Luận văn Thạc sĩ khoa học Toán học: Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian Bd - metric sắp thứ tự và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 - Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian bmetric và không gian Bd metric. Chương 2 - Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvaneh và M.Abbas về điểm bất động chung. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ khoa học Toán học: Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian Bd - metric sắp thứ tự và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LITNA AMPHONEPADID ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LITNA AMPHONEPADID ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Litna AMPHONEPADID i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 11 năm 2020 Tác giả Litna AMPHONEPADID ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii MỤC LỤC ........................................................................................................ iii MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 2 1.1. Không gian b - metric ......................................................................... 2 1.2. Không gian bd - metric ........................................................................ 5 1.3. Tôpô trên không gian bd - metric .......................................................... 8 CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ .......... 13 2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric ...................... 13 2.2. Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric ..... 14 2.3. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric sắp thứ tự .................................................................................. 19 2.4. Sự tồn tại nghiệm chung của hệ các phương trình tích phân ................ 36 KẾT LUẬN .................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 40 iii
MỞ ĐẦU Nguyên lí ánh xạ co Banach là một trong những kết quả đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng của lí thuyết điểm bất động metric. Nó là một công cụ phổ biến để chứng minh sự tồn tại của nghiệm của các bài toán trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng theo hai hướng. Hướng thứ nhất là mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho các loại ánh xạ khác nhau như ánh xạ co yếu, ánh xạ dãn, ánh xạ tương thích yếu, ánh xạ tương thích,… Hướng thứ hai là thiết lập nguyên lí ánh xạ co Banach cho các không gian kiểu metric: chẳng hạn các không gian 2-metric, D-metric, b - metric, b2 - metric, G - metric,… Năm 2000, Hitzler và Seda đã giới thiệu khái niệm dl - metric và dl - tôpô và thiết lập định lí điểm bất động trong không gian dl - metric đầy đủ. Năm 2013, N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvaneh và M.Abbas đã giới thiệu khái niệm bd - metric và thiết lập định lí về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric sắp thứ tự và ứng dụng”. Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [6] và [8], gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian b - metric và không gian bd - metric. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả nghiên cứu gần đây của N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvaneh và M.Abbas về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 1
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian b - metric Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một tập khác rỗng và l ³ 1 là một số thực. Một hàm d : E ´ E ® ¡ + được gọi là một b - metric nếu với mọi u, v, w Î E , các điều kiện sau được thỏa mãn: (i ) d (u, v ) = 0 nếu và chỉ nếu u = v , (ii ) d (u, v ) = d (v, u ) , (𝑖𝑖𝑖) d (u, v ) £ l [d (u, w) + d(w, v )]. Cặp (E , d ) được gọi là không gian b - metric. Chú ý rằng lớp các không gian b - metric rộng hơn lớp các không gian metric. Thật vậy, một b - metric là một metric khi và chỉ khi l = 1 . Ví dụ 1.1.2 Không gian lp (0 < p < 1), ìï ü ï lp = ïí (un ) Î ¡ : å un á¥ ïý , p ïïî n ïïþ với hàm số d : lp ´ lp ® ¡ + , xác định bởi p d (u, v ) = ( å u n - vn )1/ p , n trong đó u = (un ), v = (vn ) Î lp là một không gian b -metric với l = 21/ p . Ví dụ 1.1.3. Cho (E , d ) là một không gian metric và p(u , v ) = (d (u , v )) p , trong đó p > 1 . Khi đó p là một b - metric với l = 2p - 1 . Thật vậy: Hiển nhiên, các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn. Nếu 1 < p < ¥ thì sử dụng tính lồi của hàm số f (u ) = u p (u > 0) ta có bất đẳng thức 2
p æa + b ö÷ 1 p çç ÷ £ ( ) a + b p nghĩa là, (a + b) p £ 2p - 1(a p + b p ) . çè 2 ø ÷ ÷ 2 Do đó với mỗi u, v, w Î E , ta có: p(u , v ) = (d (u, v )) p £ (d (u, w ) + d (w, v )) p £ 2p - 1((d (u, w )) p + (d (w, v )) p ) = 2p - 1( p(u, w ) + p(w, v )). Vì vậy, điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn và p là một b - metric. Định nghĩa 1.1.4. Cho (E , d ) là một không gian b - metric. Khi đó, dãy {u n } Ì E được gọi là: a ) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại u Î E sao cho d (u n , u ) ® 0, khi n ® ¥ . Trong trường hợp này, ta viết lim un = u . x® ¥ b) dãy Cauchy khi và chỉ khi d (u n , u m ) ® 0, khi m , n ® + ¥ . Mệnh đề 1.1.5. Trong một không gian b - metric (E , d ) các khẳng định sau đây được thỏa mãn: i ) một dãy hội tụ có giới hạn duy nhất, ii ) mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy, iii ) nói chung, một b - metric là không liên tục. Định nghĩa 1.1.6. Không gian b - metric (E , d ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Nói chung, một hàm b - metric d với l > 1 không liên tục theo cả hai biến. Sau đây là ví dụ về một b - metric không liên tục. Ví dụ 1.1.7. Cho E = ¥ È {¥ } và d : E ´ E ® ¡ xác định bởi d (m , n ) = 0 nếu m = n , 1 1 d (m , n ) = - nếu m , n là các số chẵn hoặc m .n = ¥ m n 3
d (m , n ) = 5 nếu m , n là các số lẻ và m ¹ n d (m , n ) = 2 tại m, n còn lại. Khi đó với mọi m , n , p Î E , ta có d (m , p) £ 3(d (m , n ) + d (n , p)). Do đó, (E , d ) là không gian b - metric với l = 3 . Nếu u n = 2n , với mỗi 1 n Î ¥ , thì d (2n , ¥ ) = ® 0 , khi n ® ¥ 2n / d (¥ ,1), khi n ® ¥ Nghĩa là, u n ® ¥ , nhưng d (u 2n ,1) = 2 ® Nói chung b - metric không liên tục, nên ta cần bổ đề đơn giản sau đây về các dãy b - hội tụ. Bổ đề 1.1.8. Cho (E , d ) là không gian b - metric và {u n } là dãy trong E sao cho u n ® u và u n ® v . Khi đó u = v . Bổ đề 1.1.9. Cho (E , d ) là không gian b - metric , {uk }kn = 0 Ì E . Khi đó: d(un , u 0 ) £ l d(u 0, u1) + K + l d(un - 2, un - 1) + l n- 1 n- 1 d(un - 1, un ) . Bổ đề 1.1.10. Cho {vn } là dãy trong không gian b - metric (E , d ) sao cho d(vn , vn + 1) £ qd(vn - 1, vn ) với 0 < q < 1 / l và mỗi n Î ¥ . Khi đó {vn } là dãy Cauchy trong E . Bổ đề 1.1.11. Cho (E , d ) là không gian b - metric với l ³ 1 . Giả sử rằng {u n } và {vn } là b - hội tụ đến u và v tương ứng. Khi đó ta có: 1 2 d (u, v ) £ lim inf d (u n , vn ) £ lim sup d (u n , vn ) £ l 2d (u, v ). l n® ¥ n® ¥ Đặc biệt, nếu u = v , thì lim d (un , vn ) = 0 , hơn nữa với mỗi w Î E ta có x® ¥ 4
1 d (u, w ) £ lim inf d (u n , w ) £ lim sup d(u n , w ) £ l d (u, w ). l n® ¥ n® ¥ Định nghĩa 1.1.12. Cho (E , d ) là một không gian b - metric. Một cặp ánh xạ {f , g} được gọi là tương thích nếu và chỉ nếu lim d( fgun , gfun ) = 0 , trong đó n® ¥ {u n } là một dãy trong E sao cho lim fun = lim gun = t , với t Î E nào đó. n® ¥ x® ¥ Định nghĩa 1.1.13. Cho f và g là định nghĩa hai tự ánh xạ trên tập không rỗng E . Nếu w = fu = gu với u Î E , thì u được gọi là điểm trùng của f và g , trong đó w được gọi là điểm trùng nhau của f và g . Định nghĩa 1.1.14. Cho f và g là hai tự ánh xạ xác định trên tập E . Khi đó f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại mỗi điểm trùng. 1.2. Không gian bd - metric Định nghĩa 1.2.1. Cho E là tập không rỗng. Ánh xạ dl : E ´ E ® [0, ¥ ) được gọi là dl - metric nếu thoả mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Î E : (i ) Nếu dl (u , v ) = 0 thì u = v ; (ii ) dl (u , v ) = dl (v, u ) ; (iii ) dl (u , v ) £ dl (u , w ) + dl (w, v ) . Cặp (E , dl ) được gọi là không gian dl - metric. Chú ý rằng khi u = v , dl (u, v ) có thể không bằng 0. Ví dụ 1.2.2. Nếu E = ¡ + È {0} , thì dl (u , v ) = u + v xác định một dl - metric trên E . Định nghĩa 1.2.3. Dãy {u n } trong không gian dl - metric được gọi là: (1) dãy Cauchy nếu với e > 0 , tồn tại $ n 0 Î ¥ sao cho với " n , m ³ n 0 , ta có dl (u m , u n ) < e hoặc lim dl (um , un ) = 0 . n ,m ® ¥ 5
(2) hội tụ đối với dl nếu $u Î E sao cho dl (u n , u ) ® 0 khi n ® ¥ . Trong trường hợp này u được gọi là giới hạn của dãy {u n } và ta viết u n ® u . Không gian dl - metric E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy trong E hội tụ đến một điểm thuộc E . Định nghĩa 1.2.4. Tập không rỗng E được gọi là không gian dl - metric sắp thứ tự nếu nó được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận ° và tồn tại dl - metric trên E . Định nghĩa 1.2.5. Cho (E , ° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận. Khi đó u, v Î E gọi là so sánh được nếu u ° v hoặc v ° u . Định nghĩa 1.2.6. Cho (E , ° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận. Tự ánh xạ f trên E được gọi là trội nếu u ° fu với mỗi u Î E . Ví dụ 1.2.7. Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và f : E ® E được xác định bởi fu = n u . Vì u £ u 1/ n = fu với mọi u Î E , nên f là ánh xạ trội. Định nghĩa 1.2.8. Cho (E , ° ) là tập được sắp thứ tự bộ phận. Tự ánh xạ f trên E được gọi là bị trội nếu fu ° u với mỗi u Î E . Ví dụ 1.2.9. Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và f : E ® E được xác định bởi fu = u n với n Î ¥ . Vì fu = u n £ u với mọi u Î E , nên f là ánh xạ bị trội. Định nghĩa 1.2.10. Cho E là tập không rỗng. Ánh xạ bd : E ´ E ® [0,¥ ) được gọi là bd - metric nếu các điều kiện sau thoả mãn với mọi u, v, w Î E và l ³ 1: (bd 1 ) nếu bd (u, v ) = 0 thì u = v ; (bd 2 ) bd (u , v ) = bd (v, u ) ; 6
(bd 3 ) bd (u, v ) £ l (bd (u, w) + bd (w, v)). Cặp (E , bd ) được gọi là không gian bd - metric. Chú ý rằng lớp các không gian bd - metric rộng hơn lớp các không gian dl - metric, vì bd - metric là dl - metric khi l = 1 . Sau đây là một ví dụ chỉ ra rằng nói chung bd - metric không phải dl - metric. Ví dụ 1.2.11. Cho (E , dl ) là không gian dl - metric và bd (u, v) = (dl (u, v))p trong đó p > 1 . Ta sẽ chỉ ra bd là một bd - metric với l = 2p - 1 . Rõ ràng, các điều khiện (bd 1 ) và (bd 2 ) của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn. Nếu 1 < p < ¥ , thì tính lồi của hàm f (u ) = u p (u > 0) kéo theo p æa + b ö÷ 1 p çç ÷ £ ( a + bp . ) çè 2 ÷ ø÷ 2 p Vì thế, (a + b) £ 2p - 1 (a p + b p ). Như vậy, với mỗi u, v, w Î E , ta được: p bd (u, v ) = (dl (u , v )) £ éêdl (u , w ) + (dl (w, v ))ù p ë ú û é p pù £ 2p - 1 ê(dl (u, w )) + (dl (w, v )) ú ëê ú û = 2p- 1 éêëbd (u, w) + bd (w, v )ù ú û . Do đó, điều kiện (bd 3 ) của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn và bd là bd - metric. Tuy nhiện, nếu (E , dl ) là không gian dl - metric, thì (E , bd ) không nhất thiết là không gian dl - metric. Chẳng hạn, nếu E = ¡ là tập hợp các số thực, 7
2 thì dl (u, v ) = | u | + | v | là dl - metric và bd (u, v ) = (| u | + | v |) là bd - metric trên ¡ với l = 2 nhưng không phải dl - metric trên ¡ . 1.3. Tôpô trên không gian bd - metric Sarma và Kumari [9] đã thiết lập sự tồn tại của tôpô cảm sinh bởi dl - metric mà nó metric hóa được với họ các tập hợp {B (u, e) È {u } : u Î E }, e > 0 là cơ sở, ở đó B (u, e) = {v Î E : dl (u, v ) < e} với mọi u Î E và e > 0 . Ngoài ra, { B (u, e) = v Î E : dl (u, v ) £ e } là tập đóng. Tương tự, mỗi bd - metric trên E sinh ra một tôpô t b mà cơ sở của nó d là họ các bd - hình cầu mở Bb (u, e) = {v Î E : bd (u, v ) < e}. d Định nghĩa 1.3.1. Ta nói rằng lưới (u a : a Î D ) trong E hội tụ đến u Î (E , bd ) và viết lim u a = u nếu lim bd (u a , u ) = 0 . aÎ V aÎ V Chú ý rằng giới hạn của lưới trong (E , bd ) là duy nhất. Với A Í E , ta viết D(A ) = {u Î E : u là giới hạn của lưới trong (A, bd )}. Mệnh đề 1.3.2. [9] Nếu A, B Í E , thì (i ) D(A) = Æ nếu A = Æ, (ii ) D(A ) Í D(B ) nếu A Í B , (iii ) D(A È B ) = D(A ) È D(B ) , (iv) D(D(A )) Í D(A) . 8
Hệ quả 1.3.3. [9] Với mọi A Ì E , đặt A = A È D (A ) . Khi đó, toán tử A ® A thoả mãn (i ) Æ= Æ (ii ) A Ì A (iii ) A = A (iv ) A È B = A È B Mệnh đề 1.3.4. Cho ¡ là họ tất cả các tập hợp con A Ì E mà A = A và t b là họ các tập hợp là phần bù của các tập hợp thuộc ¡ . Khi đó, t b là tô d d pô của E và t b - bao đóng của A là A . d Định nghĩa 1.3.5. Tô pô t b nhận được trong Mệnh đề 1.3.4 gọi là tôpô cảm d sinh bởi bd và gọi là bd - tô pô của E và ký hiệu là (E , bd , t b ) . d Bây giờ chúng ta nêu một số mệnh đề và hệ quả trong (E , bd , t b ) được d chứng minh tương tự với các kết quả được đưa ra trong [9]. Mệnh đề 1.3.6. Cho A Í E . Khi đó u Î D(A ) nếu với mọi d > 0 , B d (u ) Ç A ¹ Æ. Hệ quả 1.3.7. u Î A Û u Î A hoặc B d (u ) Ç A ¹ Æ, " d > 0 . Hệ quả 1.3.8. Tập A Í E là mở trong (E , bd , t b ) Û với mọi u Î A , tồn tại d d > 0 sao cho {u } È B d (u ) Í A . Mệnh đề 1.3.9. Nếu u Î E và d > 0 , thì {u } È B d (u ) mở trong (E , bd , t b ) . d Hệ quả 1.3.10. Nếu u Î E và V r (u ) = B r (u ) È {u } với r > 0 , thì tập hợp {V r (u ) | u Î E } là cơ sở mở tại u trong (E , bd , t b ) . Nếu bd là b - metric và d V = B (u ) , thì t b trùng với tôpô metric. d 9
Mệnh đề 1.3.11. (E , bd , t b ) là không gian Hausdorff. d bd (u, v ) Chứng minh. Nếu u, v Î E và = r > 0 , thì V r (u ) ÇV r (v ) = Æ. 2l Dựa theo Mệnh đề 3.2 trong [2], ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3.12. Cho (E , bd ) là không gian bd - metric. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i ) Với mọi u Î E , ta có bd (u , u ) = 0 . (ii ) bd là b - metric. (iii ) Với mọi u Î E và mọi r > 0 , ta có B r (u ) ¹ Æ . Định nghĩa 1.3.13. Dãy {u n } trong không gian bd - metric (E , bd ) hội tụ đối với bd (bd - hội tụ) nếu $u Î E sao cho bd (u n , u ) hội tụ đến 0 khi n ® ¥ . Trong trường hợp hày, u được gọi là giới hạn của {u n } và ta viết u n ® u . Mệnh đề 1.3.14. Giới hạn của dãy hội tụ trong không gian bd - metric là duy nhất. Chứng minh. Giả sử u và v là các giới hạn của dãy {u n } . Theo tính chất (bd 2 ) và (bd 3 ) của Định nghĩa 1.2.10, ta có bd (u, v ) £ k (bd (un , u ) + bd (un , v)) ® 0 . Suy ra bd (u, v ) = 0 . Theo tính chất (bd 1 ) của Định nghĩa 1.10 suy ra u = v . Định nghĩa 1.3.15. Dãy {u n } trong không gian bd - metric (E , bd ) được gọi là dãy bd - Cauchy nếu với e > 0 , $ n 0 Î ¥ sao cho với mọi n , m ³ n 0 ta có bd (um , un ) < e hoặc lim bd (u n , u m ) = 0 . n ,m ® ¥ Mệnh đề 1.3.16. Mỗi dãy hội tụ trong không gian bd - metric là bd - Cauchy. 10
Chứng minh. Giả sử {u n } là dãy hội tụ đến u Î (E , bd ) . Khi đó với e > 0 tồn e tại n 0 Î ¥ sao cho bd (u n , u ) < , " n ³ n0 . 2l Từ đó với mọi m , n ³ n 0 ta nhận được e ( ) bd (u n , u m ) £ k bd (u n , u ) + bd (u m , u ) < 2l 2l = e. Vậy {u n } là dãy bd - Cauchy. Định nghĩa 1.3.17. Không gian bd - metric (E , bd ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy bd - Cauchy trong E đều bd - hội tụ. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nói chung bd - metric không liên tục. Ví dụ 1.3.18. Lấy E = ¥ È {¥ } và bd : E ´ E ® ¡ được xác định bởi 1 1 bd (m , n ) = + nếu m, n chẵn hoặc mn = ¥ m n bd (m , n ) = 5 nếu m và n lẻ và m ¹ n bd (m , n ) = 2 trong các trường hợp còn lại. Khi đó, dễ thấy rằng với mọi m , n , p Î E , ta có bd (m , p) £ 5 (bd (m , n ) + bd (n , p)). Như vậy, (E , bd ) là không gian bd - metric. Lấy u 2n = 2n với mỗi n Î ¥ . Khi dó 1 bd (2n , ¥ )= ® 0 khi n ® ¥ 2n / bd (¥ ,1) khi n ® ¥ . Nghĩa là, u n ® ¥ nhưng bd (un ,1) = 2 ® Bổ đề sau về dãy bd - hội tụ sẽ cần thiết trong chứng minh kết quả chính. 11
Bổ đề 1.3.19. Cho (E , bd ) là không gian bd - metric với hệ số k ³ 1 . Giả sử {u n } và {vn } là các dãy bd - hội tụ đến u, v tương ứng. Khi đó 1 b (u, v ) £ lim inf bd (u n , vn ) £ lim sup bd (u n , vn ) £ l 2bd (u, v ) . 2 d l n® ¥ n® ¥ Nói riêng, nếu bd (u, v ) = 0 , thì ta có lim n ® ¥ bd (u n , vn ) = 0 = bd (u, v ) . Ngoài ra, với mỗi w Î E , ta có 1 b (u, w ) £ lim inf bd (u n , w ) £ lim sup bd (u n , w ) £ l bd (u, w ) . l d n® ¥ n® ¥ Nói riêng, nếu bd (u , w ) = 0 , thì lim n ® ¥ bd (u n , w ) = 0 = bd (u , w ) . Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong không gian bd - metric, ta nhận được bd (u, v ) £ l bd (u, un ) + l 2bd (un , vn ) + l 2bd (vn , v ) và bd (un , vn ) £ l bd (un , u ) + l 2bd (u, v ) + l 2bd (v, vn ) Lấy giới hạn dưới khi n ® ¥ trong bất đẳng thức thứ nhất và giới hạn trên khi n ® ¥ trong bất đẳng thức thứ hai, ta được kết quả cần chứng minh. Khẳng định cuối cùng được chứng minh tương tự, nhờ sử dụng bất đẳng thức tam giác. Định nghĩa 1.3.20. Cho (E , bd ) là không gian bd - metric. Khi đó cặp ( f , g) được gọi là tương thích khi và chỉ khi limn ® ¥ bd (fgun , gfun ) = 0 , với mọi dãy {u n } Ì E sao cho lim n ® ¥ fu n = lim n ® ¥ gu n = t với t Î E nào đó. CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU 12
TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ 2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric Định lý 2.1.1. Cho (E , d ) là không gian b - metric đầy đủ, và f : E ® E là 1 ánh xạ sao cho tồn tại 0 < q < , l d ( fu, fv ) £ qd (u, v ) với mọi u, v Î E . Khi đó f có điểm bất động duy nhất w , và với u 0 Î E , dãy {f n u0} hội tụ đến w . Chứng minh. Lấy u 0 Î E bất kì và kí hiệu vn = f nu 0 . Khi đó d(vn , vn + 1) = d( fvn - 1, fvn ) £ qd(vn - 1, vn ) với mỗi n = 1, 2.... Theo Bổ đề 1.1.10, {vn } là dãy Cauchy, và vì (E , d ) là không gian đầy đủ, nên tồn tại w Î E sao cho vn ® w khi n ® ¥ . Khi đó d( fw, w) £ l (d( fw, fvn ) + d(vn + 1, w)) £ l (qd(w, vn ) + d(vn + 1, w)) ® 0 khi n ® ¥ . Do đó, d ( fw, w ) = 0 và w là điểm bất động của f . Nếu w 1 là điểm bất động khác của f , thì ta có d (w, w1 ) = d ( fw, fw1 ) £ qd (w, w1 ) . Điều này chỉ có thể xảy ra khi w = w1 . W Định lý 2.1.2. Cho (E , d ) là không gian b - metric đầy đủ, f : E ® E là 13
ánh xạ thỏa mãn với mỗi n Î ¥ tồn tại qn Î (0,1) sao cho lim qn = 0 và n® ¥ d( f nu, f nv) £ qnd(u, v) với mọi u, v Î E . Khi đó f có điểm bất động duy nhất . 1 Chứng minh. Lấy q sao cho 0 < q < . Vì qn ® 0 khi n ® ¥ , nên tồn tại l n 0 Î ¥ sao cho qn < q với mỗi n ³ n 0 . Khi đó d ( f n u , f n v ) £ qd (u , v ) với mọi u, v Î E khi n ³ n 0 . Nói cách khác, với m ³ n 0 tùy ý, g = f m thỏa mãn d (gu, gv ) £ qd(u, v ) với mọi u, v Î E . Định lý 2.1.1 kéo theo g có điểm bất động duy nhất, gọi điểm đó là w . Khi đó f m w = w , kéo theo f m + 1w = f m ( fw ) = fw và fw là điểm bất động của g = f m . Vì điểm bất động của g là duy nhất, nên fw = w và w là điểm bất động của f . W 2.2. Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric Định lý 2.2.1. Giả sử f , g, S ,T là các ánh xạ từ không gian b - metric đầy đủ (E , d ) vào chính nó sao cho f (E ) Í T (E ), g(E ) Í S (E ) và s d ( fu, gv ) £ max{d (Su,T v ), d ( fu, Su ), d (gv,T v ), l4 (2.1) 1 (d (Su, gv ) + d ( fu,T v ))}, 2 với mọi u, v Î E , 0 < s < 1 , đồng thời S và T liên tục và cặp {f , S } và {g,T } là tương thích. Khi đó f , g, S và T có một điểm bất động chung duy nhất trong E . Chứng minh. Lấy u 0 Î E . Vì f (E ) Í T (E ) , nên tồn tại u 1 Î E sao cho 14
fu 0 = T u 1 . Vì gu 1 Î S (E ) , nên chọn u 2 Î E sao cho gu 1 = Su 2 . Nói chung, u2n + 1 và u2n + 2 được chọn trong E sao cho fu2n = T u2n + 1 và gu2n + 1 = Su2n + 2 . Xác định một dãy {vn } Ì E sao cho v2n = T u2n = T u2n + 1 và v2n + 1 = gu2n + 1 = Su2n + 2 , với mọi n ³ 0 . Ta sẽ chỉ ra {vn } là một dãy Cauchy. Ta có d(v2n , v2n + 1) = d (fu2n , gu2n + 1 ) s £ l4 { max d (Su 2n ,T u 2n + 1 ), d (fu 2n , Su 2n ), d (gu 2n + 1,T u 2n + 1 ), 1 üï d (Su 2n , gu 2n + 1 ) + d (fu 2n ,T u 2n + 1 ) ïý ( ) 2 ïïþ s = max {d (v2n - 1, v2n ), d (v2n , v2n - 1 ), d (v2n + 1, v2n ), l4 1 2 (d(v2n - 1, v2n + 1 ) + d (v2n , v2n ) } s 1 = l4 max { d (v , v 2n - 1 2n ), d (v , v 2n + 1 2 n ), 2 (d(v2n - 1, v2n + 1 ) } s ìï l ü ï £ 4 max ïí d(v2n - 1, v2n ), d(v2n , v2n + 1), (d(v2n - 1, v2n ) + d(v2n , v2n + 1))ïý . l ïîï 2 ïþ ï Nếu d(v2n , v2n + 1) > d(v2n - 1, v2n ) với n nào đó, thì từ bất đẳng thức trên ta có s d (v2n , v2n + 1 ) < d (v2n , v2n + 1 ). l3 Điều này là mâu thuẫn. Do đó d(v2n , v2n + 1) £ d(v2n - 1, v2n ) với mọi n Î ¥ . Cũng như vậy, theo bất đẳng thức trên ta được s d (v2n , v2n + 1 ) £ d (v2n - 1, v2n ). l3 Tương tự 15