Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là sử dụng phương pháp nhiễu của nửa nhóm trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các phương trình tiến hóa trừu tượng, để từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp nhiễu của nửa nhóm và ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU CỦA NỬA NHÓM VÀ ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH QUẦN THỂ SINH HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2014
Mục lục 1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nó 4 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Định nghĩa và tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Nửa nhóm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Giải thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Biểu diễn tích phân của giải thức . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . 17 2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh 22 2.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Volterra . . . . . . 31 2.4 Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Dáng điệu tiệm cận của phương trình tiến hóa tuyến tính và ứng dụng 41 3.1 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hóa . . . . . . . 41 3.1.1 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 Sự tương đương tiệm cận của nửa nhóm liên tục mạnh và họ toán tử tiến hoá liên tục mạnh đủ tốt . . . . . . . . . . 46 3.1.3 Sự tương đương tiệm cận của các họ toán tử tiến hoá . . . 47 3.2 Một số ứng dụng trong mô hình quần thể sinh học . . . . . . . . 50 3.2.1 Về tính chất nghiệm của bài toán dân số phụ thuộc vào tuổi 50 3.2.2 Tính chất nghiệm của bài toán dân số có phụ thuộc vào tuổi và sự phân bố dân cư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1
Mở Đầu Trong thời gian gần đây do yêu cầu đòi hỏi từ các mô hình ứng dụng, lý thuyết định tính của các phương trình vi phân trong không gian Banach được phát triển mạnh mẽ. Các kết quả nhận được về tính ổn định của phương trình vi phân trong không gian Banach có thể ứng dụng cho việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân hàm, đồng thời sử dụng trong việc nghiên cứu của các mô hình ứng dụng như: mô hình quần thể sinh học, mạng nơron thần kinh, trong vật lý và cơ học. Một trong những vấn đề đầu tiên được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu là lý thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, tính chất nghiệm của các phương trình tiến hóa trừu tượng bị nhiễu và mối tương quan giữa họ các toán tử tiến hóa liên tục mạnh trong không gian Banach. Mục đích chính của luận văn là sử dụng phương pháp nhiễu của nửa nhóm trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các phương trình tiến hoá trừu tượng, để từ đó đưa ra ứng dụng vào mô hình dân số. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh và một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh ([1, 2, 5, 9, 10]). Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tính chất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt ([6, 7, 8, 12]). Chương ba trình bày sự tương đương tiệm cận và các định lý liên quan; Từ đó đưa ra mô hình dân số phụ thuộc vào tuổi ([3, 4, 11, 13]). Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những 2
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn. Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời gian qua. Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Đinh Thị Hạnh 3
Chương 1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nó 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm) nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: 1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0. 2. T (0) = I . 3. lim+ T (t)x = x với mọi x ∈ X. t→0 Chú ý 1.1. 1. Nếu (T (t))t∈R ⊂ L(X) thỏa mãn các điều kiện trên với mọi t, s ∈ R thì ta có một nhóm liên tục mạnh. 2. Nếu (T (t))t≥0 là C0 − nửa nhóm thì ánh xạ t 7→ T (t)x liên tục trên R+ với mọi x ∈ X. Ví dụ 1.1. Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0 (R), xác định bởi: C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0}. s→±∞ Với chuẩn ||f || = sup |f (s)|. Ta có (C0 , ||.||) là một không gian Banach. s∈R ∀t ≥ 0, ta định nghĩa: 4
(Tl (t)f )(s) = f (t + s), ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R. và (Tr (t)f )(s) = f (s − t), ∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R. Khi đó (Tr (t))t≥0 và (Tl (t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0 , được gọi tương ứng là nửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0 . Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường hợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự. Trước hết ta chứng minh (Tl (t))t≥0 là một nửa nhóm. Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có: (Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s), suy ra Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h). Tiếp theo chứng minh tính liên tục mạnh của (Tl (t))t≥0 ; Tức là, ta cần chỉ ra với mọi f ∈ C0 thì lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0. t→0+ t→0+ s∈R Vì f ∈ C0 suy ra f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim f (s) = 0 nên f s→±∞ liên tục đều trên R. Do đó: ∀ǫ > 0, ∃δ > 0 sao cho : ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ ta có: |f (s1 ) − f (s2 )| < ǫ. Khi đó, với mọi t mà 0 ≤ t < δ, |t + s − s| < δ, ta có: |f (t + s) − f (s)| < ǫ, ∀s ∈ R. Từ đó suy ra sup |f (t + s) − f (s)| ≤ ǫ, ∀t : 0 ≤ t < δ. s∈R Theo định nghĩa giới hạn ta có: lim+ sup |f (t + s) − f (s)| = 0. t→0 s∈R Vậy (Tl (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. 1.1.2 Các tính chất sơ cấp Bổ đề 1.1. ([8]) Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương. (a) F liên tục với tô pô toán tử mạnh, tức là ánh xạ K ∋ t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ X. (b) F là bị chặn đều trên K và ánh xạ K ∋ t 7→ F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ D ⊂ X, D trù mật trong X . (c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X , tức là ánh xạ K × C ∋ (t, x) 7→ F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X . 5
Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương: (a) Nửa nhóm (T (t))t≥0 là liên tục mạnh. (b) lim+ T (t)x = x, ∀x ∈ X. t→0 (c) Tồn tại δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X sao cho: i.||T (t)|| ≤ M, ∀t ∈ [0, δ], ii. lim T (t)x = x, ∀x ∈ D. t→0+ Chứng minh. (a) ⇒ (c.ii) Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach nên ta có: lim+ T (t)x = T (0)x = x, ∀x ∈ D (D trù mật trong X ). t→0 (a) ⇒ (c.i) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0 thỏa mãn ||T (δn )|| → ∞ khi n → ∞. Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X thỏa mãn (||T (δn )x||)n∈N không bị chặn. Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục tại t = 0 (do (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh). (c) ⇒ (b) Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến 0. Khi đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|K x là liên tục ∀x ∈ D. Do đó, áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là: lim T (tn )x = x, ∀x ∈ X. n→∞ Vì (tn )n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh. (b) ⇒ (a) Giả sử t0 > 0 và x ∈ X . Khi đó: lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0, h→0+ h→0+ suy ra (T (t))t≥0 liên tục phải. Với h < 0, ta có: ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||, từ đó dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0 ]. Vậy (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh. Định lý 1.2. Với mỗi nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 tồn tại hằng số w ∈ R và M ≥ 1 sao cho: ||T (t)|| ≤ Mewt , ∀t ≥ 0. (1.1) Chứng minh. Chọn M ≥ 1 thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M, ∀0 ≤ s ≤ 1. 6
Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó: ||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (1)||n ≤ M n+1 = Men ln M ≤ Mewt , với w = ln M và t ≥ 0. Định nghĩa 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , số ω0 được định nghĩa như sau: ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt , ∀t ≥ 0}. goi là cận tăng trưởng của nửa nhóm. Xét trong trường hợp đặc biệt: - Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn. - Nếu w = 0 và M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co. - Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm đẳng cự. Ví dụ 1.2. Theo đinh lý (1.2) ta luôn có ω < +∞ nhưng có thể ω0 = −∞. Chẳng hạn: Trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi: ( f (t + s) nếu s + t ≤ 1 T (t)f (s) = 0 nếu s + t > 1. Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1. R1 Với mọi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1, ta có ||T (t)f || = || 0 T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||. Từ đó suy ra ||T (t)|| ≤ 1. Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω . Khi đó: ||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt , ∀t ≥ 0. Vậy ω0 = −∞. 1.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 1.2.1 Định nghĩa và tính chất của toán tử sinh Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết ta chứng minh bổ đề sau. 7
Bổ đề 1.2. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X. Đối với ánh xạ quỹ đạo ξx : t 7→ T (t)x, các tính chất sau là tương đương: (a) ξx (.) là khả vi trên R+ . (b) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0. Chứng minh. Chúng ta chỉ cần chỉ ra (b) ⇒ (a). Thật vậy: Với h > 0, ta có: 1 1 lim (T (t + h)x − T (t)x) = T (t) lim (T (h)x − x) h→0+ h h→0 h+ = T (t)ξ˙x (0), suy ra ξx (.) khả vi bên phải trên R+ . Mặt khác, với −t ≤ h < 0 ta có: 1 1 (T (t + h)x − T (t)x) − T (t).ξ˙x (0) = T (t + h) (x − T (−h)x) − ξ˙x (0) h h + T (t + h)ξ˙x (0) − T (t)ξ˙x (0). (1.2) Khi h → 0− hạng tử đầu tiên của vế phải hội tụ đến 0 vì ||T (t + h)|| bị chặn. Phần còn lại cũng hội tụ đến 0 do tính liên tục mạnh của (T (t))t≥0 . Do đó ξx khả vi bên trái trên R+ . Vậy ξx (.) liên tục trên R+ và ξ˙x (t) = T (t)ξ˙x (0), ∀t ≥ 0. (1.3) Định nghĩa 1.3. Toán tử sinh A : D(A) ⊆ X → X của một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử 1 Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x), (1.4) h→0 h xác định với mọi x trong miền xác định của nó D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }. (1.5) Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó: 1 D(A) = {x ∈ X : lim (T (h)x − x) tồn tại}. (1.6) h→0+ h Miền D(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là (A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của nó là cho bởi (1.6). 8
Định lý 1.3. Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0, ta có các tính chất sau: (i) A : D(A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính. (ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0. (1.7) dt (iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có: Zt T (s)xds ∈ D(A). 0 (iv) ∀t ≥ 0, ta có: Zt T (t)x − x = A T (s)xds nếu x ∈ X, (1.8) 0 Zt = T (s)Axds nếu x ∈ D(A). (1.9) 0 Chứng minh. (i) ∀α, β ∈ R và x, y ∈ X, ta có: 1 A(αx + βy) = lim [(T (h)(αx + βy) − (αx + βy)] = αAx + βAy. h→0+ h Vậy A : D(A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính. (ii) Lấy x ∈ D(A), từ (1.3) ta có: ˙ = lim T (t + h)x − T (t)x = T (t)ξ(0) ξ(t) ˙ = T (t)Ax. h→0+ h Do đó: 1 T (t + h)x − T (t)x lim (T (h)T (t)x − T (t)x) = lim = T (t)Ax, h→0+ h h→0 h suy ra T (t)x ∈ D(A) (do (1.6) ) và AT (t)x = T (t)Ax. (iii) ∀x ∈ X, t ≥ 0 ta có:   Zt Zt Zt Zt 1 1 1 T (h) T (s)xds − T (s)xds = T (s + h)xds − T (s)xds h h h 0 0 0 0 Zt+h Z t Zt+h Zh 1 1 1 1 = T (s)xds − T (s)xds = T (s)xds − T (s)xds h h h h h 0 t 0 9
hội tụ đến T (t)x − x khi h → 0+ . Do đó: Zt T (s)xds ∈ D(A) 0 (iv) Theo chứng minh trong (iii) khi h → 0+ , ∀x ∈ X ta có (1.8) đúng. Nếu x ∈ D(A) thì hàm (T (h)x − x) s 7→ T (s) h hội tụ đều trên [0, t] đến hàm s 7→ T (s)Ax khi h → 0+ . Do đó, ta có: Zt Zt Zt 1 1 lim (T (h) − I) T (s)xds = lim T (s) (T (h) − I)xds = T (s)Axds. h→0 h + h→0+ h 0 0 0 Định lý được chứng minh. Định lý 1.4. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật và xác định một nửa nhóm duy nhất. Chứng minh. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach X. Theo Định lý 1.3 toán tử sinh (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính. Ta chứng minh A là toán tử đóng. Thật vậy: lấy một dãy (xn )n∈N ⊂ D(A) sao cho lim xn = x và lim Axn = y tồn tại. n→∞ n→∞ Do (1.9) trong Định lý 1.3 ta có: Zt T (t)xn − xn = T (s)Axn ds, ∀t ≥ 0. 0 Do tính hội tụ đều của T (.)Axn trên [0, t] khi n → ∞ ta có: Zt T (t)x − x = T (s)yds. 0 1 Nhân cả hai vế với và lấy giới hạn khi t → 0+ ta được: t Zt T (t)x − x 1 lim = lim T (s)yds, t→0+ t t→0+ t 0 suy ra x ∈ D(A) và Ax = y. Vậy A là toán tử tuyến tính đóng. 1 Rt Theo Định lý 1.3(iii) ta có: T (s)xds ∈ D(A). t 0 10
1 Rt Do tính liên tục mạnh của (T (t))t≥0 nên lim+ T (s)xds = x, ∀x ∈ X. t→0 t0 Suy ra D(A) trù mật trong X. Giả sử (S(t))t≥0 là nửa nhóm khác liên tục mạnh khác có cùng toán tử sinh với nửa nhóm (T (t))t≥0 . Khi đó, ∀x ∈ D(A) và t > 0, xét ánh xạ: s 7→ ηx (s) = T (t − s)S(s)x, ∀0 ≤ s ≤ t. n S(s + h)x − S(s)x o Với s cố định tập : h ∈ (0, 1) ∪ {AS(s)x} là compact. h Ta có: 1 1 (ηx (s + h) − ηx (s)) = T (t − s − h) (S(s + h)x − S(s)x) h h 1 + (T (t − s − h) − T (t − s)) S(s)x. h Khi đó: d ηx (s) = T (t − s)AS(s)x − AT (t − s)S(s)x = 0. dt Suy ra ηx (s) là một hằng số. Do ηx (0) = T (t)x và ηx (t) = S(t)x nên T (t)x = S(t)x với mọi x trong miền trù mật D(A). Như vậy: T (t) = S(t), ∀t ≥ 0. Định lý được chứng minh. 1.2.2 Nửa nhóm liên tục đều Định nghĩa 1.4. ([8]) Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong L(X) nếu ánh xạ R+ ∋ t → T (t) ∈ L(X) liên tục đối với tô pô chuẩn (tô pô đều) trong L(X), tức là: lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0, ∀t ≥ 0. (1.10) h→0+ Rõ ràng nửa nhóm liên tục đều là liên tục mạnh. Vì thế điều kiện (1.10) tương đương với điều kiện: lim ||T (h) − I|| = 0. h→0+ Ví dụ 1.3. Cho không gian Banach X và toán tử A ∈ L(X), xét chuỗi: ∞ X (tA)n , ∀t ≥ 0. n! n=0 ∞ ||(tA)n || ||(tA)n || tn ||A||n Ta có: chuỗi hội tụ vì P ≤ n=0 n! n! n! n+1 n+1 n n t ||A|| t ||A|| t||A|| và lim : = lim = 0. n→∞ (n + 1)! n! n→∞ n+1 11
∞ ||(tA)n || Từ đó suy ra hội tụ trong L(X). P n=0 n! ∞ (tA)n Đặt T (t) = eAt . Ta có T(0) = I. P = n=0 n! Dùng quy tắc nhân Cauchy về chuỗi lũy thừa, ta có: ∞ k k X ∞ tA sA X t A sk Ak T (t).T (s) = e .e = k! k! k=0 k=0 ∞ n X X tn−k .An−k sk Ak = . (n − k)! k! n=0 k=0 ∞ X (t + s)n .An = = e(t+s)A = T (t + s). n! n=0 Suy ra T (t) = etA là nửa nhóm trong không gian Banach X . Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều. Thật vậy, ta có: ∞ X (tA)n T (t) − I = . n! n=1 Suy ra ∞ n X t ||A||n ||T (t) − I|| ≤ = et||A|| − 1. n! n=1 Khi đó lim+ ||T (t) − I|| = 0. t→0 Vậy (T (t))t≥0 = (etA )t≥0 là nửa nhóm liên tục đều. Định lý 1.5. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đều khi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A ∈ L(X)). Chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử A ∈ L(X), xét nửa nhóm T (t) = etA (t ≥ 0). Ta có (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục đều. Ta chứng minh A là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0. Ta có: +∞ +∞ X (tA)n X (tA)n−1 T (t) − I = = (tA) . n! n! n=1 n=1 Do vậy: X (tA)n−1+∞ T (t) − I − A = A. . t n! n=2 12
Từ đây suy ra X tn−1 ||A||n−1 +∞ T (t) − I || − A|| ≤ ||A||. t n! n=2 +∞ n−1 X t ||A||n−1 ≤ ||A||. = ||A||(et||A|| − 1) → 0, (t → 0+ ). (n − 1)! n=2 T (t) − I Do đó: lim || − A|| = 0. Vậy A là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0 . t→0+ t Điều kiện cần. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục đều trong L(X). Ta có: Z t Z t 1 1 ||I − T (s)ds|| = || (I − T (s))ds|| t 0 t 0 Z t 1 ≤ ||I − T (s)||ds → 0, (t → 0+ ). t 0 1Rt Do vậy tồn tại t cố định đủ nhỏ sao cho ||I − 0 T (s)ds|| < 1. Khi đó, toán tử t 1Rt Rt 0 T (s)ds có nghịch đảo bị chặn. Suy ra 0 T (s)ds có nghịch đảo bị chặn. t Ta có: Z t Z t Z t 1 1 (T (h) − I) T (s)ds = T (s + h)ds − T (s)ds h 0 h 0 0 "Z # "Z # t+h Z t t+h Z h 1 1 = T (s)ds − T (s)ds = T (s)ds − T (s)ds . h h 0 h t 0 1 1 R t+h Rh h Rt −1 i Suy ra (T (h) − I) = T (s)ds − 0 T (s)ds . 0 T (s)ds . h h t Ánh xạ t → T (t) liên tục đối với tô pô chuẩn trên [0, t] nên liên tục đều trên đoạn đó. Suy ra với mọi ǫ > 0, tồn tại δ > 0 thỏa mãn |s − s′ | < δ thì ||T (s) − T (s′ )|| < ǫ. Với 0 < h < δ, ta có: Z h Z h 1 1 || T (s)ds − I|| ≤ ||T (s) − I||ds < ǫ. h 0 h 0 1 Rh Vậy lim+ T (s)ds = I. h→0 h 0 Tương tự với 0 < h < δ, ta có: Z t+h Z t+h 1 1 || T (s)ds − T (t)|| ≤ ||T (s) − T (t)||ds < ǫ. h t h t 13
R t+h Suy ra lim+ h1 t T (s)ds = T (t). Do đó, khi h → 0+ thì h→0 Z t −1 1 lim [T (h) − I] = (T (t) − I) T (s)ds ∈ L(X). h→0+ h 0 Vậy toán tử A bị chặn. Định lý được chứng minh. Định lý 1.6. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach X với toán tử sinh (A, D(A)). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (a) Toán tử sinh A là bị chặn, tức là tồn tại M > 0 thỏa mãn: ||Ax|| ≤ M||x||, ∀x ∈ D(A). (b) Miền D(A) là tất cả các phần tử của X. (c) Miền D(A) đóng trong X. (d) Nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục đều. Trong mỗi trường hợp nửa nhóm được cho bởi ∞ n n tA X t A T (t) = e = , t ≥ 0. n! n=0 Chứng minh. (a) ⇔ (d) được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.5. (b) ⇒ (a) A đóng nên A bị chặn. (a) ⇒ (c) A bị chặn nên A liên tục, ta chứng minh D(A) đóng. Thật vậy: Nếu {xn }n ⊂ D(A), xn → x khi n → ∞ thì do A bị chặn nên ta có: ||Axn − Axm || ≤ M.||xn − xm || → 0. Vậy {Axn } là dãy cơ bản. Do đó tồn tại y ∈ X sao cho Axn → y. Mà A đóng, xn → x, Axn → y nên x ∈ D(A) và Ax = y. Vậy D(A) đóng trong X. Định lý được chứng minh. 1.3 Giải thức 1.3.1 Biểu diễn tích phân của giải thức Định nghĩa 1.5. Giả sử (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach X. Khi đó • Phổ σ(A) = {λ ∈ C | (λI − A) không là song ánh}. 14
• ρ(A) = C\σ(A) là tập các giá trị chính quy của A . • R(λ, A) = (λI − A)−1 (λ ∈ ρ(A)) gọi là giải thức của A. Chú ý 1.2. Do A là toán tử đóng nên nếu (λI − A) là song ánh thì (λI − A)−1 đóng và do đó (λI − A)−1 liên tục. Định lý 1.7. Giả sử T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X có toán tử sinh (A, D(A)) và tồn tại hằng số w ∈ R, M ≥ 1 thỏa mãn: ||T (t)|| ≤ Mewt , ∀t ≥ 0. (1.11) Khi đó ta có các tính chất sau: R +∞ (i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds tồn tại ∀x ∈ X thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ). (ii) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ(A) và giải thức R(λ, A) được cho bởi tích phân trong (i). M (iii) ||R(λ, A)|| ≤ , với mọi λ thỏa mãn Reλ > w. Reλ − w +∞ Khi đó: R(λ, A)x = e−λs T (s)xds được gọi là biểu diễn tích phân của giải R 0 thức. Tích phân này là tích phân Riemann suy rộng Zt R(λ, A)x = lim e−λs T (s)xds, ∀x ∈ X. (1.12) t→∞ 0 Ta thường viết là: Z∞ R(λ, A) = e−λs T (s)ds. (1.13) 0 Chứng minh. (i) Bằng cách thay nửa nhóm đã cho bằng nửa nhóm điều chỉnh, ta có thể giả thiết λ = 0. Khi đó ∀x ∈ X và h > 0, ta có: Z∞ T (h) − I T (h) − I R(0)x = T (s)xds h h 0 Z∞ Z∞ 1 1 = T (s + h)xds − T (s)xds h h 0 0 Z∞ Z∞ Zh 1 1 1 = T (s)xds − T (s)xds = − T (s)xds. h h h h 0 0 15
Lấy giới hạn khi h → 0+ suy ra vế phải tiến đến −x nên R(0)x ∈ D(A) và AR(0) = −I . Mặt khác với x ∈ D(A), ta có: Rt lim T (s)xds = R(0)x t→∞ 0 Rt Rt và lim A T (s)xds = lim T (s)Axds = R(0)Ax (theo Định lý 1.3(iv)). t→∞ 0 t→∞ 0 Vì theo Định lý 1.4, toán tử A đóng nên R(0)Ax = AR(0)x = −x. Từ đó suy ra R(0) = (−A)−1 . (ii) và (iii) được suy ra từ (i) và từ ước lượng sau: Zt Zt || e−λs T (s)ds|| ≤ M e(w−Reλ)s ds. 0 0 M Với Reλ > w vế phải hội tụ đến khi t → +∞. Định lý được chứng minh. Reλ − w Hệ quả 1.1. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mewt , ∀t ≥ 0, Reλ > w và n ∈ N. Khi đó: (−1)n−1 dn−1 R(λ, A)n x = . R(λ, A)x (1.14) (n − 1)! dλn−1 Z∞ 1 = sn−1 e−λs T (s)xds, ∀x ∈ X. (1.15) (n − 1)! 0 Đặc biệt, ta có ước lượng: M ||R(λ, A)n|| ≤ , ∀n ∈ N, Reλ > w. (1.16) (Reλ − w)n Chứng minh. Từ hệ thức Hilbert đối với giải thức: R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A). Với n = 2, λ 6= µ, ta có: R(λ, A) − R(µ, A) = −R(λ, A)R(µ, A). λ−µ Cho µ → λ thì ta được: dR(λ, A) = −R(λ, A)2 dλ và Z∞ Z∞ dR(λ, A) d = e−λs T (s)xds = − se−λs T (s)xds. dλ dλ 0 0 16
Vậy công thức (1.14) và (1.15) đúng với n = 2. Bằng quy nạp suy ra công thức (1.14) và (1.15) đúng ∀n ∈ N. Mặt khác, ta có: Z∞ 1 ||R(λ, A)n x|| = || sn−1 e−λs T (s)xds|| (n − 1)! 0 Z∞ M||x|| ≤ sn−1 e(w−Reλ)sds (n − 1)! 0 M = ||x||, ∀x ∈ D(A). (1.17) (Reλ − w)n Ví dụ 1.4. a) Các nửa nhóm đồng dạng: Giả sử V là phép đẳng cự từ không gian Y lên không gian X và (S(t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y cho bởi S(t) = V −1 T (t)V, trong đó (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên X. Khi đó toán tử sinh của nửa nhóm (S(t))t≥0 là B = V −1 AV với miền xác định D(B) = {y ∈ Y : V y ∈ D(A)}, trong đó (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0. Ta có σ(A) = σ(B) và giải thức của B là: R(λ, B) = V −1 R(λ, A)V với λ ∈ ρ(A). b) Các nửa nhóm điều chỉnh: Nửa nhóm điều chỉnh (eµt T (αt))t≥0 , µ ∈ C, α > 0 có toán tử sinh là B = αA + µI với miền xác định D(B) = D(A). Thật vậy, với mọi x ∈ D(A) ta có: µt µt e T (αt)x − x T (αt)x − x e x − x Bx = lim = lim eµt α + = αAx + µIx. t→0+ t t→0+ αt t Suy ra D(B) = D(A) và B = αA + µI. Hơn nữa, σ(B) = α.σ(A) + µ và 1 λ−µ R(λ, B) = R , A , λ ∈ ρ(A), α α do −1 −1 1 λ−µ λ−µ λ−µ I −A (λI − B) = I −A I −A = I. α α α α 1.3.2 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm Định lý 1.8. Định lý toán tử sinh (Hille -Yosida) Cho (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính trên một không gian Banach X. Khi đó các tính chất sau là tương đương: 17
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm co liên tục mạnh. (b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > 0 ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời ||λR(λ, A)|| ≤ 1. (1.18) (c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ ∈ C mà Reλ > 0, ta có λ ∈ ρ(A) đồng thời 1 ||R(λ, A)|| ≤ . (1.19) Reλ Chứng minh. (a) ⇒ (c) đúng (theo Định lý 1.4 và Định lý 1.7). (c) ⇒ (b) hiển nhiên. (b) ⇒ (a) Chúng ta xét các xấp xỉ Yosida sau: An = nAR(n, A) = n2 R(n, A) − nI, (1.20) là các toán tử bị chặn, giao hoán với mỗi n ∈ N. Xét nửa nhóm liên tục đều cho bởi: Tn (t) = etAn , ∀t ≥ 0. (1.21) An hội tụ đến A theo từng điểm trên D(A). Khi đó ta có các tính chất sau: (i) T (t)x = lim Tn (t)x tồn tại với mỗi x ∈ X. n→∞ (ii) (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh trên X. (iii) Nửa nhóm này có toán tử sinh (A, D(A)). Ta chứng minh các tính chất này là đúng.Thật vậy: (i) Mỗi (Tn (t))t≥0 là một nửa nhóm co. Vì ≤ e−nt ent = 1, ∀t ≥ 0. 2 ||Tn (t)|| ≤ e−nt e||n R(n,A)||t Áp dụng định lý cơ bản của tích phân đối với hàm s 7→ Tm (t − s)Tn (s)x, 0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m, n ∈ N. Ta có: Zt d Tn (t)x − Tm (t)x = (Tm (t − s)Tn (s)x)ds ds 0 Zt = Tm (t − s)Tn (s)(An x − Am x)ds. 0 18