Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán tấm Composite trên nền đàn hồi

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán tĩnh và động lực tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo mô hình Vinkler. Từ hệ phương trình cân bằng đã sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Bubnov-Galerkin để nhận được phương trình dao động phi tuyến của tấm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán tấm Composite trên nền đàn hồi

MỞ ĐẦU Vật liệu composite ngày nay được sử dụng rộng rãi khi thiết kế chế tạo những kết cấu hàng không, tên lửa, vũ trụ, tàu thuyền. Composite được ứng dụng ngày càng nhiều trong những lĩnh vực khác nhau của ngành chế tạo máy và nền kinh tế quốc dân. Composite được ứng dụng và phát triển như vậy vì chúng rất nhẹ và bền. Để có thể thiết kế tối ưu vật liệu và các kết cấu composite, cần thiết phải hiểu rõ bản chất và những quy luật ứng xử cơ học khá phức tạp của loại vật liệu này. Trong thực tế thường gặp các kết cấu đặt tiếp xúc trên bề mặt một môi trường hoặc vật thể đàn hồi khác, ví dụ dầm móng đặt trên nền đất, cầu phao phà đặt trên mặt nước. Bài toán xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu trên nền đàn hồi là dạng bài toán siêu tĩnh, trong đó phản lực nền là một hệ lực phân bố liên tục trên bề mặt tiếp xúc, phụ thuộc vào biến dạng của kết cấu cũng như quan niệm về mô hình nền. Trong luận văn này ta sử dụng mô hình đơn giản, thường dùng trong kỹ thuật là mô hình Vinkler. Theo đó, cường độ phản lực của nền tại một điểm tỷ lệ thuận với độ lún của nền tại điểm đó. Nếu kí hiệu p là áp suất phản lực, y là độ lún, K là hệ số nền thì p = Ky. Thứ nguyên của hệ số nền là [Lực/(chiều dài)3]. Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các máy, các phương tiện giao thông vận tải, các tòa nhà cao tầng, các cầu, các mạch điện là các hệ dao động trong kỹ thuật. Nghiên cứu về dao động ngày nay trở thành bộ phận không thể thiếu được cho tất cả các kết cấu, công trình. Trong [1], [6] đã nghiên cứu bài toán dao động của vỏ trụ và vỏ thoải composite có gân gia cường. Dao động phi tuyến của tấm composite lớp có 1
gân gia cường được tính toán trong [2]. Trong [5] đã nghiên cứu bài toán phi tuyến, đưa ra các hệ thức tính toán tĩnh và động cho vỏ thoải composite hai độ cong bất kỳ. Trong [7] đã tính toán dao động vỏ thoải composite. Mục đích của luận văn là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán tĩnh và động lực tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo mô hình Vinkler. Từ hệ phương trình cân bằng đã sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Bubnov Galerkin để nhận được phương trình dao động phi tuyến của tấm. Lời giải số tìm được theo phương pháp bước lặp và sơ đồ tính toán Newmark, đã xem xét quan hệ tần số biên độ dao động phi tuyến, ảnh hưởng của hệ số nền và tần số dao động ngoại lực đến lời giải bài toán động lực của tấm. Báo cáo đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính toán độ võng tấm composite lớp trên nền đàn hồi. Đã so sánh kết quả thu được theo hai phương pháp giải tích và phần tử hữu hạn. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Các hệ thức cơ sở của tấm composite lớp trên nền đàn hồi. Chương 2. Phương pháp phần tử hữu hạn cho tấm composite lớp trên nền đàn hồi. Chương 3. Tính toán số cho tấm composite lớp trên nền đàn hồi. Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Vũ Đỗ Long người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong bộ môn Cơ học và các thầy cô trong khoa Toán – Cơ – Tin học đã trang bị kiến thức giúp em hoàn thành luận văn này. Các kết quả chính của luận văn đã được trình bày và thảo luận tại Hội nghị khoa học toàn quốc “Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 10”. Tác giả đã nhận được những góp ý bổ ích từ các thành viên của Hội nghị. Tuy nhiên do bước đầu 2
tiếp cận nghiên cứu khoa học về lĩnh vực vật liệu composite, chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong tiếp tục nhận được những đánh giá và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Học viên Nguyễn Thị Huệ CHƯƠNG 1 CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ CỦA TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 1.1. Phương trình tổng quát của tấm composite lớp trên nền đàn hồi 1.1.1. Mối liên hệ chuyển dịch – biến dạng của tấm composite lớp Xét một tấm composite lớp có x1 , x2 là các trục tọa độ nằm trong mặt phẳng giữa theo các cạnh, còn x3 z hướng theo phương pháp tuyến với mặt giữa (Hình 1). x1 x3 x2 0 Hình 1 3
Theo lý thuyết của Kirchhoff – Love mối liên hệ phi tuyến dịch chuyển – biến dạng của tấm: ε11 = ε10 + zφ1 ε 22 = ε 20 + zφ2 γ 12 = ε 60 + zφ6 Trong đó: 2 u 1 �w � ε10 = + � � x1 2 � x1 � 2 v 1 �w � ε 20 = + � � x2 2 � x2 � u v w w ε 60 = + + x2 x1 x1 x2 (1.1) 2 w φ1 = − 2 x1 2 w φ2 = − 2 x2 2 w φ6 = − x1 x2 Còn u , v, w là chuyển vị của phương ngang, phương dọc và độ võng của các điểm giữa thuộc mặt phẳng của tấm; ε10 , ε 20 , ε 60 là các biến dạng tại mặt giữa; φ1,φ2 ,φ6 là các biến thiên độ cong của tấm. Chúng thỏa mãn phương trình tương thích biến dạng: 4
2 0 2 0 2 0 2 ε1 ε2 ε6 � 2w � 2w 2w + − =� �− (1.2) x22 x12 x1 x2 � x1 x2 � x12 x22 1.1.2. Quan hệ ứng suất biến dạng của tấm composite lớp Sử dụng giả thiết Kirchhoff có thể bỏ qua thành phần ứng suất vuông góc với mặt giữa: σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0 Liên hệ ứng suất biến dạng của lớp composite thứ k của tấm là [5]: (k ) (k ) (k ) �Q11 Q12 Q16 � �ε � σ 11 � � 1 � � � � � � � � σ 22 � � = �Q12 Q22 Q26 � �ε 2 � (1.3) � σ 12 � � � � ε6 � � �Q 16 Q26 Q66 � � Trong đó ký hiệu các thành phần biến dạng trong mặt phẳng lớp thứ k: ε11 ε1 , ε 22 ε 2 , ε 6 ε12 Trường hợp phương của sợi lệch một góc θ với trục x1 của tấm, thay ma trận Qijk bằng ma trận Qijk . Trong đó Qijk tính qua Qijk theo công thức [4]: Q11 = Q11 cos 4 θ + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q22 sin 4 θ ( Q12 = ( Q11 + Q22 − 4Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q12 sin 4 θ + cos 4 θ ) Q16 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin θ cos3 θ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin 3 θ cosθ (1.4) Q22 = Q11 sin 4 θ + 2 ( Q12 + 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q22 cos 4 θ Q26 = ( Q11 − Q12 − 2Q66 ) sin 3 θ cosθ + ( Q12 − Q22 + 2Q66 ) sin θ cos3 θ ( Q66 = ( Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 ) sin 2 θ cos 2 θ + Q66 sin 4 θ + cos 4 θ ) Biểu thức các hằng số độ cứng qua các mô đun đàn hồi trong hệ trục chính như sau: 5
E1 E2 E2 Q11 = Q12 = ν 12 Q22 = E 2 , E 2 , E 2 (1.5) 1 − 2 ν12 1 − 2 ν 12 1 − 2 ν12 E1 E1 E1 Q16 = 0 Q26 = 0 Q66 = G12 trong đó: E1 , E2 là các môđun đàn hồi của tấm theo phương trục chính của lớp vật liệu composite; ν 12 là hệ số Poisson của vật liệu, G12 là môđun trượt trong hệ trục chính của lớp vật liệu. Lực pháp, lực tiếp, mômen uốn, mômen xoắn được xác định theo công thức: h h h 2 2 2 N1 = σ 11dz M1 = σ 11zdz N 6 = σ 12dz −h −h −h 2 2 2 (1.6) h h h 2 2 2 N 2 = σ 22dz M 2 = σ 22 zdz M 6 = σ 12 zdz −h −h −h 2 2 2 Ở đây: N12 = N 21 = N 6 , M12 = M 21 = M 6 Thay (1.3) vào (1.6) ta được: h ( ) 4 2 ( k) ( k) ( k) N1 = Q11 ε1 + Q12 ε 2 + Q16 ε 6 dz k =1 − h 2 h 4 2 = k =1 − h � ( k) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 � � ( ( k) 0 ) ( k) ( ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 � dz � � ) ( ) 2 h 2 = � � � ( 1) ( ( 1) ) ( 1) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 ( ) ( )� dz + � � h 4 h 4 + � ( 2) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 � � ( ( 2) 0 ) ( 2) ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6( ) ( )� dz + � � 0 0 + � � ( 3) ( ( 3) )( 3) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 ( ) ( )� dz + � −h 4 6
−h 4 + � ( 4) ( Q11 ε10 + zφ1 + Q12 � ( 4) 0 ) ( 4) ( ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 � dz � ) ( ) −h 2 = A11ε10 + A12ε 20 + A16ε 60 + B11φ1 + B12φ2 + B16φ6 h ( ) 4 2 ( k) ( k) ( k) N2 = Q12 ε1 + Q22 ε 2 + Q26 ε 6 dz k =1 − h 2 0 = A12ε1 + A22ε 20 + A26ε 60 + B12φ1 + B22φ2 + B26φ6 h (Q ) 4 2 ( k) ( k) ( k) N6 = 16 ε1 + Q26 ε 2 + Q66 ε 6 dz k =1 − h 2 = A16ε10 + A26ε 20 + A66ε 60 + B16φ1 + B26φ2 + B66φ6 h (Q ) 4 2 ( k) ( k) ( k) M1 = 11 ε1 + Q12 ε 2 + Q16 ε 6 zdz k =1 − h 2 h 4 2 = � ( k) ( Q11 ε10 + zφ1 + Q12 � � ( k) 0 ) ( k) ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 ( ) ( )� zdz � � k =1 − h 2 h 2 = � � � ( 1) (( 1) ) ( 1) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 � ( zdz + � � ) ( ) h 4 h 4 + � ( 2) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 � � (( 2) 0 ) ( 2) ( ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 � zdz + � � ) ( ) 0 0 + � � � ( 3) (( 3) )( 3) Q11 ε10 + zφ1 + Q12 ε 20 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 ( ) ( )� zdz + � � −h 4 7
−h 4 + � ( 4) ( Q11 ε10 + zφ1 + Q12 � � ) ( 4) 0 (( 4) ε 2 + zφ2 + Q16 ε 60 + zφ6 � zdz � � ) ( ) −h 2 = B11ε10 + B12ε 20 + B16ε 60 + D11φ1 + D12φ1 + D16φ6 h 4 2 M2 = � Q12 � � ( ( k) 0 ) ( k) ( ( k) ε1 + zφ1 + Q22 ε 20 + zφ2 + Q26 ε 60 + zφ6 ) ( )� zdz � � k =1 − h 2 = B12ε10 + B22ε 20 + B26ε 60 + D12φ1 + D22φ1 + D26φ6 h 4 2 M6 = � Q16 � � ( ( k) 0 ) ( k) ( ( k) ε1 + zφ1 + Q26 ε 20 + zφ2 + Q66 ε 60 + zφ6 � zdz � � ) ( ) k =1 − h 2 = B16ε10 + B26ε 20 + B66ε 60 + D16φ1 + D26φ1 + D66φ6 N zk +1 ( Với: Aij , Bij , Dij = ) Qij ( k) ( 1, z, z ) dz (i, j = 1, 2, 6) (1.7) 2 k =1 zk Mối quan hệ giữa lực pháp, lực tiếp, momen uốn, momen xoắn và biến dạng, biến thiên độ cong được viết dưới dạng ma trận như sau: �N1 � �A11 A12 A16 B11 B12 � B16 �ε10 � �N � �A �0 � � � 2 � � 12 A22 A26 B12 B22 B26 � �ε2 � � �A16 �N 6 � A26 A66 B16 B26 �0 � B66 � � �ε � � �= � �6 � (1.8) � �M1 � �B11 B12 B16 D11 D12 D16 � �φ1 � �M 2 � �B12 B22 B26 D12 D22 D26 � �φ2 � � � � � � � �M 6 � � �B16 B26 B66 D16 D26 D66 � � � �φ6 � với: N = 4 là số lớp của tấm; � Aij �� , Bij �� , Dij � �� lần lượt là ma trận độ cứng dãn nén, độ cứng tương tác dãn – uốn – xoắn và độ cứng uốn của tấm composite lớp. 8
Giả thiết tấm xếp lớp đối xứng qua mặt giữa ta có � �= 0 và xem các Bij � � đại lượng A16 , A26 , D16 , D26 là nhỏ có thể bỏ qua. Khai triển (1.8) ta được biểu thức lực màng của tấm composite lớp: N1 = A11ε10 + A12ε 20 N 2 = A12ε10 + A22ε 20 (1.9) N 6 = A66ε 60 Giải ngược lại suy ra: 1 � A12 � 0 1 � A12 � 0 1 ε10 = �N1 − N 2 �, ε 2 = �N 2 − N1 �, ε 6 = * N 6 E1* � A 22 � E * 2� A 11 � G 2 2 A11 A22 − A12 A11 A22 − A12 Trong đó: E1* = * , E2 = , G* = A66 A22 A11 Và mômen trong của tấm composite lớp được tính theo công thức: � 2w 2 � w M1 = D11φ1 + D12φ2 = − D1 � 2 + µ2 2 � � x1 x2 � � 2w 2 � w M 2 = D12φ1 + D22φ2 = − D2 � 2 + µ1 2 � (1.10) x � 2 x1 � 2 w M 6 = D66φ6 = −2 Dk x1 x2 Trong đó: D1 = D11 , D2 = D22 , Dk = D66 D12 D12 µ1 µ2 µ 2 = , µ1 = , = D11 D22 D1 D2 D3 = 2 Dk + D1µ 2 = 2 Dk + D2 µ1 9
1.1.3. Phương trình chuyển động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi Phương trình chuyển động của tấm composite lớp trên nền đàn hồi với hệ số nền K theo mô hình Vinkler được viết như sau [5]: 2 3 N1 N6 u w + = J O 2 − J1 x1 x2 t x1 t 2 2 3 N6 N2 v w + = J O 2 − J1 x1 x2 t x2 t 2 (1.11) 2 2 2 M1 M6 M2 � w w� � w w� + 2 + + � N 1 + N 6 �+ �N 6 + N2 � x12 x1 x2 x22 x1 � x1 x2 � x2 � x1 x2 � 2 � 3u 3 w v � � 4w 4 w � = J O 2 + J1 � 2 + 2 �− J 2 � 2 2 + 2 2� − q (t ) + Kw t x �1 t x2 t � �1 x t x2 t � N zk +1 Trong đó J i được xác định theo công thức: J i = ρ ( k ) z i dz k =1 zk ρ ( k ) là mật độ khối lượng của lớp thứ k, q(t ) là lực phân bố 1.2. Nghiệm của bài toán Giả thiết lực ngang q(t ) phân bố đều và mật độ khối lượng của lớp thứ k là hằng số. Khi đó ta có: N zk +1 J1 = ρ ( k ) zdz = 0 k =1 zk Theo Volmir [8] thì các số hạng quán tính trong hai phương trình đầu của (1.11) có thể bỏ qua. Do vậy phương trình chuyển động có dạng: N1 N + 6 =0 x1 x2 (1.12) 10
N6 N + 2 =0 x1 x2 (1.13) 2 2 2 M1 M6 M2 � w w� 2 +2 + 2 + �N1 + N6 �+ x1 x1 x2 x2 x1 � x1 x2 � 2 (1.14) � w w� w � 4w 4 w � + �N 6 + N2 �= J O 2 − J 2 � 2 2 + 2 2 �− q (t ) + Kw x2 � x1 x2 � t � x1 t x2 t � Phương trình (1.12), (1.13) thỏa mãn khi đưa vào hàm ứng suất φ dạng: 2 ϕ N1 = hσ11 = x22 2 ϕ N 2 = hσ 22 = 2 (1.15) x1 2 ϕ N 6 = hσ 12 = − x1 x2 Thay (1.9) và (1.15) vào phương trình tương thích biến dạng ta được: 2 0 ε1 1 � 4ϕ * 4 ϕ � = * � 4 − ν1 2 2 � x22 E1 � x2 x1 x2 � 2 0 ε2 1 � 4ϕ * 4 ϕ � = * � 4 −ν 2 2 2 � x12 E2 � x1 x1 x2 � ε 60 1 3 ϕ =− * 2 x1 G x1 x2 2 0 4 ε6 1 ϕ =− * 2 2 x1 x2 G x1 x2 11
2 0 2 0 2 0 ε1 ε2 ε6 1 4ϕ 1 4ϕ �1 ν 1* ν 2* � 4ϕ Suy ra: + − = + +� − − � x22 x12 x1 x2 E1* x24 E2* x14 �G E1* E2* �x12 x22 ν1* ν*2 1 ν 1* ν 2* 1 ν1* Vì * = nên − − = − 2 E1 E2* G E1* E2* G E1* Do đó phương trình tương thích biến dạng trở thành: 2 1 4ϕ �1 ν1* � 4ϕ 1 4ϕ � 2 w � 2 w 2 w +� −2 * � 2 2 + * 4 =� �− (1.16) E2* x14 �G* E1 �x1 x2 E1 x2 � x1 x2 � x12 x22 Thay (1.10) và (1.15) vào (1.14) ta được: 2 � 4w 4 M1 w � = − D1 � + µ 2 � x12 4 � x1 x12 x22 � 2 � 4w 4 M2 w � = − D2 � + µ1 2 2� x22 x � 2 4 x1 x2 � 2 4 M6 w 2 = −4 Dk 2 2 x1 x2 x1 x2 � w w� � 2ϕ w 2 ϕ w� �N1 + N6 �= � 2 + �= x1 � x1 x2 � x1 � x2 x1 x1 x2 x2 � 3 2 ϕ w ϕ 2w 3 ϕ w 2 ϕ 2 w = 2 + 2 2 − 2 − x1 x2 x1 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 � w w� � 2ϕ w 2 ϕ w� N �6 + N 2 �= �− + �= x2 � x1 x2 � x2 � x1 x2 x1 x12 x2 � 3 2 2 3 2 ϕ w ϕ w ϕ w ϕ 2w =− − + 2 + 2 x1 x22 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x22 Phương trình (1.14) trở thành: 12
4 4 4 4 4 2 w w w w w ϕ 2w − D1 − D1µ2 2 2 − D2 4 − D2 µ1 2 2 − 4D k 2 2 + 2 + x14 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x22 2 ϕ 2w 2 ϕ 2 w 2 w � 4w 4 w � + 2 − 2 = J O − J 2 � + 2 2� − q (t ) + Kw x2 x12 x1 x2 x1 x2 t2 �1x 2 2 t x2 t � hay 4 4 w w � 2ϕ 2 w 2 ϕ 2w 2 ϕ 2 w � 2 w D1 4 + D2 4 − � 2 + − 2 �+ J O x1 x2 � x1 x22 x22 x12 x1 x2 x1 x2 � t2 � 4w 4 w � 4 w − J 2 � 2 2 + 2 2 �− q (t ) + Kw + ( D1µ2 + D2 µ1 + 4D k ) 2 2 = 0 � x1 t x2 t � x1 x2 Do đó (1.14) được viết dưới dạng 44 w w � 2ϕ 2 w 2 ϕ 2w 2 ϕ 2 w � 2 w D1 + D2 − � + − 2 �+ J O x14 x24 � x12 x22 x22 x12 x1 x2 x1 x2 � t2 (1.17) � 4w 4 w � 4 w − J 2 � 2 2 + 2 2 �− q (t ) + Kw + 2D3 2 2 = 0 � x1 t x2 t � x1 x2 Cuối cùng bài toán bao gồm hai phương trình đạo hàm riêng phi tuyến (1.16), (1.17). Điều kiện biên tựa bản lề thỏa mãn nếu chọn hàm độ võng dạng: π x1 π x2 w = f ( t ) sin sin (1.18) a b trong đó a và b là độ dài các cạnh của tấm, f ( t ) là độ võng cực đại. Thế (1.18) vào vế phải của phương trình (1.16) ta có 2 � 2w � 2 π 4 2 π x1 πx � � = f 2 2 cos cos 2 2 � x1 x2 � ab a b 2 w 2w 2 π 4 πx πx 2 2 = f 2 2 sin 2 1 sin 2 2 x1 x2 ab a b 13
Suy ra 2 � 2w � 2w 2w � �− 2 2 = � x 1 x2 � x1 x 2 4 21 π � � 2π x1 � � 2π x2 � � 2π x1 � � 2π x2 � � = f � 2 2 � 1 + cos � �1 + cos �− � 1 − cos � �1 − cos � � 2a b � � a � � b �� a � � b � � 4 1 π � 2π x1 2π x2 � = f2 2 2� cos + cos � 2a b � a b � Vậy (1.16) trở thành: 1 4ϕ �1 ν1* � 4ϕ 1 4ϕ 21 π 4 � 2π x1 2π x2 � * 4 +� * −2 * � 2 2 + * 4 = f 2 2� cos + cos � E2 x1 �G E1 �x1 x2 E1 x2 2a b � a b � Khi đó nghiệm của phương trình sẽ là: 2π x1 2π x2 2π x1 2π x2 ϕ = Acos + Bcos + C sin sin (1.19) a b a b Thế (1.19) vào (1.16) ta được: 4 4 4 w �2π � 2π x1 �π � π x1 π x2 = A � � cos + C �� sin sin x14 �a � a �a � a b 4 4 4 w �2π � 2π x2 �π � π x1 π x2 = B � �cos + C � �sin sin x24 �b � b �b � a b 4 ϕ π4 π x1 π x2 = C sin sin x12 x22 a 2b 2 a b Suy ra 14
4 4 1 �2π � 2π x1 1 �2π � 2π x2 A � �cos + * B � �cos + E2* �a � a E1 �b � b �1 �π �4 4 �1 ν1* �π 4 1 �π �� π x1 πx +C � * � �+ � * − 2 * � 2 2 + * � �� sin sin 2 �E2 �a � �G E1 �a b E1 �b �� a b 1 π 4 � 2π x1 2 2π x2 � = f c �os + cos � 2 a 2b 2 � a b � Do đó E2* f 2a 2 E1* f 2b 2 A = B = C = 0 (1.20) 32b 2 32a 2 Thế (1.18), (1.19) vào (1.17) ta được: �D 2D D � π x1 πx πx πx W = π 4 f � 41 + 2 32 + 42 � sin sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 + �a a b b � a b a b π4 � 2π x1 2π x2 � π x1 πx − f (t ) 2 2 � 4 Acos + 4 Bcos �sin sin 2 + (1.21) ab � a b � a b � 2 �1 1 � �d 2 f π x1 π x2 +� J O + J 2π � 2 + 2 � � 2 sin sin − q(t ) = 0 � �a b �� dt a b Đây là phương trình cân bằng của tấm composite lớp trên nền đàn hồi. 1.2.1. Bài toán tĩnh d2 f Ta có 2 = 0 , lực phân bố đều q(t ) = q0 = const dt Khi đó phương trình cân bằng của tấm trên nền đàn hồi có dạng: �D 2D D � π x1 πx πx πx W = π 4 f � 41 + 2 32 + 42 � sin sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 + �a a b b � a b a b 4 4π � 2π x1 2π x2 � π x1 πx − f (t ) 2 2 �Acos + Bcos sin � sin 2 − q0 = 0 ab � a b � a b 15
Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin: ab π x1 π x2 � �W sin sin dx1dx2 = 0 00 a b ta được ab ab � 4 �D1 2D3 D2 � � 2 π x1 2 π x2 πx πx ��π f � 4 + 2 2 + 4 �+ Kf � � sin sin dx1dx2 − �� q0 sin 1 sin 2 dx1dx2 00� �a a b b � � a b 00 a b ab π4 � 2π x1 2π x2 � 2 π x1 2 π x2 −�� 4 f 2 2 �Acos + Bcos sin � sin dx1dx2 = 0 (1.22) 00 a b � a b � a b Sau một số phép biến đổi và sử dụng (1.20) khi đó phương trình (1.22) trở thành: 16q0 ( K + m1 ) f + m3 f 3 − = 0 (1.23) π2 trong đó �D 2D3 D2 � π 4 �E2* E1* � m1 = π 4 � 41 + 2 2 + 4 �, m3 = � + � �a a b b � 16 �b 4 a 4 � Đây là phương trình cân bằng xác định độ võng cực đại theo phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng trong trường hợp không có dao động. 1.2.2. Bài toán động d2 f Ta có 2 0 , lực phân bố đều q(t ) = q0 sin ( ωt ) dt Khi đó phương trình cân bằng của tấm trên nền đàn hồi có dạng: �D 2D D � π x1 πx πx πx W = π 4 f � 41 + 2 32 + 42 � sin sin 2 + Kf (t )sin 1 sin 2 + �a a b b � a b a b 4 π � 2π x1 2π x2 � π x1 πx − f (t ) 2 2 � 4 Acos + 4 Bcos �sin sin 2 + ab � a b � a b 2 � �1 1 � �d f π x1 π x2 +� J O + J 2π 2 � 2 + 2 � �dt 2 sin sin − q(t ) = 0 � �a b � � a b Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin: 16
ab π x1 π x2 � �W sin sin dx1dx2 = 0 00 a b ta được ab �4 �D1 2D3 D2 � � 2 π x1 2 π x2 ��π f � � 4 + 2 2 + 4 �+ Kf � sin sin dx1dx2 + 00� �a a b b � � a b ab � 2 �1 1 � �d 2 f 2 π x1 2 π x2 +� ��J O + J 2π � 2 + 2 � � 2 sin sin dx1dx2 + 0 0� �a b � � dt a b ab (1.24) πx πx −�� q(t )sin 1 sin 2 dx1dx2 + 00 a b ab π4 � 2π x1 2π x2 � 2 π x1 2 π x2 −�� 4 f 2 2 �Acos + Bcos sin � sin dx1dx2 = 0 00 a b � a b � a b Sau một số phép biến đổi và sử dụng (1.20) khi đó phương trình (1.24) trở thành: d2 f 3 16q (t ) m + ( K + m1 ) f + m3 f − = 0 (1.25) dt 2 π2 trong đó: �1 1 � 4�D1 2D3 D2 � π 4 �E2* E1* � m = J O + J 2π 2 � 2 + 2 � m , 1 = π �4 + + m �, 3 = � + � �a b � �a a 2b 2 b 4 � 16 �b 4 a 4 � Đây là phương trình dao động của tấm composite trên nền đàn hồi xác định độ võng cực đại theo phương pháp lý thuyết bản vỏ mỏng. CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO TẤM COMPOSITE LỚP TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 2.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác 17
định V của nó. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con V e (phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau chịu những điều kiện biên khác nhau. Trong PP PTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên phần tử, gọi là nút. Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong một hàm đơn giản gọi là các hàm xấp xỉ. Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán. 2.2. Tính toán tấm composite lớp trên nền đàn hồi theo phương pháp phần tử hữu hạn Bài toán: Xét tấm composite chữ nhật N lớp trên nền đàn hồi có kích thước (a x b), độ dày h, chịu lực phân bố đều q(x,y) = q = const. Bước 1: Rời rạc hóa miền vật thể. Chia tấm thành Ne phần tử hình chữ nhật Ve (e = 1…Ne) có kích thước bằng nhau. Chọn hệ tọa độ Đềcác có x, y là các trục tọa độ nằm trong mặt phẳng giữa theo các cạnh, trục z hướng theo phương pháp tuyến với mặt giữa. 18
Giả thiết tấm có các lớp được xếp đối xứng qua mặt trung bình. Khi đó xét điểm M(x,y) nằm cách mặt trung hòa khoảng z. Khi đó chuyển vị tại M w w theo phương Ox, Oy tương ứng là: u = − z , v = − z x y Tại mỗi điểm M(x,y) trong phần tử e giả sử có các thành phần chuyển vị là {w(x, y), θx(x, y), θy(x, y)}. Mỗi phần tử hình chữ nhật có bốn nút, mỗi nút có ba bậc tự do. Do đó phần tử có mười hai bậc tự do nên việc chọn hàm xấp xỉ phải đảm bảo có mười hai tham số. Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ Chọn hàm độ võng dưới dạng đa thức gồm mười hai số hạng [3]: w( M ) = w( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 xy + a6 y 2 + a7 x 3 + a8 x 2 y + a9 xy 2 + a10 y 3 + a11x 3 y + a12 xy 3 Góc xoay của tấm tại M trên mặt giữa theo các phương Ox, Oy tương ứng: w θx = = a2 + 2a 4 x + a5 y + 3a 7 x 2 + 2a 8 xy + a9 y 2 + 3a11x 2 y + a12 y 3 x w θy = = a3 + a 5 x + 2a6 y + a 8 x 2 + 2a 9 xy + 3a10 y 2 + a11x 3 + 3a12 xy 2 y Chuyển dịch của phần tử x2 y2 x3 x2 y xy 2 y3 xy 3 ��a1 � x3 y �w � � 1 x y xy �a � �� 2 � { u} e =�θ x �= � 0 1 2 2 0 2 y 0 3x 2xy y 0 3x y y � 2 3 � � �θy � � ��... � � �� 0 0 1 0 x 2 y 0 x 2 2xy 3 y 2 x 3 3xy 2 � � � ��a12 � F ( x, y ) � =� � { a} e � ( 2.1) 19
Thay tọa độ các nút i, j, k, l đã biết vào phương trình (2.1) ta được véctơ chuyển vị nút : �F ( xi , yi ) � �F ( xi , yi ) � �F (x j , y j )� �F (x j , y j )� { q} e = � � { a} e = [ A] { a} e với [ A] = � � � � � F ( xk , yk ) F ( xk , yk ) � � � � � �F ( xl , yl ) � �F ( xl , yl ) � Suy ra : { a} e = [ A] −1 { q} e (2.2) Từ (2.1) và (2.2) có : �N1 � { u} e = [ F ] [ A] { q} e =� �q = � −1 N � �2 { } e �N ( x, y ) � { q} e � � �N3 �� trong đó: [A] là ma trận tọa độ nút phần tử, [N(x,y)] là ma trận hàm dạng Bước 3 : Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua chuyển vị nút Trạng thái biến dạng phần tử tính theo hệ thức Cauchy: 2 u w εx = = −z = zφ x x x2 2 v w ε y = = −z = zφ y (2.3) y y2 2 u v w γ xy = + = −2z = zφxy y x x y Liên hệ ma trận biến dạng và ma trận độ cong như sau: �ε � �φ � �x � �x � { ε } = �ε y �= z �φ y �= z [ φ ] � � � � γ xy �� φxy 20