : λ ∈ R}. Ký hiệu M(A) là tập hợp tất cả các hàm đo được với độ đo dkEλ xk2 , với mọi x ∈ X. Với mỗi f ∈ M(A) toán tử f (A) xác định theo công thức Z+∞ f (A)x = f (λ)dEλ x, x ∈ D(f (A)), −∞ với n Z+∞ f 2 (λ)dkEλ xk2 < ∞ . D(f (A)) = x ∈ X : −∞ Định lý 1.4. (i) Cho A là toán tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp với kAxk ≥ γkxk, x ∈ D(A), γ > 0, thì với mọi f ∈ M(A) ta có Z+∞ Z+∞ f (λ)dEλ x = f (λ)dEλ x. −∞ γ (ii) Nếu T : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn và A = T ∗ T thì với mọi f ∈ M(A) ta có 2 2 Z+∞ kT Zk + kTZk + f (λ)dEλ x = f (λ)dEλ x = lim+ f (λ)dEλ x. →0 −∞ 0 0
  13. Kiến thức chuẩn bị 7 Cho A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert X. Ta ký hiệu ω(A) = {hAx, xi : x ∈ X, kxk = 1}, là miền giá trị số của A. Ta ký hiệu αA = inf ω(A), βA = sup ω(A). Định lý 1.5. Cho A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, bị chặn trong không gian Hibert X. Khi đó tồn tại họ phổ {Eλ : λ ∈ R}. Hơn nữa với mọi f ∈ M(A) ta có kf (A)k ≤ sup{|f (λ)| : αA ≤ λ ≤ βA }. 1.4 Thang không gian Hilbert Cho L là một toán tử xác định dương, có miền xác định D(L) trù mật trong X, không bị chặn, và tự liên hợp trong không gian Hilbert X, tức là L = L∗ , D(L) = X, và hLx, xi ≥ γkxk2 . Đặt ∞ \ M= D(Lk ). k=0 Bổ đề 1.1. Tập hợp M là trù mật trong X. Theo định nghĩa về phổ của toán tử, ta có thể xác định toán tử Ls , s ∈ R, và ta có \ M= D(Ls ). (1.7) s∈R Định nghĩa 1.5. Giả sử tập M xác định như trong (1.7), với mỗi s ∈ R ta định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trên M như sau: hx, yis = hLs x, Ls yi, (1.8) s kxks = kL xk. với mọi x, y ∈ M. Không gian Hilbert (Xs ) là bổ sung của M theo chuẩn k · ks và (Xs : s ∈ R) là thang Hilbert cảm sinh bởi L.
  14. Kiến thức chuẩn bị 8 Mệnh đề 1.1. Cho (Xs : s ∈ R) là thang Hilbert cảm sinh bởi L. Ta có các khẳng định sau: (i) Với s < t, không gian Xt được nhúng liên tục và trù mật trong Xs . (ii) Cho s, t ∈ R. Toán tử Lt−s xác định trên M có một thác triển duy nhất tới Xt , là một đẳng cấu từ Xt tới Xs . Sự thác triển này vẫn được ký hiệu là Lt−s , và là toán tử tự liên hợp, xác định dương khi t > s. Hơn nữa, Lt−s = Lt L−s , và (Ls )−1 = L−s . (iii) Nếu s ≥ 0 thì Xs = D(Ls ) và (X−s )0 = Xs (X−s là không gian đối ngẫu của Xs ). (iv) Cho q < r < s và x ∈ Xs . Ta có bất đẳng thức nội suy s−r r−q s−q s−q kxkr ≤ kxkq kxks . (1.9) Chứng minh. (i) Gọi (Eλ ) là họ phổ của L. Ta có Z+∞ Z+∞ Z+∞ kxk2t = λ2t dkEλ xk2 = λ2(t−s) λ2s dkEλ xk2 ≥ γ 2(t−s) λ2s dkEλ xk2 . γ γ γ Nên ta có kxkt ≥ γ t−s kxks hay kxks ≤ γ s−t kxkt . Từ định nghĩa không gian Xt , suy ra Xt được nhúng liên tục và trù mật trong Xs . (ii) Theo cách xác định M ta thấy Lu là song ánh từ M lên chính nó với mọi u. Trước hết ta chỉ ra rằng Lt−s = Lt L−s . Với mỗi x ∈ M, ta có +∞ +∞ t−s λt λ−s dEλ x R t−s R L x = λ dEλ x = γ γ +∞ Rλ +∞ −s λt dEλ L−s x R t R = λ dλ µ dEµ x = γ γ γ = Lt L−s x. Hơn nữa, kxkt = kLt xk = kLs Lt−s xk = kLt−s xks . Vậy Lt−s có một mở rộng duy nhất song ánh tới Xt và Lt−s (Xt ) ⊂ Xs . Ta có Xs = Mk·ks ⊂ Lt−s (M)k·ks ⊂ Lt−s (Xt )k·ks ⊂ Xs .
  15. Kiến thức chuẩn bị 9 Cuối cùng ta chỉ ra rằng Lt−s là tự liên hợp và xác định dương. Thật vậy, hLt−s x, yis = hLs Lt−s x, Ls yi = hLt x, Ls yi = hLs Lt x, yi = hLt Ls x, yi = hLs x, Lt yi = hLs x, Ls Lt−s yi = hx, Lt−s yis . Ta có kLt−s xks = kLt xk = kxkt ≥ γ t−s kxks . (iii) Xét x ∈ D(Ls ), Ta có Ls x ∈ X và Ls En x = En Ls x → Ls x. Ta có (En x) ⊂ M suy ra Ls x ∈ M hay x ∈ Xs . Để chứng minh Xs = D(Ls ) ta chỉ cần chỉ ra rằng D(Ls ) là đầy đủ đối với chuẩn k · ks . Thật vậy, xét dãy (xn ) Cauchy trong D(Ls ). Khi đó (xn ) và Ls xn là dãy Cauchy trong X. Mặt khác Ls là đóng, nên tồn tại x ∈ D(Ls ) sao cho xn → x và Ls xn → Ls x. Vậy xn → x theo chuẩn k · ks . (iv) Theo bất đẳng thức H¨older ta có +∞ kxk2r R = λ2r dkEλ xk2 γ +∞ s−r r−q λ2q s−q λ2s s−q dkEλ xk2 R = γ  +∞ R  s−r s−q  +∞ R  r−q s−q 2q 2 2s 2 ≤ λ dkEλ xk λ dkEλ xk γ γ   s−r s−q   r−q s−q = kxk2q kxk2s .  Bổ đề 1.2. Cho B, C là các toán tử tự liên hợp và dương thực sự trên không gian Hilbert X. Nếu kBxk ≤ kCxk với mọi x ∈ X thì kC −1 xk ≤ kB −1 xk với mọi x ∈ X.
  16. Kiến thức chuẩn bị 10 Chứng minh. Trước hết ta chứng minh kBC −1 xk ≤ kxk, với mọi x ∈ X. Thật vậy, gọi y = C −1 x. Ta có kByk ≤ kCyk, suy ra kBC −1 xk ≤ kCC −1 xk = kxk. Với x, y bất kỳ ta có |hy, C −1 Bxi| = |hC −1 y, Bxi| = |hBC −1 y, yi| ≤ kBC −1 yk kxk ≤ kyk kxk. Bất đẳng thức trên đúng với mọi y, nên kC −1 Bxk ≤ kxk. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.  Mệnh đề 1.2. Cho L và A là các toán tử có miền xác định trù mật, xác định dương, tự liên hợp, và không bị chặn trong X với D(A) ⊂ D(L) và kLxk ≤ kAxk, x ∈ D(A). Khi đó, với mọi ν ∈ [0, 1], D(Aν ) ⊂ D(Lν ) và kLν xk ≤ kAν xk, x ∈ D(Aν ). Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh định lý trên với 0 < ν < 1. Trước hết ta chỉ ra rằng Z+∞ 1 kL−ν xk2 = c(ν) t−ν k(L2 + tI)− 2 xk2 dt, (1.10) 0 với Z+∞ 1 dt = . c(ν) tν (1+ t) 0 Gọi (Eλ ) là họ phổ của L. Giả sử rằng kLxk ≥ γkxk, γ > 0. Theo định lý biểu diễn phổ ta có Z+∞ Z+∞ Z+∞ dt  kL−ν xk2 = λ−2ν dkEλ xk2 = c(ν) ν 2 dkEλ xk2 . t (λ + t) γ γ 0 Áp đụng định lý Fubini ta có Z+∞  Z+∞ 1  kL−ν xk2 = c(ν) t−ν 2 dkEλ xk dt. (λ2 + t) 0 γ
  17. Kiến thức chuẩn bị 11 Theo định lý về biểu diễn phổ ta lại có Z+∞ Z+∞ − 12 1 k(L2 + tI) xk2 = (λ2 + t)−1 dkEλ xk2 = 2 dkEλ xk2 . (λ + t) γ γ Vậy khẳng định (1.10) được chứng minh. Tương tự đối với A ta có Z+∞ 1 kA−ν xk2 = c(ν) t−ν k(A2 + tI)− 2 xk2 dt. (1.11) 0 Do kLxk ≤ kAxk, và L, A tự liên hợp nên hL2 x, xi ≤ hA2 x, xi. Với mọi t ≥ 0, ta có 1 1 hL2 x + tx, xi ≤ hA2 x + tx, xi ⇔ k(L2 + tI) 2 xk ≤ k(A2 + tI) 2 xk. Áp dụng Bổ đề 1.2 ta có 1 1 k(L2 + tI)− 2 xk ≥ k(A2 + tI)− 2 xk. (1.12) Từ các kết quả (1.10), (1.11), và (1.12) ta có kL−ν xk ≥ kA−ν xk. Áp dụng Bổ đề 1.2 ta có kLν xk ≤ kAν xk.  Định lý 1.6. Cho (Xs : s ∈ R) là thang Hilbert cảm sinh bởi L và T : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn. (i) Nếu kT xk ≤ mkxk−a , a > 0, (1.13) thì với B = T L−s , s ≥ 0 và 0 ≤ ν ≤ 1     ∗ − ν2 ∗ ν D (B B) = R (B B) 2 ⊂ Xν(a+s) , ν k(B ∗ B) 2 xk ≤ mν kxk−ν(a+s) , x ∈ X, (1.14) ν  ν  k(B ∗ B)− 2 xk ≥ m−ν kxkν(a+s) , x ∈ D (B ∗ B)− 2 . (1.15) Điều kiện (1.13) tương đương với R(T ∗ ) ⊂ Xa , kT ∗ wka ≤ mkwk, w ∈ Y. (1.16)
  18. Kiến thức chuẩn bị 12 (ii) Nếu mkxk−˜a ≤ kT xk, a ˜ > 0, (1.17) thì với B = T L−s , s ≥ 0 và 0 ≤ ν ≤ 1,  ν    ∗ ∗ − ν2 Xν(˜a+s) ⊂ R (B B) = D (B B) 2 , ν k(B ∗ B) 2 xk ≥ mν kxk−ν(˜a+s) , x ∈ X, (1.18) ν k(B ∗ B)− 2 xk ≤ m−ν kxkν(˜a+s) , x ∈ Xν(˜a+s) . (1.19) Điều kiện (1.17) tương đương với  ⊥ ∗ ∗ ∗ Xa˜ ⊂ R(T ), kT wka˜ ≤ mkwk, w∈N T , T ∗ ω ∈ Xa˜ . (1.20) Chứng minh. (i) Ta có 1 k(B ∗ B) 2 xk = kBxk = kT L−s xk ≤ mkL−s xk−a = mkxk−(a+s) . (1.21) Áp dụng Mệnh đề 1.2 ta được (1.14), và áp dụng Bổ đề 1.2 cho (1.14) ta được (1.15). Theo (1.21), B = T L−s có mở rộng liên tục lên X−(a+s) nên  1  D (B B) 2 ⊂ D(T L−s ) = X−(a+s) , ∗  ν   ν  ∗ ∗ − và từ (1.15) ta có R (B B) 2 = D (B B) 2 ⊂ Xν(a+s) . Toán tử T La có mở rộng liên tục lên X, với y ∈ Y ∩ D(La T ∗ ), từ (1.13) kLa T ∗ yk = kT La yk ≤ mkyk. Do đó R(T ∗ ) ⊂ Xa . Với w ∈ Y ta có |hLa T ∗ w, yi| = |hw, T La yi| ≤ kwk kT La yk ≤ mkwk kyk, ∀y. Vậy kT ∗ wka = kLa T ∗ wk ≤ mkwk. (ii) Chứng minh tương tự như (i). 
  19. Chương 2 Phương pháp lặp Landweber Nội dung chính của chương 2 được trình bày theo các tài liệu [3, 6]. Trong phần này ta tập trung vào lời giải của bài toán F (x) = y với kỹ thuật lặp xδk+1 = xδk + Gk (xδk , y δ ), với cách chọn Gk thay đổi. Ta cũng đưa ra các điều kiện dừng, điều kiện để phép lặp hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ. Đối với trường hợp tuyến tính T x = y ta có phép lặp với cách chọn Gk theo công thức lặp xδk+1 = xδk + βT ∗ (y δ − T xδk ). Đối với trường hợp phi tuyến F (x) = y ta xét phép lặp xδk+1 = xδk + F 0 (xδk )(y δ − F (xδk )). Để xem xét các điều kiện và đánh giá sự hội tụ ta đi vào từng phần. 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính Trong phần này ta xét phương trình tuyến tính: Tx = y (2.1) 13
  20. Phương pháp lặp Landweber 14 với T : D(T ) −→ Y với miền xác định D(T ) ⊂ X. Ta chỉ xét X và Y là các không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn k · k. Dữ liệu có nhiễu y δ thỏa mãn điều kiện ky − y δ k ≤ δ. (2.2) Gọi xδ0 = x0 là xấp xỉ ban đầu, ta xác định phép lặp Landweber như sau: xδk+1 = xδk + βT ∗ (y δ − T xδk ). (2.3) Đối với dữ liệu chính xác thì ta viết y thay cho y δ và xk thay cho xδk . Khi đó phép lặp Landweber (2.3) trong trường hợp không có nhiễu trở thành xk+1 = xk + βT ∗ (y − T xk ), (2.4) trong đó β là hằng số dương. Định nghĩa 2.1. Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn. (i) Ta nói x ∈ X là tựa nghiệm của phương trình (2.1) nếu kT x − yk = inf{kT z − yk : z ∈ X}. (2.5) (ii) x† ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (2.1) nếu kx† k = inf{kxk : x là tựa nghiệm của phương trình (2.1)}. (2.6) (iii) Nghịch đảo suy rộng của T ∈ L(X, Y ), ký hiệu T † : y → x† , được xác định như một mở rộng duy nhất của toán tử tuyến tính Te−1 tới D(T † ) = R(T ) + R(T )⊥ , N (T † ) = R(T )⊥ . Trong đó Te = T|N (T )⊥ : N (T )⊥ −→ R(T ). Do N (Te) = {0} và R(Te) = R(T ) nên tồn tại Te−1 và T † được hoàn toàn xác định. Mệnh đề 2.1. Nếu y ∈ D(T †) thì phương trình (2.1) có nghiệm suy rộng x† = T † y. Khi đó tập các tựa nghiệm là x† + N (T ). Chứng minh. Xem trong [3], Định lý 2.5, trang 34.  Mệnh đề 2.2. Nếu y ∈ D(T †) thì x là tựa nghiệm của phương trình (2.1) khi và chỉ khi x thỏa mãn phương trình Euler T ∗ T x = T ∗ y.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.01: Bộ Luận Văn Thạc Sĩ Quản Trị Kinh Doanh MBA
165 tài liệu
2069 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2