Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tiếp cận một số bài toán hình học sơ cấp bằng hình học xạ ảnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> NGUYỄN VĂN SƠN<br /> <br /> TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP<br /> BẰNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học:<br /> PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG<br /> <br /> Hà nội - 2017<br /> <br /> Mục lục<br /> 1 Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh phẳng<br /> 1.1 Sơ lược nội dung và phương pháp của hình học xạ ảnh . .<br /> 1.1.1 Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng . . . . . .<br /> 1.1.2 Phương pháp nghiên cứu hơnh học xạ ảnh . . . . . . . .<br /> 1.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất . . . . .<br /> 1.2.1 Tỉ số kép của bốn phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chứm đường<br /> thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.3 Nghiên cứu ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất<br /> bằng tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.4 Phép biến đêi xạ ảnh trên một dạng cấp một, bậc nhất .<br /> 1.3 Các đường cong bậc hai và lớp bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3.1 Một số đành lờ cơ bản liên quan đến đường cong bậc hai,<br /> lớp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3.2 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai, lớp hai .<br /> 1.4 Ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp hai . . . . . . . . . . .<br /> 1.4.1 Phép cộng tuyến giữa hai trường điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4.2 Tọa độ xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4.3 Bổ sung phần tử ả o vào mặt phẳng xạ ả nh thực . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4.4 Phép đối x ạ, nguyên tắc đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4.5 Cực và đối cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2<br /> <br /> Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 5<br /> 5<br /> 5<br /> 6<br /> 7<br /> 9<br /> 10<br /> 10<br /> 11<br /> 15<br /> 15<br /> 15<br /> 17<br /> 17<br /> 18<br /> 19<br /> <br /> 19<br /> 2.1 Một số bài toán chứng minh đồng quy song song, thẳng hàng<br /> 2.2 Một số bài toán chứng minhđại lượng không đổi hoặc chứng minh<br /> đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 30<br /> 2.3 Bài toán chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.<br /> 2.4 Bài toán quỹ tích và hình bao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.5 Một số bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1<br /> <br /> 42<br /> 45<br /> 51<br /> <br /> 2.6 Một số tính chất Euclide đặc trưng của phép biến đổi xạ ảnh eliptic<br /> trên đường thẳng và đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.7 Một số cách tiếp cận và mở rộng hình học xạ ảnh . . . . .<br /> 2.7.1 Dùng hình học afin để nghiên cứu hình học Euclid . . . .<br /> 2.8. Dùng hình học afin và hình học Euclide . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.8.1 Giải một số bài toán của hình học xạ ảnh. . . . . . . . . . . .<br /> 2.8.2 Phát hiện sự kiện mới của hình học xạ ảnh. . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.9 Mở rộng định lý Steiner và định lý Fre'gier. . . . . . . . . . . . . . .<br /> Kết luận<br /> Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 2<br /> <br /> 56<br /> 59<br /> 59<br /> 68<br /> 68<br /> 70<br /> 77<br /> 83<br /> 84<br /> <br /> Mở đầu<br /> Hình học xạ ảnh là môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều<br /> định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản<br /> dưới góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu<br /> hiệu trong việc nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh năng khiếu về hình học ở<br /> trường phổ thông.<br /> Mục đích của luận văn này là trình bày một số khái niệm trong mặt phẳng xạ ảnh<br /> ảnh của mặt phẳng afin, Euclide và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để định<br /> hướng cho lời giải sơ cấp của các bài toán hình học.<br /> Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:<br /> Chương 1. Cơ sở lí thuyết hình học xạ ảnh phẳng.<br /> Trong chương này, tác giả trình bày tóm lược các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ<br /> ảnh và các khái niệm xạ ảnh nghịch đảo, xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc nhất và<br /> bậc hai, ánh xạ xạ ảnh giữa hai dạng cấp một bậc hai. Ngoài ra để khai thác được<br /> nhiều ứng dụng của hình học xạ ảnh, tác giả sử dụng mô hình xạ ảnh afin, Euclide có<br /> bổ sung các phần tử vô tận.<br /> Chương 2. Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.<br /> Đây là chương chính của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và<br /> mô hình của mặt phẳng xạ ảnh afin, Euclide vào việc chứng minh một số định lý và<br /> giải bài toán hình học sơ cấp thông qua các ví dụ được chọn và phân loại thành những<br /> dạng toán khác nhau, mục này cũng đề xuất và chứng minh một tính chất đặc trưng<br /> của phép biến đổi xạ ảnh eliptic trên đường thẳng và trên đường tròn. Phần cuối của<br /> chương trình bày mở rộng định lí Steiner, Fre'gier .<br /> Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tận tình của PGS.TS<br /> Vũ Đỗ Long. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy về sự<br /> giúp đỡ quý báu này. Nhân đây tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới<br /> thầy Nguyễn Vũ Lương, Đỗ Thanh Sơn đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trong quá<br /> trình thực hiện luận văn này.<br /> Mặc dù bản thân đã có cố gắng nhiều trong quá trình thực hiện nhưng luận văn<br /> không thể trách khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo, góp ý của các quý<br /> thầy cô và các bạn đồng nghiệp.<br /> Xin chân trọng cảm ơn.<br /> Hà Nội, tháng 1 năm 2017<br /> Người viết luận văn: Nguyễn Văn Sơn<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương 1<br /> Một số kiến thức cơ bản của hình học<br /> xạ ảnh phẳng<br /> 1.1<br /> <br /> Sơ lược nội dung và phương pháp của hình<br /> học xạ ảnh<br /> <br /> Hình học xạ ảnh chuyên nghiên cứu các tính chất xạ ảnh của các hình, tức<br /> là các tính chất bất biến qua phép chiếu xuyên tâm (xem mục 1.2.2), chẳng hạn<br /> như tương quan đồng quy, thẳng hàng, tính chất chia điều hòa, tính suy biến<br /> hay không suy biến của đường bậc hai, ... Các khái niệm được xét trong các<br /> định lí của hình học xạ ảnh cũng đều là những khái niệm xạ ảnh, chẳng hạn<br /> như điểm, đường thẳng, tam giác, tứ giác toàn phần, đường cong bậc hai, tỉ số<br /> kép, ... Trong hình học xạ ảnh, người ta thường nghiên cứu những ánh xạ từ<br /> một tập hợp đối tượng (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) này sang một tập hợp<br /> đối tượng khác. Các tập hợp đối tượng đó được gọi là những dạng.<br /> <br /> 1.1.1<br /> <br /> Một số dạng hình học cơ bản trong mặt phẳng<br /> <br /> 1. Các dạng cấp một bậc nhất<br /> Định nghĩa 1.1.1. Hàng điểm thẳng là tập hợp tất cả các điểm cùng thuộc một<br /> đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là giá của hàng điểm. Mỗi giá có thể<br /> chứa nhiều hàng điểm khác nhau.<br /> Định nghĩa 1.1.2. Chùm đường thẳng là tập hợp tất cả các đường thẳng trong<br /> mặt phẳng và cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là giá (hay tâm) của<br /> chùm. Mỗi giá có thể chứa nhiều chùm đường thẳng khác nhau.<br /> 2. Các dạng cấp hai<br /> 4<br /> <br />