Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Volterra

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực. Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterra khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình tích phân Volterra

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ THU HÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI, 2015
Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp 4 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Phương trình tích phân Volterra dạng chập và biến đổi Laplace 16 2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Phương trình Volterra trên nửa trục . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra 34 3.1 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Phương trình tích phân Abel loại một . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Phương trình tích phân Abel loại hai . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3 Phương trình tích phân dạng Abel . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4 Phương trình tích phân Abel với nhân tổng quát . . . . . . 38 3.2 Phương trình Volterra với các nhân đa thức hay phân thức hữu tỷ 39 3.2.1 Đạo hàm theo tham số trong tích phân xác định . . . . . 39 3.2.2 Nhân đa thức bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 Nhân đa thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.4 Nhân đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.5 Nhân lũy thừa bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.6 Nhân phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2
3.3 Phương trình Volterra với nhân căn thức hay lũy thừa phân . . . 47 3.3.1 Nhân căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Nhân lũy thừa phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 3
Lời cám ơn Lời đầu tiên, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy - TS Nguyễn Văn Ngọc đã tận tâm hướng dẫn, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tận tâm truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm cho tôi trong suốt khóa học. Xin cảm ơn Phòng Sau Đại học Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học. Cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới các đồng nghiệp, các bạn học viên cao học Giải Tích khóa 2013-2015 đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và thực hiện luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Lê Thị Thu Hà 1
Mở đầu Nhiều vấn đề trong toán học(phương trình vi phân với điều kiện biên hay điều kiện ban đầu, phương trình đạo hàm riêng), cơ học, vật lí và các ngành kĩ thuật khác dẫn đến những phương trình trong đó hàm chưa biết chứa dưới dấu tích phân. Những loại phương trình đó được gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ nghiệm, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hóa,... Lý thuyết tổng quát của các phương trình tích phân tuyến tính được xây dựng ở buổi giao thời của các thế kỉ XIX, XX, chủ yếu là ở trong các công trình của Volterra, Fredholm và Hilbert, v.v.. Phương trình tích phân tuyến tính có dạng Z b αu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, (1) a trong đó u(x) là hàm cần tìm (ẩn hàm), f(x) và K(x, y) là những hàm cho trước và tương ứng được gọi là vế phải và nhân (hạch) của phương trình đã cho, α là hằng số đã cho. Phương trình (1) được gọi là phương trình loại 1 hay loại 2, tùy thuộc vào α = 0, hay α 6= 0 tương ứng. Thông thường, trong trường hợp (a, b) là khoảng hữu hạn và K(x, y) là hàm liên tục hay khả tích trong hình chữ nhât (a, b) × (a, b) thì phương trình (1) được gọi là phương trình Predholm. Nếu trong phương trình (1), cận trên a, hay cận dưới b được thay bởi x, biến thiên trong một khoảng nào đó, thì phương trình được gọi là phương trình tích phân voltetrra. Như vậy, phương trình tích phân Volterra có dạng Z x λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, , (2) a Z b λu(x) + K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b. (3) x 2
Ở đây, có thể xảy ra trường hợp là b = +∞. Nếu K(x, y) có dạng K(x-y) thì phương trình tích phân được gọi là phương trình tích chập. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và học các phương pháp giải hình thức các phương trình tích phân Volterra. Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1 trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục . Chương 2 trình bày phép biến đổi tích phân Laplace và vận dụng phép biến đổi này giải phương trình tích phân Volterra dạng chập trên nửa trục thực. Chương 3 trình bày về nghiệm tường minh của một số phương trình tích phân dạng Volterra là phương trình tích phân Abel và một số phương trình Volterra khác. 3
Chương 1 Phương trình tích phân Volterra loại hai tổng quát và phương pháp xấp xỉ liên tiếp Chương này trình bày phương pháp xấp xỉ liên tiếp giải giải phương trình Volterra loại hai với vế phải và nhân là những hàm liên tục. Nội dung của chương này được hình thành chủ yếu từ tài liệu [3]. 1.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Xét phương trình tích phân Zx Φ(x) = f (x) + λ K(x, t)Φ(t)dt a trong đó số hạng tự do f (x) là hàm biến phức liên tục trên [a, b] và hạch K(x, t) có giá trị phức và liên tục trên tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x}. Ta luôn giả thiết rằng các hạch Volterra thỏa mãn điều kiện K(x, t) ≡ 0 nếu x < t và hạch biến mất trên đường chéo của hình vuông Q(a, b). Nếu λ = 0 thì Φ(x) = f (x) là nghiệm duy nhất cuả phương trình tích phân. Nếu |λ| đủ nhỏ để Φ(x) ≈ f (x) thì phần tự do là hàm xấp xỉ ban đầu Φ0 (x) với nghiệm của phương trình, đảm bảo rằng một nghiệm tồn tại. Nếu hàm xấp xỉ thứ nhất Φ1 (x) với Φ(t) được cho biết bằng việc thay thế Φ(t) bởi Φ0 (t) = f (t) trong tích phân ta được Zx Φ1 (x) = f (x) + λ K(x, t)Φ0 (t)dt a 4
Nếu tích phân Zx K(x, t)Φ0 (t)dt = 0 a thì Φ1 (x) = f (x) = Φ0 (x) và quá trình lặp đi lặp lại kết thúc ở đây. Điều đó chỉ ra rằng sự ngẫu nhiên có thể xảy ra, xét phương trình Zx Φ(x) = x + λ (2x − 3t)Φ(t)dt 0 Nếu ta chọn Φ0 (x) = f (x) = x thì Zx Zx x
2xt − 3t2 dt = xt2 − t3
0 = 0 (2x − 3t) tdt = 0 0 Do đó Φ1 (x) = f (x) = x = Φ(x) với mọi giá trị của λ Nếu Φ1 (x) 6= Φ0 (x) = f (x) thì thay thế Φ1 (x) bởi lượng xấp xỉ thứ hai Zx Φ2 (x) = f (x) + λ K(x, t)Φ1 (t)dt a Tiếp tục quá trình trên cho ta được lượng xấp xỉ thứ n Zx Φn (x) = f (x) + λ K(x, t)Φn−1 dt a luôn giả sử rằng tích phân không biến mất ở mọi bước. Nếu tích phân mất đi thì Φn (x) = f (x) = Φ0 (x) và quá trình lặp này sai. Mỗi xấp xỉ Φn (x)} có một dạng thay thế. Nếu thay xấp xỉ thứ nhất vào xấp xỉ thứ hai ta được   Zx Zt Φ2 (x) = f (x) + λ K(x, t) f (t) + λ K(t, s)f (s)ds dt a a Zx Zx Z t 2 = f (x) + λ K(x, t)f (t)dt + λ K(x, t)K(t, s)f (s)dsdt a a a Zx Zx = f (x) + λ K(x, t)f (t)dt + λ2 K2 (x, t)f (t)dt a a 5
Trong đó ta đặt Zx K2 (x, t) = K(x, s)K(s, t)ds t Chú ý rằng hạch lặp K2 (x, t) ≡ 0 nếu x < t. Điều này dẫn tới K(x, s) ≡ 0 khi x < s và K(s, t) ≡ 0 khi s < t. Từ những s khoảng trùng lên nhau khi x < t, nó chỉ ra rằng tích phân chỉ khác 0 khi t ≤ s ≤ x Thêm vào đó việc lặp lại dẫn tới dạng tổng quát  x  n X Z Φn (x) = f (x) + λm  Km (x, t)f (t)dt (1.1) m=1 a Trong đó với mỗi m = 1, 2, ..., ta đặt Zx Km (x, t) = Km−1 (x, s)K(s, t)ds t Mở đầu mỗi hạch lặp thỏa mãn điều kiện Km (x, t) ≡ 0 nếu x < t Dãy {Φn (x)} của các xấp xỉ liên tục hội tụ tuyệt đối và đều trên [a, b]. Từ đó ta giả sử rằng K(x, t) liên tục trên tam giác đóng T (a, b) và K(x, t) ≡ 0 nếu x < t, tồn tại số M sao cho |K(x, t)| ≤ M trên hình vuông Q(a, b). Do đó
x
Z
2
|K2 (x, t)| ≤ M
ds