Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn đã trình bày được các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều và không đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Đối xứng thuận nghịch thời gian là một trong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên, nó xuất hiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn này chỉ trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN PHAN THỊ THANH VÂN TÍNH THUẬN VÀ TÍNH NGHỊCH CỦA HỆ TAM PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU TRÊN ĐA TẠP TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2012
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Hệ tam phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Hệ tam phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định . . . . . . 6 1.2 Đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Sự tồn tại của đa tạp tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach 12 2.1 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Tính nghịch của phương trình vi phân không ôtônôm . . . . . . . 14 2.3 Tính nghịch của phương trình vi phân ôtônôm . . . . . . . . . . . 16 2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Tính thuận của phương trình vi phân trong không gian Banach . 22 3 Tính thuận và tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm 24 3.1 Tính nghịch của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm . . . 24 3.1.1 Xây dựng kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 Các kết quả phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.3 Chứng minh tính nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Tính thuận của hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 i
Lời nói đầu Luận văn đã trình bày được các khái niệm mới như hệ tam phân mũ đều và không đều, một số tính chất cơ bản của chúng, tập trung nghiên cứu hệ tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm. Đối xứng thuận nghịch thời gian là một trong những đối xứng cơ bản được nghiên cứu trong khoa học tự nhiên, nó xuất hiện trong nhiều hệ vật lý, đặc biệt là cơ học cổ điển và lượng tử. Trong khuôn khổ của luận văn này tôi chỉ trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn chiều. Luận văn được chia thành 3 chương: Chương 1: Giới thiệu sơ lược các khái niệm tam phân mũ đều, tam phân mũ không đều của phương trình vi phân, khái niệm đa tạp tâm. Chương 2: Trình bày tính thuận nghịch của phương trình vi phân trong không gian Banach vô hạn chiều. Chương 3: Trình bày tính thuận và tính nghịch của phương trình vi phân có tam phân mũ không đều trên đa tạp tâm trong không gian Banach vô hạn chiều. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS. Lê Huy Tiễn - Giảng viên khoa Toán-Cơ-Tin học, trường ĐH Khoa học tự nhiên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học, những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè và đặc biệt là chồng tôi, đã luôn ở bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Phan Thị Thanh Vân 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tam phân mũ 1.1.1 Hệ tam phân mũ đều Cho X là không gian Banach, xét một ánh xạ liên tục t 7→ A(t) sao cho A(t) là toán tử tuyến tính bị chặn trên X với mỗi t ∈ R và phương trình v 0 = A(t)v (1.1) Nghiệm của (1.1) với v (s) = vs có thể được viết dưới dạng v (t) = T (t, s)v (s), với T (t, s) là toán tử tiến hóa liên kết. Ta có T (t, t) = Id và T (t, s)T (s, r) = T (t, r) với mọi t, s, r ∈ R, T (t, s) khả nghịch và T (t, s)−1 = T (s, t) với mọi t, s ∈ R. Giả sử A(t) có dạng chéo khối tương ứng với các thành phần hợp thành E , F1 , F2 (X = E ⊕ F1 ⊕ F2 ), với E , F1 , F2 tương ứng là các không gian con tâm, ổn định và không ổn định. Khi đó nghiệm của (1.1) có thể được viết dưới dạng v (t) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s))v (s) trong đó U (t, s), V1 (t, s) và V2 (t, s) là các toán tử tiến hóa liên kết tương ứng với ba khối của A(t), T (t, s) = (U (t, s), V1 (t, s), V2 (t, s)). Định nghĩa 1.1. Ta nói phương trình (1.1) có tam phân mũ đều nếu tồn tại các hằng số b > a ≥ 0, d > c ≥ 0, và D > 0 sao cho 2
1. Với mọi s, t ∈ R, t ≥ s, −1 ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s) , ||V2 (t, s) || ≤ De−b(t−s) , 2. Với mọi s, t ∈ R, t ≤ s −1 ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t) , ||V1 (t, s) || ≤ De−d(s−t) . 1.1.2 Hệ tam phân mũ không đều Hệ tam phân mũ không đều là một trường hợp mở rộng của hệ tam phân mũ đều, chúng ta tìm hiểu sự giống và khác nhau căn bản giữa chúng. Giả sử X là không gian Banach, và A : R → B (X ) là một hàm liên tục, trong đó B (X ) là tập hợp các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Xét bài toán giá trị ban đầu v 0 = A(t)v, v (s) = vs , (1.2) với s ∈ R và vs ∈ X . Giả thiết rằng tất cả các nghiệm của (1.2) là toàn cục. Ta viết nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu trong (1.2) dưới dạng v (t) = T (t, s)v (s), ở đó T (t, s) là toán tử tiến hóa liên kết. Xét các hằng số 0 ≤ a < b, 0 ≤ c < d, (1.3) a0 , b 0 , c 0 d 0 ≥ 0 (1.4) Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng phương trình tuyến tính v 0 = A(t)v có một tam phân mũ không đều nếu tồn tại các hàm P, Q1 , Q2 : R → B (X ) sao cho P (t), Q1 (t) và Q2 (t) là các phép chiếu với P (t) + Q1 (t) + Q2 (t) = Id, P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), Qi (t)T (t, s) = T (t, s)Qi (s), i = 1, 2 với mọi t, s ∈ R, và tồn tại các hằng số như trong (1.3)-(1.4) và Di > 0, 1 ≤ i ≤ 4 sao cho 1. Với mọi t, s ∈ R, t ≥ s, 0 0 ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a |s| , ||T (t, s)−1 Q2 (t)|| ≤ D3 e−b(t−s)+b |t| ; (1.5) 3
2. Với mọi t, s ∈ R, t ≤ s, 0 0 ||T (t, s)P (s)|| ≤ D2 ec(s−t)+c |s| , ||T (t, s)−1 Q1 (t)|| ≤ D4 e−d(s−t)+d |t| . (1.6) Các hằng số trong a, b, c, d được coi như các số mũ Lyapunov, trong khi tính không đều của dáng điệu mũ được quyết định bởi các hằng số trong a0 , b0 , c0 , d0 . Khi ba thành phần của nghiệm tương ứng với các thành phần tâm, ổn định và không ổn định của A(t) ta có thể lấy a = c = 0 (do đó b > 0 và d > 0). Nhận xét 1.1. So sánh hai định nghĩa về tam phân mũ đều và tam phân mũ không đều ta thấy hệ tam phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a0 |s|, b0 |t|, c0 |s|, d0 |t|. Khi a0 = b0 = c0 = d0 = 0 thì khái niệm tam phân mũ không đều trùng với khái niệm tam phân mũ đều. Ví dụ 1.1. Cho ω > ε > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R3 x0 = 0 , y 0 = (−ω − εt sin t)y, z 0 = (ω + εt sin t)z. (1.7) Hệ phương trình vi phân (1.7) có tam phân mũ không đều. Chứng minh. Ta thấy nghiệm của hệ (1.7) được viết dưới dạng x(t) = U (t, s)x(s), y (t) = V1 (t, s)y (s), z (t) = V2 (t, s)z (s), trong đó U (t, s) = 1, V1 (t, s) = e−ωt+ωs+εt cos t−εs cos s−ε sin t+ε sin s , V2 (t, s) = eωt−ωs−εt cos t+εs cos s+ε sin t−ε sin s . Toán tử tiến hóa T (t, s) của hệ (1.7) được cho bởi T (t, s)(x, y, z ) = (U (t, s)x, V1 (t, s)y, V2 (t, s)z ). Giả sử P (t), Q1 (t), Q2 (t) : R3 → R3 là các phép chiếu được xác định bởi P (t)(x, y, z ) = x, Q1 (t)(x, y, z ) = y, Q2 (t)(x, y, z ) = z Rõ ràng các phép chiếu này thỏa mãn các điều kiện về phép chiếu trong định nghĩa của hệ tam phân mũ không đều. Chọn b = d = ω − ε, b0 = d0 = 2ε 4
và các hằng số a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε. Ta chỉ ra rằng tồn tại D1 = D2 = D3 = D4 = D > 1 sao cho 0 ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| , ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s 0 ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| , ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s Vì ||U (t, s)|| = 1 nên ta có 0 ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| với t ≥ s 0 ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| với t ≤ s với mọi a, a0 , c, c0 > 0, a < ω − ε, c < ω − ε; D > 1. Ta chứng minh ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(s−t)+2ε|t| với t ≤ s (1.8) và ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| với t ≥ s (1.9) Ta viết lại V1 (t, s) như sau: V1 (t, s) = e(−ω+ε)(t−s)+εt(cos t−1)−εs(cos s−1)+ε(sin s−sin t) , suy ra V1 (s, t) = e(−ω+ε)(s−t)−εt(cos t−1)+εs(cos s−1)−ε(sin s−sin t) . (1.10) Với 0 ≤ t ≤ s, từ (1.10) ta có V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2εt , với t ≤ 0 ≤ s ta có V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t) , với t ≤ s ≤ 0 ta có V1 (s, t) ≤ e2ε e−(ω−ε)(s−t)+2ε|s| ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| mà V1 (s, t) = V1 (t, s)−1 suy ra V1 (t, s)−1 ≤ e2ε e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| . Điều này cho ta (1.8). Để thu được (1.9) ta chứng minh tương tự. Từ V2 (s, t) = e(−ω+ε)(t−s)−εs(cos s−1)+εt(cos t−1)+ε(sin s−sin t) ta có V2 (t, s)−1 ≤ e−(ω−ε)(t−s)+2ε|t| Từ việc thỏa mãn (1.9) và (1.8) ta có hệ (1.7) có một tam phân mũ không đều. 5
1.1.3 Không gian con tâm, ổn định và không ổn định Giả sử rằng phương trình v 0 = A(t)v có một tam phân mũ không đều. Ta xét ba không gian con tuyến tính E (t) = P (t)X, Fi (t) = Qi (t)X, i = 1, 2 với mỗi t ∈ R. Ta gọi E (t), F1 (t) và F2 (t) tương ứng là không gian con tâm, ổn định và không ổn định tại thời điểm t. Ta có: X = E (t) ⊕ F1 (t) ⊕ F2 (t) với mọi t ∈ R và dim E (t), dim F1 (t), dim F2 (t) không phụ thuộc vào thời điểm t. Nghiệm của (1.2) có thể được viết dưới dạng v (t) = (U (t, s)ξ, V1 (t, s)η1 , V2 (t, s)η2 ) với t ∈ R (1.11) với vs = (ξ, η1 , η2 ) ∈ E (s) × F1 (s) × F2 (s), trong đó U (t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P (s)2 = P (t)T (t, s)P (s) Vi (t, s) := T (t, s)Qi (s) = T (t, s)Qi (s)2 = Qi (t)T (t, s)Qi (s), i = 1, 2. Trong trường hợp đặc biệt, nếu không gian con tâm, ổn định và không ổn định không phụ thuộc vào t, tức là E (t) = E , Fi (t) = Fi , i = 1, 2 với mọi t, thì toán tử T (t, s) phải có dạng tương ứng với tổng trực tiếp E ⊕ F1 ⊕ F2 , hay T (t, s) có thể được biểu diễn dưới dạng   U (t, s) 0 0   T (t, s) =  0   V1 (t, s) 0    0 0 V2 (t, s) Ngoài ra, các toán tử U (t, s) : E (s) → E (t) và Vi (t, s) = Fi (s) → Fi (t), i = 1, 2 là khả nghịch. Kí hiệu toán tử nghịch đảo tương ứng là U (t, s)−1 và Vi (t, s)−1 , i = 1, 2 ta có: U (t, s)−1 = U (s, t) và Vi (t, s)−1 = Vi (s, t) với mọi t, s ∈ R. Chú ý rằng các bất đẳng thức ở (1.5)-(1.6) có thể viết lại thành: 0 0 ||U (t, s)|| ≤ Dea(t−s)+a |s| , ||V2 (t, s)−1 || ≤ De−b(t−s)+b |t| 6
0 0 ||U (t, s)|| ≤ Dec(s−t)+c |s| , ||V1 (t, s)−1 || ≤ De−d(s−t)+d |t| . Tiếp theo ta định nghĩa góc giữa hai không gian con F1 và F2 , E và F1 , E và F2 tương ứng như sau α(t) = inf {||y − z|| : y ∈ F1 (t); z ∈ F2 (t); ||y|| = ||z|| = 1} (1.12) β1 (t) = inf {||x − y|| : x ∈ E (t); y ∈ F1 (t); ||x|| = ||y|| = 1} β2 (t) = inf {||x − z|| : x ∈ E (t); z ∈ F2 (t); ||x|| = ||z|| = 1} Mệnh đề 1.1. Với mọi t ∈ R ta có: 1 2 1 2 ≤ α(t) ≤ , ≤ α(t) ≤ , ||Q1 (t)|| ||Q1 (t)|| ||Q2 (t)|| ||Q2 (t)|| 1 2 1 2 ≤ β1 (t) ≤ , ≤ β1 (t) ≤ , ||P (t)|| ||P (t)|| ||Q1 (t)|| ||Q1 (t)|| 1 2 1 2 ≤ β2 (t) ≤ , ≤ β2 (t) ≤ . ||P (t)|| ||P (t)|| ||Q2 (t)|| ||Q2 (t)|| Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp của góc giữa không gian con ổn định và không ổn định α(t). Các bất đẳng thức khác được chứng minh tương tự. Chú ý rằng Q1 (t)(y − z ) = y với y, z được cho bởi (1.12). Do đó, 1 = ||Q1 (t)(y − z )|| ≤ ||Q1 (t)||.||y − z||, suy ra 1 ≤ α(t). ||Q1 (t)|| 2 Tiếp theo ta chứng minh α(t) ≤ . ||Q1 (t)|| Thật vậy, với mỗi v, ω ∈ X mà v¯ = Q1 (t)v 6= 0 và ω ¯ = Q2 (t)ω 6= 0 thì
v¯ ¯ ω
|(¯ v−ω ¯ )||ω|| + ω ¯ (||ω¯ || − ||v¯||)