Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Abel tổng quát trên trục thực

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy Toán cao cấp của mình trong một trường đại học. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Abel tổng quát trên trục thực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015
Mục lục Mở đầu 2 1 Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann 3 1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Tính chất của tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Đổi biến và tính tích phân từng phần . . . . . . . . . 5 1.3.2 Tính liên tục H¨older của tích phân dạng Cauchy . . . 7 1.3.3 Công thức Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Giá trị biên của đạo hàm trong tích phân kỳ dị . . . . 17 1.3.5 Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị . . . . 18 1.4 Bài toán bờ Riemann trong miền đơn liên . . . . . . . . . . . 19 1.5 Bài toán bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.1 Chỉ số của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.2 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.3 Hàm chính tắc của bài toán thuần nhất . . . . . . . . 25 1.5.4 Bài toán bờ Riemann không thuần nhất . . . . . . . . 26 1.5.5 Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng . . . . . . . 29 1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng về bài toán bờ Riemann 34 1.6.2 Công thức nghiệm của phương trình đặc trưng . . . . 35 2 Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn 39 2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh bởi hàm số . . . . . 41 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng trên đoạn hữu hạn . . 43 i
2.3.1 Tích phân với nhân lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2 Phương trình tích phân Abel suy rộng . . . . . . . . . 44 2.3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực 50 3.1 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực . . . . . . . . . . 50 3.2 Phương trình Abel suy rộng trên trục thực với phản xạ . . . . 52 3.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Kết luận 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 ii
Mở đầu Lý thuyết các toán tử tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann của hàm giải tích biến phức đã được xây dựng và phát triển mạnh mẽ trong vòng nửa thế kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970. Các kết quả này gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Carleman. . . . Từ nhiều năm nay, chuyên đề về toán tử tích phân kỳ dị và gắn với nó là các bài toán bờ của lý thuyết hàm giải tích đã được đưa vào chương trình chính thống cho các sinh viên năm cuối bậc đại học, các học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích. Chính vì vậy, tác giả đã chọn đề tài "Phương trình tích phân Abel tổng quát trên trục thực." Đề tài nhằm một phần nào đáp ứng nhu cầu mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy Toán cao cấp của mình trong một trường đại học. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn, chỉ bảo và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa. Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học và sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, gia đình, bạn bè cùng toàn thể các học viên khóa 2013-1015 đã tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luận văn này. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann. Chương 2. Phương trình tích phân Abel trên đoạn hữu hạn. 1
Chương 3. Phương trình tích phân Abel trên toàn trục thực. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong quá trình nghiên cứu, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên kết quả đạt được trong luận văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp, chỉ bảo quý báu của quý thầy cô, các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Học viên thực hiện Vũ Thị Hồng Anh 2
Chương 1 Tính chất của tích phân kỳ dị và bài toán bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Phương trình tích phân là một phương trình mà trong đó hàm số chưa biết có xuất hiện dưới dấu tích phân. Ví dụ 1.1. Xét các phương trình tích phân Zx K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.1) a và Zx ϕ(x) + K(x, t)ϕ(t) dt = f (x). (1.2) a Phương trình (1.1) được gọi là phương trình tích phân loại 1, còn phương trình (1.2) được gọi là phương trình tích phân loại 2, trong đó K(x, t), f (x) là các hàm đã biết, ϕ(x)là hàm chưa biết. Hàm K(x, t) được gọi là nhân của phương trình tích phân. 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Phương trình tích phân kỳ dị là phương trình tích phân có nhân K(x, t) là hàm không bị chặn trên miền lấy tích phân. 3
Dựa vào tính chất không bị chặn của nhân, chúng ta có thể phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành 2 loại. Phương trình tích phân kỳ dị mạnh và phương trình tích phân kỳ dị yếu. Phương trình tích phân kỳ dị yếu là phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân Zb K(x, t) dt a tồn tại theo nghĩa Riemann, với mọi x ∈ (a, b). Phương trình tích phân kỳ dị mạnh là phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất là tồn tại x ∈ (a, b) sao cho Zb K(x, t) dt a không tồn tại theo nghĩa Riemann. L(x, t) Ví dụ 1.2. Nhân K(x, t) = , |x − t|α với L(x, t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) 6= 0 và α là hằng số (0 < α < 1). Khi đó tích phân Zb K(x, t) dt với a < x < b a tồn tại theo nghĩa Riemann. Do vậy tương ứng chúng ta có được phương trình tích phân kỳ dị yếu. Nhân K(x, t) = L(x, t). ln |x − t|, với L(x,t) là hàm liên tục trong hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) 6= 0. Khi đó phương trình tích phân Zb ϕ(x) + λ L(x, t). ln |x − t|.ϕ(t)dt = f (x) a là phương trình tích phân kỳ dị yếu. Nhân L(x, t) K(x, t) = với a < x < b, x−t 4
với L(x, t) là hàm khả vi và L(x, x) 6= 0. Khi đó nhân K(x, t) nhận điểm t = x là điểm kỳ dị mạnh. Do vậy phương trình tích phân tương ứng là phương trình tích phân kỳ dị mạnh. 1.3 Tính chất của tích phân kỳ dị 1.3.1 Đổi biến và tính tích phân từng phần Tích phân kỳ dị có một số tính chất hoàn toàn giống như đối với tích phân thông thường, đó là tích phân của một tổng luôn bằng một tổng các tích phân và hằng số nhân trong biểu thức tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân. Tiếp theo ta xét công thức đổi biến và cách tính tích phân từng phần. Khái niệm về giá trị chính của tích phân dạng Cauchy quan trọng ở chỗ là lân cận cần phải loại bỏ được chọn một cách đối xứng theo điểm khảo sát. ε1 Thực vậy, trong trường hợp ε1 = ε2 thì limε1 ,ε2 →0 = 1, và khi các điểm ε2 t1 , t2 nằm trên cùng đường tròn tâm t thì (|t2 − t| = |t1 − t|) và vì vậy
t2 − t
lim
=1 (1.3) t1 →t
t1 − t
t2 →t Định lý 1.1 (Quy tắc đổi biến). Khi hàm số τ = α(ζ) có đạo hàm liên tục α0 (ζ) không triệt tiêu và đồng thời là ánh xạ một - một từ chu tuyến Γ vào chu tuyến Γ0 , thì ϕ(τ ) ϕ[α(ζ)]α0 (ζ) Z Z dτ = dζ (1.4) τ −t α(ζ) − α(ξ) Γ Γ0 trong đó t = α(ξ) Chứng minh. Ta loại bỏ phần cung l0 đủ nhỏ của chu tuyến Γ0 thuộc đường tròn tâm tại điểm ξ. Giả sử ξ1 và ξ2 là các điểm đầu và cuối tương ứng với các điểm của chu tuyến Γ là t1 và t2 . Ta xác định giá trị chính của tích phân như sau: ϕ[α(ζ)]α0 (ζ) ϕ[α(ζ)]α0 (ζ) Z Z dζ = lim dζ α(ζ) − α(ξ) ξ1 ,ξ2 →ξ α(ζ) − α(ξ) Γ0 Γ0 −l0 Thực hiện phép đổi biến ζ = β(τ ), trong đó β(τ ) là hàm số ngược của α(ζ) (theo điều kiện của định lí hàm ngược thì tồn tại duy nhất), ta thấy vế 5
phải của hệ thức đưa về được biểu thức ϕ(τ ) Z lim dτ t1 ,t2 →t τ −t Lt Các điểm t1 và t2 là không đối xứng qua t trên Γ, tuy nhiên ta sẽ chỉ ra rằng chúng vẫn thỏa mãn điều kiện (1.3). Khai triển hàm số α(ζ) vào chuỗi Taylor tại điểm ζ đến số hạng thứ hai, ta nhận được t2 = α(ξ2 ) = t + [α0 (ξ) + ε2 (ξ2 , ξ)](ξ2 − ξ), t1 = α(ξ1 ) = t + [α0 (ξ) + ε1 (ξ1 , ξ)](ξ1 − ξ). Do đó, giả thiết về tính liên tục của α0 (ζ), thì ε1 và ε2 tiến tới zero kéo theo ξ1 , ξ2 → ξ. Do đó
t2 − t