Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết

Chia sẻ: Tri Tâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài gồm 3 chương giới thiệu một số khái niệm cơ bản và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh; trình bày bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút, bao gồm phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán, phương pháp chọn bước lưới thích nghi, phương pháp sai phân hiệu chỉnh để giải bài toán; trình bày về áp dụng của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điếm mút vào dự báo đường huyết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết

1 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 CHƯƠNG I: KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH ............. 4 1.1. Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh ........................................... 4 1.2. Ví dụ về bài toán không chỉnh .................................................................. 5 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH ....................... 10 2.1.Bài toán tính gần đúng đạo hàm .............................................................. 10 2.2.Phương pháp chọn bước lưới thích nghi ................................................ 10 2.3. Phương pháp sai phân hiệu chỉnh để tính gần đúng đạo hàm một phía tại điểm mút khi dữ liệu có nhiễu ................................................................. 13 CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH ĐỂ DỰ BÁO ĐƯỜNG HUYẾT ........................................................................... 25 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 33
2 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn,chỉ bảo tận tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy.Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp thắc mắc của tôi. Thầy đã giúp đỡ tôi bổ sung nhiều về kiến thức, khả năng nghiên cứu,chọn lọc và tổng hợp các tài liệu để hoàn thành luận văn.Tôi xin kính chúc thầy và gia đình mạnh khỏe, hạnh phúc. Qua đây, tôi xin gửi tới các Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học Toán 2012 - 2014 tại trường Đại Học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học lời cảm ơn sâu sắc nhất - Các Thầy, Cô đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bố ích không chỉ về chuyên môn mà còn cả trong cuộc sống. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn này. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi.Những người đã động viên, chăm sóc và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có được thành quả ngày hôm nay. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014 Người thực hiện Nguyễn Hải Đăng
3 LỜI MỞ ĐẦU Có rất nhiều vấn đề trong khoa học cũng như trong cuộc sống thực tế dẫn tới các bài toán đặt không chỉnh, như xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, thăm dò tài nguyên bằng phương pháp đo trọng lực, chụp ảnh cắt lớp bằng máy tính, vv... Bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm sổ tại điểm mút là một bài toán đặt không chỉnh. Giải quyết bài toán này và ứng dụng của nó trong dự báo đường huyết có ý nghĩa quan trọng trong việc điều trị bệnh tiểu đường. Điều này thúc đẩy tôi tìm hiểu và nghiên cứu về ứng dụng của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút và áp dụng vào dự báo đường huyết. Trong luận văn này, tôi xin trình bày những kết quả lý thuyết của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút và ứng dụng trong dự báo đường huyết của nó theo bài báo V. Naumova, s.v. Pereverzyev, and s. Sivananthan, Adaptive parameter choice for one-sided íĩnite difference schemes and its application in diabetes technology, Journal of Complexity, 28(2012) 524-538. Nội dung luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh. Chương 2 trình bày bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút, bao gồm phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán, phương pháp chọn bước lưới thích nghi, phương pháp sai phân hiệu chỉnh để giải bài toán. Chương 3 trình bày về áp dụng của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điếm mút vào dự báo đường huyết. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các Thầy, Cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn này được hoàn thiện.
4 CHƯƠNG I: KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH 1.1. Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh Năm 1932 J.H’adamard đưa ra khái niệm bài toán đặt chỉnh khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic hoặc parabolic. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y từ phương trình A (x) = f , (1.1) trong đó A là toán tử đưa không gian metric X vào không gian metric Y, được gọi là bài toán chỉnh the H’Adamard nếu có: 1. Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X . 2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất. 3. Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện f và A. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán (1.1) được gọi là bài toán không chỉnh (còn gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn). Cần lưu ý rằng một bài toán có thể đặt không chỉnh trên một cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên một cặp không gian metric khác. Để đơn giản, sau đây ta luôn giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi fδ với sai số ρY ( fδ , f ) ≤ δ . Như vậy, với ( fδ ,δ ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến x0 là nghiệm chính xác của (1.1) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh nói trên. Nếu ta kí hiệu: Qδ = { x ∈ X : ρY ( A( x), fδ ) ≤ δ } thì nghiệm đúng của phương trình trên phải nằm trong tập Qδ . Nhưng tập Qδ này còn quá rộng, vì vậy, không phải mọi phần tử của Qδ đều có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (1.1) được. Bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.4). Để thực hiện được điều này ta cần có thêm thông
5 tin về nghiệm chính xác x0 . Việc sử dụng thông tin định tính về nghiệm (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm,vv...) cho ta một hướng khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh (1.1). 1.2. Ví dụ về bài toán không chỉnh 1. Bài toán tính gần đúng đạo hàm. Giả sử hàm y = f ( x) có đạo hàm. Ta cần tính đạo hàm bằng số f ( x + h) − f ( x ) f '( x) = lim h→ 0 h tại điểm x . Trong thực tế nhiều khi ta không biết chính xác hàm f mà chỉ biết xấp xỉ của nó là fδ. Vấn đề này ta sẽ bàn kỹ ở mục sau. Ở đây ta giả sử hàm f đã cho chính xác. Bằng cách chọn dãy {hk } sao cho hk → 0 khi k → ∞ và tính tỷ sai phân. f ( x + hk ) − f ( x) Dk = , k = 0,1,..., N . hk Khi đó, ta có thể nghĩ rằng với N đủ lớn, tức hN đủ nhỏ, DN sẽ là xấp xỉ tốt của f '( x) . Vậy thì với hN nhỏ bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp xỉ tốt. Liệu hN càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta xét ví dụ sau. Cho hàm số f ( x) = exp( x) , tính đạo hàm f '(1) với hk = 10− k ta có bảng kết quả fk − e k hk f k = f (1 + hk ) fk − e Dk = hk 1 0.1 3.0041660 0.285884196 2.858841560 2 0.01 2.7456011 0.027319187 2.731918700 3 10-3 2.7210014 0.002719642 2.719642000 4 10-4 2.7185536 0.000271842 2.7184200000 5 10-5 2.7183090 0.000027183 2.718300000 6 10-6 2.7182845 0.000002719 2.719000000 7 10-7 2.7182827 0.000000272 2.720000000 8 10-8 2.7182818 0.000000028 2.800000000
6 9 10-9 2.7182818 0.000000002 3.000000000 10 10-10 2.7182818 0.000000000 0.000000000 Bảng trên cho ta thấy nếu k = 10 , thì Dk = 0 . Trong khi đó f '(1) ≈ 2.718282 . Như vậy khi k = 5 tỷ sai phân cho ta xấp xỉ tốt hơn cả. Điều đó nói lên rằng Dk tiến gần tới f '( x) ở một thời khắc nào đó sau lại rời xa nó. Cũng ở ví dụ trên ta thấy 0.0007 = D6 − D5 ≥ D5 − D4 = 0.00012 . Quan sát này gợi ý cho ta nên tính Dk đến lúc DN +1 − DN ≥ DN − DN −1 thì thôi. 2. Phương trình tích phân Fredholm loại I b ∫ K (t , s)ϕ (s)ds = a f 0 (t ), t ∈ [ c, d ] (1.2) Ở đây nghiệm là một hàm ϕ ( s) , vế phải f 0 (t ) là một hàm số cho trước và nhân tích phân K (t , s) cùng với ∂K / ∂t được giả thiết là các hàm liên tục. Ta tìm nghiệm ϕ ( s) trong lớp các hàm liên tục trên [ a, b] với khoảng cách (còn được gọi là độ lệch) giữa hai hàm ϕ1 và ϕ 2 là ρC[a ,b] (ϕ1 ,ϕ 2 ) = max ϕ1 ( s ) − ϕ2 ( s ) . s∈[ a ,b] Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2 [ c, d ] , tức là khoảng cách giữa hai hàm f1 (t ) và f 2 (t ) trong L2 [ c, d ] được biểu thị bởi đại lượng 1/ 2 d 2  ρ L [c,d] ( f1 , f 2 ) =  ∫ f1 (t ) − f 2 (t ) dt  c  2 Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm ϕ0 ( s ) . Khi đó với vế phải b f1 (t ) = f 0 (t ) + N ∫ K (t , s)sin(ws) ds, a phương trình (1.1) có nghiệm ϕ1 ( s ) = ϕ0 ( s ) + N sin(ws). Với N bất kỳ nhưng cố định và w đủ lớn, thì khoảng cách giữa hai hàm f 0 và f i trong L2 [ c, d ]
7 1/ 2  d  b   2 ρ L [c,d] ( f 0 , f1 ) = N  ∫  ∫ K (t , s)sin(ws) ds  dt   c  a   2 có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt K max = max K (t , s ) , s∈[ a ,b ],t∈[ c , d ] ta tính được 1/ 2  d  1 b 2  ρ L [c,d] ( f 0 , f1 ) ≤ N  ∫  K max cos(ws) a  dt   c  w   2 N K max c0 ≤ , w ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và w lớn tuỳ ý, nhưng N / w lại nhỏ. Khi đó, ρC [a, b] (ϕ0 ,ϕ1 ) = max ϕ0 ( s ) − ϕ1 ( s) = N s∈[a,b] có thể lớn bất kỳ. Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong L2 [a, b] cũng có thể lớn bất kỳ. Thật vậy, 1/ 2 1/ 2 b 2  b  ρ L 2[a,b] (ϕ0 ,ϕ1 ) =  ∫ ϕ0 ( s) − ϕ1 ( s ) ds  = N  ∫ sin 2 (ws) ds  a  a  b−a 1 = N − sin(w (b - a) cos (w (b+a)) . 2 2w Dễ dàng nhận thấy hai số N và w có thể chọn sao cho ρ L 2[c, d] ( f 0 , f1 ) rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ρ L 2[a, b] (ϕ0 ,ϕ1 ) rất lớn. 3. Bài toán tính tổng Fourier ∞ f1 (t ) = ∑ an cos(nt ), n=0 với hệ số (a0, a1, ..., an...) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + ε / n, n ≥ 1 và c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ f 2 (t ) = ∑ cn cos(nt ) n =0
8 cũng có hệ số (c0 , c1 ,..., cn ,...) ∈ l2 . Khoảng cách giữa chúng là 1/ 2 1/ 2 ∞ 1 π2 {∑ (c − a ) } ∞ ε1 = 2 = ε ∑ 2  = ε  n=1 n  n n n =0 6 Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có thể lấy nhỏ tuỳ ý. Trong khi đó, hiệu ∞ 1 f 2 (t ) − f1 (t ) = ε ∑ cos(nt ) n =1 n có thể lớn tùy ý. Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kỳ. Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f 2 được xét trong không gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi. Tuy nhiên, nếu xét trong không gian L2 [ 0,π ] , thì 1/ 2 π ∞  1/ 2 π  2  ∫ [ f 2 (t ) − f1 (t )] dt  =  ∫ ∑ (cn − an )cos(nt ) dt  2 0   0 n=1  1/ 2 ∞ π  π = ∑ (cn − an ) 2  = ε1 .  n=1 2  2 Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ kiện ban đầu an cho bởi xấp xỉ cn với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau không nhiều trong L2 [0, π ] . 4. Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2u ∂ 2u + = 0, (1.2) ∂x 2 ∂y 2 ∂u u ( x,0) = f ( x), = ϕ ( x), −∞ < x < ∞, (1.3) ∂y y =0 ở đây f ( x) và ϕ ( x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f ( x) = f1 ( x) ≡ 0 và 1 ϕ ( x) = ϕ1 ( x) = sin( ax) , thì nghiệm của bài toán trên là a 1 u1 ( x, y ) = sin(ax) sh(ay ), a > 0. a2
9 Nếu lấy f ( x) = f 2 ( x) = ϕ ( x) = ϕ 2 ( x) ≡ 0 , thì nghiệm của bài toán (1.2) - (1.3) là u2 ( x, y ) ≡ 0 . Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét trong độ đo đều ta có ρC ( f1 , f 2 ) = sup f1 ( x ) − f 2 ( x) = 0, x 1 ρC (ϕ1 ,ϕ 2 ) = sup ϕ1 ( x) − ϕ2 ( x) = . x a Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ 2 lại khá nhỏ. Trong khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm ρC (u1 , u2 ) = sup u1 ( x, y ) − u2 ( x, y ) ( x, y ) 1 1 = sup 2 sin(ax) sh(ay ) = 2 sh(ay ), ( x, y ) a a với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán đặt không chỉnh. Những ví dụ trên dẫn đến một lớp bài toán rất quan trọng trong lĩnh vực tính toán. Đó là lớp các bài toán đặt không chỉnh. Để trình bày một số khái niệm và kết quả về bài toán đặt không chỉnh, trong mục tiếp theo, chúng tôi xin nhắc lại một số kiến thức của Giải tích hàm.
10 CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH 2.1.Bài toán tính gần đúng đạo hàm Chúng ta nghiên cứu bài toán tính gần đúng đạo hàm y’(B) của hàm y(t) tại điểm biên của khoảng [b, B] với giả thiết là tại các mốc cho trước B = tN > tN −1 > · · · > t1 ≥ b , (1) ta chỉ biết các giá trị nhiễu yδ (tj ) của y(tj), sao cho y (t1 ) − yδ (t j ) ≤ δ . (2) Như trong Chương I đã trình bày, bài toán tính gần đúng đạo hàm là đặt không chỉnh. Do đó, để tính ổn đinh đạo hàm của một hàm số, ta cần sử dụng các phương pháp hiệu chỉnh (hay còn gọi là các phương pháp chỉnh hóa) Để tính y′ (τ ) tại một điểm trong τ ∈ (b, B) ta có thể sử dụng công thức sai phân hữu hạn như một phương pháp chỉnh hóa n a nj y '(τ ) ≈ Sn ,h yδ (τ ) = ∑ j =− n h yδ (τ + jh) (3) Trong đó độ dài bước h được dùng làm tham số chỉnh hóa. Trong cách tiếp cận này, ta giả thiết rằng bước h lưới có thể được chọn tự do tùy thuộc vào mức nhiễu δ. Tuy nhiên cách tiếp cận như vậy không phù hợp cho nhiều bài toán thực tế, bởi lẽ các mốc (1) cho trước và không thể chọn tùy ý. Ví dụ, trong bài toán dự báo đường huyết, các mốc trên là thời điểm lấy mẫu máu của bệnh nhân. Hơn nữa, công thức (3) không thể dùng để tính giá trị đạo hàm tại điểm biên - là mục tiêu chính của bản luận văn này. 2.2.Phương pháp chọn bước lưới thích nghi Với mục tiêu như vậy, chúng ta nghiên cứu một phương pháp khác cho phép tìm gần đúng đạo hàm bằng công thức sai phân hữu hạn một phía. Giả sử rằng dãy (1) được tạo bởi các điểm của một số lưới đều với độ dài bước lưới h1 > h2 > · · · > hν, trong đó
11 v N s −1 N {tk }k =1 = ∪{t j .s } j =0 (4) s =1 B −b với t j .s = B − jhs . j = 0,1.....N s − 1.N s =   , và [a] biểu thị phần h  s  nguyên của a. Khi đó nếu ta có lưới với độ dài bước hs, thì ta cũng có thể sử dụng các lưới có độ dài bước hi = ihs , i = 1, 2, . . . , Khi đó công thức sai phân hữu hạn một phía dùng để tính y′ (B) có thể viết dưới dạng n a nj y '( B) ≈ Sa.h .γ δ = ∑ yδ ( B − jhs ), n ≤ Ns. (5) j = 0 hs s Trên quan điểm lý thuyết độ phức tạp thông tin (Information-Based Complexity, viết tắt là IBC) thì tập hợp các công thức (5) với một dãy cố định n các hệ số {a nj } j =0 Ns n=1 có thể xem như một họ các thuật toán mà chi phí tính toán n tăng tỷ lệ thuận với lượng (n + 1) thông tin { y (t j .s )} j =0 được sử dụng, hoặc ít nhất cùng bậc O(n). Tuy nhiên, những thuật toán này làm việc với thông tin có nhiễu { yδ (t j .s )} j =0 , n = 1,2....N . Hơn nữa phiếm hàm Sy := y′ (B) không bị chặn n trong không gian các hàm liên tục C [0, 1]. Do tính không bị chặn này, bài toán tính gần đúng đạo hàm là đặt không chỉnh và không thể xử lý được trong khuôn khổ lý thuyết IBC. Trái ngược với những bài toán đặt chỉnh với thông tin nhiễu, trong trường hợp đang xét sự tăng không kiểm soát của bậc n trong (5) không chỉ dẫn tới những chi phí tính toán không cần thiết mà còn làm khuếch đại của sai số lan truyền nhiễu (xem Ví dụ 1dưới đây). Do đó, mục tiêu là dùng giá trị n làm tham số chỉnh hóa để tìm trong số các thuật toán (5) một thuật toán mà sai số lan truyền nhiễu được cân bằng với sai số xấp xỉ Sy tại y từ thông tin không nhiễu tương ứng. Sai số xấp xỉ thường giảm khi lượng thông tin (n + 1) tăng. Tuy nhiên, không phải lúc nào bài toán được xem xét cũng rơi vào trường hợp này (xem Nhận xét 1 và minh họa của Giả thiết 3 với Hình 1 và 2). Điều này
12 phần nào giải thích sự khác biệt giữa những kết quả trình bày trong luận văn với một số kết quả đã có trong các tài liệu về tính gần đúng đạo hàm. δ Hình 1. Hàm số φ (n) (đường nét liền) và Ψ (n) (đường nét đứt) cho hs hs = 10−1 , δ = 10−4 và y ∈ C 3 (bảng trên) và y ∈ C 4 bảng dưới) Do đó, nếu độ dài bước hs trong công thức (5) không thể chọn tùy ý, thì công thức sai phân hữu hạn bậc cao có thể kém hiệu quả nếu như bậc n không phụ thuộc vào mức sai số δ và bước lưới hs. Vấn đề này rất quan trọng trong thực tế, khi kết quả của phép tính đạo hàm bằng số kém chính xác có thể dẫn tới những hệ lụy nguy hiểm. Ví dụ, từ Bảng 10 và 11 trình bày ở cuối luận văn, có thể thấy rằng việc sử dụng công thức tính đạo hàm bằng số với độ dài bước tốt nhất và một bậc cao nhất, cố định trước, làm gia tăng đáng kể phần trăm dự báo sai lượng đường trong máu (BG = blood glucose) của bệnh nhân tiểu đường so với công thức sử dụng tham số n thích hợp. Trong bản khóa luận này, chúng ta sẽ trình bày một cách tiếp cận mới
13 chọn tham số tối ưu n dựa trên nguyên lý cân bằng 2.3. Phương pháp sai phân hiệu chỉnh để tính gần đúng đạo hàm một phía tại điểm mút khi dữ liệu có nhiễu Bây giờ chúng ta trở lại với việc phân tích bài toán tính gần đúng đạo hàm tại điểm biên B. Cho y : [b, B] → R là một hàm khả vi liên tục r- lần, với r ≥ 2. Sai số giữa y′ (B) và đại lượng tính theo (5) có thể ước lượng như sau y '( B) − Sn ,h , yδ ≤ y '( B) − Sn ,hs y + Sn ,h , y − Sn ,h , yδ . s s s (6) δ Hình 2. Hàm số φ (n) (đường nét liền) và Ψ (n) (đường nét đứt) cho hs hs = 10−1 , δ = 10−4 và y ∈ C 5 (bảng trên) và y ∈ C 6 bảng dưới) Trong đó số hạng đầu ở vế phải là sai số xấp xỉ, còn số hạng thứ hai là sai số lan truyền nhiễu. Đối với số hạng thứ hai chúng ta có đánh giá δ S n,h , y − Sn ,h yδ ≤ ψ (n) (7) s s hs ở đây ψ (n) = ∑ j =0 a nj , và với n = 0, ta đặt ψ (0) = 0 . Chú ý rằng theo giả n
14 thiết (2) ước lượng (7) không thể cải thiện hơn được. Để ý rằng công thức nào có dạng (5) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục Sn,h trong không gian các hàm liên tục C[0, 1] với chuẩn ψ ( n) Ns S n ,h = s hs . Mục đích của chúng ta là dùng một tập hợp {S } n , hs n =1 các phiếm hàm như vậy để xấp xỉ phiếm hàm không bị chặn Sy = y’ (B). Do đó, Ns để đảm bảo một xấp xỉ tốt, các phiếm hàm được chọn từ tập hợp {Sn ,h }n=1 không s bị chặn đều. Trong nhiều tài liệu, công thức dạng (5) được xét với giả thiết ∥Sn,hs ∥ tăng khi n tăng. Do đó, với mỗi hs cố định, chúng ta cần một số giả thiết sau về hàm ψ (n). Giả thiết 1. Hàm ψ (n) là một hàm tăng theo n. Ví dụ sau minh họa cho giả thiết này. Ví dụ 1. Theo (9) chúng ta xét công thức đạo hàm một phía dạng (5) với hệ số cho trong Bảng 1. Chú ý rằng nếu y(t) là một đa thức đại số bậc n trên đoạn [b, B], khi đó ta có y′ (B) = Sn,hs y, trong đó công thức Sn,hs với hệ số từ Bảng 1. Sau đây ta sẽ sử dụng những công thức này để tiến hành thử nghiệm số, bởi vì trong các ứng dụng thực tiễn hiếm khi sử dụng các công thức có bậc cao hơn. Nguyên nhân có thể thấy được trong kiểm tra bằng số với hàm (21) dưới đây. Từ Bảng 4 cho thấy với một số độ dài bước (ví dụ h = 0.056, h = 0.039) việc dùng công thức bậc cao hơn thậm chí cho các hàm giải tích có thể dẫn đến sự giảm bậc của độ chính xác. Hệ quả tương tự có thể thấy ở các hàm có độ trơn hữu hạn (xem ví dụ Bảng 5).
15 Bảng 1 Các hệ số của công thức một phía dạng (5). n a0n a1n a2n a3n a4n a5n a6n 1 1 -1 3 1 2 -2 2 2 11 3 1 3 -3 − 6 2 3 25 4 1 4 -4 3 − 12 3 4 137 10 5 1 5 -5 5 − − 60 3 4 5 49 15 20 15 6 1 6 -6 − − 20 2 3 4 5 6 Bảng 2 Các giá trị của hàm ψ (n) với n tương ứng. n 1 2 3 4 5 6 ψ ( n) 2 4 6.67 10.67 17.07 27.73 Với công thức có hệ số nằm trong Bảng 1, các giá trị của hàm ψ (n) được cho trong Bảng 2. Rõ ràng là các công thức một phía với hệ số ở Bảng 1 thỏa mãn Giả thiết 1. M Giả sử chúng ta được cho một tập hợp hữu hạn N = {n1} j =1 các bậc có thể của công thức (5). Chú ý rằng với các công thức từ Ví dụ 1 chúng ta có N= {1, 2, …, 6}. Sau đó, đối với bước lưới cố định hs, tập hợp tương ứng các giá trị xấp xỉ của đạo hàm y′ (B) là M {S n1 , hs yδ }i =1 . Tiếp theo chúng ta sẽ phân tích cách chọn n ∈ N để có được một xấp xỉ
16 tốt của đạo hàm y′ (B) từ tập hợp {S n ,h yδ }i =1 . Ở đây, chúng ta đề xuất một chiến M 1 s lược chọn sai khác một thừa số hằng số với sai số tốt nhất có thể. Chú ý rằng ước lượng (7) của sai số truyền nhiễu không phụ thuộc vào hàm cần tính đạo hàm, trong khi số hạng đầu trong ước lượng (6) lại phụ thuộc vào độ trơn (thường không biết trước) của hàm này. Do đó, cần có chiến lược chọn bậc n∈ N thích nghi với độ trơn chưa biết của y. Chúng ta sẽ phát biểu chiến lược đó dưới các giả thiết bổ sung sau. Giả thiết 2. δ ψ (1) < y '( B) − S1.h y . (8) hs s Chú ý rằng nếu điều kiện (8) không thỏa mãn, thì việc chọn n > 1 là vô nghĩa, bởi vì sai số truyền nhiễu vượt trội hơn sai số xấp xỉ với mọi n ∈ N. Giả thiết 3. Giả sử rằng với y ∈ C r , r ≥ 2 và hs > 0, tồn tại một hàm liên tục φ (u ) = φ (u : hs. y ), u ∈ [1, nM ] , mà (i ) y '( B ) − Sn ,h y ≤ φ ( n; hs , y ), n ∈ N ; s (ii) nếu nmin là số nhỏ nhất mà nmin = argmin {φ (n), n ∈ N } . thì hàm φ(n) không tăng trên [1, nmin ) và với bất kỳ n ∈ [nmin , nM ] δ (n ) ≤ ψ ( n ) (9) hs Mọi hàm số thỏa mãn Giả thiết 3 được gọi là hàm chấp nhận được. Ký hiệu tập tất cả các hàm chấp nhận được bằng Φ(y, hs ). Nếu Giả thiết 3(ii) không thỏa mãn thì mức nhiễu là thấp và không đáng kể. Ví dụ, nếu (9) không được thỏa mãn với n = nmin, thì có thể bỏ qua sai số
17 truyền nhiễu và n = nmin là lựa chọn tốt nhất cho dữ liệu nhiễu, cũng như dữ liệu không nhiễu. Ví dụ tiếp theo minh họa cho những giả thiết này. Ví dụ 1 (tiếp theo). Xét bài toán tính đạo hàm bậc nhất của hàm y ∈ C r [0, 1] tại điểm biên t =1. Tương tự như [18] để loại trừ ảnh hưởng của điểm biên t = 0, ta giả sử rằng y ∈ C r = {y : y ∈ C r [0, 1], y(i) (0) = 0, i = 0, 1, . . . , r − 1}. Khi đó theo định lý Taylor y có khai triển sau: 1 (t − τ )r+−1 ( r ) y (t ) = ∫ y (t )dτ . 0 ( r − 1)! trong đó (a)+ = max{a, 0}. Từ sơ đồ sai phân hữu hạn (5) ta thu được ước lượng (1 − τ ) r+−2 n a j (1 − jhs − τ ) r+−1 1 n  y '(1) − Sn ,h , y  ≤ y (r ) ∫ −∑ dτ : (10) s c 0 (r − 2)! j =0 hs (r − 1)! ở đây ∥ · ∥C biểu thị chuẩn max trong C [0, 1]. Từ (10), ta có một hàm chấp nhận được φ (n; hs , y ) = y ( r ) c hsr −1Vr (n, hs ) , (11) trong đó n 1− r 1 (1 − τ ) r+−2 n a j (1 − jhs − τ ) r+−1 Vr (n, hs ) = h s 0∫ −∑ dτ . (12) (r − 2)! j =0 hs ( r − 1)! Sử dụng (12) ta có thể dễ dàng tính toán (bằng số và bằng công thức) các giá trị Vr (n, hs ). Đồ thị của các hàm chấp nhận được (11) cho hs = 10−1 và ||y(r )||C = 10r −3 , r = 3, 4, 5, 6, được trình bày ở Hình 1 và 2. Để tiện theo δ dõi, đồ thị của hàm ψ (n) cho δ = 10−4 cũng được dựng trong các hình này. hs
18 Từ những hình vẽ này, có thể kết luận rằng với mức nhiễu được xem xét, Giả thiết 3 được thỏa mãn cho bất kỳ hàm y ∈ C r nào mà ∥y(r ) ∥C ≤10r−3, r = 3, 4, 5, 6. Chú ý rằng để minh họa dáng điệu của các hàm một cách rõ ràng hơn, chúng ta giữ nguyên tỷ lệ của mọi đồ thị. Nhận xét 1. Chú ý rằng Giả thiết 3 tổng quát hơn giả thiết hàm chấp nhận được là không tăng. Từ (7) và Giả thiết 3, hiệu số giữa y’ (B) và (5) được ước lượng như sau δ y '( B ) − Sn ,h , yδ ≤ φ (n) + ψ (n) . (13) s hs Theo (13) đại lượng  δ e( y.N .Sn ,h ) = min inf φ ( n) + ψ ( n)  (14) s n∈N φ∈Φ ( y , h )  s hs  là ước lượng sai số tốt nhất có thể để xấp xỉ y’ (B) bằng họ công thức Sn,hs dưới Giả thiết 1-3 và (2). Bây giờ chúng ta trình bày nguyên lý chọn thích nghi tham số n+∈ N để đạt được cận sai số tốt nhất có thể nhân với 6ρ, trong đó ψ (ni + 1) ρ = ρ ( N ) = max . i =1.... M −1 ψ (ni ) Nói riêng, từ Bảng 2 trong Ví dụ 1 có thể thấy rằng ρ(N ) = 2 cho N = {1, . . . , 6}. Ta thấy n+ có thể được chọn khi chỉ biết giá trị dữ liệu nhiễu yδ (tj ) với bước lưới cố định hs, mà không cần bất kỳ thông tin tiên nghiệm nào về độ trơn của y ∈ C r [b, B ] . Xét tập hợp  δ  N ( S n ,h ) = ni ∈ N : S n ,h , yδ − S n ,h , yδ ≤ Cψ (n j ) . j = i + 1, i + 2.....M  (15) s  i s j s hs 
19 trong đó C là một tham số điều chỉnh. Cụ thể, chúng ta cho C = 4 trong chứng minh lý thuyết và điều chỉnh giá trị của C trong các thử nghiệm số. Bậc n+ mà chúng ta quan tâm được xác định là n+ = min { N ( Sn ,h )}. s Cần nhấn mạnh rằng một hàm chấp nhận được, cũng như bất kỳ thông tin nào về tính trơn của hàm y không được sử dụng vào quá trình chọn n+. Bây giờ, chúng ta phát biểu kết quả chính của mục này. Định lý. Cho y ∈ C 2 [b, B]. Khi đó từ Giả thiết 1-3 ta có y '( B ) − Sn ,h , yδ ≤ 6 ρ e( y.N .Sn ,h ) .(16) + s s Chứng minh. Cho φ ∈ Φ(y, hs ) là một hàm chấp nhận được bất kỳ. Ta xác định các số  δ n* = n* (φ ) = min n ∈ N : φ (n) ≤ ψ ( n)  .  hs   δ  n** = n** (φ ) = arg min φ (n j ) + ψ (n j ) .n j ∈ N  .  hs  Từ Giả thiết 3, ta có n* ≤ nmin. Do đó δ  δ  ψ (n* ) ≤ ρ (φ  (n** ) + ψ (n** )  (17) hs  hs  vì hoặc n∗∗≤ n∗−1 1,  hs 
20 hoặc n* < n** , trong trường hợp này δ δ  δ  ψ (n* ) < ψ (n** ) < ρ  φ (n** ) + ψ (n** )  . hs hs  hs  Hơn nữa, chú ý rằng với nj > n∗ , nj ∈ N thì δ φ ( n j ) < ψ (n j ) (18) hs Trong trường hợp nj > nmin bất đẳng thức (18) suy ra từ Giả thiết 3. Nếu δ với nj ≤ nmin ta giả sử bất đẳng thức (18) không đúng, tức là φ (n j ) ≥ ψ (n j ) . hs Từ đây suy ra δ δ φ (n* ) ≥ φ (n j ) ≥ ψ (n j ) > ψ (n* ) . hs hs Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của n∗ . Bây giờ ta sẽ kết luận rằng n∗ ≥ n+. Thực vậy, với mọi nj > n∗ , nj ∈ N, ta có S n ,h , yδ − Sn ,h , yδ ≤ y '( B) − Sn ,h , yδ + y '( B ) − Sn ,h , yδ * s j s * s j s δ δ ≤ φ (n* ) + ψ (n* ) + φ (n j ) + ψ (n j ) hs hs δ δ ≤ 2ψ (n* ) + φ (n j ) + ψ (n j ) hs hs δ δ δ < 2 ψ (n* ) + 2 ψ (n j ) < 4 ψ (n j ) hs hs hs Có nghĩa là n∗∈ N (Sn,hs ) và n∗ ≥ n+ = min{N (Sn,hs )}. Khi đó sử dụng (17) ta được