Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> ------------<br /> <br /> NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO<br /> <br /> TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN<br /> STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2016<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> ————————–o0o————————–<br /> <br /> NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO<br /> <br /> TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN<br /> STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG<br /> Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học<br /> Mã số:<br /> <br /> 60460106<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS. TS. TRẦN HÙNG THAO<br /> <br /> HÀ NỘI - 2016<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> <br /> Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng quý thầy cô, cán bộ<br /> công nhân viên tại trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội nói<br /> chung, và các thầy cô thuộc bộ môn Xác suất- Thống kê nói riêng đã tận tình giảng<br /> dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại trường cũng như trong<br /> thời gian thực hiện luận văn này.<br /> Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS. TS. Trần<br /> Hùng Thao, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về chuyên môn, kinh nghiệm để<br /> hoàn thành luận văn này.<br /> Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị cùng các đồng nghiệp<br /> đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này.<br /> Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn hạn chế nên<br /> luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý thầy<br /> cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!<br /> Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016<br /> Học viên<br /> <br /> Nguyễn Thị Phương Thảo<br /> <br /> Mục lục<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 2<br /> <br /> Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên với các số gia độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.1.3. Mactingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.1.4. Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 9<br /> <br /> 1.1.5. Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 10<br /> <br /> 1.1.6. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 10<br /> <br /> 1.1.7. Quá trình lặp lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 10<br /> <br /> 1.1.8. Quá trình điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 11<br /> <br /> 1.2. Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> <br /> 1.2.1. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> <br /> 1.2.2. Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 14<br /> <br /> 1.3. Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 15<br /> <br /> 1.3.1. Tích phân Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 15<br /> <br /> 1.3.2. Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1.3.3. Tính chất của tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 18<br /> <br /> 1.3.4. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 19<br /> <br /> 1.3.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 19<br /> <br /> Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 21<br /> <br /> 2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 21<br /> <br /> 2.2. Liên hệ với tích phân Itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 23<br /> <br /> 2.2.1. Biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 23<br /> <br /> 2.2.2. Công thức liên hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 24<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2.3. Mở rộng tích phân Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 27<br /> <br /> 2.3.1. λ −tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 27<br /> <br /> 2.3.2. Tích phân kiểu Stratonovich đối với một semi-mactingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 29<br /> <br /> Chương 3. Ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 32<br /> <br /> 3.1. Ứng dụng trong phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 32<br /> <br /> 3.1.1. Chuyển đổi giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich<br /> <br /> 32<br /> <br /> 3.1.2. Một số phương trình Itô giải được bằng cách chuyển sang phương trình Stratonovich. . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 38<br /> <br /> 3.2. Ứng dụng trong lý thuyết lọc ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 45<br /> <br /> Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 46<br /> <br /> Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 47<br /> <br /> Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 48<br /> <br /> 3<br /> <br />